Physik III, Optik

Physik III, Optik
Claus Zimmermann
January 14, 2009

Contents
1. Geometrische Optik ................................. 3
1.1AusbreitungvonLichtunddasFermatschePrinzip ............ 3
1.2AusbreitungvonLichtunddasHuygenschePrinzip............ 11
1.3Linsen ..................................... 15
1.4AbbildungvonObjekteninparaxialerNäherung. ............. 19
1.5 Lupe und Fernrohr .............................. 23
1.6 ABCD-Matrizen. ............................... 24
1.7 Abbildungsfehler ............................... 29
1.8 Pupillen .................................... 31
1.9Prismen .................................... 33
2.Wellen ........................................ 37
2.1EindimensionaleWellengleichung ...................... 37
2.2 Harmonische Wellen ............................. 39
2.3DreidimensionaleWellen........................... 43
2.4BeipielemechanischerWellen ........................ 46
2.5 Dispersionsrelationen............................. 50
2.6RandbedingungenundStationäreWellen.................. 53
3.Lichtwellen...................................... 62
3.1WellengleichungfürelektromagnetischeWellen............... 62
3.2FresnellscheGleichungenfürdieFelder ................... 67
3.3IntensitäteinerLichtwelle .......................... 74
3.4 Reflexion und Transmission an einer Grenzfläche.............. 76
3.5HerleitungderFresnellschenGleichungen.................. 80
4. Licht in Materie ................................... 84
4.1 Lorentz-Modell . ............................... 84
4.2DispersionsrelationundWellenpakete.................... 91
4.3Metalle..................................... 96
5. Polarisation des Lichts ............................... 98
5.1BeschreibungderPolarisation ........................ 98
5.2Verzögerungsplättchen ............................ 100
5.3Polarisatoren ................................. 103
5.4Photonen ................................... 106
6. Überlagerungen von Wellen............................. 110
1

6.1FeldeinerÜberlagerungvonPunktquellen ................. 110
6.2Antennenarrays................................ 111
6.3 Beugung am Spalt .............................. 116
6.3 Beugung am Gitter .............................. 120
6.4 Unschärferelationen.............................. 122
7. Optische Resonatoren ................................ 127
7.1 Stehwellenresonator.............................. 127
7.2 Andere Resonatoren ............................. 131
Für den Menschen ist Licht ist eines der spektakulärsten und faszinierensten physikalischen
Phänomene. Ohne Licht kein Sonneuntergang über der Wüste aber auch keine schnelle
transatlantische Glasfaserverbindung für Internet und Telefon. Über die Jahrtausende hat
sich die Vorstellung über die Natur des Lichts immer wieder gewandelt und es gab erbitterte
Diskussionen darüber ob man Licht nun als ein Strom aus Teilchen auffassen müsste
oder als ein Wellenphänomen. Seit weniger als hundert Jahren sind wir nun in der privilegierten
Situation, ziemliche genau sagen zu können was Licht ist, nämlich ein relativistisches
Quantenphänomen. Dass sich ein Bogen schlagen lässt von einfachen Vorstellungen
der geometrischen Optik bis hin zu Licht als Prototyp einer eichinvarianten Quantenfeldtheorie,
ist in sofern sensationell als man das Gefühl bekommt man könne eine fundamentale
und höchst abstrakte physikalische Theorie sozusagen mit den eigenen Augen sehen, z.B bei
einem Sonnenuntergang. Im optischen Teil der Vorlesung Physik III können wir natürlich
nicht das vollständige Bild dessen entwerfen, was Licht ist, aber wir können einen Anfang
machen, der uns immerhin schon sehr nahe an die Grundlagen der Quantenmechanik führt
und uns außerdem eine Menge Einsichten vermittelt, wie man Licht, sozusagen im Alltag
beschreiben kann.
Dieser Text enthält die Argumente und Rechungen des Teils der Vorlesung Physik III,
der sich mit Optik befasst. Er nimmt innerhalb der gesamten Vorlesung (6SWS) etwa ein
Drittel ein (2 SWS). Inhalt ist zunächst ein etwas längeres Kapitel über die geometrische
Optik, gefolgt von zwei Kapiteln über Wellen im allgemeinen (Kapitel 2) und Lichtwellen im
besonderen (Kapitel 3). Kapitel 4 beschreibt im Rahmen des klassischen Lorentz-Modells
die Wirkung von Licht auf dielektrische Materialien und Metalle als auch umgekehrt die
Wirkung der Materie auf das Licht. Neben der Wellenlänge kann auch die Polarisation des
Lichts verändert werden, was einerseits zur Polarisationsoptik führt, andererseits Licht und
Drehimpuls in Verbindung bringt (Kapitel 5). Das Kapitel schließt mit den Photonen als
teilchenartige Träger der Lichtenergie. Damit sind die wesentlichen Eigenschaften von Licht
eingeführt. Das letzte Kapitel betrachtet Effekte, die auftreten, wenn man Licht räumlich
oder zeitlich einschränkt. Ebene Wellen sind dann keine gute Beschreibung mehr und man
muss zu Überlagerungen von ebenen Wellen übergehen. Mit Hilfe von Unschärferelationen
lassen sich grundlegende Eigenschaften solcher Überlagerungen erfassen.
2

1. Geometrische Optik
1.1 Ausbreitung von Licht und das Fermatsche Prinzip
Wir gehen davon aus, dass sich Licht entlang von Bahnen mit einer bestimmten Geschwindigkeit
bewegt. Die Bahnen ergeben sich aus dem Fermatschen Prinzip. Die Geschwindigkeit kann
je nach Medium, in dem sich das Licht bewegt, verschieden sein. Dies führt zu dem Begriff
des Brechungsindex.
• Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Fizzeau:
Zwischen Zahnrad und Spiegel liegt eine möglichst große Wegstrecke, die das Licht um
eine möglichst große Laufzeit verzögert. Die Quelle wird gerade verdeckt, wenn sich das
Zahnrad während der Lichtlaufzeit um einen halben Zahn weiterdreht. Es gibt also eine
bestimmte Rotationsgeschwindigkeit, bei der die Quelle für den Betrachter unsichtbar
wird. Aus dieser Winkelgeschwindigkeit und der Wegstrecke zwischen Zahnrad und
Spiegel lässt sich die Lichtgeschwindigkeit bestimmen. (Zahlenbeispiel als Übung)
Fizzeaus Ergebnis:
c ' 3 · 10 8 m s
Heute wird die Lichtgeschwindigkeit definiert als
c := 299792458 m s
Über die Realisierung der Sekunde durch Messen der Hyperfeinstruktur von Cäsium ist
damit auch das Meter definiert. Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem
die gleiche. Der Wert der Naturkonstante c entspricht der Lichtgeschwindigkeit im
Vakuum.
3

• Brechungsindex
Die Lichtgeschwindigkeit hängt vom Medium ab.
V Licht = c n
n ist der Brechungsindex. Er ist dimensionslos. In Glas beträgt er typischerweise n
≈ 1.5. Das Licht ist in Glas also um den Faktor 1.5 langsamer als im Vakuum.
• Das Fermatsches Prinzip
lautet: Das Licht nimmt von allen benachbarten Wegen denjenigen, der zeitlich am
kürzesten dauert.
z. B. Luftspiegelung:
Der räumlich längere Weg ist wegen der höheren Geschwindigkeit in heißer Luft der
zeitlich kürzere. Die Quelle erscheint dem Betrachter gespiegelt.
z. B. Sonnenuntergang:
In den oberen Luftschichten ist der Brechungsindex kleiner, da der Atmosphärendruck
noch oben hin abnimmt und damit die Lichtgeschwindigkeit zu. Die Sonne scheint
noch über dem Horizont zu stehen obwohl sie bereits untergegangen ist. Es ist wichtig,
dass die Wege benachbart sind: Gibt es eine direkte Sichtverbindung zwischen zwei
4

Punkten kann es außerdem noch ein Verbindung über einen Spiegel geben, obwohl sie
die längere ist. Beide Wege sind nicht benachbart, d.h. sie können nicht ohne Sprung
ineinander überführt werden.
• Brechung und Fermatsches Prinzip
Im homogenen Medium breitet sich das Licht entlang einer Geraden aus. An der
Grenzfläche zwischen zwei Medien kann es also höchstens einen Knick machen. Wie
lässt sich der Ablenkwinkel mit dem Fermatschen Prinzip berechnen?
Das Licht soll von Punkt S nach Punkt P auf dem schnellsten Weg. Die Laufzeit wird
durch die Lage von Punkt O verändert. Gesucht wird also der Abstand x, beidemdie
Laufzeit am kleinsten ist.
Die Laufzeit beträgt:
t = SO + OP
und ist minimal für:
also
=
v i
v t
√
h2 + x 2
v i
+
d
t(x) =0,
dx
p
b2 +(a − x) 2
dt
dx = x
√
v i h2 + x + −a + x
p 2 v t b2 +(a − x) =0 2
= 1 x
√ − 1 a − x
p =0.
v i
| h2
{z
+ x
}
2 v t b2 +(a − x)
| {z }
2
sin θ i sin θ t
5
v t

Die Brüche mit den Wurzeln sind gerade der sinus des Einfallswinkel und des Winkels
des transmittierten Strahls.
sin θ i
v i
= sin θ t
v t
oder
sin θ i
= n t
sin θ t n i
Dies ist das Snelliussches Brechungsgesetz. Es beendet eine lange Debatte angefangen
bei Ptolomäus in der Antike über Witelo im Mittelalter (1270), Kepler (1604) in der
Renaissance und Descartes und Snell in der Neuzeit.
• Totalreflexion
Das Snelliussche Gesetz beschreibt auch die Situation für θ i > 90 ◦ richtig. Beide
Strahlen laufen dann im selben Medium und es gilt also
Mit Snellius folgt
n i = n t .
sin θ i
= n t
=1
sin θ t n i
sin θ i = sinθ t .
Außerdem gilt
Also
sin θ i =sin(180 ◦ − θ i )=sinθ r .
sin θ r = sinθ t
θ r = θ t .
Bei θ i > 90 ◦ erhält man totale interne Reflexion wie an einer Spiegelfläche.
6

• Optische Weglänge.
Die Überlegung lässt sich auf Medien mit kontinuierlich veränderlichen Brechungsindex
erweitern. Dazu betrachten wir Licht, das einen Stapel verschiedener Materialien mit
unterschiedlichem Brechungsindizes n i durchläuft.
Die gesamte Laufzeit beträgt:
t = s 1
v 1
+ s 2
v 2
... = X i
s i
= 1 X
n i s i
v i c
i
Für kontinuierliche Brechungsindexvariation n(s) kann man die Summe durch ein Intergral
ersetzen.
t = 1 c ·
Z p
s
n(s)ds
| {z }
optische Weglänge
Das Licht wählt sich aus benachbarten Bahnen diejenige, mit der kürzesten optischen
Weglänge aus. Technisch wichtige Beispiele sind optische Glasfasern zu Datenübertragung
und so genannte GRID Linsen (graded index lenses).
• Abbildung von Punkten
Für Anwendungen wichtig ist der Begriff der Abbildung, den wir hier zunächst einmal
nur für einzelne Punkte einführen: Werden alle Lichtstrahlen, die von einem Punkt
ausgehen an einem anderen Punkt wieder zusammengeführt, hat man den ersten auf
den zweiten Punkt abgebildet. Beispielsweise werden die beiden Brennpunkte eines
Ellipsoids aufeinander abgebildet.
7

Eine Ellipse entsteht durch Verwendung eines Fadens, den man locker zwischen S und
P einspannt und als Zirkel verwendet. Der Weg von Punkt S nach Punkt P über
einen beliebigen Punkt der Ellipse ist eine Konstante. Alle diese Wege sind also gleich
schnell und werden daher alle vom Licht gegangen.
Schiebt man den Punkt P nach unendlich, erhält man einen Parabolscheinwerfer:
• Abbildung durch Brechung
Mit einer gekrümmten Grenzfläche erreicht man ebenfalls eine Abbildung.
8

Damit die Grenzfläche eine Abbildung erzeugt, muß der Weg SAP für beliebige Punkte
A gleich sein, also:
l 0 n 1 + l i u 2 = s 0 n 1 + s i n
DierechteSeiteisteineKonstante,dieunabhängigvonderLagevonA ist. Man erhält
die Definitionsgleichung für ein Kartesisches Oval:
l 0 · n 1 + l i · n 2 = konstant
• Hyperbolische Plankonvexlinse
Schiebt man P nach + ∞, so werden die Stahlen, die von S kommen kollimiert, d.h.
parallelisiert.
Das kartesiche Oval wird zur Hyperbel (hier ohne Begründung). Aus der planen Rückseite
treten die Strahlen ohne Brechung aus.
• Hyperbolische Bikonvexlinse
Zwei plankonvexe Linsen Rücken an Rücken ergeben eine abbildende Linse:
9

• Brechende Ellipse
Schiebt man den Punkt S des kartesischen Ovals nach −∞, so erhält man eine Ellipse
(hier ohne Begründung).
• Konkav-Konvexlinse
Soll der Punkt P im selben Medium liegen wie der Startpunkt S, sokannmaneinen
Teil der Ellipse kugelförmig wegschneiden:
Die Kugelschale lässt die von P kommenden Strahlen ungebrochen.
• Streulinsen
Analoges gilt für Streulinsen, z. B. hyperbolische Plankonkavlinse
10

Soweit die geometrischen Spielereien von Descartes. Wie lässt sich das Fermatschen
Prinzip genauer begründen?
1.2 Ausbreitung von Licht und das Huygensche Prinzip
Nach einer zweiten Vorstellung breitet sich Licht als Welle aus. Das steht nicht im Widerspruch
zur geometrischen Optik sondern konkretisiert und begründet diese. Dazu brauchen
wir jetzt das Huygensche Prinzip.
• Huygensche Prinzip
Nach Huyges ist Licht eine Welle. An jedem Punkt einer Wellenfront wird auch im
Vakuum eine Kugelwelle ausgelöst, die sich mit allen anderen Kugelwellen, die bis
dahin ausgelöst wurden, überlagern.
• Ebene Wellen nach Huygens
In diesem Bild bleibt eine ebene Welle eine ebene Welle, was man in drei Schritten
sehen kann:
Konstruktive Überlagerung in Vorwärtsrichtung:
a) Die an einem Punkt von einer Phasenfront ausgelöste Welle überlagert sich mit der
auslösenden Wellenfront in Vorwärtsrichting konstruktiv.
11

) Alle weiteren von der Phasenfront entlang der Ausbreitungsrichting ausgelösten
Wellen überlagern sich ebenfalls in Vorwärtsrichtung konstruktiv. In alle anderen Richtungen
löschen sich die Kugelwellen aus.
c) Alle Kugelwellen die entlang einer Front ausgelöst werden überlagern sich in Vorwärtsrichtung
konstruktiv und bilden ebenfalls eine Phasenfront.
Nach Huygens breitet sich Licht entlang der konstruktiven Interferenz aus. Eine ebene
Welle bleibt also einfach eine ebene Welle, da sich alle ausgelösten Kugelwellen ”richtig”
12

überlagern. Dieses Bild wird erst interessant wenn man geometrische Beschränkungen
einführt wie z.B. Blenden. Außerdem bildet es den gedanklichen Vorläufer zum
Lorentzmodell des Brechungsindex, der weiter hinten behandelt wird. Dort werden die
Kugelwellen von Atomen ausgelöst und entstehen nicht einfach im Vakuum.
• Snelliussches Brechungsgesetz im Wellenbild
Reflexion: Wir haben oben vernachlässigt, dass auch eine Teil des Lichts an der
Grenzfläche zum Medium reflektiert wird. Das erklärt sich nach Huygens so, dass
im Medium die Kugelwellen eine andere Amplitude als im Vakuum haben. Dieser
Extraanteil an Kugelwellen in der Grenzschicht überlagert sich zu einer reflektierten
Wellenfront.
Der Reflektionswinkel ergibt sich folgendermaßen. Punkt 2 feuert um die Laufzeit für
a später als Punkt 1. Wenn Punkt 2 feuert, hat sich also um Punkt 1 eine Kugelwelle
13

mit Radius a p = a entwickelt. Sie bildet mit der Kugelwelle, die gerade bei Punkt 2
entsteht eine gemeinsame Phasenfront P r . Aus der Geometrie wird ohne Rechnung
klar, dass Einfallswinkel und Ausfallswinkel gleich sein müssen.
Brechung: Für die gebrochene Welle liefert das analoge Argument für die Laufzeiten τ
und τ 0 :
τ 0 = n t
c ap = n i
c a = τ
Mit
und
folgt
oder
a p
d =sinθ t
a
d =sinθ i
n t · d · sin θ t = n i · d · sin θ i
sin θ t
sin θ i
= n i
n t
.
• Fermatsches Prinzip als Interferenzphänomen
Alle Wege finden einen Partner, mit dem sie destruktiv interferieren. Einzige Ausnahme
ist der direkte Weg. Analoges gilt für alle Beispiele von Brechung und Spiegelung.
Der extremale Weg ist einzigartig und ungepaart. Er überlebt als einziger. Siehe
auch: Euler-Lagrange-Gleichung, Feynman´sche Pfadintegrale, Prinzip der kleinsten
Wirkung.
14

1.3 Linsen
Technisch ist es nicht einfach eliptische oder hyperbolische Grenzflächen herzustellen. Kugelförmig
gekrümmte Flächen kann man dagegen mit großer Genauigkeit schleifen und polieren.
Das war zumindest in der Vergangenheit so. Heute kann man auch sehr gute Kunstofflinse
durch pressen herstellen. Die Pressform darf dann auch kompliziert und teuer sein.
Bestform-Linsen werden dadurch kommerziell sinnvoll und können für spezielle AnwendungenmitdemComputeroptimiertwerden.
TrotzdemwerdengeradeauchinderLaseroptik
immer noch Glaslinsen verwendet, die bessere Oberflächen haben und größere Leistungen
vertragen. Solche Linsen haben in der Regel kugelförmige Oberflächen. Es stellt sich also
dieFrageinwieweitsichsolcheGrenzflächen für eine Abbildung eignen.
• Brechende Kugel
Für sphärische Grenzflächen ist die Lage der Punkte A festgelegt und man muss
zunächst überprüfen, ob es ein Objektweite s 0 und eine Bildweite s i gibt, so dass
alle Strahlen, die von S ausgehen auch an P ankommen. Dafür müssen alle Wege
SAP , optisch gleich lang sein.
DieoptischeWeglängeist
OPL = n 1 l 0 + n 2 l i
• Berechnen von l o .
Wir betrachten die Objektseite noch mal genauer und erweiteren das Dreick SCA zu
einem rechtwinkligen Dreieeck.
15

Man erhält für die Länge b
b + R
s o + R =cosϕ
b =cosϕ · (s 0 + R) − R
und für a
a
s 0 + R =sinϕ
a =sinϕ · (s 0 + R)
Die Länge l o = SA ergibt sich dann aus dem Pythagoras
l0 2 = a 2 + b 2 =sin 2 ϕ · (s 0 + R) 2 +cos 2 ϕ · (s 0 + R) 2 + R 2 − 2R(s 0 + R) · cos ϕ
l 0 = p (s 0 + R) 2 + R 2 − 2R(s 0 + R) · cos ϕ
Berechnen von l i geht völlig analog
l i = p R 2 +(s i − R) 2 +2R(s i − R) · cos ϕ
Fermatsches Prinzip verlangt, dass der optische Weg minimal ist, also dass:
wir brauchen also die Ableitungen
und entsprechend
d
dϕ (OPL) =n dl 0
1
dϕ + n dl i
2
dϕ =0
dl 0
dϕ = 1 2 ·
1
p
(s0 + R) 2 + R 2 − 2R(s 0 + R) · cos ϕ · 2R(s 0 + R)sinϕ
= R(s 0 + R)
sin ϕ
l 0
dl i
dϕ = −r(s i − R)sinϕ
.
l i
16

Damiterhältman
d
dϕ (OPL) =n R(s 0 + R)
1 sin ϕ + n 2 − r(s i − R)sinϕ
=0
l 0
l i
oder
n 1 (s 0 + R)
− n 2(s i − R)
=0.
l 0 l i
Es gibt also kein Paar s o ,s i das diese Bedingung für beliebige Wege l o , l i erfüllt. So
geht es also nicht.
• Näherung achsnaher Strahlen
Wir beschränken uns daher auf kleine Winkel ϕ undentwickelndencosinus
Damit erhalten wir
cos ϕ =1− ϕ2
2! + ϕ4
4! ...
∼ 1
l 0 ' p R 2 +(s 0 + R) 2 − 2R(s 0 + R)
' p (R − s 0 − R) 2 = s 0
und entsprechend
l i ' s i .
Aus der Fermatschen Bedingung
n 1 (s 0 + R)
− n 2(s i − R)
=0
s 0 s i
wird jetzt
n 1
+ n 2
= n 2 − n 1
s 0 s i R .
Die Längen l o und l i tauchen nicht mehr explizit auf. Genügen die Objektweite s 0 und
die Bildweite s i dieser Gleichung, erhält man also eine Abbildung, d. h. die optische
Weglänge ist für alle achsnahen Strahlen zwischen s und p gleich.
• Linse
Kombiniert man zwei kugelförmige Grenzflächen erhält man die traditionelle Linse
17

Für die erste Grenzfläche gilt:
n 1
s 0
+ n 2
s i1
= n 2 − n 1
R 1
Für die zweite Grenzfläche beträgt die Objektweite −s i1 + d. Das negative Vorzeichen
kommt daher, dass das Bild links von der ersten Fläche liegt. Daher ist s i1 < 0, was
durch das negative Vorzeichen kompensiert wird. Damit erhält man für die zweite
Grenzfläche
n 2
+ n 1
= n 2 − n 1
.
d − s i1 s i2 R 2
Addiert man die Gleichungen für die beide Grenzflächen, erhält man:
n 1
s 0
+ n 2
s i1
+ n 2
d − s i1
+ n 1
s i2
= n 2 − n 1
R 1
+ n 1 − n 2
R 2
n 1
+ n 1
= n 2 − n 1
+ n 1 − n 2
− n 2
+
s 0 s i2 R 1 R 2 s i1 −d + s i1
n 1
+ n µ
1
1
=(n 2 − n 1 ) − 1
n 2 · d
+
s 0 s i2 R 1 R 2 (s i1 − d)s i1
• Dünne Linsen
Dieser Ausdruck wird durch die wichtige Näherung dünner Linsen stark vereinfacht.
Für d → 0 und in Vakuum mit n 1 ' 1 und n 2 =: n erhält man die so genannte
Linsenmachergleichung :
1
+ 1 µ 1
=(n − 1) − 1
s 0 s i2 R 1 R 2
• Brennweite
Wir führen noch den Begriff der Brennweite ein. Die Brennweite f ist hier einfach die
Abkürzung für die rechte Seite der Gleichung
µ
1
1
f := (n − 1) − 1
,
R 1 R 2
wodurch man die Linsengleichung schreiben kann als:
1
S 0
+ 1 S i
= 1 f
Die anschauliche Bedeutung für die Brennweite ergibt sich, wenn man den Objektpunt
S nach unendlich schiebt: s 0 →−∞.
18
n 2

1
∞ + 1 s i
= 1 f
s i = f.
Die aus dem Unendlichen kommende Strahlen sind offensichtlich parallel. Solche parallelen
Strahlen werden gemäß der Linsenmachergleichung im so genannten Brennpunkt
F gebündelt, der im Abstand der Brennweite f von der Linse entfernt liegt. (Demonstration
mit dem Plexiglasmodell)
1.4 Abbildung von Objekten in paraxialer Näherung.
Bisher haben wir nur einen Objektpunkt S auf der optischen Achse auf den Bildpunkt P
abgebildet. Benachbarte Objektpunkte einer Objektebene, die normal zur optischen Achse
liegt werden auf benachbarte Bildpunkte innerhalb einer Bildebene abgebildet. Dadurch
entsteht in der Bildebene ein Bild, dessen was in der Objektebene leuchtet. Das Abbild
ist in der Regel nicht perfekt sondern durch Abbildungsfehler verzerrt. Die Kunst bei der
Konstruktion guter abbildender Linsensysteme besteht darin solche Fehler möglichst zu minimieren.
Dazu später mehr.
19

• Konstruktion von Bildern.
Die Größe und Lage des Abbilds lässt sich geometrisch konstruieren. Zunächst legt
man die optische Achse fest, die sich aus der Rotationssymmetrie der Linse ergibt. Ein
Objektpunkt, der auf der optischen Achse liegt wird auf einen Bildpunkt abgebildet,
der ebenfalls auf der optischen Achse liegt. Um eine Vorstellung von der Abbildung zu
bekommen wählt man daher ein aussagekräftiges Objekt, z. B. einen Pfeil, der auf der
optischen Achse steht. Um dessen Bild zu konstruieren muss man jetzt nur noch wissen,
wo sich die Lichtstrahlen bündeln, die von der Pfeilspitze ausgehen. Man kennt
aber den Verlauf von mindesten zwei dieser Strahlen. Der eine ist der so genannte
Mittelpunktsstrahl, der durch das Zentrum der Linse geht. An den Schnittpunkten
der beiden Linsenoberflächen mit der optischen Achse sind die zwei planen Tangentialflächen,
die sich an die gekrümmten Obeflächen anschmiegen, gerade parallel. Der
Mittelpunktsstrahl ”sieht” also näherungsweise eine planparallel Glasscheibe und wird
daher nicht abgelenkt. In der Näherung dünner Linsen geht er ohne Versatz ungebrochen
durch die Linse. Der zweite Pfeil ist der Brennpunktstrahl. Objektseitig verläuft
er parallel zur optischen Achse und wird daher von der Linse in den Brennpunkt
gebrochen. Dort wo sich Mittelpunkt- und Brennstrahl treffen muss das Abbild der
Pfeilspitze entstehen. Dort liegt also auch die Bildebene und an deren Schnittpunkt
mit der optischen Achse auch der Pfeilanfang. Ein Linse erzeugt ein an der optischen
Achse punktgespiegeltes Abbild.
(Als Übung kann man sich mal einen Diaprojektor oder einen Overheadprojektor
genauer anschauen)
• Virtuelle Bilder
Neben Sammellinsen gibt es auch Streulinsen mit konkaven Krümmungen. Sie erzuegen
so genannte virtuelle Bilder. Die Strahlen, die von einem Objektpunkt ausgehen,
scheinen auf der Bildseite alle von einem bestimmten Bildpunkt auszugehen, der ebenfalls
auf der Objektseite der Linse liegt. Anders als bei der Sammellinse entsteht kein
reeles Bild, das auf einem Schirm sichtbar wäre, sondern eine scheinbares Objekt, deren
Lage und Größe durch die Linse gegenüber dem Original verändert wird. Wieder lässt
20

sich das Bild geometrisch unter Zuhilfenahme von Brenn- und Mittelpunktsstrahlen
konstruieren. Den Brennpunkt einer Streulinse erhält man wieder aus dem Verhaltenen
von Strahlen, die parallel zur optischen Achse einfallen. Sie werden von der optischen
Achse weg gebrochen, können aber rückwärtig verlängert werden. Der Schnittpunkt
dieser Verlängerung mit der optischen Achse ist der Brennpunkt.
Virtuelle Bilder erhält man auch mit Sammellinsen, wenn das Objekt innerhalb der
Brennweite liegt also s 0

Betrachtet man das rechtwinklige Dreieck links von der Linse so erkennt man, dass der
Winkel ε durch die Länge des Pfeils g und die Brennweite f gegeben ist:
tan ε = g f .
• Objekt im Unendlichen
Umgekehrt kann man das Objekt auch ins Unendliche schieben. Je entfernter das
Objekt ist, umso paralleler treffen dessen Stahlen auf der Linse auf. Die Position der
Objektpunkte macht sich im Winkel ε bemerkbar. Die Strahlen der Pfeilspitze treffen
unter einem anderen Winkel auf der Linse auf wie die Strahlen des Pfeilfußes. Die Größe
des Objekts (z. B. Länge des Pfeils) wird durch den Winkel gegeben, unter dem seine
Randstrahlen auftreffen. Das erkennt man am einfachsten, wenn man das unendlich
weit entfernte Objekt abbildet. Die gestrichelten Linien kommen vom Pfeilfuß, die
durchgezogenen von der Pfeilspitze. Je größer der Winkel ε umso größer ist auch das
Bild b.
Die Größe des Bildes erhält man aus dem Mittelpunktstrahl (selber einzeichenen):
b = f · tan ε ' f · ε
Die Bildgröße b und der Winkel ε sind also proportional.
22

1.5 Lupe und Fernrohr
• Lupe
Bei einer Lupe befindet sich der Gegenstand im Brennpunkt einer Sammellinse. Oben
haben wir gesehen, dass alle Strahlen, die beipielsweise von einer Pfeilspitze im Abstand
g von der optischen Achse ausgehen, dann hinter der Linse parallel sind und mit der
optischen Achse den Winkel ε einschließen, wobei
tan ε = g f .
Das muss man mit dem Winkel vergleichen, den man mit dem unbewaffneten Auge
erreicht
tan ε 0 = g s o
,
wobei s o der kleinste Abstand ist, bei dem man ein Objekt mit bloßem Auge gerade
noch scharf sieht, also etwa s o =15cm. Die Vergrößerung der Lupe ist also durch das
Winkelverhältnis gegeben:
V = ε ∼ tan ε = g/f = s o
ε o tan ε o g/s o f
Eine Vergrößerung von 3 erreicht man also mit einer Linse der Brennweite 5 cm.
• Keppler Fernrohr
Das Kepler-Fernrohr besteht aus zwei Sammellinsen im Abstand d = f 1 + f 2 . Das
Objektiv erzeugt ein reelles Zwischenbild, das man mit dem Okular wie mit einer Lupe
betrachtet. (Strahlengang Übungen). Das Bild wird im Keppler Fernrohr invertiert.
Beim Beobachten von Sternen schadet das nicht. Das Keppler-Fernrohr heißt manchmal
auch Astronomisches Fernrohr.
• Gallilei Fernrohr
Beim Galilei-Fernrohr ist das Okular eine Streulinse deren beobachterseitiger Brennpunkt
mit dem des Objektivs zusammenfällt. Parallel einfallende Strahlen verlassen
das Fernrohr dann auch wieder parallel aber unter einem steileren Winkel relativ zur
optischen Achse. Der links einfallende Brennpunktstrahl des Objektivs verläuft zwischen
den Linsen parallel zur optischen Achse und wird vom Okular von der Achse so
23

weggebrochen, dass die rückwärtige Verlängerung die optische Achse im Brennpunkt
des Okulars schneidet. Einen zweiten Strahl erhält man mit dem Mittelpunktstrahl
des Okulars, den man so wählt, dass er die Brennebene recht vom Okular im Abstand
d schneidet. Dieser Strahl ist dann dort parallel zum ersten Strahl. Am selben Punkt
würde aber auch der erste Strahl die Brennebene schneiden wenn das Okular nicht da
wäre. Strahlen, die die Brennebene im selben Punkt scheiden, müssen aber dann links
von Objektiv parallel sein, was zu zeigen war.
Die Vergrößerung erhält man, wenn man die Winkel ausrechnet:
tan ε 1 = d
f ob
und damit
tan ε 2 = d
f ok
V = ε 2
ε 1
∼ tan ε 2
tan ε 1
= f ob
f ok
.
1.6 ABCD-Matrizen.
• ABCD Formalismus
Für die Berechnung komplizierterer Linsensysteme gibt es einen einfachen Formalismus,
der sogenannte ABCD-Matrizen verwendet. Der Strahl an einem bestimmten Punkt
der optischen Achse wird durch einen Vektor
µ x
~x =
x p
24

eschrieben, dessen erste Komponente den Abstand zur optischen Achse, x, und dessen
zweite Komponente die Steigung x p des Strahls angibt. Ein optisches Element wird
durcheine Matrix beschrieben. Die Matrix für die Ausbreitung über eine Entfernung d
lautet
µ 1 d
M d = .
0 1
Den neuen Strahlvektor erhält man durch
µ µ µ
1 d x x + d · x
p
~x out = M d · ~x in =
0 1 x p =
x p .
Die Steigung bleibt also unverändert und der Achsenabstand wächst um d · x p
• Abstände und Linsen
Im Fall einer Linse beschreibt die Matrix, wie sich der Strahl unmittelbar vor der Linse
in den Strahl unmittelbar nach der Linse umwandelt. Die Matrix lautet
µ 1 0
M f =
− 1 .
1
f
Man erhält dann
µ µ
1 0
xin
~x out =
− 1 ~x
1 in =
− x + x f f in
Der Achsenabstand bleibt unverändert. Die Steigung ändert sich gemäß:
x 0 out = − x in
f + xp in .
Dies entspricht der Linsengleichung was man sieht, wenn man die Strahlen vor und
hinter der Linse so weit verlängert bis sie die optische Ache schneiden.
25

Objektweite s o und Bildweite s i gehorchen den Zusammenhängen
x in
= x p in
s o
und
x in
= −x p
s
out.
i
Aus
x 0 out = − x in
f
+ xp in
wird dann
− x in
= − x in
s i f
+ x in
s o
bzw. die Linsengleichung
1
+ 1 = 1 s i s 0 f ,
was den Ansatz für die Matrix rechtfertigt. Analog kann man weitere Matrizen aufstellen:
Brechung an einer ebenen Fläche
µ 1 0
M B =
0 n 1
n 2
Brechung an einer gekrümmten Fläche mit Radius R
à 1 ³ ´ 0
M R =
n 1
n r −1
1
R
!
n 1
.
n 2
• Zusammengesetzte Systeme
Eine Abfolge optischer Elemente berechnet man, indem man die Matrizen der einzelnen
Elemente in der Reihenfolge ihres Duchlaufens von rechts nach links multipliziert. Ein
dicke Linse z.B. wird durch
~x out = M R2 M d M R1 ~x in
beschrieben.
26

Ein System aus zwei Linsen
führt zur Gleichung
~x out = M f2 M d M f1 ~x in
Übung: Berechne die Vergrößerung des Kepler-Fernrohrs mit Hilfe der ABCD-Methode.
• Brechkraft
Schließlich können wir noch den Begriff der Brechkraft einführen. Die Brechkraft ist der
Kehrwert der Brennweite und hat daher die Einheit 1/m, die in diesem Zusammenhang
auch Dioptrie gennant wird.
D = 1 f
Eine Linse mit 10 cm Brennweite hat also 10 Dioptrien. Brillenträger kennen die
Einheit von ihrem Optiker. Kurzsichtigkeit wird mit Streulinsen korrigiert.
Weitsichtige brauchen Sammellinsen.
• Newtonsche Abbildungsgleichung.
Man kann die Linsengleichung auch noch anders formulieren.
27

Rechts der Linse erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke. Eines oberhalb der optischen
Achse mit den Hypothenusen y o und f sowie eines weiter rechts unterhalb der optischen
Achse mit den Hypothenusen y i und x i . Die Dreiecke sind kongruent und es gilt:
y o
f
y o
|y i |
= |y i|
x i
= f x i
.
Genauso gilt für die entsprechenden Dreiecke auf der linken Seite
Das Produkt beider Ausdrücke
|y i |
= y o
f x 0
|y i |
= f .
y o x 0
y 0
|y i | · |y i|
= f 2
y 0 x i · x 0
führt zur Newtonschen Abbildungsgleichung
x 0 · x i = f 2
Mit dieser Gleichung kann man den Begriff der Vergrößerung noch besser fasssen:
• Transversale und longitudinale Vergrößerung
Die transversale Vergrößerung ist definiert als
M T = y i
y o
28

Mit Newtons Linsengleichung gilt:
M T = x i
f = f x o
Die longitudinale Vergrößerung beschreibt das Verhältnis kleiner Verschiebungen in der
Objektebene dx 0 und der daraus resultierenden Verschiebung in der Bildebene dx i :
M L := dx i
dx o
= − f 2
x 2 o
= −M 2 T
Die linsenzugewandte Seite des Objekts wird zur linsenabgewandten Seite des Bildes!
Bewegt man den Schirm von der Linse weg, so sieht man die näherliegenden Objekte.
1.7 Abbildungsfehler
In der paraxialen Optik wurde genähert sin ϕ ' ϕ und cos ϕ ' 1 wobei ϕ der Winkel
des Strahls zur optischen Achse ist. Nimmt man die nächsten Näherungen mit, also sin
ϕ ' ϕ− 1 6 ϕ3 und cos ϕ ' 1− 1 2 ϕ2 , so erhält man Abweichungen von einer idealen Abbildung,
die so genannten Abbildungsfehler 3. Ordnung. Wir werden die Fehler hier nur kurz
ansprechen ohne sie im Detail zu behandeln.
• Sphärische Aberration.
Achsferne Strahlen schneiden die optische Achse vor dem Brennpunkt.
verschwindet für achsnahe Strahlen quadratisch.
Der Fehler
29

Man unterscheidet die sphärische Längsaberration (L-SA) und die sphärische Queraberration´(T-
SA). Die Kaustik ist die Einhüllende der gebrochenen Strahlen
Parallel einfallende Strahlen werden also nicht in einem Brennpunkt sondern in einem
Brennfleck gebündelt. Er wird kleiner, wenn man den Schirm aus der Brennebene
näher an die Linse heranschiebt. Die optimale Position ist da, wo die Randstrahlen
die Kaustik berührt. Je nach Blendenstellung muss man also die Schärfe nachziehen.
Benutzt man plankonvexe Linsen ist es günstig die plane Seite zum Fokus zu drehen.
Wie bei einem Prisma wird jetzt bei symmetrischerem Strahlengang der Ablenkwinkel
kleiner. Man kann die sphärische Aberration mit einer Miniskuslinse kompensieren.
Im folgenden Spezialfall
30

ist die virtuelle Abbildung von S nach P frei von sphärischer Aberation. Eine praktikableLinsewirddaraus,wennmaninnennocheinenzweitenRadiusR
p anschleift,
durch den die Strahlen ungebrochen S erreichen.
• Weitere Linsenfehler
Fehler 3. Ordnung ist die Koma, der Astigmatismus, die Bildfeldkrümmung, und die
Verzerrung. (Wer genaueres wisssen will schaut im Hecht nach.)
1.8 Pupillen
• Blenden.
Jedes Abbildungssystem ist begrenzt. Betrachtet man z.B. eine einfache CCD-Kamera
so schränkt der Durchmesser des Objektivs die Menge der eintretenden Sichtstrahlen
ein und wirkt wie eine Blende. Diese Blende ist die so genannte Aperturblende. Außerdem
ist der CCD-Chip endlich und wirkt daher ebenfalls wie eine Blende. Sie heißt
Feldblende.
31

Man kann auch eine extra Aperturblende verwenden, um Strahlen auszublenden, die
nicht achsnah sind und damit die Abbildung stören.
• Pupillen
Pupillen sind die Bilder der Blenden. Die Eintrittspupille ist das Bild der Aperturblende
wie sie in der Objektebene gesehen wird. Die Austrittspupille ist das Bild der
Aperturblende wie sie in der Bildebene gesehen wird. Ein- und Austrittspupille am
Beispiel des Keplerfernrohrs
Der Bildrand erzeugt für den Betrachter objektivseitig ein virtuelles Bild. Der Durchmesser
des Bildes ist die Eintrittspupille. Ihre Querschnittsfläche bestimmt die Lichtmenge,
die in das Fernrohr eintritt.
• Blendenzahl
Die Lichtmenge, die vom Objekt auf den Schirm (Film, CCD-chip etc.) gelangt, wird
nicht durch die Aperturblende, sondern durch die Eintrittspupille und deren Fläche
32

estimmt. Sie ist proportional zum Durchmesser D 2 der Pupille. Diese Lichtmenge
verteilt sich auf das Bild, das die Fläche proportional zu yi
2 ausfüllt.
Da
y i = M T · y o = f · y 0 = f · yo ' f,
x o x o
f
ist eine sinnvolle Kennzahl für die Helligkeit des Bildes die Blendenzahl , deren
D
Quadrat invers proportional zur Helligkeit ist. Beispielsweise hat eine Linse mit 25
mm Durchmesser und einer Brennweite 50 mm die Blendenzahl 2. Oft findet man die
Blendenzahl als Quotient der Form 1:(f/D) angegeben. In unserem Beispiel wäre
das 1:2. Eine Kamera mit ”50 mm, 1:1.4” hat also eine Brennweite von 50 mm,
eine Blendzahl von 1,4 und eine Eintrittpupille von D = 50 mm =35, 7mm. Kamerablenden
sind in Stufen eingeteilt, die die Lichtmenge jeweils halbieren. Die Blenden-
1,4
zahlen variieren also in Stufen von √ 2:1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22. Eine Stufe
entspricht also der Verdopplung der Belichtungszeit. Die Objektive von Teleskopen
kann man auch durch Blendenzahlen charakterisieren. Das Yerkes Observatory hat
beispielsweise eine Blendenzahl von 18.9 (f =19, 202m, D =1, 016m), das Mount
Palomar eine Blendenzahl von 3.33 (f =16, 92m, D =5.08m)
1.9 Prismen
werden verwendet um weißes Licht spektral zu zerlegen und um Strahlen abzulenken.
• Ablenkwinkel
Der Ablenkwinkel ist abhängig vom Brechungsindex n(λ) und der wiederum von der
Farbe.
Für einen gegebenen Brechungsindex kann man nach dem Ablenkwinkel δ fragen, also
dem Winkel zwischen Eingangs- und Ausgangsstrahl. Für ein 60 ◦ Prisma bekommt
man qualitativ folgenden Verlauf:
33

Der Winkel kleinster Ablenkung entspricht der symmetrischen Situation:
Das muss auch so sein, da der rückwärtslaufende Strahl ein möglicher Einfallsstrahl
wäre. Wären Eintritts- und Austrittsstrahl nicht gleich, hätte man zwei Winkel kleinster
Ablenkung, was nicht sein kann. Für ein gegebenes α kann man durch Messen
von δ m den Brechungsindex bestimmen
n = sin ((δ m + α)/2)
.
sin α/2)
Es gibt eine Reihe verschiedener Bauformen mit bestimmten Eigenschaften.
• Prismen gleicher Ablenkung
Beim Pellin-Broca-Prisma ist der Ablenkungswinkel für eine bestimmte Wellenlänge
gerade 90 ◦ . Andere Wellenlängen werden mit anderen Winkeln abgelenkt. Durch
Drehen des Prismas in der Zeichenebene kann man für jede gegebene Wellenlänge
einen Ablenkwinkel von 90 ◦ erreichen. Stellt man Quelle und Detektor im Winkel
von 90 ◦ auf, so kann man durch Drehen des Prismas die verschiedenen Wellenlängen
nacheinander in den Detektor lenken.
34

Das Abbe-Prisma hat ebenfalls konstanten Ablenkwinkel
• Achromatische Prismen
Achromatische Prismen lenken alle Wellenlängen gleich ab, d.h. der Ablenkwinkel
δ ist unabhängig von λ. Verschiedene Farben erleiden aber einen unterscheidlichen
Strahlversatz.
Man versteht die Funktionsweise des Prismas, wenn man sich die Spiegelung wegdenkt:
35

Der Durchgang durch dicke Platte ist also ebenfalls achromatisch.
• Dove-Prisma
Dies ist ein interessantes Beipiel für ein Umlenkprisma. Es spiegelt das Bild an
der Horizintalebene. Es dreht das Bild doppelt so schell wie das Prisma um seine
Längsachse gedreht wird. Dasselbe gilt für die Polarisation des Lichts also die Schwingungsebene
der Lichtwelle. (optisches Analogon zum Spin)
• Katzenauge
Schließlich gibt es noch das Corner-Cube-Prisma, das die Form eines diagonal zerschnittenen
Würfels hat. Es schickt das Licht immer zum Absender zurück.
Einhundert dieser Prismen auf einer Fläche von 0.25m 2 wurden von Apollo 11 auf dem
Mond plaziert. Seitdem kann man Laserblitze zum Mond schicken und deren Reflexe
beobachten. Aus Laufzeitmessungen kann man die Entfernung Erde-Mond dadurch
sehr genau bestimmen und deren zeitliche Änderung verfolgen.
36

2. Wellen
Seit Maxwell wissen wir, dass Licht auch als elektromagnetische Welle betrachtet werden
kann. In diesem Kapitel besprechen wir zunächst Wellen als allgemeines Phänomen. Als
Beispiele betrachten wir Seilwellen, Schallwellen, Wasserwellen und schließlich Wellen auf
der Membran einer Trommel. Wellen sind eng verknüpft mit Differentialgleichungen, deren
Lösung sie sind. Neben eindimensionalen ebenen Wellen, betrachten wir die 3D Wellengleichung
und deren Lösung und schließlich die Rolle der Randbedingungen, die zu stehenden
Wellen führen.
2.1 Eindimensionale Wellengleichung
• Wir betrachten zunächst nur eindimensionale skalare Wellen. Ein Beispiel wäre ein
Seil, das vom Balkon hängt und das man am unteren Ende kurz in Bewegung versetzt.
Eine Störung läuft dann mit einer konstanten Geschwindigkeit das Seil entlang.
Diese wellenartige Störung kann man durch eine ”Wellenfunktion” ψ(x, t) fassen, die
für jeden Ort und jede Zeit die Auslenkung des Seils aus der Ruhelage angibt. Die
”Wellenfunktion” ψ(x, t) ist ein reelle skalare Funktion. Sie beschreibt die physikalische
Größe, aus der die Welle besteht. Neben der Seilauslenkung kann dies z.B. auch
der Luftdruck bei Schallwellen, der Wasserpegel bei Wasserwellen oder das elektrische
Feld bei Radiowellen sein. Für eine große Klasse von Wellenphänomen gehorcht die
Wellenfunktion einer linearen Wellengleichung der Form
∂ 2 ψ(x, t)
= 1 ∂ 2 ψ(x, t)
.
∂x 2 v 2 ∂t 2
Die Konstante v wird sich als die Geschwindigkeit herausstellen mit der sich die Welle
bewegt. Diese Gleichung ist linear, d.h. die Wellenfunktion und deren Ableitungen
kommen nur linear vor und nicht etwa in Potenzen oder als Argument in anderen
nichtlinearen Funktionen.
• Allgemeine Lösung:
Jede Funktion der Form
ψ(t, x) =f(x − vt)
ist eine Lösung. Das kann man explizit ausrechenen. Wir betrachten zunächst die
Zeitableitung. Das Produkt der äußeren Ableitung mit der inneren Ableitung ergibt
dψ
dt = d d
f(x − vt) =
dt
· f(x − vt) · (−v)
d(x − vt)
37

Die zweite Ableitung bilden wir analog.
d 2 ψ
dt = d µ
df (x − vt)
· (−v)
2 dt d(x − vt)
µ
d df (x − vt)
=
· (−v) · (−v)
d(x − vt) d(x − vt)
= v 2 d 2
f(x − vt).
d(x − vt)
2
Als Zweites benötigen wir die Ortsableitung:
dψ df (x − vt)
= =
dx dx
d 2 ψ
dx = d
2 dx
df (x − vt)
d(x − vt)
df (x − vt)
d(x − vt) = d 2
· f(x − vt)
d(x − vt)
2
Einsetzen in die Wellengleichung ergibt
d 2 ψ
dx = 1 d 2 ψ
2 v 2 dt , 2
was zu zeigen war. Lösungen erhält man also dadurch, dass man eine beliebige (vernünftige)
reelwertige Funktion f(x) mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Da v in
der Wellengleichung quadratisch auftaucht, ist auch f(x + vt) eine Lösung. Die Welle
kann sich auch nach links d.h. in negative x-Richtung bewegen.
• Superpositionsprinzip:
Aus der Linearität der Wellengleichung folgt, dass Linearkombinationen von Lösungen
wiederum Lösungen sind. Das ist sofort klar, denn die Linearkombination der Lösungen
g und f
h(x ± vt) :=α · g(x ± vt)+β · f(x ± vt)
ist auch eine Funktion mit dem Argument x ± vt und damit eine Lösung. Ableitungen
sind eben lineare Operationen so dass h die Wellengleichung erfüllt:
h 00 = αg 00 + βf 00 = 1 v 2 α¨g + 1 v 2 β ¨f = 1 v 2 (α¨g + β ¨f) = 1 v 2 ḧ.
Wellen überlagern sich also, ohne sich zu beeinflussen
38

2.2 Harmonische Wellen
• Harmonische Wellen
Harmonische Wellen sind ein besonders wichtiger Wellentyp. Sie sind idealisierte periodisch
sich wiederholende Wellen, die weder Anfang noch Ende haben sowohl im Ort
als auch in der Zeit. Trotzdem sind sie sehr anschaulich, da man sich periodische
Vorgänge leicht ins Unendliche fortgesetzt denken kann. Sie nehmen eine Sonderrolle
auch deshalb ein, weil man jedes Wellenphänomen aus harmonischen Wellen zusammensetzen
kann. Schließlich erlauben sie die Definition von Frequenz und Wellenzahl,
Begriffe, die in der Quantenmechanik eine entscheidende Rolle spielen werden. Später
dazu mehr. Zunächst schauen wir uns einzelne harmonischen Wellen genauer an. Sie
haben die Form
ψ(x, t) =A · sin (k(x ± vt)) .
A ist die ”Amplitude” der Welle und k ist die ”Wellenzahl”. Sie hat die Einheit [k] = 1 m .
Dies sind vernünftige Funktionen von x ± vt und damit Lösungen der Wellengleichung.
Üblich ist oft eine andere Schreibweise:
ψ(x, t) =A · sin (kx ± kvt) =A · sin (kx ± ωt)) .
Anstelle der Wellengeschwindigkeit v benutzt man als dritten Parameter neben der
Wellenzahl k und der Amplitude A die ”Kreisfrequenz”
ω := k · v.
Für einen festen Ort erhält man eine zeitliche Schwingung mit einer ”Periode” also der
Zeitdauer zwischen zwei Maxima von
T := 2π ω .
Nach dieser Zeit ist das Argument des sinus um T ω =2π größer geworden und der sinus
auf seinen Startwert zurückgeschwungen. Der Kehrwert der Periode heiß Frequenz
ν := ω 2π
39

Hält man die Zeit fest erhält man einen Schnappschuss der Auslenkung ψ(x, t = const)
an den verschiedenen Orten. Der räumliche Abstand zwischen zwei Maxima ist die
”Wellenlänge”
λ = 2π k .
Die Analogie zur Frequenz wäre der Kehrwert der Wellenlänge 1 , der manchmal in der
λ
Spektroskopie verwendet wird und in ”reziproken Zentimetern”, cm −1 , oder ”Kaiser”
gemessen wird. Statt der Sinus-Funktion kann man auch die Kosinusfunktion benutzen.
Dies entspricht einer Verschiebung des Zeitnullpunktes.
ψ(x, t) = A · sin (kx ± ωt)
³
= A · cos kx ± ωt − π ´
³ ³ 2
= A · cos kx ± ω t − π ´´
2ω
= A · cos (kx ± ω (t − t 0 ))
= A · cos (kx ± ωt 0 ) .
wobei die neue Zeit t0 gegenüber der alten Zeit t um t 0 = π nachgeht. Analog kann
2ω
man auch den Ortsnullpunkt um x 0 = π verschieben. Sinus oder Kosinus ist eine
2k
Frage der Wahl des Nullpunkts und liefert nichts grundsätzlich Neues.
• Phase
Das Argument der Sinus bzw. Kosinus-Funktion heißt ”Phase”:
ϕ = kx ± ωt.
Je nach Wahl der Nullpunkte für Ort und Zeit ist die Phase allerdings für die gleiche
Wellenerscheinung unterschiedlich. Daher meint man mit Phase meist die Differenz
zweier Argumente. Typische Sprechweisen sind: ”In 1 ms hat sich die Phase der Welle
um 2π geändert” oder: ”Über die Dicke des Glasplättchens ändert sich die Phase
40

um π.” Oder: Die beiden Wellen überlagern sich mit einer Phase von π ”. (Analog
8 2
verwendet man die Begriffe Ort und Länge ähnlich intuitiv. Ein Ort von 1m macht
keinen Sinn. Eine Länge von 1m ist die Differenz zweier Orte.).
Die Wellenzahl k ist der Gradient der Phase
d
dx ϕ = d (kx ± ωt) =k.
dx
Sie ist das Maß mit dem sich die Phase mit dem Ort ändert. Entsprechend ist die
Kreisfrequenz die Zeitableitung der Phase.
d
dt ϕ = d (kx ± ωt) =±ω
dx
Sie ist die Rate mit der sich die Phase zeitlich ändert.
• Phasengeschwindigkeit
Die Geschwindigkeit, mit der sich eine harmonische Welle bewegt, nennt man Phasengeschwindigkeit.
Sie lässt sich leicht bestimmen wenn man danach fragt, wie sich
z.B. eine Nullstelle bewegt. Eine Sinuswelle hat eine Nullstelle wenn sein Argument
verschwindet:
k · x ± ωt =0.
Nach dem Ort aufgelöst ergibt die Position der Nullstelle für verschiedene Zeiten.
x = ∓ ω k t
und damit die Geschwindigkeit der Nullstelle.
oder die Phasengeschwindigkeit
v ϕ = dx
dt = ∓ω k
|v ϕ | = ω k
v ϕ = v = c.
• Komplexe Darstellung
Stellt man eine Schachfigur auf einen Plattenteller und beleuchtet sie von der Seite, so
bewegt sich der Schatten der Figur an der Wand gemäß einer Sinusfunktion. Man kann
also eine harmonische Funktion formal auch als die Projektion einer Drehung auffassen.
Dazu beutzt man am besten die komplexen Zahlen. Jede komplexe Zahl kann man
schreiben als Produkt einer Amplitude und einer komplexen Exponentialfunktion.
41

z = |z|·e iϕ z
Diese komplexe Zahl entspricht einem Punkt in der Gaußschen Zahlenebene im Absatnd
|z| vom Ursprung. Ersetzt man das Argument der Exponentialfunktion durch
die Phase der Welle
ϕ z = ϕ = k · x ± ωt,
so bewegt sich der Punkt im Kreis um den Ursprung.
z = |z|·e i(k·x±ωt) .
Die Projektion auf die reele Achse entspricht dem Schattenwurf
Re(z) = Re ¡ |z|·e i(k·x±ωt)¢
= |z| Re ¡ e i(k·x±ωt)¢
= |z| 1 ¡
e i(k·x±ωt) + e −i(k·x±ωt)¢
2
= |z| 1 (cos (k · x ± ωt)+i sin (k · x ± ωt)+cos(k · x ± ωt) − i sin (k · x ± ωt))
2
= |z| cos (k · x ± ωt) .
Die Wellenfunktion einer harmonischen Welle kann man also schreiben als
ψ(x, t) =Re(A · e i(k·x±ωt) ).
Die Amplitude A der Welle kann man jetzt auch komplexwertig zulassen. Neben der
Auslenkung beschreibt sie dann auch eine etwaige Phasenverschiebung um ϕ A :
A · e i(kx−ωt) = |A|·e iϕ A · e
i(k·x±ωt)
= |A|·e i(kx−ωt+ϕ A ) .
42

Der Betrag der komplexen Amplitude ist die Amplitude der Welle und ihre komplexe
Phase ist eine Phasenverschiebung der Welle.
ψ(x, t) =Re(A · e ikx−ωt )=|A|·cos(kx − ωt + ϕ A )
DiekomplexeAmplitudeA = i|A| = |A|e i(π/2) macht z.B. aus einer Kosinuswelle eine
Sinuswelle:
ψ(x, t) = Re(A · e i(k·x±ωt) )
= Re(i|A|·e i(k·x±ωt) )
= Re(|A|e i(π/2) · e i(k·x±ωt) )
= Re(|A|·e i(k·x±ωt+π/2) )
= |A|·cos(kx − ωt + π/2)
= −|A|·sin(kx − ωt)
Durch die Einführung der komplexen Amplitude hat man sowohl Sinus als auch Kosinuswellen
erfasst.
Oft betrachtet man Summen von Wellen. Man macht dabei keinen Fehler, wenn man
zuerst die Summe und dann den Realteil bildet:
2.3 Dreidimensionale Wellen
ψ(x, t) =Re(Ae ia )+Re(Be ib )
= 1 2 (Aeia + Ae −ia )+ 1 2 (Beib + Be −ib )
= 1 2 (Aeia + Be ib + Ae −ia + Be −ib )
=Re(Ae ia + Be ib ).
• Ebene Wellen
Betrachten wir z.B. Schallwellen, so können sich die damit verbundenen Druckstörungen
in alle Richtungen ausbreiten. Man muss also für alle drei Raumkoordinaten x, y, z
angeben, wie hoch der Druck zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Die Ortsvariable wird
eine Vektor. Um Begriffe wie Frequenz und Wellenzahl auch in 3D verwenden zu können
betrachten wir wieder einen bestimmten idealisierten Typ Wellen. Dies sind die
ebenen Wellen.
ψ(~r, t) =A · e i(~ k·~r−ωt) = A · e i(k xx+k y y+k i z−ωt)
Die Wellenzahl wird hier zum ”Wellenvektor”
⎛ ⎞
k x
~ k := ⎝ k y
⎠ .
k z
43

Um die Form einer solchen Welle zu verstehen, betrachten wir die Orte konstanter
Phase. Sie markieren z.B. die Lage der Maxima. Für eine feste Zeit t =0erhält man
Maxima an Orten, für die die Phase ein Vielfaches von 2π ist, also
mit m ∈ N. Das kann man umformen in
~ k · ~rM = m · 2π
| ~ k|·|~r M |·cos ϕ = m · 2π
oder
~r M · cos ϕ = m · 2π
| ~ k|
= konstant
Die Ortsvektoren der Maxima ~r M , sind also Vektoren, deren Projektion auf die Richtung
von ~ k alle denselben Wert haben. Diese Ortsvektoren bilden offenbar eine Ebene
senkrecht zu ~ k. Die Welle breitet sich also als unendliche Ebene senkrecht zu ~ k aus.
Diese Ebenen nennt man manchmal Phasenfronten oder Wellenfronten.
Benachbarte Wellenfronten haben den Abstand
(m +1)· 2π
| ~ k|
− m · 2π
| ~ k|
= 2π
| ~ k| = λ
Die Wellenlänge dieser ebenen Welle ist also
λ := 2π
| ~ k|
44

• Wellengleichung
Die Differentialgleichung für dreidimensionale skalare Wellen lautet
∇ 2 ψ(~r, t) = 1 ∂ 2
ψ(~r, t)
v 2 ∂t2 Der Laplace Operator ist definiert als
µ
∇ 2 ψ(~r, t) :=( ∇ ~ · ~∇)ψ(~r, ∂
2
t) =
∂x + ∂2
2 ∂y + ∂2
ψ(~r, t).
2 ∂z 2
Als Test setzen wir die ebene Wellen in die Wellengleichung ein.
Ableitungen erhält man:
d 2 ψ
dx = 2 −k2 xA · e i(~ k·~r−ωt)
d 2 ψ
dy = 2 −k2 yA · e i(~ k·~r−ωt)
Also
d 2 ψ
dz 2 = −k2 zA · e i(~ k·~r−ωt) .
Für die zweiten
∇ 2 ψ(~r, t) = −kxA 2 · e i(~ k·~r−ωt) − kzA 2 · e i(~ k·~r−ωt) − kyA 2 · e i(~ k·~r−ωt)
= −A ¡ ¢
kx 2 + ky 2 + kz
2 · e
i( ~ k·~r−ωt)
= −A · ~k 2 · e i(~ k·~r−ωt) .
Die zweite Zeitableitung liefert
d 2 ψ
dt 2
= −ω2 A · e i(~ k·~r−ωt)
45

Einsetzen in Wellengleichung:
∇ 2 ψ = 1 ∂ 2
v 2 ∂t ψ 2
−A · ~k 2 · e i(~ k·~r−ωt) = 1 v 2 (−ω2 )A · e i(~ k·~r−ωt)
~ k 2 = ω2
v 2
Die Geschwindigkeit der ebenen Wellen ist wie bei der eindimensionalen Welle
v = ω
¯
¯~k ¯
• Kugel und Zylinderwellen
Schreibt man die Wellengleichung in Kugelkoordinaten, kann man zeigen, dass es auch
kugelförmige Lösungen gibt. Die allgemeine Form lautet:
ψ(r, t) = A f(r ± vt),
r
wobei r = |~r|. Im Abstand r vom Ursprung ist die Wellenfunktion für alle Orte gleich,
d. h. die Wellenfronten bilden Kugelschalen um den Ursprung. Die Amplitude nimmt
mit r −1 also umgekehrt proportional zum Abstand vom Ursprung ab. Entsprechendes
gilt für Zylinderkoordinaten. Die allgemeine Lösung lautet dann:
ψ(r, t) = A √ r
f(r ± vt),
wobei r = √ x 2 + y 2 . Die Wellenfronten liegen auf Zylindern um die z-Achse.
2.4 Beipiele mechanischer Wellen
• Schallwelle
Eine Druckstörung breitet sich im Raum aus. Damit verbunden ist eine Störung der
lokalen Geschwindigkeit der Luftmoleküle. Eine erhöhte Geschwindigkeit führt in der
Nachbarschaft zu einem ”Stau”, der dort wiederum den Druck erhöht etc.
Als Modell einer ebenen Druckwelle betrachten wir ein kleines rechteckiges Volumen
innerhalb der Schallwelle mit der Querschnittfläche S und der Dicke ∆x. Die
Schallwelle breitet sich als ebene Welle in horizontaler Richtung (x-Richtung) aus.Wir
leiten zunächst zwei verschiedene Zusammenhänge für den Druckgradient und die
Geschwindigkeitänderung der Moleküle ab.
46

Die Druckdifferenz zwischen beiden Flächen beschleunigt das Luftvolumen V = S · ∆x
durch die Kraft, die durch eine Druckdifferenz ∆p = p(x + ∆x) − p(x) an den Orten x
und x + ∆x zustande kommt.
F = S · p(x) − S · p(x + ∆x)
= −∆p · S = − dp
dx · ∆x · S
Die Masse des im Volumen eingeschlossenen Gases der Dichte ρ ist
m = ρ · V = ρ · S · ∆x.
Die Beschleunigung des Volumens ist die Ableitung der Geschwindigkeit v des Volumens
nach der Zeit
a = dv
dt .
Wendet man Newtons Bewegungsgleichung auf das Volumen an erhält man
oder
F = m · a
− dp · ∆x · S
dx
= dv
∆x · S · ϕ ·
dt .
dv
dt = − 1 ϕ · dp
dx .
Dies ist die erste Gleichung. Einen zweiten Zusammenhang zwischen p und v erhält
man mit Hilfe der Kompressibilität κ: Ändert sich der Druck, so ändert sich das
Gasvolumen um einen bestimmten Faktor. Die relative Volumenänderung ist proportional
zum Druck:
∆V
V
= −κ · ∆p
47

oder differenziell
dp = − 1 dV
κ V .
Die Volumenänderung kann man durch eine einfache geometrische Überlegung auf
einen Geschwindigleitsgradient dv zurückführen: Bewegen sich die beiden Begrenzungsflächen
verschieden schnell, ist damit folgende Volumenänderung
dx
verbunden
dV = S · dv · ∆x · dt.
dx
Teilt man diese Gleichung durch das Volumen erhält man
dV
V
= 1 V · S · dv · ∆x · dt
dx
= S∆x
V
= dv
dx · dt.
· dv
dx · dt
Zusammen mit der Definition der Kompressbilität bekommt man
dp = − 1 dV
κ V
dp = − 1 dv
κ dx · dt
dp
= − 1 dv
dt κ dx
Dies ist die zweite Gleichung. Beide Gleichungen werden kombiniert, indem man die
erste Gleichung nach dem Ort ableitet,
und die zweite Gleichung nach der Zeit,
d dv
dx dt = −1 ρ
d 2 p
dx , 2
d dp
dt dt = − 1 d dv
κ dt dx .
Eliminiert man die Geschwindigkeitsableitungen erhält man
− 1 d 2
ρ dx = −κ d2 p
2 dt 2
oder
d 2 p
dx = 1 2 v · d2 p
2 dt 2
48

mit
v = 1 √ κ · ρ
.
Helium hat höhere Schallgeschwindigkeit als Luft da die Dichte kleiner ist. Metall hat
ebenfalls höhere Schallgeschwindigkeit als Luft da die Kompressibilität höher ist. In
Metallen muss man κ durch 1 ersetzen wobie E das Elastizitätsmodul ist.
E
• Seilwellen
Entlang eines Seils kompensieren sich die Kraft, die ein kleines Seilstück tangential
entlang des Seils nach links zieht mit der Kraft, die das Seilstück tangential entlang des
Seils nach rechts zieht. Andernfalls würde das Seilstück sich entlang des Seils bewegen
und man bekäme eine longitudinale Druckwelle entlang des Seils. Hier betrachten
wir aber nur transversale Auslenkungen aus der Ruhelage. Die Beträge F der beiden
Kräfte die am Seilstück ziehen sind also gleich, nicht aber die Richtungen. Sie werden
durch die Winkel ϕ und ϕ + dϕ gegeben. Dadurch entsteht eine Kraft quer zum
Seil (in y-Richtung), die einer Auslenkung entgegenwirkt und das Seil in die Ruhelage
zurücktreibt. Für kleine Auslenkungen eines horizontalen Seils kann man die Richtung
der rücktreibenden Kraft näherungsweise als vertikal annehmen also in y-Richtung.
Die Projektion der beiden am Seil ziehenden Kräfte auf die y-Richtung liefert dann
eine Neto-Rückstellkraft von:
F · sin(ϕ + dϕ) − F · sin ϕ
Für kleine Auslenkungen ist sin ϕ ∼ ϕ und man bekommt.
F · (ϕ + dϕ) − F ϕ = F · dϕ.
Diese rücktreibende Kraft wirkt auf die Masse m = ρ · S · dx, wobeiρ die Dichte,
S der Seilquerschnitt und dx sie Länge des Seilstückchens ist. Für die transversale
Beschleunigung erhält man mit der Newtonschen Bewegungsgleichung
F · dϕ = ρ · S · dx · d2 y
dt 2
49

Der Winkel ϕ ist aber auch gegeben durch
Ableiten nach x liefert
tan ϕ = dy
dx ∼ ϕ.
dϕ
dx = d2 y
dx 2
dϕ = d2 y
dx · dx, 2
und Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt
und schließlich:
F · d2 y
dx 2 · dx = ρ · S · dx · d2 y
dt 2 .
d 2 y
dx = 1 d 2 y
2 v
s
2 dt
F
v :=
ρ · S
Für größere Spanungen wächst die Kraft F und damit die Schallgeschwindigkeit (z.B.
Gitarrensaite). Bei schweren Seilen mit großer Dichte oder großem Querschnitt sind
die Wellen langsamer (z.B. Kletterseil).
2.5 Dispersionsrelationen
• Variable Phasengeschwindigkeiten
Bei manchen Wellen ist die Phasengeschwindigkeit nicht konstant sondern hängt von
der Wellenzahl k ab. Wir betrachten als Beispiel Wasserwellen. Bei so genannten
Schwerewellen ist die rücktreibende Kraft die Schwerkraft. Für solche Wellen lautet
die Schallgeschwindigkeit
v = v(k) =r g
k ,
wobei g die Erdbeschleunigung ist und k der Wellenvektor. Die Geschwindigkeit hängt
hier von der Wellenzahl ab. Lange Wellen laufen schneller als kurze. Medien, in denen
harmonische Wellen eine wellenzahlabhängige Geschwindigkeit haben, heißen dispersiv.
Wasser ist offenbar so ein Medium. Dispersive Medien führen zu komplizierteren
Wellengleichungen als die einfache Wellengleichung,vonderwirbisherausgegangen
sind. Entsprechend sind die Lösungen nicht mehr beliebige Funktionen von (x − vt).
Eine wellenzahlabhängiger Geschwindigkeit v(k) macht nur Sinn, wenn die Wellenzahl
50

auch definiert ist. Damit werden bereits harmonische Wellen vorausgesetzt. Dispersive
Medien sind typischerweis immer noch linear, d.h. man kann aus harmonischen Wellen
neue beliebige Wellenformen zusammensetzen. Diese verändern dann aber im Lauf der
Zeit ihre Form. Dazu später mehr.
Dispersion erfasst man mit der Dispersionsrelation v(k). Oftgibtmanaberauchdie
Funktion ω(k) an. Unter Benutzung von
ω = k · v
erhält man in unserem Beispiel
ω(k) = p k · g
Die Kreisfrequenz und die Wellenlänge sind nicht mehr proportional.
Die Funktion ω(k) oder andere äquivalente Formen (ω(v), v(ω) etc.) laufen ebenfalls
unter dem Begriff Dispersionsrelation. Für nicht dispersive Wellen ist die Dispersionsrelation
ω(k) einfach eine Gerade. Das Verhältnis aus ω/k ist für alle Frequenzen
gleich, d.h, alle Wellen sind gleich schnell. Für Schwerewellen mit ω(k) = √ k · g
nimmt die Phasengeschwindigkeit ω für steigende Wellenzahlen k ab. Lange Wellen
k
sind also schneller als kurze. Dieses Verhalten heißt ”Normale Dispersion”. Neben
den Schwerewellen gibt es auch die Kapillarwellen. Besonders bei kurzen Wellenlängen
wird die Oberflächenspannung σ als rücktreibende Kraft wichtiger als die Schwerkraft.
Die entsprechende Theorie liefert für die Phasengeschwindigkeit
v =
r σ
ρ · k
Hier nimmt die Phasengeschwindigkeit mit der Wellenzahl zu. Kurze Wellen sind
schneller als lange. Dies ist die ”anomale Dispersion”. Die Frequenz ist eine positiv
gekümmte Funktion der Wellenzahl.
r r σ σ
ω = v · k =
ρ · k · k = ρ k3/2
51

Licht hat nur im Vakuum eine lineare Dispersionsrelation
ω = v(k) · k = c · k
In Glas zeigt Licht dispersives Verhalten. Die Lichtgeschwindigkeit
v = c n
hängt vom Brechungsindex ab und der ist wellenlängenabhängig (siehe Prisma).
v(k) =
c
n(k)
Im sichtbaren Bereich sind transparente Medien (Luft, Wasser, Glas, Kristalle) normal
dispersiv, d. h. kurze Wellen sind langsamer.
Beispiele werden im Kapitel ”Licht in Materie” genauer betrachtet. Teilchen werden in
der Quantenmechanik ebenfalls durch eine Wellengleichung beschrieben, die allerdings
eine etwas andere Form hat und komplexwertige Wellen als Lösung. Auch hier gibt es
52

eine Dispersionsrelation mit normaler Dispersion.Wie wir später sehen, kann man die
Energie mit der Frequenz verbinden
E = ~ω
und den Impuls des Teilchens mit der Wellenzahl
~p = ~ ~ k.
Für ein freies Teilchen gilt
E = ~p2
2m .
Man erhält also eine quadratische Dispersionsrelation
~ω = ~2 ~ k
2
2m
ω = ~
2m · k2
mit anomaler Dispersion. Zur Interpretation von Wellen und Teilchen später mehr.
2.6 Randbedingungen und Stationäre Wellen
• Reflektion am festen Seilende
Wenn wir Dämpfung ausschließen, muss die Welle am Seilende reflektiert werden. Es
gibt dann auf dem Seil eine Überlagerung von zwei Wellen, der einfallenden und der
reflektierten. Ist das Seilende fest eingespannt, muss die Auslenkung für alle Zeiten Null
sein, d.h. die einfallende und die reflektierte Welle müssen sich dort auslöschen. Die
reflektierte Wellenfunktion läuft der einfallenden Welle entgegen, hat also Kreisfrequenz
mit umgekehrtem Vorzeichen. Für eine einfallende harmonische Welle
ψ inc (x, t) =A sin(kx − ωt)
53

und der reflektierten Welle mit beliebiger Amplitude B und Relativphase ϕ
lautet die Überlagerung
ψ ref (x, t) =B sin(kx + ωt + ϕ)
ψ(x, t) =A sin(kx − ωt)+B sin(kx + ωt + ϕ).
Am Seilende bei x =0solle die Gesamtwelle immer Null sein,
ψ(x =0,t)=A sin(−ωt)+B sin(ωt + ϕ) =0.
Das lässt sich machen, wenn A = B, undϕ =0:
A sin(−ωt)+B sin(ωt + ϕ) =−A sin(ωt)+A sin(ωt) =0.
Die Gesamtwellenfunktion lautet also:
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt))
= A (sin(kx)cos(ωt) − cos(ωt)sin(kx)+sin(kx)cos(ωt)+cos(ωt)sin(kx))
= 2A sin(kx)cos(ωt).
Orts- und zeitabhängiger Teil faktorisieren. Der ortsabhängige Teil hat bei x =0einen
Knoten aber es gibt keine Einschränkung für die Wellenzahl oder die Wellenlänge.
• Reflektion am offenen Seilende.
Das Seilende oszilliert in der Zeit mit maximaler Amplitude und hat daher dort einen
Bauch. Im Bauch verschwindet die Ableitung der Wellenfunktion
d
ψ(x =0,t)=0.
dx
Wir verwenden den selben Ansatz wie oben,
d
d
ψ(x, t) = A sin(kx − ωt)+B sin(kx + ωt + ϕ)
dx dx
= kA cos(kx − ωt)+kB cos(kx + ωt + ϕ),
54

und setzten die Ableitung für x =0Null:
kA cos(−ωt)+kB cos(ωt + ϕ) = 0
A cos(ωt)+B cos(ωt + ϕ) = 0
was mit A = −B und ϕ =0erfüllt wird. Damit lautet die Gesamtwellenfunktion
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt) − sin(kx + ωt))
= A (sin(kx)cos(ωt) − sin(ωt)cos(kx) − (sin(kx)cos(ωt)+sin(ωt)cos(kx)))
= −2A cos(kx)sin(ωt).
Die Lösung faktorisiert ebenfalls.
• Endliche Seillänge und Spektrum
Bei endlichen Seillängen muss man beide Enden behandeln. Bei zwei festen Enden
müssen dort Knoten sein. Man nimmt also die Lösung für ein Seil mit einem festen
Ende
ψ(x, t) =2A sin(kx)cos(ωt)
und fordert, dass auch am anderen Ende des Seils bei x = L ein Knoten sitzt:
ψ(x = L, t) =0=2A sin(kL)cos(ωt)
sin(kL) = 0
kL = nπ
wobei n eine natürliche Zahl ist. Diesmal kann es nur bestimmte Werte für k geben
k n = n · π
L .
Mit Hilfe der Schallgeschwindigkeit v = ω/k erhält man die Frequenz, mit der das Seil
oderdieSaiteeinesMusikinstrumentsschwingt.
ω n = n · ω 0
55

wobei die Grundfrequenz ω 0 definiert ist als
v
ω 0 := 2π ·
2L .
Aus der gemessenen Länge einer Saite für den Kammerton a =440Hz kann man z.B.
die Schallgeschwindigkeit der Saite bestimmen. Man trägt oft die möglichen Frequenzen
entlang eines vertikalen Zahlenstrahls auf und nennt das dann das Spektrum der
Wellen:
Für zwei offene Enden erhält man analog
ψ(x = L, t) =0=−2A cos(kL)sin(ωt)
cos(kL) = 0
kL = nπ + π/2.
Das ergibt dasselben Spektrum wie zwei offene Enden jedoch um eine halbe Grundfrequenz
zu tieferen Frequenzen hin vergeschoben. Blasinstrumente und Orgelpfeifen
haben ein offenes und ein festes Ende. Das Spektrum rechnet sich leicht als Übung.
56

• Laufende Wellen und Stehende Wellen.
So wie sich laufende Wellen zu stehenden Wellen überlagern (siehe oben), so können
sich auch zwei stehende Wellen zu laufenden Wellen überlagern:
ψ(x, t) = A sin(kx)cos(ωt)+B cos(kx)sin(ωt)
= A 2 (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt)) + B 2
(sin(kx + ωt) − sin(kx − ωt))
Mit A = B erhält man eine linkslaufende Welle
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt)+sin(kx + ωt) − sin(kx − ωt))
2
= A sin(kx + ωt)
und mit A = −B eine rechtslaufende Welle.
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt) − sin(kx + ωt)+sin(kx − ωt))
2
= A sin(kx − ωt).
Bei einem Seil mit festen oder losen Ende erhält man Stehwellen mit entweder B =0
(Bauch am Ende bei x =0)oderA =0(Knoten am Ende bei x =0). Laufende
Wellen können daher als stationäre Lösung auf einem Seilstück nicht existieren. Bei
laufenden Pulsen muss man stationäre Lösungen mit verschiedenen Frequenzen überlagern.
Damit lassen sich dann beliebige laufende Wellen erzeugen. Sie haben dann
aber keine festgelegte Frequenz mehr (später dazu mehr). Wie sieht die Sache für eine
Seilschleife aus, also einen Ring bei dem Anfang und Ende verbunden sind? Hier gibt
es zwar auch nur eine abzählbare Menge von Lösungen mit äquidistantem Spektrum.
Sie können aber sowohl zu laufenden als auch zu stehenden Wellen kombiniert werden.
(als Übung).
• Separationsansatz.
Allgemeine Lösungen der Wellengleichung erhält man durch einen Separationsansatz
für die Wellenfunktion,
ψ(x, t) =u(x)χ(t).
mit den komplexwertigen Funktionen u(r) für den ortsabhänigen und κ(t) für den
zeitabhängigen Teil der Wellenfunktion. Setzt man den Ansatz in die Wellengleichung
∂ 2 ψ(x, t)
= 1 ∂ 2 ψ(x, t)
∂x 2 v 2 ∂t 2
ein und dividiert dann durch u(x)χ(t) erhält man
χ(t) ∂2 u(x)
= 1 χ(t)
∂x 2 v 2 u(x)∂2 ∂t 2
1 ∂ 2 u(x)
= 1 1 ∂ 2 χ(t)
.
u(x) ∂x 2 v 2 χ(t) ∂t 2
57

Der linke Teil hängt nur vom Ort und der rechte Teil nur von der Zeit ab. Die Gleichung
lässt sich für alle Orte und alle Zeiten nur erfüllen, wenn beide Teile konstant sind.
Wir nennen die Konstante E und erhalten die beiden Gleichungen:
1 ∂ 2 u(x)
= E
u(x) ∂x 2 = E.
1 1 ∂ 2 χ(t)
v 2 χ(t) ∂t 2
Die erste Gleichung
∂ 2 u(x)
= Eu(x)
∂x 2
nennt man stationäre Wellengleichung. Die Lösungen heißen stationäre Lösungen und
haben die allgemeine Form
wobei
u(x) =Ae ikx + Be −ikx ,
k 2 := −E.
Die zweite Gleichung beschreibt die Zeitabhängigkeit und hat die allgemeine Lösung
mit
oder:
χ(t) =αe iωt + βe −iωt .
ω 2 : = −Ev 2 = k 2 v 2
|ω| : = |v||k| ,
|ω| := |v||k| .
Frequenz und Wellenzahl hängen also wie gehabt über die Schallgeschwindigkeit v
zusammen, können aber beliebige Vorzeichen haben. Je nach Wahl der Koeffizienten
A,B, α und β kann die Lösung
eine Stehwelle sein (z.B. A = B = α = β)
ψ(x, t) = ¡ Ae ikx + Be −ikx¢¡ αe iωt + βe −iωt¢ ,
ψ(x, t) =A ¡ e ikx + e −ikx¢¡ e iωt + e −iωt¢ =4A cos(kx)cos(ωt),
oder eine laufende Welle (z.B. B =0und β =0)
ψ(x, t) =Ae ikx αe iωt = Ae ikx+ωt .
58

• Trommel
Schließlich betrachten wir noch eine Membran, die in einen kreisförmigen Rahmen
eingespannt ist. Wenn wir annehmen, dass die Membran gleichmäßig gespannt ist und
die Schallgeschwindigkeit in alle Richtungen gleich ist, können wir die Wellengleichung
auf zwei Dimensionen erweitern.
∂ 2 ψ(x, y, t)
+ ∂2 ψ(x, y, t)
= 1 ∂ 2 ψ(x, y, t)
∂x 2 ∂y 2 v 2 ∂t 2
Wir machen wieder den Separationsansatz
ψ(x, y, t) =u(x, y)χ(t)
und erhalten die Stationäre Wellengleichung
∂ 2 u(x, y)
+ ∂2 u(x, y)
= E · u(x, y).
∂x 2 ∂y 2
Die Zeitabhänigkeit und damit die Frequenz ist wie oben durch die Konstante E
gegeben ω 2 := −Ev 2 , die wir erst kennen wenn wir die stationäre Gleichung gelöst
haben. Aufgrund der kreisförmigen Symmetrie des Problems benutzen wir Polarkoordinaten
x = r cos(ϕ)
y = r sin(ϕ).
Der 2D Laplace-Operator lautet in Polarkoordinaten
∂ 2 u(x, y)
+ ∂2 u(x, y)
= ∂2
∂x 2 ∂y 2 ∂r + 1 ∂
2 r ∂r + 1 ∂ 2
r 2 ∂ϕ , 2
was die Wellengleichung jetzt so aussehen lässt
µ ∂
2
∂r + 1 ∂
2 r ∂r + 1
∂ 2
u(r, ϕ) =E · u(r, ϕ).
r 2 ∂ϕ 2
Wir suchen Lösungen bei denen Winkel und Radius separieren als vom Typ
u(r, ϕ) =R(r)Ψ(ϕ)
und spielen dasselbe Spiel wie bei der Zeitseparation.
µ
∂
2
Ψ(ϕ)
∂r R(r)+1 ∂
2 r ∂r R(r) + R(r) 1 ∂ 2
Ψ(ϕ) = E · R(r)Ψ(ϕ)
r 2 ∂ϕ2 1
µr 2 ∂2
R(r) ∂r R(r)+r ∂
2 ∂r R(r) + 1 ∂ 2
Ψ(ϕ) = Er2
Ψ(ϕ) ∂ϕ2 1
µr 2 ∂2
R(r) ∂r R(r)+r ∂
2 ∂r R(r) − Er 2 = − 1 ∂ 2
Ψ(ϕ) =m2
Ψ(ϕ) ∂ϕ2 59

wobei m 2 eine Konstante ist. Für den Winkel erhält man die DGL
mit der Lösung
∂ 2
∂ϕ 2 Ψ(ϕ) =−m2 Ψ(ϕ)
Ψ(ϕ) =Ψ 0 e imϕ .
Da die Lösung periodisch bezüglich eines Umlaufs sein muss gilt
Ψ(ϕ +2π) = Ψ(ϕ)
Ψ 0 e im(ϕ+2π) = Ψ 0 e imϕ
e im·2π = 1
m · 2π = q · 2π
wobei q eine ganze Zahl ist. Damit ist auch m eine ganze Zahl. Es bleibt noch die
Radialgleichung
1
µr 2 ∂2
R(r) ∂r R(r)+r ∂
2 ∂r R(r) − Er 2 = m 2
µ
∂ 2
∂r R(r)+1 ∂
2 r ∂r R(r)+ −E − m2
R(r) = 0
r 2
Mit der Substitution
und
k 2 := −E,
z := kr
R(r) =R(z/k) =:Z(z)
erhält man die Besselsche Differentialgleichung
∙ ∂
2
∂z + 1 µ ¸
∂
2 z ∂z + 1 − m2
Z
z 2 m (z) =0
Die Lösungen dieser Gleichung sind die Besselfunktionen.
Z m (z) =J |m| (kr)
Man kann sie nicht als geschlossenen Ausdruck hinschreiben, sie sind aber tabelliert
und man kann sie plotten.
60

Die Besselfunktionen sind oszillierende Funktionen mit jeweils unendlich vielen Nullstellen.
(siehe auch http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html)
DiemöglichenWertefürk ergeben sich aus der Randbedingung, wonach die Wellenfunktion
am Trommelrand verschwinden muss.
J |m| (kR) =0
Die Nullstellen der m-ten Besselfunktion kann man abzählen und mit n indizieren. Die
möglichen Werte von k und damit die möglichen Frequenzen der Trommeltöne sind
also mit zwei Indizes, n und m, gekennzeichnet
Die Gesamtlösung lautet jetzt
k = k n,m
ω n,m = v · k n,m .
ψ n,m (r, ϕ,t)=A · J |m| (k n,m r) · e imϕ · e iω n,mt .
Dies sind die stationären Lösungen der Trommel. Das Auslenkungsmuster der Membran
ist der Realteil der Wellenfunktion
Re(ψ n,m (r, ϕ,t)) = A · J |m| (k n,m r) · cos mϕ · cos ω n,m t
Je nach dem, wo der Trommler das Fell auslenkt, entstehen nur Töne, die dort keinen
Knoten haben. (Simulation)
61

3. Lichtwellen
Licht kann als elektromagnetische Welle interpretiert werden. Die dazugehörige Wellengleichung
lässt sich aus den Maxwellgleichungen ableiten. Sie beschreibt dreidimensionale
Lichtwellen und hat eine Vektorstruktur, d.h. die Wellenfunktion ist ein Vektor. Wir betrachten
außerdem die Intensität und die Lösungen an einer Grenzfläche. Man erhält die
Fresnellschen Formeln für die Stärke der Reflektion und der Transmission an einer Grenzfläche.
3.1 Wellengleichung für elektromagnetische Wellen
• Die Maxwellgleichungen lauten
~∇ · ~E = 1 ε 0
· ρ
~∇ × ~ E = − d dt ~ B
~∇ · ~B =0
~∇ × ~B = µ 0 · ~j + µ 0 · ε 0 · d E
dt ~
Die Felder B, ~ E, ~ sowie die Ladungsdichte ρ und die Stromdichte ~j sind reelwertige
orts- und zeitabhängige Funktionen. Die Konstante ε 0 =8.8542 × 10 −12 As/V m ist die
Influenzkonstante und µ 0 =1.2566 × 10 −6 Vs/Amist die Induktionskonstante.
• Nablakalkül zur Wiederholung.
Die Divergenz eines Vektors ~A ist ein Skalar:
⎛
~∇ · ~A := ⎝
∂/∂x
∂/∂y
∂/∂z
⎞
⎛
⎠ · ⎝
A x
A y
A z
⎞
⎠
= ∂A x
∂x + ∂A y
∂y + ∂A z
∂z
Die Rotation eines Vektors ~A ist ein Vektor:
⎛ ⎞ ⎛
∂/∂x A x
~∇ × ~A := ⎝ ∂/∂y ⎠ × ⎝ A y
∂/∂z A z
⎞
⎠ =
⎛
⎜
⎝
∂A y
∂z
∂A z
∂x
∂A x
∂y
− ∂A z
∂y
− ∂A x
∂z
− ∂A y
∂x
⎞
⎟
⎠ .
Außerdem kann man ausrechnen, dass für einen beliebigen Vektor ~A
~∇ × (~∇ × ~A) =~∇(~∇ · ~A) −∇ 2 ~A,
62

wobei ∇ 2 A ~ ein Vektor ist:
µ
∂
∇ 2 2
~A := (~∇ · ~∇) ~A =
∂x + ∂2
2 ∂y + ∂2 ~A.
2 ∂z 2
Den Operator ∇ 2 kann man auch auf einen Skalar anwenden:
∇ 2 ist der so genannte Laplace-Operator.
∇ 2 φ = ∂2 φ
∂x 2 + ∂2 φ
∂y 2 + ∂2 φ
∂z 2 .
• Gleichung für das Magnetfeld ~B
Die Maxwellgleichungen lassen sich folgendermaßen umformen:
Wir bilden die Rotation der 4. Gleichung:
~∇ × (~∇ × ~B) =~∇(~∇ · ~B) − ~∇ 2 ~B = µ 0 · ~∇ ×~j + µ 0 ε 0
~∇ × d dt ~ E
Unter Verwendung von
und
erhält man
~∇ · ~B =0
~∇ × ~E = − d dt ~ B
−∇ 2 ~B = µ 0
~∇ × ~j − µ 0 ε 0
d 2
dt 2 ~ B
• Gleichung für das elektrische Feld E ~
Ganz analog erhält man durch Rotation der 3. Gleichung
also:
~∇ × (~∇ × ~E) = −~∇ × d dt ~ B
~∇( ~ ∇ · ~E) − ~ ∇ 2 ~ E =
d
dt (µ 0 · *
j + µ 0 ε 0 · d
dt ~ E)
−∇ 2 ~ E = −µ0 · ε 0 · d2
dt 2 ~ E − µ · d
dt ~ j − 1 ε 0
~ ∇ϕ
• Behandlung der Quellen
Wir nehmen an, dass das Ohmschen Gesetzes gültig ist (σ ist die Leistfähigkeit)
~j = σ · ~E
63

und dass die Ladungsträgerdichte homogen ist:
~∇ρ =0.
Dies gilt im Vakuum aber nicht zwangsläufig auch in Materie. Die Gleichungen vereinfachen
sich zu
∇ 2 ~ B = −µ0 σ · ~∇ × ~ E + µ 0 ε 0
d 2
dt 2 ~ B
und unter nochmaliger Verwendung der zweiten Maxwellgleichungerhält man
∇ 2 ~B = µ 0 σ d B
dt ~ d 2
+ µ 0 ε 0 B.
dt ~ 2
Für das elektrische Feld erhält man analog:
• Skalare Wellengleichung im Vakuum
∇ 2 E ~ = µ0 σ d E
dt ~ d 2
+ µ 0 ε 0 E.
dt ~ 2
Im Vakuum ist die Leitfähigkeit σ =0und man erhält für die 3 Komponenten von ~E
die drei Gleichungen:
d 2 E i
dx 2
+ d2 E i
dy 2
+ d2 E i
dz 2
= µ 0ε 0
d 2 E i
dt 2
mit i = x, y, z. Dieselben drei Gleichungen erhält man für die 3 Komponenten von * B.
Jede Komponente der beiden Felder erfüllt also eine Gleichung der Form:
∂ 2 ψ
∂x + ∂2 ψ
2 ∂y + ∂2 ψ
2 ∂z = µ ∂ 2
0ε 2 0
∂t ψ 2
Allerdings sind nicht alle Komponenten unabhängig von einander. Die Maxwellgleichungen
erzwingen eine bestimmte Vektorstruktur, die wir später besprechen. Zunächst
betrachten wir lediglich die skalare Wellennatur der Maxwelltheorie, also die Lösungen
ψ der skalaren Wellengleichung.
• Eindimensionale Wellengleichung
Die 3D-Wellengleichung reduziert sich zur 1D-Wellengleichung, wenn man den Spezialfall
ebener Wellen betrachtet. Für ebene Wellen, also Wellen mit unendlich ausgedehnten
planen Wellenfronten, ändert sich das Feld innerhalb einer Front nicht. Die Lösung
hängt also nur von einer Raumrichtung ab. Liegen die Wellenfromten in der y-z-Ebene
ist das Feld ψ unabhängig von y und z und die skalare Wellengleichung reduziert sich
zu.
∂ 2 ψ
∂x = 1 ∂ 2
2 v 2 ∂t ψ. 2
64

Die Konstante
v :=
1
√
µ0 · ε 0
= c =299792, 458 km/s ˜ 3× 10 8 m/s
ist die Geschwindigkeit mit der sich die Wellenfronten bewegen. Im Vakuum ist das
die Geschwindigkeit, die in das Fermatsche Prinzip der geometrischen Optik eingeht.
Im Medium änder sich die Lichtgeschwindigkeit und beträgt
v =
1
√
µ0 · ε 0 · µ · ε =
c √ µ · ε
.
Die elektrische Suzteptibilität ε und die magnetische Permeabilität µ sind dimensionslose
Konstanten, die angeben um wie viel größer die Kapazität einer Ladungsverteilung
und die Induktivität einer Stromverteilung im Medium ist als im Vakuum. Der Vergleich
mit
v = c n
liefert den Brechungsindex
n = √ µ · ε.
(Achtung: Die elektrische Suzteptibilität ε und die magnetische Permeabilität µ werden
im Buch von E. Hecht mit K e und K m bezeichnet. Die Symbole ε und µ bezeichnen
bei Hecht das Produkt K e ε 0 und K m µ 0 , sind daher nicht dimensionslos sondern heben
dieselbe Einheit wie µ 0 bzw. ε 0 .)
• Vektorstruktur der elektromagnetischen Wellen
Die drei Komponenten des E-Feldes sowie die drei Komponenten des B-Feldes gehorchen
je einer 3D-Wellengleichung. Diese 6 Größen sind aber nicht unabhängig. Ebene Wellen
sind transversal, d.h. sowohl der elektrische also auch der magnetische Feldstärkevektor
hat keine Komponente in Ausbreitungsrichtung. Dies ergibt sich aus den Maxwellgleichungen
wenn man die Ansätze für ebene Wellen
~E = ~ E 0 · e i(~ k·~r−ωt)
~B = ~ B 0 · e i(~ k·~r−ωt)
in die Maxwellgleichung
einsetzt. Mit
und
~∇ × ~E = − d dt ~ B
~∇ × ~E = i ~ k × ~E 0 · e i(~ k·~r−ωt)
d
dt ~ B = −iω · ~B 0 · e i(~ k·~r−ωt)
65

ergibt sich dann
~ k × E0 ~ · e i(~ k·~r−ωt)
= ω · ~B 0 · e i(~ k·~r−ωt)
~ k
| ~ k| × ~E 0 = ω
|k| · ~B 0 .
Mit dem Einheitsvektor in k-Richtung ˆk schreibt sich das Ergebnis kompakter:
ˆk × ~ E 0 = c · ~B 0 .
~B steht senkrecht zu E ~ und ~ k. DieFrontenebenerWellenstehensenkrechtzum ~ k-
Vektor, der somit die Ausbreitungsrichtung vorgibt. Dass auch E ~ und ~ k senkrecht
zueinander stehen, ergibt sich durch einsetzen der ebenen Wellen in die Rotation von
~B:
~∇ × ~B = 1 c · d E.
2 dt ~
Man erhält analog zu oben
~ k
| ~ k| × ~B 0 = − 1
|k|
ˆk × ~B 0 = − 1 c ~ E 0 .
ω
E
c ~ 2 0
~E steht also senkrecht auf ~ B und ~ k. Für die Feldbeträge gilt
| ~ E| = c ·| ~ B|
In SI-Einheiten ist das E-Feld c-mal stärker als das B-Feld. Die Amplituden ~ E 0 und
~B 0 sind beide reel und haben dasselbe Vorzeichen. E-Feld und B-Feld schwingen also
synchron in Phase. An einem bestimmten Ort gibt es also Zeitpunkte an denen beide
Felder gleichzeitig verschwinden. Die Energie verschwindet dann ebenfalls und ist zu
den Stellen gewandert, an denen die Felder zu diesem Zeitpunkt nicht verschwunden
sind. In der Nähe von Materie also z.B. im Nahfeld einer Antenne kann das anders sein.
Dort schwingen E-Feld und B-Feld um 90 ◦ phasenversetzt zueinander. Im Fernfeld
verschwindet die Phasenverschiebung aber dann. Überlagert man zwei laufende Wellen
zu einer Stehwelle schwingen die beiden Felder zeitlich um 90 ◦ phasenversetzt (als
Übung). Wären die Felder immer noch noch synchron, so gäbe es Zeitpunkte, an denen
E- und B-Stehwelle gleichzeitig an allen Orten verschwinden. Die Gesamtenergie wäre
dann nicht mehr erhalten sondern würde zeitlich oszillieren, was im Widerspruch zur
Energieerhaltung steht.
66

3.2 Fresnellsche Gleichungen für die Felder
• Reflektierte und transmittierte Felder.
Die geometrische Optik ist nicht in der Lage die Stärke des transmittierten und reflektierten
Lichts an einer Grenzfläche zu berechnen. Dazu benötigt man die Wellentheorie
des Lichts. Tatsächlich liefern die Maxwellgleichungen nicht nur das Snellius-
Gesetz sondern auch die Stärken der reflektierten und transmittierten Felder und deren
Phasenbeziehungen. Daraus lassen sich dann die Lichtintensitäten berechnen. Bevor
wir die entsprechenden Ausdrücke ableiten schauen wir uns die Ergebnisse an. Wir betrachten
zunächst nur ein linear polarisiertes Licht also Licht dessen elektrisches Feld
in einer Ebene schwingt und das am optisch dichteren Medium reflektiert wird. Wir
müssen zunächst festlegen, wie diese Schwingungsebene relativ zur Grenzfläche orientiert
ist. Üblicherweise verwendet man dazu die Einfallsebene, also die Ebene, in der
die k-Vektoren des einfallenden, des reflektierten und des transmittierten Lichts liegen.
Man kann zwei Fälle unterscheiden.
a) Schwingungsebene des E-Feldes liegt parallel zur Grenzschicht und damit senkrecht
zur Einfallebene. Der Reflektionskoeffizient und Transmissionskoeffizient für die elektrische
Feldstärke ist dann
E r
E i
= r ⊥ = n i cos θ i − n t cos θ t
n i cos θ i + n t cos θ t
E t
E i
= t ⊥ =
2n i cos θ i
n i cos θ i + n t cos θ t
.
67

) Schwingungsebene des E-Feldes liegt senkrecht zur Grenzschicht und damit parallel
zur Einfallsebene. Der Reflektionskoeffizient und Transmissionskoeffizient für die
elektrische Feldstärke ist dann
E r
= r k = n t · cos θ i − n i · cos θ t
E i n t · cos θ i + n i · cos θ t
E t
2n i cos θ i
= t k =
E i n i · cos θ t + n t · cos θ i
Die Koeffizienten kann man in einem Diagramm zeichnen. Für Glas mit einem Brechungsindex
von n =1.5 sieht das so aus:
68

Die Transmissionskoeffizienten starten für senkrechten Einfall beim gleichen Wert und
sinken dann mit zunehmenden Einfallswinkel um bei 90 ◦ zu verschwinden. Die Vorzeichen
von r ⊥ und t ⊥ beziehen sich auf die Orientierungen der Feldvektoren wie in der
Zeichnung. Für r ⊥ > 0 z.B. bleibt die Orientierung von ~ E r gegenüber ~ E in erhalten
wohingegen für r k > 0 die Orientierung von ~E r wechselt.
• Senkrechter Einfall
Für senkrechten Einfall auf ein optisch dichteres Medium, also n t >n i und θ i = θ t =0
vereinfachen sich die Gleichungen zu
r k = n t − n i
n i + n t
t k = 2n i
n i + n t
r ⊥ = n i − n t
t ⊥ = 2n i
.
n i + n t n i + n t
Bei senkrechtem Einfall macht eine Unterscheidung der beiden Einfallsebenen keinen
Sinn, da die Einfallsebene nicht mehr definiert ist. Die Koeffizienten werden daher
identisch bis auf das unterschiedliche Vorzeichen zwischen r k und r ⊥ , das durch die
Definition der E-Felder in beiden Fällen entsteht (siehe Zeichnung). In beiden Fällen
entsteht bei bei Reflexion am dichten Medium ein Phasensprung von π (Seilanalogie:
fixes Seilende). Das transmittierte Licht durchläuft die Grenzfläche ohne Phasensprung.
Da r ⊥ + t ⊥ 6=1ist die Gesamtstärke der beiden auslaufenden Felder nicht
gleich der Stärke des einlaufenden Feld, d.h. es gibt hier keinen Erhaltungssatz für
Felder! Wie wir später sehen, sind die Intensitäten allerdings erhalten.
69

• Phasensprung und Zeitumkehrinvarianz
Der Phasensprung bei Reflexion am optisch dichteren Medium ist prinzipieller Natur
und gilt für beliebige Einfallswinkel. Er ist Folge der Zeitumkehrinvarianz. In einfachen
Worten kann man diese Forderung so ausdrücken: Filmt man einen physikalischen
Vorgang und betrachtet dann den rückwärtslaufenden Film, muss das, was man da
sieht immer noch ein physikalisch möglicher Vorgang sein, also den Naturgesetzen
gehorchen.
Wir betrachten eine einlaufende Welle, die an einer Grenzschicht reflektiert wird.
Die Pfeile markieren die Ausbreitungsrichtung, die Symbole sind die Feldamplituden.
Filmt man den Vorgang und spult den Film rückwärts ab so erhält man zwei einlaufende
Wellen, die sich zu einer auslaufenden vereinen.
Gemäß dem Prinzip der Zeitumkehrvarianz muss der rückwärtslaufende Film einen
physikalisch möglichen Vorgang zeigen. Wenn also nach unten kein Licht austritt dann
müssen sich die Felder, die sich nach unten ausbreiten wegheben:
r 0 E t + t 0 E r =0
Die gestrichenen Größen r 0 und t 0 beziehen sich auf die Reflektion am optisch dünneren
Medium. Da
E r = r · E in
und
E t = t · E in
70

folgt
r 0 t · E in + t 0 r · E in = 0
r 0 · t = −t 0 · r
r 0 · t
t 0 = −r
Das im rückwärtlaufenden Film nach links austretende Feld setzt sich ebenfalls aus
den beiden im rückwärtslaufenden Film einfallenden Feldern zusammen:
E in = t 0 · E t + r · E r
E in = t 0 · t · E in + r · r · E in
t · t 0 = 1− r 2
Da r

Man kann Snellius-Gesetz und Fresnellgleichungen kombinieren und erhält
tan(θ B )= n t
n i
Einfallendes Licht, mit beiden Schwingungskomponenten kann polarisiert werden. Im
Brewsterwinkel θ B ist das reflektierte Licht parallel zur Einfallsebene polarisiert (orientiert).
• Phasensprung und Brewsterwinkel
Dass der Reflektionskoeffizient einen Nulldurchgang machen muss, ergibt sich notwendig
auch aus dem Phasensprung bei Reflektion am optisch dichten Medium: Wenn bei
senkrechtem Einfall ~E i und ~E r antiparallel stehen, geht ihr Relativwinkel mit wachsendem
Einfallswinkel von 180 ◦ nach 0 ◦ über, so dass sie bei streifendem Einfall parallel
stehen und der Phasensprung verschwunden wäre. Tatsächlich verschwindet das Feld
aber, um mit umgekehrten Vorzeichen wieder aufzutauchen. So bleibt der Phasenspung
von 180 ◦ immer erhalten.
• Reflexion am dünneren Medium
Für n i >n t erhält man die Kurven:
Der Brewsterwinkel θ B ist jetzt kleiner und es taucht bei θ c Totalreflektion auf. Bei
diesem Winkel wird θ t = π/2 und damit
r k = n t · cos θ i − n i · cos π 2
n i · cos π 2 + n t cos θ i
=1
72

Ebenso wird
r ⊥ = n i cos θ i − n t cos π/2
n i cos θ i + n t cos π/2 = cos θ i
=1
cos θ i
Der dazu gehörige Einfallswinkel ergibt sich aus dem Snelliusschen Gesetz für θ t = π/2,
also
sin θ i
sin π/2 = n t
n i
was zum Totalreflektionswinkel führt:
sin θ i = n t
n i
• Phase bei Totalreflektion
Für θ i > θ c wird der Reflektionskoeffizient eins, es ändert sich jedoch die Phase des reflektierten
Lichts. Sie berechnet sich aus den Reflektionskoeffizienten, die oberhalb des
kritischen Winkels für Totalreflektion komplex werden. Ein komplexer Reflektionskoeffizient
führt zu einer komplexen Amplitude der reflektierten Welle, deren Phasefaktor
eine Phasenverschiebung des Feldes beschreibt.
µ Im(rk )
φ k = arctan
Re(r k )
µ Im(r⊥ )
φ ⊥ = arctan .
Re(r ⊥
)
Diese Phasen kann man leicht mit dem Rechner plotten:
Die Relativphase für Wellen in den beiden Polarisationsrichtungen wächst bei etwa
50 ◦ Einfallswinkel auf einen maximalen Wert von 45 ◦ an. Damit eignet sich totale interne
Reflektion als Phasenverzögerungselement zur Herstellung zirkularer Polarisation
(siehe unten).
73

3.3 Intensität einer Lichtwelle
• Intensität.
Aus den jetzt bekannten Feldern können wir die Intensitäten berechnen. Die Intensität
ergibt sich aus der Energiedichte des elektrischen Feldes
und der des magnetischen Feldes
U E = ε o
2 E2
Mit |E| = c ·|B| folgt
Die Gesamtenergiedichte
ist daher
U B = 1
2µ 0
· B 2 .
U E = c 2 · ε0
2 · B2 = 1
2µ 0
B 2 = U B
U = U E + U B
U = ε 0 E 2 = 1 µ 0
B 2 = 1 2 (ε 0E 2 + 1 µ 0
B 2 ).
Die Energie, die in einer Zeit ∆t durch eine Fläche A fließt, füllt ein Volumen c · A · ∆t
mit der Energiedichte U und ist daher U · c · A · ∆t. DieLeistungP ist die Energie pro
Zeit und damit
P = U · c · A · ∆t = U · c · A.
∆t
Die Intensität S ist die Leistung pro Fläche
S = U · c · A = U · c
A
S = cε 0 E 2 1
= c = 1 E · B
µ 0 B 2 µ 0
Die Intenstität S ist gerade der Betrag des Poyntingvektors
~S = c 2 ε 0
~E × ~B,
der außerdem noch die Flussrichtung angibt. Formal kann man auch direkt aus den
Maxwell-Gleichungen den Poyntingschen Satz herleiten:
|
~∇ {z · ~S } = c2 ε 0
~∇( ~E × ~B) =ε 0
~E · d E
dt ~ + 1 ~B · d B
µ 0 dt ~ = d dt · U
| {z | {z }
Kontinuitätsgleichung für die Energiedichte.
74

• Mittlere Intensität ebener Wellen
Der Ansatz für ebene Wellen
ergibt für den Poynting-Vektor
~E = ~E 0 · cos( ~ k~r − ωt)
~B = ~B 0 · cos( ~ k~r − ωt)
~S = c 2 ε 0
~E 0 × ~B 0 cos 2 ( ~ k~r − ωt).
Die Intensität oszilliert zeitlich mit der optischen Frequenz ω. Gemessen an fast allen
beobachtbaren physikalischen Vorgängen ist diese Frequenz sehr schnell. Die dazu
gehörige Periode beträgt typischerweise nur wenige Femtosekunden.
T = 1 ν = 2π ω ∼ 10−16 s
Daher betrachtet man oft das zeitliche Mittel:
D
~ SE
: = 1 T
TZ
0
~S(t) =c 2 ε 0
~E 0 × ~B 0
Dcos 2 ( ~ E
k~r − ωt)
= 1 2 c2 ε 0 E0 ~ × B ~ 0 .
D
(Der zeitliche Mittelwert von cos 2 ( ~ E
k~r − ωt) ist 1/2.) Die mittlere Intensität oder
”Bestrahlungsstärke” einer ebenen Welle ist also
D
I := | S| ~ E
= c 2 ε 0
2 | E ~ 0 × B ~ 0 | = 1 2 cε 0E0.
2
Im Medium sieht die Sache ähnlich aus. Man muss lediglich folgende Ersetzungen
machen ε 0 → εε 0 , µ 0 → µµ 0 und c → c/n. Der Brechungsindex ist in Medien durch
die Dielektrizitätskonstante ε und die Permeabilität µ des Mediums gegeben:
n = √ µε.
Die Intensität lautet dann
I = 1 c
2 n εε 0E0 2 = 1 ε
√ cε 0 E 2
2 εµ
0 = 1 1 µεcε0 E =
2 µ√ 1 1
2 µ ncε 0E0.
2
Da im Dielektrikum die Magnetisierbarkeit keine Rolle spielt, ist µ =1und daher
I = 1 2 n · cε 0E 2 0 = n · I vac .
Damit haben wir den Zusammenhang zwischen Feld und Intensität.
75

3.4 Reflexion und Transmission an einer Grenzfläche
• Leistung und Intensität bei schrägem Einfall
Um die reflektierte und transmittierte Lichtleistung zu bestimmen müssen, wir uns
noch über die beteiligten Flächen klar werden. Die Lichtstrahlen treffen schräg auf die
Grenzfläche auf. Die Leistung ist die Intensität mal der Querschnittsfläche des Strahl
die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht.
Die drei Strahlen treffen sich in der Grenzschicht und beleuchten dort eine gemeinsame
Fläche A. Die QuerschnittsflächendereinzelnenStrahlensindumdenKosinus
des betreffenden Winkels kleiner. Für die einfallende, reflektierte und transmittierte
Leistung erhält man daher
P i = I i · A · cos θ i
P r = I r · A · cos θ r
P t = I t · A · cos θ t .
Der Reflexionsgrad ist als das Leistungverhältnis definiert
Der Transmissionsgrad lautet
R := P r
= I r cos θ r
P i I i cos θ i
=
n i
q
ε0
µ 0
E 2 r
n i
q
ε0
µ 0
E 2 i
=
= I r
I i
µ
Er
E i
2
= r 2
T := P t
P i
= I t cos θ t
I i cos θ i
= n t cos θ t E 2 t
n i cos θ i E 2 i
= n t cos θ t
n i cos θ i
· t 2
76

Jetzt gilt auch die Energieerhaltung R + T =1(Übung)
• Senkrechter Einfall
Für θ i = θ t = θ r =0erhält man
R = R k = R ⊥ =
µ 2 nt − n i
n t + n i
und
T = T k = T ⊥ =
4n tn i
(n t + n i ) 2
Glas reflektiert etwa 4%. Galliumarsenid, ein Halleitermaterial aus dem Laserdioden
hergestellt werden, hat einen sehr hohen Brechungsindex von 3.66. Entsprechend hoch
ist die Reflektion an der Grenzfläche.
• Evaneszente Wellen
77

Bei Reflexion am optisch dünnen Medium wird das Licht ab dem kritischen Winkel θ c
total reflektiert. Bei θ i = θ c =arcsinn t /n i wirddieLaufzeitvonPunktA nach Punkt
B gerade so groß wie die Laufzeit von Punkt C nach Punkt B, denn
sin θ c = v i · t
v t · t = v i
= n t
v t n i
Die in Luft erzeugten Kugelwellen an A und B interferieren also konstruktiv in Richtung
entlang der Oberfläche. Es entsteht eine parallel zur Oberfläche laufende Welle,
die mit dem Abstand zur Oberfläche schnell abklingen muss, denn in nicht parallele
Richtungen ist die Interferenz nicht mehr konstruktiv.
Auch formal erhält man dasselbe Verhalten. Die transmittierte ebene Welle
breitet sich entlang dem k-Vektor
⎛
~ kt = ⎝
~E t = ~E 0t · e i(~ k t·~r−ωt)
k tx
k ty
k tz
⎞
⎛
⎠ = ⎝
k t · sin θ t
k t · cos θ t
0
aus wobei der Transmissionswinkel θ t mit dem Einfallswinkel θ i durch Snelliussche
Gesetz gegeben ist. Man erhält also
k tx = k t · sin θ t = k t · ni · sin θ i
n t
und
k ty = k t · cos θ t = ±k t · p1 r
− sin 2 θ t = ±k t · 1 − ( n i
)
n 2 sin 2 θ i .
t
Oberhalb des kritischen Winkels, also für θ i > θ c , wird die Wurzel negativ:
r
k ty = ±ik t ( n i
)
n 2 sin 2 θ i − 1:=±iβ.
t
78
⎞
⎠

Die transmittierte Welle erhält dann die Form
~E t = ~ E t0 · e −βy · e i(k t n i
n t
sin θ i x−ωt) .
Dies entspricht einer Welle die in x-Richtung entlang der Oberfläche läuft und in y-
Richtung exponentiell abklingt. Der exponentiell anwachsende Term ist unphysikalisch
und bleibt unberücksichtigt. Die Eindringtiefe
λ := 1/β =
1
k t
q( n i
n t
) 2 sin 2 θ i − 1
1
= λ t · q
2π ( n i
n t
) 2 sin 2 θ i − 1
ist genau beim kritischen Winkel unendlich, fällt aber mit wachsendem Einfallswinkel
schnell ab.
• Frustrierte Totalreflexion
Befindet sich innerhalb der Eindringtiefe wieder eine Grenzfläche, so kann die Welle
im neuen Medium weiterlaufen. Die Totalreflektion ist ”frustriert”.
79

Das Licht tunnelt durch das Hindernis, das der Luftspalt bildet. Dieses Tunneln ist ein
ganz allgemeines Wellenphänomen und tritt bei akustischen, seismischen und quantenmechanischen
Wellen genauso auf. Anwendungen gibt es in der Geologie und der
Tunnelmikroskopie.
→ Prismaexperiment
→ Geologie
→ Fingerabdruck
→ Quantentunneln
→ Tunnelmikroskop
3.5 Herleitung der Fresnellschen Gleichungen
• Stetigkeit der elektrischen und Magnetischen Felder
Die Tangentialkomponente von E ~ ist an einer Grenzfläche stetig d. h. auf beiden Seiten
der Grenzfläche gleich. Das erkennt man durch Verwendung der Maxwellgleichung
~∇ × ~E = − d dt ~ B
in der Form nach Anwendung des Stockesschen Satzes
I Z d
~Ed~s = − Bd
dt ~ A ~ = − d Z
dt
~Bd ~ A
Den Weg des Ringintergrals wählt man so:
Für den Grenzwert d → 0 verschwindet die Fläche A und damit das Integral R ~Bd ~A.
Es bleibt das Wegintegral:
I
~Ed~s = L · E I − L · E II =0
E I = E II
80

wobei E I bzw E II die tangentialen Komponenten ~ E an der Grenzfläche in Region I
bzw. II sind. Ganz analog folgt aus der Maxwellgleichung
~∇ × ~H = − d dt ~ D,
dass auch auch die Tangentialkomponenten des Magnetfeldes ~H stetig sind
H I = H II .
Da optische Materialien nicht diamagnetisch sind, ist die Permeabilität in beiden Regionen
gleich µ = 1 wodurch auch die Tangentialkomponenten der B-Felder stetig
sind,
B I = B II .
Für ebene Wellen
~E i = ~E 0i cos( ~ k i ~r − ω i t),
~E r = ~E 0r cos( ~ k r ~r − ω r t + ε r ),
~E t = E ~ 0t cos( ~ k t ~r − ω t t + ε t ),
kann man die Stetigkeitsbedingung für die Tangentialkomponente unter Verwendung
des Einheitsvektor Û senkrecht zur Grenzfläche formulieren. Man bildet den Vektor
Û × ~E, der in der Grenzfläche liegt, senkrecht zum Feld steht und dessen Länge dem
Betrag der Tangentialkomponente entspricht. Die Stetigkeitsbedingung lautet dann
oder
Û × ~E i + Û × ~E r = Û × ~E t
Û × ~E 0i cos( ~ k i ~r − ω i t)+Û × ~E 0r cos( ~ k r ~r − ω r t + ε r )=Û × ~E 0t cos( ~ k t ~r − ω t t + ε t ).
Diese Bedingung muss für alle Orte ~r an der Oberfläche und alle Zeiten t gelten.
• Bedingung für die Phasen, Snelliusgesetz
Um die Grenzbedingung zu erfüllen, müssen zunächst die Argumente der Kosinus-
Funktionen gleich sein. Für beliebige Zeiten klappt das nur, wenn die Frequenzen alle
gleich sind, also:
ω i = ω r = ω t .
Alle drei Wellen haben also dieselbe Frequenz. Außerdem müssen die Ortphasen in
der Grenzschicht gleich sein. Insbesondere gilt für die einfallende und die reflektierte
Welle
~ ki ~r = ~ k r ~r + ε r
81

oder ³
~ki − ~ k r´
~r = ε r .
Da ~r in der Grenzschicht liegt, ist dies nur erfüllt, wenn der Vektor ~ k i − ~ k r senkrecht zur
Grenzschicht steht, denn, wie bei der Diskussion der Wellenfronten bei ebenen Wellen,
liegen Orte, die die Bedingung ~a · ~r = konstant erfüllen, in einer Ebene senkrecht zum
Vektor ~a. Damit ist ³
~ki − ~ k r´
kÛ
oder
³
~ki − ~ k r´
× Û = 0
~ ki × Û = ~ k r × Û.
Für die Beträge der beiden Vektoren erhält man
¯ ¯
¯~k i¯¯¯ sin θi = ¯~k r¯¯¯ sin θr
und da
¯
¯~k i¯¯¯ =
¯¯¯~ kr¯¯¯folgt
θ i = θ r .
Man erhält also das Reflexionsgesetz.
Fordert man Gleichheit für die Phasen der einfallenden und der transmittierten Welle,
~ ki ~r = ~ k t ~r + ε t
erhält man analog, dass ³
~ki − ~ k t´
kÛ,
also ³
~ki − ~ k t´
× Û =0,
und für die Beträge ¯¯¯~ ¯
ki¯¯¯ sin θi = ¯~k t¯¯¯ sin θt .
¯
¯
Da jetzt ¯~k i¯¯¯ = ni · ω/c, und¯~k t¯¯¯ = nt · ω/c ergibt sich jetzt das Snelliusgesetz
n i sin θ i = n t sin θ t .
• Bedingungen für die Amplituden, Fresnell-Gleichungen
Neben den Phasen müssen auch die Amplituden an der Grenzfläche stimmen. Hier
unterscheiden wir jetzt den Fall mit E ⊥ zur Einfallsebene und E k zur Einfallsebene.
1. Fall: E senkrecht zur Einfallsebene
82

Die E-Felder aller 3 Strahlen stehen dann parallel zur Grenzfläche und müssen daher
stetig sein und für die Beträge der Felder gilt:
E 0i + E 0r = E 0t
Jetzt kommt außerdem noch die Stetigkeit der B-Felder ins Spiel, die in der Einfallsebene
liegen. Die Tangentialkompenenten entstehen durch Projektion auf die Grenzfläche:
B 0i cos θ i − B 0r cos θ r = B 0t cos θ t .
Das negative Vorzeichen ergibt sich aus der Definition der Orientierung von B r (siehe
vorne bei Diskussion der Fresnellgleichungen).Wir verwenden den Zusammenhang zwischen
E und B für ebene Wellen in Materie
E 0i = c n i
· B 0i
E 0r = c n r
· B 0r
E 0t = c n t
· B 0t
sowie das Reflexionsgesetz θ i = θ r und erhalten aus der Stetigkeit des Magnetfeldes
die Gleichung
n i E 0i · cos θ i − n i E 0r cos θ i = n t E 0t cos θ t .
Die Stetigkeit der E-Felder wird benutzt um E 0t zu eliminieren:
n i cos θ i (E 0i − E 0r )=n t cos θ t (E 0i + E 0r )
oder
E 0i (n i cos θ i − n t cos θ t )=E 0r (n t cos θ t + n i cos θ i )
Eliminiert man dagegen E 0r ergibt sich:
E 0r
E 0i
= n i cos θ i − n t cos θ t
n i cos θ i + n t cos θ t
:= r ⊥
E 0t
E 0i
=
2n i cos θ t
n i cos θ i + n t cos θ t
:= t ⊥
2. Fall: E parallel zur Einfallsebene
Nun erzwingt die Stetigkeit der tangentialen Komponente des E-Feldes den Zusammenhang
E 0i cos θ i − E 0r cos θ r = E 0t cos θ t
und die Stetigkeit der tangentialen Komponente des B-Feldes:
B 0i + B 0r = B 0t .
83

Wie oben kann man die Magnetfeldamplituden durch die E-Feldamplituden ausdrücken:
Eliminieren von E 0t ergibt:
n i E 0i + n i E 0r = n t E 0t
cos θ i (E 0i − E 0r )=cosθ t · ni (E 0i + E 0r )
n t
E 0i (n t cos θ i − n i cos θ t )=E 0r (n i cos θ t + n t cos θ i )
E 0r
= n t cos θ i − n t cos θ t
:= r k .
E 0i n i cos θ t + n t cos θ i
Entsprechend führt Eliminieren von E 0r zu
4. Licht in Materie
E 0t
E 0i
=
2n i cos θ i
n i cos θ t + n t cos θ i
:= t k .
In optisch transparenten Materialien wird das Licht kaum absorbiert, aber seine Wellenlänge
durch den Brechungsindex verändert. In bestimmten Medien ist der Brechungsindex
zusätzlich abhängig von der Polarisation des Lichts, also der Richtung des elektrischen Feldstärkevektors.
In solchen doppelbrechenden Medien kann auch die Polarisation durch den
Brechungsindex beeinflusst werden. Um den zentralen Begriff des Brechungsindex also der
Phasengeschwindigkeit im Medium besser zu verstehen, wird hier ein einfaches mikroskopisches
Modell, das Lorentzmodell eingeführt. Es liefert eine gute Vorstellung der physikalischen
Vorgänge, die in ähnlicher Form auch bei einer quantenmechanischen Behandlung seine
Gültigkeit behält. Das Modell ist in jedem Fall ein wichtiger Ausgangspunkt beim Verständnis
der Wechselwirkung zwischen Licht und Materie.
4.1 Lorentz-Modell
Das Lorentz-Modell beschreibt zunächst nur Dielektrika also transparante, nicht magnetisierbare
Materialien, die von einem elektrischen Feld polarisiert werden können. Im Lorentz-
Modell werden die Elektronen im Dielektrikum als klassische geladene Punktteilchen behandelt.
Das elektrische Feld des Lichts übt auf die geladenen Elektronen im Material eine
Kraft aus und setzt sie in Bewegung. Sobald die Ladungen beschleunigt werden, strahlen
sie selber Licht ab. Die Lichtanteile der beschleunigten Ladungen überlagern sich mit dem
einfallenden Licht zu einem Gesamtfeld. Sind die Ladungen homogen verteilt, bleibt eine einfallende
ebene Welle erhalten allerdings mit veränderter Ausbreitungsgeschwindigkeit. Auf
diese Weise erhält man ein mikroskopisches Modell für den Brechungsindex. Ein Teil des
Lichts kann aber auch absorbiert werden. Im Fall inhomogener Ladungsverteilungen wird es
dabei aus dem Lichtstrahl herausgestreut. Sind die beschleunigten Ladungsträger in ihrer
Bewegung gedämpft, kann die Energie des Lichts auch in Wärme umgewandelt werden.
84

• Modell für Elektronen im Medium
Die Elektronen sind gleichmäßig über das Material verteilt. Dichteschwankungen
sollen, wenn überhaupt, auf räumlichen Skalen stattfinden, die kleiner sind als die
Wellenlänge des Lichts. Im Gleichgewichtszustand befindet sich jedes Elektronen in
seinem Potentialminimum, aus dem es durch das Licht ausgelenkt werden kann. Das
Potential kann eine beliebige glatte Form haben. Bei kleinen Lichtstärken wird das
Elektron nur wenig ausgelenkt und man kann das Potential durch den ersten nichtverschwindenen
Term einer Taylor-Entwicklung nähern.
U = 1 2 mω2 0x 2 + ....
Die ”Resonanzfrequenz” ω 0 gibt die Krümmung des Potentials an. Man spricht in
diesem Fall von der Linearen Optik. Für Laserlicht mit Leistungen im Watt-Bereich
muss man höhere Terme hinzunehmen. Das ist das Spezialgebiet der Nichtlinearen
Optik, die wir hier nicht besprechen. In linearer Näherung lautet die rücktreibende
Kraft:
F = − dU
dx = −mω2 0x
Sie entspricht dem Hookschen Gesetz. Wir können uns die Elektronen also wie mit Federn
an ihre Gleichgewichtslage angeheftet denken. Außerdem können die Elektronen
noch durch eine Reibungskraft gedämpft werden
F r = −γ · m · ẋ,
die proportional zur Geschwindigkeit ist und deren Stärke durch die Dämpfungskonstante
γ gegeben ist. Außerdem haben wir noch das Lichtfeld als periodisch antreibende
Kraft auf die Ladung q des Elektrons.
F L = q · E 0 e −iωt .
• Bewegungsgleichung
Die Kraftbilanz führt zur Differentialgleichung für den getriebenen gedämpften harmonischen
Oszillator:
mẍ + mω 2 0x + γmẋ = q · E 0 e −iωt
85

mit der Lösung:
x(t) =E 0 · D(ω) · e −iωt
D(ω) = q 1
m ω 2 0 − ω 2 − iγω
Die komplexe Resonanzfunktion D(ω) kann man in Real und Imaginärteil zerlegen:
Re(D) = q ω 2 0 − ω 2
m (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω 2
Im(D) = q γ · ω
m (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω . 2
Die Auslenkung x des Elektrons aus der Ruhelage ist dann
Re(x) =Re ¡ E 0 · D · e −iωt¢
= E 0 · Re {(Re(D)+i Im(D))(cos ωt − i sin ωt)}
= E 0 Re(D)cosωt + E 0 Im(D)sinωt.
Die Schwingung des Elektrons ist also eine Überlagerung einer Kosinusschwingung und
einer Sinusschwingung. Da das elektrische Feld proportional zum Kosinus schwingt
(Re(E) =E 0 · cos ωt), bewegt sich das Elektron mit einer Amplitude E 0 Re(D) in
Phase mit dem Lichtfeld und mit einer Amplitude E 0 Im(D) um 90 ◦ phasenversetzt
dem Feld hinterher. Die phasensynchrone Amplitude heißt dispersive Amplitude und
die phasenverzögerte ist die absorptive Amplitude. Die absorptive Amplitude zeigt bei
der Resonanzfrequenz ω 0 ein Maximum. Die dispersive Amplitude verschwindet dort.
Man kann auch die Relativphase zwischen Licht und Elektron direkt ausrechnen:
tan ϕ = Im(D)
Re(D) =
γ · ω
ω 2 0 − ω 2
cot ϕ = ω2 0 − ω 2
γ · ω =tan(π 2 − ϕ)
86

ϕ = arctan( ω2 − ω 2 0
γ · ω )+π 2
DieRelativphasewächstmitderFrequenz an, durchläuft in Resonanz π/2 und wird
für hohe Frequenzen maximal π. Die Resonanzfrequenz liegt für optisch transparente
Materialien oberhalb der Lichtfrequenz also ω < ω 0 . In diesem Bereich ist die absorptive
Amplitude deutlich kleiner als die dispersive. Die Elektrone schwingen also
weitgehend in Phase mit dem Lichtfeld.
• Dipolfläche.
Die Elektronen strahlen jedes wie ein Herz ‘scher Dipol annähernd phasengleich mit
dem anregenden Primärfeld ein Dipolfeld ab. Wir fassen die Elektronen in einer Ebene
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichts zusammen. Das Feld an einem Punkt P
ist dann die Überlagerung der von den schwingenden Elektronen abgestrahlten Felder.
Eine etwas längere Rechung zeigt (siehe z.B. ”Laser Physics” von M. Sargent, M.
Scully und W. Lamb, Addison Wesly 1974, Anhang A), dass synchron schwingende
Elektronen einer unendlich ausgedehnten Ebene ihre abgestrahlten Dipolfelder zu einer
87

ebenen Welle überlagern, die in Vorwärtsrichtung läuft und gegenüber der erzeugenden
Schwingung um 90 ◦ hinterher hinkt:
∆E(x, t) = 1 N a kqx 0
· e i(kx−ωt−π/2) ,
2 ε 0
wobei N a die Flächendichte der Dipole und damit der Atome bezeichnet und x 0 die
Amplitude der Elektronenschwingung. Schwingen die Elektronen mit der absorptive
Amplitude, also um 90 ◦ verzögert zum einfallenden Lichtfeld, so erzeugen die Elektronen
eine Sekundärwelle, die gegenüber der anregenden Primärwelle um 180 ◦ verschoben
ist und diese daher teilweise auslöscht. Das Licht wird vom Medium ”absorbiert”. Die
dispersive Amplitude, bei der die einzelnen Elektronen synchron mit der Primärwelle
schwingen, erzeugt eine um −90 ◦ phasenverschoben ebene Welle. Sie überlagert sich
mit der Primärwelle und ergibt eine Gesamtwelle mit gegenüber der Primärwelle verschobener
Phase. Das sieht man mit Hilfe des allgemeinen Zusammenhangs (Bronstein)
q
E 0 cos kx + ∆E sin kx = E0 2 + ∆E 2 cos (kx − ϕ)
∆ϕ : = arctan(∆E/E 0 ).
Eine Primärwelle der Amplitude E 0 und eine durch die dispersive Schwingung erzeugte
Welle mit Amplitude ∆E überlagern sich zu einer neuen Welle, die gegenüber der
Primärwelle um ∆ϕ verschoben ist. Da üblicherweise ∆E

• Berechnung von ∆ϕ
Dazu benötigen wir die Amplitude der Sekundärwelle
1 ω
∆E = N a qx 0 ,
2 cε 0
diedurchdiedispersiveSchwingungerzeugtwird(sieheoben). Fürx 0 setzen wir die
dispersive Amplitude ein
q ω 2 0 − ω 2
x 0 = E 0
m (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω 2
und erhalten
∆E 1 q 2 ω ω 2 0 − ω 2
= N a
E 0 2 mcε 0 (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω . 2
Der Phasenversatz pro Dipolfläche ist damit
∆ϕ = arctan(∆E/E 0 )
' ∆E/E 0 = N a
1
2 k q2
mε 0
ω 2 0 − ω 2
(ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω 2 .
Damit erhält man schließlich für den Brechungsindex:
n = 1+ ∆ϕ
ka
= 1+ 1
ka N 1
a
2 k q2 ω 2 0 − ω 2
mε 0 (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω 2
= 1+ 1 2
Nq 2
ε 0 m · ω 2 0 − ω 2
(ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω , 2
wobei N = N a /a die Dipoldichte im Material also die Anzahl der Atome pro Volumen
ist. Für verschwindende Dämpfung in transparenten Medien wird γ = 0 und der
Brechungsindex vereinfacht sich zu
n =1+ 1 Nq 2
2 ε 0 m · 1
ω 2 0 − ω . 2
• Komplexer Brechungsindex
Eine kürzere aber physikalisch weniger anschauliche Herleitung verwendet die Grundlagen
der Elektrodynamik in Medien, bei der für nichtmagnetische Materialien vor allem
die elektrische Polarisation ~P ins Spiel kommt. Sie ist die Dipoldichte im Medium,
also:
~P = q · ~x · N = q · N · D(ω) · ~E 0
89

wobei N die Elektronendichte im Medium ist, q die Ladung eines Elektrons und ~x
die Auslenkung der Elektronen aus der Ruhelage, wie wir sie oben berechnet haben.
Die Resonanzfunktion D(ω) behalten wir als komplexe Funktion und erwarten daher
zunächst einen komplexen Ausdruck für den Brechungsindex, dessen Realteil dann
der übliche reele Brechungsindex ist. Auslenkung und Feldrichtung sind parallel und
daher sind auch Polarisation und Feld parallel. Die Stärke der Polarisation ist offenbar
proportional zum Feld
~P = χ · ε 0 · ~E 0
wobei die Proportionalitätskonstante
χ := q ε 0
· N · D(ω)
gerade die aus der Elektrodynamik bekannte elektrische Suzeptibilität ist. Diese hängt
auf einfache Weise mit der Dielektrizitätskonstanten ε zusammen
χ = ε − 1
Die Dielektrizitätskonstante ergibt dann den Brechungsindex:
n 2 = ε =1+χ
= 1+ q · N · D(ω).
ε 0
' 1+ 1 q
· N · D(ω)
2 ε 0
Für kleine Brechungsindizes kann man die Wurzel durch eine Taylorreihe nähern und
nach dem zweiten Term abbrechen.
r
n = 1+ q · N · D(ω)
ε 0
' 1+ 1 q
· N · D(ω)
2 ε 0
n ∼ 1+ 1 Nq 2 1
2 ε 0 m ω 2 0 − ω 2 − iγω
Der Brechungindex ist im Allgemeinen also eine komplexe Zahl. Falls die Dämpfungskonstante
klein ist, wie es in transparanten Materialien der Fall sein muss (keine
Dämpfung der Elektronen), also γω ¿ ω 2 0 − ω 2 , wird der Brechungsindex reell:
n ∼ 1+ 1 Nq 2 1
2 ε 0 m ω 2 0 − ω . 2
Dies ist genau der Ausdruck von oben. Der Imaginärteil des Brechungsindex lässt sich
ebenfalls physikalisch interpretieren. Er beschreibt die Absorption vom Licht, was vor
allem bei Metallen wichtig wird und im nächsten Abschnitt weiter unten besprochen
wird.
90

• Optisches Verhalten von Dielektrika
Für Dielektrika beobachtet man etwa folgenden typischen Verlauf von n:
ManerhältKurven,mitdispersiverForm,wiees das Lorentzmodell vorhersagt. Allerdings
gibt es mehrere dispersive Resonanzen. Dies sind im Lorentzmodell nicht zu
verstehen. Die quantenmechanische Beschreibung der Atome führt interessanterweise
wieder auf Dipolschwingungen mit absorptiver und dispersiver Amplitude, sodass das
Lorentzmodell sich als bereits ziemlich gutes Modell herausstellt. Allerdings hat ein
Atom ein Vielzahl von Resonanzen in fast allen Wellenlängenbereichen. Im Festkörper
bilden diese Resonanzen sogenannte Energiebänder, die ähnlich wie im Lorentzmodell
zu einem komplexen Brechungsindex mit dispersiven und absorptiven Resonanzstruktur
fühern. In den schraffierten Bereichen sind die absorptiven Schwingungen dominant
und die Strahlung wird stark absorbiert. Dazwischen gibt es transparente Bereiche,
in denen man Optik machen kann. Im sichtbaren und infraroten Bereich ist n meist
größer als 1. Im UV- und vor allem im Röntgenbereich ist n

Anomale Dispersion, bei der n mit wachsendem ω sinkt, findet man nur in den absorbierenden
Bereichen. Mit Hilfe von
ω =
c
n(ω) · k
kann man die Dispersion auch als Funktion ω(k) angeben, die im Vakuum eine Gerade
ist, in Materie aber gekrümmt sein kann.
Die Tatsache, dass ω(k) nicht linear ist (bzw. n nichtkonstantist),bezeichnetman
auch als ”Dispersion”. Optische Materialien zeigen im allgemeinen Dispersion.
• Wellenpakete
Realistische Wellen sind räumlich und zeitlich begrenzt. Solche Wellenpakete lassen
sich wie fast alle Funktionen per Fouriertransformation als Überlagerung harmonischer
Wellen bilden.
Ψ(x, t) =
Z ∞
−∞
C(k) · e i(kx−ω(k)t) · dk
92

Jede Welle dieser Überlagerung wird durch seine Wellenzahl k und seine Amplitude
C(k) charakterisiert. Die Frequenzen der einzelnen Wellen ergeben sich aus der Wellenzahl
mittels der Dispersionsrelation ω(k). Für Medien mit linearer Dispersionsrelation,
ω = vk, gilt
Ψ(x, t) =
Z ∞
−∞
C(k) · e ik(x−vt) · dk = Ψ(x − vt).
Das Wellenpaket breitet sich also mit der Phasengeschwindigkeit v = ω/k aus, ohne
seine Form zu verändern. Anders sieht die Sache aus, wenn die Phasengeschwindigkeit
von k abhängt. In Medien mit Dispersion hat jede Welle der Linearkombination eine
andere Ausbreitungsgeschwindigkeit. Damit verändert sich die Zusammensetzung der
harmonischen Funktionen und damit auch die Form des Wellenpakets. (Animation,
Springer).
• Gruppengeschwindigkeit.
In dispersiven Medien treten vor allem zwei wichtige Effekte auf. Zum einen kann
sich die Breite eines Pakets ändern. Zum anderen kann sich das Maximum des Wellenpakets
mit einer Geschwindigkeit bewegen, die drastisch von der Phasengeschwindigkeit
abweicht. Letzteres betrachten wir am Beispiel eines Rechteckpulses genauer. Die Linearkombination
enthält nur Wellen mit k-Vektoren in einem bestimmten Bereich. All
diese Wellen tragen zu gleichen Teilen bei. Die Funktion C(k) soll also folgende Form
haben.
Außerdem entwickeln wir die Dispersionsrelation bis zur ersten Ordnung:
ω(k) =ω 0 + dω
dk | k 0
· (k − k 0 )+...
93

Einsetzen ergibt:
mit der Abkürzung
k 0 +4k/2
Z
Ψ(x, t) = C 0 e ikx−i(ω 0+ dω
dk | k 0· (k−k 0 )+...)t dk
k 0 −4k/2
= C 0 · e i(k 0x−ω 0 t) ·
Z
K = k − k 0 .
Das Integral kann man lösen und man erhält:
+4k/2
−4k/2
e iK dK
Ψ(x, t) =A(x, t) · e i(k 0x−ω 0 t)
mit der Einhüllenden
A(x, t) =2C 0 · sin(u∆k/2) .
u
Die Variable
u := x − dω
dk | k o
· t
hat die Form u = x − v g · t. Die Einhüllende A(x, t) breitet sich daher mit der ”Gruppengeschwindigkeit”
v g := dω
dk
aus. Während die Phasengeschwindigkeit größer sein kann als c ist v g

Wir setzen die Amplitudenverteilung und die Dispersionsrelation in das Wellenpaket
ein:
+∞ Z
Ψ(x, t) = C 0 e ikx−i(ω 0+v g· (k−k 0 )+ 1 2 β(k−k 0) 2 )t dk
−∞
Z
= Ψ 0 · e i(k 0x−ω 0 t) ·
+∞
−∞
Z
= Ψ 0 · e i(k 0x−ω 0 t) ·
+∞
−∞
e i(k−k 0)(x−v g t) · e −(α+iβt)(k−k 0) 2 dk.
e ik(x−vg t) · e −(α+iβt)k2 dk.
Auch dieses Integral kann man lösen (etwas längliche Rechung als Tüftelaufgabe zur
Übung). Das Betragsquadrat der Lösung beschreibt die räumliche Energieverteilung
des Pakets:
¯
¯Ψ(x, t) 2¯¯ π
= Ψ 0 · p · exp
µ− (x − v
g t) 2
α/2 · x0
wobei
x 0 := √ 2α · 1+ β2
α 2 t2 .
Der Puls ist gaußförmig mit einer Breite x 0 (t), die mit der Zeit anwächst.
s
x 2 0
Für große Zeiten zerfließt der Puls mit einer konstanten Geschwindigkeit:
v ∆ := dx r r
0 2 2
dt = α · β = d 2 ω
α dk | 2 k=k 0
.
Die Konstante α hängt mit der Startbreite des Pulses zusammen: x 0 (t =0)= √ 2α.
Ein anfänglich schmales Paket läuft schneller auseinander. Die Steigung der Dispersionsrelation
liefert also die Gruppengeschwindigkeit während die Krümmung der Dispersionsrelation
die Geschwindigkeit angibt mit der der Puls auseinanderläuft (dispergiert).
95

4.3 Metalle
• Dispersionsrelation in Metallen
Im Metall gibt es zusätzlich zu den gebundenen Elektronen auch freie Elektronen ohne
rücktreibende Kraft. Für diese ist also ω 0 =0. Für den Brechungsindex kann man den
allgemeinen Ansatz machen:
⎛
⎞
n 2 (ω) =1+ Nq2
f e
⎜
+ X ε 0 m ⎝−ω 2 − iγ e ω
| {z } j
freie Elektronen
f j
ω 2 0j − ⎟
ω2 − iγ j ω ⎠
| {z }
gebundene Elektronen
Die Faktoren f e und f j sind dimensionslose Korrekturfaktoren der Größenordnung 1.
Sie heißen Oszillatorstärken und erfassen die quantenmechanischen Korrekturen zum
klassischen Modell.
• Plasmafrequenz
Wir betrachten nur die freien Elektronen und vernachlässigen deren Dämpfung, ω À γ.
Das kann man machen, da die Dämpfungskonstante nicht mit der Frequenz steigt und
für große Lichtfrequenzen ω (sichtbarer Bereich und höher) vergleichweise klein wird.
Außerdem setzen wir f e = 1. Für den Brechungsindex erhält man den einfachen
Ausdruck
n 2 (ω) ' 1+ Nq2 1
³
ε 0 m ω =1− ωP
´2
2 ω
mit der ”Plasmafrequenz”
s
Nq
ω P :=
2
ε 0 m .
Für Metalle ist die Plasmafrequenz größer als die Lcihtfrequenz im sichtbaren Bereich.
Für ω < ω P wird der Brechungsindex dann komplex!
r ³ωP ´2
n = i − 1
ω
Ähnlich wie im Fall der evaneszenten Welle oszilliert das Feld nicht mehr räumlich
sondern klingt nach Eintritt ins Medium exponentiell ab.
E(ω) = E 0 · e i(kx−ωt)
= E 0 · e i(n ω c x−ωt)
√
(
ω Pω
= E 0 · e −iωt e − ω c
= E 0 · e −iωt e −x/λ s
) 2 −1·x
96

Mit der Eindringtiefe
µ r ω
λ s := ( ω −1
P
c ω )2 − 1 .
Für Strahlungsfrequenzen unterhalb der Plasmafrequenz ω ¿ ω p ist die Eindringtiefe
kleiner als die Wellenlänge:
µ r ω
λ s = ( ω −1
P
c ω )2 − 1
'
c < c ω P ω = 1 k = λ
2π .
Die Eindringtiefe ist also kleiner als eine Wellenlänge.
λ s < λ
2π
• Reflektion bei imaginärem Brechungsindex
Aufgrund der geringen Eindringtiefe kann das Feld auch nicht im Material absorbiert
werden. Metalle reflektieren im sichtbaren (ω < ω P ).
Im Röntgenbereich, für ω > ω P ist n reell und das Metall wird transparent. Am
Übergang Luft-Metall ist n i ∼ 1 und n t = n R +in I komplex. Die Fresnellschen Formeln
bleiben auch bei komplexen Brechungsindizes gültig und man erhält für senkrechten
Einfall einen komplexen Reflektionsgrad.
µ
nt − 1
r = .
n t +1
Die reflektierte Intensität ist das Betragsquadrat des Feldes:
I r = E r · E ∗ r = r · E i · (r · E i ) ∗ = E i E ∗ i · r · r ∗ = R · I i
Die Reflektion R ist also das Betragsquadrat des komplexen Reflektionsgrads r. Einsetzen
ergibt
µ µ ∗
R = r · r ∗ nt − 1 nt − 1
=
= (n R − 1) 2 + n 2 I
,
n t +1 n t +1 (n R +1) 2 + n 2 I
wobei
n R : = Re(n t ),
n I : = Im(n t ).
Die Reflektion wird nicht nur groß, wenn der reele Brechungsindex n R groß ist, sondern
auch, wenn der Imaginärteil n I groß ist. Für Metalle in der Näherung γ =0wird der
Brechungsindex rein imaginär (n R =0)und man erhält vollständige Reflektion:
R = (−1)2 + n 2 I
(+1) 2 + n 2 I
=1,
97

• Absorption
Nimmt man die Dämpfung der freien Elektronen dazu, also γ 6= 0,bekommtman
auch einen nicht verschwindenden Realteil n R . Die Reflektion ist dann kleiner als
1, d.h. ein kleiner Teil des Lichts wird innerhalb der Eindringtiefe absorbiert. Dies
führt zur Erwärmung des Metalls. Die Farbe der Metalle entsteht allerdings durch die
Absorption durch die gebundenen Elektronen.
5. Polarisation des Lichts
Neben der Wellenlänge können optische Medien auch die Ebene beeinflussen, in der Feld
schwingt, d. h. seine Polarisation.
5.1BeschreibungderPolarisation
• Koordinatensystem
Die möglichen elektrischen Feldvektoren einer Lichtwelle liegen in einer Ebene senkrecht
zum Wellenvektor. Sie bilden einen zweidimensionaler Raum mit den Basisvektoren î
und ĵ parallel zu ˆx bzw. ŷ-Richtung. Der k-Vektor soll parallel zur z-Achse stehen.
Bei allem folgenden betrachtet man das Licht also von vorne. Die allgemeine Lösung
einer Lichtwelle mit fester Frequenz und Wellenzahl ist die Linearkombination
~E(t) =î · E 0x · e iϕ x e i(kz−ωt) +ĵ · E 0y · e iϕ y e
i(kz−ωt)
=(îE 0x +ĵE 0y e iε )e i(kz−ωt+ϕ x )
mit den zwei reellen Amplituden E 0x und E 0y , der Relativphase ε = ϕ y − ϕ x ,unddem
üblichen orts- und zeitabhängigen Phasenfaktor e i(kz−ωt+ϕ x ) .
• lineare Polarisation
Verschwindet die Relativphase (ε =0) schwingen die beiden Felder an einem gegeben
Ortsynchronundmanerhälteine”linearePolarisation”.DieSchwingungsebenewird
durch die Feldstärken E 0y und E 0x bestimmt: tan θ = E ox
E 0y
.
98

• zirkulare Polarisation
Bei einer Relativphase von 90 ◦ (|ε| = π) und gleichen Amplituden, E 2 0x = E 0y ,erhält
man vollständig ”zirkular” polarisiertes Licht. Für ε = − π läuft die x-Komponente
2
der y-Komponente voraus und der Feldstärkevektor dreht im Gegenuhrzeigersinn. Das
Licht ist links zirkular polarisiert.
E x (t) =Re(îE 0x e i(kx−ωt+ϕ x ) )=îE 0x cos(kx − ωt + ϕ x )
E y (t) =Re(ĵE 0y e i(kx−ωt+ϕ x − π 2 ) )=ĵE 0y sin(kx − ωt + ϕ x ).
Zu einer festen Zeit bildet der Feldstärkevektor also eine Rechtsschraube in Ausbreitungsrichtung.
Für ε =+ π läuft der Vektor im 2D-Koordinatensystem im Uhrzeigersinn und bildet
2
eine Linksschraube. Das Licht heißt dann rechtszirkular polarisiert.
99

Für ε 6= 0und E 0x 6= E 0y erhält man allgemein eine ”elliptische” Polarisation, die
durch die Länge der Halbachsen und den Kippwinkel charakterisiert werden kann.
• Basiswechsel
Man kann lineares Licht als Überlagerung von zirkular rechts und zirkular links polarisiertem
Licht auffassen. Je nach Phase, mit der die beiden zirkularen Polarisationen
überlagert werden, erhält man verschiedene Polarisationswinkel des resultierenden
linearen Lichts. Umgekehrt haben wir gesehen, dass man zirkulares Licht als Überlagerung
von linearem Licht auffassen kann. Man kann sich also aussuchen, welche der
beiden Grundtypen von Schwingung man zur Beschreibung der Polarisation verwendet.
Die lineare und die zirkulare Basis sind äquivalent.
5.2 Verzögerungsplättchen
Die Polarisation des Licht kann mit optischen Elementen eingestellt und nachgewiesen werden.
Man verwendet so genannte Verzögerungsplättchen, die aus doppelbrechenden Materialien
hergestellt werden.
100

• Doppelbrechung
Bei bestimmten Kristallen hängt der Brechungsindex von der Polarisation des Lichts
ab. Wir betrachten dazu das Licht in der linearen Basis wie oben. Man unterscheidet
zwei Typen von Lichtstrahlen, die unter bestimmten Winkeln durch den Kristall fallen.
So findet man z.B. immer einen Strahlrichtung, bei der der Brechungsindex unabhängig
von der Polarisation ist. Diese Strahlrichtung heißt optische Achse des Kristalls. Es
gibt Kristalle mit ein oder zwei optischen Achsen. Hier betrachten wir nur uniaxiale
Kristalle mit einer optischen Achse. Alle Strahlen, deren Polarisation in einer Ebene
senkrecht zur optischen Achse liegen heißen ordentliche Strahlen. Sie haben alle den selben
Brechungsindex, den so genannten ordentlichen Brechungsindex n 0 . Alle anderen
Strahlen sind die außerordentlichen Strahlen mit außerordentlichen Brechungsindizes
n e , die verschieden Werte haben könne und von der Polarisationsrichtung abhängen.
Als Beispiel betrachten wir einen Kristall bei, dem die Resonanzfrequenz der Elektronen
bei Schwingungen in x- undy-Richtung gleich sind, bei Schwingungen in z-
Richtung aber einen anderen Wert haben. Alle Strahlen mit Polarisation in der x-
y-Ebene sind ordentliche Strahlen. Die Optische Achse liegt entlang der z-Richtung.
Strahlen mit einer Polarisationskomponente in z-Richtung sind außerordentliche Strahlen.
Man kann sie sich als Überlagerung aus einem Strahl mit ordentlicher Polarisationsrichtung
in der x-y-Ebene und einem Strahl mit einer Polarisation nur in z-Richtung
vorstellen. Die beide Teilstrahlen spüren einen unterschiedlichen Brechungsindex, der
sich z.B. an der Grenzfläche in einer unterschiedlichen Brechung bemerkbar macht.
Diese Phänomen nennt man Doppelbrechung.
101

• λ/4-Plättchen
Man schneidet aus einem doppelbrechenden Material eine Scheibe heraus, deren Frontflächen
parallel zur optischen Achse liegen. Das einfallende Licht kann man in eine
ordentliche Polarisation senkrecht zur optischen Achse mit Index n o zerlegen und eine
zur optischen Achse parallele rein außerordentliche Polarisation mit Index n e .
Die Dicke d der Platte wird so gewählt, dass sich beim Durchgang ein Phasenunterschied
∆ϕ zwischen ordentlichen und außerdordentliche Strahl von π/2 einstellt
(modulo 2π).
∆ϕ = k · n e · d − k · n 0 · d = π 2 + m · 2π
mit einer natürlichen Zahl m. Je nach Einstellwinkel α bleibt lineares Licht erhalten
(für α =0und α =90 ◦ ) oder wird zu zirkular links- bzw. rechtsdrehendem Licht
(α ± 45 ◦ ) umgewandelt. Das geht natürlich auch rückwärts so dass zirkulares Licht in
lineares verwandelt werden kann.
• λ/2-Plättchen
Die Dicke ist hier so gewählt dass die Phasenverschiebung gerade π ist (modulo 2π).
∆ϕ = k · n e · d − k · n 0 · d = π + m · 2π
Die Polarisation von linear polarisiertem Licht bleibt linear wird aber um den Winkel
2α gedreht. Bei α = ±45 ◦ wird die Polarisation um ±90 ◦ gedreht. Für zirkulares Licht
wird die Rotationsrichtung umgekehrt (unabhängig vom Winkel α)
102

5.3 Polarisatoren
• Polarisationsfilter
Es gibt optische Elemente, die aus beliebig polarisiertem Licht die lineare Komponente
entlang einer bestimmten Achse herausfiltern. Ein solcher Polarisator definiert
ein Achsenkreuz, gemäß dem das Licht in eine transmittierte und eine absorbierte
Komponente zerlegt wird. Das einfallendes Licht wird durch das Polfilter auf die
transmittierende Richtung projeziert.
Das transmittierte Feld lautet also
~E t =î · cos α ·|~E in |,
und für die Transmission erhält man
I t
I in
=
¯ ~E t¯¯¯2
¯ ~E in¯¯¯2 =cos2 α.
Dies ist das Gesetz von Malus. (Flüssigkristallanzeige)
• Drahtpolarisator
Für lange Wellenlängen im Radiowellenbereich kann man Drahtgitter verwenden.
103

Die Strahlung mit Feld senkrecht zu den Drähten wird durchgelassen. Die parallele
Polarisation erzeugt in den Drähten Schwingungen, die ihrerseits ein Feld abstrahlen,
das mit dem erzeugenden Feld destruktiv interferiert. Außerdem werden die
Ladungsträgerschwingungen in den Drähten gedämpft, was Energie und damit Licht
verbraucht. Licht kann man so nicht polarisieren, da die Drähte zu dünn sein müssten.
• Polaroidfilter
Man kann aber statt der Drähte langkettige Moleküle nehmen. Dazu wird eine Polymerfolie
langgezogen und mit Jod dotiert. Dadurch entstehen frei bewegliche Elektronen
die entlang der längsgezogenen Moleküle wie in Drähten fließen. Man erhält einen
molekularen ”Drahtpolarisator”. Solche Folien sind billig und praktisch, absorbieren
aber auch einen Teil des Lichts und halten daher keine hohen Leistungen aus.
• Polarisationsstrahlteilerwürfel
In der Laseroptik sind polarisierende Strahlteilerwürfel gängig. Sie bestehen aus zwei
zu einem Würfel zusammengefügten Prismen. An der Grenzschicht wird vor dem
Zusammenkleben ein spezielles dielektrisches Schichtensystem aufgedampft. Durch
Vielstrahlinterferenz erreicht man stark unterschiedliche Transmission und Reflektion
für die beiden Polarisationskomponenten. Details führen hier zu weit.
• Polarisation durch Streuung
Die Atome sind im Medium nie exakt homogen verteilt. Das Lorenzmodells, gemäß dem
es nur in Vorwärtsrichtung konstruktive Interferenz gibt und in alle anderen Richtungen
sich die Felder der einzelnen Dipole exakt aufheben, ist ein daher Idealisierung. Es wird
immer einzelne Dipole geben, deren Feld nicht weginterferiert. Dieses Dipolfeld hat eine
definiertePolarisation,diedurchdasPrimärfeldgegebenistundimFernfelddieForm
hat
~E(~r, t) =− k2 d 0 e i(kr−ωt)
sin θ · ê θ ,
4πε 0 r
wobei ê θ der Einheitsvektor entlang θ ist, also parallel zu den Längengraden auf einer
gedachten Kugel um den Dipol herum steht.
104

Die Amplitude der Dipolschwingung d 0 ist das Produkt aus Elektronenladung und
Maximalauslenkung des Elektrons. Um die Intensität der Welle zu bestimmen benötigen
wir
E · E ∗ = k4 d 2 0 sin 2 θ
4πε 0 r 2
was dann zur Intensität
I = cε 0 |E| 2 = 1 ck 4 d 0 sin 2 θ
4π ε 0 r 2
führt.
Sie ist stark wellenzahlabhängig, I ∼ k 4 . Blaues Licht wird also wesentlich stärker
gestreut als rotes, was den Himmel blau erscheinen lässt und die untergehende Sonne
rot (weil Rot übrigbleibt).
Die Intensität ist richtungsabhängig, I ∼ sin 2 θ. Die Streuung wird maximal für θ =
90 ◦ d.h. senkrecht zu Richtung der Schwingung (am ”Äquator”).
Das aus dem Medium rechtwinklig zum Lichtstrahl herausgestreute Licht ist somit
senkrecht zum Lichtstrahl polarisiert. (siehe Experiment mit der Milchwanne)
105

• Die wirkliche Welt
Bisher haben wir Licht nur in Medien mit räumlich konstantem Brechungsindex betrachtet
oder Grenzflächen zwischen solchen Medien. Die Welt ist natürlich voll von
verschiedenen optischen Medien. Beim Übergang zwischen den Medien macht der
Brechungsindex Sprünge aber auch innerhalb eines Medium kann der Brechungsindex
fluktuieren. Dichteschwankungen in Gasen, Einschlüsse oder Störungen des Kristallgitters
in Festkörpern, Gemische von Flüssigkeiten wie z.B. Öl und Wasser sind selber
schon bereits physikalische Idealisierungen all dessen, was uns umgibt und durch die
Wechselwirkung mit Licht sichtbar wird. Regenbogen, Nebel, Dunst, Farbe und Glanz
von Oberflächen etc. sind nur einige Beispiele. Dazu kommt die Abhängigkeit des
Brechungsindex von der Richtung des Feldes, die aus der dem Brechungsindex zugrundeliegenden
dielektrischen Funktion einen komplexwertigen Tensor macht. Dieser
komplexwertige, dielektrische Tensor ε(ω,~r, t) der wirklichen Welt enthält letztlich
alle optischen Phänomen, vom Kinofilm bis zum Sonnenuntergang. Ihn wenigstens in
winzigen Ausschnitten zu untersuchen ist Gegenstand der klassischen Optik.
5.4 Photonen
Licht kann man sich als eine Ansammlung von Teilchen vorstellen, den Photonen. Diese
Teilchen sind punktförmig und haben keine Masse. Sie tragen aber sowohl Energie als auch
Impuls und Drehimpuls. Jede der drei Eigenschaften sind mit einer bestimmten Welleneigenschaft
verbunden.
• de Broglie-Beziehungen
Die Energie des Photons ist proportional zur Kreisfrequenz und der Impuls proportional
zum Wellenvektor.
ε = ~ω
~p = ~ ~ k.
Die Proportionalitätskonstante ist das so gennante Plancksche Wirkungsquantum,
~ =1.05457266 × 10 −34 J s .
Die sind die berühmten de Broglie-Beziehungen (sprich Brolie). Sie verknüpfen die
charakteristischen Eigenschaften von Wellen mit den charakteristischen Eigenschaften
von Teilchen. Die de Broglie-Beziehungen wurden zunächst auf Elektronen bezogen,
die dadurch überraschenderweise mit neuartigen, noch unbekannten Materiewellen in
Verbindung gebracht werden konnten. In der Optik waren die Wellen zuerst da. Sie
kann man durch die de Broglie Beziehungen mit neuartigen Teilchen in Verbindung
bringen, den Photonen.
106

• Drehimpuls von Photonen.
Zirkular links und rechts polarisiertes Licht übertragen entgegengesetzten Drehimpuls.
Mit dem elektrischen Feld rotiert die Kraft, die das Licht auf eine Ladung ausübt und
treibt die Ladung auf eine Kreisbahn. Die Leistung, die von einem Drehmoment T auf
eine mit ω rotierende Ladung übertragen wird ist:
P = ω · T
Außerdem gilt allgemein für Drehimpuls L und Drehmoment T :
dL
dt = T.
Leistung und Drehimpulsänderung hängen also über ω zusammen:
P = ω · dL
dt .
WirdalseineEnergiemengeε aufgenommen, ist damit auch ein Drehimpuls
L = ± ε ω
übertragen worden. Das Vorzeichen ist vom Drehsinn abhängig.
Da Photonen eine Energie
ε = ~ω
transportieren, tragen sie offenbar auch einen Drehimpuls der Größe
L = ±~.
Eine zirkulare Lichtquelle besteht aus Photonen, von denen jedes einen Drehimpuls
±~ trägt.
• ExperimentvonR.Beth(1936)
Den Drehimpuls von Licht kann man mit einer Torsionswaage messen.
107

Das erste λ -Plättchen transformiert das einfallende, linear polarisierte Licht in zirkular
4
polarisiertes Licht. Das an einem Torsionsfaden aufgehängte λ -Plättchen invertiert
2
die Rotationsrichtung des Lichts und nimmt dabei pro Photon einen Drehimpuls von
+2~ auf. Das Licht durchläuft dann das obere λ -Plättchen zweimal, einmal vor und
4
einmal nach der Reflektion am Spiegel. Es wirkt also wie ein λ -Plättchen, das die
2
Drehrichtung umkehrt bevor das rücklaufende Licht das bewegliche λ -Plättchen zum
2
zweiten Mal durchläuft und wieder eine Drehimpuls von +2~ überträgt. In der Zeit,
in der ein Photon die Anordnung durchläuft überträgt es einen Drehimpuls von +4~
und damit wirkt bei einem konstanten Photonenfluss ein konstantes Drehmoment auf
das Torsionspendel, dess Auslenkung im Gleichgewicht ein Maß für den Drehimpuls
des Lichtfelds ist. Je nach Einstellungswinkel des unteren λ -Plättchen ist das Licht
4
danach entweder rechtszirkular oder linkszurkular oder linear polarisiert. Das Pendel
schlägt dann entweder in die eine oder die ander Richtung oder gar nicht aus. Das ist
es auch was man beobachtet.
108

Die Größe des Drehmoments entspricht gerade dem von den Photonen übertragenen
Drehimpuls wobei sich die Photonenzahl aus der Lichtleistung errechnet, also dem
Energiefluss durch die Apparatur.
• Lineares Licht im Photonenbild
Ein linear polarisiertes Photon gehört zu einer linear polarisierten Welle, die eine Superposition
aus links und rechtszirkularem Licht ist
E lin (t) = 1 √
2
(E + (t)ê + + E − (t)ê − ).
wobei sich die Einheitsvektoren des zirkularen Lichts aus den linearen Komponenten
zusammensetzen,
ê ± := î ± i · ĵ.
Die Energie eines linearen Photons ist also zu gleichen Teilen auf beide zirkulare Polarisationen
aufgeteilt,
|E lin (t)| 2 = 1 2 |E r| 2 + 1 2 |E l| 2 +(ê + · ê − ) E r (t)E l (t)
= 1 2 |E r| 2 + 1 2 |E l| 2 .
Der letzte Term verschwindet da î und ĵ und damit auch ê + und ê − orthogonal sind.
Ein Photon soll aber ein Elementarteilchen sein und ist damit nicht in ein halbes
linkszirkulares und ein halbes rechtszirkulares Photon teilbar. Um hier Welle und
Teilchen zusammenzubringen, braucht es eine neue Idee. Sie besteht darin, nicht das
Photon zu teilen, sondern die Wahrscheinlichkeit, mit der man das Photon in der
einen oder der anderen Polarisation antrifft. Ein linear polarisiertes Photon befindet
sich also mit halber Wahrscheinlichkeit im zirkular rechten Zustand und mit halber
Wahrscheinlichkeit im zirkular linken Zustand.
• Zirkulares Photon am Strahlteiler
Zum analogen Schluss für zirkulare Photonen kommt man, wenn man folgenden Aufbau
betrachtet:
109

Der Polarisationsstrahlteiler trennt die beiden linearen Polarisationen, aus denen sich
das einfallende zirkulare Licht zusammensetzt in eine vertikal linear polarisierte Komponente
und ein horizontal linear polarisierte Komponente auf und verteilt es je nach
Polarisationsrichtung auf die beiden Ausgänge. Ein einfallendes (zirkulares) Photon
weiß am Strahlteiler nicht was es machen soll. Es gibt kein Argument das entscheidet,
ob es nach links oder geradeaus gehen soll. Wieder hilft die Einführung einer
Wahrscheinlichkeit, die sich dann teilen lässt. Mit halber Wahrscheinlichkeit verlässt
das Photon den Strahlteiler entweder am Ausgang 1 oder am Ausgang 2.
Bis hierher waren Experimente in der Physik immer streng reproduzierbar und vorbestimmt
(determiniert). Dies ist hier nicht mehr der Fall. Hier endet die klassische
Physik und die Quantenmechanik beginnt.
6. Überlagerungen von Wellen
Bisher hatten wir es hauptsächlich mit ebenen Wellen zu tun. Diese sind räumlich und
zeitlich unendlich ausgedehnt und damit Idealisierungen. In der wirklichen Welt wird dagegen
jedes Licht irgendwann einmal an und ausgeschaltet. Genauso ist die räumliche Ausdehnung
des Lichts begrenzt. Solche realistischen Lichtfelder lassen sich als Überlagerungen
ebener Wellen verstehen. Überlagerungen haben aber ganz bestimmte Eigenschaften, die
wir an einigen Beispielen zunächst illustrieren. Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen
sich dann Unschärferelationen für Ort und Wellenzahl sowie für Zeit und Frequenz ableiten,
mit denen die Eigenschaften realistischer Felder charakterisiert werden können.
6.1 Feld einer Überlagerung von Punktquellen
• Das Feld, das eine Anordnung von Punktquellen an einem bestimmten Beobachtungspunkt
erzeugt, ist laut Superpositionsprinzip die Summe der Felder, die die einzelnen Quellen
am Beobachtungspunkt erzeugen.
~E gesamt = X n
= X n
" X
= Re
n
~E n cos (ω n t + θ n )
h i
Re A ~ n exp (iω n t)
#
~A n exp (iω n t) ,
wobei
~A n := ~E n · e iθ n
die komplexe Amplitude des Feldes ist, das die n-te Quelle am Beobachtungspunkt
erzeugt. Sie setzt sich aus der reelen Amplitude ~ E n und der Phase θ n zusammen. Die
110

Phase wird vom Lichts entlang des Wegs von der Quelle zum Beobachtungspunkt bei
~r a aufgesammelt.
Z ~ra
θ n = Re(m(~r, ω n )) ω n
~r n
c d~r
Die n-teQuellesitztamOrt~r n und hat die Frequenz ω n . Der komplexe Brechungsindex
m(~r, ω) kann in Prinzip frequenzabhängig sein und sich mit dem Ort ändern.
Ändert sich der Brechungsindex auch noch mit der Zeit, kann man den Ansatz so
nicht mehr machen, da das Feld am Beobachtungspunkt nicht mehr notwendigerweise
harmonisch mit der Frequenz der Quelle schwingt. Außerdem muss man wissen wie
sich die Feldamplitude auf dem Weg von der Quelle zum Beobachtungspunkt verändert.
Dazu benötigt man dann den Imaginärteil des Brechungsindex. In Feld und
Phase stecken also ein Menge Detailinformation, was das Problem ziemlich kompliziert
machen kann. In den folgenden Beispielen nehmen wir den einfachsten Fall an: Der
Brechungsindex ist konstant, die Quellen haben alle dieselbe Frequenz und erzeugen
am Beobachtungspunkt alle die gleiche Amplitude. Die Phase vereinfacht sich dann zu
θ n = m ω c x n = kx n ,
wobei x n die Weglänge von der n-ten Quelle zum Beobachtungspunkt ist und k die
Wellenzahl im Medium.
6.2 Antennenarrays
• Phasenempfindliche Radioastronomie
Als Beispiel betrachten wir Radioantennen im Abstand d entlang einer Basislinie. Sie
strahlen elektromagnetische Dipolwellen ab, die wir hier aber der Einfachheit halber
durch Kugelwellen ersetzen.
111

Ein Sender mit einem zeitlich sinusförmigen Signal der Kreisfrequenz ω erzeugt in
den Antennen eine Schwingung mit gleicher Frequenz in allen Antennen. Zusätzlich
wird elektronisch eine zeitlichen Verzögerung ∆t eingeführten die Phasenverschiebung
zwischen benachbarten Antennen bewirkt:
¯ϕ = ω · ∆t.
Gesucht ist das elektrische Feld in einem großem Abstand im Vergleich zur Länge der
Antennenreihe.
• Abstrahlrichtung qualitativ
Im großen Abstand überlagern sich die Kugelwellen näherungsweise zu ebenen Wellenfronten,
die unter einem bestimmten Winkel zur Basislinie abgestrahlt werden. Von
oben sieht das dann so aus:
Der Abstrahlwinkel, den die Wellenfronten mit der Basislinie bilden, ist durch die
Phasenverzögerung einstellbar. Umgekehrt ist auch richtungsempfindlicher Empfang
möglich. Es entsteht ein Radioteleskop, dessen Beobachtungsrichtung man einfach
durch Einstellen der Relativphase ¯ϕ zwischen den Antennen verändern kann, ohne
etwas mechanisch bewegen zu müssen.
• Abstrahlrichtung quantitativ.
Wie ist der Zusammenhang aus Abstrahl/Beobachtungsrichtung und Relativphase?
Wenn die erste Antenne synchron mit dem Sender schwingt, ist die Phasenverschiebung
der zweiten Antenne
ϕ 2 = ϕ +¯ϕ.
Sie enthält den elektronischen Anteil ¯ϕ, der frei eingestellt werden kann und den
geometrischen Anteil ϕ, der von der Abstrahlrichtung abhängt und damit vom Winkel
θ zwischen den Phasenfronten und der Basislinie
θ
112

ϕ = d · k · sin θ.
Die Phasenverschiebung der dritten Antenne ist gerade doppelt so groß. Allgemein gilt
ϕ n =(n − 1) ∆ϕ,
mit der Abkürzung
∆ϕ := ϕ +¯ϕ = d · k · sin θ +¯ϕ
Wenn wir annehmen, dass die Felder aller Antennen am Beobachtungspunkt parallel
stehen, lautet die Amplitude des Gesamtfeldes von N Antennen damit:
NX
X N
E gesamt = A n e iωt = E 0 e iωt e iϕ n .
Die Summe kann man auswerten:
NX
e iϕ n
=
n=1
=
n=1
NX
n=1
e i(n−1)∆ϕ
N−1
X ¡ ¢ e
i∆ϕ n
n=0
n=1
= eiN∆ϕ − 1
e i∆ϕ −
³
1
∆ϕ´
e i N 2 ∆ϕ e i N 2 ∆ϕ − e −i N 2
= ³
∆ϕ´
e i 1 2 ∆ϕ e i 1 2 ∆ϕ − e −i 1 2
= e −iα · sin ¡ 1
N∆ϕ¢ 2
sin ¡ 1
∆ϕ¢ ,
2
mit der Phase
α := 1 (N − 1) ∆ϕ.
2
Der Realteil des komplexen Feldes liefert das tatsächliche elektrische Feld.
"
Re E 0 e iωt e −iα · sin ¡ 1
N∆ϕ¢
#
2
sin ¡ 1
∆ϕ¢ = E · cos (ωt − α)
2
Die Amplitude
sin ¡ 1
E = E N∆ϕ¢ 2
0
sin ¡ 1
∆ϕ¢ 2
ist eine Funktion der Relativphase ∆ϕ zwischen den Antennen und damit richtungsabhängig.
Für 10 Antennen (N =10) sieht das Feld so aus:
113

Man erhält ausgeprägte Hauptextrema in bestimmte Richtungen. Dazwischen liegen
kleinere Nebenextrema.
• Verhalten für kleine Abstrahlwinkel
Wir betrachten das zentrale Hauptmaximum etwas genauer. Für kleine Relativphasen
∆ϕ kann man den Nenner durch sein Argument nähern:
sin ¡ 1
E ' E N∆ϕ¢ 2
0 1
∆ϕ 2
' E 0 N sin ¡ 1
N∆ϕ¢ 2
N 1∆ϕ
2
' E 0 N · sin u
u ,
wobei
u := 1 2 N∆ϕ = 1 N (d · k · sin θ +¯ϕ) .
2
Die Variable u enthält den Abstrahlwinkel θ. Die abgestrahlte Amplitude variiert mit
u gemäß der Sinc-Function (Sinus Cardinalis) sin (u) /u.
114

• Hauptmaximum
Das Hauptmaximum bei u =0entspricht einer Phase ∆ϕ =0und damit einer Abstrahlrichtung:
∆ϕ = d · k · sin θ max +¯ϕ =0
oder
sin θ max = −¯ϕ
d · k .
Die Abstrahlrichtung kann man durch Verändern der elektronischen Phasenverschiebung
einstellen. Die Maximalamplitude in diese Richtung ist
so dass die Intensität
E max = E 0 N,
I max = I 0 N 2 .
Die abgestrahlte Intensität ist N mal größer als die Summe der einzeln abgestrahlten
Intensiäten! Kohärente Abstrahlung führt zu höherer Effizienz. Der Sender zieht mehr
Strom wenn die Antennen in einer Reihe stehen anstatt statistisch verteilt.
• Richtungsselektivität
Wir suchen die Winkelauflösung, definiert durch Lage der zum Hauptmaximum benachbarten
Nullstelle. Diese liegt bei
sin u 0 =0
bzw.
Mit der Definition von u erhält man
u 0 = ±π.
u 0 = 1 2 N∆ϕ 0 = N 2 (¯ϕ + d · k · sin θ 0)=±π,
Die elektronische Phase ¯ϕ erhalten wir durch deren Beziehung zum Abstrahlwinkel des
Maximums:
¯ϕ = −d · k · sin θ max .
Einsetzen ergibt
N
2 (−d · k · sin θ max + d · k · sin θ 0 ) = ±π
sin θ max − sin θ 0 = ∓ 2π
d · k · N .
115

Diesen Ausdruck kann man umschreiben in
µ µ
θmax + θ 0 θmax − θ 0
2cos
· sin
2
2
= ∓ 2π
d · k · N .
Bei guter Winkelauflösung sind die Winkel θ max und θ 0 nicht sehr verschieden und man
kann nähern:
θ max ' θ 0 .
und damit
Für die Winkelauflösung
ergibt sich dann der Ausdruck
θ max + θ 0 ' 2 · θ max .
∆θ := θ max − θ 0
sin (∆θ/2) ' ∓
π
d · k · N · 1
cos (θ max ) .
Die Auflösung ist in Vorwärtsrichung am besten (θ max =0) und verschlechtert sich
für seitliche Winkel. Nähern des Sinus durch sein Argument führt schließlich zu dem
einfachen Ausdruck
∆θ '±
λ
d · N · 1
cos (θ max ) .
mit der Lichtwellenlänge λ und dem Abstand zwischen der ersten und der letzten
Antenne d · N. DerAuflösungswinkel in rad ist in Vorwärtsrichtung also ungefähr dem
Verhältnis von Wellenlänge zur Länge der Antennenreihe. Wenn man alle Antennen
zwischen der ersten und der letzten entfernt, bleibt die Auflösung zwar erhalten, die
Signalstärke veringert sich jedoch proportional zur Anzahl der entfernten Antennen.
Man kann dieses Spiel auch mit Licht, also mit Wellenlängen im Bereich einiger 100nm
spielen.
6.3 Beugung am Spalt
• Einzelspalt
Ein Schirm mit Spalt der Breite d wird von links mit einem gleichmäßigen Lichtfeld
angeleuchtet. In großem Abstand hinter dem Spalt steht eine weiterer Schirm auf den
das Licht fällt, das den Spalt passiert hat. Wie ist dort die Helligkeitsverteilung? Wir
nehmen an, dass jeder Punkt in der Ebene der Spaltöffnung Quelle einer Kugelwelle
ist. Alle diese Wellen überlagern sich hinter dem Spalt zu einem Interferenzmuster. Es
wird Minima und Maxima geben: Man kann die Menge der Quellen in Paare zerlegen,
die sich gegenseitig auslöschen:
116

α
α
Die Strahlen vom Rand und vom Mittelpunkt löschen sich aus falls die Phase
k · x = π
oder
oder
2π
λ · d
2 sin α = π
sin α = λ d .
Die restlichen Strahlen kann man analog zu Paaren zusammenfassen, die sich in Richtung
α gegenseitig auslöschen. Damit gibt es in diese Richtung kein Licht. Wie sieht
das komplette Intensitätsmuster aus?
• Kontinuierliche Überlagerung
Statt wie bei der Antennenreihe mit einer diskreten Anzahl von Quellen haben wir es
jetzt mit einer kontinuierlichen Reihe von Quellen also einer Quelldichte zu tun. Jede
Quelle ist streng genommen eine Quelllinie parallel zum Spalt. Tatsächlich kann man
diese Linie zu einer Punktquelle zusammenziehen, so dass wir von einer kontinuierlichen
Verteilung von Punktquellen entlang der Verbindungslinie zwischen den beiden
Spaltkanten ausgehen kann (siehe Buch von Hecht). Der Quellpunkt im Abstand z von
der einen Spaltkante erzeugt am Beobachtungspunkt eine Feldamplitude a(z). Auf dem
Schirm weit hinter dem Spalt addieren sich die Wellen mit einer Relativphase
ϕ(z) =k · x = k · z · sin α = k ⊥ · z.
Die Abkürzung
k ⊥ := k sin α
117

entspricht gerade der Komponente des Wellenvektors des gebeugten Lichts, die parallel
zum Schirm orientiert ist. Die Summe der Antennenreihe wird jetzt zum Integral:
E 0
N
X
n=1
e iϕ n
→
=
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
= : F (k ⊥ )
a(z)exp(iϕ(z)) dz
a(z)exp(ik ⊥ · z) dz
Das Integral F (k ⊥ ) ist aber gerade die Fouriertransformierte von a(z). Die Intensität
ist dann
I = cε 0 |F (k ⊥ )| 2
• Beugung am Spalt
Das Beugungsmuster eines Spalts lässt sich jetzt einfach berechnen, wenn wir annehmen,
dass der Beitrag zum Gesamtfeld für jeden Quellpunkt gleich groß ist:
Einsetzen in das Integral liefert:
Die Intensität ist dann
a(z) =a 0 für 0

mit der Abkürzung
u : = k ⊥ d/2
= k · d/2sinα
= π · d
λ sin α
Die Intensität ist wieder das Quadrat einer Sinc-Funktion mit einem zentralen Maximum
in Vorwärtsrichtung.
Die Breite des Maximums schätzen wir wieder durch die Lage der ersten Minima ab,
u = ±π,
bzw.
sin α = ± λ d .
Die Breite des zentralen Beugungsmaximums schrumpft also mit wachsender Breite d
des Spalts wie oben die Winkelauflösung mit der Anzahl der Antennen.
• Transversaler Impuls
Im ersten Minimum also für u = π ist
π = u = k ⊥ d/2
bzw.
k ⊥ d =2π.
119

Je schmaler der Spalt umso größer der mittlere transversale Impuls hinter dem Spalt
und umso breiter das Beugungsmuster. Durch die Einschränkung des Lichts auf die
Breite des Spalts entsteht eine transversaler Impuls. Schränkt man das Licht auf
einen Bereich der Größe d ein, so verteilt sich sein Wellenvektor, d.h. der Impuls der
beteiligten Photonen in dieser Richtung über einen Bereich, dessen Größe umgekehrt
proportional zu d ist. Dies ist eine erste Version der Ort-Impuls-Unschärfe.
6.3 Beugung am Gitter
• Beugungsgitter
können verschiedene Formen haben: Spiegel mit parallelen Kerben oder modulierten
Oberflächen (wellblechförmig, sägezahnförmig). Es gibt Reflexionsgitter und Transmissionsgitter.
Ein Gitter hat typischerweise einige tausend Striche pro Millimeter. Die
Abstände zwischen den Strichen betragen wenige hundert Nanometer. Gitter kosten
je nach Größe und Qualität zwischen 100 Euro -10000 Euro.
• Gitterspektrograph
dient zur Messung von optischen Wellenlängen in Physik, Chemie und Biologie. Die
Anwendungen reichen von der spektralen Analyse von Sternenlicht bis zur Absorption
biologischer Proben. Die Auflösung geht hinunter bis zu etwa 10 −4 der Wellenlänge.
• Beugung am Gitter
Wir können die Rechnung für das Antennenarray direkt übernehmen, wenn wir die
elektronische Phasenverzögerung ¯ϕ richtig wählen. Sie ist natürlich nicht mehr elektronisch
vorgegeben, sondern durch den Winkel des einfallenden Lichts bestimmt. Je
nach Einfallswinkel werden die einzelnen Gitterstäbe durch die einfallende Welle um
die Phase
¯ϕ = a · k = d · k · sin θ ein
verzögert relativ zum Nachbarstab angeregt.
120

Einsetzen in die exakte Lösung des Antennarrays ergibt eine Amplitude
sin ¡ 1
E = E N∆ϕ¢ 2
0
sin ¡ 1
∆ϕ¢ ,
2
wobei die Relativphase jetzt lautet:
∆ϕ = ϕ − ϕ
= d · k · sin θ ein − d · k · sin θ m
= d · k · (sin θ ein − sin θ m ) .
Wie im Falle des Antennenarrays erhält man Haupt und Nebenmaxima.
• Hauptmaxima.
Die Hauptmaxima liegen in Richtungen für die der Nenner verschwindet.
µ 1
sin
2 ∆ϕ 0 = 0
∆ϕ 0 = m · 2π
Damit bekommt man die sogenannte Gittergleichung für die Lage der Hauptmaxima:
(sin θ ein − sin θ m )= m · 2π
d · k = mλ d .
In nullter Odnung (m =0)erhält man
sin θ max =sinθ ein
bzw.
θ max = θ ein .
Das Gitter verhält sich in nullter Ordnung wie ein Spiegel und reflektiert wellenlängenunabhängig.
In einem Gitterspektrograph verwendet man deshalb das Hauptmaximum
der ersten Ordnung (m =1):
(sin θ ein − sin θ m )= λ d .
121

• Auflösung eines Gitters
Für kleine Ein- und Ausfallswinkel, (d.h. in der Näherung sin θ = θ und cos θ =1)
liegt das erste Beugungsmaximum bei
sin θ 1 = − λ d ' θ 1.
Vergleicht man das mit der Richtungsselektivität, die wir für das Antennearray bestimmt
haben
∆θ '
λ
d · N · 1
cos (θ max ) ' λ
d · N .
so erhält man für die Auflösung
¯
∆θ
θ 1
¯¯¯¯ '
λ
d · N · d
λ = 1 N .
Die relative Wellenlängenauflösung ist etwa gerade der Kehrwert der Anzahl der beleuchteten
Gitterstäbe. Große Gitter liefern große Auflösung.
6.4 Unschärferelationen
Bisher hatten die Quellen alle dieselbe Frequenz und dieselbe Wellenzahl. Man kann natürlich
auch Quellen unterschiedlicher Frequenzen und Wellenzahlen überlagern. Man erhält
dann räumlich und zeitlich begrenzte Wellenzüge. Derartige Überlagerungen beschreibt man
am Besten mit Hilfe des Fourierschen Theorems. Es liefert den Zusammenhang zwischen
der Frequenzverteilung der Quellen und der zeitlichen Form der Welle bzw. der Wellenzahlverteilung
und der räumlichen Ausdehnung der Welle.
• Fourier Theorem
Die Bedeutung harmonischer Wellen besteht vor allem darin, dass sie eine vollständige
Funktionenbasis bilden, also eine Satz von Funktionen, aus denen sich jede beliebige
andere Funktion zusammensetzen lässt. Wellen beliebiger Form kann man so als Überlagerung
harmonischer Wellen auffassen. Welche harmonische Wellen mit welcher Amplitude
beitragen, sagt uns das Fouriersche Theorem. Wir betrachten zunächst einen
beliebigen zeitlichen Vorgang mit dem Verlauf f(t). Als Beispiel können wir uns eine
Gitarrensaite vorstellen, deren oszillierende Auslenkung nach dem Anschlag langsam
abklingt. Eine solche ”vernünftig” integrierbare Funktion f (t) kann man als ”Linearkombination”
aus harmonischen Schwingungen auffassen:
f (t) =
∞Z
0
[a (ω)cos(ωt) +b (ω)sin(ωt)] dω .
122

Die Koeffizienten a (ω) und b (ω) berechnensichnachdenGleichungen
a (ω) = 2 ∞Z
f (t)cos(ωt) dt
π
und
0
b (ω) = 2 ∞Z
f (t)sin(ωt) dt.
π
0
Diese Funktionen sind die Spektren der Funktion f (t). Oft verwendet man nicht das
Sinus- und das Kosinus-Spektrum sondern das Amplitudenspektrum zusammen mit
dem Phasenspektrum. Wir verwenden dazu den allgemeinen Zusammenhang für die
Summe aus Sinus und Kosinus:
mit dem Amplitudenspektrum
a (ω)cos(ωt) +b (ω)sin(ωt) =A (ω)cos(ωt + ϕ (ω))
A (ω) =
q
a (ω) 2 + b (ω) 2
und dem Phasenspektrum
ϕ (ω) = arctan
µ b (ω)
.
a (ω)
Als Leistungsspektrum bezeichnet man das Quadrat des Amplitudenspektrums.
P (ω) =A (ω) 2 = a (ω) 2 + b (ω) 2
• Exponentieller Zerfall und Lorentz-Spektrum
Die Amplitude der Gitarrensaite klingt exponentiell ab, so dass die Schwingung der
Frequenz ω 0 eine zeitabhängige Amplitude bekommt,
f(t) =A 0 exp(−γ · t)cos(ω 0 t).
Wie sieht das Spektrum aus? Für einen zeitlichen Verlauf berechnet sich das Spektrum
zu:
∞Z
2
a (ω) = A 0 exp(−γ · t)cos(ω 0 t)cos(ωt) dt
π
= A 0
2
π
= A 0
1
π
0
∞Z
0
µ 1
exp(−γ · t)
2 cos (ω 0t + ωt)+ 1
2 cos (ω 0t − ωt) dt
γ
γ 2 +(ω 0 − ω) 2 + A 1
0
π
123
γ
γ 2 +(ω 0 + ω) 2

∞Z
2
b (ω) = A 0
π
= A 0
2
π
= A 0
1
π
0
∞Z
0
exp(−γ · t)cos(ω 0 t)sin(ωt) dt
µ 1
exp(−γ · t)
2 sin ((ω 0 + ω) t) − 1
2 sin ((ω 0 − ω) t) dt
ω 0 − ω
γ 2 +(ω 0 − ω) 2 − A 1
0
π
ω 0 − ω
γ 2 +(ω 0 + ω) 2
Da die Dämpfung typischerweise wesentlich kleiner ist als die Frequenz, wird in der
Nähe der Resonanz, also für ω ' ω 0 , der erste Term viel größer als der zweite Term, den
man deshalb vernachlässigen kann. Dies gilt für a und für b. Das Amplitudenspektrum
A (ω) eines exponentiellen Zerfalls lautet also:
A (ω) =
q
a (ω) 2 + b (ω) 2 = A 0
s µ 2
π
2 1
= A 0 p
π γ2 + δ . 2
Üblicherweise verwendet man hier die ”Verstimmung”
δ := ω 0 − ω.
γ
γ 2 + δ 2 2
+
µ 2
π
2
δ
γ 2 + δ 2
Aus der Mechanik übernehmen wir, dass die Leistung, die die Saite bei seiner Schwingung
abgibt, proportional zum Quadrat der Amplitude ist. Die akustische Leistungsabgabe
ist also proportional zum Leistungsspektrum
µ 2
P (ω) =A (ω) 2 2A0 1
=
π γ 2 + δ 2 .
Dies ist eine Lorentzsche Resonanzkurve.
124

Die Gitarrensaite verliert seine Energie exponentiell und strahlt dabei ein Lorentzspektrum
ab. Die Halbwertsbreite ∆ω des Spektrums ist gerade die doppelte Zerfallsrate,
∆ω =2γ
Mit der Zerfallsrate ist die Lebensdauer verbunden. In der Zeit 1/γ fällt die Amplitude
der Saite auf e −1 seiner Anfangsamplitude ab. Die Energie geht quadratisch mit der
Amplitude und zerfällt daher doppelt so schnell. Die Energiezerfallszeit τ ist daher
1/ (2γ) und man erhält
τ · ∆ω =1.
Dies ist die Frequenz Zeit-Ünschärfe eines exponentiell gedämpften Oszillators.
Wenn man den Kammerton a (440Hz) mit einer Frequenzgenauigkeit von 1% erzeugen
will, muss der Ton mindestens ein viertel Sekunde lang klingen (unabhängig vom
Instrument). Notenpartituren, bei denen Dauer und Höhe des Tons exakt angegeben
werden, bergen einen prinzipiellen Widerspruch. Um einen Ton mit einer Halbtongenauigkeit
spielen zu können, muss er eine Mindestlänge haben. Gerade für tiefe Töne
darf die Tonfolge nicht zu schnell sein (Beispiel als Übung).
• Frequenz-Zeit-Unschärfe
Mit der, für den betreffenden Vorgang charakteristischen Zeitspanne ∆t (in unserem
Beispiel ist das die Lebensdauer τ der Saitenschwingung) ist eine Frequenzunschärfe
∆ω verbunden, die sich aus der Tasache ergibt, dass eine zeitlich begrenzte Funktion
aus mehrerer Schwingungen verschiedener Frequenzen zusammensetzt. Allgemein gilt
die Unschärferelation
∆ω · ∆t > 1 2 .
Wenn wir daran festhalten, dass die Energie eines Photons
E = ~ω
wird damit auch die Energie eines Photons zu einer in endlichen Zeiten nicht exakt
bestimmbaren Größe.
• Orts-Impuls-Unschärfe
Analog zur Frequenz-Zeit-Unschärfe gibt es auch die Orts- und Wellenvektor-Unschärfe:
∆x · ∆k ' 1.
Mit der de Broglie-Beziehung für den Impuls des Photons
~p = ~ ~ k
125

erhält man:
∆x · ∆p x ' ~,
∆y · ∆p y ' ~,
∆z · ∆p z ' ~.
Dies gilt nicht nur für Licht. Ultragenaue Ortsmessungen, egal mit welchen Wellen,
erfordern ein Spektrum mit großen k-Vektoren und damit großen Impulswerten. Ein
großer Impuls erfordert aber eine hohe kinetische Energie. Um die Struktur kleinster
Teilchen zu untersuchen, benötigt man daher aufwändige Beschleunigeranlagen (z.B.
CERN in Genf). Es werden dort keine Photonen sondern Elektronen als Sondenteilchen
verwendet. Im Vergleich zu Photonen lassen sich Elektronen mit größerer Energie
herstellen.
• Auflösung eines Mikroskops
Man erhält ein fehlerfreies Bild, wenn das komplette Fourierspektrum, d.h. die gesamte
k x -Verteilung in das Mikroskop übertragen wird. Die Bandbreite der Übertragung,
also das größte k x , das noch in die Optik gelangt, ist aber durch erste Linse begrenzt.
Bezeichnet man diese größte transversale Wellenzahl mit ∆k gilt
∆k = k sin α = k · d
2 · 1
l .
Als zweites Argument bilden wir die Analogie zur Beugung am Spalt. Das Objekt
beugt das Licht mit dem es beleuchtet wird ähnlich wie ein Spalt. Aus der Beugung
am Spalt übernehmen wir die obige Beziehung
k ⊥ d =2π,
126

wobei jetzt der transversale Impuls k ⊥ mit der Bandbreite und die Größe des Objekts
mit der Spaltbreite identifiziert wird d = ∆x
k ⊥ = ∆k
d = ∆x
also
∆k · ∆x =2π.
Mit dieser Gleichung können wir ∆k in der ersten Gleichung eliminieren.
∆k = k sin α = k · d
2 · 1
l = 2π
∆x .
und nach ∆x auflösen.
oder
∆x =2π · 2l
d · 1
k = 2l
d · λ
∆x =2 λ N ,
wobei die numerische Apertur N A definiert ist als
N A := d l .
Sie hängt sehr von der Qualität der Objektivlinse ab und erreicht für gute Objektive
Werte von 0.2 bis 0.9. Das Mikroskop kann also nur Objekte abbilden, die nicht kleiner
sind als etwa die Wellenlänge des Lichts mit dem sie beleuchtet werden.
7. Optische Resonatoren
Dieses Kapitel ist optional.
Resonatoren bestehen aus zwei oder mehreren Spiegeln, die einen Lichtstrahl in sich
zurückspiegeln. Sie sind technisch wichtig beim Bau von Lasern und als Interferometer. Wir
betrachten hauptsächlich Stehwellenresonatoren und besprechen kurz noch einige andere
Typen von Resonatoren und Interferometeren.
7.1 Stehwellenresonator
Wir betrachten den einfachsten Fall eines Stehwellenresonators, der auch manchmal Fabry-
Perot-Etalon genannt wird. Er ist wesentlicher Bestandteil der meisten Laser, wird aber
auch als passives optisches Element zur Analyse von Lichtstrahlen und deren Frequenzen
verwendet.
127

• Resonante Überhöhung
Das Feld zwischen den Spiegeln hängt empfindlich von der Wellenlänge ab. Optimaler
Weise interferiert das Licht nach einem Umlauf konstruktiv mit sich selber. Das
klappt nur, für bestimmte Wellenlängen des eingestrahlten Lichts. Solches resonante
eingestrahlte Licht überlagert sich konstruktiv mit der bereits umlaufenden Welle. Die
Lichtleistung im Resonator steigt. Verluste an den Spiegeln oder durch den Auskoppelspiegel
führen zu einem Gleichgewicht der Intensität im Resonator. Diese kann bis
zu 10 5 mal höher sein als die eingestrahlte Lichtintensität.
• Intensität im Resonator
Wir berechnen die Intensität im Resonator. Im Gleichgewichtszustand muß das Feld
selbstkonsistent sein. Es muß nach den Veränderungen, die es während eines Umlaufs
erfährt, mit sich selber übereinstimmen. Die Veränderungen sind Reflexionanden
Spiegeln, das Ansammeln von Phase und die Überlagerung des eingekoppelten Feldes.
Für die Amplitude A c der rechtslaufenden Welle direkt nach dem Einkoppelspiegel
lautet die Selbstkonsistenzbedingung:
A c = A c · r 1 · r 2 · r l · e iϕ + t 1 · A in .
Der Parameter r l beschreibt mögliche Verluste durch Streuung etc. Die Phase ist durch
ϕ = k · l
gegeben, wobei l die Wegstrecke für einen kompletten Umlauf bezeichnet, also den
doppelten Spiegelabstand. Die Gleichung läßt sich direkt nach A c auflösen:
A c (1 − r 1 · r 2 · r l · e iϕ )=t 1·A in
128

Für die Intensität erhält man:
A c =
t 1·A in
1 − r 1 · r 2 · r l · e iϕ .
I c =
=
=
I in · t 2 1
(1 − r 1 · r 2 · r l · e iϕ )(1 − r 1 · r 2 · r l · e −iϕ )
I in · t 2 1
1+(r 1 · r 2 · r l ) 2 − r 1 · r 2 · r l · (e iϕ + e −iϕ )
| {z }
2cosϕ
I in · T 1
1+R 1 · R 2 · R l − 2 √ .
R 1 · R 2 · R l cos ϕ
| {z }
Airy-Funktion
Die Intensität im Resonator variiert periodisch mit der Phase pro Umlauf. Die Phase
kann man durch Änderung des Spiegelabstands variieren oder durch Ändern der Lichtfrequenz.
Das Intensitätsmaximum liegt bei cos ϕ =1und ist um den Faktor
I c
I in
=
1 − R 1
(1 − √ R 1 · R 2 · R l ) 2 .
größer als die eingestrahlte Intensität. Diese Verhältnis nennt man auch den ”Überhöhungsfaktor”.
• Spektrum eines Resonators
Bei festem Spiegelabstand erhält man ausgeprägte Resonanzspitzen für bestimmte
Wellenzahlen.
Sie liegen bei
ϕ = n · 2π = k · l = ω c · l = 2πν
c
· l.
129

wobei n eine natürliche Zahl ist. Die Resonanzfrequenzen lautet also
ν = c l n.
Oft definiert man den freien Spektralbereich
ν 0 := c l .
Die Resonanzfrequenzen sind dann natürliche Vielfache des freien Spektralbereichs.
ν n = ν 0 · n.
Die natürliche Zahl n ist ein Beispiel für eine ”Quantenzahl”. Sie nummeriert die verschiedenen
Stehwellen, die im Resonator exisitieren können und legt deren Frequenzen
fest. Ein Photon im Resonator kann also nur Energiewerte annehmen die ein Vielfaches
einer Grundfrequenz sind. Man spricht von einem äquidistanten Spektrum.
Die Wellenfunktionen, die in einem Resonator resonant gespeichert sind nennt man
auch ”Moden”.
• Impedanzanpassung.
Unter welchen Bedingungen bekommt man das meiste Licht in den Resonator oder
konkret: Für welche Werte des Einkoppelspiegels ist der Überhöhungsfaktor maximal?
Ableiten von I c /I in nach R 1 bei festem R 2 · R l und dann Nullsetzen ergibt
R 1 = R 2 · R l .
Definiert man als Verlustparameter den Leistungsverlust pro Umlauf
L := 1 − R 2 · R l ,
erhält man den einfachen Zusammenhang für die optimale Einkopplung
T 1 = L.
130

Man muß also soviel Licht über den Einkoppelspiegel zuführen, wie pro Umlauf verloren
geht. Man spricht dann von optimaler Impedanzanpassung. In diesem Fall lautet der
Überhöhungsfaktor
I c
I in
= 1 L .
• Verlustfreier Resonator
Falls das Licht aus dem Resonator nur über die Spiegel entweichen kann und es keine
sonstigen Verluste gibt, also R l =1,gilt
L := 1 − R 2 = T 2
Die Intensität hinter dem Auskoppelspiegel berechnet sich dann zu
I trans = I c · T 2 = I in · 1
T 2
· T 2 = I in .
Im Fall optimaler Impedanzanpassung und bei Abwesenheit sonstiger Verluste wird in
Resonanz alles Licht den Resonator passieren, unabhängig von den Spiegelreflektivitäten.
Das gilt auch für Spiegel mit 100% Reflektivität! In diesem Grenzfall dauert es
allerdings unendlich lange bis sich ein Gleichgewicht eingestellt hat und die Selbstkonsistenz
erfüllt ist. Wird dieses Gleichgewicht nach unendliche langer Zeit schließlich
erreicht, ist die Intensität im Resonator unendlich hoch und selbst wenn davon nur 0%
transmittiert werden, erhält man einen endlichen Wert, der dann identisch ist mit der
eingestrahlten Intensität.
7.2 Andere Resonatoren
• Ringresonatoren
Resonante Wellenfunktionen sind laufende Wellen mit zwei möglichen Umlaufrichtungen.Man
hat zwei verschiedene Wellenfunktionen bei der selben Frequenz,
Beide erfüllen die Resonanzbedingung
ψ ± = E ± cos(±kx − ωt).
k · L = m · 2π,
wobei L die geometrische Länge eines Umlaufs ist. Die Intensität ist bei beiden Wellenfunktionen
räumlich konstant und hat keine Knoten, was für den Bau von Lasern
wichtig sein kann.
131

• Schichtsysteme
Stapelt man dünne dielektrische Schichten übereinander, deren Brechungsindizes zwischen
zwei Werten abwechseln erhält man dielektrische Spiegel. Die Schichten werden
im Vakuum auf ein sorgfältig poliertes Glassubstrat aufgedampft. Einen Spiegel erhält
man, wenn die Dicke einer Schicht gerade einer viertel Wellenlänge entspricht. Das
Licht, das die Schicht nach einem Umlauf in Rückwärtsrichtung verlässt, überlagert
daher konstruktiv mit dem Licht, das direkt an der ersten Grenzfläche der Schicht
reflektiert wurde (Achtung: Phasensprung am optisch dichten Medium berücksichtigen).
Die Transmission durch die Schicht ist dann nimimal. Mit einem Duzend solcher
Schichten übereinander erhält man hochwertige Spezialspiegel die extrem verlustarm
sind. Geringe Restverluste entstehen durch Streuung in den Schichten. Typische Resonatorspiegel
kosten 100 Euro und haben etwa 0.2% Streuverluste. Es gibt auch sehr
teure Superspiegel mit bis zu 5 ppm (0.0005%) Verlusten. Auf ähnliche Weise kann
manauchAntireflexschichten herstellen, bei denen die Reflektion durch Interferenz
verschwindet.
• Gekoppelte Resonatoren
Oft plaziert man in einen Resonator wiederum einen oder mehrere kleine Stehwellenresonator
als frequenzselektive Elemente. Damit lassen sich bestimmte Moden unterdrücken.
132

Alternativ kann man auch einen der Spiegel durch einen Resonator ersetzen wie z.B.
beim Fox-Smith-Resonator. Der dadurch entstehende frequenzabhängige ”Spiegel”
reflektiert nur, wenn der zusätzliche Resonator in Resonanz ist.
133