Physik III, Optik
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<strong>Physik</strong> <strong>III</strong>, <strong>Optik</strong><br />
Claus Zimmermann<br />
January 14, 2009
Contents<br />
1. Geometrische <strong>Optik</strong> ................................. 3<br />
1.1AusbreitungvonLichtunddasFermatschePrinzip ............ 3<br />
1.2AusbreitungvonLichtunddasHuygenschePrinzip............ 11<br />
1.3Linsen ..................................... 15<br />
1.4AbbildungvonObjekteninparaxialerNäherung. ............. 19<br />
1.5 Lupe und Fernrohr .............................. 23<br />
1.6 ABCD-Matrizen. ............................... 24<br />
1.7 Abbildungsfehler ............................... 29<br />
1.8 Pupillen .................................... 31<br />
1.9Prismen .................................... 33<br />
2.Wellen ........................................ 37<br />
2.1EindimensionaleWellengleichung ...................... 37<br />
2.2 Harmonische Wellen ............................. 39<br />
2.3DreidimensionaleWellen........................... 43<br />
2.4BeipielemechanischerWellen ........................ 46<br />
2.5 Dispersionsrelationen............................. 50<br />
2.6RandbedingungenundStationäreWellen.................. 53<br />
3.Lichtwellen...................................... 62<br />
3.1WellengleichungfürelektromagnetischeWellen............... 62<br />
3.2FresnellscheGleichungenfürdieFelder ................... 67<br />
3.3IntensitäteinerLichtwelle .......................... 74<br />
3.4 Reflexion und Transmission an einer Grenzfläche.............. 76<br />
3.5HerleitungderFresnellschenGleichungen.................. 80<br />
4. Licht in Materie ................................... 84<br />
4.1 Lorentz-Modell . ............................... 84<br />
4.2DispersionsrelationundWellenpakete.................... 91<br />
4.3Metalle..................................... 96<br />
5. Polarisation des Lichts ............................... 98<br />
5.1BeschreibungderPolarisation ........................ 98<br />
5.2Verzögerungsplättchen ............................ 100<br />
5.3Polarisatoren ................................. 103<br />
5.4Photonen ................................... 106<br />
6. Überlagerungen von Wellen............................. 110<br />
1
6.1FeldeinerÜberlagerungvonPunktquellen ................. 110<br />
6.2Antennenarrays................................ 111<br />
6.3 Beugung am Spalt .............................. 116<br />
6.3 Beugung am Gitter .............................. 120<br />
6.4 Unschärferelationen.............................. 122<br />
7. Optische Resonatoren ................................ 127<br />
7.1 Stehwellenresonator.............................. 127<br />
7.2 Andere Resonatoren ............................. 131<br />
Für den Menschen ist Licht ist eines der spektakulärsten und faszinierensten physikalischen<br />
Phänomene. Ohne Licht kein Sonneuntergang über der Wüste aber auch keine schnelle<br />
transatlantische Glasfaserverbindung für Internet und Telefon. Über die Jahrtausende hat<br />
sich die Vorstellung über die Natur des Lichts immer wieder gewandelt und es gab erbitterte<br />
Diskussionen darüber ob man Licht nun als ein Strom aus Teilchen auffassen müsste<br />
oder als ein Wellenphänomen. Seit weniger als hundert Jahren sind wir nun in der privilegierten<br />
Situation, ziemliche genau sagen zu können was Licht ist, nämlich ein relativistisches<br />
Quantenphänomen. Dass sich ein Bogen schlagen lässt von einfachen Vorstellungen<br />
der geometrischen <strong>Optik</strong> bis hin zu Licht als Prototyp einer eichinvarianten Quantenfeldtheorie,<br />
ist in sofern sensationell als man das Gefühl bekommt man könne eine fundamentale<br />
und höchst abstrakte physikalische Theorie sozusagen mit den eigenen Augen sehen, z.B bei<br />
einem Sonnenuntergang. Im optischen Teil der Vorlesung <strong>Physik</strong> <strong>III</strong> können wir natürlich<br />
nicht das vollständige Bild dessen entwerfen, was Licht ist, aber wir können einen Anfang<br />
machen, der uns immerhin schon sehr nahe an die Grundlagen der Quantenmechanik führt<br />
und uns außerdem eine Menge Einsichten vermittelt, wie man Licht, sozusagen im Alltag<br />
beschreiben kann.<br />
Dieser Text enthält die Argumente und Rechungen des Teils der Vorlesung <strong>Physik</strong> <strong>III</strong>,<br />
der sich mit <strong>Optik</strong> befasst. Er nimmt innerhalb der gesamten Vorlesung (6SWS) etwa ein<br />
Drittel ein (2 SWS). Inhalt ist zunächst ein etwas längeres Kapitel über die geometrische<br />
<strong>Optik</strong>, gefolgt von zwei Kapiteln über Wellen im allgemeinen (Kapitel 2) und Lichtwellen im<br />
besonderen (Kapitel 3). Kapitel 4 beschreibt im Rahmen des klassischen Lorentz-Modells<br />
die Wirkung von Licht auf dielektrische Materialien und Metalle als auch umgekehrt die<br />
Wirkung der Materie auf das Licht. Neben der Wellenlänge kann auch die Polarisation des<br />
Lichts verändert werden, was einerseits zur Polarisationsoptik führt, andererseits Licht und<br />
Drehimpuls in Verbindung bringt (Kapitel 5). Das Kapitel schließt mit den Photonen als<br />
teilchenartige Träger der Lichtenergie. Damit sind die wesentlichen Eigenschaften von Licht<br />
eingeführt. Das letzte Kapitel betrachtet Effekte, die auftreten, wenn man Licht räumlich<br />
oder zeitlich einschränkt. Ebene Wellen sind dann keine gute Beschreibung mehr und man<br />
muss zu Überlagerungen von ebenen Wellen übergehen. Mit Hilfe von Unschärferelationen<br />
lassen sich grundlegende Eigenschaften solcher Überlagerungen erfassen.<br />
2
1. Geometrische <strong>Optik</strong><br />
1.1 Ausbreitung von Licht und das Fermatsche Prinzip<br />
Wir gehen davon aus, dass sich Licht entlang von Bahnen mit einer bestimmten Geschwindigkeit<br />
bewegt. Die Bahnen ergeben sich aus dem Fermatschen Prinzip. Die Geschwindigkeit kann<br />
je nach Medium, in dem sich das Licht bewegt, verschieden sein. Dies führt zu dem Begriff<br />
des Brechungsindex.<br />
• Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Fizzeau:<br />
Zwischen Zahnrad und Spiegel liegt eine möglichst große Wegstrecke, die das Licht um<br />
eine möglichst große Laufzeit verzögert. Die Quelle wird gerade verdeckt, wenn sich das<br />
Zahnrad während der Lichtlaufzeit um einen halben Zahn weiterdreht. Es gibt also eine<br />
bestimmte Rotationsgeschwindigkeit, bei der die Quelle für den Betrachter unsichtbar<br />
wird. Aus dieser Winkelgeschwindigkeit und der Wegstrecke zwischen Zahnrad und<br />
Spiegel lässt sich die Lichtgeschwindigkeit bestimmen. (Zahlenbeispiel als Übung)<br />
Fizzeaus Ergebnis:<br />
c ' 3 · 10 8 m s<br />
Heute wird die Lichtgeschwindigkeit definiert als<br />
c := 299792458 m s<br />
Über die Realisierung der Sekunde durch Messen der Hyperfeinstruktur von Cäsium ist<br />
damit auch das Meter definiert. Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem<br />
die gleiche. Der Wert der Naturkonstante c entspricht der Lichtgeschwindigkeit im<br />
Vakuum.<br />
3
• Brechungsindex<br />
Die Lichtgeschwindigkeit hängt vom Medium ab.<br />
V Licht = c n<br />
n ist der Brechungsindex. Er ist dimensionslos. In Glas beträgt er typischerweise n<br />
≈ 1.5. Das Licht ist in Glas also um den Faktor 1.5 langsamer als im Vakuum.<br />
• Das Fermatsches Prinzip<br />
lautet: Das Licht nimmt von allen benachbarten Wegen denjenigen, der zeitlich am<br />
kürzesten dauert.<br />
z. B. Luftspiegelung:<br />
Der räumlich längere Weg ist wegen der höheren Geschwindigkeit in heißer Luft der<br />
zeitlich kürzere. Die Quelle erscheint dem Betrachter gespiegelt.<br />
z. B. Sonnenuntergang:<br />
In den oberen Luftschichten ist der Brechungsindex kleiner, da der Atmosphärendruck<br />
noch oben hin abnimmt und damit die Lichtgeschwindigkeit zu. Die Sonne scheint<br />
noch über dem Horizont zu stehen obwohl sie bereits untergegangen ist. Es ist wichtig,<br />
dass die Wege benachbart sind: Gibt es eine direkte Sichtverbindung zwischen zwei<br />
4
Punkten kann es außerdem noch ein Verbindung über einen Spiegel geben, obwohl sie<br />
die längere ist. Beide Wege sind nicht benachbart, d.h. sie können nicht ohne Sprung<br />
ineinander überführt werden.<br />
• Brechung und Fermatsches Prinzip<br />
Im homogenen Medium breitet sich das Licht entlang einer Geraden aus. An der<br />
Grenzfläche zwischen zwei Medien kann es also höchstens einen Knick machen. Wie<br />
lässt sich der Ablenkwinkel mit dem Fermatschen Prinzip berechnen?<br />
Das Licht soll von Punkt S nach Punkt P auf dem schnellsten Weg. Die Laufzeit wird<br />
durch die Lage von Punkt O verändert. Gesucht wird also der Abstand x, beidemdie<br />
Laufzeit am kleinsten ist.<br />
Die Laufzeit beträgt:<br />
t = SO + OP<br />
und ist minimal für:<br />
also<br />
=<br />
v i<br />
v t<br />
√<br />
h2 + x 2<br />
v i<br />
+<br />
d<br />
t(x) =0,<br />
dx<br />
p<br />
b2 +(a − x) 2<br />
dt<br />
dx = x<br />
√<br />
v i h2 + x + −a + x<br />
p 2 v t b2 +(a − x) =0 2<br />
= 1 x<br />
√ − 1 a − x<br />
p =0.<br />
v i<br />
| h2<br />
{z<br />
+ x<br />
}<br />
2 v t b2 +(a − x)<br />
| {z }<br />
2<br />
sin θ i sin θ t<br />
5<br />
v t
Die Brüche mit den Wurzeln sind gerade der sinus des Einfallswinkel und des Winkels<br />
des transmittierten Strahls.<br />
sin θ i<br />
v i<br />
= sin θ t<br />
v t<br />
oder<br />
sin θ i<br />
= n t<br />
sin θ t n i<br />
Dies ist das Snelliussches Brechungsgesetz. Es beendet eine lange Debatte angefangen<br />
bei Ptolomäus in der Antike über Witelo im Mittelalter (1270), Kepler (1604) in der<br />
Renaissance und Descartes und Snell in der Neuzeit.<br />
• Totalreflexion<br />
Das Snelliussche Gesetz beschreibt auch die Situation für θ i > 90 ◦ richtig. Beide<br />
Strahlen laufen dann im selben Medium und es gilt also<br />
Mit Snellius folgt<br />
n i = n t .<br />
sin θ i<br />
= n t<br />
=1<br />
sin θ t n i<br />
sin θ i = sinθ t .<br />
Außerdem gilt<br />
Also<br />
sin θ i =sin(180 ◦ − θ i )=sinθ r .<br />
sin θ r = sinθ t<br />
θ r = θ t .<br />
Bei θ i > 90 ◦ erhält man totale interne Reflexion wie an einer Spiegelfläche.<br />
6
• Optische Weglänge.<br />
Die Überlegung lässt sich auf Medien mit kontinuierlich veränderlichen Brechungsindex<br />
erweitern. Dazu betrachten wir Licht, das einen Stapel verschiedener Materialien mit<br />
unterschiedlichem Brechungsindizes n i durchläuft.<br />
Die gesamte Laufzeit beträgt:<br />
t = s 1<br />
v 1<br />
+ s 2<br />
v 2<br />
... = X i<br />
s i<br />
= 1 X<br />
n i s i<br />
v i c<br />
i<br />
Für kontinuierliche Brechungsindexvariation n(s) kann man die Summe durch ein Intergral<br />
ersetzen.<br />
t = 1 c ·<br />
Z p<br />
s<br />
n(s)ds<br />
| {z }<br />
optische Weglänge<br />
Das Licht wählt sich aus benachbarten Bahnen diejenige, mit der kürzesten optischen<br />
Weglänge aus. Technisch wichtige Beispiele sind optische Glasfasern zu Datenübertragung<br />
und so genannte GRID Linsen (graded index lenses).<br />
• Abbildung von Punkten<br />
Für Anwendungen wichtig ist der Begriff der Abbildung, den wir hier zunächst einmal<br />
nur für einzelne Punkte einführen: Werden alle Lichtstrahlen, die von einem Punkt<br />
ausgehen an einem anderen Punkt wieder zusammengeführt, hat man den ersten auf<br />
den zweiten Punkt abgebildet. Beispielsweise werden die beiden Brennpunkte eines<br />
Ellipsoids aufeinander abgebildet.<br />
7
Eine Ellipse entsteht durch Verwendung eines Fadens, den man locker zwischen S und<br />
P einspannt und als Zirkel verwendet. Der Weg von Punkt S nach Punkt P über<br />
einen beliebigen Punkt der Ellipse ist eine Konstante. Alle diese Wege sind also gleich<br />
schnell und werden daher alle vom Licht gegangen.<br />
Schiebt man den Punkt P nach unendlich, erhält man einen Parabolscheinwerfer:<br />
• Abbildung durch Brechung<br />
Mit einer gekrümmten Grenzfläche erreicht man ebenfalls eine Abbildung.<br />
8
Damit die Grenzfläche eine Abbildung erzeugt, muß der Weg SAP für beliebige Punkte<br />
A gleich sein, also:<br />
l 0 n 1 + l i u 2 = s 0 n 1 + s i n<br />
DierechteSeiteisteineKonstante,dieunabhängigvonderLagevonA ist. Man erhält<br />
die Definitionsgleichung für ein Kartesisches Oval:<br />
l 0 · n 1 + l i · n 2 = konstant<br />
• Hyperbolische Plankonvexlinse<br />
Schiebt man P nach + ∞, so werden die Stahlen, die von S kommen kollimiert, d.h.<br />
parallelisiert.<br />
Das kartesiche Oval wird zur Hyperbel (hier ohne Begründung). Aus der planen Rückseite<br />
treten die Strahlen ohne Brechung aus.<br />
• Hyperbolische Bikonvexlinse<br />
Zwei plankonvexe Linsen Rücken an Rücken ergeben eine abbildende Linse:<br />
9
• Brechende Ellipse<br />
Schiebt man den Punkt S des kartesischen Ovals nach −∞, so erhält man eine Ellipse<br />
(hier ohne Begründung).<br />
• Konkav-Konvexlinse<br />
Soll der Punkt P im selben Medium liegen wie der Startpunkt S, sokannmaneinen<br />
Teil der Ellipse kugelförmig wegschneiden:<br />
Die Kugelschale lässt die von P kommenden Strahlen ungebrochen.<br />
• Streulinsen<br />
Analoges gilt für Streulinsen, z. B. hyperbolische Plankonkavlinse<br />
10
Soweit die geometrischen Spielereien von Descartes. Wie lässt sich das Fermatschen<br />
Prinzip genauer begründen?<br />
1.2 Ausbreitung von Licht und das Huygensche Prinzip<br />
Nach einer zweiten Vorstellung breitet sich Licht als Welle aus. Das steht nicht im Widerspruch<br />
zur geometrischen <strong>Optik</strong> sondern konkretisiert und begründet diese. Dazu brauchen<br />
wir jetzt das Huygensche Prinzip.<br />
• Huygensche Prinzip<br />
Nach Huyges ist Licht eine Welle. An jedem Punkt einer Wellenfront wird auch im<br />
Vakuum eine Kugelwelle ausgelöst, die sich mit allen anderen Kugelwellen, die bis<br />
dahin ausgelöst wurden, überlagern.<br />
• Ebene Wellen nach Huygens<br />
In diesem Bild bleibt eine ebene Welle eine ebene Welle, was man in drei Schritten<br />
sehen kann:<br />
Konstruktive Überlagerung in Vorwärtsrichtung:<br />
a) Die an einem Punkt von einer Phasenfront ausgelöste Welle überlagert sich mit der<br />
auslösenden Wellenfront in Vorwärtsrichting konstruktiv.<br />
11
) Alle weiteren von der Phasenfront entlang der Ausbreitungsrichting ausgelösten<br />
Wellen überlagern sich ebenfalls in Vorwärtsrichtung konstruktiv. In alle anderen Richtungen<br />
löschen sich die Kugelwellen aus.<br />
c) Alle Kugelwellen die entlang einer Front ausgelöst werden überlagern sich in Vorwärtsrichtung<br />
konstruktiv und bilden ebenfalls eine Phasenfront.<br />
Nach Huygens breitet sich Licht entlang der konstruktiven Interferenz aus. Eine ebene<br />
Welle bleibt also einfach eine ebene Welle, da sich alle ausgelösten Kugelwellen ”richtig”<br />
12
überlagern. Dieses Bild wird erst interessant wenn man geometrische Beschränkungen<br />
einführt wie z.B. Blenden. Außerdem bildet es den gedanklichen Vorläufer zum<br />
Lorentzmodell des Brechungsindex, der weiter hinten behandelt wird. Dort werden die<br />
Kugelwellen von Atomen ausgelöst und entstehen nicht einfach im Vakuum.<br />
• Snelliussches Brechungsgesetz im Wellenbild<br />
Reflexion: Wir haben oben vernachlässigt, dass auch eine Teil des Lichts an der<br />
Grenzfläche zum Medium reflektiert wird. Das erklärt sich nach Huygens so, dass<br />
im Medium die Kugelwellen eine andere Amplitude als im Vakuum haben. Dieser<br />
Extraanteil an Kugelwellen in der Grenzschicht überlagert sich zu einer reflektierten<br />
Wellenfront.<br />
Der Reflektionswinkel ergibt sich folgendermaßen. Punkt 2 feuert um die Laufzeit für<br />
a später als Punkt 1. Wenn Punkt 2 feuert, hat sich also um Punkt 1 eine Kugelwelle<br />
13
mit Radius a p = a entwickelt. Sie bildet mit der Kugelwelle, die gerade bei Punkt 2<br />
entsteht eine gemeinsame Phasenfront P r . Aus der Geometrie wird ohne Rechnung<br />
klar, dass Einfallswinkel und Ausfallswinkel gleich sein müssen.<br />
Brechung: Für die gebrochene Welle liefert das analoge Argument für die Laufzeiten τ<br />
und τ 0 :<br />
τ 0 = n t<br />
c ap = n i<br />
c a = τ<br />
Mit<br />
und<br />
folgt<br />
oder<br />
a p<br />
d =sinθ t<br />
a<br />
d =sinθ i<br />
n t · d · sin θ t = n i · d · sin θ i<br />
sin θ t<br />
sin θ i<br />
= n i<br />
n t<br />
.<br />
• Fermatsches Prinzip als Interferenzphänomen<br />
Alle Wege finden einen Partner, mit dem sie destruktiv interferieren. Einzige Ausnahme<br />
ist der direkte Weg. Analoges gilt für alle Beispiele von Brechung und Spiegelung.<br />
Der extremale Weg ist einzigartig und ungepaart. Er überlebt als einziger. Siehe<br />
auch: Euler-Lagrange-Gleichung, Feynman´sche Pfadintegrale, Prinzip der kleinsten<br />
Wirkung.<br />
14
1.3 Linsen<br />
Technisch ist es nicht einfach eliptische oder hyperbolische Grenzflächen herzustellen. Kugelförmig<br />
gekrümmte Flächen kann man dagegen mit großer Genauigkeit schleifen und polieren.<br />
Das war zumindest in der Vergangenheit so. Heute kann man auch sehr gute Kunstofflinse<br />
durch pressen herstellen. Die Pressform darf dann auch kompliziert und teuer sein.<br />
Bestform-Linsen werden dadurch kommerziell sinnvoll und können für spezielle AnwendungenmitdemComputeroptimiertwerden.<br />
TrotzdemwerdengeradeauchinderLaseroptik<br />
immer noch Glaslinsen verwendet, die bessere Oberflächen haben und größere Leistungen<br />
vertragen. Solche Linsen haben in der Regel kugelförmige Oberflächen. Es stellt sich also<br />
dieFrageinwieweitsichsolcheGrenzflächen für eine Abbildung eignen.<br />
• Brechende Kugel<br />
Für sphärische Grenzflächen ist die Lage der Punkte A festgelegt und man muss<br />
zunächst überprüfen, ob es ein Objektweite s 0 und eine Bildweite s i gibt, so dass<br />
alle Strahlen, die von S ausgehen auch an P ankommen. Dafür müssen alle Wege<br />
SAP , optisch gleich lang sein.<br />
DieoptischeWeglängeist<br />
OPL = n 1 l 0 + n 2 l i<br />
• Berechnen von l o .<br />
Wir betrachten die Objektseite noch mal genauer und erweiteren das Dreick SCA zu<br />
einem rechtwinkligen Dreieeck.<br />
15
Man erhält für die Länge b<br />
b + R<br />
s o + R =cosϕ<br />
b =cosϕ · (s 0 + R) − R<br />
und für a<br />
a<br />
s 0 + R =sinϕ<br />
a =sinϕ · (s 0 + R)<br />
Die Länge l o = SA ergibt sich dann aus dem Pythagoras<br />
l0 2 = a 2 + b 2 =sin 2 ϕ · (s 0 + R) 2 +cos 2 ϕ · (s 0 + R) 2 + R 2 − 2R(s 0 + R) · cos ϕ<br />
l 0 = p (s 0 + R) 2 + R 2 − 2R(s 0 + R) · cos ϕ<br />
Berechnen von l i geht völlig analog<br />
l i = p R 2 +(s i − R) 2 +2R(s i − R) · cos ϕ<br />
Fermatsches Prinzip verlangt, dass der optische Weg minimal ist, also dass:<br />
wir brauchen also die Ableitungen<br />
und entsprechend<br />
d<br />
dϕ (OPL) =n dl 0<br />
1<br />
dϕ + n dl i<br />
2<br />
dϕ =0<br />
dl 0<br />
dϕ = 1 2 ·<br />
1<br />
p<br />
(s0 + R) 2 + R 2 − 2R(s 0 + R) · cos ϕ · 2R(s 0 + R)sinϕ<br />
= R(s 0 + R)<br />
sin ϕ<br />
l 0<br />
dl i<br />
dϕ = −r(s i − R)sinϕ<br />
.<br />
l i<br />
16
Damiterhältman<br />
d<br />
dϕ (OPL) =n R(s 0 + R)<br />
1 sin ϕ + n 2 − r(s i − R)sinϕ<br />
=0<br />
l 0<br />
l i<br />
oder<br />
n 1 (s 0 + R)<br />
− n 2(s i − R)<br />
=0.<br />
l 0 l i<br />
Es gibt also kein Paar s o ,s i das diese Bedingung für beliebige Wege l o , l i erfüllt. So<br />
geht es also nicht.<br />
• Näherung achsnaher Strahlen<br />
Wir beschränken uns daher auf kleine Winkel ϕ undentwickelndencosinus<br />
Damit erhalten wir<br />
cos ϕ =1− ϕ2<br />
2! + ϕ4<br />
4! ...<br />
∼ 1<br />
l 0 ' p R 2 +(s 0 + R) 2 − 2R(s 0 + R)<br />
' p (R − s 0 − R) 2 = s 0<br />
und entsprechend<br />
l i ' s i .<br />
Aus der Fermatschen Bedingung<br />
n 1 (s 0 + R)<br />
− n 2(s i − R)<br />
=0<br />
s 0 s i<br />
wird jetzt<br />
n 1<br />
+ n 2<br />
= n 2 − n 1<br />
s 0 s i R .<br />
Die Längen l o und l i tauchen nicht mehr explizit auf. Genügen die Objektweite s 0 und<br />
die Bildweite s i dieser Gleichung, erhält man also eine Abbildung, d. h. die optische<br />
Weglänge ist für alle achsnahen Strahlen zwischen s und p gleich.<br />
• Linse<br />
Kombiniert man zwei kugelförmige Grenzflächen erhält man die traditionelle Linse<br />
17
Für die erste Grenzfläche gilt:<br />
n 1<br />
s 0<br />
+ n 2<br />
s i1<br />
= n 2 − n 1<br />
R 1<br />
Für die zweite Grenzfläche beträgt die Objektweite −s i1 + d. Das negative Vorzeichen<br />
kommt daher, dass das Bild links von der ersten Fläche liegt. Daher ist s i1 < 0, was<br />
durch das negative Vorzeichen kompensiert wird. Damit erhält man für die zweite<br />
Grenzfläche<br />
n 2<br />
+ n 1<br />
= n 2 − n 1<br />
.<br />
d − s i1 s i2 R 2<br />
Addiert man die Gleichungen für die beide Grenzflächen, erhält man:<br />
n 1<br />
s 0<br />
+ n 2<br />
s i1<br />
+ n 2<br />
d − s i1<br />
+ n 1<br />
s i2<br />
= n 2 − n 1<br />
R 1<br />
+ n 1 − n 2<br />
R 2<br />
n 1<br />
+ n 1<br />
= n 2 − n 1<br />
+ n 1 − n 2<br />
− n 2<br />
+<br />
s 0 s i2 R 1 R 2 s i1 −d + s i1<br />
n 1<br />
+ n µ<br />
1<br />
1<br />
=(n 2 − n 1 ) − 1 <br />
n 2 · d<br />
+<br />
s 0 s i2 R 1 R 2 (s i1 − d)s i1<br />
• Dünne Linsen<br />
Dieser Ausdruck wird durch die wichtige Näherung dünner Linsen stark vereinfacht.<br />
Für d → 0 und in Vakuum mit n 1 ' 1 und n 2 =: n erhält man die so genannte<br />
Linsenmachergleichung :<br />
1<br />
+ 1 µ 1<br />
=(n − 1) − 1 <br />
s 0 s i2 R 1 R 2<br />
• Brennweite<br />
Wir führen noch den Begriff der Brennweite ein. Die Brennweite f ist hier einfach die<br />
Abkürzung für die rechte Seite der Gleichung<br />
µ<br />
1<br />
1<br />
f := (n − 1) − 1 <br />
,<br />
R 1 R 2<br />
wodurch man die Linsengleichung schreiben kann als:<br />
1<br />
S 0<br />
+ 1 S i<br />
= 1 f<br />
Die anschauliche Bedeutung für die Brennweite ergibt sich, wenn man den Objektpunt<br />
S nach unendlich schiebt: s 0 →−∞.<br />
18<br />
n 2
1<br />
∞ + 1 s i<br />
= 1 f<br />
s i = f.<br />
Die aus dem Unendlichen kommende Strahlen sind offensichtlich parallel. Solche parallelen<br />
Strahlen werden gemäß der Linsenmachergleichung im so genannten Brennpunkt<br />
F gebündelt, der im Abstand der Brennweite f von der Linse entfernt liegt. (Demonstration<br />
mit dem Plexiglasmodell)<br />
1.4 Abbildung von Objekten in paraxialer Näherung.<br />
Bisher haben wir nur einen Objektpunkt S auf der optischen Achse auf den Bildpunkt P<br />
abgebildet. Benachbarte Objektpunkte einer Objektebene, die normal zur optischen Achse<br />
liegt werden auf benachbarte Bildpunkte innerhalb einer Bildebene abgebildet. Dadurch<br />
entsteht in der Bildebene ein Bild, dessen was in der Objektebene leuchtet. Das Abbild<br />
ist in der Regel nicht perfekt sondern durch Abbildungsfehler verzerrt. Die Kunst bei der<br />
Konstruktion guter abbildender Linsensysteme besteht darin solche Fehler möglichst zu minimieren.<br />
Dazu später mehr.<br />
19
• Konstruktion von Bildern.<br />
Die Größe und Lage des Abbilds lässt sich geometrisch konstruieren. Zunächst legt<br />
man die optische Achse fest, die sich aus der Rotationssymmetrie der Linse ergibt. Ein<br />
Objektpunkt, der auf der optischen Achse liegt wird auf einen Bildpunkt abgebildet,<br />
der ebenfalls auf der optischen Achse liegt. Um eine Vorstellung von der Abbildung zu<br />
bekommen wählt man daher ein aussagekräftiges Objekt, z. B. einen Pfeil, der auf der<br />
optischen Achse steht. Um dessen Bild zu konstruieren muss man jetzt nur noch wissen,<br />
wo sich die Lichtstrahlen bündeln, die von der Pfeilspitze ausgehen. Man kennt<br />
aber den Verlauf von mindesten zwei dieser Strahlen. Der eine ist der so genannte<br />
Mittelpunktsstrahl, der durch das Zentrum der Linse geht. An den Schnittpunkten<br />
der beiden Linsenoberflächen mit der optischen Achse sind die zwei planen Tangentialflächen,<br />
die sich an die gekrümmten Obeflächen anschmiegen, gerade parallel. Der<br />
Mittelpunktsstrahl ”sieht” also näherungsweise eine planparallel Glasscheibe und wird<br />
daher nicht abgelenkt. In der Näherung dünner Linsen geht er ohne Versatz ungebrochen<br />
durch die Linse. Der zweite Pfeil ist der Brennpunktstrahl. Objektseitig verläuft<br />
er parallel zur optischen Achse und wird daher von der Linse in den Brennpunkt<br />
gebrochen. Dort wo sich Mittelpunkt- und Brennstrahl treffen muss das Abbild der<br />
Pfeilspitze entstehen. Dort liegt also auch die Bildebene und an deren Schnittpunkt<br />
mit der optischen Achse auch der Pfeilanfang. Ein Linse erzeugt ein an der optischen<br />
Achse punktgespiegeltes Abbild.<br />
(Als Übung kann man sich mal einen Diaprojektor oder einen Overheadprojektor<br />
genauer anschauen)<br />
• Virtuelle Bilder<br />
Neben Sammellinsen gibt es auch Streulinsen mit konkaven Krümmungen. Sie erzuegen<br />
so genannte virtuelle Bilder. Die Strahlen, die von einem Objektpunkt ausgehen,<br />
scheinen auf der Bildseite alle von einem bestimmten Bildpunkt auszugehen, der ebenfalls<br />
auf der Objektseite der Linse liegt. Anders als bei der Sammellinse entsteht kein<br />
reeles Bild, das auf einem Schirm sichtbar wäre, sondern eine scheinbares Objekt, deren<br />
Lage und Größe durch die Linse gegenüber dem Original verändert wird. Wieder lässt<br />
20
sich das Bild geometrisch unter Zuhilfenahme von Brenn- und Mittelpunktsstrahlen<br />
konstruieren. Den Brennpunkt einer Streulinse erhält man wieder aus dem Verhaltenen<br />
von Strahlen, die parallel zur optischen Achse einfallen. Sie werden von der optischen<br />
Achse weg gebrochen, können aber rückwärtig verlängert werden. Der Schnittpunkt<br />
dieser Verlängerung mit der optischen Achse ist der Brennpunkt.<br />
Virtuelle Bilder erhält man auch mit Sammellinsen, wenn das Objekt innerhalb der<br />
Brennweite liegt also s 0
Betrachtet man das rechtwinklige Dreieck links von der Linse so erkennt man, dass der<br />
Winkel ε durch die Länge des Pfeils g und die Brennweite f gegeben ist:<br />
tan ε = g f .<br />
• Objekt im Unendlichen<br />
Umgekehrt kann man das Objekt auch ins Unendliche schieben. Je entfernter das<br />
Objekt ist, umso paralleler treffen dessen Stahlen auf der Linse auf. Die Position der<br />
Objektpunkte macht sich im Winkel ε bemerkbar. Die Strahlen der Pfeilspitze treffen<br />
unter einem anderen Winkel auf der Linse auf wie die Strahlen des Pfeilfußes. Die Größe<br />
des Objekts (z. B. Länge des Pfeils) wird durch den Winkel gegeben, unter dem seine<br />
Randstrahlen auftreffen. Das erkennt man am einfachsten, wenn man das unendlich<br />
weit entfernte Objekt abbildet. Die gestrichelten Linien kommen vom Pfeilfuß, die<br />
durchgezogenen von der Pfeilspitze. Je größer der Winkel ε umso größer ist auch das<br />
Bild b.<br />
Die Größe des Bildes erhält man aus dem Mittelpunktstrahl (selber einzeichenen):<br />
b = f · tan ε ' f · ε<br />
Die Bildgröße b und der Winkel ε sind also proportional.<br />
22
1.5 Lupe und Fernrohr<br />
• Lupe<br />
Bei einer Lupe befindet sich der Gegenstand im Brennpunkt einer Sammellinse. Oben<br />
haben wir gesehen, dass alle Strahlen, die beipielsweise von einer Pfeilspitze im Abstand<br />
g von der optischen Achse ausgehen, dann hinter der Linse parallel sind und mit der<br />
optischen Achse den Winkel ε einschließen, wobei<br />
tan ε = g f .<br />
Das muss man mit dem Winkel vergleichen, den man mit dem unbewaffneten Auge<br />
erreicht<br />
tan ε 0 = g s o<br />
,<br />
wobei s o der kleinste Abstand ist, bei dem man ein Objekt mit bloßem Auge gerade<br />
noch scharf sieht, also etwa s o =15cm. Die Vergrößerung der Lupe ist also durch das<br />
Winkelverhältnis gegeben:<br />
V = ε ∼ tan ε = g/f = s o<br />
ε o tan ε o g/s o f<br />
Eine Vergrößerung von 3 erreicht man also mit einer Linse der Brennweite 5 cm.<br />
• Keppler Fernrohr<br />
Das Kepler-Fernrohr besteht aus zwei Sammellinsen im Abstand d = f 1 + f 2 . Das<br />
Objektiv erzeugt ein reelles Zwischenbild, das man mit dem Okular wie mit einer Lupe<br />
betrachtet. (Strahlengang Übungen). Das Bild wird im Keppler Fernrohr invertiert.<br />
Beim Beobachten von Sternen schadet das nicht. Das Keppler-Fernrohr heißt manchmal<br />
auch Astronomisches Fernrohr.<br />
• Gallilei Fernrohr<br />
Beim Galilei-Fernrohr ist das Okular eine Streulinse deren beobachterseitiger Brennpunkt<br />
mit dem des Objektivs zusammenfällt. Parallel einfallende Strahlen verlassen<br />
das Fernrohr dann auch wieder parallel aber unter einem steileren Winkel relativ zur<br />
optischen Achse. Der links einfallende Brennpunktstrahl des Objektivs verläuft zwischen<br />
den Linsen parallel zur optischen Achse und wird vom Okular von der Achse so<br />
23
weggebrochen, dass die rückwärtige Verlängerung die optische Achse im Brennpunkt<br />
des Okulars schneidet. Einen zweiten Strahl erhält man mit dem Mittelpunktstrahl<br />
des Okulars, den man so wählt, dass er die Brennebene recht vom Okular im Abstand<br />
d schneidet. Dieser Strahl ist dann dort parallel zum ersten Strahl. Am selben Punkt<br />
würde aber auch der erste Strahl die Brennebene schneiden wenn das Okular nicht da<br />
wäre. Strahlen, die die Brennebene im selben Punkt scheiden, müssen aber dann links<br />
von Objektiv parallel sein, was zu zeigen war.<br />
Die Vergrößerung erhält man, wenn man die Winkel ausrechnet:<br />
tan ε 1 = d<br />
f ob<br />
und damit<br />
tan ε 2 = d<br />
f ok<br />
V = ε 2<br />
ε 1<br />
∼ tan ε 2<br />
tan ε 1<br />
= f ob<br />
f ok<br />
.<br />
1.6 ABCD-Matrizen.<br />
• ABCD Formalismus<br />
Für die Berechnung komplizierterer Linsensysteme gibt es einen einfachen Formalismus,<br />
der sogenannte ABCD-Matrizen verwendet. Der Strahl an einem bestimmten Punkt<br />
der optischen Achse wird durch einen Vektor<br />
µ x<br />
~x =<br />
x p<br />
24
eschrieben, dessen erste Komponente den Abstand zur optischen Achse, x, und dessen<br />
zweite Komponente die Steigung x p des Strahls angibt. Ein optisches Element wird<br />
durcheine Matrix beschrieben. Die Matrix für die Ausbreitung über eine Entfernung d<br />
lautet<br />
µ 1 d<br />
M d = .<br />
0 1<br />
Den neuen Strahlvektor erhält man durch<br />
µ µ µ <br />
1 d x x + d · x<br />
p<br />
~x out = M d · ~x in =<br />
0 1 x p =<br />
x p .<br />
Die Steigung bleibt also unverändert und der Achsenabstand wächst um d · x p<br />
• Abstände und Linsen<br />
Im Fall einer Linse beschreibt die Matrix, wie sich der Strahl unmittelbar vor der Linse<br />
in den Strahl unmittelbar nach der Linse umwandelt. Die Matrix lautet<br />
µ 1 0<br />
M f =<br />
− 1 .<br />
1<br />
f<br />
Man erhält dann<br />
µ µ <br />
1 0<br />
xin<br />
~x out =<br />
− 1 ~x<br />
1 in =<br />
− x + x f f in<br />
Der Achsenabstand bleibt unverändert. Die Steigung ändert sich gemäß:<br />
x 0 out = − x in<br />
f + xp in .<br />
Dies entspricht der Linsengleichung was man sieht, wenn man die Strahlen vor und<br />
hinter der Linse so weit verlängert bis sie die optische Ache schneiden.<br />
25
Objektweite s o und Bildweite s i gehorchen den Zusammenhängen<br />
x in<br />
= x p in<br />
s o<br />
und<br />
x in<br />
= −x p<br />
s<br />
out.<br />
i<br />
Aus<br />
x 0 out = − x in<br />
f<br />
+ xp in<br />
wird dann<br />
− x in<br />
= − x in<br />
s i f<br />
+ x in<br />
s o<br />
bzw. die Linsengleichung<br />
1<br />
+ 1 = 1 s i s 0 f ,<br />
was den Ansatz für die Matrix rechtfertigt. Analog kann man weitere Matrizen aufstellen:<br />
Brechung an einer ebenen Fläche<br />
µ 1 0<br />
M B =<br />
0 n 1<br />
n 2<br />
Brechung an einer gekrümmten Fläche mit Radius R<br />
à 1 ³ ´ 0<br />
M R =<br />
n 1<br />
n r −1<br />
1<br />
R<br />
!<br />
n 1<br />
.<br />
n 2<br />
• Zusammengesetzte Systeme<br />
Eine Abfolge optischer Elemente berechnet man, indem man die Matrizen der einzelnen<br />
Elemente in der Reihenfolge ihres Duchlaufens von rechts nach links multipliziert. Ein<br />
dicke Linse z.B. wird durch<br />
~x out = M R2 M d M R1 ~x in<br />
beschrieben.<br />
26
Ein System aus zwei Linsen<br />
führt zur Gleichung<br />
~x out = M f2 M d M f1 ~x in<br />
Übung: Berechne die Vergrößerung des Kepler-Fernrohrs mit Hilfe der ABCD-Methode.<br />
• Brechkraft<br />
Schließlich können wir noch den Begriff der Brechkraft einführen. Die Brechkraft ist der<br />
Kehrwert der Brennweite und hat daher die Einheit 1/m, die in diesem Zusammenhang<br />
auch Dioptrie gennant wird.<br />
D = 1 f<br />
Eine Linse mit 10 cm Brennweite hat also 10 Dioptrien. Brillenträger kennen die<br />
Einheit von ihrem <strong>Optik</strong>er. Kurzsichtigkeit wird mit Streulinsen korrigiert.<br />
Weitsichtige brauchen Sammellinsen.<br />
• Newtonsche Abbildungsgleichung.<br />
Man kann die Linsengleichung auch noch anders formulieren.<br />
27
Rechts der Linse erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke. Eines oberhalb der optischen<br />
Achse mit den Hypothenusen y o und f sowie eines weiter rechts unterhalb der optischen<br />
Achse mit den Hypothenusen y i und x i . Die Dreiecke sind kongruent und es gilt:<br />
y o<br />
f<br />
y o<br />
|y i |<br />
= |y i|<br />
x i<br />
= f x i<br />
.<br />
Genauso gilt für die entsprechenden Dreiecke auf der linken Seite<br />
Das Produkt beider Ausdrücke<br />
|y i |<br />
= y o<br />
f x 0<br />
|y i |<br />
= f .<br />
y o x 0<br />
y 0<br />
|y i | · |y i|<br />
= f 2<br />
y 0 x i · x 0<br />
führt zur Newtonschen Abbildungsgleichung<br />
x 0 · x i = f 2<br />
Mit dieser Gleichung kann man den Begriff der Vergrößerung noch besser fasssen:<br />
• Transversale und longitudinale Vergrößerung<br />
Die transversale Vergrößerung ist definiert als<br />
M T = y i<br />
y o<br />
28
Mit Newtons Linsengleichung gilt:<br />
M T = x i<br />
f = f x o<br />
Die longitudinale Vergrößerung beschreibt das Verhältnis kleiner Verschiebungen in der<br />
Objektebene dx 0 und der daraus resultierenden Verschiebung in der Bildebene dx i :<br />
M L := dx i<br />
dx o<br />
= − f 2<br />
x 2 o<br />
= −M 2 T<br />
Die linsenzugewandte Seite des Objekts wird zur linsenabgewandten Seite des Bildes!<br />
Bewegt man den Schirm von der Linse weg, so sieht man die näherliegenden Objekte.<br />
1.7 Abbildungsfehler<br />
In der paraxialen <strong>Optik</strong> wurde genähert sin ϕ ' ϕ und cos ϕ ' 1 wobei ϕ der Winkel<br />
des Strahls zur optischen Achse ist. Nimmt man die nächsten Näherungen mit, also sin<br />
ϕ ' ϕ− 1 6 ϕ3 und cos ϕ ' 1− 1 2 ϕ2 , so erhält man Abweichungen von einer idealen Abbildung,<br />
die so genannten Abbildungsfehler 3. Ordnung. Wir werden die Fehler hier nur kurz<br />
ansprechen ohne sie im Detail zu behandeln.<br />
• Sphärische Aberration.<br />
Achsferne Strahlen schneiden die optische Achse vor dem Brennpunkt.<br />
verschwindet für achsnahe Strahlen quadratisch.<br />
Der Fehler<br />
29
Man unterscheidet die sphärische Längsaberration (L-SA) und die sphärische Queraberration´(T-<br />
SA). Die Kaustik ist die Einhüllende der gebrochenen Strahlen<br />
Parallel einfallende Strahlen werden also nicht in einem Brennpunkt sondern in einem<br />
Brennfleck gebündelt. Er wird kleiner, wenn man den Schirm aus der Brennebene<br />
näher an die Linse heranschiebt. Die optimale Position ist da, wo die Randstrahlen<br />
die Kaustik berührt. Je nach Blendenstellung muss man also die Schärfe nachziehen.<br />
Benutzt man plankonvexe Linsen ist es günstig die plane Seite zum Fokus zu drehen.<br />
Wie bei einem Prisma wird jetzt bei symmetrischerem Strahlengang der Ablenkwinkel<br />
kleiner. Man kann die sphärische Aberration mit einer Miniskuslinse kompensieren.<br />
Im folgenden Spezialfall<br />
30
ist die virtuelle Abbildung von S nach P frei von sphärischer Aberation. Eine praktikableLinsewirddaraus,wennmaninnennocheinenzweitenRadiusR<br />
p anschleift,<br />
durch den die Strahlen ungebrochen S erreichen.<br />
• Weitere Linsenfehler<br />
Fehler 3. Ordnung ist die Koma, der Astigmatismus, die Bildfeldkrümmung, und die<br />
Verzerrung. (Wer genaueres wisssen will schaut im Hecht nach.)<br />
1.8 Pupillen<br />
• Blenden.<br />
Jedes Abbildungssystem ist begrenzt. Betrachtet man z.B. eine einfache CCD-Kamera<br />
so schränkt der Durchmesser des Objektivs die Menge der eintretenden Sichtstrahlen<br />
ein und wirkt wie eine Blende. Diese Blende ist die so genannte Aperturblende. Außerdem<br />
ist der CCD-Chip endlich und wirkt daher ebenfalls wie eine Blende. Sie heißt<br />
Feldblende.<br />
31
Man kann auch eine extra Aperturblende verwenden, um Strahlen auszublenden, die<br />
nicht achsnah sind und damit die Abbildung stören.<br />
• Pupillen<br />
Pupillen sind die Bilder der Blenden. Die Eintrittspupille ist das Bild der Aperturblende<br />
wie sie in der Objektebene gesehen wird. Die Austrittspupille ist das Bild der<br />
Aperturblende wie sie in der Bildebene gesehen wird. Ein- und Austrittspupille am<br />
Beispiel des Keplerfernrohrs<br />
Der Bildrand erzeugt für den Betrachter objektivseitig ein virtuelles Bild. Der Durchmesser<br />
des Bildes ist die Eintrittspupille. Ihre Querschnittsfläche bestimmt die Lichtmenge,<br />
die in das Fernrohr eintritt.<br />
• Blendenzahl<br />
Die Lichtmenge, die vom Objekt auf den Schirm (Film, CCD-chip etc.) gelangt, wird<br />
nicht durch die Aperturblende, sondern durch die Eintrittspupille und deren Fläche<br />
32
estimmt. Sie ist proportional zum Durchmesser D 2 der Pupille. Diese Lichtmenge<br />
verteilt sich auf das Bild, das die Fläche proportional zu yi<br />
2 ausfüllt.<br />
Da<br />
y i = M T · y o = f · y 0 = f · yo ' f,<br />
x o x o<br />
f<br />
ist eine sinnvolle Kennzahl für die Helligkeit des Bildes die Blendenzahl , deren<br />
D<br />
Quadrat invers proportional zur Helligkeit ist. Beispielsweise hat eine Linse mit 25<br />
mm Durchmesser und einer Brennweite 50 mm die Blendenzahl 2. Oft findet man die<br />
Blendenzahl als Quotient der Form 1:(f/D) angegeben. In unserem Beispiel wäre<br />
das 1:2. Eine Kamera mit ”50 mm, 1:1.4” hat also eine Brennweite von 50 mm,<br />
eine Blendzahl von 1,4 und eine Eintrittpupille von D = 50 mm =35, 7mm. Kamerablenden<br />
sind in Stufen eingeteilt, die die Lichtmenge jeweils halbieren. Die Blenden-<br />
1,4<br />
zahlen variieren also in Stufen von √ 2:1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22. Eine Stufe<br />
entspricht also der Verdopplung der Belichtungszeit. Die Objektive von Teleskopen<br />
kann man auch durch Blendenzahlen charakterisieren. Das Yerkes Observatory hat<br />
beispielsweise eine Blendenzahl von 18.9 (f =19, 202m, D =1, 016m), das Mount<br />
Palomar eine Blendenzahl von 3.33 (f =16, 92m, D =5.08m)<br />
1.9 Prismen<br />
werden verwendet um weißes Licht spektral zu zerlegen und um Strahlen abzulenken.<br />
• Ablenkwinkel<br />
Der Ablenkwinkel ist abhängig vom Brechungsindex n(λ) und der wiederum von der<br />
Farbe.<br />
Für einen gegebenen Brechungsindex kann man nach dem Ablenkwinkel δ fragen, also<br />
dem Winkel zwischen Eingangs- und Ausgangsstrahl. Für ein 60 ◦ Prisma bekommt<br />
man qualitativ folgenden Verlauf:<br />
33
Der Winkel kleinster Ablenkung entspricht der symmetrischen Situation:<br />
Das muss auch so sein, da der rückwärtslaufende Strahl ein möglicher Einfallsstrahl<br />
wäre. Wären Eintritts- und Austrittsstrahl nicht gleich, hätte man zwei Winkel kleinster<br />
Ablenkung, was nicht sein kann. Für ein gegebenes α kann man durch Messen<br />
von δ m den Brechungsindex bestimmen<br />
n = sin ((δ m + α)/2)<br />
.<br />
sin α/2)<br />
Es gibt eine Reihe verschiedener Bauformen mit bestimmten Eigenschaften.<br />
• Prismen gleicher Ablenkung<br />
Beim Pellin-Broca-Prisma ist der Ablenkungswinkel für eine bestimmte Wellenlänge<br />
gerade 90 ◦ . Andere Wellenlängen werden mit anderen Winkeln abgelenkt. Durch<br />
Drehen des Prismas in der Zeichenebene kann man für jede gegebene Wellenlänge<br />
einen Ablenkwinkel von 90 ◦ erreichen. Stellt man Quelle und Detektor im Winkel<br />
von 90 ◦ auf, so kann man durch Drehen des Prismas die verschiedenen Wellenlängen<br />
nacheinander in den Detektor lenken.<br />
34
Das Abbe-Prisma hat ebenfalls konstanten Ablenkwinkel<br />
• Achromatische Prismen<br />
Achromatische Prismen lenken alle Wellenlängen gleich ab, d.h. der Ablenkwinkel<br />
δ ist unabhängig von λ. Verschiedene Farben erleiden aber einen unterscheidlichen<br />
Strahlversatz.<br />
Man versteht die Funktionsweise des Prismas, wenn man sich die Spiegelung wegdenkt:<br />
35
Der Durchgang durch dicke Platte ist also ebenfalls achromatisch.<br />
• Dove-Prisma<br />
Dies ist ein interessantes Beipiel für ein Umlenkprisma. Es spiegelt das Bild an<br />
der Horizintalebene. Es dreht das Bild doppelt so schell wie das Prisma um seine<br />
Längsachse gedreht wird. Dasselbe gilt für die Polarisation des Lichts also die Schwingungsebene<br />
der Lichtwelle. (optisches Analogon zum Spin)<br />
• Katzenauge<br />
Schließlich gibt es noch das Corner-Cube-Prisma, das die Form eines diagonal zerschnittenen<br />
Würfels hat. Es schickt das Licht immer zum Absender zurück.<br />
Einhundert dieser Prismen auf einer Fläche von 0.25m 2 wurden von Apollo 11 auf dem<br />
Mond plaziert. Seitdem kann man Laserblitze zum Mond schicken und deren Reflexe<br />
beobachten. Aus Laufzeitmessungen kann man die Entfernung Erde-Mond dadurch<br />
sehr genau bestimmen und deren zeitliche Änderung verfolgen.<br />
36
2. Wellen<br />
Seit Maxwell wissen wir, dass Licht auch als elektromagnetische Welle betrachtet werden<br />
kann. In diesem Kapitel besprechen wir zunächst Wellen als allgemeines Phänomen. Als<br />
Beispiele betrachten wir Seilwellen, Schallwellen, Wasserwellen und schließlich Wellen auf<br />
der Membran einer Trommel. Wellen sind eng verknüpft mit Differentialgleichungen, deren<br />
Lösung sie sind. Neben eindimensionalen ebenen Wellen, betrachten wir die 3D Wellengleichung<br />
und deren Lösung und schließlich die Rolle der Randbedingungen, die zu stehenden<br />
Wellen führen.<br />
2.1 Eindimensionale Wellengleichung<br />
• Wir betrachten zunächst nur eindimensionale skalare Wellen. Ein Beispiel wäre ein<br />
Seil, das vom Balkon hängt und das man am unteren Ende kurz in Bewegung versetzt.<br />
Eine Störung läuft dann mit einer konstanten Geschwindigkeit das Seil entlang.<br />
Diese wellenartige Störung kann man durch eine ”Wellenfunktion” ψ(x, t) fassen, die<br />
für jeden Ort und jede Zeit die Auslenkung des Seils aus der Ruhelage angibt. Die<br />
”Wellenfunktion” ψ(x, t) ist ein reelle skalare Funktion. Sie beschreibt die physikalische<br />
Größe, aus der die Welle besteht. Neben der Seilauslenkung kann dies z.B. auch<br />
der Luftdruck bei Schallwellen, der Wasserpegel bei Wasserwellen oder das elektrische<br />
Feld bei Radiowellen sein. Für eine große Klasse von Wellenphänomen gehorcht die<br />
Wellenfunktion einer linearen Wellengleichung der Form<br />
∂ 2 ψ(x, t)<br />
= 1 ∂ 2 ψ(x, t)<br />
.<br />
∂x 2 v 2 ∂t 2<br />
Die Konstante v wird sich als die Geschwindigkeit herausstellen mit der sich die Welle<br />
bewegt. Diese Gleichung ist linear, d.h. die Wellenfunktion und deren Ableitungen<br />
kommen nur linear vor und nicht etwa in Potenzen oder als Argument in anderen<br />
nichtlinearen Funktionen.<br />
• Allgemeine Lösung:<br />
Jede Funktion der Form<br />
ψ(t, x) =f(x − vt)<br />
ist eine Lösung. Das kann man explizit ausrechenen. Wir betrachten zunächst die<br />
Zeitableitung. Das Produkt der äußeren Ableitung mit der inneren Ableitung ergibt<br />
dψ<br />
dt = d d<br />
f(x − vt) =<br />
dt<br />
· f(x − vt) · (−v)<br />
d(x − vt)<br />
37
Die zweite Ableitung bilden wir analog.<br />
d 2 ψ<br />
dt = d µ <br />
df (x − vt)<br />
· (−v)<br />
2 dt d(x − vt)<br />
µ <br />
d df (x − vt)<br />
=<br />
· (−v) · (−v)<br />
d(x − vt) d(x − vt)<br />
= v 2 d 2<br />
f(x − vt).<br />
d(x − vt)<br />
2<br />
Als Zweites benötigen wir die Ortsableitung:<br />
dψ df (x − vt)<br />
= =<br />
dx dx<br />
d 2 ψ<br />
dx = d<br />
2 dx<br />
df (x − vt)<br />
d(x − vt)<br />
df (x − vt)<br />
d(x − vt) = d 2<br />
· f(x − vt)<br />
d(x − vt)<br />
2<br />
Einsetzen in die Wellengleichung ergibt<br />
d 2 ψ<br />
dx = 1 d 2 ψ<br />
2 v 2 dt , 2<br />
was zu zeigen war. Lösungen erhält man also dadurch, dass man eine beliebige (vernünftige)<br />
reelwertige Funktion f(x) mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Da v in<br />
der Wellengleichung quadratisch auftaucht, ist auch f(x + vt) eine Lösung. Die Welle<br />
kann sich auch nach links d.h. in negative x-Richtung bewegen.<br />
• Superpositionsprinzip:<br />
Aus der Linearität der Wellengleichung folgt, dass Linearkombinationen von Lösungen<br />
wiederum Lösungen sind. Das ist sofort klar, denn die Linearkombination der Lösungen<br />
g und f<br />
h(x ± vt) :=α · g(x ± vt)+β · f(x ± vt)<br />
ist auch eine Funktion mit dem Argument x ± vt und damit eine Lösung. Ableitungen<br />
sind eben lineare Operationen so dass h die Wellengleichung erfüllt:<br />
h 00 = αg 00 + βf 00 = 1 v 2 α¨g + 1 v 2 β ¨f = 1 v 2 (α¨g + β ¨f) = 1 v 2 ḧ.<br />
Wellen überlagern sich also, ohne sich zu beeinflussen<br />
38
2.2 Harmonische Wellen<br />
• Harmonische Wellen<br />
Harmonische Wellen sind ein besonders wichtiger Wellentyp. Sie sind idealisierte periodisch<br />
sich wiederholende Wellen, die weder Anfang noch Ende haben sowohl im Ort<br />
als auch in der Zeit. Trotzdem sind sie sehr anschaulich, da man sich periodische<br />
Vorgänge leicht ins Unendliche fortgesetzt denken kann. Sie nehmen eine Sonderrolle<br />
auch deshalb ein, weil man jedes Wellenphänomen aus harmonischen Wellen zusammensetzen<br />
kann. Schließlich erlauben sie die Definition von Frequenz und Wellenzahl,<br />
Begriffe, die in der Quantenmechanik eine entscheidende Rolle spielen werden. Später<br />
dazu mehr. Zunächst schauen wir uns einzelne harmonischen Wellen genauer an. Sie<br />
haben die Form<br />
ψ(x, t) =A · sin (k(x ± vt)) .<br />
A ist die ”Amplitude” der Welle und k ist die ”Wellenzahl”. Sie hat die Einheit [k] = 1 m .<br />
Dies sind vernünftige Funktionen von x ± vt und damit Lösungen der Wellengleichung.<br />
Üblich ist oft eine andere Schreibweise:<br />
ψ(x, t) =A · sin (kx ± kvt) =A · sin (kx ± ωt)) .<br />
Anstelle der Wellengeschwindigkeit v benutzt man als dritten Parameter neben der<br />
Wellenzahl k und der Amplitude A die ”Kreisfrequenz”<br />
ω := k · v.<br />
Für einen festen Ort erhält man eine zeitliche Schwingung mit einer ”Periode” also der<br />
Zeitdauer zwischen zwei Maxima von<br />
T := 2π ω .<br />
Nach dieser Zeit ist das Argument des sinus um T ω =2π größer geworden und der sinus<br />
auf seinen Startwert zurückgeschwungen. Der Kehrwert der Periode heiß Frequenz<br />
ν := ω 2π<br />
39
Hält man die Zeit fest erhält man einen Schnappschuss der Auslenkung ψ(x, t = const)<br />
an den verschiedenen Orten. Der räumliche Abstand zwischen zwei Maxima ist die<br />
”Wellenlänge”<br />
λ = 2π k .<br />
Die Analogie zur Frequenz wäre der Kehrwert der Wellenlänge 1 , der manchmal in der<br />
λ<br />
Spektroskopie verwendet wird und in ”reziproken Zentimetern”, cm −1 , oder ”Kaiser”<br />
gemessen wird. Statt der Sinus-Funktion kann man auch die Kosinusfunktion benutzen.<br />
Dies entspricht einer Verschiebung des Zeitnullpunktes.<br />
ψ(x, t) = A · sin (kx ± ωt)<br />
³<br />
= A · cos kx ± ωt − π ´<br />
³ ³ 2<br />
= A · cos kx ± ω t − π ´´<br />
2ω<br />
= A · cos (kx ± ω (t − t 0 ))<br />
= A · cos (kx ± ωt 0 ) .<br />
wobei die neue Zeit t0 gegenüber der alten Zeit t um t 0 = π nachgeht. Analog kann<br />
2ω<br />
man auch den Ortsnullpunkt um x 0 = π verschieben. Sinus oder Kosinus ist eine<br />
2k<br />
Frage der Wahl des Nullpunkts und liefert nichts grundsätzlich Neues.<br />
• Phase<br />
Das Argument der Sinus bzw. Kosinus-Funktion heißt ”Phase”:<br />
ϕ = kx ± ωt.<br />
Je nach Wahl der Nullpunkte für Ort und Zeit ist die Phase allerdings für die gleiche<br />
Wellenerscheinung unterschiedlich. Daher meint man mit Phase meist die Differenz<br />
zweier Argumente. Typische Sprechweisen sind: ”In 1 ms hat sich die Phase der Welle<br />
um 2π geändert” oder: ”Über die Dicke des Glasplättchens ändert sich die Phase<br />
40
um π.” Oder: Die beiden Wellen überlagern sich mit einer Phase von π ”. (Analog<br />
8 2<br />
verwendet man die Begriffe Ort und Länge ähnlich intuitiv. Ein Ort von 1m macht<br />
keinen Sinn. Eine Länge von 1m ist die Differenz zweier Orte.).<br />
Die Wellenzahl k ist der Gradient der Phase<br />
d<br />
dx ϕ = d (kx ± ωt) =k.<br />
dx<br />
Sie ist das Maß mit dem sich die Phase mit dem Ort ändert. Entsprechend ist die<br />
Kreisfrequenz die Zeitableitung der Phase.<br />
d<br />
dt ϕ = d (kx ± ωt) =±ω<br />
dx<br />
Sie ist die Rate mit der sich die Phase zeitlich ändert.<br />
• Phasengeschwindigkeit<br />
Die Geschwindigkeit, mit der sich eine harmonische Welle bewegt, nennt man Phasengeschwindigkeit.<br />
Sie lässt sich leicht bestimmen wenn man danach fragt, wie sich<br />
z.B. eine Nullstelle bewegt. Eine Sinuswelle hat eine Nullstelle wenn sein Argument<br />
verschwindet:<br />
k · x ± ωt =0.<br />
Nach dem Ort aufgelöst ergibt die Position der Nullstelle für verschiedene Zeiten.<br />
x = ∓ ω k t<br />
und damit die Geschwindigkeit der Nullstelle.<br />
oder die Phasengeschwindigkeit<br />
v ϕ = dx<br />
dt = ∓ω k<br />
|v ϕ | = ω k<br />
v ϕ = v = c.<br />
• Komplexe Darstellung<br />
Stellt man eine Schachfigur auf einen Plattenteller und beleuchtet sie von der Seite, so<br />
bewegt sich der Schatten der Figur an der Wand gemäß einer Sinusfunktion. Man kann<br />
also eine harmonische Funktion formal auch als die Projektion einer Drehung auffassen.<br />
Dazu beutzt man am besten die komplexen Zahlen. Jede komplexe Zahl kann man<br />
schreiben als Produkt einer Amplitude und einer komplexen Exponentialfunktion.<br />
41
z = |z|·e iϕ z<br />
Diese komplexe Zahl entspricht einem Punkt in der Gaußschen Zahlenebene im Absatnd<br />
|z| vom Ursprung. Ersetzt man das Argument der Exponentialfunktion durch<br />
die Phase der Welle<br />
ϕ z = ϕ = k · x ± ωt,<br />
so bewegt sich der Punkt im Kreis um den Ursprung.<br />
z = |z|·e i(k·x±ωt) .<br />
Die Projektion auf die reele Achse entspricht dem Schattenwurf<br />
Re(z) = Re ¡ |z|·e i(k·x±ωt)¢<br />
= |z| Re ¡ e i(k·x±ωt)¢<br />
= |z| 1 ¡<br />
e i(k·x±ωt) + e −i(k·x±ωt)¢<br />
2<br />
= |z| 1 (cos (k · x ± ωt)+i sin (k · x ± ωt)+cos(k · x ± ωt) − i sin (k · x ± ωt))<br />
2<br />
= |z| cos (k · x ± ωt) .<br />
Die Wellenfunktion einer harmonischen Welle kann man also schreiben als<br />
ψ(x, t) =Re(A · e i(k·x±ωt) ).<br />
Die Amplitude A der Welle kann man jetzt auch komplexwertig zulassen. Neben der<br />
Auslenkung beschreibt sie dann auch eine etwaige Phasenverschiebung um ϕ A :<br />
A · e i(kx−ωt) = |A|·e iϕ A · e<br />
i(k·x±ωt)<br />
= |A|·e i(kx−ωt+ϕ A ) .<br />
42
Der Betrag der komplexen Amplitude ist die Amplitude der Welle und ihre komplexe<br />
Phase ist eine Phasenverschiebung der Welle.<br />
ψ(x, t) =Re(A · e ikx−ωt )=|A|·cos(kx − ωt + ϕ A )<br />
DiekomplexeAmplitudeA = i|A| = |A|e i(π/2) macht z.B. aus einer Kosinuswelle eine<br />
Sinuswelle:<br />
ψ(x, t) = Re(A · e i(k·x±ωt) )<br />
= Re(i|A|·e i(k·x±ωt) )<br />
= Re(|A|e i(π/2) · e i(k·x±ωt) )<br />
= Re(|A|·e i(k·x±ωt+π/2) )<br />
= |A|·cos(kx − ωt + π/2)<br />
= −|A|·sin(kx − ωt)<br />
Durch die Einführung der komplexen Amplitude hat man sowohl Sinus als auch Kosinuswellen<br />
erfasst.<br />
Oft betrachtet man Summen von Wellen. Man macht dabei keinen Fehler, wenn man<br />
zuerst die Summe und dann den Realteil bildet:<br />
2.3 Dreidimensionale Wellen<br />
ψ(x, t) =Re(Ae ia )+Re(Be ib )<br />
= 1 2 (Aeia + Ae −ia )+ 1 2 (Beib + Be −ib )<br />
= 1 2 (Aeia + Be ib + Ae −ia + Be −ib )<br />
=Re(Ae ia + Be ib ).<br />
• Ebene Wellen<br />
Betrachten wir z.B. Schallwellen, so können sich die damit verbundenen Druckstörungen<br />
in alle Richtungen ausbreiten. Man muss also für alle drei Raumkoordinaten x, y, z<br />
angeben, wie hoch der Druck zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Die Ortsvariable wird<br />
eine Vektor. Um Begriffe wie Frequenz und Wellenzahl auch in 3D verwenden zu können<br />
betrachten wir wieder einen bestimmten idealisierten Typ Wellen. Dies sind die<br />
ebenen Wellen.<br />
ψ(~r, t) =A · e i(~ k·~r−ωt) = A · e i(k xx+k y y+k i z−ωt)<br />
Die Wellenzahl wird hier zum ”Wellenvektor”<br />
⎛ ⎞<br />
k x<br />
~ k := ⎝ k y<br />
⎠ .<br />
k z<br />
43
Um die Form einer solchen Welle zu verstehen, betrachten wir die Orte konstanter<br />
Phase. Sie markieren z.B. die Lage der Maxima. Für eine feste Zeit t =0erhält man<br />
Maxima an Orten, für die die Phase ein Vielfaches von 2π ist, also<br />
mit m ∈ N. Das kann man umformen in<br />
~ k · ~rM = m · 2π<br />
| ~ k|·|~r M |·cos ϕ = m · 2π<br />
oder<br />
~r M · cos ϕ = m · 2π<br />
| ~ k|<br />
= konstant<br />
Die Ortsvektoren der Maxima ~r M , sind also Vektoren, deren Projektion auf die Richtung<br />
von ~ k alle denselben Wert haben. Diese Ortsvektoren bilden offenbar eine Ebene<br />
senkrecht zu ~ k. Die Welle breitet sich also als unendliche Ebene senkrecht zu ~ k aus.<br />
Diese Ebenen nennt man manchmal Phasenfronten oder Wellenfronten.<br />
Benachbarte Wellenfronten haben den Abstand<br />
(m +1)· 2π<br />
| ~ k|<br />
− m · 2π<br />
| ~ k|<br />
= 2π<br />
| ~ k| = λ<br />
Die Wellenlänge dieser ebenen Welle ist also<br />
λ := 2π<br />
| ~ k|<br />
44
• Wellengleichung<br />
Die Differentialgleichung für dreidimensionale skalare Wellen lautet<br />
∇ 2 ψ(~r, t) = 1 ∂ 2<br />
ψ(~r, t)<br />
v 2 ∂t2 Der Laplace Operator ist definiert als<br />
µ <br />
∇ 2 ψ(~r, t) :=( ∇ ~ · ~∇)ψ(~r, ∂<br />
2<br />
t) =<br />
∂x + ∂2<br />
2 ∂y + ∂2<br />
ψ(~r, t).<br />
2 ∂z 2<br />
Als Test setzen wir die ebene Wellen in die Wellengleichung ein.<br />
Ableitungen erhält man:<br />
d 2 ψ<br />
dx = 2 −k2 xA · e i(~ k·~r−ωt)<br />
d 2 ψ<br />
dy = 2 −k2 yA · e i(~ k·~r−ωt)<br />
Also<br />
d 2 ψ<br />
dz 2 = −k2 zA · e i(~ k·~r−ωt) .<br />
Für die zweiten<br />
∇ 2 ψ(~r, t) = −kxA 2 · e i(~ k·~r−ωt) − kzA 2 · e i(~ k·~r−ωt) − kyA 2 · e i(~ k·~r−ωt)<br />
= −A ¡ ¢<br />
kx 2 + ky 2 + kz<br />
2 · e<br />
i( ~ k·~r−ωt)<br />
= −A · ~k 2 · e i(~ k·~r−ωt) .<br />
Die zweite Zeitableitung liefert<br />
d 2 ψ<br />
dt 2<br />
= −ω2 A · e i(~ k·~r−ωt)<br />
45
Einsetzen in Wellengleichung:<br />
∇ 2 ψ = 1 ∂ 2<br />
v 2 ∂t ψ 2<br />
−A · ~k 2 · e i(~ k·~r−ωt) = 1 v 2 (−ω2 )A · e i(~ k·~r−ωt)<br />
~ k 2 = ω2<br />
v 2<br />
Die Geschwindigkeit der ebenen Wellen ist wie bei der eindimensionalen Welle<br />
v = ω<br />
¯<br />
¯~k ¯<br />
• Kugel und Zylinderwellen<br />
Schreibt man die Wellengleichung in Kugelkoordinaten, kann man zeigen, dass es auch<br />
kugelförmige Lösungen gibt. Die allgemeine Form lautet:<br />
ψ(r, t) = A f(r ± vt),<br />
r<br />
wobei r = |~r|. Im Abstand r vom Ursprung ist die Wellenfunktion für alle Orte gleich,<br />
d. h. die Wellenfronten bilden Kugelschalen um den Ursprung. Die Amplitude nimmt<br />
mit r −1 also umgekehrt proportional zum Abstand vom Ursprung ab. Entsprechendes<br />
gilt für Zylinderkoordinaten. Die allgemeine Lösung lautet dann:<br />
ψ(r, t) = A √ r<br />
f(r ± vt),<br />
wobei r = √ x 2 + y 2 . Die Wellenfronten liegen auf Zylindern um die z-Achse.<br />
2.4 Beipiele mechanischer Wellen<br />
• Schallwelle<br />
Eine Druckstörung breitet sich im Raum aus. Damit verbunden ist eine Störung der<br />
lokalen Geschwindigkeit der Luftmoleküle. Eine erhöhte Geschwindigkeit führt in der<br />
Nachbarschaft zu einem ”Stau”, der dort wiederum den Druck erhöht etc.<br />
Als Modell einer ebenen Druckwelle betrachten wir ein kleines rechteckiges Volumen<br />
innerhalb der Schallwelle mit der Querschnittfläche S und der Dicke ∆x. Die<br />
Schallwelle breitet sich als ebene Welle in horizontaler Richtung (x-Richtung) aus.Wir<br />
leiten zunächst zwei verschiedene Zusammenhänge für den Druckgradient und die<br />
Geschwindigkeitänderung der Moleküle ab.<br />
46
Die Druckdifferenz zwischen beiden Flächen beschleunigt das Luftvolumen V = S · ∆x<br />
durch die Kraft, die durch eine Druckdifferenz ∆p = p(x + ∆x) − p(x) an den Orten x<br />
und x + ∆x zustande kommt.<br />
F = S · p(x) − S · p(x + ∆x)<br />
= −∆p · S = − dp<br />
dx · ∆x · S<br />
Die Masse des im Volumen eingeschlossenen Gases der Dichte ρ ist<br />
m = ρ · V = ρ · S · ∆x.<br />
Die Beschleunigung des Volumens ist die Ableitung der Geschwindigkeit v des Volumens<br />
nach der Zeit<br />
a = dv<br />
dt .<br />
Wendet man Newtons Bewegungsgleichung auf das Volumen an erhält man<br />
oder<br />
F = m · a<br />
− dp · ∆x · S<br />
dx<br />
= dv<br />
∆x · S · ϕ ·<br />
dt .<br />
dv<br />
dt = − 1 ϕ · dp<br />
dx .<br />
Dies ist die erste Gleichung. Einen zweiten Zusammenhang zwischen p und v erhält<br />
man mit Hilfe der Kompressibilität κ: Ändert sich der Druck, so ändert sich das<br />
Gasvolumen um einen bestimmten Faktor. Die relative Volumenänderung ist proportional<br />
zum Druck:<br />
∆V<br />
V<br />
= −κ · ∆p<br />
47
oder differenziell<br />
dp = − 1 dV<br />
κ V .<br />
Die Volumenänderung kann man durch eine einfache geometrische Überlegung auf<br />
einen Geschwindigleitsgradient dv zurückführen: Bewegen sich die beiden Begrenzungsflächen<br />
verschieden schnell, ist damit folgende Volumenänderung<br />
dx<br />
verbunden<br />
dV = S · dv · ∆x · dt.<br />
dx<br />
Teilt man diese Gleichung durch das Volumen erhält man<br />
dV<br />
V<br />
= 1 V · S · dv · ∆x · dt<br />
dx<br />
= S∆x<br />
V<br />
= dv<br />
dx · dt.<br />
· dv<br />
dx · dt<br />
Zusammen mit der Definition der Kompressbilität bekommt man<br />
dp = − 1 dV<br />
κ V<br />
dp = − 1 dv<br />
κ dx · dt<br />
dp<br />
= − 1 dv<br />
dt κ dx<br />
Dies ist die zweite Gleichung. Beide Gleichungen werden kombiniert, indem man die<br />
erste Gleichung nach dem Ort ableitet,<br />
und die zweite Gleichung nach der Zeit,<br />
d dv<br />
dx dt = −1 ρ<br />
d 2 p<br />
dx , 2<br />
d dp<br />
dt dt = − 1 d dv<br />
κ dt dx .<br />
Eliminiert man die Geschwindigkeitsableitungen erhält man<br />
− 1 d 2<br />
ρ dx = −κ d2 p<br />
2 dt 2<br />
oder<br />
d 2 p<br />
dx = 1 2 v · d2 p<br />
2 dt 2<br />
48
mit<br />
v = 1 √ κ · ρ<br />
.<br />
Helium hat höhere Schallgeschwindigkeit als Luft da die Dichte kleiner ist. Metall hat<br />
ebenfalls höhere Schallgeschwindigkeit als Luft da die Kompressibilität höher ist. In<br />
Metallen muss man κ durch 1 ersetzen wobie E das Elastizitätsmodul ist.<br />
E<br />
• Seilwellen<br />
Entlang eines Seils kompensieren sich die Kraft, die ein kleines Seilstück tangential<br />
entlang des Seils nach links zieht mit der Kraft, die das Seilstück tangential entlang des<br />
Seils nach rechts zieht. Andernfalls würde das Seilstück sich entlang des Seils bewegen<br />
und man bekäme eine longitudinale Druckwelle entlang des Seils. Hier betrachten<br />
wir aber nur transversale Auslenkungen aus der Ruhelage. Die Beträge F der beiden<br />
Kräfte die am Seilstück ziehen sind also gleich, nicht aber die Richtungen. Sie werden<br />
durch die Winkel ϕ und ϕ + dϕ gegeben. Dadurch entsteht eine Kraft quer zum<br />
Seil (in y-Richtung), die einer Auslenkung entgegenwirkt und das Seil in die Ruhelage<br />
zurücktreibt. Für kleine Auslenkungen eines horizontalen Seils kann man die Richtung<br />
der rücktreibenden Kraft näherungsweise als vertikal annehmen also in y-Richtung.<br />
Die Projektion der beiden am Seil ziehenden Kräfte auf die y-Richtung liefert dann<br />
eine Neto-Rückstellkraft von:<br />
F · sin(ϕ + dϕ) − F · sin ϕ<br />
Für kleine Auslenkungen ist sin ϕ ∼ ϕ und man bekommt.<br />
F · (ϕ + dϕ) − F ϕ = F · dϕ.<br />
Diese rücktreibende Kraft wirkt auf die Masse m = ρ · S · dx, wobeiρ die Dichte,<br />
S der Seilquerschnitt und dx sie Länge des Seilstückchens ist. Für die transversale<br />
Beschleunigung erhält man mit der Newtonschen Bewegungsgleichung<br />
F · dϕ = ρ · S · dx · d2 y<br />
dt 2<br />
49
Der Winkel ϕ ist aber auch gegeben durch<br />
Ableiten nach x liefert<br />
tan ϕ = dy<br />
dx ∼ ϕ.<br />
dϕ<br />
dx = d2 y<br />
dx 2<br />
dϕ = d2 y<br />
dx · dx, 2<br />
und Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt<br />
und schließlich:<br />
F · d2 y<br />
dx 2 · dx = ρ · S · dx · d2 y<br />
dt 2 .<br />
d 2 y<br />
dx = 1 d 2 y<br />
2 v<br />
s<br />
2 dt<br />
F<br />
v :=<br />
ρ · S<br />
Für größere Spanungen wächst die Kraft F und damit die Schallgeschwindigkeit (z.B.<br />
Gitarrensaite). Bei schweren Seilen mit großer Dichte oder großem Querschnitt sind<br />
die Wellen langsamer (z.B. Kletterseil).<br />
2.5 Dispersionsrelationen<br />
• Variable Phasengeschwindigkeiten<br />
Bei manchen Wellen ist die Phasengeschwindigkeit nicht konstant sondern hängt von<br />
der Wellenzahl k ab. Wir betrachten als Beispiel Wasserwellen. Bei so genannten<br />
Schwerewellen ist die rücktreibende Kraft die Schwerkraft. Für solche Wellen lautet<br />
die Schallgeschwindigkeit<br />
v = v(k) =r g<br />
k ,<br />
wobei g die Erdbeschleunigung ist und k der Wellenvektor. Die Geschwindigkeit hängt<br />
hier von der Wellenzahl ab. Lange Wellen laufen schneller als kurze. Medien, in denen<br />
harmonische Wellen eine wellenzahlabhängige Geschwindigkeit haben, heißen dispersiv.<br />
Wasser ist offenbar so ein Medium. Dispersive Medien führen zu komplizierteren<br />
Wellengleichungen als die einfache Wellengleichung,vonderwirbisherausgegangen<br />
sind. Entsprechend sind die Lösungen nicht mehr beliebige Funktionen von (x − vt).<br />
Eine wellenzahlabhängiger Geschwindigkeit v(k) macht nur Sinn, wenn die Wellenzahl<br />
50
auch definiert ist. Damit werden bereits harmonische Wellen vorausgesetzt. Dispersive<br />
Medien sind typischerweis immer noch linear, d.h. man kann aus harmonischen Wellen<br />
neue beliebige Wellenformen zusammensetzen. Diese verändern dann aber im Lauf der<br />
Zeit ihre Form. Dazu später mehr.<br />
Dispersion erfasst man mit der Dispersionsrelation v(k). Oftgibtmanaberauchdie<br />
Funktion ω(k) an. Unter Benutzung von<br />
ω = k · v<br />
erhält man in unserem Beispiel<br />
ω(k) = p k · g<br />
Die Kreisfrequenz und die Wellenlänge sind nicht mehr proportional.<br />
Die Funktion ω(k) oder andere äquivalente Formen (ω(v), v(ω) etc.) laufen ebenfalls<br />
unter dem Begriff Dispersionsrelation. Für nicht dispersive Wellen ist die Dispersionsrelation<br />
ω(k) einfach eine Gerade. Das Verhältnis aus ω/k ist für alle Frequenzen<br />
gleich, d.h, alle Wellen sind gleich schnell. Für Schwerewellen mit ω(k) = √ k · g<br />
nimmt die Phasengeschwindigkeit ω für steigende Wellenzahlen k ab. Lange Wellen<br />
k<br />
sind also schneller als kurze. Dieses Verhalten heißt ”Normale Dispersion”. Neben<br />
den Schwerewellen gibt es auch die Kapillarwellen. Besonders bei kurzen Wellenlängen<br />
wird die Oberflächenspannung σ als rücktreibende Kraft wichtiger als die Schwerkraft.<br />
Die entsprechende Theorie liefert für die Phasengeschwindigkeit<br />
v =<br />
r σ<br />
ρ · k<br />
Hier nimmt die Phasengeschwindigkeit mit der Wellenzahl zu. Kurze Wellen sind<br />
schneller als lange. Dies ist die ”anomale Dispersion”. Die Frequenz ist eine positiv<br />
gekümmte Funktion der Wellenzahl.<br />
r r σ σ<br />
ω = v · k =<br />
ρ · k · k = ρ k3/2<br />
51
Licht hat nur im Vakuum eine lineare Dispersionsrelation<br />
ω = v(k) · k = c · k<br />
In Glas zeigt Licht dispersives Verhalten. Die Lichtgeschwindigkeit<br />
v = c n<br />
hängt vom Brechungsindex ab und der ist wellenlängenabhängig (siehe Prisma).<br />
v(k) =<br />
c<br />
n(k)<br />
Im sichtbaren Bereich sind transparente Medien (Luft, Wasser, Glas, Kristalle) normal<br />
dispersiv, d. h. kurze Wellen sind langsamer.<br />
Beispiele werden im Kapitel ”Licht in Materie” genauer betrachtet. Teilchen werden in<br />
der Quantenmechanik ebenfalls durch eine Wellengleichung beschrieben, die allerdings<br />
eine etwas andere Form hat und komplexwertige Wellen als Lösung. Auch hier gibt es<br />
52
eine Dispersionsrelation mit normaler Dispersion.Wie wir später sehen, kann man die<br />
Energie mit der Frequenz verbinden<br />
E = ~ω<br />
und den Impuls des Teilchens mit der Wellenzahl<br />
~p = ~ ~ k.<br />
Für ein freies Teilchen gilt<br />
E = ~p2<br />
2m .<br />
Man erhält also eine quadratische Dispersionsrelation<br />
~ω = ~2 ~ k<br />
2<br />
2m<br />
ω = ~<br />
2m · k2<br />
mit anomaler Dispersion. Zur Interpretation von Wellen und Teilchen später mehr.<br />
2.6 Randbedingungen und Stationäre Wellen<br />
• Reflektion am festen Seilende<br />
Wenn wir Dämpfung ausschließen, muss die Welle am Seilende reflektiert werden. Es<br />
gibt dann auf dem Seil eine Überlagerung von zwei Wellen, der einfallenden und der<br />
reflektierten. Ist das Seilende fest eingespannt, muss die Auslenkung für alle Zeiten Null<br />
sein, d.h. die einfallende und die reflektierte Welle müssen sich dort auslöschen. Die<br />
reflektierte Wellenfunktion läuft der einfallenden Welle entgegen, hat also Kreisfrequenz<br />
mit umgekehrtem Vorzeichen. Für eine einfallende harmonische Welle<br />
ψ inc (x, t) =A sin(kx − ωt)<br />
53
und der reflektierten Welle mit beliebiger Amplitude B und Relativphase ϕ<br />
lautet die Überlagerung<br />
ψ ref (x, t) =B sin(kx + ωt + ϕ)<br />
ψ(x, t) =A sin(kx − ωt)+B sin(kx + ωt + ϕ).<br />
Am Seilende bei x =0solle die Gesamtwelle immer Null sein,<br />
ψ(x =0,t)=A sin(−ωt)+B sin(ωt + ϕ) =0.<br />
Das lässt sich machen, wenn A = B, undϕ =0:<br />
A sin(−ωt)+B sin(ωt + ϕ) =−A sin(ωt)+A sin(ωt) =0.<br />
Die Gesamtwellenfunktion lautet also:<br />
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt))<br />
= A (sin(kx)cos(ωt) − cos(ωt)sin(kx)+sin(kx)cos(ωt)+cos(ωt)sin(kx))<br />
= 2A sin(kx)cos(ωt).<br />
Orts- und zeitabhängiger Teil faktorisieren. Der ortsabhängige Teil hat bei x =0einen<br />
Knoten aber es gibt keine Einschränkung für die Wellenzahl oder die Wellenlänge.<br />
• Reflektion am offenen Seilende.<br />
Das Seilende oszilliert in der Zeit mit maximaler Amplitude und hat daher dort einen<br />
Bauch. Im Bauch verschwindet die Ableitung der Wellenfunktion<br />
d<br />
ψ(x =0,t)=0.<br />
dx<br />
Wir verwenden den selben Ansatz wie oben,<br />
d<br />
d<br />
ψ(x, t) = A sin(kx − ωt)+B sin(kx + ωt + ϕ)<br />
dx dx<br />
= kA cos(kx − ωt)+kB cos(kx + ωt + ϕ),<br />
54
und setzten die Ableitung für x =0Null:<br />
kA cos(−ωt)+kB cos(ωt + ϕ) = 0<br />
A cos(ωt)+B cos(ωt + ϕ) = 0<br />
was mit A = −B und ϕ =0erfüllt wird. Damit lautet die Gesamtwellenfunktion<br />
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt) − sin(kx + ωt))<br />
= A (sin(kx)cos(ωt) − sin(ωt)cos(kx) − (sin(kx)cos(ωt)+sin(ωt)cos(kx)))<br />
= −2A cos(kx)sin(ωt).<br />
Die Lösung faktorisiert ebenfalls.<br />
• Endliche Seillänge und Spektrum<br />
Bei endlichen Seillängen muss man beide Enden behandeln. Bei zwei festen Enden<br />
müssen dort Knoten sein. Man nimmt also die Lösung für ein Seil mit einem festen<br />
Ende<br />
ψ(x, t) =2A sin(kx)cos(ωt)<br />
und fordert, dass auch am anderen Ende des Seils bei x = L ein Knoten sitzt:<br />
ψ(x = L, t) =0=2A sin(kL)cos(ωt)<br />
sin(kL) = 0<br />
kL = nπ<br />
wobei n eine natürliche Zahl ist. Diesmal kann es nur bestimmte Werte für k geben<br />
k n = n · π<br />
L .<br />
Mit Hilfe der Schallgeschwindigkeit v = ω/k erhält man die Frequenz, mit der das Seil<br />
oderdieSaiteeinesMusikinstrumentsschwingt.<br />
ω n = n · ω 0<br />
55
wobei die Grundfrequenz ω 0 definiert ist als<br />
v<br />
ω 0 := 2π ·<br />
2L .<br />
Aus der gemessenen Länge einer Saite für den Kammerton a =440Hz kann man z.B.<br />
die Schallgeschwindigkeit der Saite bestimmen. Man trägt oft die möglichen Frequenzen<br />
entlang eines vertikalen Zahlenstrahls auf und nennt das dann das Spektrum der<br />
Wellen:<br />
Für zwei offene Enden erhält man analog<br />
ψ(x = L, t) =0=−2A cos(kL)sin(ωt)<br />
cos(kL) = 0<br />
kL = nπ + π/2.<br />
Das ergibt dasselben Spektrum wie zwei offene Enden jedoch um eine halbe Grundfrequenz<br />
zu tieferen Frequenzen hin vergeschoben. Blasinstrumente und Orgelpfeifen<br />
haben ein offenes und ein festes Ende. Das Spektrum rechnet sich leicht als Übung.<br />
56
• Laufende Wellen und Stehende Wellen.<br />
So wie sich laufende Wellen zu stehenden Wellen überlagern (siehe oben), so können<br />
sich auch zwei stehende Wellen zu laufenden Wellen überlagern:<br />
ψ(x, t) = A sin(kx)cos(ωt)+B cos(kx)sin(ωt)<br />
= A 2 (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt)) + B 2<br />
(sin(kx + ωt) − sin(kx − ωt))<br />
Mit A = B erhält man eine linkslaufende Welle<br />
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt)+sin(kx + ωt) − sin(kx − ωt))<br />
2<br />
= A sin(kx + ωt)<br />
und mit A = −B eine rechtslaufende Welle.<br />
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt) − sin(kx + ωt)+sin(kx − ωt))<br />
2<br />
= A sin(kx − ωt).<br />
Bei einem Seil mit festen oder losen Ende erhält man Stehwellen mit entweder B =0<br />
(Bauch am Ende bei x =0)oderA =0(Knoten am Ende bei x =0). Laufende<br />
Wellen können daher als stationäre Lösung auf einem Seilstück nicht existieren. Bei<br />
laufenden Pulsen muss man stationäre Lösungen mit verschiedenen Frequenzen überlagern.<br />
Damit lassen sich dann beliebige laufende Wellen erzeugen. Sie haben dann<br />
aber keine festgelegte Frequenz mehr (später dazu mehr). Wie sieht die Sache für eine<br />
Seilschleife aus, also einen Ring bei dem Anfang und Ende verbunden sind? Hier gibt<br />
es zwar auch nur eine abzählbare Menge von Lösungen mit äquidistantem Spektrum.<br />
Sie können aber sowohl zu laufenden als auch zu stehenden Wellen kombiniert werden.<br />
(als Übung).<br />
• Separationsansatz.<br />
Allgemeine Lösungen der Wellengleichung erhält man durch einen Separationsansatz<br />
für die Wellenfunktion,<br />
ψ(x, t) =u(x)χ(t).<br />
mit den komplexwertigen Funktionen u(r) für den ortsabhänigen und κ(t) für den<br />
zeitabhängigen Teil der Wellenfunktion. Setzt man den Ansatz in die Wellengleichung<br />
∂ 2 ψ(x, t)<br />
= 1 ∂ 2 ψ(x, t)<br />
∂x 2 v 2 ∂t 2<br />
ein und dividiert dann durch u(x)χ(t) erhält man<br />
χ(t) ∂2 u(x)<br />
= 1 χ(t)<br />
∂x 2 v 2 u(x)∂2 ∂t 2<br />
1 ∂ 2 u(x)<br />
= 1 1 ∂ 2 χ(t)<br />
.<br />
u(x) ∂x 2 v 2 χ(t) ∂t 2<br />
57
Der linke Teil hängt nur vom Ort und der rechte Teil nur von der Zeit ab. Die Gleichung<br />
lässt sich für alle Orte und alle Zeiten nur erfüllen, wenn beide Teile konstant sind.<br />
Wir nennen die Konstante E und erhalten die beiden Gleichungen:<br />
1 ∂ 2 u(x)<br />
= E<br />
u(x) ∂x 2 = E.<br />
1 1 ∂ 2 χ(t)<br />
v 2 χ(t) ∂t 2<br />
Die erste Gleichung<br />
∂ 2 u(x)<br />
= Eu(x)<br />
∂x 2<br />
nennt man stationäre Wellengleichung. Die Lösungen heißen stationäre Lösungen und<br />
haben die allgemeine Form<br />
wobei<br />
u(x) =Ae ikx + Be −ikx ,<br />
k 2 := −E.<br />
Die zweite Gleichung beschreibt die Zeitabhängigkeit und hat die allgemeine Lösung<br />
mit<br />
oder:<br />
χ(t) =αe iωt + βe −iωt .<br />
ω 2 : = −Ev 2 = k 2 v 2<br />
|ω| : = |v||k| ,<br />
|ω| := |v||k| .<br />
Frequenz und Wellenzahl hängen also wie gehabt über die Schallgeschwindigkeit v<br />
zusammen, können aber beliebige Vorzeichen haben. Je nach Wahl der Koeffizienten<br />
A,B, α und β kann die Lösung<br />
eine Stehwelle sein (z.B. A = B = α = β)<br />
ψ(x, t) = ¡ Ae ikx + Be −ikx¢¡ αe iωt + βe −iωt¢ ,<br />
ψ(x, t) =A ¡ e ikx + e −ikx¢¡ e iωt + e −iωt¢ =4A cos(kx)cos(ωt),<br />
oder eine laufende Welle (z.B. B =0und β =0)<br />
ψ(x, t) =Ae ikx αe iωt = Ae ikx+ωt .<br />
58
• Trommel<br />
Schließlich betrachten wir noch eine Membran, die in einen kreisförmigen Rahmen<br />
eingespannt ist. Wenn wir annehmen, dass die Membran gleichmäßig gespannt ist und<br />
die Schallgeschwindigkeit in alle Richtungen gleich ist, können wir die Wellengleichung<br />
auf zwei Dimensionen erweitern.<br />
∂ 2 ψ(x, y, t)<br />
+ ∂2 ψ(x, y, t)<br />
= 1 ∂ 2 ψ(x, y, t)<br />
∂x 2 ∂y 2 v 2 ∂t 2<br />
Wir machen wieder den Separationsansatz<br />
ψ(x, y, t) =u(x, y)χ(t)<br />
und erhalten die Stationäre Wellengleichung<br />
∂ 2 u(x, y)<br />
+ ∂2 u(x, y)<br />
= E · u(x, y).<br />
∂x 2 ∂y 2<br />
Die Zeitabhänigkeit und damit die Frequenz ist wie oben durch die Konstante E<br />
gegeben ω 2 := −Ev 2 , die wir erst kennen wenn wir die stationäre Gleichung gelöst<br />
haben. Aufgrund der kreisförmigen Symmetrie des Problems benutzen wir Polarkoordinaten<br />
x = r cos(ϕ)<br />
y = r sin(ϕ).<br />
Der 2D Laplace-Operator lautet in Polarkoordinaten<br />
∂ 2 u(x, y)<br />
+ ∂2 u(x, y)<br />
= ∂2<br />
∂x 2 ∂y 2 ∂r + 1 ∂<br />
2 r ∂r + 1 ∂ 2<br />
r 2 ∂ϕ , 2<br />
was die Wellengleichung jetzt so aussehen lässt<br />
µ ∂<br />
2<br />
∂r + 1 ∂<br />
2 r ∂r + 1 <br />
∂ 2<br />
u(r, ϕ) =E · u(r, ϕ).<br />
r 2 ∂ϕ 2<br />
Wir suchen Lösungen bei denen Winkel und Radius separieren als vom Typ<br />
u(r, ϕ) =R(r)Ψ(ϕ)<br />
und spielen dasselbe Spiel wie bei der Zeitseparation.<br />
µ <br />
∂<br />
2<br />
Ψ(ϕ)<br />
∂r R(r)+1 ∂<br />
2 r ∂r R(r) + R(r) 1 ∂ 2<br />
Ψ(ϕ) = E · R(r)Ψ(ϕ)<br />
r 2 ∂ϕ2 1<br />
µr 2 ∂2<br />
R(r) ∂r R(r)+r ∂ <br />
2 ∂r R(r) + 1 ∂ 2<br />
Ψ(ϕ) = Er2<br />
Ψ(ϕ) ∂ϕ2 1<br />
µr 2 ∂2<br />
R(r) ∂r R(r)+r ∂ <br />
2 ∂r R(r) − Er 2 = − 1 ∂ 2<br />
Ψ(ϕ) =m2<br />
Ψ(ϕ) ∂ϕ2 59
wobei m 2 eine Konstante ist. Für den Winkel erhält man die DGL<br />
mit der Lösung<br />
∂ 2<br />
∂ϕ 2 Ψ(ϕ) =−m2 Ψ(ϕ)<br />
Ψ(ϕ) =Ψ 0 e imϕ .<br />
Da die Lösung periodisch bezüglich eines Umlaufs sein muss gilt<br />
Ψ(ϕ +2π) = Ψ(ϕ)<br />
Ψ 0 e im(ϕ+2π) = Ψ 0 e imϕ<br />
e im·2π = 1<br />
m · 2π = q · 2π<br />
wobei q eine ganze Zahl ist. Damit ist auch m eine ganze Zahl. Es bleibt noch die<br />
Radialgleichung<br />
1<br />
µr 2 ∂2<br />
R(r) ∂r R(r)+r ∂ <br />
2 ∂r R(r) − Er 2 = m 2<br />
µ <br />
∂ 2<br />
∂r R(r)+1 ∂<br />
2 r ∂r R(r)+ −E − m2<br />
R(r) = 0<br />
r 2<br />
Mit der Substitution<br />
und<br />
k 2 := −E,<br />
z := kr<br />
R(r) =R(z/k) =:Z(z)<br />
erhält man die Besselsche Differentialgleichung<br />
∙ ∂<br />
2<br />
∂z + 1 µ ¸<br />
∂<br />
2 z ∂z + 1 − m2<br />
Z<br />
z 2 m (z) =0<br />
Die Lösungen dieser Gleichung sind die Besselfunktionen.<br />
Z m (z) =J |m| (kr)<br />
Man kann sie nicht als geschlossenen Ausdruck hinschreiben, sie sind aber tabelliert<br />
und man kann sie plotten.<br />
60
Die Besselfunktionen sind oszillierende Funktionen mit jeweils unendlich vielen Nullstellen.<br />
(siehe auch http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html)<br />
DiemöglichenWertefürk ergeben sich aus der Randbedingung, wonach die Wellenfunktion<br />
am Trommelrand verschwinden muss.<br />
J |m| (kR) =0<br />
Die Nullstellen der m-ten Besselfunktion kann man abzählen und mit n indizieren. Die<br />
möglichen Werte von k und damit die möglichen Frequenzen der Trommeltöne sind<br />
also mit zwei Indizes, n und m, gekennzeichnet<br />
Die Gesamtlösung lautet jetzt<br />
k = k n,m<br />
ω n,m = v · k n,m .<br />
ψ n,m (r, ϕ,t)=A · J |m| (k n,m r) · e imϕ · e iω n,mt .<br />
Dies sind die stationären Lösungen der Trommel. Das Auslenkungsmuster der Membran<br />
ist der Realteil der Wellenfunktion<br />
Re(ψ n,m (r, ϕ,t)) = A · J |m| (k n,m r) · cos mϕ · cos ω n,m t<br />
Je nach dem, wo der Trommler das Fell auslenkt, entstehen nur Töne, die dort keinen<br />
Knoten haben. (Simulation)<br />
61
3. Lichtwellen<br />
Licht kann als elektromagnetische Welle interpretiert werden. Die dazugehörige Wellengleichung<br />
lässt sich aus den Maxwellgleichungen ableiten. Sie beschreibt dreidimensionale<br />
Lichtwellen und hat eine Vektorstruktur, d.h. die Wellenfunktion ist ein Vektor. Wir betrachten<br />
außerdem die Intensität und die Lösungen an einer Grenzfläche. Man erhält die<br />
Fresnellschen Formeln für die Stärke der Reflektion und der Transmission an einer Grenzfläche.<br />
3.1 Wellengleichung für elektromagnetische Wellen<br />
• Die Maxwellgleichungen lauten<br />
~∇ · ~E = 1 ε 0<br />
· ρ<br />
~∇ × ~ E = − d dt ~ B<br />
~∇ · ~B =0<br />
~∇ × ~B = µ 0 · ~j + µ 0 · ε 0 · d E<br />
dt ~<br />
Die Felder B, ~ E, ~ sowie die Ladungsdichte ρ und die Stromdichte ~j sind reelwertige<br />
orts- und zeitabhängige Funktionen. Die Konstante ε 0 =8.8542 × 10 −12 As/V m ist die<br />
Influenzkonstante und µ 0 =1.2566 × 10 −6 Vs/Amist die Induktionskonstante.<br />
• Nablakalkül zur Wiederholung.<br />
Die Divergenz eines Vektors ~A ist ein Skalar:<br />
⎛<br />
~∇ · ~A := ⎝<br />
∂/∂x<br />
∂/∂y<br />
∂/∂z<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ · ⎝<br />
A x<br />
A y<br />
A z<br />
⎞<br />
⎠<br />
= ∂A x<br />
∂x + ∂A y<br />
∂y + ∂A z<br />
∂z<br />
Die Rotation eines Vektors ~A ist ein Vektor:<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
∂/∂x A x<br />
~∇ × ~A := ⎝ ∂/∂y ⎠ × ⎝ A y<br />
∂/∂z A z<br />
⎞<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂A y<br />
∂z<br />
∂A z<br />
∂x<br />
∂A x<br />
∂y<br />
− ∂A z<br />
∂y<br />
− ∂A x<br />
∂z<br />
− ∂A y<br />
∂x<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Außerdem kann man ausrechnen, dass für einen beliebigen Vektor ~A<br />
~∇ × (~∇ × ~A) =~∇(~∇ · ~A) −∇ 2 ~A,<br />
62
wobei ∇ 2 A ~ ein Vektor ist:<br />
µ <br />
∂<br />
∇ 2 2<br />
~A := (~∇ · ~∇) ~A =<br />
∂x + ∂2<br />
2 ∂y + ∂2 ~A.<br />
2 ∂z 2<br />
Den Operator ∇ 2 kann man auch auf einen Skalar anwenden:<br />
∇ 2 ist der so genannte Laplace-Operator.<br />
∇ 2 φ = ∂2 φ<br />
∂x 2 + ∂2 φ<br />
∂y 2 + ∂2 φ<br />
∂z 2 .<br />
• Gleichung für das Magnetfeld ~B<br />
Die Maxwellgleichungen lassen sich folgendermaßen umformen:<br />
Wir bilden die Rotation der 4. Gleichung:<br />
~∇ × (~∇ × ~B) =~∇(~∇ · ~B) − ~∇ 2 ~B = µ 0 · ~∇ ×~j + µ 0 ε 0<br />
~∇ × d dt ~ E<br />
Unter Verwendung von<br />
und<br />
erhält man<br />
~∇ · ~B =0<br />
~∇ × ~E = − d dt ~ B<br />
−∇ 2 ~B = µ 0<br />
~∇ × ~j − µ 0 ε 0<br />
d 2<br />
dt 2 ~ B<br />
• Gleichung für das elektrische Feld E ~<br />
Ganz analog erhält man durch Rotation der 3. Gleichung<br />
also:<br />
~∇ × (~∇ × ~E) = −~∇ × d dt ~ B<br />
~∇( ~ ∇ · ~E) − ~ ∇ 2 ~ E =<br />
d<br />
dt (µ 0 · *<br />
j + µ 0 ε 0 · d<br />
dt ~ E)<br />
−∇ 2 ~ E = −µ0 · ε 0 · d2<br />
dt 2 ~ E − µ · d<br />
dt ~ j − 1 ε 0<br />
~ ∇ϕ<br />
• Behandlung der Quellen<br />
Wir nehmen an, dass das Ohmschen Gesetzes gültig ist (σ ist die Leistfähigkeit)<br />
~j = σ · ~E<br />
63
und dass die Ladungsträgerdichte homogen ist:<br />
~∇ρ =0.<br />
Dies gilt im Vakuum aber nicht zwangsläufig auch in Materie. Die Gleichungen vereinfachen<br />
sich zu<br />
∇ 2 ~ B = −µ0 σ · ~∇ × ~ E + µ 0 ε 0<br />
d 2<br />
dt 2 ~ B<br />
und unter nochmaliger Verwendung der zweiten Maxwellgleichungerhält man<br />
∇ 2 ~B = µ 0 σ d B<br />
dt ~ d 2<br />
+ µ 0 ε 0 B.<br />
dt ~ 2<br />
Für das elektrische Feld erhält man analog:<br />
• Skalare Wellengleichung im Vakuum<br />
∇ 2 E ~ = µ0 σ d E<br />
dt ~ d 2<br />
+ µ 0 ε 0 E.<br />
dt ~ 2<br />
Im Vakuum ist die Leitfähigkeit σ =0und man erhält für die 3 Komponenten von ~E<br />
die drei Gleichungen:<br />
d 2 E i<br />
dx 2<br />
+ d2 E i<br />
dy 2<br />
+ d2 E i<br />
dz 2<br />
= µ 0ε 0<br />
d 2 E i<br />
dt 2<br />
mit i = x, y, z. Dieselben drei Gleichungen erhält man für die 3 Komponenten von * B.<br />
Jede Komponente der beiden Felder erfüllt also eine Gleichung der Form:<br />
∂ 2 ψ<br />
∂x + ∂2 ψ<br />
2 ∂y + ∂2 ψ<br />
2 ∂z = µ ∂ 2<br />
0ε 2 0<br />
∂t ψ 2<br />
Allerdings sind nicht alle Komponenten unabhängig von einander. Die Maxwellgleichungen<br />
erzwingen eine bestimmte Vektorstruktur, die wir später besprechen. Zunächst<br />
betrachten wir lediglich die skalare Wellennatur der Maxwelltheorie, also die Lösungen<br />
ψ der skalaren Wellengleichung.<br />
• Eindimensionale Wellengleichung<br />
Die 3D-Wellengleichung reduziert sich zur 1D-Wellengleichung, wenn man den Spezialfall<br />
ebener Wellen betrachtet. Für ebene Wellen, also Wellen mit unendlich ausgedehnten<br />
planen Wellenfronten, ändert sich das Feld innerhalb einer Front nicht. Die Lösung<br />
hängt also nur von einer Raumrichtung ab. Liegen die Wellenfromten in der y-z-Ebene<br />
ist das Feld ψ unabhängig von y und z und die skalare Wellengleichung reduziert sich<br />
zu.<br />
∂ 2 ψ<br />
∂x = 1 ∂ 2<br />
2 v 2 ∂t ψ. 2<br />
64
Die Konstante<br />
v :=<br />
1<br />
√<br />
µ0 · ε 0<br />
= c =299792, 458 km/s ˜ 3× 10 8 m/s<br />
ist die Geschwindigkeit mit der sich die Wellenfronten bewegen. Im Vakuum ist das<br />
die Geschwindigkeit, die in das Fermatsche Prinzip der geometrischen <strong>Optik</strong> eingeht.<br />
Im Medium änder sich die Lichtgeschwindigkeit und beträgt<br />
v =<br />
1<br />
√<br />
µ0 · ε 0 · µ · ε =<br />
c √ µ · ε<br />
.<br />
Die elektrische Suzteptibilität ε und die magnetische Permeabilität µ sind dimensionslose<br />
Konstanten, die angeben um wie viel größer die Kapazität einer Ladungsverteilung<br />
und die Induktivität einer Stromverteilung im Medium ist als im Vakuum. Der Vergleich<br />
mit<br />
v = c n<br />
liefert den Brechungsindex<br />
n = √ µ · ε.<br />
(Achtung: Die elektrische Suzteptibilität ε und die magnetische Permeabilität µ werden<br />
im Buch von E. Hecht mit K e und K m bezeichnet. Die Symbole ε und µ bezeichnen<br />
bei Hecht das Produkt K e ε 0 und K m µ 0 , sind daher nicht dimensionslos sondern heben<br />
dieselbe Einheit wie µ 0 bzw. ε 0 .)<br />
• Vektorstruktur der elektromagnetischen Wellen<br />
Die drei Komponenten des E-Feldes sowie die drei Komponenten des B-Feldes gehorchen<br />
je einer 3D-Wellengleichung. Diese 6 Größen sind aber nicht unabhängig. Ebene Wellen<br />
sind transversal, d.h. sowohl der elektrische also auch der magnetische Feldstärkevektor<br />
hat keine Komponente in Ausbreitungsrichtung. Dies ergibt sich aus den Maxwellgleichungen<br />
wenn man die Ansätze für ebene Wellen<br />
~E = ~ E 0 · e i(~ k·~r−ωt)<br />
~B = ~ B 0 · e i(~ k·~r−ωt)<br />
in die Maxwellgleichung<br />
einsetzt. Mit<br />
und<br />
~∇ × ~E = − d dt ~ B<br />
~∇ × ~E = i ~ k × ~E 0 · e i(~ k·~r−ωt)<br />
d<br />
dt ~ B = −iω · ~B 0 · e i(~ k·~r−ωt)<br />
65
ergibt sich dann<br />
~ k × E0 ~ · e i(~ k·~r−ωt)<br />
= ω · ~B 0 · e i(~ k·~r−ωt)<br />
~ k<br />
| ~ k| × ~E 0 = ω<br />
|k| · ~B 0 .<br />
Mit dem Einheitsvektor in k-Richtung ˆk schreibt sich das Ergebnis kompakter:<br />
ˆk × ~ E 0 = c · ~B 0 .<br />
~B steht senkrecht zu E ~ und ~ k. DieFrontenebenerWellenstehensenkrechtzum ~ k-<br />
Vektor, der somit die Ausbreitungsrichtung vorgibt. Dass auch E ~ und ~ k senkrecht<br />
zueinander stehen, ergibt sich durch einsetzen der ebenen Wellen in die Rotation von<br />
~B:<br />
~∇ × ~B = 1 c · d E.<br />
2 dt ~<br />
Man erhält analog zu oben<br />
~ k<br />
| ~ k| × ~B 0 = − 1<br />
|k|<br />
ˆk × ~B 0 = − 1 c ~ E 0 .<br />
ω<br />
E<br />
c ~ 2 0<br />
~E steht also senkrecht auf ~ B und ~ k. Für die Feldbeträge gilt<br />
| ~ E| = c ·| ~ B|<br />
In SI-Einheiten ist das E-Feld c-mal stärker als das B-Feld. Die Amplituden ~ E 0 und<br />
~B 0 sind beide reel und haben dasselbe Vorzeichen. E-Feld und B-Feld schwingen also<br />
synchron in Phase. An einem bestimmten Ort gibt es also Zeitpunkte an denen beide<br />
Felder gleichzeitig verschwinden. Die Energie verschwindet dann ebenfalls und ist zu<br />
den Stellen gewandert, an denen die Felder zu diesem Zeitpunkt nicht verschwunden<br />
sind. In der Nähe von Materie also z.B. im Nahfeld einer Antenne kann das anders sein.<br />
Dort schwingen E-Feld und B-Feld um 90 ◦ phasenversetzt zueinander. Im Fernfeld<br />
verschwindet die Phasenverschiebung aber dann. Überlagert man zwei laufende Wellen<br />
zu einer Stehwelle schwingen die beiden Felder zeitlich um 90 ◦ phasenversetzt (als<br />
Übung). Wären die Felder immer noch noch synchron, so gäbe es Zeitpunkte, an denen<br />
E- und B-Stehwelle gleichzeitig an allen Orten verschwinden. Die Gesamtenergie wäre<br />
dann nicht mehr erhalten sondern würde zeitlich oszillieren, was im Widerspruch zur<br />
Energieerhaltung steht.<br />
66
3.2 Fresnellsche Gleichungen für die Felder<br />
• Reflektierte und transmittierte Felder.<br />
Die geometrische <strong>Optik</strong> ist nicht in der Lage die Stärke des transmittierten und reflektierten<br />
Lichts an einer Grenzfläche zu berechnen. Dazu benötigt man die Wellentheorie<br />
des Lichts. Tatsächlich liefern die Maxwellgleichungen nicht nur das Snellius-<br />
Gesetz sondern auch die Stärken der reflektierten und transmittierten Felder und deren<br />
Phasenbeziehungen. Daraus lassen sich dann die Lichtintensitäten berechnen. Bevor<br />
wir die entsprechenden Ausdrücke ableiten schauen wir uns die Ergebnisse an. Wir betrachten<br />
zunächst nur ein linear polarisiertes Licht also Licht dessen elektrisches Feld<br />
in einer Ebene schwingt und das am optisch dichteren Medium reflektiert wird. Wir<br />
müssen zunächst festlegen, wie diese Schwingungsebene relativ zur Grenzfläche orientiert<br />
ist. Üblicherweise verwendet man dazu die Einfallsebene, also die Ebene, in der<br />
die k-Vektoren des einfallenden, des reflektierten und des transmittierten Lichts liegen.<br />
Man kann zwei Fälle unterscheiden.<br />
a) Schwingungsebene des E-Feldes liegt parallel zur Grenzschicht und damit senkrecht<br />
zur Einfallebene. Der Reflektionskoeffizient und Transmissionskoeffizient für die elektrische<br />
Feldstärke ist dann<br />
E r<br />
E i<br />
= r ⊥ = n i cos θ i − n t cos θ t<br />
n i cos θ i + n t cos θ t<br />
E t<br />
E i<br />
= t ⊥ =<br />
2n i cos θ i<br />
n i cos θ i + n t cos θ t<br />
.<br />
67
) Schwingungsebene des E-Feldes liegt senkrecht zur Grenzschicht und damit parallel<br />
zur Einfallsebene. Der Reflektionskoeffizient und Transmissionskoeffizient für die<br />
elektrische Feldstärke ist dann<br />
E r<br />
= r k = n t · cos θ i − n i · cos θ t<br />
E i n t · cos θ i + n i · cos θ t<br />
E t<br />
2n i cos θ i<br />
= t k =<br />
E i n i · cos θ t + n t · cos θ i<br />
Die Koeffizienten kann man in einem Diagramm zeichnen. Für Glas mit einem Brechungsindex<br />
von n =1.5 sieht das so aus:<br />
68
Die Transmissionskoeffizienten starten für senkrechten Einfall beim gleichen Wert und<br />
sinken dann mit zunehmenden Einfallswinkel um bei 90 ◦ zu verschwinden. Die Vorzeichen<br />
von r ⊥ und t ⊥ beziehen sich auf die Orientierungen der Feldvektoren wie in der<br />
Zeichnung. Für r ⊥ > 0 z.B. bleibt die Orientierung von ~ E r gegenüber ~ E in erhalten<br />
wohingegen für r k > 0 die Orientierung von ~E r wechselt.<br />
• Senkrechter Einfall<br />
Für senkrechten Einfall auf ein optisch dichteres Medium, also n t >n i und θ i = θ t =0<br />
vereinfachen sich die Gleichungen zu<br />
r k = n t − n i<br />
n i + n t<br />
t k = 2n i<br />
n i + n t<br />
r ⊥ = n i − n t<br />
t ⊥ = 2n i<br />
.<br />
n i + n t n i + n t<br />
Bei senkrechtem Einfall macht eine Unterscheidung der beiden Einfallsebenen keinen<br />
Sinn, da die Einfallsebene nicht mehr definiert ist. Die Koeffizienten werden daher<br />
identisch bis auf das unterschiedliche Vorzeichen zwischen r k und r ⊥ , das durch die<br />
Definition der E-Felder in beiden Fällen entsteht (siehe Zeichnung). In beiden Fällen<br />
entsteht bei bei Reflexion am dichten Medium ein Phasensprung von π (Seilanalogie:<br />
fixes Seilende). Das transmittierte Licht durchläuft die Grenzfläche ohne Phasensprung.<br />
Da r ⊥ + t ⊥ 6=1ist die Gesamtstärke der beiden auslaufenden Felder nicht<br />
gleich der Stärke des einlaufenden Feld, d.h. es gibt hier keinen Erhaltungssatz für<br />
Felder! Wie wir später sehen, sind die Intensitäten allerdings erhalten.<br />
69
• Phasensprung und Zeitumkehrinvarianz<br />
Der Phasensprung bei Reflexion am optisch dichteren Medium ist prinzipieller Natur<br />
und gilt für beliebige Einfallswinkel. Er ist Folge der Zeitumkehrinvarianz. In einfachen<br />
Worten kann man diese Forderung so ausdrücken: Filmt man einen physikalischen<br />
Vorgang und betrachtet dann den rückwärtslaufenden Film, muss das, was man da<br />
sieht immer noch ein physikalisch möglicher Vorgang sein, also den Naturgesetzen<br />
gehorchen.<br />
Wir betrachten eine einlaufende Welle, die an einer Grenzschicht reflektiert wird.<br />
Die Pfeile markieren die Ausbreitungsrichtung, die Symbole sind die Feldamplituden.<br />
Filmt man den Vorgang und spult den Film rückwärts ab so erhält man zwei einlaufende<br />
Wellen, die sich zu einer auslaufenden vereinen.<br />
Gemäß dem Prinzip der Zeitumkehrvarianz muss der rückwärtslaufende Film einen<br />
physikalisch möglichen Vorgang zeigen. Wenn also nach unten kein Licht austritt dann<br />
müssen sich die Felder, die sich nach unten ausbreiten wegheben:<br />
r 0 E t + t 0 E r =0<br />
Die gestrichenen Größen r 0 und t 0 beziehen sich auf die Reflektion am optisch dünneren<br />
Medium. Da<br />
E r = r · E in<br />
und<br />
E t = t · E in<br />
70
folgt<br />
r 0 t · E in + t 0 r · E in = 0<br />
r 0 · t = −t 0 · r<br />
r 0 · t<br />
t 0 = −r<br />
Das im rückwärtlaufenden Film nach links austretende Feld setzt sich ebenfalls aus<br />
den beiden im rückwärtslaufenden Film einfallenden Feldern zusammen:<br />
E in = t 0 · E t + r · E r<br />
E in = t 0 · t · E in + r · r · E in<br />
t · t 0 = 1− r 2<br />
Da r
Man kann Snellius-Gesetz und Fresnellgleichungen kombinieren und erhält<br />
tan(θ B )= n t<br />
n i<br />
Einfallendes Licht, mit beiden Schwingungskomponenten kann polarisiert werden. Im<br />
Brewsterwinkel θ B ist das reflektierte Licht parallel zur Einfallsebene polarisiert (orientiert).<br />
• Phasensprung und Brewsterwinkel<br />
Dass der Reflektionskoeffizient einen Nulldurchgang machen muss, ergibt sich notwendig<br />
auch aus dem Phasensprung bei Reflektion am optisch dichten Medium: Wenn bei<br />
senkrechtem Einfall ~E i und ~E r antiparallel stehen, geht ihr Relativwinkel mit wachsendem<br />
Einfallswinkel von 180 ◦ nach 0 ◦ über, so dass sie bei streifendem Einfall parallel<br />
stehen und der Phasensprung verschwunden wäre. Tatsächlich verschwindet das Feld<br />
aber, um mit umgekehrten Vorzeichen wieder aufzutauchen. So bleibt der Phasenspung<br />
von 180 ◦ immer erhalten.<br />
• Reflexion am dünneren Medium<br />
Für n i >n t erhält man die Kurven:<br />
Der Brewsterwinkel θ B ist jetzt kleiner und es taucht bei θ c Totalreflektion auf. Bei<br />
diesem Winkel wird θ t = π/2 und damit<br />
r k = n t · cos θ i − n i · cos π 2<br />
n i · cos π 2 + n t cos θ i<br />
=1<br />
72
Ebenso wird<br />
r ⊥ = n i cos θ i − n t cos π/2<br />
n i cos θ i + n t cos π/2 = cos θ i<br />
=1<br />
cos θ i<br />
Der dazu gehörige Einfallswinkel ergibt sich aus dem Snelliusschen Gesetz für θ t = π/2,<br />
also<br />
sin θ i<br />
sin π/2 = n t<br />
n i<br />
was zum Totalreflektionswinkel führt:<br />
sin θ i = n t<br />
n i<br />
• Phase bei Totalreflektion<br />
Für θ i > θ c wird der Reflektionskoeffizient eins, es ändert sich jedoch die Phase des reflektierten<br />
Lichts. Sie berechnet sich aus den Reflektionskoeffizienten, die oberhalb des<br />
kritischen Winkels für Totalreflektion komplex werden. Ein komplexer Reflektionskoeffizient<br />
führt zu einer komplexen Amplitude der reflektierten Welle, deren Phasefaktor<br />
eine Phasenverschiebung des Feldes beschreibt.<br />
µ Im(rk )<br />
φ k = arctan<br />
Re(r k )<br />
µ Im(r⊥ )<br />
φ ⊥ = arctan .<br />
Re(r ⊥<br />
)<br />
Diese Phasen kann man leicht mit dem Rechner plotten:<br />
Die Relativphase für Wellen in den beiden Polarisationsrichtungen wächst bei etwa<br />
50 ◦ Einfallswinkel auf einen maximalen Wert von 45 ◦ an. Damit eignet sich totale interne<br />
Reflektion als Phasenverzögerungselement zur Herstellung zirkularer Polarisation<br />
(siehe unten).<br />
73
3.3 Intensität einer Lichtwelle<br />
• Intensität.<br />
Aus den jetzt bekannten Feldern können wir die Intensitäten berechnen. Die Intensität<br />
ergibt sich aus der Energiedichte des elektrischen Feldes<br />
und der des magnetischen Feldes<br />
U E = ε o<br />
2 E2<br />
Mit |E| = c ·|B| folgt<br />
Die Gesamtenergiedichte<br />
ist daher<br />
U B = 1<br />
2µ 0<br />
· B 2 .<br />
U E = c 2 · ε0<br />
2 · B2 = 1<br />
2µ 0<br />
B 2 = U B<br />
U = U E + U B<br />
U = ε 0 E 2 = 1 µ 0<br />
B 2 = 1 2 (ε 0E 2 + 1 µ 0<br />
B 2 ).<br />
Die Energie, die in einer Zeit ∆t durch eine Fläche A fließt, füllt ein Volumen c · A · ∆t<br />
mit der Energiedichte U und ist daher U · c · A · ∆t. DieLeistungP ist die Energie pro<br />
Zeit und damit<br />
P = U · c · A · ∆t = U · c · A.<br />
∆t<br />
Die Intensität S ist die Leistung pro Fläche<br />
S = U · c · A = U · c<br />
A<br />
S = cε 0 E 2 1<br />
= c = 1 E · B<br />
µ 0 B 2 µ 0<br />
Die Intenstität S ist gerade der Betrag des Poyntingvektors<br />
~S = c 2 ε 0<br />
~E × ~B,<br />
der außerdem noch die Flussrichtung angibt. Formal kann man auch direkt aus den<br />
Maxwell-Gleichungen den Poyntingschen Satz herleiten:<br />
|<br />
~∇ {z · ~S } = c2 ε 0<br />
~∇( ~E × ~B) =ε 0<br />
~E · d E<br />
dt ~ + 1 ~B · d B<br />
µ 0 dt ~ = d dt · U<br />
| {z | {z }<br />
Kontinuitätsgleichung für die Energiedichte.<br />
74
• Mittlere Intensität ebener Wellen<br />
Der Ansatz für ebene Wellen<br />
ergibt für den Poynting-Vektor<br />
~E = ~E 0 · cos( ~ k~r − ωt)<br />
~B = ~B 0 · cos( ~ k~r − ωt)<br />
~S = c 2 ε 0<br />
~E 0 × ~B 0 cos 2 ( ~ k~r − ωt).<br />
Die Intensität oszilliert zeitlich mit der optischen Frequenz ω. Gemessen an fast allen<br />
beobachtbaren physikalischen Vorgängen ist diese Frequenz sehr schnell. Die dazu<br />
gehörige Periode beträgt typischerweise nur wenige Femtosekunden.<br />
T = 1 ν = 2π ω ∼ 10−16 s<br />
Daher betrachtet man oft das zeitliche Mittel:<br />
D<br />
~ SE<br />
: = 1 T<br />
TZ<br />
0<br />
~S(t) =c 2 ε 0<br />
~E 0 × ~B 0<br />
Dcos 2 ( ~ E<br />
k~r − ωt)<br />
= 1 2 c2 ε 0 E0 ~ × B ~ 0 .<br />
D<br />
(Der zeitliche Mittelwert von cos 2 ( ~ E<br />
k~r − ωt) ist 1/2.) Die mittlere Intensität oder<br />
”Bestrahlungsstärke” einer ebenen Welle ist also<br />
D<br />
I := | S| ~ E<br />
= c 2 ε 0<br />
2 | E ~ 0 × B ~ 0 | = 1 2 cε 0E0.<br />
2<br />
Im Medium sieht die Sache ähnlich aus. Man muss lediglich folgende Ersetzungen<br />
machen ε 0 → εε 0 , µ 0 → µµ 0 und c → c/n. Der Brechungsindex ist in Medien durch<br />
die Dielektrizitätskonstante ε und die Permeabilität µ des Mediums gegeben:<br />
n = √ µε.<br />
Die Intensität lautet dann<br />
I = 1 c<br />
2 n εε 0E0 2 = 1 ε<br />
√ cε 0 E 2<br />
2 εµ<br />
0 = 1 1 µεcε0 E =<br />
2 µ√ 1 1<br />
2 µ ncε 0E0.<br />
2<br />
Da im Dielektrikum die Magnetisierbarkeit keine Rolle spielt, ist µ =1und daher<br />
I = 1 2 n · cε 0E 2 0 = n · I vac .<br />
Damit haben wir den Zusammenhang zwischen Feld und Intensität.<br />
75
3.4 Reflexion und Transmission an einer Grenzfläche<br />
• Leistung und Intensität bei schrägem Einfall<br />
Um die reflektierte und transmittierte Lichtleistung zu bestimmen müssen, wir uns<br />
noch über die beteiligten Flächen klar werden. Die Lichtstrahlen treffen schräg auf die<br />
Grenzfläche auf. Die Leistung ist die Intensität mal der Querschnittsfläche des Strahl<br />
die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht.<br />
Die drei Strahlen treffen sich in der Grenzschicht und beleuchten dort eine gemeinsame<br />
Fläche A. Die QuerschnittsflächendereinzelnenStrahlensindumdenKosinus<br />
des betreffenden Winkels kleiner. Für die einfallende, reflektierte und transmittierte<br />
Leistung erhält man daher<br />
P i = I i · A · cos θ i<br />
P r = I r · A · cos θ r<br />
P t = I t · A · cos θ t .<br />
Der Reflexionsgrad ist als das Leistungverhältnis definiert<br />
Der Transmissionsgrad lautet<br />
R := P r<br />
= I r cos θ r<br />
P i I i cos θ i<br />
=<br />
n i<br />
q<br />
ε0<br />
µ 0<br />
E 2 r<br />
n i<br />
q<br />
ε0<br />
µ 0<br />
E 2 i<br />
=<br />
= I r<br />
I i<br />
µ<br />
Er<br />
E i<br />
2<br />
= r 2<br />
T := P t<br />
P i<br />
= I t cos θ t<br />
I i cos θ i<br />
= n t cos θ t E 2 t<br />
n i cos θ i E 2 i<br />
= n t cos θ t<br />
n i cos θ i<br />
· t 2<br />
76
Jetzt gilt auch die Energieerhaltung R + T =1(Übung)<br />
• Senkrechter Einfall<br />
Für θ i = θ t = θ r =0erhält man<br />
R = R k = R ⊥ =<br />
µ 2 nt − n i<br />
n t + n i<br />
und<br />
T = T k = T ⊥ =<br />
4n tn i<br />
(n t + n i ) 2<br />
Glas reflektiert etwa 4%. Galliumarsenid, ein Halleitermaterial aus dem Laserdioden<br />
hergestellt werden, hat einen sehr hohen Brechungsindex von 3.66. Entsprechend hoch<br />
ist die Reflektion an der Grenzfläche.<br />
• Evaneszente Wellen<br />
77
Bei Reflexion am optisch dünnen Medium wird das Licht ab dem kritischen Winkel θ c<br />
total reflektiert. Bei θ i = θ c =arcsinn t /n i wirddieLaufzeitvonPunktA nach Punkt<br />
B gerade so groß wie die Laufzeit von Punkt C nach Punkt B, denn<br />
sin θ c = v i · t<br />
v t · t = v i<br />
= n t<br />
v t n i<br />
Die in Luft erzeugten Kugelwellen an A und B interferieren also konstruktiv in Richtung<br />
entlang der Oberfläche. Es entsteht eine parallel zur Oberfläche laufende Welle,<br />
die mit dem Abstand zur Oberfläche schnell abklingen muss, denn in nicht parallele<br />
Richtungen ist die Interferenz nicht mehr konstruktiv.<br />
Auch formal erhält man dasselbe Verhalten. Die transmittierte ebene Welle<br />
breitet sich entlang dem k-Vektor<br />
⎛<br />
~ kt = ⎝<br />
~E t = ~E 0t · e i(~ k t·~r−ωt)<br />
k tx<br />
k ty<br />
k tz<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ = ⎝<br />
k t · sin θ t<br />
k t · cos θ t<br />
0<br />
aus wobei der Transmissionswinkel θ t mit dem Einfallswinkel θ i durch Snelliussche<br />
Gesetz gegeben ist. Man erhält also<br />
k tx = k t · sin θ t = k t · ni · sin θ i<br />
n t<br />
und<br />
k ty = k t · cos θ t = ±k t · p1 r<br />
− sin 2 θ t = ±k t · 1 − ( n i<br />
)<br />
n 2 sin 2 θ i .<br />
t<br />
Oberhalb des kritischen Winkels, also für θ i > θ c , wird die Wurzel negativ:<br />
r<br />
k ty = ±ik t ( n i<br />
)<br />
n 2 sin 2 θ i − 1:=±iβ.<br />
t<br />
78<br />
⎞<br />
⎠
Die transmittierte Welle erhält dann die Form<br />
~E t = ~ E t0 · e −βy · e i(k t n i<br />
n t<br />
sin θ i x−ωt) .<br />
Dies entspricht einer Welle die in x-Richtung entlang der Oberfläche läuft und in y-<br />
Richtung exponentiell abklingt. Der exponentiell anwachsende Term ist unphysikalisch<br />
und bleibt unberücksichtigt. Die Eindringtiefe<br />
λ := 1/β =<br />
1<br />
k t<br />
q( n i<br />
n t<br />
) 2 sin 2 θ i − 1<br />
1<br />
= λ t · q<br />
2π ( n i<br />
n t<br />
) 2 sin 2 θ i − 1<br />
ist genau beim kritischen Winkel unendlich, fällt aber mit wachsendem Einfallswinkel<br />
schnell ab.<br />
• Frustrierte Totalreflexion<br />
Befindet sich innerhalb der Eindringtiefe wieder eine Grenzfläche, so kann die Welle<br />
im neuen Medium weiterlaufen. Die Totalreflektion ist ”frustriert”.<br />
79
Das Licht tunnelt durch das Hindernis, das der Luftspalt bildet. Dieses Tunneln ist ein<br />
ganz allgemeines Wellenphänomen und tritt bei akustischen, seismischen und quantenmechanischen<br />
Wellen genauso auf. Anwendungen gibt es in der Geologie und der<br />
Tunnelmikroskopie.<br />
→ Prismaexperiment<br />
→ Geologie<br />
→ Fingerabdruck<br />
→ Quantentunneln<br />
→ Tunnelmikroskop<br />
3.5 Herleitung der Fresnellschen Gleichungen<br />
• Stetigkeit der elektrischen und Magnetischen Felder<br />
Die Tangentialkomponente von E ~ ist an einer Grenzfläche stetig d. h. auf beiden Seiten<br />
der Grenzfläche gleich. Das erkennt man durch Verwendung der Maxwellgleichung<br />
~∇ × ~E = − d dt ~ B<br />
in der Form nach Anwendung des Stockesschen Satzes<br />
I Z d<br />
~Ed~s = − Bd<br />
dt ~ A ~ = − d Z<br />
dt<br />
~Bd ~ A<br />
Den Weg des Ringintergrals wählt man so:<br />
Für den Grenzwert d → 0 verschwindet die Fläche A und damit das Integral R ~Bd ~A.<br />
Es bleibt das Wegintegral:<br />
I<br />
~Ed~s = L · E I − L · E II =0<br />
E I = E II<br />
80
wobei E I bzw E II die tangentialen Komponenten ~ E an der Grenzfläche in Region I<br />
bzw. II sind. Ganz analog folgt aus der Maxwellgleichung<br />
~∇ × ~H = − d dt ~ D,<br />
dass auch auch die Tangentialkomponenten des Magnetfeldes ~H stetig sind<br />
H I = H II .<br />
Da optische Materialien nicht diamagnetisch sind, ist die Permeabilität in beiden Regionen<br />
gleich µ = 1 wodurch auch die Tangentialkomponenten der B-Felder stetig<br />
sind,<br />
B I = B II .<br />
Für ebene Wellen<br />
~E i = ~E 0i cos( ~ k i ~r − ω i t),<br />
~E r = ~E 0r cos( ~ k r ~r − ω r t + ε r ),<br />
~E t = E ~ 0t cos( ~ k t ~r − ω t t + ε t ),<br />
kann man die Stetigkeitsbedingung für die Tangentialkomponente unter Verwendung<br />
des Einheitsvektor Û senkrecht zur Grenzfläche formulieren. Man bildet den Vektor<br />
Û × ~E, der in der Grenzfläche liegt, senkrecht zum Feld steht und dessen Länge dem<br />
Betrag der Tangentialkomponente entspricht. Die Stetigkeitsbedingung lautet dann<br />
oder<br />
Û × ~E i + Û × ~E r = Û × ~E t<br />
Û × ~E 0i cos( ~ k i ~r − ω i t)+Û × ~E 0r cos( ~ k r ~r − ω r t + ε r )=Û × ~E 0t cos( ~ k t ~r − ω t t + ε t ).<br />
Diese Bedingung muss für alle Orte ~r an der Oberfläche und alle Zeiten t gelten.<br />
• Bedingung für die Phasen, Snelliusgesetz<br />
Um die Grenzbedingung zu erfüllen, müssen zunächst die Argumente der Kosinus-<br />
Funktionen gleich sein. Für beliebige Zeiten klappt das nur, wenn die Frequenzen alle<br />
gleich sind, also:<br />
ω i = ω r = ω t .<br />
Alle drei Wellen haben also dieselbe Frequenz. Außerdem müssen die Ortphasen in<br />
der Grenzschicht gleich sein. Insbesondere gilt für die einfallende und die reflektierte<br />
Welle<br />
~ ki ~r = ~ k r ~r + ε r<br />
81
oder ³<br />
~ki − ~ k r´<br />
~r = ε r .<br />
Da ~r in der Grenzschicht liegt, ist dies nur erfüllt, wenn der Vektor ~ k i − ~ k r senkrecht zur<br />
Grenzschicht steht, denn, wie bei der Diskussion der Wellenfronten bei ebenen Wellen,<br />
liegen Orte, die die Bedingung ~a · ~r = konstant erfüllen, in einer Ebene senkrecht zum<br />
Vektor ~a. Damit ist ³<br />
~ki − ~ k r´<br />
kÛ<br />
oder<br />
³<br />
~ki − ~ k r´<br />
× Û = 0<br />
~ ki × Û = ~ k r × Û.<br />
Für die Beträge der beiden Vektoren erhält man<br />
¯ ¯<br />
¯~k i¯¯¯ sin θi = ¯~k r¯¯¯ sin θr<br />
und da<br />
¯<br />
¯~k i¯¯¯ =<br />
¯¯¯~ kr¯¯¯folgt<br />
θ i = θ r .<br />
Man erhält also das Reflexionsgesetz.<br />
Fordert man Gleichheit für die Phasen der einfallenden und der transmittierten Welle,<br />
~ ki ~r = ~ k t ~r + ε t<br />
erhält man analog, dass ³<br />
~ki − ~ k t´<br />
kÛ,<br />
also ³<br />
~ki − ~ k t´<br />
× Û =0,<br />
und für die Beträge ¯¯¯~ ¯<br />
ki¯¯¯ sin θi = ¯~k t¯¯¯ sin θt .<br />
¯<br />
¯<br />
Da jetzt ¯~k i¯¯¯ = ni · ω/c, und¯~k t¯¯¯ = nt · ω/c ergibt sich jetzt das Snelliusgesetz<br />
n i sin θ i = n t sin θ t .<br />
• Bedingungen für die Amplituden, Fresnell-Gleichungen<br />
Neben den Phasen müssen auch die Amplituden an der Grenzfläche stimmen. Hier<br />
unterscheiden wir jetzt den Fall mit E ⊥ zur Einfallsebene und E k zur Einfallsebene.<br />
1. Fall: E senkrecht zur Einfallsebene<br />
82
Die E-Felder aller 3 Strahlen stehen dann parallel zur Grenzfläche und müssen daher<br />
stetig sein und für die Beträge der Felder gilt:<br />
E 0i + E 0r = E 0t<br />
Jetzt kommt außerdem noch die Stetigkeit der B-Felder ins Spiel, die in der Einfallsebene<br />
liegen. Die Tangentialkompenenten entstehen durch Projektion auf die Grenzfläche:<br />
B 0i cos θ i − B 0r cos θ r = B 0t cos θ t .<br />
Das negative Vorzeichen ergibt sich aus der Definition der Orientierung von B r (siehe<br />
vorne bei Diskussion der Fresnellgleichungen).Wir verwenden den Zusammenhang zwischen<br />
E und B für ebene Wellen in Materie<br />
E 0i = c n i<br />
· B 0i<br />
E 0r = c n r<br />
· B 0r<br />
E 0t = c n t<br />
· B 0t<br />
sowie das Reflexionsgesetz θ i = θ r und erhalten aus der Stetigkeit des Magnetfeldes<br />
die Gleichung<br />
n i E 0i · cos θ i − n i E 0r cos θ i = n t E 0t cos θ t .<br />
Die Stetigkeit der E-Felder wird benutzt um E 0t zu eliminieren:<br />
n i cos θ i (E 0i − E 0r )=n t cos θ t (E 0i + E 0r )<br />
oder<br />
E 0i (n i cos θ i − n t cos θ t )=E 0r (n t cos θ t + n i cos θ i )<br />
Eliminiert man dagegen E 0r ergibt sich:<br />
E 0r<br />
E 0i<br />
= n i cos θ i − n t cos θ t<br />
n i cos θ i + n t cos θ t<br />
:= r ⊥<br />
E 0t<br />
E 0i<br />
=<br />
2n i cos θ t<br />
n i cos θ i + n t cos θ t<br />
:= t ⊥<br />
2. Fall: E parallel zur Einfallsebene<br />
Nun erzwingt die Stetigkeit der tangentialen Komponente des E-Feldes den Zusammenhang<br />
E 0i cos θ i − E 0r cos θ r = E 0t cos θ t<br />
und die Stetigkeit der tangentialen Komponente des B-Feldes:<br />
B 0i + B 0r = B 0t .<br />
83
Wie oben kann man die Magnetfeldamplituden durch die E-Feldamplituden ausdrücken:<br />
Eliminieren von E 0t ergibt:<br />
n i E 0i + n i E 0r = n t E 0t<br />
cos θ i (E 0i − E 0r )=cosθ t · ni (E 0i + E 0r )<br />
n t<br />
E 0i (n t cos θ i − n i cos θ t )=E 0r (n i cos θ t + n t cos θ i )<br />
E 0r<br />
= n t cos θ i − n t cos θ t<br />
:= r k .<br />
E 0i n i cos θ t + n t cos θ i<br />
Entsprechend führt Eliminieren von E 0r zu<br />
4. Licht in Materie<br />
E 0t<br />
E 0i<br />
=<br />
2n i cos θ i<br />
n i cos θ t + n t cos θ i<br />
:= t k .<br />
In optisch transparenten Materialien wird das Licht kaum absorbiert, aber seine Wellenlänge<br />
durch den Brechungsindex verändert. In bestimmten Medien ist der Brechungsindex<br />
zusätzlich abhängig von der Polarisation des Lichts, also der Richtung des elektrischen Feldstärkevektors.<br />
In solchen doppelbrechenden Medien kann auch die Polarisation durch den<br />
Brechungsindex beeinflusst werden. Um den zentralen Begriff des Brechungsindex also der<br />
Phasengeschwindigkeit im Medium besser zu verstehen, wird hier ein einfaches mikroskopisches<br />
Modell, das Lorentzmodell eingeführt. Es liefert eine gute Vorstellung der physikalischen<br />
Vorgänge, die in ähnlicher Form auch bei einer quantenmechanischen Behandlung seine<br />
Gültigkeit behält. Das Modell ist in jedem Fall ein wichtiger Ausgangspunkt beim Verständnis<br />
der Wechselwirkung zwischen Licht und Materie.<br />
4.1 Lorentz-Modell<br />
Das Lorentz-Modell beschreibt zunächst nur Dielektrika also transparante, nicht magnetisierbare<br />
Materialien, die von einem elektrischen Feld polarisiert werden können. Im Lorentz-<br />
Modell werden die Elektronen im Dielektrikum als klassische geladene Punktteilchen behandelt.<br />
Das elektrische Feld des Lichts übt auf die geladenen Elektronen im Material eine<br />
Kraft aus und setzt sie in Bewegung. Sobald die Ladungen beschleunigt werden, strahlen<br />
sie selber Licht ab. Die Lichtanteile der beschleunigten Ladungen überlagern sich mit dem<br />
einfallenden Licht zu einem Gesamtfeld. Sind die Ladungen homogen verteilt, bleibt eine einfallende<br />
ebene Welle erhalten allerdings mit veränderter Ausbreitungsgeschwindigkeit. Auf<br />
diese Weise erhält man ein mikroskopisches Modell für den Brechungsindex. Ein Teil des<br />
Lichts kann aber auch absorbiert werden. Im Fall inhomogener Ladungsverteilungen wird es<br />
dabei aus dem Lichtstrahl herausgestreut. Sind die beschleunigten Ladungsträger in ihrer<br />
Bewegung gedämpft, kann die Energie des Lichts auch in Wärme umgewandelt werden.<br />
84
• Modell für Elektronen im Medium<br />
Die Elektronen sind gleichmäßig über das Material verteilt. Dichteschwankungen<br />
sollen, wenn überhaupt, auf räumlichen Skalen stattfinden, die kleiner sind als die<br />
Wellenlänge des Lichts. Im Gleichgewichtszustand befindet sich jedes Elektronen in<br />
seinem Potentialminimum, aus dem es durch das Licht ausgelenkt werden kann. Das<br />
Potential kann eine beliebige glatte Form haben. Bei kleinen Lichtstärken wird das<br />
Elektron nur wenig ausgelenkt und man kann das Potential durch den ersten nichtverschwindenen<br />
Term einer Taylor-Entwicklung nähern.<br />
U = 1 2 mω2 0x 2 + ....<br />
Die ”Resonanzfrequenz” ω 0 gibt die Krümmung des Potentials an. Man spricht in<br />
diesem Fall von der Linearen <strong>Optik</strong>. Für Laserlicht mit Leistungen im Watt-Bereich<br />
muss man höhere Terme hinzunehmen. Das ist das Spezialgebiet der Nichtlinearen<br />
<strong>Optik</strong>, die wir hier nicht besprechen. In linearer Näherung lautet die rücktreibende<br />
Kraft:<br />
F = − dU<br />
dx = −mω2 0x<br />
Sie entspricht dem Hookschen Gesetz. Wir können uns die Elektronen also wie mit Federn<br />
an ihre Gleichgewichtslage angeheftet denken. Außerdem können die Elektronen<br />
noch durch eine Reibungskraft gedämpft werden<br />
F r = −γ · m · ẋ,<br />
die proportional zur Geschwindigkeit ist und deren Stärke durch die Dämpfungskonstante<br />
γ gegeben ist. Außerdem haben wir noch das Lichtfeld als periodisch antreibende<br />
Kraft auf die Ladung q des Elektrons.<br />
F L = q · E 0 e −iωt .<br />
• Bewegungsgleichung<br />
Die Kraftbilanz führt zur Differentialgleichung für den getriebenen gedämpften harmonischen<br />
Oszillator:<br />
mẍ + mω 2 0x + γmẋ = q · E 0 e −iωt<br />
85
mit der Lösung:<br />
x(t) =E 0 · D(ω) · e −iωt<br />
D(ω) = q 1<br />
m ω 2 0 − ω 2 − iγω<br />
Die komplexe Resonanzfunktion D(ω) kann man in Real und Imaginärteil zerlegen:<br />
Re(D) = q ω 2 0 − ω 2<br />
m (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω 2<br />
Im(D) = q γ · ω<br />
m (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω . 2<br />
Die Auslenkung x des Elektrons aus der Ruhelage ist dann<br />
Re(x) =Re ¡ E 0 · D · e −iωt¢<br />
= E 0 · Re {(Re(D)+i Im(D))(cos ωt − i sin ωt)}<br />
= E 0 Re(D)cosωt + E 0 Im(D)sinωt.<br />
Die Schwingung des Elektrons ist also eine Überlagerung einer Kosinusschwingung und<br />
einer Sinusschwingung. Da das elektrische Feld proportional zum Kosinus schwingt<br />
(Re(E) =E 0 · cos ωt), bewegt sich das Elektron mit einer Amplitude E 0 Re(D) in<br />
Phase mit dem Lichtfeld und mit einer Amplitude E 0 Im(D) um 90 ◦ phasenversetzt<br />
dem Feld hinterher. Die phasensynchrone Amplitude heißt dispersive Amplitude und<br />
die phasenverzögerte ist die absorptive Amplitude. Die absorptive Amplitude zeigt bei<br />
der Resonanzfrequenz ω 0 ein Maximum. Die dispersive Amplitude verschwindet dort.<br />
Man kann auch die Relativphase zwischen Licht und Elektron direkt ausrechnen:<br />
tan ϕ = Im(D)<br />
Re(D) =<br />
γ · ω<br />
ω 2 0 − ω 2<br />
cot ϕ = ω2 0 − ω 2<br />
γ · ω =tan(π 2 − ϕ)<br />
86
ϕ = arctan( ω2 − ω 2 0<br />
γ · ω )+π 2<br />
DieRelativphasewächstmitderFrequenz an, durchläuft in Resonanz π/2 und wird<br />
für hohe Frequenzen maximal π. Die Resonanzfrequenz liegt für optisch transparente<br />
Materialien oberhalb der Lichtfrequenz also ω < ω 0 . In diesem Bereich ist die absorptive<br />
Amplitude deutlich kleiner als die dispersive. Die Elektrone schwingen also<br />
weitgehend in Phase mit dem Lichtfeld.<br />
• Dipolfläche.<br />
Die Elektronen strahlen jedes wie ein Herz ‘scher Dipol annähernd phasengleich mit<br />
dem anregenden Primärfeld ein Dipolfeld ab. Wir fassen die Elektronen in einer Ebene<br />
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichts zusammen. Das Feld an einem Punkt P<br />
ist dann die Überlagerung der von den schwingenden Elektronen abgestrahlten Felder.<br />
Eine etwas längere Rechung zeigt (siehe z.B. ”Laser Physics” von M. Sargent, M.<br />
Scully und W. Lamb, Addison Wesly 1974, Anhang A), dass synchron schwingende<br />
Elektronen einer unendlich ausgedehnten Ebene ihre abgestrahlten Dipolfelder zu einer<br />
87
ebenen Welle überlagern, die in Vorwärtsrichtung läuft und gegenüber der erzeugenden<br />
Schwingung um 90 ◦ hinterher hinkt:<br />
∆E(x, t) = 1 N a kqx 0<br />
· e i(kx−ωt−π/2) ,<br />
2 ε 0<br />
wobei N a die Flächendichte der Dipole und damit der Atome bezeichnet und x 0 die<br />
Amplitude der Elektronenschwingung. Schwingen die Elektronen mit der absorptive<br />
Amplitude, also um 90 ◦ verzögert zum einfallenden Lichtfeld, so erzeugen die Elektronen<br />
eine Sekundärwelle, die gegenüber der anregenden Primärwelle um 180 ◦ verschoben<br />
ist und diese daher teilweise auslöscht. Das Licht wird vom Medium ”absorbiert”. Die<br />
dispersive Amplitude, bei der die einzelnen Elektronen synchron mit der Primärwelle<br />
schwingen, erzeugt eine um −90 ◦ phasenverschoben ebene Welle. Sie überlagert sich<br />
mit der Primärwelle und ergibt eine Gesamtwelle mit gegenüber der Primärwelle verschobener<br />
Phase. Das sieht man mit Hilfe des allgemeinen Zusammenhangs (Bronstein)<br />
q<br />
E 0 cos kx + ∆E sin kx = E0 2 + ∆E 2 cos (kx − ϕ)<br />
∆ϕ : = arctan(∆E/E 0 ).<br />
Eine Primärwelle der Amplitude E 0 und eine durch die dispersive Schwingung erzeugte<br />
Welle mit Amplitude ∆E überlagern sich zu einer neuen Welle, die gegenüber der<br />
Primärwelle um ∆ϕ verschoben ist. Da üblicherweise ∆E
• Berechnung von ∆ϕ<br />
Dazu benötigen wir die Amplitude der Sekundärwelle<br />
1 ω<br />
∆E = N a qx 0 ,<br />
2 cε 0<br />
diedurchdiedispersiveSchwingungerzeugtwird(sieheoben). Fürx 0 setzen wir die<br />
dispersive Amplitude ein<br />
q ω 2 0 − ω 2<br />
x 0 = E 0<br />
m (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω 2<br />
und erhalten<br />
∆E 1 q 2 ω ω 2 0 − ω 2<br />
= N a<br />
E 0 2 mcε 0 (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω . 2<br />
Der Phasenversatz pro Dipolfläche ist damit<br />
∆ϕ = arctan(∆E/E 0 )<br />
' ∆E/E 0 = N a<br />
1<br />
2 k q2<br />
mε 0<br />
ω 2 0 − ω 2<br />
(ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω 2 .<br />
Damit erhält man schließlich für den Brechungsindex:<br />
n = 1+ ∆ϕ<br />
ka<br />
= 1+ 1<br />
ka N 1<br />
a<br />
2 k q2 ω 2 0 − ω 2<br />
mε 0 (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω 2<br />
= 1+ 1 2<br />
Nq 2<br />
ε 0 m · ω 2 0 − ω 2<br />
(ω 2 0 − ω 2 ) 2 + γ 2 ω , 2<br />
wobei N = N a /a die Dipoldichte im Material also die Anzahl der Atome pro Volumen<br />
ist. Für verschwindende Dämpfung in transparenten Medien wird γ = 0 und der<br />
Brechungsindex vereinfacht sich zu<br />
n =1+ 1 Nq 2<br />
2 ε 0 m · 1<br />
ω 2 0 − ω . 2<br />
• Komplexer Brechungsindex<br />
Eine kürzere aber physikalisch weniger anschauliche Herleitung verwendet die Grundlagen<br />
der Elektrodynamik in Medien, bei der für nichtmagnetische Materialien vor allem<br />
die elektrische Polarisation ~P ins Spiel kommt. Sie ist die Dipoldichte im Medium,<br />
also:<br />
~P = q · ~x · N = q · N · D(ω) · ~E 0<br />
89
wobei N die Elektronendichte im Medium ist, q die Ladung eines Elektrons und ~x<br />
die Auslenkung der Elektronen aus der Ruhelage, wie wir sie oben berechnet haben.<br />
Die Resonanzfunktion D(ω) behalten wir als komplexe Funktion und erwarten daher<br />
zunächst einen komplexen Ausdruck für den Brechungsindex, dessen Realteil dann<br />
der übliche reele Brechungsindex ist. Auslenkung und Feldrichtung sind parallel und<br />
daher sind auch Polarisation und Feld parallel. Die Stärke der Polarisation ist offenbar<br />
proportional zum Feld<br />
~P = χ · ε 0 · ~E 0<br />
wobei die Proportionalitätskonstante<br />
χ := q ε 0<br />
· N · D(ω)<br />
gerade die aus der Elektrodynamik bekannte elektrische Suzeptibilität ist. Diese hängt<br />
auf einfache Weise mit der Dielektrizitätskonstanten ε zusammen<br />
χ = ε − 1<br />
Die Dielektrizitätskonstante ergibt dann den Brechungsindex:<br />
n 2 = ε =1+χ<br />
= 1+ q · N · D(ω).<br />
ε 0<br />
' 1+ 1 q<br />
· N · D(ω)<br />
2 ε 0<br />
Für kleine Brechungsindizes kann man die Wurzel durch eine Taylorreihe nähern und<br />
nach dem zweiten Term abbrechen.<br />
r<br />
n = 1+ q · N · D(ω)<br />
ε 0<br />
' 1+ 1 q<br />
· N · D(ω)<br />
2 ε 0<br />
n ∼ 1+ 1 Nq 2 1<br />
2 ε 0 m ω 2 0 − ω 2 − iγω<br />
Der Brechungindex ist im Allgemeinen also eine komplexe Zahl. Falls die Dämpfungskonstante<br />
klein ist, wie es in transparanten Materialien der Fall sein muss (keine<br />
Dämpfung der Elektronen), also γω ¿ ω 2 0 − ω 2 , wird der Brechungsindex reell:<br />
n ∼ 1+ 1 Nq 2 1<br />
2 ε 0 m ω 2 0 − ω . 2<br />
Dies ist genau der Ausdruck von oben. Der Imaginärteil des Brechungsindex lässt sich<br />
ebenfalls physikalisch interpretieren. Er beschreibt die Absorption vom Licht, was vor<br />
allem bei Metallen wichtig wird und im nächsten Abschnitt weiter unten besprochen<br />
wird.<br />
90
• Optisches Verhalten von Dielektrika<br />
Für Dielektrika beobachtet man etwa folgenden typischen Verlauf von n:<br />
ManerhältKurven,mitdispersiverForm,wiees das Lorentzmodell vorhersagt. Allerdings<br />
gibt es mehrere dispersive Resonanzen. Dies sind im Lorentzmodell nicht zu<br />
verstehen. Die quantenmechanische Beschreibung der Atome führt interessanterweise<br />
wieder auf Dipolschwingungen mit absorptiver und dispersiver Amplitude, sodass das<br />
Lorentzmodell sich als bereits ziemlich gutes Modell herausstellt. Allerdings hat ein<br />
Atom ein Vielzahl von Resonanzen in fast allen Wellenlängenbereichen. Im Festkörper<br />
bilden diese Resonanzen sogenannte Energiebänder, die ähnlich wie im Lorentzmodell<br />
zu einem komplexen Brechungsindex mit dispersiven und absorptiven Resonanzstruktur<br />
fühern. In den schraffierten Bereichen sind die absorptiven Schwingungen dominant<br />
und die Strahlung wird stark absorbiert. Dazwischen gibt es transparente Bereiche,<br />
in denen man <strong>Optik</strong> machen kann. Im sichtbaren und infraroten Bereich ist n meist<br />
größer als 1. Im UV- und vor allem im Röntgenbereich ist n
Anomale Dispersion, bei der n mit wachsendem ω sinkt, findet man nur in den absorbierenden<br />
Bereichen. Mit Hilfe von<br />
ω =<br />
c<br />
n(ω) · k<br />
kann man die Dispersion auch als Funktion ω(k) angeben, die im Vakuum eine Gerade<br />
ist, in Materie aber gekrümmt sein kann.<br />
Die Tatsache, dass ω(k) nicht linear ist (bzw. n nichtkonstantist),bezeichnetman<br />
auch als ”Dispersion”. Optische Materialien zeigen im allgemeinen Dispersion.<br />
• Wellenpakete<br />
Realistische Wellen sind räumlich und zeitlich begrenzt. Solche Wellenpakete lassen<br />
sich wie fast alle Funktionen per Fouriertransformation als Überlagerung harmonischer<br />
Wellen bilden.<br />
Ψ(x, t) =<br />
Z ∞<br />
−∞<br />
C(k) · e i(kx−ω(k)t) · dk<br />
92
Jede Welle dieser Überlagerung wird durch seine Wellenzahl k und seine Amplitude<br />
C(k) charakterisiert. Die Frequenzen der einzelnen Wellen ergeben sich aus der Wellenzahl<br />
mittels der Dispersionsrelation ω(k). Für Medien mit linearer Dispersionsrelation,<br />
ω = vk, gilt<br />
Ψ(x, t) =<br />
Z ∞<br />
−∞<br />
C(k) · e ik(x−vt) · dk = Ψ(x − vt).<br />
Das Wellenpaket breitet sich also mit der Phasengeschwindigkeit v = ω/k aus, ohne<br />
seine Form zu verändern. Anders sieht die Sache aus, wenn die Phasengeschwindigkeit<br />
von k abhängt. In Medien mit Dispersion hat jede Welle der Linearkombination eine<br />
andere Ausbreitungsgeschwindigkeit. Damit verändert sich die Zusammensetzung der<br />
harmonischen Funktionen und damit auch die Form des Wellenpakets. (Animation,<br />
Springer).<br />
• Gruppengeschwindigkeit.<br />
In dispersiven Medien treten vor allem zwei wichtige Effekte auf. Zum einen kann<br />
sich die Breite eines Pakets ändern. Zum anderen kann sich das Maximum des Wellenpakets<br />
mit einer Geschwindigkeit bewegen, die drastisch von der Phasengeschwindigkeit<br />
abweicht. Letzteres betrachten wir am Beispiel eines Rechteckpulses genauer. Die Linearkombination<br />
enthält nur Wellen mit k-Vektoren in einem bestimmten Bereich. All<br />
diese Wellen tragen zu gleichen Teilen bei. Die Funktion C(k) soll also folgende Form<br />
haben.<br />
Außerdem entwickeln wir die Dispersionsrelation bis zur ersten Ordnung:<br />
ω(k) =ω 0 + dω<br />
dk | k 0<br />
· (k − k 0 )+...<br />
93
Einsetzen ergibt:<br />
mit der Abkürzung<br />
k 0 +4k/2<br />
Z<br />
Ψ(x, t) = C 0 e ikx−i(ω 0+ dω<br />
dk | k 0· (k−k 0 )+...)t dk<br />
k 0 −4k/2<br />
= C 0 · e i(k 0x−ω 0 t) ·<br />
Z<br />
K = k − k 0 .<br />
Das Integral kann man lösen und man erhält:<br />
+4k/2<br />
−4k/2<br />
e iK dK<br />
Ψ(x, t) =A(x, t) · e i(k 0x−ω 0 t)<br />
mit der Einhüllenden<br />
A(x, t) =2C 0 · sin(u∆k/2) .<br />
u<br />
Die Variable<br />
u := x − dω<br />
dk | k o<br />
· t<br />
hat die Form u = x − v g · t. Die Einhüllende A(x, t) breitet sich daher mit der ”Gruppengeschwindigkeit”<br />
v g := dω<br />
dk<br />
aus. Während die Phasengeschwindigkeit größer sein kann als c ist v g
Wir setzen die Amplitudenverteilung und die Dispersionsrelation in das Wellenpaket<br />
ein:<br />
+∞ Z<br />
Ψ(x, t) = C 0 e ikx−i(ω 0+v g· (k−k 0 )+ 1 2 β(k−k 0) 2 )t dk<br />
−∞<br />
Z<br />
= Ψ 0 · e i(k 0x−ω 0 t) ·<br />
+∞<br />
−∞<br />
Z<br />
= Ψ 0 · e i(k 0x−ω 0 t) ·<br />
+∞<br />
−∞<br />
e i(k−k 0)(x−v g t) · e −(α+iβt)(k−k 0) 2 dk.<br />
e ik(x−vg t) · e −(α+iβt)k2 dk.<br />
Auch dieses Integral kann man lösen (etwas längliche Rechung als Tüftelaufgabe zur<br />
Übung). Das Betragsquadrat der Lösung beschreibt die räumliche Energieverteilung<br />
des Pakets:<br />
¯<br />
¯Ψ(x, t) 2¯¯ π<br />
= Ψ 0 · p · exp<br />
µ− (x − v <br />
g t) 2<br />
α/2 · x0<br />
wobei<br />
x 0 := √ 2α · 1+ β2<br />
α 2 t2 .<br />
Der Puls ist gaußförmig mit einer Breite x 0 (t), die mit der Zeit anwächst.<br />
s<br />
x 2 0<br />
Für große Zeiten zerfließt der Puls mit einer konstanten Geschwindigkeit:<br />
v ∆ := dx r r<br />
0 2 2<br />
dt = α · β = d 2 ω<br />
α dk | 2 k=k 0<br />
.<br />
Die Konstante α hängt mit der Startbreite des Pulses zusammen: x 0 (t =0)= √ 2α.<br />
Ein anfänglich schmales Paket läuft schneller auseinander. Die Steigung der Dispersionsrelation<br />
liefert also die Gruppengeschwindigkeit während die Krümmung der Dispersionsrelation<br />
die Geschwindigkeit angibt mit der der Puls auseinanderläuft (dispergiert).<br />
95
4.3 Metalle<br />
• Dispersionsrelation in Metallen<br />
Im Metall gibt es zusätzlich zu den gebundenen Elektronen auch freie Elektronen ohne<br />
rücktreibende Kraft. Für diese ist also ω 0 =0. Für den Brechungsindex kann man den<br />
allgemeinen Ansatz machen:<br />
⎛<br />
⎞<br />
n 2 (ω) =1+ Nq2<br />
f e<br />
⎜<br />
+ X ε 0 m ⎝−ω 2 − iγ e ω<br />
| {z } j<br />
freie Elektronen<br />
f j<br />
ω 2 0j − ⎟<br />
ω2 − iγ j ω ⎠<br />
| {z }<br />
gebundene Elektronen<br />
Die Faktoren f e und f j sind dimensionslose Korrekturfaktoren der Größenordnung 1.<br />
Sie heißen Oszillatorstärken und erfassen die quantenmechanischen Korrekturen zum<br />
klassischen Modell.<br />
• Plasmafrequenz<br />
Wir betrachten nur die freien Elektronen und vernachlässigen deren Dämpfung, ω À γ.<br />
Das kann man machen, da die Dämpfungskonstante nicht mit der Frequenz steigt und<br />
für große Lichtfrequenzen ω (sichtbarer Bereich und höher) vergleichweise klein wird.<br />
Außerdem setzen wir f e = 1. Für den Brechungsindex erhält man den einfachen<br />
Ausdruck<br />
n 2 (ω) ' 1+ Nq2 1<br />
³<br />
ε 0 m ω =1− ωP<br />
´2<br />
2 ω<br />
mit der ”Plasmafrequenz”<br />
s<br />
Nq<br />
ω P :=<br />
2<br />
ε 0 m .<br />
Für Metalle ist die Plasmafrequenz größer als die Lcihtfrequenz im sichtbaren Bereich.<br />
Für ω < ω P wird der Brechungsindex dann komplex!<br />
r ³ωP ´2<br />
n = i − 1<br />
ω<br />
Ähnlich wie im Fall der evaneszenten Welle oszilliert das Feld nicht mehr räumlich<br />
sondern klingt nach Eintritt ins Medium exponentiell ab.<br />
E(ω) = E 0 · e i(kx−ωt)<br />
= E 0 · e i(n ω c x−ωt)<br />
√<br />
(<br />
ω Pω<br />
= E 0 · e −iωt e − ω c<br />
= E 0 · e −iωt e −x/λ s<br />
) 2 −1·x<br />
96
Mit der Eindringtiefe<br />
µ r ω<br />
λ s := ( ω −1<br />
P<br />
c ω )2 − 1 .<br />
Für Strahlungsfrequenzen unterhalb der Plasmafrequenz ω ¿ ω p ist die Eindringtiefe<br />
kleiner als die Wellenlänge:<br />
µ r ω<br />
λ s = ( ω −1<br />
P<br />
c ω )2 − 1<br />
'<br />
c < c ω P ω = 1 k = λ<br />
2π .<br />
Die Eindringtiefe ist also kleiner als eine Wellenlänge.<br />
λ s < λ<br />
2π<br />
• Reflektion bei imaginärem Brechungsindex<br />
Aufgrund der geringen Eindringtiefe kann das Feld auch nicht im Material absorbiert<br />
werden. Metalle reflektieren im sichtbaren (ω < ω P ).<br />
Im Röntgenbereich, für ω > ω P ist n reell und das Metall wird transparent. Am<br />
Übergang Luft-Metall ist n i ∼ 1 und n t = n R +in I komplex. Die Fresnellschen Formeln<br />
bleiben auch bei komplexen Brechungsindizes gültig und man erhält für senkrechten<br />
Einfall einen komplexen Reflektionsgrad.<br />
µ <br />
nt − 1<br />
r = .<br />
n t +1<br />
Die reflektierte Intensität ist das Betragsquadrat des Feldes:<br />
I r = E r · E ∗ r = r · E i · (r · E i ) ∗ = E i E ∗ i · r · r ∗ = R · I i<br />
Die Reflektion R ist also das Betragsquadrat des komplexen Reflektionsgrads r. Einsetzen<br />
ergibt<br />
µ µ ∗<br />
R = r · r ∗ nt − 1 nt − 1<br />
=<br />
= (n R − 1) 2 + n 2 I<br />
,<br />
n t +1 n t +1 (n R +1) 2 + n 2 I<br />
wobei<br />
n R : = Re(n t ),<br />
n I : = Im(n t ).<br />
Die Reflektion wird nicht nur groß, wenn der reele Brechungsindex n R groß ist, sondern<br />
auch, wenn der Imaginärteil n I groß ist. Für Metalle in der Näherung γ =0wird der<br />
Brechungsindex rein imaginär (n R =0)und man erhält vollständige Reflektion:<br />
R = (−1)2 + n 2 I<br />
(+1) 2 + n 2 I<br />
=1,<br />
97
• Absorption<br />
Nimmt man die Dämpfung der freien Elektronen dazu, also γ 6= 0,bekommtman<br />
auch einen nicht verschwindenden Realteil n R . Die Reflektion ist dann kleiner als<br />
1, d.h. ein kleiner Teil des Lichts wird innerhalb der Eindringtiefe absorbiert. Dies<br />
führt zur Erwärmung des Metalls. Die Farbe der Metalle entsteht allerdings durch die<br />
Absorption durch die gebundenen Elektronen.<br />
5. Polarisation des Lichts<br />
Neben der Wellenlänge können optische Medien auch die Ebene beeinflussen, in der Feld<br />
schwingt, d. h. seine Polarisation.<br />
5.1BeschreibungderPolarisation<br />
• Koordinatensystem<br />
Die möglichen elektrischen Feldvektoren einer Lichtwelle liegen in einer Ebene senkrecht<br />
zum Wellenvektor. Sie bilden einen zweidimensionaler Raum mit den Basisvektoren î<br />
und ĵ parallel zu ˆx bzw. ŷ-Richtung. Der k-Vektor soll parallel zur z-Achse stehen.<br />
Bei allem folgenden betrachtet man das Licht also von vorne. Die allgemeine Lösung<br />
einer Lichtwelle mit fester Frequenz und Wellenzahl ist die Linearkombination<br />
~E(t) =î · E 0x · e iϕ x e i(kz−ωt) +ĵ · E 0y · e iϕ y e<br />
i(kz−ωt)<br />
=(îE 0x +ĵE 0y e iε )e i(kz−ωt+ϕ x )<br />
mit den zwei reellen Amplituden E 0x und E 0y , der Relativphase ε = ϕ y − ϕ x ,unddem<br />
üblichen orts- und zeitabhängigen Phasenfaktor e i(kz−ωt+ϕ x ) .<br />
• lineare Polarisation<br />
Verschwindet die Relativphase (ε =0) schwingen die beiden Felder an einem gegeben<br />
Ortsynchronundmanerhälteine”linearePolarisation”.DieSchwingungsebenewird<br />
durch die Feldstärken E 0y und E 0x bestimmt: tan θ = E ox<br />
E 0y<br />
.<br />
98
• zirkulare Polarisation<br />
Bei einer Relativphase von 90 ◦ (|ε| = π) und gleichen Amplituden, E 2 0x = E 0y ,erhält<br />
man vollständig ”zirkular” polarisiertes Licht. Für ε = − π läuft die x-Komponente<br />
2<br />
der y-Komponente voraus und der Feldstärkevektor dreht im Gegenuhrzeigersinn. Das<br />
Licht ist links zirkular polarisiert.<br />
E x (t) =Re(îE 0x e i(kx−ωt+ϕ x ) )=îE 0x cos(kx − ωt + ϕ x )<br />
E y (t) =Re(ĵE 0y e i(kx−ωt+ϕ x − π 2 ) )=ĵE 0y sin(kx − ωt + ϕ x ).<br />
Zu einer festen Zeit bildet der Feldstärkevektor also eine Rechtsschraube in Ausbreitungsrichtung.<br />
Für ε =+ π läuft der Vektor im 2D-Koordinatensystem im Uhrzeigersinn und bildet<br />
2<br />
eine Linksschraube. Das Licht heißt dann rechtszirkular polarisiert.<br />
99
Für ε 6= 0und E 0x 6= E 0y erhält man allgemein eine ”elliptische” Polarisation, die<br />
durch die Länge der Halbachsen und den Kippwinkel charakterisiert werden kann.<br />
• Basiswechsel<br />
Man kann lineares Licht als Überlagerung von zirkular rechts und zirkular links polarisiertem<br />
Licht auffassen. Je nach Phase, mit der die beiden zirkularen Polarisationen<br />
überlagert werden, erhält man verschiedene Polarisationswinkel des resultierenden<br />
linearen Lichts. Umgekehrt haben wir gesehen, dass man zirkulares Licht als Überlagerung<br />
von linearem Licht auffassen kann. Man kann sich also aussuchen, welche der<br />
beiden Grundtypen von Schwingung man zur Beschreibung der Polarisation verwendet.<br />
Die lineare und die zirkulare Basis sind äquivalent.<br />
5.2 Verzögerungsplättchen<br />
Die Polarisation des Licht kann mit optischen Elementen eingestellt und nachgewiesen werden.<br />
Man verwendet so genannte Verzögerungsplättchen, die aus doppelbrechenden Materialien<br />
hergestellt werden.<br />
100
• Doppelbrechung<br />
Bei bestimmten Kristallen hängt der Brechungsindex von der Polarisation des Lichts<br />
ab. Wir betrachten dazu das Licht in der linearen Basis wie oben. Man unterscheidet<br />
zwei Typen von Lichtstrahlen, die unter bestimmten Winkeln durch den Kristall fallen.<br />
So findet man z.B. immer einen Strahlrichtung, bei der der Brechungsindex unabhängig<br />
von der Polarisation ist. Diese Strahlrichtung heißt optische Achse des Kristalls. Es<br />
gibt Kristalle mit ein oder zwei optischen Achsen. Hier betrachten wir nur uniaxiale<br />
Kristalle mit einer optischen Achse. Alle Strahlen, deren Polarisation in einer Ebene<br />
senkrecht zur optischen Achse liegen heißen ordentliche Strahlen. Sie haben alle den selben<br />
Brechungsindex, den so genannten ordentlichen Brechungsindex n 0 . Alle anderen<br />
Strahlen sind die außerordentlichen Strahlen mit außerordentlichen Brechungsindizes<br />
n e , die verschieden Werte haben könne und von der Polarisationsrichtung abhängen.<br />
Als Beispiel betrachten wir einen Kristall bei, dem die Resonanzfrequenz der Elektronen<br />
bei Schwingungen in x- undy-Richtung gleich sind, bei Schwingungen in z-<br />
Richtung aber einen anderen Wert haben. Alle Strahlen mit Polarisation in der x-<br />
y-Ebene sind ordentliche Strahlen. Die Optische Achse liegt entlang der z-Richtung.<br />
Strahlen mit einer Polarisationskomponente in z-Richtung sind außerordentliche Strahlen.<br />
Man kann sie sich als Überlagerung aus einem Strahl mit ordentlicher Polarisationsrichtung<br />
in der x-y-Ebene und einem Strahl mit einer Polarisation nur in z-Richtung<br />
vorstellen. Die beide Teilstrahlen spüren einen unterschiedlichen Brechungsindex, der<br />
sich z.B. an der Grenzfläche in einer unterschiedlichen Brechung bemerkbar macht.<br />
Diese Phänomen nennt man Doppelbrechung.<br />
101
• λ/4-Plättchen<br />
Man schneidet aus einem doppelbrechenden Material eine Scheibe heraus, deren Frontflächen<br />
parallel zur optischen Achse liegen. Das einfallende Licht kann man in eine<br />
ordentliche Polarisation senkrecht zur optischen Achse mit Index n o zerlegen und eine<br />
zur optischen Achse parallele rein außerordentliche Polarisation mit Index n e .<br />
Die Dicke d der Platte wird so gewählt, dass sich beim Durchgang ein Phasenunterschied<br />
∆ϕ zwischen ordentlichen und außerdordentliche Strahl von π/2 einstellt<br />
(modulo 2π).<br />
∆ϕ = k · n e · d − k · n 0 · d = π 2 + m · 2π<br />
mit einer natürlichen Zahl m. Je nach Einstellwinkel α bleibt lineares Licht erhalten<br />
(für α =0und α =90 ◦ ) oder wird zu zirkular links- bzw. rechtsdrehendem Licht<br />
(α ± 45 ◦ ) umgewandelt. Das geht natürlich auch rückwärts so dass zirkulares Licht in<br />
lineares verwandelt werden kann.<br />
• λ/2-Plättchen<br />
Die Dicke ist hier so gewählt dass die Phasenverschiebung gerade π ist (modulo 2π).<br />
∆ϕ = k · n e · d − k · n 0 · d = π + m · 2π<br />
Die Polarisation von linear polarisiertem Licht bleibt linear wird aber um den Winkel<br />
2α gedreht. Bei α = ±45 ◦ wird die Polarisation um ±90 ◦ gedreht. Für zirkulares Licht<br />
wird die Rotationsrichtung umgekehrt (unabhängig vom Winkel α)<br />
102
5.3 Polarisatoren<br />
• Polarisationsfilter<br />
Es gibt optische Elemente, die aus beliebig polarisiertem Licht die lineare Komponente<br />
entlang einer bestimmten Achse herausfiltern. Ein solcher Polarisator definiert<br />
ein Achsenkreuz, gemäß dem das Licht in eine transmittierte und eine absorbierte<br />
Komponente zerlegt wird. Das einfallendes Licht wird durch das Polfilter auf die<br />
transmittierende Richtung projeziert.<br />
Das transmittierte Feld lautet also<br />
~E t =î · cos α ·|~E in |,<br />
und für die Transmission erhält man<br />
I t<br />
I in<br />
=<br />
¯ ~E t¯¯¯2<br />
¯ ~E in¯¯¯2 =cos2 α.<br />
Dies ist das Gesetz von Malus. (Flüssigkristallanzeige)<br />
• Drahtpolarisator<br />
Für lange Wellenlängen im Radiowellenbereich kann man Drahtgitter verwenden.<br />
103
Die Strahlung mit Feld senkrecht zu den Drähten wird durchgelassen. Die parallele<br />
Polarisation erzeugt in den Drähten Schwingungen, die ihrerseits ein Feld abstrahlen,<br />
das mit dem erzeugenden Feld destruktiv interferiert. Außerdem werden die<br />
Ladungsträgerschwingungen in den Drähten gedämpft, was Energie und damit Licht<br />
verbraucht. Licht kann man so nicht polarisieren, da die Drähte zu dünn sein müssten.<br />
• Polaroidfilter<br />
Man kann aber statt der Drähte langkettige Moleküle nehmen. Dazu wird eine Polymerfolie<br />
langgezogen und mit Jod dotiert. Dadurch entstehen frei bewegliche Elektronen<br />
die entlang der längsgezogenen Moleküle wie in Drähten fließen. Man erhält einen<br />
molekularen ”Drahtpolarisator”. Solche Folien sind billig und praktisch, absorbieren<br />
aber auch einen Teil des Lichts und halten daher keine hohen Leistungen aus.<br />
• Polarisationsstrahlteilerwürfel<br />
In der Laseroptik sind polarisierende Strahlteilerwürfel gängig. Sie bestehen aus zwei<br />
zu einem Würfel zusammengefügten Prismen. An der Grenzschicht wird vor dem<br />
Zusammenkleben ein spezielles dielektrisches Schichtensystem aufgedampft. Durch<br />
Vielstrahlinterferenz erreicht man stark unterschiedliche Transmission und Reflektion<br />
für die beiden Polarisationskomponenten. Details führen hier zu weit.<br />
• Polarisation durch Streuung<br />
Die Atome sind im Medium nie exakt homogen verteilt. Das Lorenzmodells, gemäß dem<br />
es nur in Vorwärtsrichtung konstruktive Interferenz gibt und in alle anderen Richtungen<br />
sich die Felder der einzelnen Dipole exakt aufheben, ist ein daher Idealisierung. Es wird<br />
immer einzelne Dipole geben, deren Feld nicht weginterferiert. Dieses Dipolfeld hat eine<br />
definiertePolarisation,diedurchdasPrimärfeldgegebenistundimFernfelddieForm<br />
hat<br />
~E(~r, t) =− k2 d 0 e i(kr−ωt)<br />
sin θ · ê θ ,<br />
4πε 0 r<br />
wobei ê θ der Einheitsvektor entlang θ ist, also parallel zu den Längengraden auf einer<br />
gedachten Kugel um den Dipol herum steht.<br />
104
Die Amplitude der Dipolschwingung d 0 ist das Produkt aus Elektronenladung und<br />
Maximalauslenkung des Elektrons. Um die Intensität der Welle zu bestimmen benötigen<br />
wir<br />
E · E ∗ = k4 d 2 0 sin 2 θ<br />
4πε 0 r 2<br />
was dann zur Intensität<br />
I = cε 0 |E| 2 = 1 ck 4 d 0 sin 2 θ<br />
4π ε 0 r 2<br />
führt.<br />
Sie ist stark wellenzahlabhängig, I ∼ k 4 . Blaues Licht wird also wesentlich stärker<br />
gestreut als rotes, was den Himmel blau erscheinen lässt und die untergehende Sonne<br />
rot (weil Rot übrigbleibt).<br />
Die Intensität ist richtungsabhängig, I ∼ sin 2 θ. Die Streuung wird maximal für θ =<br />
90 ◦ d.h. senkrecht zu Richtung der Schwingung (am ”Äquator”).<br />
Das aus dem Medium rechtwinklig zum Lichtstrahl herausgestreute Licht ist somit<br />
senkrecht zum Lichtstrahl polarisiert. (siehe Experiment mit der Milchwanne)<br />
105
• Die wirkliche Welt<br />
Bisher haben wir Licht nur in Medien mit räumlich konstantem Brechungsindex betrachtet<br />
oder Grenzflächen zwischen solchen Medien. Die Welt ist natürlich voll von<br />
verschiedenen optischen Medien. Beim Übergang zwischen den Medien macht der<br />
Brechungsindex Sprünge aber auch innerhalb eines Medium kann der Brechungsindex<br />
fluktuieren. Dichteschwankungen in Gasen, Einschlüsse oder Störungen des Kristallgitters<br />
in Festkörpern, Gemische von Flüssigkeiten wie z.B. Öl und Wasser sind selber<br />
schon bereits physikalische Idealisierungen all dessen, was uns umgibt und durch die<br />
Wechselwirkung mit Licht sichtbar wird. Regenbogen, Nebel, Dunst, Farbe und Glanz<br />
von Oberflächen etc. sind nur einige Beispiele. Dazu kommt die Abhängigkeit des<br />
Brechungsindex von der Richtung des Feldes, die aus der dem Brechungsindex zugrundeliegenden<br />
dielektrischen Funktion einen komplexwertigen Tensor macht. Dieser<br />
komplexwertige, dielektrische Tensor ε(ω,~r, t) der wirklichen Welt enthält letztlich<br />
alle optischen Phänomen, vom Kinofilm bis zum Sonnenuntergang. Ihn wenigstens in<br />
winzigen Ausschnitten zu untersuchen ist Gegenstand der klassischen <strong>Optik</strong>.<br />
5.4 Photonen<br />
Licht kann man sich als eine Ansammlung von Teilchen vorstellen, den Photonen. Diese<br />
Teilchen sind punktförmig und haben keine Masse. Sie tragen aber sowohl Energie als auch<br />
Impuls und Drehimpuls. Jede der drei Eigenschaften sind mit einer bestimmten Welleneigenschaft<br />
verbunden.<br />
• de Broglie-Beziehungen<br />
Die Energie des Photons ist proportional zur Kreisfrequenz und der Impuls proportional<br />
zum Wellenvektor.<br />
ε = ~ω<br />
~p = ~ ~ k.<br />
Die Proportionalitätskonstante ist das so gennante Plancksche Wirkungsquantum,<br />
~ =1.05457266 × 10 −34 J s .<br />
Die sind die berühmten de Broglie-Beziehungen (sprich Brolie). Sie verknüpfen die<br />
charakteristischen Eigenschaften von Wellen mit den charakteristischen Eigenschaften<br />
von Teilchen. Die de Broglie-Beziehungen wurden zunächst auf Elektronen bezogen,<br />
die dadurch überraschenderweise mit neuartigen, noch unbekannten Materiewellen in<br />
Verbindung gebracht werden konnten. In der <strong>Optik</strong> waren die Wellen zuerst da. Sie<br />
kann man durch die de Broglie Beziehungen mit neuartigen Teilchen in Verbindung<br />
bringen, den Photonen.<br />
106
• Drehimpuls von Photonen.<br />
Zirkular links und rechts polarisiertes Licht übertragen entgegengesetzten Drehimpuls.<br />
Mit dem elektrischen Feld rotiert die Kraft, die das Licht auf eine Ladung ausübt und<br />
treibt die Ladung auf eine Kreisbahn. Die Leistung, die von einem Drehmoment T auf<br />
eine mit ω rotierende Ladung übertragen wird ist:<br />
P = ω · T<br />
Außerdem gilt allgemein für Drehimpuls L und Drehmoment T :<br />
dL<br />
dt = T.<br />
Leistung und Drehimpulsänderung hängen also über ω zusammen:<br />
P = ω · dL<br />
dt .<br />
WirdalseineEnergiemengeε aufgenommen, ist damit auch ein Drehimpuls<br />
L = ± ε ω<br />
übertragen worden. Das Vorzeichen ist vom Drehsinn abhängig.<br />
Da Photonen eine Energie<br />
ε = ~ω<br />
transportieren, tragen sie offenbar auch einen Drehimpuls der Größe<br />
L = ±~.<br />
Eine zirkulare Lichtquelle besteht aus Photonen, von denen jedes einen Drehimpuls<br />
±~ trägt.<br />
• ExperimentvonR.Beth(1936)<br />
Den Drehimpuls von Licht kann man mit einer Torsionswaage messen.<br />
107
Das erste λ -Plättchen transformiert das einfallende, linear polarisierte Licht in zirkular<br />
4<br />
polarisiertes Licht. Das an einem Torsionsfaden aufgehängte λ -Plättchen invertiert<br />
2<br />
die Rotationsrichtung des Lichts und nimmt dabei pro Photon einen Drehimpuls von<br />
+2~ auf. Das Licht durchläuft dann das obere λ -Plättchen zweimal, einmal vor und<br />
4<br />
einmal nach der Reflektion am Spiegel. Es wirkt also wie ein λ -Plättchen, das die<br />
2<br />
Drehrichtung umkehrt bevor das rücklaufende Licht das bewegliche λ -Plättchen zum<br />
2<br />
zweiten Mal durchläuft und wieder eine Drehimpuls von +2~ überträgt. In der Zeit,<br />
in der ein Photon die Anordnung durchläuft überträgt es einen Drehimpuls von +4~<br />
und damit wirkt bei einem konstanten Photonenfluss ein konstantes Drehmoment auf<br />
das Torsionspendel, dess Auslenkung im Gleichgewicht ein Maß für den Drehimpuls<br />
des Lichtfelds ist. Je nach Einstellungswinkel des unteren λ -Plättchen ist das Licht<br />
4<br />
danach entweder rechtszirkular oder linkszurkular oder linear polarisiert. Das Pendel<br />
schlägt dann entweder in die eine oder die ander Richtung oder gar nicht aus. Das ist<br />
es auch was man beobachtet.<br />
108
Die Größe des Drehmoments entspricht gerade dem von den Photonen übertragenen<br />
Drehimpuls wobei sich die Photonenzahl aus der Lichtleistung errechnet, also dem<br />
Energiefluss durch die Apparatur.<br />
• Lineares Licht im Photonenbild<br />
Ein linear polarisiertes Photon gehört zu einer linear polarisierten Welle, die eine Superposition<br />
aus links und rechtszirkularem Licht ist<br />
E lin (t) = 1 √<br />
2<br />
(E + (t)ê + + E − (t)ê − ).<br />
wobei sich die Einheitsvektoren des zirkularen Lichts aus den linearen Komponenten<br />
zusammensetzen,<br />
ê ± := î ± i · ĵ.<br />
Die Energie eines linearen Photons ist also zu gleichen Teilen auf beide zirkulare Polarisationen<br />
aufgeteilt,<br />
|E lin (t)| 2 = 1 2 |E r| 2 + 1 2 |E l| 2 +(ê + · ê − ) E r (t)E l (t)<br />
= 1 2 |E r| 2 + 1 2 |E l| 2 .<br />
Der letzte Term verschwindet da î und ĵ und damit auch ê + und ê − orthogonal sind.<br />
Ein Photon soll aber ein Elementarteilchen sein und ist damit nicht in ein halbes<br />
linkszirkulares und ein halbes rechtszirkulares Photon teilbar. Um hier Welle und<br />
Teilchen zusammenzubringen, braucht es eine neue Idee. Sie besteht darin, nicht das<br />
Photon zu teilen, sondern die Wahrscheinlichkeit, mit der man das Photon in der<br />
einen oder der anderen Polarisation antrifft. Ein linear polarisiertes Photon befindet<br />
sich also mit halber Wahrscheinlichkeit im zirkular rechten Zustand und mit halber<br />
Wahrscheinlichkeit im zirkular linken Zustand.<br />
• Zirkulares Photon am Strahlteiler<br />
Zum analogen Schluss für zirkulare Photonen kommt man, wenn man folgenden Aufbau<br />
betrachtet:<br />
109
Der Polarisationsstrahlteiler trennt die beiden linearen Polarisationen, aus denen sich<br />
das einfallende zirkulare Licht zusammensetzt in eine vertikal linear polarisierte Komponente<br />
und ein horizontal linear polarisierte Komponente auf und verteilt es je nach<br />
Polarisationsrichtung auf die beiden Ausgänge. Ein einfallendes (zirkulares) Photon<br />
weiß am Strahlteiler nicht was es machen soll. Es gibt kein Argument das entscheidet,<br />
ob es nach links oder geradeaus gehen soll. Wieder hilft die Einführung einer<br />
Wahrscheinlichkeit, die sich dann teilen lässt. Mit halber Wahrscheinlichkeit verlässt<br />
das Photon den Strahlteiler entweder am Ausgang 1 oder am Ausgang 2.<br />
Bis hierher waren Experimente in der <strong>Physik</strong> immer streng reproduzierbar und vorbestimmt<br />
(determiniert). Dies ist hier nicht mehr der Fall. Hier endet die klassische<br />
<strong>Physik</strong> und die Quantenmechanik beginnt.<br />
6. Überlagerungen von Wellen<br />
Bisher hatten wir es hauptsächlich mit ebenen Wellen zu tun. Diese sind räumlich und<br />
zeitlich unendlich ausgedehnt und damit Idealisierungen. In der wirklichen Welt wird dagegen<br />
jedes Licht irgendwann einmal an und ausgeschaltet. Genauso ist die räumliche Ausdehnung<br />
des Lichts begrenzt. Solche realistischen Lichtfelder lassen sich als Überlagerungen<br />
ebener Wellen verstehen. Überlagerungen haben aber ganz bestimmte Eigenschaften, die<br />
wir an einigen Beispielen zunächst illustrieren. Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen<br />
sich dann Unschärferelationen für Ort und Wellenzahl sowie für Zeit und Frequenz ableiten,<br />
mit denen die Eigenschaften realistischer Felder charakterisiert werden können.<br />
6.1 Feld einer Überlagerung von Punktquellen<br />
• Das Feld, das eine Anordnung von Punktquellen an einem bestimmten Beobachtungspunkt<br />
erzeugt, ist laut Superpositionsprinzip die Summe der Felder, die die einzelnen Quellen<br />
am Beobachtungspunkt erzeugen.<br />
~E gesamt = X n<br />
= X n<br />
" X<br />
= Re<br />
n<br />
~E n cos (ω n t + θ n )<br />
h i<br />
Re A ~ n exp (iω n t)<br />
#<br />
~A n exp (iω n t) ,<br />
wobei<br />
~A n := ~E n · e iθ n<br />
die komplexe Amplitude des Feldes ist, das die n-te Quelle am Beobachtungspunkt<br />
erzeugt. Sie setzt sich aus der reelen Amplitude ~ E n und der Phase θ n zusammen. Die<br />
110
Phase wird vom Lichts entlang des Wegs von der Quelle zum Beobachtungspunkt bei<br />
~r a aufgesammelt.<br />
Z ~ra<br />
θ n = Re(m(~r, ω n )) ω n<br />
~r n<br />
c d~r<br />
Die n-teQuellesitztamOrt~r n und hat die Frequenz ω n . Der komplexe Brechungsindex<br />
m(~r, ω) kann in Prinzip frequenzabhängig sein und sich mit dem Ort ändern.<br />
Ändert sich der Brechungsindex auch noch mit der Zeit, kann man den Ansatz so<br />
nicht mehr machen, da das Feld am Beobachtungspunkt nicht mehr notwendigerweise<br />
harmonisch mit der Frequenz der Quelle schwingt. Außerdem muss man wissen wie<br />
sich die Feldamplitude auf dem Weg von der Quelle zum Beobachtungspunkt verändert.<br />
Dazu benötigt man dann den Imaginärteil des Brechungsindex. In Feld und<br />
Phase stecken also ein Menge Detailinformation, was das Problem ziemlich kompliziert<br />
machen kann. In den folgenden Beispielen nehmen wir den einfachsten Fall an: Der<br />
Brechungsindex ist konstant, die Quellen haben alle dieselbe Frequenz und erzeugen<br />
am Beobachtungspunkt alle die gleiche Amplitude. Die Phase vereinfacht sich dann zu<br />
θ n = m ω c x n = kx n ,<br />
wobei x n die Weglänge von der n-ten Quelle zum Beobachtungspunkt ist und k die<br />
Wellenzahl im Medium.<br />
6.2 Antennenarrays<br />
• Phasenempfindliche Radioastronomie<br />
Als Beispiel betrachten wir Radioantennen im Abstand d entlang einer Basislinie. Sie<br />
strahlen elektromagnetische Dipolwellen ab, die wir hier aber der Einfachheit halber<br />
durch Kugelwellen ersetzen.<br />
111
Ein Sender mit einem zeitlich sinusförmigen Signal der Kreisfrequenz ω erzeugt in<br />
den Antennen eine Schwingung mit gleicher Frequenz in allen Antennen. Zusätzlich<br />
wird elektronisch eine zeitlichen Verzögerung ∆t eingeführten die Phasenverschiebung<br />
zwischen benachbarten Antennen bewirkt:<br />
¯ϕ = ω · ∆t.<br />
Gesucht ist das elektrische Feld in einem großem Abstand im Vergleich zur Länge der<br />
Antennenreihe.<br />
• Abstrahlrichtung qualitativ<br />
Im großen Abstand überlagern sich die Kugelwellen näherungsweise zu ebenen Wellenfronten,<br />
die unter einem bestimmten Winkel zur Basislinie abgestrahlt werden. Von<br />
oben sieht das dann so aus:<br />
Der Abstrahlwinkel, den die Wellenfronten mit der Basislinie bilden, ist durch die<br />
Phasenverzögerung einstellbar. Umgekehrt ist auch richtungsempfindlicher Empfang<br />
möglich. Es entsteht ein Radioteleskop, dessen Beobachtungsrichtung man einfach<br />
durch Einstellen der Relativphase ¯ϕ zwischen den Antennen verändern kann, ohne<br />
etwas mechanisch bewegen zu müssen.<br />
• Abstrahlrichtung quantitativ.<br />
Wie ist der Zusammenhang aus Abstrahl/Beobachtungsrichtung und Relativphase?<br />
Wenn die erste Antenne synchron mit dem Sender schwingt, ist die Phasenverschiebung<br />
der zweiten Antenne<br />
ϕ 2 = ϕ +¯ϕ.<br />
Sie enthält den elektronischen Anteil ¯ϕ, der frei eingestellt werden kann und den<br />
geometrischen Anteil ϕ, der von der Abstrahlrichtung abhängt und damit vom Winkel<br />
θ zwischen den Phasenfronten und der Basislinie<br />
θ<br />
112
ϕ = d · k · sin θ.<br />
Die Phasenverschiebung der dritten Antenne ist gerade doppelt so groß. Allgemein gilt<br />
ϕ n =(n − 1) ∆ϕ,<br />
mit der Abkürzung<br />
∆ϕ := ϕ +¯ϕ = d · k · sin θ +¯ϕ<br />
Wenn wir annehmen, dass die Felder aller Antennen am Beobachtungspunkt parallel<br />
stehen, lautet die Amplitude des Gesamtfeldes von N Antennen damit:<br />
NX<br />
X N<br />
E gesamt = A n e iωt = E 0 e iωt e iϕ n .<br />
Die Summe kann man auswerten:<br />
NX<br />
e iϕ n<br />
=<br />
n=1<br />
=<br />
n=1<br />
NX<br />
n=1<br />
e i(n−1)∆ϕ<br />
N−1<br />
X ¡ ¢ e<br />
i∆ϕ n<br />
n=0<br />
n=1<br />
= eiN∆ϕ − 1<br />
e i∆ϕ −<br />
³<br />
1<br />
∆ϕ´<br />
e i N 2 ∆ϕ e i N 2 ∆ϕ − e −i N 2<br />
= ³<br />
∆ϕ´<br />
e i 1 2 ∆ϕ e i 1 2 ∆ϕ − e −i 1 2<br />
= e −iα · sin ¡ 1<br />
N∆ϕ¢ 2<br />
sin ¡ 1<br />
∆ϕ¢ ,<br />
2<br />
mit der Phase<br />
α := 1 (N − 1) ∆ϕ.<br />
2<br />
Der Realteil des komplexen Feldes liefert das tatsächliche elektrische Feld.<br />
"<br />
Re E 0 e iωt e −iα · sin ¡ 1<br />
N∆ϕ¢<br />
#<br />
2<br />
sin ¡ 1<br />
∆ϕ¢ = E · cos (ωt − α)<br />
2<br />
Die Amplitude<br />
sin ¡ 1<br />
E = E N∆ϕ¢ 2<br />
0<br />
sin ¡ 1<br />
∆ϕ¢ 2<br />
ist eine Funktion der Relativphase ∆ϕ zwischen den Antennen und damit richtungsabhängig.<br />
Für 10 Antennen (N =10) sieht das Feld so aus:<br />
113
Man erhält ausgeprägte Hauptextrema in bestimmte Richtungen. Dazwischen liegen<br />
kleinere Nebenextrema.<br />
• Verhalten für kleine Abstrahlwinkel<br />
Wir betrachten das zentrale Hauptmaximum etwas genauer. Für kleine Relativphasen<br />
∆ϕ kann man den Nenner durch sein Argument nähern:<br />
sin ¡ 1<br />
E ' E N∆ϕ¢ 2<br />
0 1<br />
∆ϕ 2<br />
' E 0 N sin ¡ 1<br />
N∆ϕ¢ 2<br />
N 1∆ϕ<br />
2<br />
' E 0 N · sin u<br />
u ,<br />
wobei<br />
u := 1 2 N∆ϕ = 1 N (d · k · sin θ +¯ϕ) .<br />
2<br />
Die Variable u enthält den Abstrahlwinkel θ. Die abgestrahlte Amplitude variiert mit<br />
u gemäß der Sinc-Function (Sinus Cardinalis) sin (u) /u.<br />
114
• Hauptmaximum<br />
Das Hauptmaximum bei u =0entspricht einer Phase ∆ϕ =0und damit einer Abstrahlrichtung:<br />
∆ϕ = d · k · sin θ max +¯ϕ =0<br />
oder<br />
sin θ max = −¯ϕ<br />
d · k .<br />
Die Abstrahlrichtung kann man durch Verändern der elektronischen Phasenverschiebung<br />
einstellen. Die Maximalamplitude in diese Richtung ist<br />
so dass die Intensität<br />
E max = E 0 N,<br />
I max = I 0 N 2 .<br />
Die abgestrahlte Intensität ist N mal größer als die Summe der einzeln abgestrahlten<br />
Intensiäten! Kohärente Abstrahlung führt zu höherer Effizienz. Der Sender zieht mehr<br />
Strom wenn die Antennen in einer Reihe stehen anstatt statistisch verteilt.<br />
• Richtungsselektivität<br />
Wir suchen die Winkelauflösung, definiert durch Lage der zum Hauptmaximum benachbarten<br />
Nullstelle. Diese liegt bei<br />
sin u 0 =0<br />
bzw.<br />
Mit der Definition von u erhält man<br />
u 0 = ±π.<br />
u 0 = 1 2 N∆ϕ 0 = N 2 (¯ϕ + d · k · sin θ 0)=±π,<br />
Die elektronische Phase ¯ϕ erhalten wir durch deren Beziehung zum Abstrahlwinkel des<br />
Maximums:<br />
¯ϕ = −d · k · sin θ max .<br />
Einsetzen ergibt<br />
N<br />
2 (−d · k · sin θ max + d · k · sin θ 0 ) = ±π<br />
sin θ max − sin θ 0 = ∓ 2π<br />
d · k · N .<br />
115
Diesen Ausdruck kann man umschreiben in<br />
µ µ <br />
θmax + θ 0 θmax − θ 0<br />
2cos<br />
· sin<br />
2<br />
2<br />
= ∓ 2π<br />
d · k · N .<br />
Bei guter Winkelauflösung sind die Winkel θ max und θ 0 nicht sehr verschieden und man<br />
kann nähern:<br />
θ max ' θ 0 .<br />
und damit<br />
Für die Winkelauflösung<br />
ergibt sich dann der Ausdruck<br />
θ max + θ 0 ' 2 · θ max .<br />
∆θ := θ max − θ 0<br />
sin (∆θ/2) ' ∓<br />
π<br />
d · k · N · 1<br />
cos (θ max ) .<br />
Die Auflösung ist in Vorwärtsrichung am besten (θ max =0) und verschlechtert sich<br />
für seitliche Winkel. Nähern des Sinus durch sein Argument führt schließlich zu dem<br />
einfachen Ausdruck<br />
∆θ '±<br />
λ<br />
d · N · 1<br />
cos (θ max ) .<br />
mit der Lichtwellenlänge λ und dem Abstand zwischen der ersten und der letzten<br />
Antenne d · N. DerAuflösungswinkel in rad ist in Vorwärtsrichtung also ungefähr dem<br />
Verhältnis von Wellenlänge zur Länge der Antennenreihe. Wenn man alle Antennen<br />
zwischen der ersten und der letzten entfernt, bleibt die Auflösung zwar erhalten, die<br />
Signalstärke veringert sich jedoch proportional zur Anzahl der entfernten Antennen.<br />
Man kann dieses Spiel auch mit Licht, also mit Wellenlängen im Bereich einiger 100nm<br />
spielen.<br />
6.3 Beugung am Spalt<br />
• Einzelspalt<br />
Ein Schirm mit Spalt der Breite d wird von links mit einem gleichmäßigen Lichtfeld<br />
angeleuchtet. In großem Abstand hinter dem Spalt steht eine weiterer Schirm auf den<br />
das Licht fällt, das den Spalt passiert hat. Wie ist dort die Helligkeitsverteilung? Wir<br />
nehmen an, dass jeder Punkt in der Ebene der Spaltöffnung Quelle einer Kugelwelle<br />
ist. Alle diese Wellen überlagern sich hinter dem Spalt zu einem Interferenzmuster. Es<br />
wird Minima und Maxima geben: Man kann die Menge der Quellen in Paare zerlegen,<br />
die sich gegenseitig auslöschen:<br />
116
α<br />
α<br />
Die Strahlen vom Rand und vom Mittelpunkt löschen sich aus falls die Phase<br />
k · x = π<br />
oder<br />
oder<br />
2π<br />
λ · d<br />
2 sin α = π<br />
sin α = λ d .<br />
Die restlichen Strahlen kann man analog zu Paaren zusammenfassen, die sich in Richtung<br />
α gegenseitig auslöschen. Damit gibt es in diese Richtung kein Licht. Wie sieht<br />
das komplette Intensitätsmuster aus?<br />
• Kontinuierliche Überlagerung<br />
Statt wie bei der Antennenreihe mit einer diskreten Anzahl von Quellen haben wir es<br />
jetzt mit einer kontinuierlichen Reihe von Quellen also einer Quelldichte zu tun. Jede<br />
Quelle ist streng genommen eine Quelllinie parallel zum Spalt. Tatsächlich kann man<br />
diese Linie zu einer Punktquelle zusammenziehen, so dass wir von einer kontinuierlichen<br />
Verteilung von Punktquellen entlang der Verbindungslinie zwischen den beiden<br />
Spaltkanten ausgehen kann (siehe Buch von Hecht). Der Quellpunkt im Abstand z von<br />
der einen Spaltkante erzeugt am Beobachtungspunkt eine Feldamplitude a(z). Auf dem<br />
Schirm weit hinter dem Spalt addieren sich die Wellen mit einer Relativphase<br />
ϕ(z) =k · x = k · z · sin α = k ⊥ · z.<br />
Die Abkürzung<br />
k ⊥ := k sin α<br />
117
entspricht gerade der Komponente des Wellenvektors des gebeugten Lichts, die parallel<br />
zum Schirm orientiert ist. Die Summe der Antennenreihe wird jetzt zum Integral:<br />
E 0<br />
N<br />
X<br />
n=1<br />
e iϕ n<br />
→<br />
=<br />
Z ∞<br />
−∞<br />
Z ∞<br />
−∞<br />
= : F (k ⊥ )<br />
a(z)exp(iϕ(z)) dz<br />
a(z)exp(ik ⊥ · z) dz<br />
Das Integral F (k ⊥ ) ist aber gerade die Fouriertransformierte von a(z). Die Intensität<br />
ist dann<br />
I = cε 0 |F (k ⊥ )| 2<br />
• Beugung am Spalt<br />
Das Beugungsmuster eines Spalts lässt sich jetzt einfach berechnen, wenn wir annehmen,<br />
dass der Beitrag zum Gesamtfeld für jeden Quellpunkt gleich groß ist:<br />
Einsetzen in das Integral liefert:<br />
Die Intensität ist dann<br />
a(z) =a 0 für 0
mit der Abkürzung<br />
u : = k ⊥ d/2<br />
= k · d/2sinα<br />
= π · d<br />
λ sin α<br />
Die Intensität ist wieder das Quadrat einer Sinc-Funktion mit einem zentralen Maximum<br />
in Vorwärtsrichtung.<br />
Die Breite des Maximums schätzen wir wieder durch die Lage der ersten Minima ab,<br />
u = ±π,<br />
bzw.<br />
sin α = ± λ d .<br />
Die Breite des zentralen Beugungsmaximums schrumpft also mit wachsender Breite d<br />
des Spalts wie oben die Winkelauflösung mit der Anzahl der Antennen.<br />
• Transversaler Impuls<br />
Im ersten Minimum also für u = π ist<br />
π = u = k ⊥ d/2<br />
bzw.<br />
k ⊥ d =2π.<br />
119
Je schmaler der Spalt umso größer der mittlere transversale Impuls hinter dem Spalt<br />
und umso breiter das Beugungsmuster. Durch die Einschränkung des Lichts auf die<br />
Breite des Spalts entsteht eine transversaler Impuls. Schränkt man das Licht auf<br />
einen Bereich der Größe d ein, so verteilt sich sein Wellenvektor, d.h. der Impuls der<br />
beteiligten Photonen in dieser Richtung über einen Bereich, dessen Größe umgekehrt<br />
proportional zu d ist. Dies ist eine erste Version der Ort-Impuls-Unschärfe.<br />
6.3 Beugung am Gitter<br />
• Beugungsgitter<br />
können verschiedene Formen haben: Spiegel mit parallelen Kerben oder modulierten<br />
Oberflächen (wellblechförmig, sägezahnförmig). Es gibt Reflexionsgitter und Transmissionsgitter.<br />
Ein Gitter hat typischerweise einige tausend Striche pro Millimeter. Die<br />
Abstände zwischen den Strichen betragen wenige hundert Nanometer. Gitter kosten<br />
je nach Größe und Qualität zwischen 100 Euro -10000 Euro.<br />
• Gitterspektrograph<br />
dient zur Messung von optischen Wellenlängen in <strong>Physik</strong>, Chemie und Biologie. Die<br />
Anwendungen reichen von der spektralen Analyse von Sternenlicht bis zur Absorption<br />
biologischer Proben. Die Auflösung geht hinunter bis zu etwa 10 −4 der Wellenlänge.<br />
• Beugung am Gitter<br />
Wir können die Rechnung für das Antennenarray direkt übernehmen, wenn wir die<br />
elektronische Phasenverzögerung ¯ϕ richtig wählen. Sie ist natürlich nicht mehr elektronisch<br />
vorgegeben, sondern durch den Winkel des einfallenden Lichts bestimmt. Je<br />
nach Einfallswinkel werden die einzelnen Gitterstäbe durch die einfallende Welle um<br />
die Phase<br />
¯ϕ = a · k = d · k · sin θ ein<br />
verzögert relativ zum Nachbarstab angeregt.<br />
120
Einsetzen in die exakte Lösung des Antennarrays ergibt eine Amplitude<br />
sin ¡ 1<br />
E = E N∆ϕ¢ 2<br />
0<br />
sin ¡ 1<br />
∆ϕ¢ ,<br />
2<br />
wobei die Relativphase jetzt lautet:<br />
∆ϕ = ϕ − ϕ<br />
= d · k · sin θ ein − d · k · sin θ m<br />
= d · k · (sin θ ein − sin θ m ) .<br />
Wie im Falle des Antennenarrays erhält man Haupt und Nebenmaxima.<br />
• Hauptmaxima.<br />
Die Hauptmaxima liegen in Richtungen für die der Nenner verschwindet.<br />
µ 1<br />
sin<br />
2 ∆ϕ 0 = 0<br />
∆ϕ 0 = m · 2π<br />
Damit bekommt man die sogenannte Gittergleichung für die Lage der Hauptmaxima:<br />
(sin θ ein − sin θ m )= m · 2π<br />
d · k = mλ d .<br />
In nullter Odnung (m =0)erhält man<br />
sin θ max =sinθ ein<br />
bzw.<br />
θ max = θ ein .<br />
Das Gitter verhält sich in nullter Ordnung wie ein Spiegel und reflektiert wellenlängenunabhängig.<br />
In einem Gitterspektrograph verwendet man deshalb das Hauptmaximum<br />
der ersten Ordnung (m =1):<br />
(sin θ ein − sin θ m )= λ d .<br />
121
• Auflösung eines Gitters<br />
Für kleine Ein- und Ausfallswinkel, (d.h. in der Näherung sin θ = θ und cos θ =1)<br />
liegt das erste Beugungsmaximum bei<br />
sin θ 1 = − λ d ' θ 1.<br />
Vergleicht man das mit der Richtungsselektivität, die wir für das Antennearray bestimmt<br />
haben<br />
∆θ '<br />
λ<br />
d · N · 1<br />
cos (θ max ) ' λ<br />
d · N .<br />
so erhält man für die Auflösung<br />
¯<br />
∆θ<br />
θ 1<br />
¯¯¯¯ '<br />
λ<br />
d · N · d<br />
λ = 1 N .<br />
Die relative Wellenlängenauflösung ist etwa gerade der Kehrwert der Anzahl der beleuchteten<br />
Gitterstäbe. Große Gitter liefern große Auflösung.<br />
6.4 Unschärferelationen<br />
Bisher hatten die Quellen alle dieselbe Frequenz und dieselbe Wellenzahl. Man kann natürlich<br />
auch Quellen unterschiedlicher Frequenzen und Wellenzahlen überlagern. Man erhält<br />
dann räumlich und zeitlich begrenzte Wellenzüge. Derartige Überlagerungen beschreibt man<br />
am Besten mit Hilfe des Fourierschen Theorems. Es liefert den Zusammenhang zwischen<br />
der Frequenzverteilung der Quellen und der zeitlichen Form der Welle bzw. der Wellenzahlverteilung<br />
und der räumlichen Ausdehnung der Welle.<br />
• Fourier Theorem<br />
Die Bedeutung harmonischer Wellen besteht vor allem darin, dass sie eine vollständige<br />
Funktionenbasis bilden, also eine Satz von Funktionen, aus denen sich jede beliebige<br />
andere Funktion zusammensetzen lässt. Wellen beliebiger Form kann man so als Überlagerung<br />
harmonischer Wellen auffassen. Welche harmonische Wellen mit welcher Amplitude<br />
beitragen, sagt uns das Fouriersche Theorem. Wir betrachten zunächst einen<br />
beliebigen zeitlichen Vorgang mit dem Verlauf f(t). Als Beispiel können wir uns eine<br />
Gitarrensaite vorstellen, deren oszillierende Auslenkung nach dem Anschlag langsam<br />
abklingt. Eine solche ”vernünftig” integrierbare Funktion f (t) kann man als ”Linearkombination”<br />
aus harmonischen Schwingungen auffassen:<br />
f (t) =<br />
∞Z<br />
0<br />
[a (ω)cos(ωt) +b (ω)sin(ωt)] dω .<br />
122
Die Koeffizienten a (ω) und b (ω) berechnensichnachdenGleichungen<br />
a (ω) = 2 ∞Z<br />
f (t)cos(ωt) dt<br />
π<br />
und<br />
0<br />
b (ω) = 2 ∞Z<br />
f (t)sin(ωt) dt.<br />
π<br />
0<br />
Diese Funktionen sind die Spektren der Funktion f (t). Oft verwendet man nicht das<br />
Sinus- und das Kosinus-Spektrum sondern das Amplitudenspektrum zusammen mit<br />
dem Phasenspektrum. Wir verwenden dazu den allgemeinen Zusammenhang für die<br />
Summe aus Sinus und Kosinus:<br />
mit dem Amplitudenspektrum<br />
a (ω)cos(ωt) +b (ω)sin(ωt) =A (ω)cos(ωt + ϕ (ω))<br />
A (ω) =<br />
q<br />
a (ω) 2 + b (ω) 2<br />
und dem Phasenspektrum<br />
ϕ (ω) = arctan<br />
µ b (ω)<br />
.<br />
a (ω)<br />
Als Leistungsspektrum bezeichnet man das Quadrat des Amplitudenspektrums.<br />
P (ω) =A (ω) 2 = a (ω) 2 + b (ω) 2<br />
• Exponentieller Zerfall und Lorentz-Spektrum<br />
Die Amplitude der Gitarrensaite klingt exponentiell ab, so dass die Schwingung der<br />
Frequenz ω 0 eine zeitabhängige Amplitude bekommt,<br />
f(t) =A 0 exp(−γ · t)cos(ω 0 t).<br />
Wie sieht das Spektrum aus? Für einen zeitlichen Verlauf berechnet sich das Spektrum<br />
zu:<br />
∞Z<br />
2<br />
a (ω) = A 0 exp(−γ · t)cos(ω 0 t)cos(ωt) dt<br />
π<br />
= A 0<br />
2<br />
π<br />
= A 0<br />
1<br />
π<br />
0<br />
∞Z<br />
0<br />
µ 1<br />
exp(−γ · t)<br />
2 cos (ω 0t + ωt)+ 1 <br />
2 cos (ω 0t − ωt) dt<br />
γ<br />
γ 2 +(ω 0 − ω) 2 + A 1<br />
0<br />
π<br />
123<br />
γ<br />
γ 2 +(ω 0 + ω) 2
∞Z<br />
2<br />
b (ω) = A 0<br />
π<br />
= A 0<br />
2<br />
π<br />
= A 0<br />
1<br />
π<br />
0<br />
∞Z<br />
0<br />
exp(−γ · t)cos(ω 0 t)sin(ωt) dt<br />
µ 1<br />
exp(−γ · t)<br />
2 sin ((ω 0 + ω) t) − 1 <br />
2 sin ((ω 0 − ω) t) dt<br />
ω 0 − ω<br />
γ 2 +(ω 0 − ω) 2 − A 1<br />
0<br />
π<br />
ω 0 − ω<br />
γ 2 +(ω 0 + ω) 2<br />
Da die Dämpfung typischerweise wesentlich kleiner ist als die Frequenz, wird in der<br />
Nähe der Resonanz, also für ω ' ω 0 , der erste Term viel größer als der zweite Term, den<br />
man deshalb vernachlässigen kann. Dies gilt für a und für b. Das Amplitudenspektrum<br />
A (ω) eines exponentiellen Zerfalls lautet also:<br />
A (ω) =<br />
q<br />
a (ω) 2 + b (ω) 2 = A 0<br />
s µ 2<br />
π<br />
2 1<br />
= A 0 p<br />
π γ2 + δ . 2<br />
Üblicherweise verwendet man hier die ”Verstimmung”<br />
δ := ω 0 − ω.<br />
γ<br />
γ 2 + δ 2 2<br />
+<br />
µ 2<br />
π<br />
2<br />
δ<br />
γ 2 + δ 2<br />
Aus der Mechanik übernehmen wir, dass die Leistung, die die Saite bei seiner Schwingung<br />
abgibt, proportional zum Quadrat der Amplitude ist. Die akustische Leistungsabgabe<br />
ist also proportional zum Leistungsspektrum<br />
µ 2<br />
P (ω) =A (ω) 2 2A0 1<br />
=<br />
π γ 2 + δ 2 .<br />
Dies ist eine Lorentzsche Resonanzkurve.<br />
124
Die Gitarrensaite verliert seine Energie exponentiell und strahlt dabei ein Lorentzspektrum<br />
ab. Die Halbwertsbreite ∆ω des Spektrums ist gerade die doppelte Zerfallsrate,<br />
∆ω =2γ<br />
Mit der Zerfallsrate ist die Lebensdauer verbunden. In der Zeit 1/γ fällt die Amplitude<br />
der Saite auf e −1 seiner Anfangsamplitude ab. Die Energie geht quadratisch mit der<br />
Amplitude und zerfällt daher doppelt so schnell. Die Energiezerfallszeit τ ist daher<br />
1/ (2γ) und man erhält<br />
τ · ∆ω =1.<br />
Dies ist die Frequenz Zeit-Ünschärfe eines exponentiell gedämpften Oszillators.<br />
Wenn man den Kammerton a (440Hz) mit einer Frequenzgenauigkeit von 1% erzeugen<br />
will, muss der Ton mindestens ein viertel Sekunde lang klingen (unabhängig vom<br />
Instrument). Notenpartituren, bei denen Dauer und Höhe des Tons exakt angegeben<br />
werden, bergen einen prinzipiellen Widerspruch. Um einen Ton mit einer Halbtongenauigkeit<br />
spielen zu können, muss er eine Mindestlänge haben. Gerade für tiefe Töne<br />
darf die Tonfolge nicht zu schnell sein (Beispiel als Übung).<br />
• Frequenz-Zeit-Unschärfe<br />
Mit der, für den betreffenden Vorgang charakteristischen Zeitspanne ∆t (in unserem<br />
Beispiel ist das die Lebensdauer τ der Saitenschwingung) ist eine Frequenzunschärfe<br />
∆ω verbunden, die sich aus der Tasache ergibt, dass eine zeitlich begrenzte Funktion<br />
aus mehrerer Schwingungen verschiedener Frequenzen zusammensetzt. Allgemein gilt<br />
die Unschärferelation<br />
∆ω · ∆t > 1 2 .<br />
Wenn wir daran festhalten, dass die Energie eines Photons<br />
E = ~ω<br />
wird damit auch die Energie eines Photons zu einer in endlichen Zeiten nicht exakt<br />
bestimmbaren Größe.<br />
• Orts-Impuls-Unschärfe<br />
Analog zur Frequenz-Zeit-Unschärfe gibt es auch die Orts- und Wellenvektor-Unschärfe:<br />
∆x · ∆k ' 1.<br />
Mit der de Broglie-Beziehung für den Impuls des Photons<br />
~p = ~ ~ k<br />
125
erhält man:<br />
∆x · ∆p x ' ~,<br />
∆y · ∆p y ' ~,<br />
∆z · ∆p z ' ~.<br />
Dies gilt nicht nur für Licht. Ultragenaue Ortsmessungen, egal mit welchen Wellen,<br />
erfordern ein Spektrum mit großen k-Vektoren und damit großen Impulswerten. Ein<br />
großer Impuls erfordert aber eine hohe kinetische Energie. Um die Struktur kleinster<br />
Teilchen zu untersuchen, benötigt man daher aufwändige Beschleunigeranlagen (z.B.<br />
CERN in Genf). Es werden dort keine Photonen sondern Elektronen als Sondenteilchen<br />
verwendet. Im Vergleich zu Photonen lassen sich Elektronen mit größerer Energie<br />
herstellen.<br />
• Auflösung eines Mikroskops<br />
Man erhält ein fehlerfreies Bild, wenn das komplette Fourierspektrum, d.h. die gesamte<br />
k x -Verteilung in das Mikroskop übertragen wird. Die Bandbreite der Übertragung,<br />
also das größte k x , das noch in die <strong>Optik</strong> gelangt, ist aber durch erste Linse begrenzt.<br />
Bezeichnet man diese größte transversale Wellenzahl mit ∆k gilt<br />
∆k = k sin α = k · d<br />
2 · 1<br />
l .<br />
Als zweites Argument bilden wir die Analogie zur Beugung am Spalt. Das Objekt<br />
beugt das Licht mit dem es beleuchtet wird ähnlich wie ein Spalt. Aus der Beugung<br />
am Spalt übernehmen wir die obige Beziehung<br />
k ⊥ d =2π,<br />
126
wobei jetzt der transversale Impuls k ⊥ mit der Bandbreite und die Größe des Objekts<br />
mit der Spaltbreite identifiziert wird d = ∆x<br />
k ⊥ = ∆k<br />
d = ∆x<br />
also<br />
∆k · ∆x =2π.<br />
Mit dieser Gleichung können wir ∆k in der ersten Gleichung eliminieren.<br />
∆k = k sin α = k · d<br />
2 · 1<br />
l = 2π<br />
∆x .<br />
und nach ∆x auflösen.<br />
oder<br />
∆x =2π · 2l<br />
d · 1<br />
k = 2l<br />
d · λ<br />
∆x =2 λ N ,<br />
wobei die numerische Apertur N A definiert ist als<br />
N A := d l .<br />
Sie hängt sehr von der Qualität der Objektivlinse ab und erreicht für gute Objektive<br />
Werte von 0.2 bis 0.9. Das Mikroskop kann also nur Objekte abbilden, die nicht kleiner<br />
sind als etwa die Wellenlänge des Lichts mit dem sie beleuchtet werden.<br />
7. Optische Resonatoren<br />
Dieses Kapitel ist optional.<br />
Resonatoren bestehen aus zwei oder mehreren Spiegeln, die einen Lichtstrahl in sich<br />
zurückspiegeln. Sie sind technisch wichtig beim Bau von Lasern und als Interferometer. Wir<br />
betrachten hauptsächlich Stehwellenresonatoren und besprechen kurz noch einige andere<br />
Typen von Resonatoren und Interferometeren.<br />
7.1 Stehwellenresonator<br />
Wir betrachten den einfachsten Fall eines Stehwellenresonators, der auch manchmal Fabry-<br />
Perot-Etalon genannt wird. Er ist wesentlicher Bestandteil der meisten Laser, wird aber<br />
auch als passives optisches Element zur Analyse von Lichtstrahlen und deren Frequenzen<br />
verwendet.<br />
127
• Resonante Überhöhung<br />
Das Feld zwischen den Spiegeln hängt empfindlich von der Wellenlänge ab. Optimaler<br />
Weise interferiert das Licht nach einem Umlauf konstruktiv mit sich selber. Das<br />
klappt nur, für bestimmte Wellenlängen des eingestrahlten Lichts. Solches resonante<br />
eingestrahlte Licht überlagert sich konstruktiv mit der bereits umlaufenden Welle. Die<br />
Lichtleistung im Resonator steigt. Verluste an den Spiegeln oder durch den Auskoppelspiegel<br />
führen zu einem Gleichgewicht der Intensität im Resonator. Diese kann bis<br />
zu 10 5 mal höher sein als die eingestrahlte Lichtintensität.<br />
• Intensität im Resonator<br />
Wir berechnen die Intensität im Resonator. Im Gleichgewichtszustand muß das Feld<br />
selbstkonsistent sein. Es muß nach den Veränderungen, die es während eines Umlaufs<br />
erfährt, mit sich selber übereinstimmen. Die Veränderungen sind Reflexionanden<br />
Spiegeln, das Ansammeln von Phase und die Überlagerung des eingekoppelten Feldes.<br />
Für die Amplitude A c der rechtslaufenden Welle direkt nach dem Einkoppelspiegel<br />
lautet die Selbstkonsistenzbedingung:<br />
A c = A c · r 1 · r 2 · r l · e iϕ + t 1 · A in .<br />
Der Parameter r l beschreibt mögliche Verluste durch Streuung etc. Die Phase ist durch<br />
ϕ = k · l<br />
gegeben, wobei l die Wegstrecke für einen kompletten Umlauf bezeichnet, also den<br />
doppelten Spiegelabstand. Die Gleichung läßt sich direkt nach A c auflösen:<br />
A c (1 − r 1 · r 2 · r l · e iϕ )=t 1·A in<br />
128
Für die Intensität erhält man:<br />
A c =<br />
t 1·A in<br />
1 − r 1 · r 2 · r l · e iϕ .<br />
I c =<br />
=<br />
=<br />
I in · t 2 1<br />
(1 − r 1 · r 2 · r l · e iϕ )(1 − r 1 · r 2 · r l · e −iϕ )<br />
I in · t 2 1<br />
1+(r 1 · r 2 · r l ) 2 − r 1 · r 2 · r l · (e iϕ + e −iϕ )<br />
| {z }<br />
2cosϕ<br />
I in · T 1<br />
1+R 1 · R 2 · R l − 2 √ .<br />
R 1 · R 2 · R l cos ϕ<br />
| {z }<br />
Airy-Funktion<br />
Die Intensität im Resonator variiert periodisch mit der Phase pro Umlauf. Die Phase<br />
kann man durch Änderung des Spiegelabstands variieren oder durch Ändern der Lichtfrequenz.<br />
Das Intensitätsmaximum liegt bei cos ϕ =1und ist um den Faktor<br />
I c<br />
I in<br />
=<br />
1 − R 1<br />
(1 − √ R 1 · R 2 · R l ) 2 .<br />
größer als die eingestrahlte Intensität. Diese Verhältnis nennt man auch den ”Überhöhungsfaktor”.<br />
• Spektrum eines Resonators<br />
Bei festem Spiegelabstand erhält man ausgeprägte Resonanzspitzen für bestimmte<br />
Wellenzahlen.<br />
Sie liegen bei<br />
ϕ = n · 2π = k · l = ω c · l = 2πν<br />
c<br />
· l.<br />
129
wobei n eine natürliche Zahl ist. Die Resonanzfrequenzen lautet also<br />
ν = c l n.<br />
Oft definiert man den freien Spektralbereich<br />
ν 0 := c l .<br />
Die Resonanzfrequenzen sind dann natürliche Vielfache des freien Spektralbereichs.<br />
ν n = ν 0 · n.<br />
Die natürliche Zahl n ist ein Beispiel für eine ”Quantenzahl”. Sie nummeriert die verschiedenen<br />
Stehwellen, die im Resonator exisitieren können und legt deren Frequenzen<br />
fest. Ein Photon im Resonator kann also nur Energiewerte annehmen die ein Vielfaches<br />
einer Grundfrequenz sind. Man spricht von einem äquidistanten Spektrum.<br />
Die Wellenfunktionen, die in einem Resonator resonant gespeichert sind nennt man<br />
auch ”Moden”.<br />
• Impedanzanpassung.<br />
Unter welchen Bedingungen bekommt man das meiste Licht in den Resonator oder<br />
konkret: Für welche Werte des Einkoppelspiegels ist der Überhöhungsfaktor maximal?<br />
Ableiten von I c /I in nach R 1 bei festem R 2 · R l und dann Nullsetzen ergibt<br />
R 1 = R 2 · R l .<br />
Definiert man als Verlustparameter den Leistungsverlust pro Umlauf<br />
L := 1 − R 2 · R l ,<br />
erhält man den einfachen Zusammenhang für die optimale Einkopplung<br />
T 1 = L.<br />
130
Man muß also soviel Licht über den Einkoppelspiegel zuführen, wie pro Umlauf verloren<br />
geht. Man spricht dann von optimaler Impedanzanpassung. In diesem Fall lautet der<br />
Überhöhungsfaktor<br />
I c<br />
I in<br />
= 1 L .<br />
• Verlustfreier Resonator<br />
Falls das Licht aus dem Resonator nur über die Spiegel entweichen kann und es keine<br />
sonstigen Verluste gibt, also R l =1,gilt<br />
L := 1 − R 2 = T 2<br />
Die Intensität hinter dem Auskoppelspiegel berechnet sich dann zu<br />
I trans = I c · T 2 = I in · 1<br />
T 2<br />
· T 2 = I in .<br />
Im Fall optimaler Impedanzanpassung und bei Abwesenheit sonstiger Verluste wird in<br />
Resonanz alles Licht den Resonator passieren, unabhängig von den Spiegelreflektivitäten.<br />
Das gilt auch für Spiegel mit 100% Reflektivität! In diesem Grenzfall dauert es<br />
allerdings unendlich lange bis sich ein Gleichgewicht eingestellt hat und die Selbstkonsistenz<br />
erfüllt ist. Wird dieses Gleichgewicht nach unendliche langer Zeit schließlich<br />
erreicht, ist die Intensität im Resonator unendlich hoch und selbst wenn davon nur 0%<br />
transmittiert werden, erhält man einen endlichen Wert, der dann identisch ist mit der<br />
eingestrahlten Intensität.<br />
7.2 Andere Resonatoren<br />
• Ringresonatoren<br />
Resonante Wellenfunktionen sind laufende Wellen mit zwei möglichen Umlaufrichtungen.Man<br />
hat zwei verschiedene Wellenfunktionen bei der selben Frequenz,<br />
Beide erfüllen die Resonanzbedingung<br />
ψ ± = E ± cos(±kx − ωt).<br />
k · L = m · 2π,<br />
wobei L die geometrische Länge eines Umlaufs ist. Die Intensität ist bei beiden Wellenfunktionen<br />
räumlich konstant und hat keine Knoten, was für den Bau von Lasern<br />
wichtig sein kann.<br />
131
• Schichtsysteme<br />
Stapelt man dünne dielektrische Schichten übereinander, deren Brechungsindizes zwischen<br />
zwei Werten abwechseln erhält man dielektrische Spiegel. Die Schichten werden<br />
im Vakuum auf ein sorgfältig poliertes Glassubstrat aufgedampft. Einen Spiegel erhält<br />
man, wenn die Dicke einer Schicht gerade einer viertel Wellenlänge entspricht. Das<br />
Licht, das die Schicht nach einem Umlauf in Rückwärtsrichtung verlässt, überlagert<br />
daher konstruktiv mit dem Licht, das direkt an der ersten Grenzfläche der Schicht<br />
reflektiert wurde (Achtung: Phasensprung am optisch dichten Medium berücksichtigen).<br />
Die Transmission durch die Schicht ist dann nimimal. Mit einem Duzend solcher<br />
Schichten übereinander erhält man hochwertige Spezialspiegel die extrem verlustarm<br />
sind. Geringe Restverluste entstehen durch Streuung in den Schichten. Typische Resonatorspiegel<br />
kosten 100 Euro und haben etwa 0.2% Streuverluste. Es gibt auch sehr<br />
teure Superspiegel mit bis zu 5 ppm (0.0005%) Verlusten. Auf ähnliche Weise kann<br />
manauchAntireflexschichten herstellen, bei denen die Reflektion durch Interferenz<br />
verschwindet.<br />
• Gekoppelte Resonatoren<br />
Oft plaziert man in einen Resonator wiederum einen oder mehrere kleine Stehwellenresonator<br />
als frequenzselektive Elemente. Damit lassen sich bestimmte Moden unterdrücken.<br />
132
Alternativ kann man auch einen der Spiegel durch einen Resonator ersetzen wie z.B.<br />
beim Fox-Smith-Resonator. Der dadurch entstehende frequenzabhängige ”Spiegel”<br />
reflektiert nur, wenn der zusätzliche Resonator in Resonanz ist.<br />
133