Grundlagen der skalenbezogenen Analyse von Zeitreihen

Das BMBF-Vorhaben 

Skalenanalyse hydrologischer und 

hydrometeorologischer Zeitreihen 

Grundlagen der skalenbezogenen Analyse 

von Zeitreihen 

Holger Lange 

Skogforsk, Ås, Norwegen 

Bayerisches Landesamt 

für Wasserwirtschaft 

Norwegisches Waldforschungsinstitut

Gliederung 

Welche Eigenschaften von Zeitreihen sind für 

uns interessant? 

• Korrelationen auf verschiedenen Zeitskalen, 

Skalierungsverhalten 

• Stationarität / Instationarität, Trendverhalten 

• Periodizitäten, synchrones Verhalten 

• Extremwerte 

21. 10. 2004 München Grundlagen der Skalenanalyse...

Grundlegende Definitionen 

Eine Datenreihe 

• Mittelwert: 

•Varianz 

• q-tes zentrales Moment: 

2 

 

x( t i 

), i 1,..., 

N liegt vor. 

1 

N 

x( 

t i 

) 

N i 

1 

1 

N 

N 1 

i1 

xt i 

 

 

M 

 

1 

N 

2 

x 

 

q 

t i 

N i1 

q 


Die Autokorrelation 

• quantifiziert die Abhängigkeiten innerhalb einer Zeitreihe 

N k 

 

i1 

xti 

 

xt 

ik 

 

/ 

xti 

 

 

C( k) 

 

 

Faustregeln: 

• Mindestens 30 Datenpunkte 

• Nur Lags k < N/4 (Puristen) bzw. k < N/2 (Pragmatiker) 

vertrauen 

• Daten müssen „im Prinzip“ äquidistant vorliegen; 

Lücken sind ein Problem! 

• Zeitreihe muss ”im Prinzip” stationär sein 

• Enger Zusammenhang mit der Spektraldichte 

Fouriertransformation 

N 

i1 

Pf 

 

: 

2 


5 Beispiele: 

1. unkorreliert und stationär 


5 Beispiele: 

2. korreliert und stationär 


5 Beispiele: 

3. korreliert und instationär 


5 Beispiele: 

4. korreliert: ja sicher, stationär: nein? (Trend!) 

9,0 

8,8 

NOK/Euro 

Wechselkurs Norwegische Kronen zu Euro 

8,6 

8,4 

8,2 

NOK/Euro 

8,0 

7,8 

7,6 

7,4 

7,2 

7,0 

1.10.2002 1.1.2003 1.4.2003 1.7.2003 1.10.2003 1.1.2004 1.4.2004 1.7.2004 1.10.2004 


5 Beispiele: 

5. korreliert: ja sicher, stationär: ?? 

3000 

Donau-Abfluss bei Hofkirchen (2002-2003) 

2800 

2600 

2400 

2200 

2000 

Abfluss Hofkirchen 

1800 

1600 

1400 

1200 

1000 

800 

600 

400 

200 

0 

1.1.2002 1.4.2002 1.7.2002 1.10.2002 1.1.2003 1.4.2003 1.7.2003 1.10.2003 1.1.2004 


Beispiel 4: Autokorrelation 

1,0 

Autocorrelation NOK zu Euro (enttrendet, desaisonalisiert) 

0,9 

0,8 

0,7 

Autokorrelation 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 

(linear-linear) 



1,0 

Autokorrelation Donau Hofkirchen (enttrendet, desaisonalisiert) 

0,8 


0,6 

0,4 

0,2 

(linear-linear) 

0,0 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 



Hier linearer 

Fit? 

1,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

1,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

Autocorrelation Autokorrelation NOK zu Euro-NOK (enttrendet, mit Exponentialfit desaisonalisiert) 

0,5 

0,5 

C 

k 

 

1.3e 

0.00447k 

0,4 


0,3 

0,2 

0,4 

0,3 

0,2 

R 

2 

0.97 

0,1 

0,1 

0 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 

(linear-logarithmisch) 



kein linearer 

Fit! 

1,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

Autokorrelation NOK zu Euro (enttrendet, desaisonalisiert) 


0,4 

0,3 

0,2 

(logarithmisch-logarithmisch) 

0,1 

0 1 2 4 6 9 13 19 27 38 53 73 


kein linearer 

Fit! 

1,0 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 


Autokorrelation Donau Hofkirchen (enttrendet, desaisonalisiert) 


0,4 

0,3 

0,2 

(linear-logarithmisch) 

0,1 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 



Hier linearer 

Fit? 

1,0 1,0 

0,9 

0,9 

0,8 

0,8 

0,7 

0,70,6 

0,60,5 

0,4 

0,5 


0,3 

0,4 

Autokorrelation Donau Donau Hofkirchen Hofkirchen (enttrendet, (enttrendet, desaisonalisiert) mit Potenzfit 

C 

R 

k 

 

2 

1.19k 

0.95 

0.44 

0,2 

0,3 

(logarithmisch-logarithmisch) 

0,20,1 

1 0 1 2 2 3 4 4 6 96 13 8 19 1127 1438 1853 23 73 


Lang- und Kurzzeitgedächtnis 

Definition: Gedächtnis einer Zeitreihe 

M C( 

k) 

k 0 

Eine Zeitreihe hat kurzes Gedächtnis 

M 

Typische Physikerdefinition 

(anderenfalls ist sie langzeitkorreliert) 


Was ist eine skalierende Größe? 

S( r) 

f ( ) 

S( 

r) 

Falls für eine Eigenschaft S gilt: 

heisst S skalierend (: Skala oder Skalenfaktor) 

Spezialfall: Potenzgesetz 

S( 

r) 

 

 

cr 

Potenzgesetze haben keine Skala: 

S( r) 

c( 

r) 

wieder dasselbe Potenzgesetz! 

(Selbstähnlichkeit oder Skaleninvarianz) 

 

f 

 

 

 

 

 


Beispiel: Energieverbrauch von Warmblütern 

W cM 

3/ 4 

Schroeder (1990) 


Das Hurst-Phänomen 

Beobachtung (Hurst 1951): 

Der Wertebereich q oder die Höhe von Extremereignissen hängt von 

der gewählten Zeitauflösung oder Aggregation k 

wie eine Potenzfunktion ab: 

q 

k 

H 

H: Hurst-Koeffizient (-Exponent) 

Theoretische Rechnung: Bei Random Walk 

(einfachstes autoregressives Modell) gilt H 0. 5 

Beobachtung an Nil-Hochwässern (2000 Jahre): 

H 

0.79 

 

0.04 

D.h. die Extremereignisse wachsen sehr viel schneller an: 

Persistenz 

Vorsicht: Trends können Persistenz vortäuschen! 


Hurst-Koeffizienten Nil (Hurst 1951) 

0,9 

0,85 

0,8 

0,75 

0,7 

0,65 

0,6 

641-740 741-840 841-940 941-1041 1042-1142 1143-1242 1243-1344 1345-1445 1446-1741 1741-1866 1867-1946 


Zell 

Oberlauchringen 

Sennfeld 

Bad Mergentheim 

Hurst-Exponenten Baden-Württemberg 

0,85 

0,8 

Donau 

Neckar Rems 

0,75 

Jagst 

Kocher 

Kinzig 

0,7 

Hurst-Exponenten 

0,65 

0,6 

Hammereisenbach 

Beuron 

Hundersingen 

Kirchen-Hausen 

Ebnet 

Gutach 

Pforzheim 

Hopfau 

Untergriesheim 

Schenkenzell 

Schwaibach 

Kocherstetten 

Stein 

Riegel 

Rotenfels 

Horb 

Plochingen 

Berghausen 

Neustadt 

Schorndorf 

Hinterlehengericht 

Gerbertshaus 

Stationen 


k 

 

Autokorrelation und Potenzgesetze 

Falls für die Autokorrelation bei großen Lags gilt 

 

C c k 0 1 

und 

, ist die Zeitreihe langzeitkorreliert. 

 

heisst Korrelationsexponent. 

Für stationäre trendfreie Zeitreihen gelten die Zusammenhänge 

1 

H und 

1 

 

2 

P f cP f (bei kleinen Frequenzen) 


Eine Klasse von langreichweitigen Modellen: 

FARIMA(p,d,q) (Vortrag Rust) 

d 0 

Normales ARMA-Modell, 

kurzreichweitig 

d 

0 

(”Fractional AutoRegressive Integrated Moving Average”) 

d heisst Persistenz-Parameter (d=0 keine, d=0.5 maximale Persistenz) 

ganzzahlig 

d 0.5 

stationär 

Normales ARIMA-Modell, 

kurzreichweitig 

0 d 0.5 

Langes Gedächtnis 

• Theoretischer Zusammenhang mit dem Hurstexponenten: 

d=H-0.5 

12d 

Verhalten der Autokorrelation: 

C 

k 

 

k 


Stationarität 

Def.: Eine Zeitreihe heisst stark stationär, wenn alle Momente 

nicht von der Zeit abhängen. 

(Man bestimme Mittelwert, Varianz, Schiefe, Wölbung, 5. Moment usw. 

in Fenstern. Die Werte dürfen sich nicht signifikant unterscheiden.) 

Beispiele: 

• weisses Rauschen 

• bestimmte ARMA-Modelle 

Umweltzeitreihen sind nie stark stationär (= nicht langweilig). 

Def.: Eine Zeitreihe heisst schwach stationär, wenn Mittelwert und Varianz 

nicht von der Zeit abhängen. 

Keine monotonen Trends 

keine Heteroskedastizität (wechselnde Varianz) 


Stationaritätstests 

Prinzip "Fenstertechnik": 

• Aufteilung des Datensatzes in gleichlange Stücke (Fenster) 

• Bestimmung statistischer Merkmale in jedem Fenster 

• Berechnung der Variabilität des Merkmals von Fenster zu Fenster 

• Ermittlung der Signifikanz 

Typen von Stationaritätstests 

• auf der Werteverteilung basierend 

• auf der Fourierzerlegung basierend 

• direkte Trenderkennung 

Man kann nur Instationarität nachweisen 


Beispiel für einen Stationaritätstest 

(Vortrag Kallache) 

• Aufteilung der Zeitreihe in 

Fenster der gleichen Länge l 

• Bestimmung der empirischen kumulativen Verteilungsfunktionen 

ecdf 

x 

• Teststatistik für je 2 Fenster 

x 

KS max ecdf1 

ecdf2 

x 

(Kolmogorow-Smirnow) 

berücksichtigt die gesamte Verteilung 

Varianten: 

• integrierter KS-Test 

• KS-Test für normierte Daten 

(Instationarität von höheren Momenten?) 

KS 

Problem: Signifikanzniveaus für korrelierte Daten 


Trendanalyse 

Zugrundeliegendes Modell 

(additives Komponentenmodell): 

X ( t) 

f ( X ( t), 

Y ( t)) 

S( 

t) 

T ( t) 

T ( t) 

( 

t) 

Y (t) 

S(t) 

T D 

T S 

(t) 

(t) 

(t) 

externe Faktoren 

saisonale Komponente 

deterministischer Trend 

stochastischer Trend 

stationäres Rauschen 

Globaler monotoner Trend: „im Mittel wächst X(t) an / fällt ab“ 

Fundamentalproblem: 

Langzeitkorrelationen können wie Trends aussehen 

D 

S 


Klassische Trendanalyse: Mann-Kendall Test 

• Rangbasierter, parameterfreier Summentest 

• Erweiterung auf saisonalen Test usw. möglich 

• Signifikanzgrenzen setzen unkorrelierte Daten voraus 

• Reagiert empfindlich auf Korrelationen: 

Gefahr von falsch positiven Ergebnissen 


Alternative Trendanalyse: Skalenseparation 

(Vortrag Kallache) 

• Annahme: Deterministische Trends wirken (vor allem) 

auf langen Zeitskalen 

• Zerlegung in kurze und lange Zeitskalen mit Wavelets 

• Wähle (einfaches) stochastisches Modell für kurze Zeitskalen 

• Trendsignifikanz à la F-Test (Vergleich der Varianzen) 


Alternative Trendanalyse: Skalenseparation 

- Beispiel: quadratischer Trend - 

Craigmile et al. (2004) 


Plötzliche (Trend-)änderungen: 

Bruchpunktanalyse 

(Vortrag Neumann) 

• Bestimmung des Zeitpunkts, zu dem die Rangverteilungen 

vorher und nachher maximal unähnlich sind (U-Test) 

• Signifikanzabschätzung nimmt unkorrelierte Daten an 

• sehr empfindlich auf Langzeitkorrelationen 

Zusammenfassung: Trends und Langzeitkorrelationen 

sind i.a. schwer zu trennen 


Wie trennt man Trend und Langzeitkorrelation? 

Trendbereinigte Fluktuationsanalyse (DFA) 

(Vortrag Rybski) 

• Evtl. Vorbereitung der Daten (z.B. Desaisonalisierung) 

• Teilsummen ergeben das Profil der Zeitreihe: 

n 

 

z n 

x i 

i1 

• In Segmenten der Länge s wird das Profil an Polynome 

fester Ordnung n angepasst (DFA(n)) und über alle Segmente 

gemittelt: 

F 

2N 2 1 

2 

1 s 

2 

, s 

z 

y i und F2 s F 

, s 

s 

2 

i1 

N 

s 1 

s 

 

1 

si 

v 

 

F 2 

Langzeitkorrelation vorhanden 

H 

s 

 

 

cs 

 

 

 

1/ 2 


Beispiel zur DFA 

Koscielny-Bunde et al. (2004) 

hier H=0.75 


Beobachtungen bei der DFA 

• Oft wechselt die Steigung (der Exponent) bei einer 

charakteristischen Zeitskala: 

Trennung von Kurzzeit- und Langzeitkorrelationen, 

Crossover -Phänomen 

• Manchmal gibt es keinen festen Exponenten: 

Erweiterungen existieren (multifraktale DFA) 

• Instationaritäten beeinflussen die DFA. Das ist gut theoretisch 

untersucht 


Singuläre System Analyse (SSA) 

„Hauptkomponentenanalyse für 

einen einzigen Datensatz“ 

(Vortrag Thies) 

• Effiziente Darstellung langer Zeitreihen durch wenige 

Komponenten 

• Exaktes Rekonstruktionsverfahren (nur Basiswechsel) 

• Spektren der einzelnen Komponenten i.d.R. einfach 

• Datenadaptives Verfahren 

• Signal-/Rauschtrennung 


Singuläre System Analyse (SSA) 

Beispiel: Southern Oscillation Index 

Zeitreihe 

Die ersten 5 Komponenten 

Ghil et al. (2002) 


Ausflug in die Extremwertstatistik 

• Welcher Verteilungsfunktion gehorchen Maxima einer Zeitreihe? 

Fisher-Tippett-Theorem: nur drei Typen 

(Gumbel, Fréchet, Weibull) 

• Welche Wiederkehrzeiten gibt es? (Vortrag Vogelbacher?) 

• Was geschieht im Fall immer extremerer Ereignisse? 

AIM-Theorem: Gruppen von Extremereignissen werden voneinander 

unabhängig für beliebig große Ereignisse und beliebigem Abstand 

• Folgerung: Korrelationen in der Zeitreihe immer 

uninteressanter je extremer das Ereignis 

…und wann sind Ereignisse extrem genug? 

Nie in der hydrologischen Praxis! (Vortrag Eichner) 


Zusammenfassung: 

Analysen hydrologischer Zeitreihen 

(5 Gründe, Physiker damit beschäftigt zu haben) 

Die angewendeten Verfahren (und Physiker) sind in der 

Lage, 

• Trends und Langzeitkorrelationen zu trennen 

• Langzeitkorrelationen zu quantifizieren 

• Verbesserungen für Standardverfahren zu liefern 

(oder sie zu ersetzen) 

• Hinweise auf langfristige externe Einflüsse zu geben 

• Korrelierte Extreme zu behandeln

Grundlagen der skalenbezogenen Analyse von Zeitreihen

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