Wellenlehre und Optik - Physik-Institut - Universität Zürich
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Roland Engfer<br />
<strong>Physik</strong> A<br />
für Naturwissenschaftler<br />
Teil 4: <strong>Wellenlehre</strong> <strong>und</strong> <strong>Optik</strong><br />
UNIVERSITAS<br />
TURICENSIS<br />
MDCCC<br />
XXXIII<br />
Skriptum zur Vorlesung von Andreas Schilling<br />
SS 2005<br />
<strong>Physik</strong>-<strong>Institut</strong> der Universität Zürich<br />
September 2004
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Eindimensionale Wellen 1<br />
1.1 Gekoppelte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.1.1 Beispiele zur Fourier-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.2 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.3 Wellen in verschiedenen Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.3.1 Transversale Wellen einer Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.3.2 Longitudinale Wellen in einem dünnen Stab . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.3.3 Longitudinale Wellen in Gasen <strong>und</strong> Flüssigkeiten . . . . . . . . . . 8<br />
1.3.4 Elektrische Drahtwellen (Lecherleitung, Koaxkabel) † . . . . . . . . 9<br />
1.3.5 Der Wellenwiderstand einer Drahtleitung † . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.3.6 Wasserwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.4 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.5 Reflexion <strong>und</strong> Transmission von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.6 Die Energie <strong>und</strong> Intensität einer Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.7 Der Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
1.8 Energiebetrachtung einer harmonischen Welle † . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.9 Phasen- <strong>und</strong> Gruppengeschwindigkeit † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2 Ausbreitung von Wellen im Raum 21<br />
2.1 Ebene <strong>und</strong> Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.1.1 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.1.2 Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.1.3 Elektromagnetische Wellen † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
2.1.4 Die Intensität einer elektromagnetischen Welle † . . . . . . . . . . 23<br />
2.1.5 Experimente zur Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
2.1.6 Spektren <strong>und</strong> Erzeugung elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . 25<br />
2.1.7 Die klassisch-atomistische Betrachtung einer Lichtwelle in einem<br />
Gas † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
3 <strong>Optik</strong> 29<br />
3.1 Strahlenoptik, Geometrische <strong>Optik</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.1.1 Lichtstrahlen; das Fermat’sche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.1.2 Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.1.3 Abbildung durch Spiegelung <strong>und</strong> Brechung . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.1.4 Abbildung durch dünne <strong>und</strong> dicke Linsen . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
3.1.5 Abbildungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
3.2 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
3.2.1 Das Huygensche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
3.3 Interferenz von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
3.3.1 Interferenz zweier Wellen. Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
3.3.2 Interferenzrohr von Quincke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
3.3.3 Young’scher Interferenzversuch (Doppelquelle) . . . . . . . . . . . . 40<br />
3.3.4 Interferometer von Jamin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
3.3.5 Das Michelson Morley Interferenz-Experiment . . . . . . . . . . . . 41<br />
3.3.6 Interferenzen mehrerer Wellen an dünnen Schichten . . . . . . . . . 44<br />
3.4 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
i
3.4.1 Fraunhofersche Beugung am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
3.4.2 Beugung an kreisförmiger Öffnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
3.4.3 Beugung am Strichgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
3.4.4 Fresnelsche Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
3.5 Optische Instrumente <strong>und</strong> ihr Auflösungsvermögen . . . . . . . . . . . . . 53<br />
3.5.1 Menschliches Auge <strong>und</strong> Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
3.5.2 Astronomisches Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
3.5.3 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
3.5.4 Abbildung im Mikroskop mit dem Phasenkontrastverfahren † . . . . 58<br />
3.5.5 Auflösungsvermögen eines Gitterspektrographen † . . . . . . . . . . 59<br />
3.6 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
3.6.1 Polarisationsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
3.6.2 Polarisation durch Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
3.6.3 Polarisation durch Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
3.6.4 Polarisation durch Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
3.6.5 Gr<strong>und</strong>prinzip eines Polarisationexperimentes in gekreuzter Anordnung<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
3.6.6 Interferenzen im polarisierten Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
3.6.7 Magnetische Drehung der Polarisationsebene (Faraday-Effekt) † . . 65<br />
A <strong>Physik</strong>alische Konstanten Stand 1986 67<br />
B Grössen <strong>und</strong> Einheiten der <strong>Physik</strong> 68<br />
B.1 Grössenart, Dimension, Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
B.1.1 Grösse <strong>und</strong> Zahlenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
B.1.2 Grössenart <strong>und</strong> Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
B.1.3 Grössengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
B.1.4 Winkel <strong>und</strong> Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
B.1.5 Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen . . . . . . . . . . . . . 69<br />
B.2 SI-Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
B.2.1 Von den SI-Einheiten abgeleitete Einheiten z.T. mit speziellen Namen 72<br />
B.2.2 Verschiedene Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
B.2.3 Vorsilben der Dezimalteilung von Einheiten . . . . . . . . . . . . . 74<br />
B.3 Astronomische Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
C Mathematische Hilfsmittel 75<br />
C.1 Mathematische Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
C.1.1 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
C.1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
C.1.3 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
C.1.4 Inverse Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
C.1.5 Ableitungen <strong>und</strong> unbestimmte elementare Integrale . . . . . . . . . 76<br />
C.1.6 Einige bestimmte Integrale, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
C.1.7 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
C.2 Zusammenstellung von Differentialgleichungen in <strong>Physik</strong> A . . . . . . . . . 78<br />
C.3 Vektorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
ii
<strong>Wellenlehre</strong> <strong>und</strong> <strong>Optik</strong><br />
In der Mechanik <strong>und</strong> Elektrizitätslehre wurden Schwingungen eines Massenpunktes<br />
oder eines elektrischen LC-Kreises behandelt. Wir verstehen dabei unter Schwingungen<br />
die periodische Zustandsänderungen an einem Raumpunkt. Auch in den Festkörpern<br />
schwingen Atome ständig um ihre Ruhelage, d.h. der dynamische Zustand ist eigentlich<br />
die Regel. Schwingungen können sich auch im Raum ausbreiten, wenn das schwingende<br />
Medium mit anderen schwingungsfähigen Systemen gekoppelt ist; es können Wellen<br />
als eine räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes entstehen, wie z.B. mechanische,<br />
elektromagnetische, akustische, thermische oder Gavitationswellen. Alle zeigen<br />
allgemeingültige Erscheinungen <strong>und</strong> Beschreibungen. Im Kapitel 1 werden einfache eindimensionale<br />
<strong>und</strong> im Kapitel 2 dreidimensonale Wellen behandelt.<br />
1 Eindimensionale Wellen<br />
Harmonische Schwingungen der Mechanik <strong>und</strong> Elektrizitätslehre, d.h. periodische Änderungen<br />
entsprechender Grössen werden mathematisch mit sin- oder cos-Funktionen btw.<br />
im komplexen mit Exponentialfunktionen beschrieben, wie:<br />
linearer Oszillator x(t) = x ◦ cos(ωt + δ) bzw. x(t) = x ◦ e i(ωt+δ)<br />
mathem. Pendel ϕ(t) = ϕ ◦ cos(ωt + δ) bzw. ϕ(t) = ϕ ◦ e i(ωt+δ)<br />
Wechselspannung V (t) = V ◦ cos(ωt + δ) bzw. V (t) = V ◦ e i(ωt+δ)<br />
Wechselstrom I(t) = I ◦ cos(ωt + δ) bzw. I(t) = I ◦ e i(ωt+δ)<br />
Andere Schwingungstypen können periodisch aber nicht mehr harmonisch schwingen,<br />
wie die im folgenden diskutierten<br />
Beispiele in der<br />
Figur zeigen.<br />
✻ x(t)<br />
✲ t<br />
1.1 Gekoppelte Schwingungen<br />
✞ ☎✞ ☎✞ ☎<br />
✲ t<br />
✞ ☎ ✞ ☎ ✞ ☎<br />
✲ t ✲ t<br />
✝ ✆ ✝ ✆ ✝ ✆<br />
✲ t<br />
Zwei gleiche Oszillatoren mit der Massen m <strong>und</strong> der Federkonstanten k, die die Eigenfre-<br />
√<br />
k ✎☞ m<br />
k ′ ✎☞ m quenz ω<br />
k<br />
◦ = 2π = k<br />
haben, sind mit einer weiteren<br />
T m<br />
∼∼∼∼∼∼∼∼ ∼∼∼ ∼∼∼∼∼∼∼∼<br />
✍✌ ✍✌ Feder mit der Federkonstanten k ′ miteinander gekoppelt.<br />
x 1 , x 2 sind die Auslenkungen der beiden Massen<br />
✲ x 1 , x 2<br />
x 1 =0 x 2 =0<br />
<strong>und</strong> x 1 = 0, x 2 = 0 ihre Gleichgewichtslagen.<br />
Die Bewegungsgleichungen sind die zwei gekoppelten linearen Differentialgleichungen:<br />
m d2 x 1<br />
dt 2 = −kx 1 + k ′ (x 2 − x 1 ) (1) m d2 x 2<br />
dt 2 = −kx 2 − k ′ (x 2 − x 1 ) (2)<br />
Ist speziell eine harmonische Bewegung möglich, sollte der Ansatz 1<br />
x 1 (t) = A cos ωt <strong>und</strong><br />
x 2 (t) = B cos ωt<br />
1 Der Ansatz liefert eine partikuläre d.h. keine vollständige Lösung (vgl. Kap. ?? Fussnote −3 ).<br />
Einsetzen einer Gleichung in die 2mal differenzierte zweite ergibt eine lineare Dgl. 4.Ordnung<br />
x (4)<br />
1 + 2x (2)<br />
1 (k + ) − x k′ 1 k 2 = 0 <strong>und</strong> analog für x 2 mit den vollständigen Lösungen.<br />
1
zu einer partikulären Lösung führen. Einsetzen in Gl. (1) <strong>und</strong> (2) liefert<br />
A<br />
(−ω 2 + k ) )<br />
)<br />
m + k′<br />
+<br />
(− k′<br />
B = 0 <strong>und</strong> A<br />
(− k′<br />
+B<br />
(−ω 2 + k )<br />
m m<br />
m m + k′<br />
= 0 (3)<br />
m<br />
} {{ } } {{ }<br />
} {{ } } {{ }<br />
a b<br />
b<br />
a<br />
Dies ist ein lineares Gleichungssystem<br />
aA + bB = 0<br />
bA + aB = 0<br />
das für die unbekannten Amplituden A <strong>und</strong> B nur dann nicht triviale Null-Lösungen hat,<br />
wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix Null ist, d.h.<br />
∣<br />
a b<br />
b a<br />
∣ = 0 ⇒ a2 − b 2 = 0 mit den 2 Lösungen a = −b <strong>und</strong> a = +b.<br />
Mit Gl. (3) folgen damit die Frequenzen für die beiden Lösungen<br />
ω 1 =<br />
√<br />
k<br />
m gleich der Frequenz ohne Kopplung <strong>und</strong> ω 2 =<br />
√<br />
k + 2k ′<br />
m .<br />
Das gekoppelte System hat also zwei harmonische Lösungen mit den Eigenfrequenzen<br />
ω 1 <strong>und</strong> ω 2 . Die Amplituden sind aus Gl. (3) bestimmt zu A 1 = B 1 für ω 1 <strong>und</strong> zu<br />
A 2 = −B 2 für ω 2 :<br />
√<br />
ω 1 = k , A m 1 = B 1 Normalschwingungen<br />
√<br />
k+2k<br />
ω 2 =<br />
′<br />
, A m 2 = −B 2<br />
In der Normalschwingung ω 1 schwingen beide Massen in Phase ohne eine Beanspruchung<br />
der Kopplungsfeder k ′ , mit ω 2 schwingen sie in Gegenphase, z.B. im Experiment:.<br />
ω 1<br />
ω 2<br />
✟ ✟✟<br />
✉<br />
❍ ✉<br />
❍<br />
❄ ❄ ❍ ✟ ✟✟ ✉<br />
✄ ✄<br />
✄<br />
❄ ❅<br />
❅ ✻ ❅✟ ✉<br />
✟ ✟ oder ✄ ✄<br />
❈❈ ✄<br />
✉✄<br />
✉✄<br />
❈ ✉ ✉✄<br />
✛ ✛<br />
✲ ✛<br />
√ ω 1<br />
ω 2<br />
k+k<br />
Legt man die Gr<strong>und</strong>schwingung fest zu ω ◦ =<br />
′<br />
, indem eine Masse festgehalten wird,<br />
m<br />
d.h. es wirkt die Federkonstante k + k ′ , dann erhält man für den gekoppelten Fall die<br />
beiden zu ω ◦ symmetrischen Normalschwingungen dargestellt als Diagramm in ω:<br />
ω<br />
✻<br />
ω ◦ =<br />
√<br />
k + k ′<br />
m<br />
entkoppelt<br />
<br />
<br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
gekoppelt<br />
ω 2 =<br />
ω 1 =<br />
√<br />
k + k ′ + k ′<br />
m<br />
√<br />
k + k ′ − k ′<br />
=<br />
√<br />
k + 2k ′<br />
In der Atomphysik ist die Energie eines Zustandes durch seine Eigenschwingung E = ¯hω<br />
gegeben <strong>und</strong> dieses Diagramm ist dann die Energiedarstellung eines ohne eine Kopplung<br />
entarteten Zustandes zweier gleicher Atome E ◦ = ¯hω ◦ , deren Entartung dann durch<br />
Einschalten einer Kopplung oder Störung [z.B. Magnetfeld (Zeeman-Effekt), elektrisches<br />
m<br />
=<br />
√<br />
k<br />
m<br />
m<br />
2
Feld (Stark-Effekt), Tunneleffekt (Ammoniak-Laser), schwache Wechselwirkung<br />
(K ◦ − ¯K ◦ -Oszillation) Kap. 1.1.1 S.5] aufgehoben oder aufgespalten wird.<br />
Die beiden Normalschwingungen sind als Spezialfall nicht die allgemeine Lösung des<br />
gekoppelten Systems. Nach dem Superpositionsprinzip müssen auch Linearkombinationen<br />
der Normalschwingungen mit den Amplituden A = A 1 = A 2 Lösungen sein, wie man<br />
durch Einsetzen in Gl. (2) überprüfen kann. Mit den goniometrischen Beziehungen gilt:<br />
( ω1 + ω 2<br />
x 1 (t) = A cos ω 1 t + A cos ω 2 t = 2A cos<br />
2<br />
( ω1 + ω 2<br />
x 2 (t) = A cos ω 1 t − A cos ω 2 t = −2A sin t<br />
2<br />
) ( ω1 − ω 2<br />
t · cos<br />
2<br />
)<br />
)<br />
t<br />
( ω1 − ω 2<br />
· sin t<br />
2<br />
Ist die Kopplung nur schwach k ′<br />
≪ k, dann ist |ω 1 − ω 2 | ≪ (ω 1 + ω 2 ), d.h. ω 1 ≈ ω 2 <strong>und</strong><br />
der zweite Term in Gl. (4) cos[(ω 1 − ω 2 )t/2] variiert mit der Zeit t viel langsamer als der<br />
erste Term <strong>und</strong> die Amplitude 2A wird mit der Frequenz (ω 1 − ω 2 )/2 moduliert.<br />
Die Bewegung ist nicht mehr harmonisch aber<br />
x 1<br />
noch periodisch, man bezeichnet sie als eine<br />
Schwebung. Die Amplitude <strong>und</strong> damit die kinetische<br />
Energie wechselt von der einen zur anderen<br />
t<br />
Masse. Die Periode der Schwebung<br />
τ<br />
x 2π<br />
2<br />
τ =<br />
(ω 1 − ω 2 )/2 · 1<br />
4 = π<br />
ω 1 − ω 2<br />
t<br />
ist um so länger, je kleiner die Kopplung ist; es<br />
braucht mehr Zeit, die Energie zu übertragen.<br />
Geht man von N = 2 zu N = 3, 4, · · · gekoppelten gleichen Oszillatoren über, dann<br />
gibt es (in hier nicht vorgeführter Rechnung) N Normalschwingungen mit N Frequenzen<br />
ω 1 , ω 2 , · · · ω N mit<br />
ωn 2 = 4Z nπ · sin2 , mit n = 1, 2, · · · N,<br />
ml 2N<br />
Z ist der Zug der Feder in der Ruhelage, l der Abstand der Massenpunkte in der Ruhelage.<br />
Für N sehr gross wird mit Nl = L Gesamtlänge, m/l = µ Massenbelegung<br />
ω 2 n = 4Z<br />
ml · n2 π 2<br />
4N 2 = Z µ · (πn)2<br />
L 2 , für n ≪ N (die niedrigeren Schwingungen)<br />
)<br />
.<br />
(4)<br />
ω 1 = π L√<br />
Z<br />
µ ist die Gr<strong>und</strong>schwingung <strong>und</strong> ω n = n · ω 1 die Oberschwingungen.<br />
Ein System von N Massenpunkten kann in einer Dimension N Normalschwingungen<br />
mit den Eigenfrequenzen ω 1 , ω 2 . . .ω N ausführen.<br />
ω 1<br />
✉<br />
❍❍❍<br />
✟ ✟✟✏✏✏ ✉ ✉<br />
❄ ❄ ❄<br />
ω 2<br />
✟ ✟✟❍ ✉<br />
❍<br />
❄ ❍❍❍❍✟ ✉<br />
✻<br />
✉<br />
✟ ✟<br />
3<br />
ω 3<br />
✟ ✟✟ ✉ ✉<br />
❅❅ ❍ ❍<br />
❄ ✻ ❄ ❍<br />
❅ ✉<br />
Z.B. Transversalschwingung<br />
von 3<br />
gekoppelten Oszillatoren<br />
mit 3 Normalschwingungen<br />
ω 1 , ω 2 , ω 3 .
Die allgemeine Bewegung eines Massenpunktes k ist die Überlagerung aller harmonischer<br />
Normalschwingungen mit beliebigen Amplituden A k1 ...A kN mit der Auslenkung<br />
u k =<br />
N→∞ ∑<br />
n=1<br />
A kn · cos(ω n t + δ kn ) mit ω n = n · ω 1 Theorem von Fourier (5)<br />
Für eine allgemeine periodische Bewegung wie die einer Saite wird N → ∞, es gibt<br />
mathematisch unendlich viele Oberschwingungen. Die Bewegung ist periodisch aber nicht<br />
mehr harmonisch. Gleichung (5) ist das in der Mathematik bekannte Theorem von Fourier,<br />
nach dem eine periodische Bewegung in eine Summe von harmonischen Bewegungen<br />
zerlegt werden kann, deren Frequenzen ein ganzes Vielfaches der Gr<strong>und</strong>frequenz sind. Voraussetzung<br />
ist die Periodizität der Funktion f(t+T 1 ) = f(t) mit der Periode T 1 = 2π/ω 1 .<br />
Jede Frequenz hat zwei Variable A n <strong>und</strong> δ n oder mit den goniometrischen Beziehungen<br />
die Koeffizienten B n , C n :<br />
∞∑<br />
∞∑<br />
f(t) = A ◦ + A n · cos(ω n t + δ n ) = A ◦ + [B n · cos(nω 1 t) + C n · sin(nω 1 t)], (6)<br />
n=1<br />
n=1<br />
f(t) ✓ ✏ ✓ ✏<br />
mit 2 C n = 2 ∫T 1<br />
f(t) · sin(nω 1 t) dt,<br />
✻<br />
✄ ✄ ✄ ✄ ✄ ✄<br />
T 1<br />
0<br />
A ◦<br />
✆ ✄ ✞ ✆ ✄ ✞ ✆ ✄<br />
✛ ✲<br />
✡ ✠<br />
T A ◦ = 1 ∫T 1<br />
f(t) dt, B n = 2 ∫T 1<br />
f(t) · cos(nω 1 t) dt.<br />
1 ✡ ✠<br />
T 1 T 1<br />
✲ t<br />
0<br />
0<br />
1.1.1 Beispiele zur Fourier-Analyse<br />
1. Reine sin 2 -Funktion<br />
f(t)<br />
f(t) = sin 2 (ω t + π/4), T 1 = T/2 = π/ω = 2π/ω 1 ,<br />
T 1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2. Sägezahnkurve<br />
f(t)<br />
1 ✻<br />
✁<br />
✁ ❆ ❆<br />
0<br />
-1<br />
❆<br />
❆<br />
❆ ❆✁<br />
✁ ✁ ✁<br />
✛<br />
✁ ✁❆ ❆<br />
❆<br />
t<br />
f(t) = 1 2 (1 + sin 2ω t) = 1 2 + 1 sin 2ω t.<br />
2<br />
Diese Bewegung enthält nur die nullte Schwingung <strong>und</strong> die<br />
Gr<strong>und</strong>schwingung ω 1 = 2ω.<br />
Mit Gl. (5) <strong>und</strong> f(t) = 1 − 4t/T 1 für 0 < t < T 1 /2;<br />
sowie f(t) = −1 + 4t/T 1 − 2 für T 1 /2 < t < T 1 erhält man<br />
✲<br />
T 1<br />
✁ ✁❆ A ◦ = 0, B n = 8<br />
❆<br />
π 2 n 2, C n = 0,<br />
✁ ✲ t<br />
❆<br />
❆ ✁ ✁ da f(t) eine gerade Funktion ist, nur cos-Terme<br />
❆✁<br />
f(t) = 8 [cosω<br />
π 2 1 t + 1 9 cos 3ω 1t + 1 ]<br />
25 cos 5ω 1t + · · ·<br />
∫ T1<br />
2 aus ∫ T 1<br />
∫ T1<br />
f(t)dt = A<br />
0 0 T 1 , f(t) · cos(mω<br />
0 1 t)dt = B n T 1 /2, f(t) · sin(mω<br />
0 1 t)dt = C n T 1 /2,<br />
alle Terme mit ungeraden Potenzen von sin <strong>und</strong> cos in den Summen verschwinden im Integral, <strong>und</strong><br />
nur die quadratischen Terme mit m = n ergeben T 1 /2.<br />
4
✻<br />
A(ω)ω<br />
Das Amplitudenfrequenzspektrum der einzelnen Fourier-<br />
Komponenten A(ω) ist durch den Koeffizienten B n = 8<br />
π 2 n 2<br />
mit ω = nω 1 gegeben. Es ist ein Linienspektrum. Die Oberschwingungen<br />
✲ ω<br />
sterben schnell ∝ 1/n 2 aus, die Sägezahnkur-<br />
ve ähnelt einer cos-Kurve.<br />
3. Rechteckkurve<br />
f(t)<br />
1 ✻<br />
✛ T 1✲<br />
Mit Gl. (6) ist A ◦ = B n = 0, C n = 4 , n = 1, 3, 5, ...<br />
n<br />
f(t) = 4 π<br />
[<br />
sin ω 1 t + 1 3 sin 3ω 1 t + 1 ]<br />
5 sin 5ω 1 t + · · ·<br />
0<br />
✲ t<br />
mit ω 1 = 2π<br />
T 1<br />
. Die ungerade Rechteckkurve enthält nur<br />
-1<br />
sin-Terme, mit einer Phasenverschiebung T 1 /4 würde man<br />
dasselbe Ergebnis nur mit cos-Termen erhalten.<br />
A(ω)<br />
✻<br />
Das Amplitudenfrequenzspektrum der Rechteckkurve<br />
nimmt ∝ 1/n langsamer für die Oberschwingungen ab als<br />
das der Sägezahnkurve, da die Rechteckkurve einer reinen<br />
✲ ω harmonischen cos-Kurve weniger ähnlicher ist.<br />
ω 1 3ω 1 5ω 1 7ω 1<br />
4. Analogien in der Atomphysik <strong>und</strong> Teilchenphysik<br />
Elektronen der Atome eines Festkörpers (z.B. mit regelmässiger Kristallstruktur)<br />
können als eine Kopplung von einer sehr grossen Zahl identischer Oszillatoren angesehen<br />
werden. Sie haben daher eine unendlich dichte Folge von Normalschwingungen, die<br />
das Leitungsband <strong>und</strong> das Valenzband des Festkörpers bilden (Kap. ??).<br />
N❤<br />
✏ H ❤<br />
❤H ✏ ✏✏✏✏ ✄ ❍ d ❄ ✄ ❍❍❍❍ ✄<br />
H ❤<br />
✄<br />
✏ H ❤<br />
❤H ✏ ✏✏✏✏ ✄ ✻<br />
❍ ✄ ❍❍❍❍ d ✄<br />
❤<br />
✄<br />
N❤<br />
H<br />
Ammoniak NH 3 kann das Stickstoffatom in zwei identischen<br />
Zuständen oberhalb <strong>und</strong> unterhalb der drei<br />
Wasserstoffatome angeordnet haben. Oben <strong>und</strong> unten<br />
sind durch die Richtung des elektrischen Dipolmomentes<br />
dieses polaren Moleküles definiert. Durch<br />
den quantenmechanischen Tunneleffekt, analog zu einer<br />
sehr schwachen Feder, tunnelt das N-Atom<br />
zwischen den beiden Zuständen, deren Entartung damit aufgehoben wird. Dieses System<br />
findet als Ammoniak-Maser eine messtechnische Anwendung.<br />
Es gibt etliche ähnliche Systeme wie Methylalkohol CH 3 OH mit 3 entarteten<br />
Zuständen, den Stark-Effekt (Aufspaltung durch Kopplung von Atomzuständen in einem<br />
elektrischen Feld), u.a. In der Teilchenphysik ist die Oszillation zwischen dem neutralen<br />
K ◦ <strong>und</strong> seinem Antiteilchen K ◦ infolge der schwachen Wechselwirkung als Kopplung ein<br />
bekanntes Beispiel eines Systems mit zwei Zuständen. Nach der Neutrinooszillation ν ↔ ¯ν<br />
wird seit langem gesucht.<br />
1.2 Die Wellengleichung<br />
Eine einseitig befestigte, unendlich lange Kette von gekoppelten<br />
Oszillatoren sei in Ruhe. Sind die Oszillatoren<br />
∼∼∼ ❤ ∼∼∼ ❤ ∼∼∼ ❤ ∼∼∼ ❤ ∼∼∼· · ·<br />
✲ genügend klein, dann gehört zu jeder Ortskoordinate x<br />
x<br />
0<br />
die Gleichgewichtslage des Oszillators.<br />
Wird der 1. Oszillator gestört, aus seiner Ruhelage ausgelenkt, dann überträgt sich die<br />
Störung sukzessive auf die nächsten <strong>und</strong> sie breitet sich längs der x-Achse mit einer<br />
charakteristischen Geschwindigkeit v aus. Diese zeitliche <strong>und</strong> räumliche Ausbreitung einer<br />
5
Störung nennt man eine eindimensionale Welle. Sie transportiert Energie, ohne dass<br />
u(x,t)<br />
damit ein Materietransport verb<strong>und</strong>en ist.<br />
✻ ✒ t ✄ ✄ <br />
✂ ✁<br />
Quantitativ beschreibt man die Welle durch eine<br />
t ◦+∆t<br />
<br />
✟ ✟✟✟✟✟ ✟ ✟✟✟✟✟<br />
✁ ✂ Funktion u(x,t), die Erregung (siehe die dreidimensionale<br />
Figur). Im obigen Beispiel gibt u(x,t) die<br />
<br />
✄ ✄ <br />
t ◦ ✂ ✁<br />
✁ ✟ ✂✟<br />
✟✟✟✟✟<br />
<br />
✲ Verschiebung des Massenpunktes mit der Gleichgewichtslage<br />
x zur Zeit t an.<br />
x<br />
x ◦ x ◦+∆x<br />
Nimmt man an, dass sich eine Störung in ihrer ursprünglichen Form ungeändert längs der<br />
x-Achse ausbreitet (keine Dispersion), dann muss gelten<br />
∆x<br />
u(x + ∆x, t + ∆t) = u(x, t) mit lim<br />
∆t→0 ∆t = dx<br />
dt = v<br />
der Geschwindigkeit der Welle.<br />
Diese Bedingung wird erfüllt, wenn für jedes x <strong>und</strong> t die Verknüpfung gilt<br />
u(x,t) = u(x − vt) ,<br />
denn u(x+∆x, t+∆t) = u(x+∆x−vt−v∆t) = u(x−vt). Damit ist (x−vt) =konst. <strong>und</strong><br />
dx −vdt = 0, d.h. dx = v. Für eine Welle, die sich in der negativen x-Richtung fortpflanzt<br />
dt<br />
ist analog<br />
u(x,t) = u(x + vt).<br />
Ist die ursprüngliche Störung harmonisch, dann ist die resultierende Welle ebenfalls<br />
harmonisch u(x,t) = A sin[k(x ∓ vt) + δ] = A sin[kx ∓ ωt + δ]<br />
mit dem negativen Vorzeichen für eine nach rechts <strong>und</strong> dem positiven Vorzeichen für eine<br />
nach links laufende Welle. A ist die Amplitude, das Argument [k(x ∓ vt) + δ] die Phase<br />
<strong>und</strong> δ die Phasenkonstante.<br />
k ist die Wellenzahl mit der Dimension [1/m]. Da die Erregung u von den zwei<br />
Variablen x <strong>und</strong> t abhängt, kann die Welle statt wie oben dreidimensional auch mit zwei<br />
Darstellungen skizziert werden:<br />
u(x, t o )<br />
u(x o , t)<br />
T<br />
λ<br />
δ x<br />
ο<br />
k<br />
Momentanbild: t=to = konst.<br />
δ'<br />
ο<br />
ω<br />
Zeitbild: x=x o = konst.<br />
t<br />
u(x,t ◦ ) = A sin(kx − δ ◦ ),<br />
δ ◦ = −(δ ∓ kvt ◦ )<br />
mit der räumlichen Periode λ = 2π/k, also<br />
k = 2π/λ [1/m].<br />
λ ist die Wellenlänge.<br />
u(x ◦ ,t) = A sin(∓ωt − δ ′ ◦),<br />
δ ′ ◦ = −(δ + kx ◦ )<br />
mit der Periode<br />
T = 2π/kv = 2π/ω = 1/ν,<br />
also kv = v · 2π/λ = 2πν = ω.<br />
Die Geschwindigkeit der Welle ist v = λ T = νλ = ω k .<br />
Harmonische Wellen können so beschrieben werden durch<br />
6
u(x,t)=A · sin k(x − vt) bzw. A · cos k(x − vt)<br />
u(x,t)=A · sin (kx − ωt) bzw. A · cos (kx − ωt)<br />
( 2π<br />
u(x,t)=A · sin<br />
λ x − 2π )<br />
( 2π<br />
T t bzw. A · cos<br />
λ x − 2π )<br />
T t<br />
u(x,t)=R { A e i(kx−ωt)} usw.<br />
Da in jeder Welle x <strong>und</strong> t nur in der Kombination x ∓vt auftritt, kann für u(x,t) eine<br />
partielle Differentialgleichung aufgestellt werden. Mit der Substitution w = x − vt <strong>und</strong><br />
zweimal partiell differenzieren von u(w) nach t <strong>und</strong> x erhält man:<br />
∂u<br />
∂t = du ∂w<br />
dw ∂t<br />
= −v<br />
du<br />
dw ,<br />
∂ 2 u<br />
∂t = −v d2 u ∂w<br />
2 dw 2 ∂t = d2 u<br />
+v2 dw 2,<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 = d2 u<br />
dw 2 . Damit gilt3 die Wellengleichung<br />
∂u<br />
∂x = du ∂w<br />
dw ∂x = du<br />
dw ,<br />
v 2∂2 u<br />
∂x 2 = ∂2 u<br />
∂t 2 v = konst. (7)<br />
Jede Funktion der Form u(x − vt) ist somit eine Lösung der Wellengleichung, sofern die<br />
Geschwindigkeit eine Konstante ist <strong>und</strong> nicht von der Amplitude (z.B. Wasserwelle) oder<br />
der Frequenz (Dispersion des Lichtes) abhängt.<br />
Für die Wellengleichung (7) werden im folgenden einige Beispiele diskutiert.<br />
1.3 Wellen in verschiedenen Medien<br />
1.3.1 Transversale Wellen einer Saite<br />
u ✻u(x,t)<br />
Eine dünne unbegrenzte Saite mit der Massenbelegung µ in [kg/m]<br />
❄<br />
✛Z ⌢⌣ ✲Z ✲ x<br />
wird durch eine Kraft Z gespannt. Eine Transversalwelle längs<br />
✻ der x-Achse hat das in der Figur skizzierte Momentanbild.<br />
Die Newton’sche transversale Bewegungsgleichung eines Elementes dx der Saite ist<br />
µ dx ∂2 u<br />
∂t 2 = [Z sin α] x+dx − [Z sin α] x (8) <strong>und</strong> 0 = [Z cos α] x+dx − [Z cos α] x (9)<br />
für die festgehaltene longitudinale Bewegung mit µ dx = dm. Für kleine Auslenkungen ist<br />
u<br />
✻<br />
[Z sin α] x+dx<br />
✛<br />
[Z cos α] ✘✘✘✻ ✲<br />
x<br />
α ❄ [Z sin α] [Z cos α]<br />
✘✾✘ ✘<br />
✘ ✘ ✘✿ Z<br />
Z<br />
x+dx<br />
x<br />
x<br />
x + dx<br />
⇒<br />
✲ x<br />
∂ 2 u<br />
∂t 2 = Z µ<br />
sin α ≈ tanα = ∂u<br />
∂x<br />
, cos α ≈ 1, <strong>und</strong> mit Gl. (9) ist<br />
Z(x + dx) = Z(x) =konst. eingesetzt in Gl. (8) ergibt<br />
[( )<br />
µ dx ∂2 u ∂u<br />
∂t = Z −<br />
2 ∂x<br />
x+dx<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2<br />
Wellengleichung<br />
der Saite<br />
( ) ] ∂u<br />
= Z ∂2 u<br />
∂x ∂x 2dx ;<br />
x<br />
mit der Wellengeschwindigkeit v aus Gl. (7).<br />
Der Ansatz u(x,t) = u(x − vt) = u(w) mit w = x − vt ist, wie mit Gl. (7) gezeigt<br />
wurde, Lösung der Wellengleichung mit einer Geschwindigkeit v ∝ √ Z. Dies zeigen z.B.<br />
die Eigenschaften von Saiteninstrumenten mit stehenden Wellen. Streicher im Orchester<br />
stimmen die Instrumente durch Z-Variation. In der Detektortechnologie kann die mechanische<br />
Drahtspannung von Vieldrahtkammern mit der Drahtfrequenz gemessen werden.<br />
3 identisch für w = x + vt<br />
v =<br />
√<br />
Z<br />
µ<br />
(10)<br />
7
1.3.2 Longitudinale Wellen in einem dünnen Stab<br />
A<br />
σ(x) ✛<br />
u(x)<br />
x<br />
✲<br />
ρAdx<br />
} {{ }<br />
dm<br />
σ(x + dx)<br />
✲<br />
✲ u(x+dx)<br />
✲ x<br />
Ist ρ die Dichte eines dünnen unbegrenzten Stabes mit<br />
dem Querschnitt A <strong>und</strong> dem Elastizitätsmodul E, dann<br />
ist die Newton’sche longitudinale Bewegungsgleichung<br />
mit σ(x) der Normalspannung im Stab an der Stelle x<br />
<strong>und</strong> A ≈ konst.<br />
x + dx<br />
∂ 2 u<br />
∂t = [Aσ] 2 x+dx − [Aσ] x = A σ x+dx − σ x<br />
dx<br />
dx<br />
⇒ ρAdx ∂2 u<br />
∂t = A∂σ 2 ∂x dx .<br />
Die Dehnung des Stabelementes dx ist ǫ = ∂u . Aus dem Hook’schen Gesetz mit<br />
∂x<br />
ǫ = ∂u<br />
∂x = σ(x)<br />
E<br />
folgt<br />
∂ 2 u<br />
∂t = E ∂ 2 u<br />
2 ρ ∂x 2<br />
∂σ<br />
∂x = u<br />
E∂2 ∂x 2<br />
<strong>und</strong> mit der Bewegungsgleichung<br />
die Wellengleichung des<br />
longitudinalen Schalls im Stab v l =<br />
√<br />
E<br />
ρ<br />
Analog ist eine tranversale Welle in einem Stab durch die Wellengeschwindigkeit<br />
(11)<br />
charakterisiert v t =<br />
√<br />
G<br />
ρ<br />
mit dem Schubmodul G =<br />
E<br />
2(1 + m) , Poissonzahl m<br />
In Messing ist z.B. mit E = 9.8 · 10 6<br />
cm N , m = 0.38, G = 3.5 · 10 10 N 2 m , ρ = 8.3 · 10 3 kg<br />
2 m , 3<br />
v t = 2.06·10 3 m/s <strong>und</strong> v l = 3.52·10 3 m/s in guter Übereinstimmung mit dem gemessenen<br />
Wert v exp<br />
l = 3.33 ·10 3 m/s für die Schallgeschwindigkeit, die damit zehnmal grösser ist als<br />
in Luft.<br />
1.3.3 Longitudinale Wellen in Gasen <strong>und</strong> Flüssigkeiten<br />
In Gasen gibt es keine Scherspannungen τ, daher können keine transversalen sondern nur<br />
longitudinale Wellen mit Verdichtungen <strong>und</strong> Verdünnungen auftreten. Der Einfluss einer<br />
Druckänderung auf ein Volumenelement V = a · b · l ist<br />
✏✏ ✟ ✟<br />
dp dV<br />
✲ ✛ b<br />
✟a<br />
l dl<br />
V = abdl<br />
abl<br />
= −k dp = k σ mit k = Gaskompressibilität.<br />
Im Stab [Kap. 1.3.2] war die relative Dehnung ǫ = du<br />
dx = σ E<br />
<strong>und</strong> v = √ E<br />
, damit ist mit ǫ = dl/l = kσ für das Gas v = √ 1<br />
. Was ist jedoch im<br />
ρ kρ<br />
Gas die Kompressibilität? Da die Schallausbreitung im Gas schnell ist <strong>und</strong> keine Wärme<br />
ausgetauscht werden kann, ist der Prozess adiabatisch <strong>und</strong> für ein ideales Gas gilt dann<br />
pV κ = konst.,<br />
κ = c p<br />
c V<br />
⇒ dpV κ + pκV κ−1 dV = 0, dp + pκ dV V = 0<br />
⇒ dp + pκ(−k dp) = 0 ⇒ k = 1<br />
κp<br />
<strong>und</strong> damit<br />
v =<br />
√<br />
1<br />
kρ = √ pκ<br />
ρ = λν<br />
die Schallgeschwindigkeit<br />
in einem Gas.<br />
8
Schallgeschwindigkeit in einigen Gasen einatomig<br />
κ = 5/3, zweiatomig κ = 7/5, dreiatomig κ = 8/6<br />
Gas ρ κ theor κ/ρ<br />
√<br />
v/v Luft<br />
kg/m 3 m 3 /kg κ/ρ<br />
He 0.178 1.67 9.38 3.06 2.94<br />
H 2 0.090 1.40 15.6 3.95 3.79<br />
CO 2 1.977 1.33 0.67 0.82 0.79<br />
SF 6 6.602 1.33 0.20 0.45 0.43<br />
N 2 1.250 1.40 1.12 1.06 1.02<br />
Luft 1.293 1.40 1.08 1.04 1.00<br />
Freon 5.000 1.33 0.27 0.52 0.50<br />
Für Luft z.B. ist T = 273 K,<br />
p = 1.015 · 10 5 N m 2 , κ = 1.4<br />
ρ = 1.29 kg/m 2 , v = 332 m/s.<br />
Anwendung z.B. akustisches<br />
Thermometer mit Resonanzmessung<br />
einer stehenden Welle zwischen<br />
einem Schwingquarz <strong>und</strong><br />
Reflektor v =<br />
√<br />
cp<br />
c V<br />
RT<br />
M = λν,<br />
gut bei T = 2 · · · 20 K mit Korrektur<br />
für reale Gase.<br />
Ist für eine Schallwelle λ < 2·Atomabstand (Hyperschall), dann spricht man auch von<br />
einer Wärmewelle.<br />
1.3.4 Elektrische Drahtwellen (Lecherleitung, Koaxkabel) †<br />
Entlang von zwei langen, parallelen Drähten (Lecherleitung) oder in einem Koaxkabel<br />
können elektrische Wellen übertragen werden. C ′ <strong>und</strong> L ′ sind die Kapazität <strong>und</strong> die<br />
❜ ∼∼∼∼∼ ❜<br />
U(x)<br />
L ′ Selbstinduktion des Leiters pro Längeneinheit. Aus den Kirchhoffschen<br />
Regeln folgt für das angegebene Ersatzschaltbild<br />
dx<br />
U(x + dx)<br />
I(x) C ′ dx I(x + dx) mit I = I(x,t), U = U(x,t), I = dQ = ∂U · C ′ dx <strong>und</strong><br />
❜<br />
❜<br />
dt ∂t<br />
Lecherleitung ✲ U = −L ∂I [Gl. ??]:<br />
x<br />
∂t<br />
I(x) = I(x + dx) + ∂U(x) · C ′ dx <strong>und</strong> − L ′∂I(x) dx = U(x + dx) − U(x)<br />
∂t<br />
∂t<br />
[ ]<br />
I(x + dx) − I(x)<br />
⇒ −<br />
= C ′∂U(x) ; <strong>und</strong> − ∂I(x) = 1 [ ]<br />
U(x + dx) − U(x)<br />
dx<br />
∂t<br />
∂t L ′ dx<br />
<strong>und</strong> damit<br />
− ∂I(x)<br />
∂x<br />
= C′∂U(x) ; <strong>und</strong> − ∂I(x)<br />
∂t<br />
∂t<br />
= 1 L ′ ∂U(x)<br />
∂x<br />
Durch differenzieren der beiden gekoppelten Differentialgleichungen nach ∂ ∂t <strong>und</strong> ∂<br />
∂x <strong>und</strong><br />
subtrahieren erhält man eine partielle Differentialgleichung nur für U oder I:<br />
mit<br />
∂ 2<br />
∂t∂x = ∂2<br />
∂x∂t ⇒ − ∂2 I<br />
∂x∂t = C′∂2 U<br />
∂t 2 = − ∂2 I<br />
∂t∂x = 1 L ′ ∂ 2 U<br />
∂x 2 ⇒ ∂2 U<br />
∂t 2 = 1<br />
L ′ C ′ ∂ 2 U<br />
∂x 2 .<br />
Dies ist eine Wellengleichung mit v = 1/ √ L ′ C ′ . Für eine Koaxleitung mit einem zylindrischen<br />
Innenleiterdurchmesser von 2r 1 <strong>und</strong> einem Aussenleiterdurchmesser von 2r 2<br />
ist<br />
2r 1<br />
C ′ =<br />
C<br />
Länge =<br />
Koaxialkabel Dipolkabel<br />
★✥ ✞<br />
<br />
☎<br />
❄ ✻<br />
1 2r 2<br />
✻<br />
✧✦❄<br />
✝<br />
<br />
✆<br />
2πε 0ε<br />
ln(r 2 /r 1 ) ; L′ = L<br />
Länge = µ 0µ<br />
2π ln(r 2/r 1 )<br />
⇒ v =<br />
√<br />
1<br />
L ′ C ′ =<br />
1<br />
√<br />
µ0 µε 0 ε = c √ 1 (12) µε<br />
9
Diese Wellengeschwindigkeit ist nur scheinbar unabhängig von der Frequenz, i.a. ist<br />
zwar µ = µ(ω) ≈ 1 aber es ist ε = ε(ω) ≠ 1 <strong>und</strong> damit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
von der Frequenz abhängig <strong>und</strong> die elektromagnetische Welle in einem Kabel zeigt √ eine<br />
Dispersion, das Wellenpaket läuft auseinander. Für das Vakuum ist v = c = 1/µ 0 ε 0<br />
[siehe Gl. (24) in Kap. 2.1.3].<br />
1.3.5 Der Wellenwiderstand einer Drahtleitung †<br />
Berücksichtigt man für ein Koaxkabel oder eine Lecherleitung auch die Ohm’schen Widerstände<br />
längs der Leitung R <strong>und</strong> zwischen den beiden Leitungen R G , dann kann diese<br />
durch das folgende Ersatzschaltbild dargestellt werden 4 :<br />
❜<br />
R ∼∼∼∼∼ ❜<br />
U(x)<br />
L ′ dx<br />
R G C ′ U(x + dx)<br />
dx<br />
I(x)<br />
I(x + dx)<br />
❜<br />
❜<br />
Lecherleitung ✲ x<br />
R ′ , R ′ G, L ′ , C ′ sind die Ohm’schen Widerstände,<br />
Induktivität <strong>und</strong> Kapazität des Kabels pro<br />
Längeneinheit, es gilt dann mit G ′ = 1/R ′ G<br />
(Ableitung genannt)<br />
U(x) = U(x + dx) + I(x + dx)(R ′ + iωL ′ )dx<br />
<strong>und</strong> I(x) = I(x + dx) + U(x)(G ′ + iωC ′ )dx <strong>und</strong> mit lim<br />
dx→0<br />
I(x + dx) = I(x)<br />
⇒ dU(x) = −I(x)(R ′ + iωL ′ ) <strong>und</strong> dI(x)<br />
dx<br />
dx = −U(x)(G′ + iωC ′ )<br />
Durch differenzieren der ersten Gleichung nach x kann aus den beiden gekoppelten Differentialgleichungen<br />
eine Differentialgleichung für U aufgestellt werden<br />
d 2 U(x)<br />
dx 2 = U(x)(R ′ + iωL ′ )(G ′ + iωC ′ ) mit dem Lösungsansatz (γ komplex)<br />
U(x) = U 1 e γx + U 2 e −γx einsetzen ergibt γ 2 = (R ′ + iωL ′ )(G ′ + iωC ′ ).<br />
U 1 <strong>und</strong> U 2 werden durch die Randbedingungen (z.B. U(x = 0) = U 0 ) berechnet. Der<br />
Strom ist dann I(x) = − dU<br />
dx (R′ + iωL ′ ) −1 ⇒<br />
I(x) =<br />
γ (<br />
U1 e γx − U<br />
R ′ + iωL ′ 2 e −γx) = 1 √<br />
(<br />
U1 e γx − U 2 e −γx) R′ + iωL<br />
, Z = ′<br />
Z<br />
G ′ + iωC ′<br />
Z ist der Wellenwiderstand (Impedanz) des Kabels. Mit √ vernachlässigbaren Ohm’schen<br />
Widerständen R ′ = 0, R ′ G = ∞ damit G ′ = 0 ist Z = L ′ /C ′ scheinbar unabhängig von<br />
der Frequenz. Der Wellenwiderstand eines Kabels ist wichtig, um einen reflexionsfreien<br />
Abschluss zu gewährleisten.<br />
4 In der Elektrotechnik werden diese Schaltbilder effizient mit der Vierpoltheorie beschrieben. Der<br />
lineare Zusammenhang von U(x + dx) = U 2 , I(x + dx) = I 2 <strong>und</strong> U(x) = U 1 , I(x) = I 1 kann mit einer<br />
2 × 2-Matrix dargestellt werden. Für die Serien- <strong>und</strong> Parallelschaltung einer Impedanz Z gilt<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
Z<br />
U 1 U 2<br />
I 1 I 2<br />
❜<br />
⇒<br />
( ) (<br />
U2 1 −Z<br />
=<br />
I 2 0 1<br />
)(<br />
U1<br />
I 1<br />
)<br />
,<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
U 1 U 2<br />
Z<br />
I 1 I 2<br />
❜<br />
⇒<br />
( ) (<br />
U2 1 0<br />
=<br />
I 2 − 1 Z<br />
1<br />
Für z.B. ein L-R-Tiefpassfilter gilt mit Multiplikation der beiden Matrizen<br />
❜ ∼∼∼∼ ❜ ( ) ( )( )( ) (<br />
U 1 L U 2 U2 1 0 1 −iωL U1 1<br />
R ⇒ =<br />
I<br />
❜<br />
1 I<br />
❜<br />
2 I 2 − 1 R 1 = ( −iωL<br />
)<br />
0 1 I 1 − 1 R 1 +<br />
iωL<br />
R<br />
) (<br />
U1<br />
I 1<br />
)<br />
)(<br />
U1<br />
I 1<br />
)<br />
10
Das kommerzielle Z = 50 Ω Signalkabel RG-58 hat √ eine Kapazität C ′ = 101 pF/m,<br />
damit L ′ = Z 2 C ′ <strong>und</strong> eine Wellengeschwindigkeit v = 1/L ′ C ′ = 2·10 8 m/s. Z ist wichtig<br />
für reflexionsfreie Übertragungen schneller Signale (S. 15). Fernsehkoaxkabel haben Z =<br />
60 Ω, <strong>und</strong> Fernsehdipolkabel Z = 240 Ω.<br />
1.3.6 Wasserwellen<br />
Wasserteilchen einer Wasserwelle bewegen sich näherungsweise kohärent auf separaten<br />
Kreisen ohne einen Transport von Wasser in der Ausbreitungsrichtung. Die Wasseroberfläche<br />
ist keine exakte sin- oder cos-Funktion. Bei dieser Schwerewelle ist die Wassertiefe<br />
h ≫ λ die Wellenlänge. Mit dem Energiesatz eines Wasserteilchens auf einer Kreisbahn<br />
ist ohne Reibung <strong>und</strong> ohne Oberflächenspannung<br />
v<br />
★✥ 1 ✲= rω 1<br />
✻ 2 mv2 1 + mg2r = 1 2 mv2 2 ⇒ −v1 2 + v2 2 = 4gr<br />
r ✲<br />
v<br />
mit v<br />
✧✦<br />
1 = v − rω, v 2 = v + rω ist<br />
✛<br />
v 2 = −rω<br />
−(v − rω) 2 + (v + rω) 2 = 4gr = 4rωv<br />
√<br />
gλ<br />
⇒ v = g/ω <strong>und</strong> mit ω = 2πv/λ ⇒ v = Dispersion der Wasserwellen.<br />
2π<br />
Lange Wasserwellen laufen schneller, bei einem Steinwurf in das Wasser erreichen zuerst<br />
die langen Wellen das Ufer <strong>und</strong> ein ursprünglicher Wellenberg läuft auseinander (Dispersion).<br />
Für h ≪ λ, geringe Wassertiefe, ist v = √ g · h unabhängig von λ <strong>und</strong> die Welle<br />
hat keine Dispersion, ein Wellenberg bleibt im flachen Wasser erhalten (Solitonen 5 ). Die<br />
an der Küste auflaufenden, relativ niedrigen Wellen des offenen Meeres bauen sich auf,<br />
verstärken sich zusätzlich durch die verschwindene Dispersion <strong>und</strong> können sich schliesslich<br />
überschlagen (Brandung). An Flussmündungen können Solitonen entstehen, die mit<br />
einigen Meter Höhe viele Kilometer landeinwärts mit 15-25 km/h laufen 6<br />
Bei Kapillarwellen z.B. auf einer Seifenblase ist die rücktreibende Kraft die Oberflächenspannung<br />
σ <strong>und</strong> die Wellengeschwindigkeit ist<br />
v =<br />
√<br />
2πσ<br />
ρλ<br />
mit<br />
ρ der Dichte.<br />
Die Welle zeigt wieder Dispersion, nur laufen die langen Wellen jetzt langsamer.<br />
Formell kann in den Gleichungen die Wellengeschwindigkeit v beliebig gross gemacht<br />
werden, z.B. auch v > c der Lichtgeschwindigkeit. Nur im Koaxkabel ist mit Gl. (12)<br />
v = c/ √ µε < c begrenzt <strong>und</strong> erreicht nur für µ = ε = 1 die Lichtgeschwindigkeit c. Erst<br />
durch die Relativitätstheorie sind alle Geschwindigkeiten, die eine Energie transportieren,<br />
5 Scott Russels beobachtete 1834 in einem flachen Kanal eine Soliton-Welle, als ein Reiter in den Kanal<br />
stürzte.<br />
6 Gezeitenboren: Mascaret in der Seine von Le Havre bis Caudebec, im Amazonas, im Turnaginarm<br />
(Alaska), im Severn (Sharpnes bis Gloucester GB) [D.K.Lynch, Spektr.d.Wiss. Dez.1982,100]. Im Genfer<br />
See gibt es die Seichtwasserwellen Seiches bei z.B. Erdbeben. Es sind auch Solitonen in der Atmosphäre<br />
beobachtet worden [M.Springer Spekt.d.Wiss., Febr.1991, 24]<br />
11
mit v ≤ c begrenzt. Die mögliche Phasengeschwindigkeit v Phase > c z.B. in einem Hochfrequenzwellenleiter<br />
wird in Kap. 1.9 diskutiert. Bei Wellen in Materie ist ein beliebig kleines<br />
µ oder ρ mit einer unveränderten Zugspannung oder Elastizitätsmodol nicht herstellbar,<br />
da µ mit Z <strong>und</strong> ρ mit E miteinander gekoppelt sind. Die Wellengeschwindigkeiten sind<br />
daher auf v ≪ c begrenzt.<br />
1.4 Stehende Wellen<br />
Im Experiment beobachtet man bei einer rechts <strong>und</strong> links fest eingespannten Saite (Geige)<br />
oder an einem Gummiseil stehende Wellen mit einer Gr<strong>und</strong>schwingung <strong>und</strong> Oberschwingungen<br />
mit einem ganzzahligen vielfachen der Gr<strong>und</strong>schwingung, diese werden im<br />
folgenden aus Lösungen der Wellengleichung berechnet.<br />
Die Erregung u(x,t) einer eindimensionalen Welle gehorcht der Wellengleichung (7)<br />
∂ 2 u<br />
∂t = u<br />
2 v2∂2<br />
∂x 2<br />
mit den Anfangs- <strong>und</strong> Randbedingungen.<br />
Die spezielle Form der Lösung u(x,t) = u(x ± vt) hängt von der Art <strong>und</strong> Weise ab, mit<br />
der die Welle erzeugt wird <strong>und</strong> auch von der Begrenzung des linearen Gebildes, das die<br />
Welle überträgt. Für eine mit Z gespannte Saite der Länge l <strong>und</strong> der Massenbelegung<br />
Z<br />
Z<br />
µ ist mit Gl. (10) v =<br />
√<br />
Z<br />
µ .<br />
Da die Saite an den Rändern festgehalten wird, müssen die Lösungen der Wellengleichung<br />
den Randbedingungen u(x = 0,t) = u(x = l,t) = 0 für alle t genügen.<br />
Die partielle Differentialgleichung Gl. (10) hängt von den beiden Variablen x <strong>und</strong> t<br />
ab, man kann daher mit dem Produktansatz u(x,t) = G(x) · F(t)<br />
versuchen, die Variablen zu separieren. Man erhält durch Einsetzen in Gl. (10) mit<br />
∂u<br />
∂t = G(x)dF dt ,<br />
∂u<br />
∂x = F(t)dG dx ,<br />
⇒ G(x) d2 F<br />
dt 2 = v2 F(t) d2 G<br />
dx 2 mit × 1<br />
v 2 GF<br />
∂ 2 u<br />
∂t = F<br />
2 G(x)d2 dt , 2<br />
⇒<br />
∂ 2 u<br />
∂x = G<br />
2 F(t)d2 dx 2<br />
1 d 2 F<br />
v 2 F(t) dt = 1 d 2 G<br />
2 G(x) dx = 2 −a2 .<br />
Die linke Seite dieser Gleichung hängt nur von t <strong>und</strong> die rechte nur von x ab; sie kann nur<br />
für beliebige Werte von x <strong>und</strong> t erfüllt werden, wenn beide Seiten gleich einer Konstanten<br />
−a 2 sind. Damit die Erregung immer endlich bleibt, d.h. keine exponentiell ansteigende<br />
Lösung hat, muss die Konstante negativ sein. Damit erhält man zwei gewöhnliche<br />
Differentialgleichungen für F <strong>und</strong> G (Anhang C.2 Dgl. Nr.5 ) :<br />
d 2 F(t)<br />
dt 2 + a 2 v 2 F(t) = 0 <strong>und</strong> d2 G(x)<br />
dx 2 + a 2 G(x) = 0 mit den Lösungen<br />
F(t) = C sin ωt + D cos ωt <strong>und</strong> G(x) = A sin kx + B cos kx, wobei a = k = ω/v .<br />
Mit den Randbedingungen u(x = 0,t) = 0 <strong>und</strong> u(x = l,t) = 0 für alle t muss gelten<br />
1. B = 0 wegen cos[k(x = 0)] = 1<br />
2. kl = n · π, n = 1, 2, . . . ganze Zahl, wegen sin[k(x = l)] = 0 mit A ≠ 0.<br />
Die Wellenzahl kann infolge der Randbedingungen nur die diskreten Werte annehmen<br />
√<br />
Z<br />
µ = n · ω 1<br />
k = k n = nπ l<br />
⇒ ω n = k n v = nπ l<br />
12
Dies ist die gleiche Eigenschaft, die wir für gekoppelte Schwingungen mit unendlich<br />
vielen Oszillatoren S. 3 erhalten hatten. Die allgemeine Lösung der stehenden Welle ist<br />
also auch hier eine Überlagerung (Superposition) von unendlich viele Oberschwingungen,<br />
also mit u(x,t) = G(x) · F(t) <strong>und</strong> F n (t) = C n sin ω n t + D n cos ω n t = A n cos(ω n t + δ n )<br />
∞∑<br />
( ) nπx<br />
u(x,t) = A n cos(nω 1 t + δ n ) · sin , mit ω 1 = π √<br />
Z<br />
n=1<br />
l<br />
l µ . (13)<br />
Die Frequenzen der Obertöne einer Saite sind ganze Vielfache der Gr<strong>und</strong>frequenz.<br />
Andere schwingungsfähige Gebilde in zwei Dimensionen wie<br />
Platte 7 , Membrane oder in drei Dimensionen wie Stäbe, Kugeln, Seifenbasen,<br />
Hochfrequenzkavitäten, in denen stehende Wellen erzeugt werden<br />
können, besitzen eine zwei- oder dreifach unendliche Manigfaltigkeit von<br />
Obertönen, deren Frequenzen aber im allgemeinen keine ganzen Vielfache<br />
der Gr<strong>und</strong>frequenz sind. Eine kreisförmige Membran z.B. besitzt die<br />
Eigenfrequenzen ω 1 , 1.59ω 1 , 2.13ω 1 , 2.30ω 1 , 2.62ω 1 , usw. Wird ein solches<br />
System mit einer harmonische Kraft angeregt, dann tritt bei jeder<br />
Eigenfrequenz eine Resonanz auf.<br />
Die Lösung der stehenden Welle Gl. (13) kann umgeformt werden mit<br />
2 cos α sin β = sin(α + β) + sin(α − β) <strong>und</strong> δ n = 0 in<br />
u(x,t) =<br />
∞∑<br />
n=1<br />
A n<br />
2 [− sin k n(x − vt) + sin k n (x + vt)]<br />
einer nach rechts laufenden <strong>und</strong> einer nach links laufenden Welle gleicher Amplitude.<br />
Eine stehende Welle kann immer als eine Überlagerung von zwei<br />
gegenläufigen Wellen gleicher Amplitude aufgefasst werden.<br />
1.5 Reflexion <strong>und</strong> Transmission von Wellen<br />
Treffen Wellen auf eine Diskontinuität im Medium, in welchem sie sich ausbreiten, so<br />
werden sie im allgemeinen teilweise reflektiert <strong>und</strong> teilweise hindurchgelassen. Als Beispiel<br />
betrachten wir eine Saite, deren Masse pro Längeneinheit µ sich an der Stelle x = 0<br />
7 Die Klangfiguren (Abb.) einer Platte wurden von Ernst Chladni (1756-1827, Prof. in Wittenberg)<br />
vorgeführt. Einen Preis für die Theorie erhielt 1816 Sophie Germain (1.4.1776-1831, Medaille des <strong>Institut</strong><br />
de France für Arbeiten zu Fermats Vermutung, die 1997 bewiesen wurde; durfte als erste nicht mit<br />
einem Mitglied verheiratete Frau Vorlesungen der Académie des Sciences zuhören.) unter dem Namen<br />
eines männlichen Kollegen als Pseudonym Antoine-August Le Blanc [S.Singh “Fermats letzter Satz”]. Die<br />
Eigenfrequenzen sind ω nm = πv ph a −1√ n 2 + m 2 mit n,m ganzen Zahlen. Es treten also Entartungen auf<br />
(gleiche Eigenfrequenzen für verschieden Eigenfunktionen). Im Raum führen Entartungen zu Nachhall,<br />
da der Raum dann viele Schwingungsmöglichkeiten hat. Ein guter Konzertsaal vermeidet Entartungen<br />
mit dem Goldenen Schnitt a/b = 1 2 (√ 5 − 1) (Grenzwert der Fibonacci-Folge a b , b<br />
a+b ,...).<br />
Klangfiguren von Geigenböden sind Beurteilungskriterien der Güte eines Instrumentes [C.M.Hutchins,<br />
Spektrum Dez.1981 S.112].<br />
13
✛<br />
A B ✲<br />
µ 1 µ 2<br />
✲ C<br />
sprunghaft ändert. Es ist dann:<br />
v 1 =<br />
√<br />
Z<br />
µ 1<br />
für x ≤ 0 <strong>und</strong> v 2 =<br />
√<br />
Z<br />
µ 2<br />
für x ≥ 0.<br />
0<br />
✲ x<br />
Eine Welle A, die von links kommt, werde bei x = 0 zum<br />
Teil reflektiert B <strong>und</strong> zum Teil durchgelassen C.<br />
Es gilt also als Versuch eines Ansatzes 8 der Lösung der Wellengl. (10)<br />
für x ≤ 0 : u 1 (x,t) = A e i(k 1x−ωt) + B e i(−k 1x−ωt)<br />
einlaufende + reflektierte<br />
für x ≥ 0 : u 2 (x,t) = C e i(k 2x−ωt)<br />
durchlaufende Welle.<br />
An der Stelle x = 0 sind die Randbedingungen zu erfüllen u 1 (x = 0,t) = u 2 (x = 0,t) d.h.<br />
Stetigkeit, da sonst die Saite an der Nahtstelle x = 0 der beiden Saiten zerrissen wird,<br />
<strong>und</strong> eine stetige Tangente<br />
( ) ∂u1<br />
=<br />
∂x<br />
x=0,t<br />
( ) ∂u2<br />
∂x<br />
x=0,t<br />
da sonst die Zugkraft Z ∝ ∂2 u<br />
∂t = u<br />
2 v2∂2 unendlich wird.<br />
∂x2 Einsetzen der Ansätze in die Randbedingungen bestimmt die Konstanten B/A, C/A :<br />
u( 1 (x)<br />
= 0,t) = A e i(−ωt) + B e i(−ωt) = u 2 (x = 0,t) = C e i(−ωt) ⇒ A + B = C <strong>und</strong><br />
∂u1<br />
= A ·ik ∂x<br />
1 e i(−ωt) −B ·ik 1 e i(−ωt) = ( )<br />
∂u 2<br />
= C ·ik<br />
x=0,t ∂x<br />
2 e i(−ωt) ⇒ Ak 1 +Bk 1 = Ck 2<br />
x=0,t<br />
⇒ B = A k 1 − k 2<br />
k 1 + k 2<br />
, C = A 2k 1<br />
k 1 + k 2<br />
,<br />
√ µ1<br />
k 1 = ω<br />
Z ,<br />
√ k µ2<br />
2 = ω<br />
Z .<br />
1. B kann gegenüber A das Vorzeichen wechseln (Phasensprung π), wenn k 1 < k 2<br />
oder v 1 > v 2 gilt, also kann für die reflektierte Welle geschrieben werden mit<br />
B < 0, B ′ = −B > 0 <strong>und</strong> e iπ = −1, B e i(−k 1x−ωt) = B ′ e i(−k 1x−ωt+π)<br />
Dieser Phasensprung gilt ganz allgemein, z.B. für die Reflexion von Lichtwellen am optisch<br />
dichteren Medium (n 2 > n 1 ).<br />
2. Für k 1 > k 2 , d.h. λ 1 < λ 2 oder v 1 < v 2 hat die Amplitude B dasselbe Vorzeichen<br />
wie das der einfallenden Welle d.h. reflektierte <strong>und</strong> einfallende Welle sind phasengleich.<br />
3. Ist das Ende offen d.h. k 2 = 0, µ 2 = 0, v 2 = ∞ <strong>und</strong> λ = ∞, dann ist B = A (wegen<br />
k 2 = 0 ist u 2 = 2A e −iωt keine durchlaufende Welle) <strong>und</strong> es tritt Totalreflexion auf:<br />
u 1 = u 0 + u refl = A[cos(k 1 x − ωt) + cos(k 1 x + ωt)] = 2A cos k 1 x · cos ωt.<br />
Dies ist eine stehende Welle oder Schwingung.<br />
4. Für das Ende als feste Wand mit einer unendlich schweren Massenbelegung gilt<br />
k 2 = ∞, µ 2 = ∞, v 2 = 0, λ = 0 mit einer Phasenumkehr der reflektierten Welle B = −A.<br />
B = A k 1 − k 2<br />
= A k 1/k 2 − 1<br />
k 1 + k 2 k 1 /k 2 + 1<br />
k 2 →∞<br />
=⇒<br />
− A<br />
u 1 = u 0 + u refl = A[cos(k 1 x − ωt) − cos(k 1 x + ωt)] = +2A sin k 1 x · sin ωt,<br />
wieder eine stehende Welle oder Schwingung.<br />
8 Ein analoger Ansatz <strong>und</strong> analoge Randbedingungen werden in der Quantenmechanik einer Welle zur<br />
Lösung der Schrödinger-Gleichung an einer Potentialbarriere benutzt.<br />
14
x =0<br />
Ende<br />
offen<br />
Das gleiche Resultat findet man auch für<br />
stehende Wellen in Luftsäulen (Pfeifen).<br />
Der Schallwechseldruck ∆p ist proportional<br />
zu ∂u <strong>und</strong> die Fortpflanzungsgeschwindigkeit<br />
∂x<br />
beträgt<br />
x =0<br />
Ende<br />
fest<br />
√ pκ<br />
v =<br />
ρ<br />
(14)<br />
<strong>und</strong> ist damit abhängig von ρ, κ des Gases<br />
sowie p <strong>und</strong> damit von der Temperatur.<br />
Eine Orgel ist bei einer Temperaturänderung verstimmt. Am gedackten Ende einer Pfeife<br />
ist u = 0, der Druck zeigt einen Bauch ; am offenen Ende ist ∂u = 0, der Druck zeigt<br />
∂x<br />
einen Knoten.<br />
Beispiele:<br />
a) beidseitig geschlossene Pfeife oder Saite<br />
u<br />
x<br />
L = n λ 2 ; ω n = nπ L v = nπ L<br />
√ pκ<br />
ρ ,<br />
b) einseitig offene Pfeife<br />
u<br />
L<br />
L = (2n − 1) λ 4 ; ω n =<br />
(2n − 1)π<br />
v,<br />
2L<br />
x<br />
c) beidseitig offene Pfeife<br />
L = n λ<br />
u<br />
2 ; ω n = nπ L v.<br />
Analoge Beispiele zeigen sich bei allen begrenzten<br />
wellentragenden Medien, wie z.B. in der Op-<br />
x<br />
tik, bei elektrische Drahtwellen in einer Lecherleitung<br />
(2 parallele Drähte) oder in einem Koaxkabel.<br />
In einem Koaxkabel entspricht ein Abschluss mit R = ∞ einem offenen, R = 0 (Kurzschluss)<br />
einem geschlossenen Kabel <strong>und</strong> ein Abschluss mit R = Z Wellenwiderstand (siehe<br />
Kap. 1.3.5, z.B. R = 50Ω-Kabel RG-58) hat keine Reflexionen am Ende, diese Anpassung<br />
des Abschlusses ist wichtig für die reflexionsfreie Übertragung von schnellen d.h.<br />
hochfrequenten Signalen.<br />
1.6 Die Energie <strong>und</strong> Intensität einer Welle<br />
Wellen transportieren keine Materie dafür aber Energie. In einem Stab laufe eine<br />
harmonische Welle u(x,t) = A sin(kx − ωt) mit v = ω k<br />
Ein Volumenelement dτ führt eine harmonische Bewegung aus. Seine Energie setzt sich<br />
aus der potentiellen <strong>und</strong> kinetischen Energie zusammen. Es ist<br />
dW = dE pot + dT = dT max<br />
15
Die maximale kinetische Energie dT max hat es beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage,<br />
in der dE pot = 0 ist <strong>und</strong> es gilt mit v max , der maximalen Geschwindigkeit von dτ,<br />
dT max = ρ 2 dτv2 max <strong>und</strong> v = ∂u<br />
∂t = −Aω cos(kx − ωt) ⇒ dT max = ρ 2 dτA2 ω 2<br />
Die Energiedichte im Stab ist somit w = dW dτ = ρ 2 A2 ω 2 .<br />
Die Intensität der Welle, d.h. der Energiefluss pro Zeiteinheit J durch eine senkecht zur<br />
Ausbreitungsrichtung stehende Flächeneinheit ist<br />
J = wv = ρ 2 A2 ω 2 v<br />
mit der Einheit<br />
[ ] Watt<br />
m 2<br />
Für jede Welle gilt:<br />
Die Intensität ist proportional zum Quadrat der Amplitude.<br />
Für eine Schallwelle ist der Überdruck ∆p gegeben durch Gl. (14) <strong>und</strong> Kap. 1.3.3<br />
∆p = − 1 k<br />
∆V<br />
V<br />
= −κp∆V V<br />
mit<br />
∆V<br />
V<br />
= ∂u<br />
∂x = A2π λ<br />
cos(2πx/λ − ωt) ist<br />
∆p = −κp A 2π cos(2πx/λ − ωt),<br />
} {{ λ}<br />
p<br />
mit p der Amplitude des Schalldruckes. Mit der Schallgeschwindigkeit v =<br />
ω = 2πv/λ folgt p = Aωvρ <strong>und</strong> für die Schallintensität J = 1 2 vρ<br />
√<br />
pκ/ρ <strong>und</strong><br />
Da eine Welle neben Energie auch einen Impuls transportiert, entsteht bei der Absorption<br />
prinzipiell ein zusätzlicher Druck,<br />
der Schallstrahlungsdruck p s = J v = 1 2 v 2 ρ .<br />
Die Empfindung des Schalldruckes wird durch die Druckänderung ∆p = p − p ◦ hervorgerufen.<br />
Da das menschliche Ohr einen grossen Intensitätsbereich wahrnehmen kann,<br />
benutzt man statt der linearen die logarithmische Intensitätsskala Dezibel<br />
( ) ( )<br />
J p<br />
dB = Dezibel = 10 · ln 10 = 20 · ln 10<br />
J ◦ p ◦<br />
p 2<br />
p 2<br />
Der Nullpunkt der Dezibelskala wird festgelegt mit der Wahrnehmungsgrenze des menschlichen<br />
Ohres für den Normalton ν = 1000 Hz zu p ◦ = 2 · 10 −5 N/m 2 mit der zugehörigen<br />
Intensität J ◦ = 0.47 · 10 −12 W/m 2 . Zum subjektiven Lautstärkevergleich von Schall verschiedener<br />
Frequenz benützt man die logarithmische Phonskala.<br />
16
Totale Schallabstrahlung<br />
[Watt]<br />
Ein Schall beliebiger Frequenz besitzt eine Phonzahl<br />
n Phon, wenn er subjektiv (Durchschnittspersonen)<br />
Sprache 7 · 10 −6 ebenso laut empf<strong>und</strong>en wird wie ein Normalton von<br />
Geige fortissimo 1 · 10 −3 1000 Hz mit einer Intensität von n dB. Da das Gehör<br />
Trompete fortissimo 3 · 10 −1 stark frequenzabhängig ist, besitzt z.B. ein Schall bei<br />
Lautspecher 1 · 10 2 ν = 100 Hz für die subjektive Lautstärke von 60 Phon<br />
Sirene 3 · 10 3 eine Intensität von 80 dB, bei 10 kHz eine solche von<br />
100 dB.<br />
Nach neuen internationalen Normen soll die Phonskala<br />
Lautstärke [Phon]<br />
durch eine ähnlich definierte Schallpegelska-<br />
Flugzeugmotor 120 la ersetzt werden, in der die Frequenzabhängigkeit<br />
in 4 m Abstand<br />
Laute Musik bis 80 der subjektiven Empfindung berücksichtigt wird.<br />
Der Hörbereich des menschlichen Ohres liegt intensitätsmässig<br />
Ticken der Uhr 15<br />
zwischen 0 <strong>und</strong> 130 Phon (Schmerzgren-<br />
Blätterrauschen 10 ze), frequenzmässig zwischen 15 Hz <strong>und</strong> 15 kHz bei<br />
jungen <strong>und</strong> < 10 kHz bei älteren Personen.<br />
1.7 Der Dopplereffekt<br />
Im von Doppler 1842 entdeckten Effekt wird eine Änderung der Frequenz einer Welle<br />
beobachtet, wenn sich der Beobachter <strong>und</strong> die Quelle gegeneinander bewegen. Wir betrachten<br />
die zwei Fälle:<br />
1. Der Beobachter bewegt sich, 2. die Quelle bewegt sich.<br />
Eine Quelle, die Wellen der Frequenz ν ◦ , der Wellenlänge λ ◦ <strong>und</strong> der Geschwindigkeit<br />
v aussendet, sei wie auch das umgebende Medium in Ruhe. Ein ruhender Beobachter B<br />
empfängt vt/λ ◦ Wellen in der Zeit t.<br />
1. Bewegt sich jedoch der Beobachter B mit der Geschwindigkeit v B auf die Quelle zu, so<br />
empfängt er in der Zeit v B t/λ ◦ zusätzliche Wellen <strong>und</strong> die Frequenz ist<br />
✬✩ Q<br />
✛✘<br />
✎☞ ✒<br />
❡ ✛v B <br />
✍✌<br />
✚✙B<br />
✫✪<br />
ν ′ =<br />
Zahl der Wellen<br />
t<br />
ν ′ = ν ◦<br />
v ± v B<br />
v<br />
= vt/λ ◦ + v B t/λ ◦<br />
t<br />
(<br />
= ν ◦<br />
= v + v B<br />
oder<br />
λ ◦<br />
1 ± v )<br />
B<br />
v<br />
Bewegt sich der Beobachter von der Quelle fort, dann ist +v B durch −v B zu ersetzen.<br />
2. Bewegt sich die Quelle mit der Geschwindigkeit v Q auf den Beobachter zu, dann wandert<br />
✬✩ Q während jeder Schwingung die Quelle um v Q /ν ◦ in Richtung Beobachter,<br />
✛✘<br />
✎☞v der ein um diesen Betrag verkürzte Wellenlänge λ beobachtet<br />
Q<br />
❡<br />
✲ <br />
✍✌<br />
✚✙B<br />
✫✪<br />
λ ′ = λ ◦ − v Q<br />
= v − v Q<br />
= v − v Q<br />
⇒ ν ′ = v = ν ◦<br />
ν ◦ ν ◦ ν ◦ ν ◦ λ ′ 1 ∓ v (16)<br />
Q<br />
v<br />
Falls sich die Quelle vom Beobachter entfernt, ist −v Q durch +v Q zu ersetzen.<br />
In beiden Fällen wird eine erhöhte Frequenz registriert, wenn sich Quelle <strong>und</strong> Beobachter<br />
aufeinander zubewegen. Jedoch sind die beiden Formeln nicht symmetrisch bezüglich<br />
der Relativgeschwindigkeit v B <strong>und</strong> v Q , da für die Ausbreitung der Welle ein Medium notwendig<br />
ist 9 . Der zweite Fall wäre symmetrisch zum ersten, wenn sich das Medium mit<br />
9 Licht im Vakuum hat <strong>und</strong> braucht auch kein Medium, um sich fortzupflanzen. Es gibt keinen Äther.<br />
(15)<br />
17
der Quelle bewegen würde. Beide Fälle werden symmetrisch für v ≫ v B,G , Gl. (16) kann<br />
dann entwickelt werden zu ν ′ ≈ ν ◦ (1 + v Q<br />
+ v2 Q<br />
+ · · ·)<br />
v v 2<br />
<strong>und</strong> der Frequenzunterschied macht sich erst im quadratischen Term bemerkbar.<br />
3. Bewegt sich das Medium mit v M gegenüber der ruhenden Quelle <strong>und</strong> dem ruhenden<br />
Beobachter, dann entspricht dies v Q = −v M <strong>und</strong> v B = v M . Mit Gl. (15) <strong>und</strong> (16) ist dann<br />
ν ′ = ν ◦ (1 + v M<br />
v<br />
) −1 · (1 + v M<br />
v<br />
) = ν ◦ , d.h. es gibt keinen Dopplereffekt.<br />
4. Bewegt sich im 1. Falle B nicht auf der Verbindungslinie zu Q sondern unter einem<br />
Winkel δ, dann ist für die Dopplerverschiebung nur die radiale Komponente der<br />
(<br />
⃗v Bδ ❍❨ Geschwindigkeit massgebend <strong>und</strong> es gilt ν ′ = ν<br />
Q ❍<br />
◦ 1 ± v )<br />
B<br />
B<br />
v cos δ<br />
5. Für v Q = v in Richtung B ist ν ′ = ν ◦ (1−v Q /v) −1 ) = ∞; alle Wellenflächen, die von der<br />
Quelle weglaufen, häufen sich relativ zur Quelle an derselben Stelle <strong>und</strong> die abgestrahlte<br />
Schallenergie addiert sich in einer Frontwelle auf, dem Überschallknall.<br />
6. Ist die Geschwindigkeit der Quelle grösser als die der Welle v Q > v, dann überholt<br />
die Quelle ihre eigene Wellenfront <strong>und</strong> es bildet sich ein Mach’scher Kegel mit einem<br />
★✥<br />
✂ ✂✍ v Winkel δ mit sin δ = vt<br />
v Q t = v < 1<br />
v Q<br />
<br />
δ<br />
vt ✂<br />
✂ ✎☞<br />
<br />
Q(t=0) ✍✌<br />
✏<br />
✧✦<br />
✛ ✲<br />
✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏ v Q t<br />
✲ v Q<br />
als Einhüllende aller Kugelwellen. Der Mach’sche<br />
Kegel wird beobachtet bei einem mit Überschall<br />
fliegenden Flugzeug, einer Gewehrkugel oder der<br />
Bugwelle eines Schiffes.<br />
1.8 Energiebetrachtung einer harmonischen Welle †<br />
Eine harmonische Welle u(x, t) = u ◦ sin(kx − ωt) ist exakt monochromatisch <strong>und</strong> unendlich<br />
ausgedehnt. Sein Energieinhalt ∝ |u| 2 wäre dann unendlich gross, im Widerspruch zur Realität.<br />
Tatsächlich existieren auch bei einem Laser nur endlich ausgedehnte, begrenzte Wellenzüge z.B.<br />
einer einmaligen Erregung oder einer gut angenäherten harmonischen Welle mit einem Anschwingen<br />
<strong>und</strong> Ausschwingen (in einem Ortsbild). Diese einmaligen Wellenzüge können in einer Fourier-<br />
Analyse in eine Überlagerung unendlich ausgedehnter harmonischer Wellen mit kontinuierlich<br />
verteilten Frequenzen zerlegt werden. Die Fourier-Summe von diskreten Oberschwingungen nω 1<br />
wird also ersetzt durch ein Fourier-Integral mit einer kontinuierlichen Frequenzverteilung ˜f(k)<br />
der Oberschwingungen, da ein begrenzter Wellenzug kein periodischer Vorgang ist. Die Dauer<br />
eines Pulses ∆t ist mit dem Frequenzbereich ∆ω (Bandbreite) verknüpft zu ∆ω · ∆t ≈ 1 bzw.<br />
∆k · ∆x ≈ 1, abhängig von der Definition von ∆ω <strong>und</strong> ∆t; dies kann als Schwebung innerhalb<br />
des Wellenzuges verstanden werden [vgl. Kap.1.9].<br />
⎧<br />
⎨<br />
u(x, t) = R<br />
⎩<br />
+∞ ∫<br />
−∞<br />
˜f(k)e i(kx−ωt)<br />
dk<br />
√<br />
2π2ω<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
u(x,t= konst.)<br />
In der speziellen Relativitätstheorie ist dann auch der Dopplereffekt für Licht ν ′ ‖ = ν ◦ 1−v/c , mit v<br />
der Relativgeschwindigkeit zwische Quelle <strong>und</strong> Beobachter, völlig symmetrisch. Man kann nicht mehr<br />
feststellen, ob sich der Beobachter oder die Quelle bewegt. Weiter tritt ein quadratischer Dopplereffekt<br />
auf, wenn sich die Quelle senkrecht zum Beobachter bewegt ν ′ ⊥ = ν ◦ · √1<br />
− (vc/) 2 [<strong>Physik</strong> III].<br />
∆x<br />
√<br />
1+v/c<br />
x<br />
18
Ein Klavier hat daher ausser den diskreten Gr<strong>und</strong><strong>und</strong><br />
Oberschwingungen noch ein kontinuierliches<br />
(weisses) Spektrum <strong>und</strong> ein Geräusch oder Knall<br />
enthält nur ein kontinuierliches weisses Spektrum.<br />
f(ν)<br />
100<br />
10<br />
1<br />
0<br />
500<br />
c (128 Hz) Flugel "<br />
Das Wohltemperierte Klavier<br />
Frequenzen [Hz] bei temperierter Stimmung bezogen auf den Kammerton a 1 = 440 Hz<br />
C 2 =Subkontroktave, C 1 =Kontraoktave, C=Grosse Oktave, c=Kleine Oktave, c 1 =1-gestr. Oktave, ...<br />
1000<br />
ν [Hz]<br />
Tonname C 2 C 1 C c c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6<br />
C 16.35 32.70 65.41 130.8 261.6 523.3 1047 2093 4186 8372<br />
Cis=Des 17.32 34.65 69.30 138.6 277.2 554.4 1109 2217 4435 8870<br />
D 18.35 36.71 73.42 146.8 293.7 587.3 1175 2349 4699 9397<br />
Dis=Es 19.45 38.89 77.78 155.6 311.1 622.3 1245 2489 4978 9956<br />
E 20.60 41.20 82.41 164.8 329.6 659.3 1319 2637 5274 10548<br />
F 21.83 43.65 87.31 174.6 349.2 698.5 1397 2794 5588 11175<br />
Fis=Ges 32.12 46.25 92.50 185.0 370.0 740.0 1480 2960 5920 11840<br />
G 24.50 49.00 98.00 196.0 392.0 784.0 1568 3136 6272 12544<br />
Gis=As 25.96 51.91 103.83 207.7 415.3 830.6 1661 3322 6645 13290<br />
A 27.50 55.00 110.00 220.0 440.0 880.0 1760 3520 7040 14080<br />
Ais=B 29.14 58.27 116.54 233.1 466.2 932.3 1865 3729 7459 14917<br />
H 30.87 61.74 123.47 246.9 493.9 987.8 1976 3951 7902 15804<br />
1.9 Phasen- <strong>und</strong> Gruppengeschwindigkeit †<br />
u<br />
u<br />
dx<br />
t<br />
v<br />
t+dt<br />
x<br />
x<br />
Bisher wurde die Ausbreitung von Wellen gleicher Frequenz<br />
behandelt, für die die Erregung eine Funktion von kx − ωt<br />
ist.<br />
Ein Punkt der Welle, dessen Erregung u <strong>und</strong> damit Phase<br />
kx − ωt konstant ist, bewegt sich mit der<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
v P = dx<br />
dt = ω k<br />
(17)<br />
Für den Fall, dass sich zwei Wellen u 1 <strong>und</strong> u 2 in dem Medium ausbreiten, ist dann die<br />
resultierende Erregung u = 1 2 u ◦[sin(k 1 x − ω 1 t) + sin(k 2 x − ω 2 t)] =<br />
u = u 1 + u 2 = u ◦ sin<br />
(<br />
k1 + k 2<br />
2<br />
x − ω ) (<br />
1 + ω 2 k1 − k 2<br />
t cos x − ω )<br />
1 − ω 2<br />
t<br />
2 2 2<br />
(<br />
u<br />
v G<br />
k1 − k 2<br />
vP<br />
mit A(x,t) = u ◦ cos x − ω )<br />
1 − ω 2<br />
t<br />
x<br />
2 2<br />
(<br />
k1 + k 2<br />
ist u(x,t) = A(x,t) sin x − ω )<br />
1 + ω 2<br />
t .<br />
2 2<br />
A(x,t) ist die Amplitude der resultierenden Schwebung, die sich wegen |k 1 −k 2 | ≪ k 1 <strong>und</strong><br />
|ω 1 − ω 2 | ≪ ω 1 nur langsam mit x <strong>und</strong> t ändert. Die Phasengeschwindigkeit ist mit<br />
(<br />
k1 + k 2<br />
2<br />
)<br />
x − ω 1 + ω 2<br />
t<br />
2<br />
= konst ⇒ v P = dx<br />
dt = ω 1 + ω 2<br />
.<br />
k 1 + k 2<br />
19
Für die Geschwindigkeit der Amplitude A(x,t) erhält man analog die<br />
Gruppengeschwindigkeit v G = lim<br />
(ω 1 −ω 2 )→dω<br />
(k 1 −k 2 )→dk<br />
ω 1 − ω 2<br />
= dω<br />
k 1 − k 2 dk<br />
(18)<br />
Mit der Gruppengeschwindigkeit breitet sich die Struktur <strong>und</strong> damit die Energie der<br />
Welle aus.<br />
Ist die Phasengeschwindigkeit in einem Medium von der Wellenlänge abhängig<br />
v P = v P (λ) oder v P = v P (k), dann ist das Medium dispergierend, es tritt eine Dispersion<br />
auf <strong>und</strong> mit v P = ω/k ist die Gruppengeschwindigkeit<br />
v G = dω<br />
dk = d<br />
dk (kv P) = v P + k dv P<br />
dk<br />
<strong>und</strong> mit k = 2π λ , dk<br />
dλ = −2π λ 2<br />
ist<br />
v G = v P + k dv P<br />
dλ<br />
dλ<br />
dk = v P − k dv P<br />
dλ<br />
λ 2<br />
2π<br />
⇒<br />
v G = v P − λ dv P<br />
dλ<br />
Die Phasen-<strong>und</strong> Gruppengeschwindigkeit sind nicht gleich <strong>und</strong> der Wellenzug läuft auseinander,<br />
da die einzelnen Komponenten entspechend ihrem √ λ verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
haben. Bei der Wasserwelle ist z.B. v = gλ/2π <strong>und</strong> bei der elektromagnetischen<br />
Welle im Medium mit ε = ε(ω) ist v = c 1/εµ [S. 23]; diese Wellen haben eine<br />
√<br />
Dispersion. Ohne Dispersion ist v G = v P .<br />
Tritt zusätzlich noch in einem Medium eine Dämpfung auf, die i.a. auch frequenzabhängig<br />
ist, dann können wie in einem Koaxkabel hohe Frequenzen stärker gedämpft<br />
werden <strong>und</strong> die hochfrequenten Komponenten sterben aus, ein Signal verliert den schnellen<br />
Anstieg <strong>und</strong> die schnelle Zeitinformation geht verloren.<br />
In einem rechteckigen Hohlleiter, wie er in der Hochfrequenztechnik für Radar <strong>und</strong><br />
Mikrowellen im cm oder mm Bereich benutzt wird, ist v G · v P = c 2 . Anschaulich ist die<br />
Ausbreitung der Phase der Wellenfronten v P = c/ cos α <strong>und</strong> damit v G = c cos α mit α dem<br />
Winkel unter dem die Welle in einem bestimmten Mode an den Wänden reflektiert wird.<br />
Die Gruppengeschwindigkeit, mit der die Energie transportiert wird, ist damit v G < c<br />
<strong>und</strong> die Phasengeschwindigkeit v p > c.<br />
20
2 Ausbreitung von Wellen im Raum<br />
Im Kapitel 1 wurden verschiedene mechanische Wellen in einer Dimension behandelt.<br />
Wellen, wie vor allem Licht, breiten sich jedoch auch im dreidimensionalen Raum aus,<br />
diese zusammen mit der geometrischen <strong>Optik</strong> werden im folgenden behandelt.<br />
2.1 Ebene <strong>und</strong> Kugelwellen<br />
Breitet sich die Erregung u einer Welle im Raum aus, dann muss die Wellengleichung (7)<br />
auf 4 Variable, 3 Ortskoordinaten <strong>und</strong> die Zeit, erweitert werden<br />
u = u(⃗r,t) = u(x,y,z,t) mit ∆u = ∂2 u<br />
∂x 2 + ∂2 u<br />
∂y 2 + ∂2 u<br />
∂y 2 = 1 v 2 ∂ 2 u<br />
∂t 2 (19)<br />
Analog zur eindimensionalen Wellengleichung erhält man Gl. (19) auch, indem man<br />
Gl. (20) zweimal nach t <strong>und</strong> den drei Ortskoordinaten partiell differenziert.<br />
2.1.1 Ebene Wellen<br />
Breitet sich eine Welle nur in einer Richtung aus <strong>und</strong> ist die Erregung innerhalb einer<br />
beliebigen, senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung stehenden Ebene gleich, dann nennt man<br />
die Welle eben. Flächen gleicher Phase heissen Phasenflächen, sie sind hier Ebenen. Pflanzt<br />
sich eine ebene Welle in der x-Richtung fort <strong>und</strong> ist sie harmonisch, so gilt<br />
z<br />
✻ Phasenflächen<br />
✟ ✟ ✟ ✟ ✟<br />
✟ ✟ ✟<br />
✟✟✯ y ✲ v<br />
✲ x<br />
✟ ✟ ✟ ✟ ✟<br />
✟ ✟ ✟<br />
u(x,y,z,t) = u ◦ sin(kx − ωt + δ) mit k = 2π λ<br />
Die Phasenflächen in der z-y-Ebene erfüllen die Gleichung<br />
kx − ωt = konst. Ihre Geschwindigkeit ist<br />
v P = dx<br />
dt = ω k<br />
z<br />
✻<br />
⃗ k<br />
❅ ✒<br />
❅ <br />
❅<br />
<br />
❅<br />
❅<br />
❅ ❅<br />
❅<br />
❅ ❅<br />
❅ <br />
<br />
❅<br />
γ ✟✯ y<br />
✟ ✟✟ β<br />
α<br />
✲ x<br />
Breitet sich die Welle in einer beliebigen Richtung aus,<br />
dann gehorchen die Phasenebenen der Gleichung<br />
k(x cos α + y cos β + z cos γ) − ωt = konst.,<br />
wobei α, β, γ die Richtungswinkel der Normalen zur Ebene<br />
sind. Der Wellenvektor ⃗ k wird definiert durch<br />
⃗ k<br />
. = ⃗ex · k cos α + ⃗e y · k cos β + ⃗e z · k cos γ <strong>und</strong> | ⃗ k| = 2π λ ,<br />
|⃗e x | = |⃗e y | = |⃗e z | = 1. Er zeigt die Fortpflanzungsrichtung<br />
der Welle, die damit allgemein geschrieben werden kann<br />
u(⃗r,t) = u ◦ sin( ⃗ k · ⃗r − ωt + δ) (20)<br />
2.1.2 Kugelwellen<br />
Breitet sich eine Welle in einem homogenen Medium von einer punktförmigen<br />
Quelle aus, so sind die Phasenflächen gleicher Erregung Kugelflächen<br />
✬✩ ✻<br />
❅■ ✓✏✒<br />
✛ ❅<br />
✲<br />
✒✑ ❅<br />
✫✪<br />
✠ ❅❘ <strong>und</strong> es gilt dann u(⃗r,t) = u ◦(ϑ,ϕ)<br />
sin(<br />
❄<br />
r<br />
⃗ k · ⃗r − ωt + δ) (21)<br />
21
für eine Kugelwelle. r,ϑ,ϕ sind die Kugelkoordinaten. Die Amplitude nimmt mit 1/r ab,<br />
da der Energiefluss durch die Kugelfläche Φ ∝ ∫ (u 2 ◦/r 2 )dA = (u 2 ◦/r 2 )4πr 2 = konstant sein<br />
muss.<br />
Wenn u nur von r <strong>und</strong> t aber nicht von den Polarwinkeln ϑ,ϕ abhängt, vereinfacht<br />
sich die Wellengleichung (19) in Polarkoordinaten zu (vgl. Phys. AI Anhang C.4)<br />
∂ 2 u<br />
∂r + 2 ∂u<br />
2 r ∂r = 1 ∂ 2 u<br />
v 2 ∂t 2<br />
wie man sich durch Einsetzen überzeugen kann.<br />
2.1.3 Elektromagnetische Wellen †<br />
mit der Lösung u(r,t) = u ◦<br />
r<br />
sin(kr − ωt)<br />
Bisher wurden nur Wellen diskutiert, die an ein Medium geb<strong>und</strong>en sind <strong>und</strong> deren Erregung<br />
u(x,t) mit der Auslenkung von Teilchen interpretiert wurde. Maxwell erkannte 1871,<br />
dass sich die Eigenschaften des Lichtes verstehen lassen, wenn Licht als eine elektromagnetische<br />
Welle aufgefasst wird, die nicht an ein Medium (Frage nach dem Äther) geb<strong>und</strong>en<br />
ist, während sich bisher Wellen nur in einem Medium ausbreiten konnten. Aus den<br />
Maxwell-Gleichungen folgt direkt die Wellengleichung mit einer wellenförmigen Ausbreitung<br />
von gekoppelten elektrischen <strong>und</strong> magnetischen Feldern, d.h. diese Wellengleichung<br />
sagte die Existenz von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit voraus.<br />
Zur Berechnung werden die fünf folgenden, nicht einschränkenden Randbedingungen<br />
gemacht:<br />
1. Ausbreitungsrichtung in der z-Richtung, E ⃗ hängt nur von z ab,<br />
2. Phasenebenen in der x − y Ebene ⇒ ∂ = ∂ = 0,<br />
∂x ∂y<br />
3. keine Ströme <strong>und</strong> Ladungen ⇒ ⃗j = 0, ρ = 0,<br />
4. homogenes <strong>und</strong> isotropes Medium mit ε = µ = 1.<br />
Damit folgt aus den vier Maxwell-Gleichungen (??):<br />
∂E z<br />
∂B<br />
= 0 z<br />
= 0<br />
∂z ∂z<br />
x-Komponente y-Komponente z-Komponente<br />
∂E<br />
= ε 0 µ x<br />
∂B x ∂E<br />
0 = ε<br />
∂t<br />
∂z 0 µ y<br />
∂E<br />
0 0 = ε<br />
∂t<br />
0 µ z 0 ∂t<br />
− ∂By<br />
∂z<br />
− ∂Ey<br />
∂z<br />
= − ∂Bx<br />
∂t<br />
∂E x<br />
∂z<br />
= − ∂By<br />
∂t<br />
0 = − ∂Bz<br />
∂t<br />
Aus diesen Gleichungen folgt E z = const ≡ 0, B z = const ≡ 0 (statische Felder 0 gesetzt),<br />
d.h. ein rein transversales Wellenfeld (vgl. die Figur).<br />
5. Das Koordinatensystem wird so definiert, dass E x ≠ 0, E y = 0 ⇒ B x = 0 <strong>und</strong><br />
nur B y ≠ 0. Damit ist ⃗ B⊥ ⃗ E <strong>und</strong> beide stehen senkrecht zur z-Richtung. Mit partieller<br />
Differentiation nach z <strong>und</strong> t <strong>und</strong> Kombination der obigen Gleichungen erhält man:<br />
− ∂2 B y<br />
∂t∂z = ε 0µ 0<br />
∂ 2 E x<br />
∂t 2 ,<br />
∂ 2 E x<br />
∂z 2<br />
= − ∂2 B y<br />
∂z∂t ⇒ (22)<br />
die Wellengleichung einer<br />
elektromagnetischen Welle<br />
∂ 2 E x<br />
∂z 2<br />
= ε 0 µ 0<br />
∂ 2 E x<br />
∂t 2 (23)<br />
<strong>und</strong> analog:<br />
∂ 2 B y<br />
∂z 2<br />
= ε 0 µ 0<br />
∂ 2 B y<br />
∂t 2 mit v = c = 1 √<br />
ε0 µ 0<br />
(24)<br />
Die Lichtgeschwindigkeit wird identifiziert als c = 1/ √ ε ◦ µ ◦ = 2.997 924 58 · 10 8 m s .<br />
22
Für die Lichtausbreitung in Materie mit ε > 1 <strong>und</strong> µ > 1 ist dann die Lichtgeschwindigkeit<br />
v = 1/ √ εε ◦ µµ ◦ = c/n mit dem Brechungsindex n = √ εµ.<br />
Die Lösung der Wellengleichung für die Ausbreitung in der z-Richtung ist<br />
(siehe die Figur) E x = E 0 e i[ω(z/v−t)+δ] , wobei ω = 2πv/λ nicht begrenzt ist.<br />
B y ist mit E x durch −∂B y /∂t = ∂E x /∂z <strong>und</strong> −∂B y /∂z = ε 0 µ 0 ∂E x /∂t gegeben:<br />
B y = B 0 e i[ω(z/v−t)+δ] mit B 0 = E 0<br />
√<br />
ε0 εµ 0 µ = E 0 /v bzw. H 0 = E 0<br />
√ε 0 ε/µ 0 µ.<br />
y<br />
x<br />
→<br />
H → E √ε o ε/µ o µ<br />
z<br />
Momentanbild einer ebenen, linear<br />
polarisierten, harmonischen elektromagnetischen<br />
Welle, die sich in der<br />
z-Richtung fortpflanzt.<br />
Auch bei beliebiger Ausbreitungsrichtung stehen die Feldstärkevektoren ⃗ E <strong>und</strong> ⃗ B<br />
senkrecht aufeinander <strong>und</strong> bilden mit dem Wellenzahlvektor ⃗ k ein Rechtssystem. ⃗ E<br />
<strong>und</strong> ⃗ B sind transversale Wellen die mit Gl. (22) in Phase miteinander gekoppelt<br />
sind <strong>und</strong> damit die elektomagnetische Welle darstellen. Sie ist nicht an Ladungen,<br />
Ströme oder ein Medium geb<strong>und</strong>en <strong>und</strong> breitet sich auch im Vakuum aus.<br />
2.1.4 Die Intensität einer elektromagnetischen Welle †<br />
Die Intensität einer elektromagnetischen Welle ist aus der Energiedichte des elektrischen Feldes<br />
w e = 1 ⃗ 2ED ⃗ <strong>und</strong> des magnetischen Feldes w m = 1 ⃗ 2HB, ⃗ die mit v durch die Flächeneinheit pro<br />
Sek<strong>und</strong>e strömt, mit H = E √ εε 0 /µµ 0 , v = √ 1/εε 0 µµ 0 gegeben durch:<br />
S = v(w e + w m ) = v 1 2 (εε 0E 2 + µµ 0 H 2 ) = v 1 (<br />
√ )<br />
EH<br />
εε0<br />
εε 0 √ + EHµµ 0 = EH .<br />
2 εε0 /µµ 0 µµ 0<br />
Sie kann durch das Vektorprodukt von ⃗ E <strong>und</strong> ⃗ H als ein Intensitätsvektor dargestellt werden:<br />
Der Poyntingvektor ⃗ S = ⃗ E × ⃗ H (25)<br />
hat eine Fortpflanzungsrichtung senkrecht zu ⃗ E <strong>und</strong> ⃗ H.<br />
Für eine harmonische Welle ist der zeitliche Mittelwert<br />
⃗E × ⃗ H = E 0 H 0 cos 2 [ω( z v − t) + δ] = 1 2 E 0H 0 = S = 1 2√ εε0<br />
µµ 0<br />
E 2 0 = 1 2<br />
√ µµ0<br />
εε 0<br />
H 2 0.<br />
2.1.5 Experimente zur Lichtgeschwindigkeit<br />
1. Olaf Römer 10 beobachtete Abweichungen der Umlaufzeit des Jupiter Mondes Io (42h).<br />
Das Auftauchen des Mondes hinter dem Jupiter nach sechs Monaten war im Extremfall<br />
um 22 Minuten falsch. Mit dem damaligen Wert für die doppelte Entfernung Erde Sonne<br />
1 2| nach<br />
nach<br />
Io 6 Mon.<br />
6 Mon.<br />
○ + ✘✛<br />
✘✘✘ ✘<br />
⊙ ○ +<br />
✘✘ ✘ ✘✘✘ ✘ ✘✘✘ ✘ ✘ ✘✿<br />
L ′ ≈ L + D<br />
✲<br />
✲ 1 2|<br />
<br />
D = 2.83 · 10 8 km L<br />
Io<br />
von D = 2.83 · 10 8 km<br />
<strong>und</strong> den Lichtankunftzeiten<br />
t 1 = L/c, t 2 = L ′ /c <strong>und</strong><br />
t 2 − t 1 = D/c = 22 Min erhielt<br />
Römer<br />
c = 2.83·1013 = 2.14 ·10 10 cm 22·60 s<br />
10 vgl. M. Berry, Principles of Cosmology and Gravitation p.301, Handbuch d. Phys.24(1956)1 u.v.a.<br />
Ole Römer *25.9.1644 Århus, †19.9.1710 Kopenhagen, 1681 Prof. Er führte den Meridiankreis ein.<br />
23
2. James Bradley (1725) benutzte die Aberration 11 eines Sternes innerhalb eines Jahres.<br />
Ein Stern im Zenith der Erdbahn bewegt sich auf einem Kreis mit dem Durchmesser<br />
⊘ = 40.5 ′′ mit der Periode von einem Jahr. Mit v Erde ≈ 30km/s <strong>und</strong><br />
tanα = v Erde /c ≈ α = ⊘/2 = 20 ′′ ist c = 3 · 106 cm/s<br />
20 ′′ /3600 · π/180 = 3.1 · 1010 cm s<br />
(26)<br />
3. Fizeau bestätigte 1849 den Wert von Römer indem er einen Lichtstrahl L 1 an einem<br />
halbdurchlässigen Spiegel reflektierte <strong>und</strong> nach D = 8633m an einem zweiten Spiegel<br />
zurück in ein Fernrohr schickte. Vor den<br />
A<br />
✘❳<br />
() ✛<br />
S S/2 = D ✲<br />
Spiegel liess er ein Zahnrad mit n=720<br />
R<br />
⌢⌣ L Zähnen rotieren <strong>und</strong> beobachtete bei einer<br />
Drehfrequenz von ν=12.6 1/s das<br />
1<br />
❈✄ Zahnrad<br />
Q<br />
A 1<br />
✏ ❜ Verschwinden des Lichtstrahles, da dann<br />
❇✘ ❳ ✂<br />
✟ ❇ ✂ ❍ der reflektierte Strahl nach der Zeit t =<br />
T/(2n) (bei A 1 ) einen vorgerückten Zahn<br />
erreicht. Es ist dann c = 2D/t = 4Dnν.<br />
4. J.B. Foucault (1819-1868) verbesserte den Wert der Lichtgeschwindigkeit.<br />
Von einer Lichtquelle S ◦ wird mit einem Strahl<br />
über einen drehbaren Spiegel R auf einem Planspiegel Sp 1 ein<br />
Bild des Spaltes S ◦ projiziert, das über denselben Drehspiegel R<br />
zurück an der Lichtquelle S ◦ ein Bild S 2 erzeugt. Mit einem halbdurchlässigen<br />
Spiegel Sp 2 kann das reflektierte Bild S ′ 2 ohne <strong>und</strong><br />
mit Drehung beobachtet werden. Das reflektierte Bild ist infolge<br />
der Drehung von R <strong>und</strong> der endlichen Lichtgeschwindigkeit<br />
c verschoben, gegeben durch die Frequenz ν des Spiegels, den<br />
Drehwinkel ∆α <strong>und</strong> die Lichtstrecke 2D. Damit ist die Lichtgeschwindigkeit<br />
c = ∆s<br />
∆t = 2D 4πνD<br />
2πν =<br />
∆α<br />
✻ () L R ω✟ S ◦ = S 2<br />
✲<br />
❅<br />
✛<br />
❅ ❄<br />
S p2<br />
❄<br />
D<br />
✻S 1<br />
S p1<br />
∆α .<br />
5. Das Michelson Morley Experiment<br />
Römer, Bradley, Fizeau <strong>und</strong> Foucault bestimmten nur einen endlichen Wert für die Lichtgeschwindigkeit<br />
c <strong>und</strong> lösten damit nicht die Frage nach der Existenz des Äthers als eine<br />
Bedingung für die Ausbreitung des Lichtes bzw. nach den damit zusammenhängenden<br />
unterschiedlichen Lichtgeschwindgkeiten z.B. senkrecht <strong>und</strong> parallel zu einer bewegten<br />
Lichtquelle. Diese Frage wurde erst im Michelson Morley Interferenz-Experiment 1850<br />
gelöst. Details sind in Kapitel 3.3.5 dargestellt.<br />
Das Ergebnis des Michelson Morley Experimentes zeigte keinerlei Differenzen<br />
der Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Richtungen der bewegten Erde, auch nicht bei<br />
einer Reihe von Messungen mit verschiedenen Wellenlängen, Sternlicht, zu verschiedenen<br />
Jahreszeiten (falls sich der Äther gegenüber der Sonne bewegen sollte), mit verschiedenen<br />
Intensitäten, mit oder ohne elektrischen <strong>und</strong> magnetischen Feldern.<br />
Folgerung: Es gibt keinen Äther. Die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig<br />
von der Geschwindigkeit der Quelle <strong>und</strong> des Beobachters.<br />
Wird in einem Inertialsystem Licht von einer punktförmgen<br />
Quelle als sphärische Welle (Kugelwelle) emittiert, so erscheint<br />
es als Kugelwelle in jedem anderen Inertialsystem.<br />
11 Die durch den Umlauf der Erde um die Sonne verursachte scheinbare Bewegung eines Sternes.<br />
S ′ 2<br />
24
Dieses Ergebnis ist die Gr<strong>und</strong>lage der Relativitätstheorie (vgl. Fussnote S. 43).<br />
2.1.6 Spektren <strong>und</strong> Erzeugung elektromagnetischer Wellen<br />
Elektromagnetische Wellen<br />
Bezeichnung Wellenlänge λ Frequenz ν<br />
od. Energie ¯hω<br />
Langwellen 1→10 km 300→30 kHz<br />
Mittelwellen 100→1000 m 3→0.3 MHz<br />
Kurzwellen 10→100 m 30→3 MHz<br />
UKW 0.1→10 m 3000→30 MHz<br />
Radar, Mikrowellen 0.01→10 cm 3000→3 GHz<br />
Infrarot 0.78→100 µm 1.6→0.012 eV<br />
sichtbares Licht 0.40→0.78 µm 3.1→1.6 eV<br />
Ultraviolett 0.01→0.4 µm 120→3.1 eV<br />
Röntgenstrahlung 0.01→10 nm 120→0.12 keV<br />
Gammastrahlung, γ < 0.01 nm > 120 keV<br />
Höhenstrahlung γ<br />
bis 10 14 eV<br />
Das<br />
bekannte<br />
Spektrum elektromagnetischer<br />
Wellen erstreckt sich<br />
über einen enormen Wellenlängenbereich.<br />
Umrechnungen:<br />
Quantisierung des Photons<br />
E = ¯hω = hν,<br />
¯hc = 197.328 58·10 −7 eVcm,<br />
1 eV=2.42·10 14 Hz<br />
λ = c/ν,<br />
1 Kayser=1 cm −1 (alte Einheit).<br />
Elektromagnetische Wellen, d.h. sich ändernde elektrische <strong>und</strong> magnetische Felder, werden<br />
erzeugt durch beschleunigte (oder verzögerte) elektrische Ladungen 12 . Heinrich Hertz wies<br />
− I(ϑ) ∼ sin 2 ϑ 1888 elektromagnetische Wellen mit einer Dipolantenne<br />
− ϑ<br />
(Figur) nach. Die freien Dipolenden stellen einen Kondensator<br />
dar, in dem die Ladungen <strong>und</strong> damit der von einem<br />
−<br />
+<br />
Magnetfeld umgebene Verschiebungsstrom mit dem eingekoppelten<br />
harmonischen Wechselstrom oszillieren. Am Di-<br />
I=I o cos ω t<br />
+<br />
pol entstehen daher oszillierende E- ⃗ <strong>und</strong> B-Felder, ⃗ die in<br />
+<br />
den Raum abgestrahlt werden.<br />
Nach umfangreicher Rechnung erhält man aus den Maxwell-Gleichungen für einen grossen<br />
Abstand r vom Dipol <strong>und</strong> für r ≫ λ = 2πc/ω sowie eine Beschleunigung a der Ladung q<br />
| E| ⃗ = 1 q<br />
4πε ◦ c 2 r a sin ϑ , | H| ⃗ = 1<br />
4πc<br />
q<br />
r a sin ϑ , mit Gl. (25) S = |⃗ E × H| ⃗ ∝ 1 r 2 sin2 ϑ.<br />
Die Intensität nimmt mit 1/r 2 ab. Für die Strahlung einer Dipolantenne<br />
ist mit u = u ◦ cos ωt der Bewegungsgleichung der Ladungen, dem Dipolmoment<br />
p = qu ◦ cos ωt = p ◦ cos ωt <strong>und</strong> der Beschleunigung a = d2 u<br />
dt 2 = −u ◦ ω 2 cos ωt = −ω 2 p/q<br />
E ◦ = 1 ω 2 p ◦<br />
sin ϑ, H<br />
4πε ◦ c 2 ◦ = 1 ω 2 p ◦<br />
sin ϑ.<br />
r<br />
4πc r<br />
Die Abstrahlung ist maximal für ϑ = π/2, d.h. senkrecht zum Dipol <strong>und</strong> null in der<br />
Richtung des Dipols 13 . Die Intensität I der Welle ist durch ihre Geschwindigkeit <strong>und</strong> den<br />
Mittelwert der Energiedichte u gegeben I = v · u, mit dem elektrischen<br />
u e = 1 4 ⃗ E ⃗ D = εε ◦<br />
2 E2 ◦ <strong>und</strong> dem magnetischen Anteil u m = 1 4 ⃗ H ⃗ B = µµ ◦<br />
2 H2 ◦,<br />
12 In den Vorlesungen <strong>Physik</strong> III <strong>und</strong> Elektrodynamik der theoretischen <strong>Physik</strong> wird dies aus den<br />
Maxwell-Gleichungen abgeleitet. Verzögerte, abgebremste Elektronen erzeugen Bremsstrahlung oder<br />
Röntgenstrahlung. Eine mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Ladung kann keine elektromagnetischen<br />
Wellen erzeugen, da in einem Inertialsystem mit dieser Geschwindigkeit die Ladung in Ruhe ist <strong>und</strong> dann<br />
nur ein statisches Coulomb-Feld besitzt.<br />
13 Anschaulich sieht man in der ⃗a-Richtung keine beschleunigt bewegte Ladung.<br />
25
hierbei gilt für den Mittelwert cos 2 ωt = 1 2 .<br />
Energie Wellenlänge<br />
Frequenz<br />
Spektrometer<br />
10 22 10 8 10 −14<br />
[Hz]<br />
[eV] [m]<br />
✻<br />
Magnetspektrometer<br />
10 21<br />
10 20<br />
10 19<br />
10 18<br />
10 17<br />
10 16<br />
10 15<br />
10 14<br />
10 13<br />
10 12<br />
10 11<br />
10 10<br />
10 9<br />
10 8<br />
10 7<br />
10 6<br />
10 5<br />
10 4<br />
10 3<br />
TV<br />
Radio<br />
γ-Strahlung<br />
sichtbares Licht<br />
❄ X-Rays<br />
ultraviolettes Licht<br />
Infrarot<br />
Mikrowellen<br />
Radiofrequenzen<br />
10 7<br />
10 6<br />
✻10 5<br />
❄10 4<br />
✻10 3<br />
10 2<br />
❄10<br />
1<br />
✻<br />
10 −1<br />
❄<br />
✻<br />
❄<br />
✻<br />
❄<br />
10 −2<br />
10 −3<br />
10 −4<br />
10 −5<br />
10 −6<br />
10 −7<br />
10 −8<br />
10 −9<br />
10 −10<br />
10 −11<br />
10 −13<br />
10 −12<br />
10 −11<br />
10 −10<br />
10 −9<br />
10 −8<br />
10 −7<br />
10 −6<br />
10 −5<br />
10 −4<br />
10 −3<br />
10 −2<br />
10 −1<br />
10 0<br />
10 1<br />
10 2<br />
10 3<br />
10 4<br />
10 5<br />
Szintillationzähler<br />
❄✻<br />
✻Halbleiterdetektoren<br />
❄<br />
Kristallgitter<br />
✻<br />
❄<br />
Konkavgitter 100-1800Å<br />
❄<br />
✻ Lichtspektrographen<br />
❄<br />
✻<br />
Infrarot-Gitter<br />
❄<br />
✻<br />
Mikrowellenspektroskopie<br />
❄<br />
✻<br />
direkte Frequenzmessung<br />
Die Intensität der Welle ist mit Gl. (25 )<br />
I =<br />
c ( √ √ )<br />
4 √ µµ◦ εε◦<br />
εε ◦ E ◦ H ◦ + µµ ◦ H ◦ E ◦ = c εµ εε ◦ µµ ◦ 2 E √<br />
◦H ◦ ε◦ µ ◦ = 1 2 E ◦H ◦<br />
<strong>und</strong> die Intensität I(ϑ) der unter dem Winkel ϑ abgestrahlten Welle ist dann<br />
I(ϑ) = 1 2 E ◦(ϑ)H ◦ (ϑ) = µ √<br />
◦ ε◦ µ ◦ ω 4 p 2<br />
sin 2 ϑ ∝ ω4<br />
32π 2 r 2 r · 2 sin2 ϑ.<br />
Die Intensität der abgestrahlten Wellen ist wegen der ω 4 -Abhängigkeit sehr gering für<br />
Frequenzen unter 1000 Hz. Für höhe Frequenzen unterscheidet <strong>und</strong> erzeugt man<br />
1. Radio- <strong>und</strong> Radarwellen: elektrische Wechselströme,<br />
2. infrarot, sichtbares, ultraviolettes Licht: schwingende oder rotierende Elektronenverteilungen<br />
in Atomen, Molekülen, Gasen, Flüssigkeiten, festen Körpern oder Kristallen,<br />
3. Röntgenstrahlung: hochangeregte Atome, Abbremsung beschleunigter Elektronen,<br />
Elektronen auf Kreisbahnen im Magnetfeld (Synchrotronstrahlung),<br />
4. γ-Strahlung: angeregte Atomkerne (quantenmechanisches Problem der Kernphysik),<br />
5. Planck’sche Strahlung: Emission elektromagnetischer Wellen eines schwarzen Körpers<br />
bei einer bestimmten Temperatur in quantenmechanischer Rechnung [<strong>Physik</strong> III].<br />
26
2.1.7 Die klassisch-atomistische Betrachtung einer Lichtwelle in einem Gas †<br />
Aus der klassischen Vorstellung des Atoms als ein Kern mit auf Kreisbahnen geb<strong>und</strong>enen Elektronen<br />
kann der Brechungsindex <strong>und</strong> seine Frequenzabhängigkeit plausibel interpretiert werden 14 .<br />
Annahme: geb<strong>und</strong>ene Elektronen der Atome haben eine charakteristische Eigenfrequenz ω ◦ ,<br />
⃗E = ⃗ E ◦ e iω(z/v−t) ist eine primäre Lichtwelle in z-Richtung, die Bewegungsgleichung eines Elektrons<br />
ist<br />
mẍ + γẋ + mω 2 ◦x = eE ◦ e iω(z/v−t) ⇒ x = eE ◦<br />
m<br />
e iω(z/v−t)<br />
(ω 2 ◦ − ω 2 − iγω/m)<br />
als Lösung (Phys AI Kap. 7.4). Mit dem Dipolmoment ⃗q = e⃗x folgt die elektrische Polarisation<br />
als Dipolmoment pro Volumeneinheit mit N Atomen pro Volumeneinheit<br />
⃗P =<br />
N · e 2 ⃗ E<br />
m(ω 2 ◦ − ω 2 − iγω/m)<br />
für λ > Atomabstand > d (Wechselw. zwischen Atomen).<br />
Mit der elektrischen Verschiebung ⃗ D = ε ◦<br />
⃗ E + ⃗ P = ε◦ ε ⃗ E <strong>und</strong> v = c/n = c/ √ ε ist<br />
⇒ n =<br />
⃗E<br />
√<br />
(<br />
1 +<br />
ε ◦ +<br />
N · e 2 )<br />
m(ω◦ 2 − ω 2 = εε ◦E ⃗ = n 2 √<br />
ε ◦E; ⃗ n = ε<br />
− iγω/m)<br />
Ne 2 /ε ◦ m<br />
ω 2 ◦ − ω 2 − iγω/m = n ◦ + ik a der komplexe Brechungsindex. (27)<br />
Der zweite Term unter der Wurzel ist klein gegen Eins. Für die Lichtwelle gilt dann<br />
⃗E = ⃗ E ◦ e<br />
z·n◦<br />
[iω( −t)] c<br />
· e (−ω ka c z)<br />
} {{ }<br />
Lichtabsorption<br />
Mit v = c/n ◦ ist n ◦ der normale Brechungsindex <strong>und</strong> die Intensität I(z) ∝ | ⃗ E| 2 nimmt infolge<br />
des komplexen Brechungsindex k a exponentiell in z-Richtung ab.<br />
kaz<br />
(−2ω<br />
I(z) = I ◦ e c ) = I ◦ e −τz ;<br />
τ = 2ω k a<br />
c<br />
Für geringen Gasdruck kann n in Gl. (27) entwickelt werden.<br />
√ N e2<br />
n = n ◦ + ik a = 1 +<br />
ε ◦m (ω2 ◦ − ω 2 + iωγ/m)<br />
(ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + (ωγ/m) 2 ≈ 1 + 1 2<br />
Schwächungskoeffizient [ 1 m .<br />
N e2<br />
ε ◦m (ω2 ◦ − ω 2 + iωγ/m)<br />
(ω 2 ◦ − ω 2 ) 2 + (ωγ/m) 2<br />
R{n} = n ◦ = 1 + 1 2 N e2 ω◦ 2 − ω 2<br />
ε ◦ m (ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + (ωγ/m) 2 Brechungsindex <strong>und</strong><br />
I{n} = τ = 2ω k a<br />
c = N<br />
e2 ω 2 γ<br />
ε ◦ m 2 c (ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + (ωγ/m) 2 Resonanzkurve.<br />
Für geringe Dämpfung γ gilt ∆ω = ω − ω ◦ , ω 2 ◦ − ω 2 ≈ −2ω ◦ ∆ω, ω ≈ ω ◦ <strong>und</strong><br />
n ◦ ≈ 1 − 1 2 N e2 2ω ◦ ∆ω<br />
ε ◦ m 4ω◦∆ω 2 2 + ω◦(γ/m) 2 2 = 1 − Ne2 m<br />
ε ◦ ω ◦ γ 2 · ∆ω<br />
1 + ( 2∆ωm<br />
γ<br />
) 2<br />
m 2<br />
τ ≈ N e2 ω◦γ<br />
2<br />
ε 2 ◦m 2 c ω◦γ 2 2 ·<br />
14 z.B. A.Sommerfeld “<strong>Optik</strong>”<br />
1<br />
1 + ( 2∆ωm<br />
γ<br />
) = N e2<br />
2 ε ◦ cγ ·<br />
1<br />
1 + ( 2∆ωm<br />
γ<br />
) 2<br />
27
Der Verlauf des Schwächungsindex τ <strong>und</strong> des Brechungsindex n ◦ sind in den Figuren schematisch<br />
dargestellt.<br />
Die Grenzwerte sind n ◦ (ω → ∞) = 1, n ◦ (ω → 0) = √ ε(ω = 0) = 1 + 1 2 N e2 . Bereiche<br />
des Brechungsindex mit n ◦ > 1 haben eine “normale” Dispersion, d.h. Licht mit kürzerer<br />
ε ◦mω◦<br />
2<br />
Wellenlänge (blau) wird stärker gebrochen als Licht mit längerer Wellenlänge (rot), wie man es<br />
auch in einem optischen Prisma beobachtet. In den Bereichen mit n ◦ < 1 ist die<br />
Phasengeschwindigkeit des Lichtes v Phase > c,<br />
für den Energietransport der Welle ist jedoch<br />
die Gruppengeschwindigkeit massgebend, für sie<br />
gilt v Gruppe < c.<br />
In der Figur ist der Schwächungskoeffizient τ<br />
<strong>und</strong> Brechungsindex n ◦ in der Nähe einer Stelle<br />
anomaler Dispersion ω ◦ , die einer Eigenfrequenz<br />
des Atoms entspricht, dargestellt.<br />
In der Realität treten viele verschiedene Eigenfrequenzen<br />
auf mit zusätzlichen Verbreiterungen<br />
infolge der Wechselwirkung benachbarter Atome<br />
im festen <strong>und</strong> im flüssigen Körper, wie dies<br />
in der zweiten Figur skizziert ist.<br />
In der zweiten Figur ist die Dispersionskurve eines<br />
durchsichtigen Materials schematisch dargestellt.<br />
λ 1 , λ 2 λ 3 sind die den Eigenfrequenzen des<br />
Atoms entsprechenden Wellenlängen.<br />
τ<br />
ω<br />
ω o −γ/2m ο o ω o +γ/2m o<br />
n o -1<br />
normale<br />
Dispersion<br />
anomale Dispersion<br />
starke Absorption<br />
√ε-1<br />
ω o −γ/2m o<br />
ω ο<br />
ω o +γ/2m o<br />
n o c<br />
ω<br />
ω<br />
n o →1<br />
n o<br />
K L<br />
2<br />
1<br />
M<br />
1<br />
2<br />
3<br />
a b c d e<br />
Im Röntgengebiet entsprechen diese Eigenfrequenzen den K-,L-,M-Absorptionskanten; a Röntgen,<br />
b Ultraviolett, c Sichtbar, d Infrarot, e Radiowellen. Im sichtbaren Bereich ist n violett > n rot<br />
<strong>und</strong> damit f violett < f rot , dies ist die normale Dispersion, die zur chromatischen Aberration führt<br />
(siehe Kap. 3.1.5).<br />
Um die Dispersionskurven genau zu berechnen, müssen die Lagen der Resonanzen <strong>und</strong> Dämpfungskoeffizienten<br />
der Atome oder Moleküle genau bekannt sein, sie werden daher i.a. genauer<br />
experimentell bestimmt.<br />
Starke Absorption in bestimmten Wellenlängenbereichen spielen eine wesentliche Rolle im<br />
Treibhauseffekt der Erde [CO 2 <strong>und</strong> H 2 O bei der Absorption der Infrarotabstrahlung der Erde,<br />
O 3 bei der Absorption der UV-Strahlung der Sonne].<br />
log<br />
28
3 <strong>Optik</strong><br />
3.1 Strahlenoptik, Geometrische <strong>Optik</strong><br />
3.1.1 Lichtstrahlen; das Fermat’sche Prinzip<br />
In der Strahlenoptik wird die eigentliche Wellennatur des Lichtes nicht berücksichtigt.<br />
Statt dessen benutzt man den Begriff des Lichtstrahles als die Bahn, längs derer sich<br />
das Licht ausbreitet. Lichtstrahlen kann man näherungsweise<br />
erhalten, indem man aus einer ebenen Welle einen<br />
Teil ausblendet <strong>und</strong> die am Rande der Blende auftretenden<br />
Beugungseffekte (siehe Kap. 3.4) ignoriert.<br />
In verschiedenen Medien breitet sich das Licht mit<br />
verschiedener Geschwindigkeit v aus. Mit der Lichtgeschwindigkeit<br />
c in Vakuum kann man für jedes Material<br />
einen Brechungsindex n wie folgt definieren:<br />
n . = c v .<br />
Einige Brechungsindizes n für die<br />
Natrium-D-Linie<br />
λ = 589.3 nm, 20 ◦ C, 10 5 Pa:<br />
Material n<br />
Luft 1.00029<br />
Wasser 1.333<br />
Quarzglas 1.4588<br />
Kronglas K3 1.51814<br />
Flintglas F3 1.61279<br />
Diamant 2.4173<br />
Der Weg, den Lichtstrahlen nehmen, kann aus dem Fermat’schen Prinzip hergeleitet<br />
werden:<br />
✡ Von allen möglichen Wegen, um vom Punkt A zum<br />
❏❏<br />
✡ ❏ Punkt B zu gelangen, wählt ein Lichtstrahl immer<br />
A ✡ ❏<br />
✟ ✟✟ ❍ ❍❍ B denjenigen, der die kürzeste Zeit beansprucht.<br />
✡ ❏<br />
n<br />
n <br />
1 ✡ 2 ❏ n 1 Das bedeutet, mit der Lichtgeschwindigkeit im Medium<br />
v = c/n = dl/dt muss die Zeit t =<br />
∫ B<br />
oder der optische Weg L =<br />
dt =<br />
A<br />
∫ B<br />
Folgerungen aus dem Fermat’schen Prinzip:<br />
A<br />
∫ B<br />
n dl<br />
1. Licht breitet sich im homogenen Medium geradlinig aus.<br />
2. Reflexion<br />
B<br />
✂<br />
A ❍<br />
<br />
✂<br />
❈❅<br />
❍❍❍❍❍❍❥✂<br />
✒<br />
❈ ❅<br />
<br />
❈ ❅α ✑✑✑✑✸ β ❈❲✑ ✑✑✑✑✑✑✑<br />
✂✍<br />
✂<br />
❅❘ ✂<br />
◗ ❅ Spiegel<br />
X ◗ β<br />
◗ ❅<br />
◗ ❅ ◗<br />
❅ ◗ B ′<br />
A<br />
dl<br />
v = 1 ∫ B<br />
n dl<br />
c A<br />
muss minimal sein.<br />
minimal sein,<br />
Welchen der eingezeichneten Wege wird das Licht von A nach<br />
B wählen, wenn es an einem Spiegel reflektiert wird?<br />
Man zeichnet das Spiegelbild B ′ . Die Strecken AXB <strong>und</strong><br />
AXB ′ sind für beliebige X gleich. Der kürzeste Weg AXB<br />
ist folglich auch der kürzeste Weg von A nach B ′ , d.h. die<br />
Gerade AOB ′ . Für die Winkel gilt:<br />
α = β Reflexionsgesetz .<br />
3. Brechung<br />
Fällt eine ebene Welle unter dem Winkel α auf die ebene Grenzfläche zwischen zwei Medien<br />
mit den Ausbreitungsgeschwindigkeiten v 1 <strong>und</strong> v 2 , so wird sie teilweise reflektiert, teilweise<br />
durchgelassen. Für den reflektierten Lichtstrahles gilt α = β. Welchen Weg nimmt der<br />
durchgelassene Lichtstrahl? Die Laufzeit von A nach B ist:<br />
29
A ❩❩❩❩7<br />
✻ ❩❩❩❩❩<br />
a α β<br />
v 1 ❄ ✚ ✚❃<br />
v 2 ✛ x ✲❆<br />
✻<br />
✛ γ❆<br />
d ❆ ✲<br />
❆❯<br />
❆ b<br />
❆<br />
❆<br />
❆ B ❄<br />
√ √<br />
x2 + a<br />
t =<br />
2 (d − x) 2 + b 2<br />
+<br />
. t wird minimal, wenn<br />
v 1<br />
Da sin α =<br />
dt<br />
dx = 0 =<br />
v 2<br />
x<br />
v 1<br />
√<br />
x2 + a 2 −<br />
x<br />
√<br />
x2 + a 2 <strong>und</strong> sin γ =<br />
d − x<br />
√<br />
v 2 (d − x) 2 + b .<br />
2<br />
d − x<br />
√<br />
(d − x) 2 + b 2<br />
gilt also<br />
sin α<br />
sin γ = v 1<br />
v 2<br />
= n 2<br />
n 1<br />
= n 12 Snellius’sches Brechungsgesetz .<br />
Dabei ist n 12 der relative Brechungsindex der beiden Medien.<br />
Das Brechungsgesetz gilt für optisch isotrope Medien (z.B. kubische Kristalle). Für<br />
die nichtkubischen Kristallen gehorcht nur der ordentliche Strahl dem Brechungsgesetz.<br />
4. Fata Morgana 15 Die Luft direkt über dem Boden ist sehr heiss <strong>und</strong> hat<br />
deshalb einen proportional zur Dichte verkleinerten<br />
Brechungsindex. Dem Beobachter erscheint die Palme<br />
am Boden gespiegelt.<br />
5. Sonnenuntergang<br />
3.1.2 Totalreflexion<br />
❏<br />
❏ ✡✡✣<br />
❏ α β ✡<br />
❏ ✡<br />
n n 1 > n 2<br />
1 ❏❫ ✡<br />
n 2 ❩❩❩❩7<br />
γ<br />
Als Folge der Brechung in der Luft mit variierendem<br />
Brechungsidex mit der Höhe ist die Sonne noch nach<br />
dem Verschwinden unter dem Horizont sichtbar.<br />
Trifft eine Welle vom Medium 1 unter dem Einfallswinkel α auf<br />
die Grenzfläche mit einem optisch “dünneren” Medium 2<br />
(v 1 < v 2 , n 1 > n 2 ), so gilt nach dem Brechungsgesetz:<br />
sin γ = n 1<br />
n 2<br />
sin α . Da sin γ ≤ 1 sein muss, erhält man für α:<br />
◗ ◗◗◗◗✑<br />
α k β<br />
n ✑✑✑✑✸<br />
1<br />
n ✲<br />
2 ✌<br />
n 1<br />
n 2<br />
❍ ❍ ❍❍❥ α β<br />
✟ ✟✟✟✯<br />
sin α ≤ n 2<br />
n 1<br />
= v 1<br />
v 2<br />
. Mit dem kritischen Winkel α k bei γ = 90 ◦<br />
d.h. sin γ = 1 <strong>und</strong> sinα k = n 2<br />
n 1<br />
= v 1<br />
v 2<br />
keinen gebrochenen Strahl mehr, sondern nur eine<br />
100% Totalreflexion.<br />
gibt es für α > α k<br />
15 M.Vollmer, “Gespiegelt in besoneren Düften”, Phys.Blätter 54(1998)10,S903. Viele Beispiele für Spiegelungen,<br />
Fata Morana, Luftspiegelung des Sonnenunterganges mit dem kurzzeitigen, grünen Strahl.<br />
30
Material α k<br />
Einige kritische Winkel α k = arcsin 1 n 1<br />
für Totalreflexion (n 2 = 1)<br />
Wasser 48.6 ◦<br />
Dank der Totalreflexion können lange Lichtleiter hergestellt werden,<br />
welche unter anderem beim Endoskop oder zur Signalübert-<br />
Flintglas F3 38.3 ◦<br />
Kronglas K3 41.2 ◦<br />
ragung eingesetzt werden, oder 90 ◦ -Prismen als Spiegel benutzt<br />
Diamant 24.4 ◦ werden.<br />
3.1.3 Abbildung durch Spiegelung <strong>und</strong> Brechung<br />
✲ Lichtrichtung<br />
✲ Werden die Lichtstrahlen,<br />
die von einem<br />
Lichtrichtung<br />
abbildendes<br />
Bild Gegendendes<br />
Bild<br />
virtuelles abbil-<br />
reelles<br />
Punkt G eines leuchtenden<br />
Gegenstandes ausge-<br />
Gegenstand<br />
System<br />
stand System<br />
hen, durch ein abbildendes<br />
System zum Schnitt<br />
❳❳3<br />
✚❃<br />
G ✟<br />
✘ ✟✟✯ ✲ B v<br />
✟ ✘ ✟✟<br />
❍ ✘ ✘<br />
❳ ✚ ✚✚<br />
❍ ✘ ✘✿<br />
❳ ✚ ✚✚❃ ✟✟✯<br />
✘✘✿<br />
✒ ❅<br />
❅❘<br />
✲<br />
❩ ❍❍❥ ❳ ❳3 ❩ ❍❍ ❳ ❳ G<br />
❩❩7 ❩❩<br />
❳❳3<br />
✟ ✟✟✯ ✲<br />
❅<br />
❍ ✘ ✘ ✘✿<br />
❳ ✚ ✚✚❃<br />
❩ ❍❍❥ ❩7 ❅<br />
✲ ❍❍ ❳ ❩❩ ❅<br />
❩ ❍❍❥ ❳ ❳3 ✘✘✿<br />
❩❩7 ✟✟✯<br />
❍❍❥<br />
❅ ✛ + ✻ + ❩7<br />
+ ✛<br />
virtuelles Bild ✻ g ❅❘<br />
✒ ✚❃ ✟✟<br />
❳<br />
✘✘✘<br />
B r<br />
gebracht, so nennt man B<br />
✚ ✚✚ den Bildpunkt von G. Je<br />
<br />
b ✲ nachdem, ob es sich bei B<br />
✲ + reelles Bild um einen wirklichen oder<br />
scheinbaren Schnitt handelt, spricht man von einem reellen oder virtuellen Bildpunkt.<br />
Sämtliche Bildpunkte ergeben das Bild des Gegenstandes. Reelle Bilder können auf einem<br />
Schirm aufgefangen werden, was bei virtuellen Bildern nicht möglich ist.<br />
Bezüglich der Vorzeichen treffen wir folgende Konvention: Die Gegenstandsweite g<br />
wird vom abbildenden System aus positiv nach links , die Bildweite b entsprechend positiv<br />
nach rechts gezählt. Die Richtungen von Gegenstand <strong>und</strong> Bild senkrecht zur Achse werden<br />
positiv nach oben gerechnet. Krümmungsradien von brechenden Flächen sind positiv,<br />
wenn die Fläche konvex bezüglich der Seite ist, von welcher her das Licht einfällt.<br />
n 1 n 2<br />
Beispiele<br />
✲<br />
1. Abbildung durch Reflexion<br />
G ❅❆<br />
❍✁ ✁✕<br />
❍<br />
✒<br />
Die Reflexion an einem Spiegel erzeugt ein virtuelles ❆❯✁ ❅❘ ❍❥✟✯<br />
✁✟<br />
✟<br />
Bild B v , das symmetrisch hinter dem Spiegel liegt. B v ✟<br />
✲✟<br />
✁<br />
2. Abbildung durch eine brechende, sphärische Fläche<br />
Kugelflächen sind einfach zu rechnen <strong>und</strong> herzustellen. r sei der Radius der brechenden<br />
g<br />
M<br />
sin α<br />
b<br />
sin(ϕ 2 − ϕ 3 ) ≈ ϕ 1 + ϕ 2<br />
= n 2<br />
ϕ 2 − ϕ 3 n 1<br />
Fläche. Mit der geometrischen Beziehungen<br />
α = ϕ 1 + ϕ 2 , γ = ϕ 2 − ϕ 3 <strong>und</strong> der<br />
G<br />
h r 3<br />
2<br />
B Annahme ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ≪ 1 folgt<br />
oder n 1 ϕ 1 + n 2 ϕ 3 = (n 2 − n 1 ) ϕ 2 , für kleine Winkel ϕ 1 = h g , ϕ 2 = h r , ϕ 3 = h b ,<br />
wobei g die Gegenstandsweite <strong>und</strong> b die Bildweite ist. Damit erhalten wir<br />
n 1<br />
g + n 2<br />
b = n 2 − n 1<br />
r<br />
die Abbildungsgleichung .<br />
Da diese Beziehung unabhängig von α <strong>und</strong> γ ist, gilt sie für alle achsennahen Strahlen,<br />
die von G ausgehend in B zusammentreffen.<br />
31
Spezialfälle<br />
1. g = ∞; die beleuchtete Fläche sei konvex (d.h. r ist positiv); n 2 > n 1 .<br />
n 1 n 2<br />
Aus der Abbildungsgleichung folgt dann<br />
n 2<br />
b = n 2 − n 1<br />
<strong>und</strong> somit<br />
r<br />
b =<br />
n 2 r<br />
= konst. = . f 2 > 0 .<br />
n 2 − n 1<br />
f2<br />
F 2<br />
f 2 nennt man die bildseitige Brennweite, F 2 den bildseitigen Brennpunkt des abbildenden<br />
Systems. Parallel einfallende Strahlen treffen im Brennpunkt zusammen, d.h. der Brennpunkt<br />
ist Bildpunkt eines unendlich fernen Punktes. Die Abbildungsgleichung lautet somit<br />
auch<br />
n 1<br />
g + n 2<br />
b = n 2<br />
.<br />
f 2<br />
Dieser Fall entspricht bis auf die geringere Fokussierung durch die Linse der Abbildung<br />
des Auges durch die Hornhaut auf die Netzhaut.<br />
2. g = ∞; die beleuchtete Fläche sei konkav (d.h. r < 0); n 2 > n 1 .<br />
n<br />
n 2<br />
1<br />
F 2 f 2<br />
Analog zu 1. findet man f 2 = n 1 r<br />
< 0 .<br />
n 2 − n 1<br />
3. b = ∞; r > 0; n 2 > n 1 . Aus der Abbildungsgleichung folgt<br />
F 1<br />
g = n 1 r<br />
n 2 − n 1<br />
= konst. . = f 1 > 0 .<br />
f 1 <strong>und</strong> F 1 sind definiert als gegenstandseitige (oder<br />
objektseitige) Brennweite, bzw. Brennpunkt.<br />
f 1<br />
n 1<br />
n 2<br />
Es gilt offenbar<br />
f 2<br />
f 1<br />
= n 2<br />
n 1<br />
,<br />
d.h. die Brennweiten verhalten sich wie die Brechungsindizes. Die Brennpunkte F 1 <strong>und</strong><br />
F 2 liegen auf entgegengesetzten Seiten der brechenden Fläche.<br />
3.1.4 Abbildung durch dünne <strong>und</strong> dicke Linsen<br />
G<br />
n 1 n 1<br />
B<br />
g<br />
r 1<br />
n 2<br />
b<br />
r 2<br />
Man spricht von einer dünnen Linse, wenn ihre<br />
Dicke klein ist gegen die Krümmungsradien r 1 <strong>und</strong><br />
r 2 der beiden Grenzflächen. Die Abbildungsformel<br />
für dünne Linsen ergibt sich durch zweimalige Anwendung<br />
der Abbildungsformel für eine sphärische<br />
Trennfläche.<br />
32
B'<br />
G<br />
n 1 n 2<br />
r 1<br />
Wenn g gegeben ist, so folgt als Bildweite b ′ für die<br />
Brechung an der ersten Fläche:<br />
n 2<br />
b ′ = n 2 − n 1<br />
r 1<br />
− n 1<br />
g .<br />
b'<br />
g<br />
b ′ wird jetzt zur negativen Gegenstandsweite g ′ für<br />
die Abbildung durch die 2. Fläche, d.h.<br />
g ′ = −b ′ . Es gilt also<br />
n 2<br />
g ′ + n 1<br />
b = −n 2<br />
b ′ + n 1<br />
b = n 1 − n 2<br />
r 2<br />
.<br />
B'<br />
r 2<br />
n 1<br />
n 2<br />
B<br />
Einsetzen für b ′ liefert<br />
g'<br />
b<br />
− n 2 − n 1<br />
r 1<br />
+ n 1<br />
g + n 1<br />
b = n 1 − n 2<br />
r 2<br />
oder<br />
1<br />
g + 1 b = n 2 − n 1<br />
n 1<br />
( 1 r 1<br />
− 1 r 2<br />
) . = 1 f<br />
Abbildungsformel<br />
für dünne Linsen<br />
f hat wieder die Bedeutung einer Brennweite, denn für g = ∞ ist f = b <strong>und</strong> für b = ∞ ist<br />
f = g. Bild- <strong>und</strong> gegenstandseitige Brennweite sind also gleich, wenn in beiden Räumen<br />
derselbe Brechungsindex vorliegt. Da r 1 <strong>und</strong> r 2 positiv gerechnet werden, wenn die Flächen<br />
konvex gegen die Gegenstandseite sind, ist für eine Bikonvexlinse (Figur) r 2 < 0.<br />
Die Grösse n 1 /f einer Linse nennt man ihre Brechkraft oder Stärke. Die Einheit der<br />
Brechkraft ist 1 m −1 = 1 Dioptrie. Eine Linse in Luft (n 1 = 1) mit 5 Dioptrien hat also<br />
reelles<br />
Bild<br />
G<br />
Gegenstand<br />
F 1<br />
F 2<br />
B<br />
3. Ein Strahl durch den Brennpunkt verläuft parallel.<br />
G<br />
✻❏<br />
❆<br />
❏ ❆<br />
❏<br />
✛j✲<br />
❆<br />
❏<br />
F ❆ 1 F 2<br />
❏ ❆<br />
✛x 1 ✲❏<br />
❆<br />
❏ ❆ ❏ ❆ ❄ B<br />
✛✲ f 1<br />
✛f 2<br />
✲x 2 ✛<br />
✛ g ✲ ✛ b ✲<br />
eine Brennweite von f = 0.2 m .<br />
Auf Gr<strong>und</strong> der Abbildungsformel wird das Bild geometrisch<br />
konstruiert:<br />
1. Der Mittelpunktsstrahl ist ungebrochen.<br />
2. Ein Parallelstrahl verläuft durch den Brennpunkt.<br />
Dicke Linsen <strong>und</strong> Linsensystemen können nicht mehr so einfach konstruiert werden.<br />
H 1 H<br />
Gauss hat gezeigt, dass jedes optische System vollständig charakterisiert<br />
werden kann durch die Brennweiten f 1 <strong>und</strong> f 2 <strong>und</strong><br />
2<br />
den Abstand j der Hauptebenen H 1 <strong>und</strong> H 2 im Abstand j.<br />
f 1 <strong>und</strong> f 2 sind die Brennweiten von den Hauptebenen aus gerechnet.<br />
Diese Hauptebenen sind dadurch definiert, dass sie<br />
im Verhältnis 1:1 aufeinander abgebildet werden. Lichtstrahlen<br />
werden also wiederum nur an jeweils einer der beiden<br />
Hauptebenen gebrochen. Damit ist eine geometrische Bildkonstruktion<br />
möglich (siehe Figur) <strong>und</strong> eindeutig.<br />
Wieder ist f 1 = f 2<br />
. = f, wenn gegenstand- <strong>und</strong> bildseitiges Medium gleichen Brechungsindex<br />
haben. Ferner kann aus der Figur abgelesen werden<br />
|B|<br />
f 1<br />
=<br />
|G| + |B|<br />
g<br />
<strong>und</strong><br />
|G|<br />
f 2<br />
=<br />
|G| + |B|<br />
b<br />
, also<br />
f 1<br />
g + f 2<br />
b = 1<br />
33
oder, für f 1 = f 2 = f,<br />
1<br />
g + 1 b = 1 f<br />
Gauss’sche Abbildungsformel .<br />
g <strong>und</strong> f werden von den Hauptebenen aus gerechnet. Der Spezialfall der dünnen Linsen<br />
ergibt sich aus diesem allgemeinen Fall, da dort j = 0, d.h. H 1 = H 2 = Linsenebene.<br />
Das Vergrösserungsverhältnis m ist ferner<br />
m = |B|<br />
|G| = −b g .<br />
Mit den Abständen x 1 = g − f 1 <strong>und</strong> x 2 = b − f 2 von den Brennpunkten gerechnet gilt<br />
x 1 x 2 = f 1 f 2 die Newtonsche Abbildungsformel .<br />
3.1.5 Abbildungsfehler<br />
Das Vergrösserungsverhältnis m ist m = − f 1<br />
x 1<br />
= − x 2<br />
f 2<br />
.<br />
In der Praxis zeigen Linsen Abweichungen von den einfachen Gesetzmässigkeiten, die wir<br />
eben behandelt haben. Es handelt sich in der Hauptsache um folgende Fehler:<br />
1. Sphärische Aberration (= Schärfefehler)<br />
Parallel zur Achse einfallende Strahlen schneiden sich nicht<br />
in einem Brennpunkt, weil die äusseren, achsenfernen Linsenzonen<br />
eine kleinere Brennweite haben. Der Gr<strong>und</strong> ist die<br />
Näherung sinϕ ≈ ϕ ≈ tanϕ bei der Berechnung der Abbildungsgleichung<br />
mit sphärischen Flächen. Der Bildpunkt wird<br />
ausgedehnt (Kaustik der Linse). Diese Aberration kann<br />
durch Verwendung nicht-sphärischer Flächen, wie beim Auge, vermieden werden, allerdings<br />
auf Kosten eines grösseren Astigmatismus.<br />
x<br />
b<br />
n<br />
x=b(1-<br />
cosα )<br />
√n 2 -sinα<br />
α<br />
Nicht-sphärische Linsen werden inzwischen industriell hergestellt.<br />
Konvex- <strong>und</strong> Konkav-Linsen haben eine unterschiedliche gegenläufige<br />
sphärische Aberration; damit behebt eine Kombination von Konvex- <strong>und</strong><br />
Konkav-Linsen den Fehler jedoch nur für einen bestimmten Gegenstands<strong>und</strong><br />
Bildpunkt, wie z.B. g = ∞ für Fernrohr, Kamera oder dicht vor<br />
dem Brennpunkt beim Mikroskop. Eine planparallele Platte bewirkt eine<br />
sphärische Überkorrektur (Fig.), daher müssen Mikroskope mit einer<br />
entsprechend korrigierten Dicke des Deckglases betrieben werden.<br />
2. Astigmatismus (Punktlosigkeit) <strong>und</strong> Bildflächenwölbung Astigmatismus ist<br />
ein Fehler, der bei der Abbildung von Punkten auftritt,<br />
die ausserhalb der Achse liegen. Die von ei-<br />
Linse<br />
Meridianschnitt<br />
r<br />
nem solchen Punkt ausgehenden, die Linse schräg<br />
opt.<br />
M r > ρ<br />
durchdringenden Strahlen treffen sich nicht in einem<br />
Achse<br />
f sagittal < f meridian Punkt, sondern in einer Linie, weil die Brennweiten<br />
ρ<br />
M '<br />
der Linse in den verschiedenen durch die Linsenache<br />
Sagittalschnitt<br />
gehenden Ebenen (z. B. Meridianschnitt <strong>und</strong> Sagittalschnitt,<br />
Fig.) unterschiedlich gross sind (r > ρ).<br />
34
1. Brennebene<br />
F sagittal<br />
2. Brennebene<br />
F meridian<br />
Ein seitlich der Hauptachse liegender Objektpunkt wird in<br />
zwei zueinander senkrechten, hintereinander liegenden Linienelementen<br />
<strong>und</strong> nicht als Punkt abgebildet. Zusätzlich ist<br />
die Bildebene gewölbt (Bildflächenwölbung), da verschiedene<br />
Einfallswinkel verschieden weite Brennpunkte haben.<br />
Der Astigmatismus ist gross für Linsen mit kleiner<br />
sphärischen Aberration, daher werden Vielfachsysteme mit einer teilweise gleichzeitigen<br />
Kompensation von Aberration <strong>und</strong> Astigmatismus gebaut (Anastigmate bei Kameras).<br />
3. Chromatische Aberration Für die Lichtbrechung zeigen alle Materialien mehr<br />
n<br />
oder weniger starke Dispersion, der Brechungsindex hängt<br />
von der Wellenlänge ab (Kap. 2.1.7). Gewöhnlich nimmt<br />
im sichtbaren Gebiet n mit abnehmender Wellenlänge zu.<br />
1<br />
Folglich ist bei jeder Linse<br />
Blende<br />
Linse 1<br />
4000 7000 Å<br />
α<br />
α−β<br />
n<br />
γ<br />
β<br />
δ<br />
α−β<br />
symmetrisches Prisma<br />
Schirm<br />
Linse2<br />
Brechungsindizes H 2 O, 20 ◦ C<br />
λ Linie n Farbe<br />
7682 Å 1.32895 tiefrot<br />
6563 Å C 1.33111 rot<br />
5893 Å D 1.33299 gelb<br />
5351 Å 1.33496 grün<br />
4861 Å F 1.33713 blau<br />
4341 Å 1.34045 violett<br />
n(λ) = sin( δ+γ 2 sin(γ 2<br />
n viol > n rot <strong>und</strong> f viol < f rot .<br />
Die chromatische Aberration wird bei einem<br />
Prisma als einfaches optisches Spektometer<br />
ausgenutzt. Bei einer symmetrischen<br />
Anordnung, bei der der im Prisma gebrochene<br />
Strahl parallel zur Basis verläuft, ist die<br />
Ablenkung δ minimal <strong>und</strong> sie wird nur durch<br />
n <strong>und</strong> γ bestimmt. Es gilt sin α = n · sin β,<br />
δ = 2(α − β), γ = 2β <strong>und</strong> der einfallende<br />
<strong>und</strong> gebrochene Strahl verlaufen parallel zu<br />
einem an der Basis total reflektierten Strahl,<br />
wie man ausgehend von einem nichtsymmetrischen<br />
Strahlengang zeigen kann 16 . Der<br />
durch die Blende begrenzte Strahl wird mit<br />
den beiden Linsen auf dem Schirm abgebildet,<br />
die symmetrische Anordnung gilt nur für<br />
den Brechungsindex einer Wellenlänge mit<br />
) , damit kann der Brechungsindex bestimmt werden.<br />
4. Korrektur der Linsenfehler †<br />
Durch Kombination von Linsen aus Gläsern mit verschiedener Dispersion (Achromaten)<br />
kann die chromatische Aberration reduziert werden. Prinzipiell lassen sich Linsenfehler<br />
nicht vollständig beseitigen sondern nur durch Kombinationen von Konvex-, Konkavlinsen<br />
<strong>und</strong> planparallelen Platten sowie durch Wahl des Brechungsidexes der Glassorten<br />
vermindern. Dieses vieldimensionale Optimierungsproblem der numerischen Mathematik<br />
ist erst mit Hochleistungscomputern in vernünftigen Zeiten lösbar geworden. Mit asphärischen<br />
Linsen, die Computer-gesteuert hergestellt werden können, oder mit Gradientenlinsen,<br />
die eine räumliche Verteilung des Brechungsindizes z.B. n(r) haben, kann die sphärische<br />
Aberration auch korrigiert werden. Die Bildflächenwölbung wird in Spezialkameras<br />
mit gewölbten Filmen korrigiert.<br />
Das Schmidt-Teleskop wird als die bedeutendste optische Erfindung der ersten Hälfte<br />
des 20. Jahrh<strong>und</strong>erts bezeichnet.<br />
16 sinα 1 = n · sin β 1 , sin α 2 = n · sin β 2 , γ = β 1 + β 2 , δ = α 1 − β 1 + α 2 − β 2 = α 1 + α 2 − γ<br />
35
g(h)<br />
A<br />
∆x<br />
∆y<br />
x<br />
C<br />
F<br />
ϑ<br />
h<br />
ϑ<br />
R=2f<br />
ϑ<br />
deformierte Flache " (stark uberhoht)<br />
" "<br />
.<br />
Um ein lichtstarkes (grosse Öffnung) komafreies (korrigierte<br />
Aberration) Spiegelsystem zu bauen, wurde von<br />
B. Schmidt 17 eine Korrektionsplatte (asphärische Fläche)<br />
berechnet, die die Spiegelfläche <strong>und</strong> die Korrektur der Wellenfront<br />
räumlich entkoppelt. Der Fokus F für achsennahe<br />
Strahlen ist für achsenferne Strahlen um ∆x <strong>und</strong> ∆y<br />
in Abhängigkeit von h verschoben. Mit dem Kugelmittelpunkt<br />
C <strong>und</strong> dem Reflexionswinkel sin ϑ = h können<br />
2f<br />
diese Abweichungen berechnet werden:<br />
∆x = FA = FC − AC = f − f/ cos ϑ ≈ − h2<br />
8f<br />
<strong>und</strong> ∆y ≈ − h3 .<br />
8f 2<br />
[<br />
Damit erhält man die Dicke der Korrekturplatte g(h) = 1 h 2 h 2<br />
+ ]<br />
n−1 f 2 32f ∆1 2 + g(0).<br />
∆ ist der Abstand des Referenzkugel-Zentrums vom Bildpunkt. Der maximale Dickenunterschied<br />
der Platte für einen 100 cm Spiegel ist 0.08 mm. Ein analoges Verfahren wurde<br />
bei der Korrektur des Hubbel-Teleskopes angewendet.<br />
3.2 Wellenoptik<br />
Wie im Kapitel 3.1 gezeigt wurde, gehorcht das Licht dem Reflexions- <strong>und</strong> Brechungsgesetz,<br />
ohne dass eine Aussage über die Wellen- oder Teilchennatur des Lichtes gemacht<br />
werden musste. Wird Licht als Teilchen interpretiert, dann gelten diese Gesetze uneingeschränkt.<br />
Die Wellennatur des Lichtes kann erst mit Beugungs- <strong>und</strong> Interferenzerscheinungen<br />
nachgewiesen werden.<br />
3.2.1 Das Huygensche Prinzip<br />
In seiner einfachsten Form lautet das Huygensche Prinzip:<br />
Jeder Punkt des Raumes, der von einer Welle getroffen wird, ist<br />
Zentrum von sek<strong>und</strong>ären Kugelwellen. Die resultierende Welle<br />
erhält man durch Überlagerung solcher Huygenswellen.<br />
Auf Gr<strong>und</strong> dieser Aussage lassen sich die Wellenfronten konstruieren als Einhüllende aller<br />
Sek<strong>und</strong>ärwellenfronten. Die Wellenfläche eines solchen Systems ist der geometrische Ort<br />
aller Puntke, die gleichzeitig von einer von der Quelle ausgehenden Störung erfasst werden.<br />
Wellenstrahlen sind Linien, die überall senkrecht zu den Wellenflächen stehen.<br />
Beispiele: a) ebene Wellen b) Kugelwellen<br />
Kugelwellen<br />
einfallende<br />
Wellenfront<br />
auslaufende<br />
Wellenfront<br />
17 B. Schmidt, Mitt. Hamburg 7(1932)15, vgl. K. Bahner Handbuch d. <strong>Physik</strong> XXIX, 247, 272<br />
36
c) Beugung am Loch<br />
k →<br />
Trifft eine Welle auf<br />
einen Schirm mit einem<br />
Loch, dessen<br />
Durchmesser klein<br />
gegen λ ist, so breitet<br />
sich vom Loch eine<br />
Kugelwelle aus.<br />
d) Beugung am<br />
Hindernis<br />
k<br />
Trifft die Welle ein<br />
Hindernis, dessen<br />
Querdimensionen<br />
klein gegen<br />
λ sind, so wird<br />
das Hindernis zu einem<br />
Zentrum einer<br />
Kugelwelle.<br />
Aus dem Huygenschen Prinzip folgt sofort das Reflexions- <strong>und</strong> Brechungsgesetz.<br />
e) Reflexionsgesetz.<br />
Für die reflektierte Welle können die Phasenebenen<br />
nach der folgenden geometrischen Konstruktion erhalten<br />
werden. Es ist AD = BC = v 1 ∆T .<br />
v 1<br />
D<br />
B<br />
Also sind die Dreiecke ABC <strong>und</strong> ADC ähnlich,<br />
somit gilt α = β das Reflexionsgesetz .<br />
f) Brechungsgesetz. Für die Phasenebenen der durchlaufenden<br />
Welle ist<br />
sin α<br />
sin γ = v 1 ∆T<br />
v 2 ∆T = v 1<br />
v 2<br />
= n 2<br />
n 1<br />
.<br />
Also gilt<br />
sin α<br />
sin γ = n 2<br />
n 1<br />
Snellius’sches Brechungsgesetz .<br />
A<br />
v 1 ∆t<br />
α<br />
β<br />
v 1<br />
v 1 ∆t<br />
C<br />
v<br />
n 1 t<br />
1<br />
n A<br />
2<br />
v 2<br />
t<br />
v 1 >v 2<br />
n<br />
g) Der gekrümmte Lichtstrahl.<br />
z<br />
n<br />
Werden zwei Flüssigkeiten mit verschiedenem Brechungsindex einander<br />
überlagert, so wird n im Diffusionsgebiet eine Funktion der<br />
2<br />
G<br />
B ?<br />
1<br />
Höhe (siehe Figur). Ein horizontaler, beliebig feiner Lichtstrahl<br />
müsste nach der Strahlenoptik die Flüssigkeit geradlinig durchsetzen,<br />
<strong>und</strong> zwar für eine beliebige Höhe. Die Erfahrung widerspricht<br />
n dieser Behauptung.<br />
n 2<br />
n 1<br />
z<br />
Im Übergangsgebiet wird der Lichtstrahl gekrümmt.<br />
Die Krümmung ist eine direkte<br />
Konsequenz des Huygens’schen Prinzips <strong>und</strong><br />
damit der Wellennatur des Lichtes. 18<br />
Um die Gesamtwirkung in einem Raumpunkt zu erhalten, muss man über alle Sek<strong>und</strong>ärwellen,<br />
die dort eintreffen, unter Berücksichtigung der gegenseitigen Phasenbeziehungen<br />
summieren, vgl. dazu auch die folgenden Kapitel 3.3 <strong>und</strong> 3.4 über Interferenz <strong>und</strong><br />
Beugung.<br />
18 Bei gegebenem Eintritts- <strong>und</strong> Austrittspunktes des Strahles aus dem Behälter kann man den Verlauf<br />
des Strahles auch mit Hilfe des Fermat’schen Prinzips erklären. Das Fermat’sche Prinzip kann aber<br />
nicht erklären, weshalb der Strahl nicht geradeaus geht. Ähnliches gilt auch für die Fata Morgana oder<br />
die Sonne, die nach dem Sonnenuntergang noch sichtbar ist (siehe Kapitel 3.1.1). Die Sek<strong>und</strong>är- oder<br />
Huygenswellen besitzen ein festes Phasenverhältnis zur einfallenden Welle.<br />
v 2<br />
B<br />
v 1<br />
C<br />
37
3.3 Interferenz von Wellen<br />
Wie gezeigt wurde, gehorcht Licht dem Reflexions- <strong>und</strong> Brechungsgesetz, wie dies für Wellen<br />
aus dem Huygenschen Prinzip folgt. Trotzdem ist dies noch kein zwingender Gr<strong>und</strong>,<br />
dass Licht wirklich Wellennatur besitzt. Wenn Licht aus Korpuskeln zusammengesetzt<br />
wäre, so könnten Brechung <strong>und</strong> Reflexion trotzdem verstanden werden 19 (z.B. mit dem<br />
Fermatschen Prinzip). Der eindeutige Nachweis der Wellennatur des Lichtes gelingt erst<br />
anhand von Beugungs- <strong>und</strong> Interferenzeffekten.<br />
3.3.1 Interferenz zweier Wellen. Kohärenz<br />
Zwei superponierte Wellen gleicher Frequenz <strong>und</strong> Wellenlänge können sich je nach ihrer<br />
relativen Phasenlage verstärken oder auslöschen.<br />
u u 1 u 2 Die eine Welle sei u 1 = a cos(k x − ω t) . Ihre Intensität<br />
ist proportional zu I 1 = a 2 . Für die andere<br />
Welle gelte u 2 = a cos(k x − ω t + δ) <strong>und</strong> I 2 = a 2 .<br />
x<br />
Die resultierende Erregung ist<br />
u = u 1 + u 2 = a [cos(k x − ω t) + cos(k x − ω t + δ)]<br />
= 2a cos δ cos(k x − ω t + δ) = . A cos(k x − ω t + δ).<br />
2 2 2<br />
λδ<br />
Wir erhalten eine Welle gleicher Frequenz <strong>und</strong> Wellenlänge<br />
mit der 2π<br />
Amplitude<br />
A = 2a cos(δ/2) <strong>und</strong> der Intensität I = 4a 2 cos 2 δ 2 . (28)<br />
Die Intensität ist also nicht einfach proportional zu (2a) 2 ; die Phasendifferenz δ spielt eine<br />
wesentliche Rolle. Meist rührt δ daher, dass die Wellen vor der Superposition verschieden<br />
lange Wege durchlaufen. Ist die Differenz dieser Wege ∆, so ist die Phasendifferenz<br />
δ = k ∆ = 2π ∆ λ .<br />
Bei der Superposition ergeben sich zwei Grenzfälle:<br />
1. maximale Verstärkung, wenn die Erregungsmaxima der beiden Wellen zusammenfallen:<br />
A = 2a, I = 4a 2 für δ = 0, 2π, 4π,... bzw. ∆ = 0, λ, 2λ,..., mλ (29)<br />
2. Auslöschung, wenn die Maxima der einen Welle mit den Minima der anderen zusammenfallen:<br />
A = 0 = I für δ = π, 3π, 5π,... bzw. ∆ = 1 2 λ, 3<br />
2 λ,..., (m + 1 )λ (m=ganze Zahl) (30)<br />
2<br />
Interferenz kann natürlich nur beobachtet werden, wenn die Phasendifferenz δ am<br />
Messpunkt zeitlich konstant ist. Zwei Wellen, deren Phasendifferenz konstant ist, nennt<br />
man kohärent.<br />
Konventionelle Lichtquellen wie Glühlampen oder die Sonne senden inkohärentes<br />
Licht aus, weil die Elementarprozesse statistisch Licht emittieren, wie z.B. die Rückkehr<br />
eines angeregten Atomes in den Gr<strong>und</strong>zustand.<br />
Die einzelnen Wellenzüge sind zeitlich<br />
⌢⌣⌢⌣⌢⌣ ⌢⌣⌢⌣ ⌢⌣⌢⌣⌢⌣⌢⌣ begrenzt <strong>und</strong> zufällig verteilt, <strong>und</strong> haben<br />
daher keine festen Phasenbezie-<br />
⌢⌣⌢⌣ ⌢⌣⌢⌣ ⌢⌣⌢⌣⌢⌣<br />
∆ 1 ∆ 2 ∆ 3<br />
hungen: ∆ 1 ≠ ∆ 2 ≠ ∆ 3 .<br />
19 Die Erklärung des krummen Lichtstrahles basiert allerdings auf der Wellennatur des Lichtes.<br />
38
Die resultierende Intensität wechselt dann rasch <strong>und</strong> wir beobachten den zeitlichen Mittelwert<br />
I = 4a 2 cos k ∆(t) 2 = 4a 2 1 2 2 = 2a2 = I 1 + I 2 .<br />
Es ist charakteristisch für inkohärente Wellen, dass sich die Intensitäten addieren. Dasselbe<br />
Resultat erhalten wir auch, wenn zwei Wellen verschiedener Frequenz superponiert<br />
werden.<br />
Für kohärente Wellen werden die Amplituden addiert: I = ( ∑ i a i ) 2 .<br />
Für inkohärente Wellen werden die Intensitäten addiert: I = ∑ i(a i ) 2 .<br />
L 1 L 2<br />
L<br />
Kohärente Wellen haben nicht nur die gleiche Frequenz, sondern auch<br />
eine feste Phasenbeziehung.<br />
Um kohärentes Licht zu erhalten, kann man das Licht, das von einem<br />
Emissionszentrum ausgeht, in Teilwellen zerlegen, die dann eine<br />
feste Phasendifferenz haben. Um in einem Raumpunkt interferieren<br />
zu können, darf der Wegunterschied nicht grösser als die Länge eines<br />
Wellenzuges sein. Man nennt die maximal zulässige Wegdifferenz die<br />
Kohärenzlänge.<br />
Licht kann z.B. mit zwei Spiegeln in zwei Teilwellen zerlegt werden, auf<br />
welche ausgeblendete Lichtbündel einer einzigen Lichtquelle L fallen. Die<br />
virtuellen Spiegelbilder L 1 <strong>und</strong> L 2 stellen dann zwei Quellen dar, die<br />
kohärentes Licht aussenden.<br />
3.3.2 Interferenzrohr von Quincke<br />
x 1<br />
Man betrachtet die Überlagerung zweier Schallwellen gleicher<br />
Frequenz. Die vom Lautsprecher erzeugte Schallwelle wird in<br />
A in zwei Wellen u 1 <strong>und</strong> u 2 aufgeteilt. In B werden die Wellen,<br />
nach dem Zurücklegen der Wege x 1 <strong>und</strong> x 2 zur Interfenz<br />
gebracht. Die vom Mikrophon registrierte Störung beträgt:<br />
u B = u 1 + u 2 = A cos(kx 1 − ωt) + A cos(kx 2 − ωt)<br />
A<br />
variabel<br />
B<br />
Gemäss Gleichung (29) tritt konstruktive Interferenz auf,<br />
wenn ∆ = x 1 − x 2 = nλ, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3...<br />
<strong>und</strong> destruktive Interferenz [gemäss Gl. (30)], wenn<br />
∆ = x 1 − x 2 = (n + 1 )λ, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3...<br />
2<br />
Zahlenbeispiel: v = 340 m/s, ν = 1700 Hz.<br />
x 2<br />
Dann beträgt der Wegunterschied zwischen zwei Maxima oder Minima 20 cm = λ.<br />
Eine Unterdrückung von hohem Lärmpegel (5-15 dB) durch destruktive Interferenz<br />
wird bei Kopfhörern für Piloten angewendet 20 .<br />
20 Zeitschr. f. Lärmbekämpfung 1(Jan.1988) Springer Verlag.<br />
39
3.3.3 Young’scher Interferenzversuch (Doppelquelle)<br />
x<br />
x Thomas Young (1802) erbrachte den ersten Nachweis von Interferenzerscheinungen<br />
beim Licht. Die Wellen von zwei phasengleichen<br />
r 1<br />
Quellen Q 1 <strong>und</strong> Q 2 im Abstand d voneinander werden auf einem<br />
Schirm superponiert.<br />
D<br />
Es sei d ≪ D <strong>und</strong> x ≪ D. Für die Wegdifferenz ∆ = r 1 − r 2 ergibt<br />
r 2 sich dann ∆ = d sin α ≈ d tan α = d x D .<br />
Die Intensität auf dem Schirm ist also nach Gleichung (28):<br />
d Q 1 Q 2<br />
-3π -2π<br />
-π<br />
I<br />
0 π 2π 3π<br />
I = 4a 2 cos 2 k ∆ 2 = 4a2 cos 2 k dx<br />
2D = 4a2 cos 2 π dx<br />
λ D .<br />
k∆<br />
Auf dem Schirm entsteht in dieser Näherung<br />
ein Interferenzmuster von gleichen äquidistanten<br />
hellen <strong>und</strong> dunklen Streifen, ohne Näherung<br />
nimmt die Intensität bei hohen Ordnungen ab.<br />
3.3.4 Interferometer von Jamin<br />
Quelle Es wird eine ausgedehnte Lichtquelle benutzt, die<br />
einen Spiegel S 1 beleuchtet. Durch Reflexion an dessen<br />
Vorder- <strong>und</strong> Rückseite wird jeder auftretende<br />
2 S<br />
1<br />
1' “Strahl” in zwei Strahlen aufgespalten. Gleiches geschieht<br />
am zweiten Spiegel S 2 . Bei vollkommener Par-<br />
2<br />
2'<br />
allelität <strong>und</strong> Gleichheit der Spiegel S 1 <strong>und</strong> S 2 ergeben<br />
S 1<br />
die beiden Wellen 1 <strong>und</strong> 2 in P, aber auch 1’ <strong>und</strong> 2’<br />
in Q immer ein Maximum, da ja die Lichtwege genau<br />
gleich sind mit je einer äusseren <strong>und</strong> einer inneren<br />
Reflexion 21 . Dies gilt für jeden Einfallswinkel, der<br />
Q P<br />
Schirm S<br />
Schirm S ist also hell.<br />
Eine leichte Unparallelität führt für die verschiedenen Strahlenpaare zu verschiedenen<br />
optischen Wege <strong>und</strong> in S entsteht ein Interferenzstreifensystem. Phasendifferenzen zwischen<br />
zwei Wellen können auch entstehen, wenn sie gleich lange Wege in Medien mit<br />
verschiedenem Brechungsindex zurücklegen. Statt δ = k ∆ ist dann die Phasendifferenz<br />
δ = k 1 x − k 2 x = 2π x ( 1 λ 1<br />
− 1 λ 2<br />
) .<br />
Ferner gilt v 1 = ν λ 1 = c = ν λ ◦<br />
<strong>und</strong> v 2 = ν λ 2 = c = ν λ ◦<br />
n 1 n 1 n 2 n 2<br />
wenn λ ◦ die Wellenlänge im Vakuum ist. Wir erhalten damit<br />
δ = 2π<br />
λ ◦<br />
x (n 1 − n 2 ) = k ◦ (n 1 x − n 2 x) .<br />
Die Grösse nx nennt man den optischen Weg. Allgemein bestimmt also die Differenz<br />
der optischen Wege die Phasendifferenz δ.<br />
21 Bei einer äusseren Reflexion am dichteren Medium tritt ein Phasensprung von π auf (Kap. 1.5 Fall<br />
1.) <strong>und</strong> bei einer inneren Reflexion am dünneren Medium im Spiegel bleibt die Phase erhalten. Dieser<br />
Phasensprung muss bei Interferenzexperimenten berücksichtigt werden.<br />
40
1<br />
2<br />
✛<br />
l<br />
n 1<br />
n 2<br />
✲ Wird z.B. der Weg des Strahls 1 im Jamin-Interferometer<br />
über die Strecke l allmählich evakuiert, so ergibt sich bei<br />
✲gleichen geometrischen Wegen zwischen 1 <strong>und</strong> 2 eine optische<br />
Wegdifferenz<br />
✲<br />
∆ = l (n 1 − n 2 ) ,<br />
wobei n 2 der Brechungsindex von Luft beim Druck p ◦ <strong>und</strong> n 1 = 1 + (n 2 − 1) p<br />
p ◦<br />
der<br />
Brechungsindex beim Druck p ist.<br />
Die Wegdifferenz ändert sich beim Evakuieren von ∆ = 0 bis ∆ = l (n 2 −1). Jedesmal,<br />
wenn sie ein ganzes Vielfaches von λ ◦ ist, erscheint ein Maximum im Punkt P. Es wandern<br />
in diesem Punkt also N = l (n 2 − 1)/λ ◦ Streifen vorbei.<br />
So wurde z.B. der Brechungsindex der Luft für Natrium-Licht bei 0 ◦ C <strong>und</strong> Normaldruck<br />
gemessen zu n = 1.000 292 6 .<br />
3.3.5 Das Michelson Morley Interferenz-Experiment<br />
Römer, Bradley, Fizeau <strong>und</strong> Foucault (Kap. 2.1.5) bestimmten nur einen endlichen Wert<br />
für die Lichtgeschwindigkeit c <strong>und</strong> lösten damit nicht die Frage nach der Existenz des<br />
Äthers bzw. der unterschiedlichen Lichtgeschwindgkeiten z.B. senkrecht <strong>und</strong> parallel zu<br />
einer bewegten Lichtquelle. Diese wurde erst 1881 im Michelson <strong>und</strong> 1887 im Michelson<br />
Morley Experiment 22 1850 gelöst 23 , in dem angenommen wurde, es gäbe den Äther.<br />
Das Ruhesystem Σ ′ , in dem das Interferometer befestigt ist, bewegt sich relativ zum<br />
Äther mit der Geschwindigkeit der Erde ⃗v = 29.8km/s parallel zu Arm 1.<br />
L<br />
l 2 2<br />
1<br />
l 1<br />
S o<br />
P<br />
S 2<br />
S 1<br />
v<br />
In der Ebene P entsteht ein Interferenzmuster,<br />
wenn L eine ausgedehnte, monochomatische Quelle<br />
<strong>und</strong> l 2 − l 1 < Kohärenzlänge ist. Der Lichtstrahl<br />
der Quelle L wird an einem bedampften<br />
halbdurchlässigen Spiegel S ◦ in einen durchgehenden<br />
Strahl 1 <strong>und</strong> einen reflektierten Strahl 2 aufgeteilt,<br />
die jeweils am Spiegel S 1 <strong>und</strong> S 2 zurückreflektiert<br />
werden <strong>und</strong> am Schirm P interferieren.<br />
Strahl 1 durchläuft 1× <strong>und</strong> Strahl 2 3× den Spiegel S ◦ , dieser<br />
Wegunterschied wird mit der planparallelen Platte im Strahl<br />
1 kompensiert. Strahl 1 hat eine zusätzliche äussere Reflexion<br />
am dichteren Medium mit einer Phase π(vgl. Fussnote 21 <strong>und</strong><br />
Kap. 1.5), die bei sonst gleichen optischen Wegen zu einem Minimum<br />
am Schirm P führt.<br />
✻S halbdurch-<br />
2 2<br />
❄ S<br />
❅✏✮<br />
✏ lässig ◦<br />
<br />
L ✲ ❈ <br />
❅<br />
❳❳ ❈ ✛<br />
<br />
❳❳✲<br />
<br />
1<br />
❅<br />
S 1<br />
❄ ❅<br />
P<br />
22 Michelson and Morley, Am.J.Sci. 34(1887)333,<br />
P. Huber <strong>und</strong> H. Staub, Einführung in die <strong>Physik</strong> III. Bd./1.Teil Atomphysik 1970 S.92.<br />
23 Mit seinem Interferometer hat Michelson auch die Länge des Urmeters vermessen. Dazu wurde l 2<br />
um die entsprechende Länge verändert <strong>und</strong> dabei die Anzahl erscheinender Maxima bei B gezählt. Da<br />
man mit konventionellen Spektrallampen wegen der kurzen Kohärenzlänge keine Gangunterschiede von<br />
2∆l 2 = 2 m erhalten kann, wurden Hilfsnormale von 1/2, 1/4, 1/8 etc. der Urmeterlänge benutzt.<br />
Weiter hat Michelson auch die ersten Versuche zur Messung der Absolutgeschwindigkeit der Erde<br />
durchgeführt.<br />
41
⃗v ✲<br />
✻ ✂✍ ❇<br />
c ′ ✂ ❇<br />
2 c<br />
✂ c ′ ❇<br />
2 c<br />
✂ ❇<br />
✂ ❄✲❇◆<br />
⃗v<br />
Mit der Annahme der linearen Galilei Transformation der Geschwindigkeiten<br />
gilt für das durch den Arm 1 des Interferometers laufende Licht mit<br />
Addition der Äthergeschwindigkeit v im gestrichenen, bewegten System<br />
c ′ 1 = c ∓v. Im Arm 2 kann für c ′ 2 die nebenstehende Geometrie senkrecht<br />
zum Spiegel S 2 berücksichtigt werden. Die Interferenz in P infolge der<br />
Zeitdifferenz der Strecken 1-2 ist dann<br />
(<br />
1. Strecke ∆t = t 1 − t 2 , c ′ 1 = c ∓ v, t 1 = l 1<br />
1 + 1<br />
c−v<br />
2. Strecke c ′ 2 = √ ( )<br />
c 2 − v 2 2<br />
, t 2 = l 2<br />
√<br />
c 2 −v ,<br />
2<br />
)<br />
=<br />
2l 1 c<br />
c 2 −v 2<br />
c+v )<br />
√<br />
c 2 −v 2<br />
∆t = 2<br />
(<br />
l1 c<br />
c 2 −v 2 − l 2<br />
Da die Geschwindigkeit der Erde v Erde nicht geändert werden kann, ist eine solche Verschiebung<br />
für eine Variation von v nicht messbar. Experimentell wird dieses Problem<br />
gelöst, indem die Apparatur um 90 0 gedreht wird <strong>und</strong> dann die Differenz des Lichtweges<br />
zwischen<br />
diesen beiden Positionen aus der Interferenz bestimmt wird.<br />
L<br />
Das Interferometer (siehe Figur) ist mit seinem Ruhesystem<br />
Σ ′ um die Achse senkrecht zur Figurenebene um 90 0 gedreht<br />
worden. Für die 90 0 Lage ist die Zeitdifferenz ∆t (90)<br />
P<br />
S o<br />
l 1<br />
1<br />
l 2<br />
v<br />
2<br />
S 2<br />
S 1<br />
1. Strecke c ′(90)<br />
1 = √ c 2 − v 2 , t (90)<br />
1 = √ 2l 1<br />
c 2 −v 2<br />
2. Strecke c ′(90)<br />
2 = c ∓ v, t (90)<br />
2 = 2l 2c<br />
,<br />
c 2 −v 2<br />
⇒ ∆t ′ = t ′ 1 − t ′ 2 = 2 ( )<br />
√c l 1<br />
−<br />
l 2c<br />
2 −v 2 c 2 −v . 2<br />
Für den Punkt P ist also die Differenz der Laufzeitdifferenz<br />
in den beiden Lagen<br />
(<br />
) )<br />
δt = ∆t − ∆t (90) 2l 1 c<br />
= √ √<br />
c2 − v 2 c2 − v − 1 2l 2 c<br />
− √<br />
(1 − √ . Mit v ≪ c<br />
2 c2 − v 2 c2 − v 2<br />
c<br />
wird die Wurzel entwickelt √<br />
c2 − v = 1<br />
√<br />
2 1 − v 2 /c = 1 + 1 v 2<br />
2 2 c + 3 ( ) v 4<br />
+ · · ·<br />
2 8 c<br />
⎛<br />
⎞<br />
2 1<br />
δt = √ ⎝√<br />
c 1 − v 2 /c 2 1 − v 2 /c − 1 ⎠ (l 1 + l 2 ) ≈ l (<br />
1 + l 2 v<br />
2<br />
·)<br />
2 c c + · · .<br />
2<br />
δt gemessen in Einheiten der Zeitdifferenz T einer Wellenlänge λ ist δt/T <strong>und</strong> ausgedrückt<br />
in Einheiten x 0 des Abstandes zweier Maxima<br />
δt<br />
δx = x 0<br />
T = x l 1 + l 2 v 2<br />
0<br />
λ c . 2<br />
Die Geschwindigkeit v der Erde auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne ist v =<br />
29.8 km/s (die Rotationgeschwindigkeit von ≈ 0.5 km/s ist dagegen vernachlässigbar). Mit<br />
l 1 = l 2 = 15 m <strong>und</strong> λ = 6000 Å erhielte man eine Verschiebung von 0.49 Streifen<br />
42
δx<br />
x 0<br />
= 30<br />
6 · 10 −7 ( 29.8 · 10<br />
3<br />
2.998 · 10 8 ) 2<br />
= 0.49<br />
Perspektivische Darstellung der Apparatur<br />
von Michelson <strong>und</strong> Morley 22 .<br />
Eines der experimentellen Probleme<br />
des Michelson Morley Experimentes lag<br />
in der Verbiegung <strong>und</strong> Deformation der<br />
Versuchsanordnung bei der Drehung<br />
um 90 0 , die einen Effekt vortäuschen<br />
würde, sowie eine grosse Empfindlichkeit<br />
gegen Vibrationen.<br />
In der ersten Anordnung wurde daher nur δx/x 0 = 1/5 erwartet. Zur Lösung dieses experimentellen<br />
Problems wurde die Apparatur auf einer massiven Steinplatte auf Quecksilber<br />
schwimmend montiert, <strong>und</strong> der Lichtweg wurde mit bis zu zehnfacher Reflexion auf 15m<br />
verlängert, um den Effekt δx ∝ l 1 + l 2 zu vergrössern.<br />
Das Ergebnis des Michelson Morley Experimentes zeigte keinerlei beobachtbare<br />
Verschiebung auch nicht bei einer Reihe von Messungen mit verschiedenen Wellenlängen,<br />
Sternlicht, zu verschiedenen Jahreszeiten (falls sich der Äther gegenüber der Sonne bewegen<br />
sollte), mit verschiedenen Intensitäten, mit oder ohne elektrischen <strong>und</strong> magnetischen<br />
Feldern. Neuere Ergebnisse liefern v(Äther)≤ 30 m/s <strong>und</strong> für bewegte Quellen <strong>und</strong> ruhende<br />
Beobachter mit c ′ = c + k · v wurde bestimmt<br />
k ≤ 10 −6 aus astronomischen Daten (Doppelsterne) 24<br />
k ≤ (−3 ± 13) · 10 −5 Experimente bei 5 GeV am CERN mit dem π 0 → γγ Zerfall 25 ,<br />
k ≤ (−4 ± 22) · 10 −2 aus dem π 0 → γγ Zerfall unter 180 0 bei niedriger Energie in einem<br />
PSI Praktikum.<br />
Folgerung: Es gibt keinen Äther. Die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig<br />
von der Geschwindigkeit der Quelle <strong>und</strong> des Beobachters.<br />
Wird in einem Inertialsystem Licht von einer punktförmgen<br />
Quelle als sphärische Welle (Kugelwelle) emittiert, so erscheint<br />
es als Kugelwelle in jedem anderen Inertialsystem.<br />
Diese Ergebnisse waren 1905 die Gr<strong>und</strong>lage <strong>und</strong> der Ausgangspunkt von Einsteins Relativitätstheorie<br />
26 .<br />
24 H. Thirring, Z. <strong>Physik</strong> 31(1925)133<br />
25 T. Alväger et al., Phys.Letters 12(1964)250<br />
26 Für eine Kugelwelle gilt x 2 + y 2 + z 2 − (ct) 2 = 0 <strong>und</strong> in einem bewegten System mit der Relativgeschwindigkeit<br />
v ◦ gilt x ′2 + y ′2 + z ′2 − (ct ′ ) 2 = 0. Damit ist x 2 + y 2 + z 2 − (ct) 2 = x ′2 + y ′2 + z ′2 − (ct ′ ) 2 .<br />
Aus dieser Relation kann die Lorentz-Transformation mit v ◦ ‖ x abgeleitet werden zu (Phys. III)<br />
x ′ =<br />
√ x − v ◦t<br />
1 − v<br />
2 ◦ /c , 2 y′ = y, z ′ = z, t ′ = t − xv ◦/c 2<br />
√<br />
1 − v<br />
2 ◦ /c . 2<br />
Für die Geschwindigkeiten gilt dann<br />
v x ′ =<br />
v x − v ◦<br />
1 − v x v ◦ /c 2 , v′ y = v √<br />
y 1 − v<br />
2 ◦ /c 2<br />
1 − v x v ◦ /c 2 , v′ z = v √<br />
z 1 − v<br />
2 ◦ /c 2<br />
1 − v x v ◦ /c 2 .<br />
Mit v ◦ ≪ c geht die Lorentz-<br />
Transformation in die Galilei-<br />
Transformation über.<br />
43
3.3.6 Interferenzen mehrerer Wellen an dünnen Schichten<br />
a) Haidinger Interferenz an planparallelen Platten<br />
Wir betrachten die Interferenzen an einer planparallelen Platte. Ein von der flächenhaften<br />
Lichtquelle ausgehender Strahl wird mehrfach gebrochen <strong>und</strong> reflektiert.<br />
flächenhafte<br />
Lichtquelle<br />
1<br />
2<br />
d<br />
n 1<br />
n 2<br />
n 1<br />
0<br />
F<br />
Alle austretenden Strahlen sind parallel <strong>und</strong><br />
können durch eine Linse (z.B. Auge auf unendlich<br />
eingestellt) abgebildet werden. Als<br />
Bild in der Brennebene F ergeben sich Kurven<br />
gleicher Helligkeit für alle Strahlen durch<br />
O mit gleichem Winkel α. Die Kurven gleicher<br />
Helligkeit sind also Kegelschnitte der<br />
Brennebene F mit einem Kegel, dessen Spitze<br />
in O liegt <strong>und</strong> dessen Achse senkrecht auf<br />
der Platte steht.<br />
Da alle reflektierten Strahlen untereinander kohärent sind, interferieren sie. Die optische<br />
Wegdifferenz zwischen aufeinanderfolgenden Strahlen ist<br />
∆ = 2n 2<br />
d<br />
cos γ − n 1 2d tanγ sin α ,<br />
sie kommt also durch verschiedene geometrische Wege <strong>und</strong> unterschiedliche Brechungsindizes<br />
zustande. Mit n 1 sin α = n 2 sin γ , ist<br />
n 1<br />
n 2<br />
2d tan sin<br />
d<br />
cos<br />
1<br />
2<br />
d<br />
∆ = n 2 2d<br />
cos γ (1 − sin2 γ) = 2dn 2 cos γ . (31)<br />
Der erste reflektierte Strahl 1 ist zusätzlich gegenüber<br />
Strahl 2 um π verschoben, da er an einem optisch dichteren<br />
Medium reflektiert wird. Die gesamte optische<br />
Wegdifferenz zwischen Strahl 1 <strong>und</strong> 2 ist ∆ ′ = 2dn 2 cos γ + λ 2 ,<br />
während die optische Wegdifferenz zwischen den Strahlen i <strong>und</strong> i + 1 (i ≥ 2) durch ∆ in<br />
Gleichung (31) gegeben ist. Für den Fall dass ∆ = mλ gilt für die gesamte Amplitude<br />
der reflektierten Welle A refl = −A 1 + A 2 + A 3 + ... . Die genauere Rechnung zeigt, dass<br />
A 1 = A 2 + A 3 + ... . Also gilt<br />
für ∆ = m λ A refl = 0 , wir erhalten Intensitätsminima <strong>und</strong> entsprechend<br />
für ∆ = (m + 1 2 ) λ : A refl = A max , wir erhalten Intensitätsmaxima.<br />
Von blossem Auge sind Maxima nur bei α ≈ 0 <strong>und</strong> α ≈ π/2 sichtbar, weil sonst benachbarte<br />
interferenzfähige Strahlen so weit auseinander liegen, dass mehrere davon nicht<br />
gleichzeitig ins Auge gelangen.<br />
Die Dicke der Schicht für senkrechten Einfall ist für das erste Minimum aus<br />
∆ ′ = mλ = 2dn 2 +λ/2 → n 2 d = λ/4. Diese λ/4-Schichten werden zur Linsenvergütung<br />
(Entspiegelung) durch Aufdampfen hergestellt. Die Linse ist dann bei der Wellenlänge λ<br />
reflexionsfrei, d.h. entspiegelt. Mehrere Schichten verschiedener Dicke <strong>und</strong> Brechungsindizes<br />
können ein breiteres Spektrum angenähert refexionsfrei machen.<br />
44
) Kurven gleicher Dicke<br />
Variiert die Dicke des reflektierenden Films, so sind die interferierenden Strahlen nicht<br />
parallel. Das Interferenzbild liegt praktisch auf der Filmoberfläche <strong>und</strong> nicht im<br />
d<br />
Virtuelles Bild des<br />
Interferenzpunktes<br />
Unendlichen. Man nennt daher diese Streifen Kurven gleicher<br />
Dicke oder lokalisierte Interferenzstreifen. Sie sind nur bei sehr<br />
dünnen Schichten wahrnehmbar. Ist dann auch der Keilwinkel<br />
klein, so hat man bei nahezu senkrechtem Einfall die gleichen<br />
Bedingungen für Maxima <strong>und</strong> Minima wie bei der planparallelen<br />
Platte. Für Maxima gilt 2nd cos γ ≈ 2nd = (m + 1 2 )λ .<br />
c) Newton’sche Ringe<br />
Einen besonderen Fall stellen die Newtonschen Ringe dar, welche man von den Luftschichten<br />
erhält, die sich zwischen einer ebenen Platte <strong>und</strong> einer darauf gepressten,<br />
schwach<br />
Krummung " stark ubertrieben<br />
"<br />
B<br />
n<br />
R<br />
r<br />
3.4 Beugung<br />
d<br />
gekrümmten Linse befinden <strong>und</strong> als nahezu keilförmig anzusehen<br />
sind. Das Interferenzbild besteht dann mit monochromatischem<br />
Licht aus hellen <strong>und</strong> dunklen Kreisen, deren Mittelpunkt<br />
in B liegt. Das Zentrum dieser Kreise ist dunkel. Mit<br />
der Figur ist r 2 = d (2R − d) ≈ 2dR mit d ≪ R.<br />
Aus der Maximumbedingung 2nd cos γ = (m+ 1 )λ folgt<br />
2<br />
(mit cos γ ≈ 1) (r 2 ) max = R (m + 1) λ für den Radius<br />
2 n<br />
des Ringes eines Intensitätsmaximums.<br />
Die freie, nicht durch Körper behinderte Ausbreitung des Lichtes können wir entweder<br />
durch Lichtstrahlen beschreiben oder nach dem Huygenschen Prinzip erklären. Danach<br />
entsteht z.B. die geradlinige Ausbreitung des Lichtes von einem Punkte P 1 nach P 2 in<br />
folgender Weise: Von P 1 laufen Elementarwellen in alle Richtungen. Diese<br />
P 2 interferieren mit Elementarwellen, die in anderen Raumpunkten ihren<br />
Ursprung haben. Durch Interferenz werden all diese Wellen ausgelöscht<br />
mit Ausnahme jener Wellen, die geradlinig von P 1 nach P 2 wandern.<br />
P 1<br />
Lassen wir Licht durch einen mit Öffnungen versehenen Schirm gehen, so sind die<br />
Punkte der Öffnungen nach Huygens Zentren von kohärenten Sek<strong>und</strong>ärwellen, die miteinander<br />
interferieren <strong>und</strong> damit die geradlinige Ausbreitung des Lichtes <strong>und</strong> die Bildung<br />
scharfer Schatten verhindern. Allgemein tritt dies merkbar in Erscheinung, wenn die Dimensionen<br />
der Öffnungen (oder Hindernisse) von der Grössenordnung der Wellenlänge<br />
sind. Man unterscheidet zwei Arten von Beugungen.<br />
Bei der Fraunhoferbeugung<br />
27 liegen, vom Objekt<br />
Bild 2. Ordnung<br />
her gesehen, sowohl Lichtquelle<br />
wie auch Beobach-<br />
Q<br />
Bild 1. Ordnung<br />
direktes Bild von Q ter optisch im Unendlichen,<br />
Bild 1. Ordnung d.h. paralleles Licht fällt auf<br />
f<br />
das Objekt <strong>und</strong> parallel gebeugte<br />
Strahlen werden zur<br />
f<br />
Bild 2. Ordnung<br />
Beugungsschirm S<br />
Interferenz gebracht:<br />
27 Joseph von Fraunhofer: * 6.3.1787 in Straubing, † 7.6.1826 in München an Tb, war Sohn eines<br />
45
Q<br />
S<br />
Fresnel<br />
Bei der Fresnelschen Beugung liegen Lichtquelle<br />
<strong>und</strong> Beobachter in endlicher Entfernung vom Objekt,<br />
die Lichtstrahlen sind divergent.<br />
Die Beugungsphänomene behandeln wir mit dem<br />
Huygenschen Prinzip unter der Annahme, dass von<br />
jedem Punkt der Öffnung dieselbe Kugelwelle ausgeht,<br />
wie wenn der Schirm S nicht existierte.<br />
3.4.1 Fraunhofersche Beugung am Einzelspalt<br />
Der Spalt sei unendlich lang, so dass in jeder Ebene<br />
senkrecht zum Spalt gleiche Verhältnisse herrschen<br />
<strong>und</strong> wir nur eine Ebene zu betrachten brauchen. Auf<br />
den Spalt falle eine ebene Welle, deren Wellenvektor k<br />
x sin o<br />
dx<br />
r'<br />
mit der Normalen des Schirms einen Winkel α ◦ bildet.<br />
x<br />
1 Wird der Spalt von dieser Welle getroffen, so ist jedes<br />
x sin 1<br />
1 Element dx der Öffnung Zentrum einer Sek<strong>und</strong>ärwelle,<br />
die miteinander interferieren. Uns interessiert die<br />
o<br />
0<br />
resultierende Welle in der Richtung α<br />
r<br />
1 .<br />
Es ist zweckmässig, die komplexe Schreibweise zu benützen, also zu ersetzen<br />
u = A cos(kz − ωt) = R{A e i(kz−ωt) } −→ u = A e i(kz−ωt) .<br />
Die Intensität ist dann I ∝ A 2 = A e +i(kz−ωt) · A e −i(kz−ωt) = uu ∗ ,<br />
mit u ∗ dem konjugiert Komplexen zu u.<br />
Eine durch x = 0 (Rand des Spaltes) gehende Welle legt z.B. den Weg r + r ′ zurück.<br />
Eine parallel dazu durch das Element dx an der Stelle x verlaufende Welle hat dann<br />
bezüglich der durch O gehenden Welle die Phase<br />
δ = k (r + x sin α ◦ + r ′ − x sin α 1 ) − ωt = k (r + r ′ ) + k (sin α ◦ − sin α 1 )x − ωt .<br />
Mit der Abkürzung K = k (sin α ◦ − sin α 1 ) wird δ = k (r + r ′ ) + Kx − ωt ,<br />
<strong>und</strong> die vom Teil dx des Spaltes in Richtung α 1 ausgehende Welle ist<br />
du = Adx exp(i {k (r + r ′ ) + Kx − ωt}) .<br />
Die gesamte in Richtung α 1 gehende Welle erhalten wir durch Integration über die Spaltbreite<br />
s. Wenn wir den Abstandsfaktor in der Amplitude vernachlässigen, ergibt sich<br />
u(α 1 ) = A<br />
∫ s<br />
∫ s<br />
u(α 1 ) = A e i {k (r+r′ )−ωt}<br />
0<br />
exp(i {k (r + r ′ ) + Kx − ωt})dx . Die Integration nach x liefert<br />
0<br />
e i Kx dx = A e i {k (r+r′ )−ωt} eiKs − 1<br />
iK<br />
I(α 1 ) ∝ uu ∗ = A 2 e i {k (r+r′ )−ωt−k (r+r ′ )+ωt} · e+iKs − 1<br />
iK<br />
. Die Intensität ist also<br />
· e−iKs − 1<br />
−iK =<br />
Glasers. Er überlebte als einziger der Familie mit 11 Jahren einen Hauseinsturz. Als <strong>Optik</strong>er stellte<br />
er genau vermessene, sehr gute Gläser <strong>und</strong> Prismen her, entdeckte Absoptionslinien im Sonnenlicht<br />
(Fraunhofer’sche Linien), fand mit dem Prisma, dass Sterne andere Spektren als die Sonne haben, was<br />
lange ignoriert wurde, stellte Drahtgitter zur Spektralanalyse her. Er durfte als Nicht-Akademiker an<br />
Kongressen teilnehmen aber nicht reden.<br />
46
= A2<br />
) 2<br />
( Ks .<br />
2 )2<br />
K 2(1 + 1 − eiKs − e −iKs ) = 2A2<br />
4A2<br />
[1 − cos(Ks)] =<br />
K2 K 2 sin2 ( Ks<br />
2 ) = sin2 ( Ks<br />
(sA)2<br />
Wir fassen (sA) 2 mit einem Proportionalitätsfaktor zu I ◦ zusammen <strong>und</strong> erhalten<br />
I(α 1 ) = I ◦<br />
sin 2 (Ks/2)<br />
(Ks/2) 2 mit K = k (sin α ◦ − sin α 1 ). (32)<br />
Damit ist die Intensität in jeder beliebigen Richtung α 1 als eine Funktion des Argumentes<br />
sin α 1 bestimmt. I(α 1 ) ist eine periodische Funktion des Argumentes Ks/2, ihre Amplitude<br />
nimmt ab mit wachsendem Ks/2. Bei festem k = 2π/λ <strong>und</strong> festem α ◦ ergeben sich<br />
also Maxima <strong>und</strong> Minima der Intensität für verschiedene Winkel α 1 .<br />
I<br />
Für K = 0 hat nach<br />
I 0<br />
der Regel von l’Hospital<br />
sin 2 (Ks/2)/(Ks/2) 2 den<br />
-2π<br />
-π<br />
0 π 2π<br />
Ks<br />
2<br />
Wert 1 <strong>und</strong> es ist I = I ◦ .<br />
Diese maximale Intensität<br />
beobachtet man, wenn die<br />
gebeugte Welle die gleiche<br />
Richtung wie die einfallende<br />
Welle hat;<br />
dies ergibt das unabgelenkte Zentralbild (Hauptmaximum). Minima der Intensität sind<br />
exakt durch die Nullstellen des Zählers in Gl.(32) gegeben, also für sin 2 (Ks/2) = 0 (mit<br />
Ausnahme von K = 0). Also gilt<br />
Ks<br />
2 = πs<br />
λ (sin α ◦ − sin α 1 ) = ±mπ , m = 1, 2, 3 ...<br />
Minimum-<br />
Bedingung<br />
du<br />
Bei senkrechtem Einfall (α ◦ = 0) erhält man Minima für<br />
sin α<br />
x=s<br />
1 = ± mλ , (m = 1, 2, 3 ...) .<br />
s<br />
k<br />
dx<br />
r Wenn also der Wegunterschied der durch die Ränder des Spaltes<br />
(x = 0, x = s) gehenden Strahlen ein ganzes Vielfaches<br />
1<br />
x=0<br />
der Wellenlänge ist, ist die Wirkung aller gebeugten Elementarwellen<br />
gleich Null.<br />
Speziell für m = 1 (Minimum 1. Ordnung) kann man sagen, dass der von x = 0 ausgehende<br />
Strahl jenen von x = s/2 annulliert. Da dieses Minimum bei sin α 1 = λ/s erscheint, ist sein<br />
Abstand vom Hauptmaximum um so grösser, je schmaler der Spalt ist. Das Zentralbild<br />
ist also gegenüber dem Bild, das man auf Gr<strong>und</strong> der geometrischen <strong>Optik</strong> erwartet, stark<br />
verbreitert.<br />
Die Maxima der Intensität liegen nicht genau da, wo der Zähler in Gl. (32) sein Maximum<br />
hat, weil die Variable K auch im Nenner auftritt 28 . Angenähert gilt<br />
s (sin α ◦ − sin α 1 ) = (m + 1 2 )λ, m = ±1, ±2, ... Maximum-<br />
Bedingung<br />
28 Bei einer genauen Rechnung muss die Bedingung dI/d sin α 1 = 0 gelöst werden. Mit x = k sin α 1<br />
erhält man dann die transzendente Gleichung x = tanx mit x(m = 1) = 4.493 Näherung 4.712,<br />
x(m = 2) = 7.725 Näherung 7.854, x(m = 3) = 10.904 Näherung 10.996, vgl. Fig. S.47.<br />
47
Die Intensität der Maxima ist (in dieser Näherung) I m =<br />
I ◦<br />
(m + 1 2 )2 π 2 ,<br />
mit zunehmender Ordnung m nimmt sie also stark ab. Der Abstand der Maxima ist<br />
proportional λ <strong>und</strong> umgekehrt proportional s. Für λ → 0 oder s → ∞ würden alle Maxima<br />
zusammenfallen, <strong>und</strong> ein Beugungseffekt würde nicht auftreten. In diesen Grenzfällen gilt<br />
also die geometrische <strong>Optik</strong>. Bei endlichen Werten von λ machen sich Beugungseffekte<br />
am wenigsten bemerkbar, wenn die Dimensionen der Öffnungen (oder Hindernisse) gross<br />
gegenüber λ sind.<br />
3.4.2 Beugung an kreisförmiger Öffnung<br />
Die in Kap. 3.4.1 auf den Spalt angewandten Rechnungen lassen sich auch bei einer<br />
kreisförmigen Öffnung benutzen, die von einer ebenen Welle getroffen wird.<br />
I/I o Bei senkrechtem<br />
Einfall zeigt<br />
0.2<br />
das Beugungsbild<br />
10<br />
Kreissymmetrie:<br />
D<br />
1.Min<br />
Es besteht aus einer<br />
zentralen hellen<br />
3.83<br />
7.02 10.17<br />
Kreisscheibe, umgeben<br />
von abwechselnd<br />
hellen <strong>und</strong><br />
KD/2<br />
0.0<br />
0 5 10 dunklen Ringen.<br />
( ) 2<br />
J1 (KD/2)<br />
Die Intensität dieser Ringe ist gegeben durch I(α 1 ) = I ◦ .<br />
KD/2<br />
Hierbei ist J 1 (x) die Besselfunktion 29 l. Ordnung (hier x = KD/2), D der Durchmesser<br />
der Öffnung <strong>und</strong> K = k sin α 1 . Für das l.Minimum gilt die Bedingung<br />
KD<br />
2<br />
= πD λ sin α 1 ≈ 3.83 oder sin α 1 ≈ 1.22 λ D<br />
1. Minimum<br />
Wiederum ist die Ausdehnung des Zentralbildes um so grösser, je kleiner die Öffnung<br />
ist. Wenn man statt der kreisförmigen Öffnung in einem Schirm eine <strong>und</strong>urchlässige<br />
kreisförmige Scheibe in den Strahlengang bringt, so hat man eine komplementäre Anordnung,<br />
d.h. beide Anordnungen zusammen würden einen <strong>und</strong>urchlässigen Schirm ergeben.<br />
Solche komplementäre Anordnungen liefern nach dem Theorem von Babinet (1837) die<br />
gleichen Beugungserscheinungen, wenn man vom Zentralbild absieht. Jede Anordnung<br />
für sich ergibt ausserhalb des Zentralbildes eine Verteilung der Erregungen u (nicht der<br />
Intensitäten!), die dem Betrage nach gleich sind, aber entgegengesetzte Vorzeichen haben.<br />
Denn sind beide komplementären Anordnungen vorhanden, muss sich ja<br />
Dunkelheit ergeben. Da aber I ∝ uu ∗ , kann man den Vorzeichenunterschied<br />
nicht beobachten.<br />
29 z.B. O.Forster, Analysis 3 S.102. y = J p (x) ist Lösung der Dgl. y ′′ + 1 x y′ + (1 − p2<br />
x 2 )y = 0, x > 0<br />
48
3.4.3 Beugung am Strichgitter<br />
Ein optisches Gitter ist eine Reihe N von schmalen, parallelen Spalten (Weite s), die<br />
periodisch mit dem Abstand d angeordnet sind. Das Gitter wird analog zum Einzelspalt<br />
berechnet mit einer Summation über die N Spalte.<br />
d<br />
s<br />
o<br />
r<br />
d<br />
s<br />
n<br />
x 1 3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
r'<br />
Die Beugungserscheinung am<br />
Gitter, die zuerst von Fraunhofer<br />
(1821) untersucht wurde, kommt<br />
durch Überlagerung der Beugungen<br />
der einzelnen Spalte zustande.<br />
Wir brauchen also zunächst<br />
wieder die Erregung du der Elementarwelle,<br />
die von einem Element<br />
dx an der Stelle x im Spalt<br />
Nr. n ausgeht.<br />
Der Nullpunkt der x-Achse liegt im unteren Rand des jeweils betrachteten Spaltes. Die<br />
Phasendifferenz der durch dx an der Stelle x im Spalt n gehenden Welle gegenüber der<br />
durch den unteren Rand des Spaltes 1 gehenden Welle ist (analog zu Kap. 3.4.1)<br />
k {r + r ′ + ((n − 1)d + x) (sinα ◦ − sin α 1 )} − ωt . Setzen wir wiederum<br />
K = k (sin α ◦ − sin α 1 ) , so wird du = Adx exp(i {k (r + r ′ ) + K ((n − 1)d+x) − ωt}) .<br />
Die gesamte in Richtung α 1 verlaufende Welle erhält man durch Integration über den<br />
Einzelspalt <strong>und</strong> Summation über alle N Spalte des Gitters:<br />
u(α 1 ) = A e i(k(r+r′ )−ωt)<br />
N∑<br />
∫ s<br />
e iK(n−1) d e iKx dx .<br />
n=1<br />
0<br />
Das Integral ist dasselbe wie beim Spalt, hat also den Wert eiKs − 1<br />
iK .<br />
Die Summe ist eine geometrische Reihe 30<br />
Die Intensität I(α 1 ) der gebeugten Welle ist proportional uu ∗ , also:<br />
N ∑<br />
n=1<br />
I(α 1 ) ∝ A 2 · sin2 (Ks/2)<br />
(Ks/2) 2 · eiNKd − 1<br />
e iKd − 1 · e−iNKd − 1<br />
e −iKd − 1 .<br />
Die letzten beiden Faktoren ergeben<br />
1 + 1 − 2 cos(KNd)<br />
1 + 1 − 2 cos(Kd)<br />
e iK(n−1)d = eN iKd − 1<br />
e iKd − 1 . (33)<br />
= sin2 (KNd/2)<br />
sin 2 (Kd/2)<br />
Führen wir noch einen Proportionalitätsfaktor ein <strong>und</strong> stecken diesen zusammen mit A 2<br />
in eine Konstante I ◦ , so lautet unser Ergebnis<br />
I(α 1 ) = I ◦ · sin2 (Ks/2)<br />
(Ks/2) 2<br />
· sin2 (KNd/2)<br />
sin 2 (Kd/2)<br />
.<br />
= I ◦ · I 1 · I 2 .<br />
Die Gesamtintensität wird (abgesehen von I ◦ ), durch die zwei Faktoren I 1 <strong>und</strong> I 2 bestimmt:<br />
I 1 stellt die Intensitätsverteilung des Einzelspaltes dar, I 2 berücksichtigt das<br />
.<br />
30 mit der Summenformel N−1 ∑<br />
n=0<br />
q n = (1 + q + q 2 + ... + q N−1 ) = (qN − 1)<br />
q − 1<br />
49<br />
, mit q = e iKd
I<br />
I<br />
N 2 I o<br />
I 1<br />
N=5,<br />
d/s=4<br />
0 5π<br />
N 2 I o<br />
I 1<br />
N=18,<br />
0 5π<br />
I<br />
Ausschnitt<br />
0 π<br />
d/s=4<br />
I<br />
Ausschnitt<br />
0 π<br />
Kd<br />
2<br />
Kd<br />
2<br />
Zusammenwirken aller<br />
Spalte. Die auch<br />
beim Einzelspalt vorhandenen<br />
Intensitätsminima<br />
bleiben erhalten,<br />
jedoch kommen<br />
neue Minima hinzu,<br />
d.h. die vom Einzelspalt<br />
bekannte Intensitätsverteilung<br />
ist<br />
von dunklen Streifen<br />
durchsetzt.<br />
Bezüglich der Verteilung<br />
der Minima <strong>und</strong><br />
Maxima ergibt sich<br />
folgendes Bild.<br />
a) Das Zentralbild<br />
erhält man für K = 0<br />
mit der maximalen Intensität<br />
I = I ◦ N 2 , da<br />
für K = 0 I 1 = 1 <strong>und</strong><br />
I 2 = N 2 sind.<br />
b) Minima kommen auf zwei Arten zustande, nämlich einmal auf Gr<strong>und</strong> der Nullstellen<br />
des Zählers von I 1 , d.h. (wie in Kap. 3.4.1) für<br />
Ks<br />
2 = ±m 1 π (m 1 = 1, 2, 3, ...) ,<br />
dann aber auch wegen der Nullstellen des Zählers von I 2 , d.h. für<br />
KNd<br />
2<br />
= ±m 2 π (m 2 = 1, 2, 3, ...) ,<br />
wenn m 2 /N nicht ganzzahlig ist. Ist m 2 /N ganzzahlig, so verschwindet auch der Nenner<br />
von I 2 <strong>und</strong> es wird I 2 = N 2 .<br />
c) Hauptmaxima treten auf, wenn I 2 maximal ist. Das ist der Fall, wenn gleichzeitig<br />
Zähler <strong>und</strong> Nenner verschwinden, also für Kd<br />
2 = ±m 3 π (m 3 = 0, 1, 2, ...) ,<br />
oder für<br />
sin α ◦ − sin α 1 = m 3<br />
λ<br />
d<br />
Dann ist I 2 = N 2 , was z.B. sofort aus Gl.(33) folgt, da dann jeder Term der geometrischen<br />
Reihe den Wert + 1 hat. Also ist die Gesamtintensität<br />
I m3 = I ◦ N 2 sin2 (Ks/2)<br />
(Ks/2) 2 . (34)<br />
Gewisse Maxima können ausfallen, wenn I 1 gleichzeitig ein Minimum hat, d.h. wenn das<br />
Verhältnis d/s = m 3 /m 1 , also rational ist (siehe Fig. S. 50 bei Kd/2 = 4π).<br />
50
d) Nebenmaxima ergeben sich, wenn der Zähler von I 2 gleich 1 wird, was für<br />
KNd<br />
2<br />
= (m 4 + 1 2 )π (m 4 = ± 1, ± 2, ...) der Fall ist. (35)<br />
Dann wird die Gesamtintensität I m4 =<br />
sin 2 ( π (2m 4 +1)<br />
) · sin2 (Ks/2)<br />
. (36)<br />
(Ks/2) 2 2 N<br />
Zwischen zwei Hauptmaxima z.B. nullter Ordnung bei K = 0 <strong>und</strong> jenem erster Ordnung<br />
bei Kd/2 = π liegen also N − 2 Nebenmaxima bei (vgl. Gl. (35))<br />
I ◦<br />
Kd<br />
2 = 3π<br />
2N , 5π (2N − 3)π<br />
, ...,<br />
2N 2N<br />
Kd<br />
<strong>und</strong> N − 1 Minima bei<br />
2 = π N , 2π (N − 1)π<br />
, ..., .<br />
N N<br />
Erhöht man die Zahl N der Spalte, so nimmt die Zahl der Nebenmaxima ebenfalls zu,<br />
jedoch wächst die Intensität der Hauptmaxima so stark an, dass diese das Interferenzbild<br />
dominieren. Für N ≫ 1 ist die Intensität des 1. Nebenmaximums nach Gl.(36)<br />
I ◦<br />
(in diesem Fall ist K ≈ 0) I m4 ≈<br />
sin 2 ( 3π ) ≈ I 4N 2<br />
◦<br />
9π ≈ 0.04 I 2N 2 ◦ N 2<br />
verglichen mit I ◦ N 2 des Hauptmaximums nullter Ordnung (G1.(34)).<br />
I<br />
Ferner werden die Hauptmaxima mit zunehmendem N immer<br />
schärfer, denn das erste sich an das Hauptmaximum 0. Ordnung<br />
N 2 I o<br />
N 2 I 0<br />
2<br />
1.4<br />
N<br />
π<br />
N<br />
2π<br />
N<br />
Kd<br />
2<br />
anschliessende Nebenmaximum erscheint bei<br />
Kd<br />
2 = π N ,<br />
rückt also immer näher an das Hauptmaximum heran, je grösser<br />
N wird. Dies ist zu vergleichen mit dem Doppelspalt (Youngscher<br />
Interferenzversuch, vgl. Kap. 3.3.3).<br />
Dort tritt das erste Minimum bei π d x<br />
λD = π auf, wobei in der hier benützten Schreibweise<br />
2<br />
K = k (sin α ◦ − sin α 1 ) ≡ 2π (0 − sin α) ≈ λ −2π tanα = λ −2π x<br />
. λ D<br />
Also tritt beim Doppelspalt das erste Minimum bei<br />
Kd<br />
2 = π 2<br />
Gitter mit sehr hoher Spaltzahl (N ≈ 10 5 ) ergeben also sehr intensive <strong>und</strong> sehr schmale<br />
Hauptmaxima, die Nebenmaxima fallen nicht ins Gewicht.<br />
Da die Lage der Hauptmaxima nur von der Wellenlänge λ der einfallenden Strahlung<br />
<strong>und</strong> der Gitterkonstanten d abhängt, eignen sich Gitter besonders gut zur Messung von λ<br />
(oder auch d, wenn λ bekannt ist). Um Hauptmaxima einer bestimmten höheren Ordnung<br />
in ihrer Intensität zu verstärken, werden für Strichgitter spezielle optimierte Formen der<br />
Strichfurchen ausgewählt.<br />
Es gibt aber nicht nur Gitter für Beugungserscheinungen im sichtbaren Licht. Der<br />
Aufbau der kristallinen Substanzen stellt ein dreidimensionales Gitter dar mit einer Gitterkonstanten<br />
von einigen Å(10 −10 m). An solchen Gittern wird eine Strahlung gebeugt,<br />
wenn ihre Wellenlänge vergleichbar mit den Atomabständen ist. Das ist z.B. für Röntgenstrahlen<br />
der Fall, mit denen zum ersten Male der periodische Aufbau der Materie<br />
nachgewiesen wurde (M.v.Laue, 1912).<br />
51<br />
auf.
3.4.4 Fresnelsche Beugung<br />
Wir betrachten einen ebenen Schirm, der<br />
durch paralleles Licht beleuchtet wird. Im<br />
Punkte P ist die Erregung gleich der Summe<br />
der Wellen, die von den Punkten der Ebene<br />
ausgehen. Wir teilen die Ebene in konzentrische<br />
Ringzonen, deren mittlere Huygenswelle<br />
immer um λ/2 phasenverschoben ist.<br />
0. 1. 2. 3. Zone<br />
b+<br />
λ<br />
2<br />
b<br />
b+2<br />
λ<br />
2<br />
b+3<br />
Die Wellen zweier aufeinander folgenden Zonen heben<br />
sich fast vollständig auf. Unterdrückt man z.B. alle ungeraden<br />
Zonen, so tritt eine kräftiges Maximum auf mit<br />
der Amplitude A = A ◦ + A 2 + A 4 + ...<br />
Mit allen Zonen offen beträgt die Amplitude<br />
A = A ◦ − A 1 + A 2 − A 3 + ... = A ◦<br />
2 + (A ◦<br />
2 − A 1 + A 2<br />
2 ) + (A 2<br />
2 − A 3 + A 4<br />
2 ) + ... = A ◦<br />
2 ,<br />
dies ist, wie es sein muss, die normale Beleuchtung.<br />
Der innere Radius der m-ten Zone ist r m =<br />
√<br />
(b + m λ 2 )2 − b 2 ≈ √ m λ b ,<br />
<strong>und</strong> die m-te Zone besitzt eine Fläche von S m = π λ b (m + 1 − m) = π λ b .<br />
Frenelsche Zonenlinsen werden z.B. als Kondensor für die Hörsaalprojektoren eingesetzt.<br />
P<br />
λ<br />
2<br />
52
3.5 Optische Instrumente <strong>und</strong> ihr Auflösungsvermögen<br />
Die in Kap. 3.4.1 diskutierten Beugungserscheinungen haben einen grossen Einfluss auf<br />
die Leistungsfähigkeit optischer Instrumente (Lupe, Fernrohr, Mikroskop, Gitterspektrograph)<br />
sowie auch auf das Auflösungsvermögen des Auges. Lupe, Mikroskop <strong>und</strong> Fernrohr<br />
bewirken in erster Linie eine Vergrösserung des Sehwinkels, unter dem wir einen Gegenstand<br />
sehen. Infolge der Beugung gibt es gewisse untere Grenzen für die Grösse von<br />
Objekten, die wir noch wahrnehmen können.<br />
3.5.1 Menschliches Auge <strong>und</strong> Lupe<br />
Linsen Aufhängung<br />
F<br />
A.-K. Iris<br />
Pupille<br />
n=1<br />
W<br />
A.-K.<br />
Bindehaut<br />
Netzhautgrube<br />
Linse<br />
G<br />
Hornhaut<br />
Sehnerv<br />
Netzhaut<br />
Ziliarmuskel<br />
Aderhaut<br />
Lederhaut<br />
L<br />
H<br />
n'=1.336<br />
K<br />
W<br />
K'<br />
H'<br />
G<br />
17.06mm 22.80mm<br />
0.25mm<br />
F'<br />
N<br />
Das menschliche Auge<br />
Obwohl das Auge wie eine billige Kamera nur aus<br />
zwei Elementen der Hornhaut <strong>und</strong> der nichtspärischen<br />
Linse besteht, erzeugt es dank der Bildverarbeitung<br />
im Gehirn ausgezeichnete Bilder. Die beiden Augen<br />
sehen sphärisch (räumlich), kompensieren Fehler,<br />
Unschärfen <strong>und</strong> das Gehirn korrigiert online verschiedene<br />
Abbildungsmassstäbe (Gleitsichtbrille) verb<strong>und</strong>en<br />
mit einem riesigen Empfindlichkeitsbereich, mit<br />
dem Intensitätsunterschiede von r<strong>und</strong> 10 15 wahrgenommen<br />
werden können.<br />
Die abbildende <strong>Optik</strong> besteht aus der Hornhaut (Kornea),<br />
der Linse, deren Brechkraft durch den Ziliarmuskel<br />
verändert werden kann <strong>und</strong> der in der gewölbten<br />
Bildebene liegenden Netzhaut (Retina). Das Auge<br />
wird durch die skizzierten zwei Brennweiten mit den<br />
dazugehörigen Hauptebenen <strong>und</strong> den 2 Knotenpunkten<br />
charakterisiert 31 .<br />
Die Brechstärke der Hornhaut beträgt 40 dpt, diejenige der entspannten Linse nur 20<br />
dpt, d.h. die hauptsächlichste Brechung findet an der Hornhaut statt. Man kann das<br />
wirkliche Auge durch eine reduzierte <strong>Optik</strong> ersetzen, die aus einer einzigen brechenden<br />
Fläche besteht mit einem red. Hornhautradius = 5.12 mm <strong>und</strong> red. Brechungsindex =<br />
1.34. Die reduzierte Hornhaut liegt 2.3 mm hinter der wirklichen. Die vordere Brennweite<br />
beträgt dann 16.74 mm, die hintere 20.1 mm.<br />
Es gilt dann:<br />
1<br />
g + n b = n − 1<br />
R<br />
z.B. R = 5.12 mm, g = ∞ → f 2 = 20.1 mm.<br />
Die Hornhaut <strong>und</strong> Linse sind nichtsphärisch, zusammen mit der gewölbten Netzhaut<br />
werden damit Linsenfehler korrigiert.<br />
Durch eine verstärkende enzymatische Wirkung wird der Na- <strong>und</strong> K-Ionenhaushalt<br />
der Sehzellen beeinflusst, was zu Membranpotentialen von einigen 10 mV führt 32 . Beim<br />
1.5 mm 2 grossen gelben Fleck (Macula lutea) handelt es sich um die Stelle des schärfsten<br />
Sehens. Die Makula enthält 150000 Zäpfchen pro mm 2 , aber keine Stäbchen. Beim blinden<br />
Fleck verlassen die Sehnerven den Augapfel.<br />
31 z.B. Ludwig Bergmann <strong>und</strong> Clemenz Schäfer “Lehrbuch der Experimentalphysik” Bd.3 <strong>Optik</strong><br />
32 Scientific American, April 1987<br />
53
Krümmungsradius der Hornhaut 7.83 mm<br />
vorderer Linsenkrümmungsradius 5.5–10 mm<br />
hinterer Linsenkrümmungsradius 5.5–6 mm<br />
n Kammerwasser, n Glaskörper 1.3365<br />
n Linse 1.358<br />
Pupillendurchmesser<br />
2–8 mm<br />
vordere Brennweite f 14–17 mm<br />
hintere Brennweite f’ 19–23 mm<br />
Abstand der Hauptebenen h 0.25 mm<br />
Nahpunktentfernung<br />
25 cm<br />
Die Netzhaut enthält ≃ 7 × 10 6 farbempfindliche<br />
Zäpfchen <strong>und</strong> 1.3 × 10 8<br />
hell-dunkel empfindlichen Stäbche. Die<br />
Zäpfchen enthalten die rasch regenerierenden<br />
Sehpigmente Jodopsin <strong>und</strong> Zyanopsin,<br />
die Stäbchen das langsam regenerierende<br />
Rhodopsin (’Sehpurpur’).<br />
Die Sehpigmente werden durch das<br />
Licht zersetzt.<br />
Einige Ausdrücke: Myopie = Kurzsichtigkeit, Augapfel ist zu lang, wird durch Zerstreuungslinsen<br />
korrigiert. Hyperopie = Weitsichtigkeit. Akkomodationsvermögen = Fähigkeit<br />
des Auges zum Anpassen der Brennweite. Mit zunehmendem Alter verliert das Auge das<br />
Akkomodationsvermögen. Adaptationsvermögen = Fähigkeit des Auges zur Anpassung an<br />
die Lichtintensität. Die Hellanpassung geht durch die Pupillenverengung sehr schnell vor<br />
sich. Die Dunkeladaptation dauert als Folge der langsamen Regeneration des Rhodopsins<br />
Empfindlichkeit<br />
rot<br />
grün<br />
blau<br />
r<strong>und</strong> 20 Minuten. Das Farbensehen beruht auf drei<br />
Arten von Zäpfchen mit breiten Farbempfindlichkeiten.<br />
Die maximale Empfindlichkeit der Zäpfchen<br />
liegt, wie die Untersuchung der häufigen Farbblindheit<br />
ergibt, bei: λ max (rot) = 570 nm, λ max (grün) =<br />
535 nm, λ max (blau) = 455 nm.<br />
700 600 500 400 /nm<br />
Das Auflösungsvermögen des Auges<br />
Mit einem nicht akkommodierten Auge wird ein sehr weit entfernter Gegenstandspunkt<br />
auf die Netzhaut abgebildet. Infolge der Wellennatur des Lichtes ist der Bildpunkt aber<br />
kein mathematischer Punkt, sondern das Beugungsbild der Pupille, die den Strahlengang<br />
begrenzt. Nach Kap. 3.4.2 wird das Licht an dieser kreisförmigen Öffnung (⊘ D)<br />
von<br />
P<br />
von<br />
Q<br />
I<br />
0.2<br />
1 1<br />
D<br />
gebeugt <strong>und</strong> erzeugt auf der Netzhaut ein ringförmiges Interferenzmuster.<br />
Sollen zwei sehr weit entfernte Punkte P<br />
<strong>und</strong> Q noch getrennt wahrgenommen werden, so nimmt<br />
man an, dass diese Trennung noch gelingt, wenn das Intensitäts-Maximum<br />
O. Ordnung des Punktes P auf das<br />
1. Minimum der Intensitätsverteilung des Punktes Q fällt.<br />
Beide mögen einen Abstand r haben. Für das 1. Minimum<br />
gilt nach Kap. 3.4.2<br />
sin α 1,min ≈ 1.22 λ mit α sehr klein α<br />
D 1min ≈ 1.22 λ . D<br />
Dieser Winkel ergibt die notwendige Winkeldistanz,<br />
damit zwei Objekte noch getrennt wahrgenommen<br />
werden können. Den Kehrwert dieser<br />
Distanz, also die Grösse<br />
U = 1<br />
α 1,min<br />
= 0.82 D λ<br />
definiert man als<br />
Auflösungsvermögen.<br />
0.0<br />
α1,min<br />
0 5 10<br />
α 1<br />
Dem Winkel α 1,min entspricht auf der Netzhaut<br />
eine Distanz von r ≈ fα 1,min , wenn f die<br />
bildseitige Brennweite ist.<br />
54
Mit einer mittleren Wellenlänge λ = 0.5µm = 5 · 10 −7 m <strong>und</strong> D = 3 mm erhält man<br />
α 1,min ≈ 42 Bogensek<strong>und</strong>en <strong>und</strong> r ≈ 4.7µm. Diese Entfernung entspricht auch nach einer<br />
optimalen Anpassung in der Evolution etwa dem Abstand benachbarter Zäpfchen.<br />
G<br />
θ<br />
L<br />
Durch Akkommodation (d.h. zusätzliche Krümmung<br />
der Augenlinse) kann die Brennweite f des Auges verkleinert<br />
werden, so dass auch näher am Auge gelegene<br />
Gegenstände gesehen werden können, <strong>und</strong> zwar bis<br />
hinunter zu etwa L = 25 cm, der deutlichen Sehweite.<br />
Ein Gegenstand G möge bei diesem Abstand unter einem Winkel θ erscheinen. Dieser<br />
Beobachtungswinkel wird grösser, wenn G näher ans Auge rückt. Das Auge kann aber<br />
Gegenstände innerhalb der deutlichen Sehweite nicht mehr scharf wahrnehmen, da dann<br />
B v<br />
G<br />
F<br />
L<br />
θ'<br />
g<br />
tanθ = G L ,<br />
1<br />
g − 1 L = 1 f<br />
tan θ′ = G g<br />
das Bild hinter die Netzhaut fällt.<br />
Eine Lupe (Sammellinse) muss zu Hilfe genommen<br />
werden, deren virtuelles Bild wieder im Abstand<br />
L unter dem vergrösserten Beobachtungswinkel<br />
θ ′ wahrgenommen wird. Es gilt also<br />
<strong>und</strong> wegen der Abbildungsgleichung<br />
(L = 25cm) <strong>und</strong> tanθ ′ = G<br />
( 1<br />
f + 1 L)<br />
Für die durch M = θ ′ /θ definierte Winkelvergrösserung erhält man bei kleinen Winkeln,<br />
(<br />
d.h. für tanθ ≈ θ <strong>und</strong> tanθ ′ ≈ θ ′ , M = θ′ 1<br />
θ = L f + 1 )<br />
= 1 + L L f<br />
3.5.2 Astronomisches Fernrohr<br />
Fernrohre haben zwei Aufgaben: sie sollen sehr entfernte Gegenstände unter einem grösseren<br />
Sehwinkel erscheinen lassen <strong>und</strong> dem Auge ein helleres Bild liefern (Nachtfernrohr,<br />
Beobachtung von lichtschwachen Sternen). Das astronomische Fernrohr (J. Kepler, 1611)<br />
enthält zwei Sammellinsen: eine Objektiv-Linse mit grosser Brennweite <strong>und</strong> eine Okular-<br />
Linse mit kurzer Brennweite, die als Lupe wirkt. Das einfallende Licht ist annähernd<br />
parallel, das austretende Licht soll es wieder sein, damit ein auf ∞ eingestelltes Auge<br />
nicht zu akkommodieren braucht. Deswegen ist der Abstand der beiden Linsen gleich der<br />
Summe ihrer Brennweiten. Das Auge sieht ein umgekehrtes, vergrössertes, virtuelles Bild.<br />
.<br />
Objektiv<br />
θ<br />
Okular<br />
f 2<br />
B'<br />
Mit θ ≈ tanθ = B′<br />
f 1<br />
θ ′ ≈ tanθ ′ = − B′<br />
g ′<br />
wird die Winkelvergrösserung<br />
B<br />
b<br />
θ'<br />
g'<br />
M = θ′<br />
θ ≈ −f 1<br />
g ′ ≈ − f 1<br />
f 2<br />
f 1<br />
Das Auflösungsvermögen des Fernrohres ist wie beim Auge durch U = 0.82·D/λ gegeben,<br />
wobei jetzt D den Objektivdurchmesser bezeichnet. Für ein Fernrohr mit 100 Zoll (2.5<br />
m) Durchmesser <strong>und</strong> λ = 0.5µm erhält man U = 4.1 · 10 6 . Aus diesem Gr<strong>und</strong>e baut<br />
man Fernrohre mit grossem Objektivdurchmesser. Die Fernrohrvergrösserung M beliebig<br />
hinaufzutreiben, ist sinnlos, da ja auch die Beugungsfiguren entsprechend grösser werden.<br />
55
Infolge der Luftturbulenzen können astronomische Fernrohre nur einen Winkelbereich<br />
von 1” ausnutzen, um eine hohe Auflösung <strong>und</strong> Lichtstärke zu erreichen, können Teleskope<br />
in Satelliten ausserhalb der Atmosphäre installiert werden. In neuester Zeit wurde die<br />
adaptive <strong>Optik</strong> entwickelt; mit einem Hohlspiegel, der mit einzelnen, beweglichen, steuerbaren<br />
Segmenten aufgebaut ist, können mit einem nahegelegenen Leitstern die Tubulenzen<br />
on-line korrigiert werden 33 .<br />
3.5.3 Mikroskop<br />
Ähnlich der Lupe sollen mit dem Mikroskop kleine Objekte unter vergrössertem Sehwinkel<br />
betrachtet werden. Objektiv- <strong>und</strong> Okular-Linse haben einen Abstand, der grösser als die<br />
f 1<br />
Summe ihrer Brennweiten ist. Das Objekt liegt unmittelbar<br />
ausserhalb der Brennweite f 1 der Objektiv-<br />
f 2<br />
G u<br />
R<br />
B'<br />
linse, sein Bild B ′ wird durch das Okular wie durch<br />
eine Lupe beobachtet. Man erhält ein umgekehrtes,<br />
B v<br />
b<br />
virtuelles, stark vergrössertes Bild. Die gesamte Vergrösserung<br />
ergibt sich wie folgt.<br />
L<br />
Das Objektiv bewirkt eine Lateralvergrösserung (Vergrösserung in der zur Achse senkrechten<br />
Richtung) von m 1 ≈ −b/f 1 . Das Okular erzeugt eine Winkelvergrösserung M 2 ≈ L/f 2 .<br />
Die Gesamtvergrösserung ist<br />
M = m 1 M 2 = − bL<br />
f 1 f 2<br />
Q<br />
Kondensor<br />
1 max<br />
Objekt<br />
2 max<br />
Objektiv<br />
Brennebene<br />
f<br />
Q +4<br />
Q +3<br />
Q +2<br />
Q +1<br />
Q 0<br />
Q -1<br />
Q -2<br />
Q -3<br />
x<br />
Bildebene<br />
Zur Untersuchung des Auflösungsvermögens<br />
des Mikroskopes<br />
kann man entweder<br />
selbstleuchtende (H. v.<br />
Helmholtz, 1874) oder nichtselbstleuchtende<br />
Objekte (E.<br />
Abbe, 1873) voraussetzen. Wir<br />
wählen die zweite Betrachtungsweise.<br />
Als Modell für ein<br />
Objekt mit Struktur wählen<br />
wir ein Strichgitter, das mit<br />
parallelem Licht kohärent beleuchtet<br />
wird.<br />
Ohne Gitter würde die Lichtquelle als Punkt Q ◦ in der Brennebene der Objektivlinse<br />
abgebildet werden. Mit Gitter entstehen auch abgebeugte Bilder Q ±1 , Q ±2 etc. der<br />
Lichtquelle. Diese Beugungsmaxima können wir als kohärente Lichtquellen auffassen, deren<br />
Wellen durch Superposition in der Bildebene das uns interessierende reelle Bild des<br />
Gitters erzeugen. Es existiert also eine Beziehung zwischen dem Beugungsbild, das alle<br />
Information über das Objekt enthält, <strong>und</strong> dem reellen Bild. Ein strukturloses Objekt<br />
würde kein Beugungsbild <strong>und</strong> damit auch kein Bild erzeugen. Abbe erkannte, dass die<br />
Abbildung einer Struktur an das Vorhandensein von Beugungsspektren geknüpft ist.<br />
Da alle Beugungsbilder zum Aufbau des reellen Bildes beitragen, sind im Prinzip auch<br />
alle notwendig. Schneiden wir also in der Brennebene mit einem Spalt alle Beugungsmaxima<br />
mit Ausnahme desjenigen nullter Ordnung ab, so kann in der Bildebene kein<br />
33 J.Hardy “Adaptive <strong>Optik</strong>”, Spektrum der Wissenschaft, Aug. 1994,<br />
L.A.Thompson ‘Adaptive Optics in Astronomy”, Physics Today, Dec.1194<br />
56
wahres Bild mehr entstehen. Damit ein Bild erzeugt wird, das eine gewisse Ähnlichkeit<br />
mit dem Objekt hat, muss mindestens noch Licht vom 1. Beugungsmaximum durchkommen,<br />
welches wegen seiner Intensität am wichtigsten ist. Dieses Maximum 1. Ordnung<br />
erscheint unter einem Winkel α 1,max , für den gilt (Kap.3.4.3) sinα 1,max = λ d<br />
wenn d die Gitterkonstante des Objektes ist. Der Abstand ∆x der beiden Maxima<br />
1. Ordnung in der Brennebene ist ∆x = 2f tanα 1,max ≈ 2f sin α 1,max = 2fλ<br />
d .<br />
Damit also ein Bild entsteht, muss für die Spaltbreite S die Ungleichung gelten<br />
2<br />
f<br />
d =<br />
x<br />
2<br />
S > 2fλ<br />
d<br />
.<br />
(37)<br />
Nimmt man als Objekt ein quadratisches Kreuzgitter an, so<br />
verschwinden bei S ≤ ∆x mit vertikalem Spalt die vertikalen<br />
Gitterstriche, bei horizontalem Spalt die horizontalen.<br />
Stellt man den Spalt mit S < 1 · √2<br />
· ∆x unter 45 ◦ , so entsteht im Bild eine 45 ◦ -Streifung<br />
2<br />
senkrecht zum Spalt mit Abständen d/ √ 2, da ja das durchgelassene Beugungsbild gerade<br />
dasjenige eines Strichgitters mit d ′ = d √ 2 ist. Als “Bild” erhält man eine Struktur, die<br />
im<br />
Objekt gar nicht vorhanden ist!<br />
α<br />
Gitter 1.Max<br />
Wir kommen zum Mikroskop zurück. Wir<br />
d<br />
u<br />
wählen als Objekt wieder ein Gitter mit Gitterkonstante<br />
d, auf welches paralleles Licht<br />
1. Ordnung<br />
0. Ordnung senkrecht auffällt. Damit ein Bild erzeugt<br />
wird, muss mindestens das 1. Beugungsmaximum<br />
noch zustande kommen. Das Strah-<br />
R<br />
f 1<br />
lenbündel unter dem Winkel α 1,max muss also<br />
noch durch die Objektivlinse gelangen.<br />
Es muss also gelten α 1,max < u, mit tanu = R f 1<br />
. Mit Gl. (37) ist<br />
sin u > sin α 1,max = λ d<br />
oder d > λ<br />
sin u =<br />
λ ◦<br />
n sin u<br />
n · sin u heisst die numerische Apertur des Objektivs. Da sin u ≤ 1, kann mit einem<br />
Mikroskop kein Abstand d wahrgenommen werden, der kleiner als die Wellenlänge λ des<br />
beleuchteten Lichtes ist.<br />
Um noch kleinere Strukturen beobachten zu können, gibt es folgende Verbesserungsmöglichkeiten:<br />
a) Schiefe Beleuchtung mit α ◦ = 1 2 α 1,max ≤ u. Das 0. <strong>und</strong> 1. Maximum werden<br />
0. Max<br />
u<br />
α o<br />
α 1. Max<br />
1. Max<br />
gerade vom Objektiv erfasst. Dann ist<br />
λ<br />
= sinα λ<br />
d 1,max ≤ sin 2u, ≤ sin u · cosu < 2 sin u, also<br />
d<br />
d ><br />
λ<br />
2 sin u ≥ λ 2 .<br />
Das Auflösungsvermögen ist um einen Faktor 2 besser.<br />
57
) Bei Immersionsobjektiven wird zwischen Objekt <strong>und</strong> Objektiv eine Flüssigkeit (Öl)<br />
gebracht mit einem Brechungsindex n > 1. Dadurch wird die Wellenlänge verkürzt,<br />
da ja<br />
λ = λ ◦<br />
n , also d ≥ λ ◦<br />
n .<br />
Objektiv<br />
Immersionsol "<br />
Objekt<br />
c) Die Benützung wesentlich kürzerer Wellenlängen ist für elektromagnetische Strahlen<br />
nur beschränkt möglich, da es für UV- <strong>und</strong> Röntgenstrahlen keine geeigneten<br />
Linsen gibt (Brechungsindex für diese Wellenlängen n ∼ = 1). Dagegen kann ein Elektronenmikroskop<br />
verwendet werden, da auch Elektronen nach der Quantenmechanik<br />
Wellennatur besitzen mit einer Wellenlänge λ = h mv , bzw. λ − = λ<br />
2π = ¯hc<br />
pc<br />
mit mv = Impuls des Elektrons, h = Plancksche Konstante (¯h = h/2π). Als<br />
Linsen dienen geeignete Konfigurationen elektrischer <strong>und</strong> magnetischer Felder.<br />
3.5.4 Abbildung im Mikroskop mit dem Phasenkontrastverfahren †<br />
Durchsichtige, dünne Präparate, z.B. in der Medizin oder Biologie, mit nur geringfügig<br />
unterschiedlichen Dicken oder Brechzahlen, haben keinen visuellen Helligkeitsunterschied<br />
im durchfallenden Licht. Die optischen Gangunterschiede sind klein gegenüber der Wellenlänge<br />
(∆ ≪ λ). Anfärben des Präparates ist ein chemischer Eingriff <strong>und</strong> kann erhebliche<br />
Abweichungen vom Originalzustand erzeugen. Mit dem Phasenkontrastverfahren von<br />
F.Zernicke (1932) 34 können diese geringen Unterschiede ohne einen Eingriff in des Präparat<br />
sichtbar gemacht werden.<br />
Zur Erklärung werden zwei<br />
Grenzfälle betrachtet:<br />
Im reinen Amplitudengitter<br />
ist die Amplitude A ohne<br />
eine Phasenverschiebung<br />
verringert (absorbiert), was<br />
durch eine um 180 ◦ gedrehte<br />
kleine Komponente A ′′ dargestellt<br />
werden kann.<br />
Amplitudengitter<br />
gleiche Phasen nach Durchgang<br />
A<br />
P<br />
A' P'<br />
A'' P''<br />
Phasengitter<br />
Phasen verschoben nach Durchgang<br />
A ′ ist die Amplitude, die ohne Gitter vohanden wäre, sie hat daher kein Beugungsbild <strong>und</strong><br />
besteht nur aus der 0. Ordnung. A ′′ enthält dagegen alle Ordnungen des Beugunsbildes<br />
am Gitter.<br />
Das reine Phasengitter verschiebt die Phasen um einen kleinen Winkel ohne den Betrag<br />
der Amplitude zu ändern, was durch eine 90 ◦ Drehung einer kleinen Komponente P ′′<br />
dargestellt werden kann. Dreht man im Phasengitter die Phase der kleinen Komponente<br />
P ′′ oder auch die der ungestörten Komponente P ′ nochmals um 90 ◦ , dann wird der<br />
34 A.Köhler <strong>und</strong> W.Loos, Naturwissenschaften 29(1941)49<br />
90 o<br />
58
Mikroskop mit<br />
Phasenkontrastverfahren<br />
Phasenplatte<br />
Ringblende<br />
Objektiv<br />
Objektträger<br />
} Kondensor<br />
Phasenunterschied in einen Amplitudenunterschied<br />
umgewandelt. Die Phase des primären Bildes P ′ wird<br />
auch hier nur in der 0. Ordnung vollständig erfasst,<br />
so dass nur die 0. Ordnung um 90 ◦ gedreht werden<br />
muss.<br />
Dies wird mit einer Kreisringblende<br />
als Kondensorblende erreicht,<br />
die das abgebildete primäre Bild in der Brennebene<br />
erzeugt. In der Brennebene kann nun an die Stelle der<br />
0. Ordnung ein Phasenplättchen angebracht werden<br />
(dunkler Kreisring in der Figur), das die 0. Ordnung<br />
um 90 ◦ dreht <strong>und</strong> alle höheren Ordnungen praktisch<br />
ungeändert lässt. Der Phasenunterschied ist jetzt in<br />
einen Amplitudenkontrast umgewandelt worden.<br />
Neben dem Phasenkontrastverfahren <strong>und</strong> der Einfärbung des Präparates wird in der Mikroskopie<br />
auch mit polarisiertem Licht mit einem Polarisator in der Beleuchtung (Kondensor)<br />
<strong>und</strong> einem gekreuzten Analysator (vgl. Kap.3.6.5) im Objektiv gearbeitet.<br />
3.5.5 Auflösungsvermögen eines Gitterspektrographen †<br />
λ<br />
<strong>und</strong><br />
λ+∆λ<br />
I(λ)<br />
2.<br />
1.<br />
λ<br />
1.<br />
2.<br />
0.<br />
0.<br />
2.<br />
1.<br />
λ+∆λ<br />
I(λ+∆λ)<br />
1.<br />
Im Kapitel 3.4.3 haben wir gesehen, dass der<br />
Beugungswinkel α 1 der Hauptmaxima der<br />
Intensität (bei senkrechtem Lichteinfall)<br />
durch<br />
sin α 1 = m λ d<br />
2. gegeben ist. Damit kann die Wellenlänge λ<br />
einer Strahlung sehr genau gemessen werden.<br />
Wir nehmen an, Licht mit zwei leicht verschiedenen Wellenlängen λ <strong>und</strong> λ+∆λ werde mit<br />
einem Gitter untersucht <strong>und</strong> ergebe die beiden Intensitätsverteilungen I(λ) <strong>und</strong> I(λ+∆λ).<br />
Die Grenze der Auflösung beider Verteilungen ist erreicht, wenn das Maximum m.<br />
Ordnung von λ + ∆λ auf das 1. Minimum nach dem Maximum m. Ordnung von λ fällt,<br />
wenn also<br />
sin α 1 (m. Max,λ + ∆λ) = sinα 1 ((m + 1).Min,λ).<br />
Für die linke Seite erhalten wir nach Gleichung (38) m(λ + ∆λ)/d. Die rechte Seite<br />
können wir wie folgt bestimmen. Nach Kap. 3.4.3 sind die Minima durch<br />
sin α 1 = m 1λ<br />
Nd<br />
bestimmt. Ist m 1 /N = m, so ist durch α 1 ein Maximum definiert. Das auf dieses Maximum<br />
folgende Minimum ist also durch m 1 + 1 = mN + 1 gegeben <strong>und</strong> somit durch<br />
sin α 1 =<br />
(mN + 1)λ<br />
Nd<br />
=<br />
(<br />
m + 1 ) λ m(λ + ∆λ)<br />
. Also gilt mit Gl. (38)<br />
N d d<br />
=<br />
(38)<br />
(<br />
m + 1 N<br />
) λ<br />
d .<br />
Der minimale Wellenlängenunterschied ∆λ min , der noch getrennte Maxima ergibt, ist<br />
somit gegeben durch m (λ + ∆λ min ) =<br />
59<br />
(<br />
m + 1 )<br />
λ oder<br />
N<br />
λ<br />
∆λ min<br />
= mN
Dieses Verhältnis nennt man das Auflösungsvermögen des Gitters. Es ist um so grösser, je<br />
grösser die Zahl der Spalte ist (z.B. N ≈ 10 5 ). m ist meist auf Werte bis zu 3 beschränkt.<br />
Denn nach Gleichung (38) ist d ≥ mλ <strong>und</strong> d muss genügend klein gewählt werden, um N<br />
gross machen zu können, damit das Beugungsbild aus möglichst scharfen Linien besteht.<br />
3.6 Polarisation<br />
3.6.1 Polarisationsformen<br />
Die bislang diskutierten Interferenz- <strong>und</strong> Beugungserscheinungen haben eindeutig bewiesen,<br />
dass Licht Wellennatur hat. Alle Erscheinungen, die mit der Ausbreitung des Lichtes<br />
<strong>und</strong> der anderen elektromagnetischen Wellen zu tun haben, können durch die Wellentheorie<br />
erklärt werden. Dagegen braucht man zur Deutung der elementaren Prozesse,<br />
die mit der Entstehung <strong>und</strong> Vernichtung des Lichtes zu tun haben (vgl. Kap. 2.1.6), die<br />
Quantentheorie, die von M. Planck (1900) begründet wurde.<br />
Es bleibt uns noch zu entscheiden, ob Licht eine longitudinale oder, wie in Kap. 2.1.3<br />
auf Gr<strong>und</strong> der Maxwell-Theorie behauptet wurde, eine transversale Welle ist. Über diese<br />
Frage entscheidet, ob Licht polarisierbar ist (nicht zu verwechseln mit der dielektrischen<br />
Polarisation). Gegenüber longitudinalen Wellen, die nur in einer Dimension schwingen,<br />
kann die Erregung irgendeiner transversalen Welle in einer Ebene schwingen, die senkrecht<br />
zur Ausbreitungsrichtung steht. Schwingt für verschiedene Raumpunkte z in der<br />
Ausbreitungsrichtung die Erregung längs zu einander parallelen Geraden, also in der gleichen<br />
Ebene, so nennt man die Welle linear polarisiert. Im Falle des linear polarisierten<br />
Lichtes liegt der E-Vektor ⃗ also in einer festen Ebene 35 , <strong>und</strong> an einem festen Orte z gilt<br />
y ✻ E ⃗ E x = E ◦ cos ϕ cos ωt, E y = E ◦ sin ϕ cos ωt. Dreht sich der<br />
ϕ ✲ x ⃗E-Vektor um die Fortpflanzungsrichtung, so gilt für festes z<br />
✚ ✚✚✚✚✚❃ E x = E ◦ cos ωt, E y = ±E ◦ sin ωt = E ◦ cos(ωt ± π/2),<br />
das Licht ist zirkular polarisiert, <strong>und</strong> zwar links (rechts) zirkular für +E ◦ (−E ◦ ). Schliesslich<br />
gibt es die Möglichkeit, dass sich der E-Vektor ⃗ in der xy-Ebene dreht, aber dabei seine<br />
Länge ändert, so dass also gilt E x = E ◦ cos ϕ cos ωt, E y = E ◦ sin ϕ cos(ωt + δ).<br />
Eine solche Welle heisst elliptisch polarisiert.<br />
Der allgemeine Polarisationszustand eines elektromagnetischen Wellenzuges ist der<br />
elliptisch polarisierte. Da die einzelnen Oszillatoren (Atome), welche das Licht aussenden,<br />
völlig unabhängig voneinander schwingen, sind in sogenanntem natürlichem Licht viele<br />
voneinander unabhängige Wellenzüge vorhanden. Alle Schwingungsrichtungen in der<br />
y ✻<br />
❆❑<br />
✂ ✂✍<br />
✐<br />
❆<br />
<br />
✟ ❆ ✂✟ ✟✟✯ ✲x<br />
✟✙ ✟ ✂❆ <br />
✂ ❆❆❯<br />
✂✌<br />
xy-Ebene kommen im Mittel gleich häufig vor, es besteht vollkommene<br />
axiale Symmetrie.<br />
Solches unpolarisiertes Licht ist äquivalent zu zwei senkrecht zueinander<br />
polarisierten Wellen gleicher Amplitude, zwischen denen keine festen<br />
Phasenbeziehungen bestehen.<br />
3.6.2 Polarisation durch Reflexion<br />
Der französische <strong>Physik</strong>er E.L. Malus (1808) beobachtete, dass Licht, welches an einem<br />
durchsichtigen Medium wie Glas oder Wasser reflektiert wird, seine axiale Symmetrie<br />
35 Man definiert als Polarisationsebene die Ebene, in der der ⃗ E-Vektor schwingt. Man hätte genau so<br />
gut den ⃗ B-Vektor nehmen können.<br />
60
um die Fortpflanzungsrichtung verliert. Dies war der erste Beweis der Transversalität der<br />
Lichtwellen.<br />
Man kann die Lichtreflexion vollständig mittels der Maxwell-Gleichungen erfassen, <strong>und</strong><br />
zwar in ähnlicher Weise, wie wir die Reflexion einer elastischen Welle an einer Dichteunstetigkeit<br />
behandelt haben (Kap. 3.2.1). Im Falle des Lichtes sind die Stetigkeitsbedingungen<br />
des ⃗ E-Vektors zu beachten. Man erhält dann Ausdrücke für die Amplituden der reflektierten<br />
<strong>und</strong> durchgelassenen Wellen <strong>und</strong> die Verhältnisse dieser Amplituden zur Amplitude<br />
der einfallenden Welle, also die Reflexions- <strong>und</strong> Transmissions-Koeffizienten R <strong>und</strong> T.<br />
Dies sind die sogenannten Fresnel-Gleichungen. R <strong>und</strong> T hängen vom Brechungsindex n,<br />
vom Einfallswinkel α <strong>und</strong> von der Polarisationsrichtung ab.<br />
unpolarisiertes<br />
einfallendes<br />
Lichtα B<br />
γ<br />
B<br />
keine<br />
Reflexionα E<br />
γ<br />
E<br />
maximale<br />
Reflexionα B<br />
γ<br />
Dies bewirkt, dass reflektiertes Licht teilweise polarisiert ist.<br />
Für einen bestimmten Einfallswinkel, den sogenannten Brewster-<br />
90 o Winkel α B , ist der Reflexionskoeffizient für die Polarisationsrichtung<br />
parallel zur Einfallsebene gleich Null. Es kommt also in der<br />
reflektierten Welle nur die senkrecht zur Einfallsebene stehende-<br />
Polarisation vor, das reflektierte Licht ist vollständig polarisiert.<br />
90 o Dieser Fall tritt ein, wenn reflektierter <strong>und</strong> gebrochener Strahl<br />
aufeinander senkrecht stehen, also für α B + γ = π mit α<br />
2 B dem<br />
Brewster-Winkel <strong>und</strong> damit<br />
90 o n = sin α B<br />
sin γ =<br />
sin α B<br />
sin ( π<br />
− α ) = tanα B also tanα B = n<br />
2 B<br />
Dieses Gesetz lässt sich atomistisch wie folgt erklären.<br />
Der ⃗ E-Vektor des einfallenden Lichtes regt die Elektronen in<br />
den Atomhüllen des brechenden Mediums zum Mitschwingen an. Die Elektronen stellen<br />
schwingende Dipole dar, die also Strahlung, die reflektierte Welle, aussenden. Senkrecht<br />
zur Schwingungsrichtung ist die abgestrahlte Intensität maximal, in Schwingungsrichtung<br />
ist sie Null (siehe Kap. 2.1.6). Fällt also die Schwingungsrichtung eines angeregten Elektrons<br />
mit der Richtung des reflektierten Strahls zusammen, so sendet er kein Licht in<br />
diese Richtung aus. Das ist also der Fall, wenn das einfallende Licht in der Einfallsebene<br />
schwingt, also für E ‖ . Ist das einfallende Licht unpolarisiert, hat es auch eine Komponente<br />
E ⊥ senkrecht zur Einfallsebene. Dann strahlen die Elektronen polarisiert sowohl in der<br />
Richtung des reflektierten als auch senkrecht dazu in der des gebrochenen Strahls.<br />
Ist α B +γ ≠ 90 ◦ , dann wird ein Anteil entsprechend der Dipolcharakteristik reflektiert<br />
<strong>und</strong> der Rest gebrochen mit entsprechenden teilweisen Polarisationen. Mit der elektromagnetischen<br />
Wellentheorie werden quantitativ Intensitäten <strong>und</strong> Polarisation berechnet.<br />
56. 5 o<br />
1<br />
2<br />
(a)<br />
1<br />
90 o<br />
2<br />
(b)<br />
Lassen wir das durch Reflexion linear polarisierte<br />
Licht nochmals auf einen Spiegel fallen, so wird es<br />
nur reflektiert, wenn der ⃗ E-Vektor des auffallenden<br />
Lichtes eine Komponente E ⊥ senkrecht zur Einfallsebene<br />
der zweiten Reflexion hat. Bilden die beiden<br />
Einfallsebenen einen Winkel ϕ miteinander, so ist<br />
E ⊥ = E cos ϕ <strong>und</strong> die Intensität des am zweiten Spiegel<br />
reflektierten Lichtes ist proportional E 2 ⊥, also<br />
I(ϕ) = I ◦ cos 2 ϕ<br />
Gesetz von Malus<br />
61
Sind also beide Spiegel gekreuzt (ϕ = 90 ◦ ), so wird kein Licht reflektiert.<br />
3.6.3 Polarisation durch Streuung<br />
<br />
<br />
<br />
❜ ❜ ❜ ❜ ❜ <br />
<br />
❜ ❜ ❜ ❜ <br />
Unter Streuung des Lichtes verstehen wir seine Ablenkung<br />
❜ ❜ ❜ ❜ ❜<br />
<br />
✲<br />
❜ <br />
durch sehr kleine Teilchen, bei der die einzelnen abgelenkten<br />
Strahlen keine festen Phasenbeziehungen haben, also in-<br />
❜ ✙<br />
<br />
90<br />
❜<br />
<br />
◦ <br />
<br />
<br />
<br />
❜ kohärent sind <strong>und</strong> somit nicht interferieren, im Gegensatz zu<br />
❜<br />
❜ den in Kap. 3.4.2 diskutierten Interferenzphänomenen an kleinen<br />
Scheibchen. Streuung beobachtet man an allen trüben<br />
❄<br />
Stoffen (Rauch in Luft, kolloidale Lösungen in Wasser). Die kleinen Partikel stellen wieder<br />
Hertzsche Dipole dar, die maximal Licht senkrecht zur Schwingungsrichtung abstrahlen.<br />
Also ist das unter 90 ◦ gestreute Licht vollständig polarisiert. Für jeden anderen Winkel<br />
ist die Polarisation nur partiell.<br />
Auch die blaue Farbe des Himmels beruht auf Streuung 36 <strong>und</strong> zwar auf Streuung an<br />
den Luftmolekülen, die eine Brownsche Bewegung ausführen. Deshalb ist das gestreute<br />
Licht inkohärent, <strong>und</strong> die von den einzelnen Molekülen gestreuten Intensitäten können<br />
ohne Berücksichtigung von Phasenverschiebungen addiert werden. Die Gesamtstrahlung<br />
ist also wieder die eines Hertz’schen Dipols <strong>und</strong> somit proportional zur 4. Potenz der<br />
Lichtfrequenz, bzw. umgekehrt proportional zu λ 4 . Das kurzwellige blaue <strong>und</strong> violette<br />
Licht wird also am stärksten gestreut (“blauer Himmel” ) <strong>und</strong> dem Sonnenlicht entzogen.<br />
Unmittelbar beobachtetes Sonnenlicht hat also einen rötlichen Farbton, wenn es einen<br />
langen Weg durch die Atmosphäre zurückgelegt hat (“roter Sonnenuntergang” ).<br />
Der oft beobachtete Ringhalo der Sonne bei 22 o <strong>und</strong> schwächer bei 46 o sowie “Sonnenh<strong>und</strong>e”<br />
<strong>und</strong> ähnliche Phänomene werden durch Brechung in Eiskristallen in der Atmosphäre<br />
erzeugt 37 .<br />
3.6.4 Polarisation durch Doppelbrechung<br />
Fällt ein Lichtbündel auf ein anisotropes Medium (in welchem verschiedene Richtungen<br />
physikalisch nicht gleichwertig sind), z.B. Quarz (SiO 2 ) oder Kalkspat (CaCO 3 ), so wird<br />
es im allgemeinen in zwei Teilbündel aufgespalten. Man spricht von Doppelbrechung .<br />
78°<br />
Kalkspat<br />
102°<br />
opt. Achse<br />
Sämtliche Kristalle, die nicht dem kubischen System angehören,<br />
sind doppelbrechend. Es existiert aber mindestens<br />
eine Richtung, in welcher keine Doppelbrechung auftritt.<br />
Eine solche heisst optische Achse. Tetragonale, hexagonale<br />
<strong>und</strong> trigonale Kristalle haben eine optische Achse; sie<br />
sind uniaxial. Rhombische, monokline oder trikline Kristalle<br />
sind dagegen biaxial.<br />
Betrachtet man einen uniaxialen Kristall, bei dem sich von einem Punkt P aus eine<br />
Welle ausbreitet, so wird die Wellenfläche aufgespalten in eine Kugel <strong>und</strong> ein Rotationsellipsoid,<br />
d.h. in eine ordentliche <strong>und</strong> eine ausserordentliche Wellenfläche. Zur ordentlichen<br />
Wellenfläche gehört ein ordentlicher Strahl, zur andern ein ausserordentlicher Strahl.<br />
36 Lord Rayleigh, 1871<br />
37 R.Greenler, “Lichterscheinungen, Eiskristalle <strong>und</strong> Himmelsarchäologie” Phys.Blätter 54(1998)2,S.133<br />
62
Fällt ein Strahl auf einen solchen doppelbrechenden<br />
A B a.o. Kristall, so spaltet er sich auf 38 . Die zur Doppelbrechung<br />
notwendige Anisotropie kann auch künstlich<br />
o.<br />
erzeugt werden, z.B. durch Druck, Biegung, Temperaturunterschiede,<br />
elektrische Felder.<br />
Polarisator<br />
Analysator<br />
Der ordentliche Strahl ist senkrecht zu derjenigen Ebene polarisiert, die durch den ordentlichen,<br />
gebrochenen Strahl <strong>und</strong> die optische Achse bestimmt wird. Für den ordentlichen<br />
Strahl gilt das Snellius’sche Brechungsgesetz.<br />
Der ausserordentliche Strahl ist parallel zur Ebene polarisiert, die durch die optische<br />
Achse <strong>und</strong> den ausserordentlichen Strahl bestimmt wird. Die Polarisationsrichtung ist<br />
tangential zur ausserordentlichen Wellenfläche <strong>und</strong> nicht etwa zum ausserordentlichen<br />
Strahl. Für diesen gilt das Brechungsgesetz nicht. Wellennormale <strong>und</strong> Strahlrichtung fallen<br />
nicht zusammen. Das Huygensche Prinzip gilt auch für den ausserordentlichen Strahl,<br />
jedoch sind die Wellenfronten keine Kugeln (anisotropes Medium).<br />
Zur Erzeugung von linearpolarisiertem Licht mit Hilfe der Doppelbrechung muss entweder<br />
der ordentliche oder der ausserordentliche Strahl eliminiert werden.<br />
Beispiele:<br />
a) Nicolsches Prisma als Polarisator.<br />
Werden zwei geeignet geschnittene Kalzitkristalle<br />
zusammengeklebt, so kann der<br />
ordentliche Strahl durch Totalreflexion an<br />
der Klebeschicht ausgelenkt werden.<br />
n ◦ > n ′ ≥ n a.◦. .<br />
68°<br />
P<br />
90°<br />
b) Dichroitische Doppelbrechung in einem Polaroid.<br />
Richtung der optischen Achse<br />
ordentl. Strahl<br />
geschwärzter Rand<br />
Kanadabalsam<br />
ausserordentl.<br />
Strahl<br />
In gewissen doppelbrechenden Kristallen, so z.B. Turmalin (Borat-Silikat), wird der<br />
ordentliche Strahl stark, der ausserordentliche praktisch nicht absorbiert (Dichroismus).<br />
Da eine dünne Schicht genügt, um den ordentlichen Strahl zu unterdrücken,<br />
eignen sich solche Materialien zur Herstellung von Polarisatoren.<br />
Wenn man nicht nur das sichtbare, sondern das gesamte Spektrum berücksichtigt,<br />
sind alle Kristalle dichroitisch.<br />
3.6.5 Gr<strong>und</strong>prinzip eines Polarisationexperimentes in gekreuzter Anordnung<br />
unpolarisiert<br />
Polarisator<br />
Probe<br />
lin. pol.<br />
Intensitat: " 2 2 2<br />
A o cos ϕ sin ϕ<br />
Analysator<br />
Amplitude: A o → A o cosϕ → A o cosϕ sinϕ<br />
A o<br />
ϕ<br />
Polarisatorrichtung<br />
Durchlaβrichtung<br />
der Probe<br />
Analysatorrichtung<br />
Mit einem Polarisator (Polarisationsfolie, Nicolsches Prisma) wird aus unpolarisiertem<br />
Licht ein Strahl linear polarisiertem Lichtes erzeugt. Ein Analysator (z.B. identisch zum<br />
Polarisator) wird in der Polarisationsrichtung senkrecht aufgebaut; es wird dann hinter<br />
dem Analysator kein Licht beobachtet. Eine Probe, die in ihrer Durchlassrichtung unter<br />
38 In biaxialen Kristallen sind die Wellenflächen komplizierter.<br />
63
dem Winkel ϕ aufgestellt ist, lässt nur die Komponente A ◦ cos ϕ hindurch, die im Analysator<br />
weiter um den Faktor sinϕ reduziert wird. Ohne Berücksichtigung von Absorptionen<br />
beobachtet man dann eine Intensität von I = A 2 ◦ · cos 2 ϕ · sin 2 ϕ.<br />
3.6.6 Interferenzen im polarisierten Licht<br />
Wird linear polarisiertes, paralleles Licht, das aus einem Polarisator P austritt, durch<br />
einen zweiten Polarisator geschickt, so hängt die durchgelassene Intensität I von der<br />
relativen Stellung des 2. Polarisators <strong>und</strong> der Polarisationsebene ab. Dieser wird zum<br />
Analysator A. Ist I = 0, das Gesichtsfeld also dunkel, so nennt man P <strong>und</strong> A gekreuzt<br />
aufgestellt (siehe Figur). Wird zwischen P <strong>und</strong> A ein doppelbrechendes Medium, z.B.<br />
eine uniaxiale Platte der Dicke d in den Lichtstrahl gebracht, so wird das Gesichtsfeld<br />
aufgehellt. Es können Interferenzeffekte beobachtet werden, da optische Wegdifferenzen<br />
zwischen dem ordentlichen <strong>und</strong> ausserordentlichen Strahl entstehen. Dabei können nur<br />
solche Lichtstrahlen interferieren, die in der gleichen Ebene polarisiert sind.<br />
Probe mit Doppelbrechung<br />
unpolarisiert<br />
A<br />
Polarisator<br />
Analysator<br />
A<br />
ϕ A<br />
o.<br />
I=A A * = (A o. +A a.o. ) * (A o. +A a.o. )<br />
A<br />
A o. ϕ a.o.<br />
ϕ . ϕ ∆ = d (n o. -n a.o. )<br />
A a.o.<br />
A →A o. =A cosϕ exp[i(kx-ωt)], A a.o. = A sinϕ exp[i(kx-ωt)] → A sinϕ cosϕ exp[i(kx-ωt)] - A cosϕ sinϕ exp[i(k(x+∆)-ωt)]<br />
Ist ⃗ A die Vektoramplitude des von P kommenden, linear polarisierten Lichtes, so muss ⃗ A<br />
so in die Amplituden ⃗ A ◦ <strong>und</strong> ⃗ A a◦ des ordentlichen <strong>und</strong> ausserordentlichen Strahles zerlegt<br />
werden, dass A 2 = A 2 ◦ + A 2 a◦. Der Analysator A lässt nur diejenigen Komponenten von<br />
⃗A ◦ <strong>und</strong> ⃗ A a◦ durch, die senkrecht zu ⃗ A stehen. Ordentlicher <strong>und</strong> ausserordentlicher Strahl<br />
haben nach dem Verlassen der uniaxialen Platte einen Unterschied im optischen Weg von<br />
∆ = d(n ◦ − n a◦ ). Die Erregung der durchgelassenen Welle ist also (Figur)<br />
u(x,t) = A cos ϕ sin ϕe i(kx−ωt) − A sin ϕ cos ϕe i[k(x+∆)−ωt] = A cos ϕ sin ϕe i(kx−ωt) [ 1 − e ik∆] .<br />
Die durchgelassene Intensität ist demnach<br />
I ∼ uu ⋆ = A 2 sin 2 ϕ cos 2 ϕ ( 1 − e ik∆) ( 1 − e −ik∆) = A 2 sin 2 ϕ cos 2 ϕ(2 − 2 cos k∆)<br />
a.o.<br />
[ ] π<br />
= 4A 2 sin 2 ϕ cos 2 ϕ sin 2 λ (n ◦ − n a◦ )d .<br />
Minima der Intensität ergeben sich für<br />
d =<br />
mλ<br />
(<br />
(m = 1, 2, 3...), Maxima für d = m + 1 )<br />
λ<br />
.<br />
n ◦ − n a◦ 2 n ◦ − n a◦<br />
Im monochromatischen Licht zeigt eine doppelbrechende Platte variabler Dicke helle<br />
<strong>und</strong> dunkle Streifen. Im weissen Licht erscheinen farbige Streifen. Fällt die optische Achse<br />
mit der einfallenden Richtung zusammen, so wird das Gesichtsfeldes nicht aufgehellt, da<br />
unter diesen Bedingungen n ◦ = n a◦ ist.<br />
Die Anordnung von gekreuztem Polarisator <strong>und</strong> Analysator eignet sich zur Demonstration<br />
folgender Phänomene:<br />
a) Wachstum doppelbrechender Kristalle<br />
b) Erzeugung von Doppelbrechung durch mechanische anisotrope Deformierung eines Materials<br />
(Mech. Spannungsdoppelbrechung)<br />
64<br />
o.
c) Untersuchung von Spannungszuständen in Gläsern<br />
d) Erzeugung von Doppelbrechung durch Anlegen eines elektrischen Feldes, wobei n ◦ −<br />
n a◦ ∼ E 2 (Kerreffekt)<br />
e) Messung der optischen Aktivität, d.h. des Drehvermögens der Polarisationsebene, in<br />
anisotropen <strong>und</strong> isotropen Medien<br />
f) Drehung der Polarisationsebene durch Anlegen eines Magnetfeldes (Faradayeffekt).<br />
Weitere Beispiele für Polarisationseffekte:<br />
1) Der Regenbogen ist infolge der Streuung in der Atmosphäre polarisiert 39 . Mit einem<br />
Polarisationsfilter vor der Kamera kann der Regenbogen im Bild verstärkt werden. Auch<br />
Spiegelungen an Scheiben können in der Photographie durch Polarisationsfilter oder mit<br />
einer Polarsationsbrille unterdrückt werden.<br />
2) Das blaue Himmelslicht ist infolge der Streuung polarisiert. Wüstenameisen, die sonst<br />
kaum stabile räumliche Anhaltspunkte haben, <strong>und</strong> auch Bienen können sich nach der Polarisationsrichtung<br />
orientieren. Bei einigen Schmetterlingen wird die Farbenpracht durch<br />
Interferenzen erzeugt.<br />
3) Interferenzen mit polarisiertem Licht werden zu Strukturuntersuchungen, Materialforschung,<br />
Metalloberflächen, Spannungsdoppelbrechung benutzt.<br />
4) In der Atomspektroskopie wird z.B. im Zeeman-Effekt die Polarisationsrichtung einzelner<br />
Zeeman-Komponenten durch Polarisationfilter nachgewiesen.<br />
3.6.7 Magnetische Drehung der Polarisationsebene (Faraday-Effekt) †<br />
In einer atomistischen Überlegung 40 kann die Drehung der Polarisationsebene im Magnetfeld<br />
klassischen erklärt werden. Mit der Lorenzkraft ⃗ F = −e( ⃗ E +⃗v × ⃗ B) <strong>und</strong> den Feldern<br />
einer Lichtwelle ⃗ B = µµ ◦<br />
⃗ H, | ⃗ H| =<br />
√ εε◦<br />
µµ ◦<br />
| ⃗ E| ist für eine Geschwindigkeit v<br />
F elektr<br />
= E<br />
F magn vB =<br />
E<br />
vµµ ◦ H =<br />
√ µµ◦<br />
vµµ ◦<br />
√ εε◦<br />
= 1<br />
nβ , mit β = v c ,<br />
d.h. F magn ist bei nichtrelativistischen Geschwindigkeiten vernachlässigbar. Mit einem<br />
äusseren Feld ⃗ Bä kann jedoch der zweite Term bemerkbar werden, <strong>und</strong> es gilt dann für<br />
die Bewegungsgleichung eines geb<strong>und</strong>enen Elektrons mit der Rückstellkraft k⃗x:<br />
m¨⃗x + k⃗x = −e( ⃗ E + ˙⃗x × ⃗ Bä), Annahme ⃗ B = ⃗ B<br />
z<br />
ä <strong>und</strong> ⃗ E,⃗x ⊥ ⃗z, ⃗ B<br />
z<br />
ä ,<br />
das B-Feld ist parallel zum einfallenden Licht in der z-Richtung.<br />
In Komponenten ist ẍ + ω 2 ◦x + e m Bẏ = − e m E x <strong>und</strong> ÿ + ω 2 ◦y − e m Bẋ = − e m E y<br />
mit ω 2 ◦ = k/m. Mit Addition oder Subtraktion der beiden Gleichungen: (1) ± i(2)<br />
<strong>und</strong> s ± = x ± iy sowie E zirk = E x ± iE y einer zirkular polarisierten Welle ist<br />
¨s ± + ω 2 ◦s ± ∓ e m iBṡ ± = − e m Ezirk (39)<br />
Linear polarisiertes Licht kann als Überlagerung von zirkular polarisiertem Licht dargestellt<br />
werden mit E x = 1 2 (Ezirk + + E− zirk ), E y = 1 2i (Ezirk + − E−<br />
zirk ) damit ist monochromatisches<br />
zirkular polarisiertes Licht E± zirk = A e i(k ±z−ωt) mit den Anfangsbedingungen<br />
E x = a cos ωt, E y = 0 beim Eintritt in das Medium mit dem Feld B.<br />
39 The theory of the rainbow, H.M.Nussenzveig, Sc. Am. 236(April 1977)116.<br />
40 A. Sommerfeld “<strong>Optik</strong>” AVG Leipzig 1959, S.89<br />
65
Die Lösung der erzwungenen Schwingung Gl.(39) ist nach dem Einschwingvorgang<br />
[mit Gl.(76) Phys.AI] s ± =<br />
−e/m<br />
ω 2 ◦ − ω 2 ∓ e m<br />
Ezirk ±<br />
Bω<br />
mit einem reellen Nenner 41 , da das Magnetfeld auf das Elektron keine Leistung erbringt.<br />
Die Polarisation des Mediums ist dann völlig analog zur Berechnung des Brechungsidexes<br />
[vgl. Kap.2.1.7]: P ± = P x ± iP y =<br />
N e 2 /m<br />
ω 2 ◦ − ω 2 ∓ e m<br />
Bω<br />
Ezirk ± .<br />
√ √√√<br />
Damit ist der Brechungsindex n ± = ck 1<br />
±<br />
ω = ε<br />
1 + ◦<br />
Ne 2 /m<br />
ω◦ 2 − ω 2 ∓ e , (40)<br />
Bω<br />
m<br />
d.h. es gibt entsprechend der Wellenzahl ⃗ k ± zwei verschiedene Brechungsindizes n ± für<br />
die recht- <strong>und</strong> links-zirkulare Welle mit n + < n − mit einer nur kleinen Differenz.<br />
Unter Vernachlässigung des Termes ( e m Bω)2 ist dann<br />
n 2 +−n 2 − = Ne2<br />
ε ◦ m ·2 e Bω<br />
m (ω◦ 2 − ω 2 ) . 2<br />
Zerlegt man k ± in einen symmetrischen <strong>und</strong> einen antisymmetrischen Teil, dann ist<br />
k ± = 1(k 2 + + k − ) ± 1(k 2 + − k − ) mit der Phasendifferenz ϕ = 1(k 2 + + k − )d − ωt nach<br />
der Dicke d <strong>und</strong> dem Drehwinkel χ = 1(k 2 + − k − )d nach der Dicke d.<br />
Für die beiden zirkular polarisierten Wellen erhält man<br />
E ± = A exp i[ 1(k 2 + + k − )d ± 1(k 2 + − k − )d − ωt], E + = A e iϕ e iχ , E − = A e iϕ e −iχ<br />
<strong>und</strong> E x = 1(E 2 + + E − ) = A e iϕ cos χ, E y = 1(E 2 + − E − ) = A e iϕ sin χ.<br />
χ dreht immer im Rechtsschraubensinn zum äusseren Magnetfeld, es ist mit dem mittleren<br />
Brechungsindex n = n ++n −<br />
:<br />
2<br />
Polarisator<br />
Spule H<br />
Analysator<br />
I d<br />
Schirm<br />
Probe<br />
Anordnung zum Faraday-Effekt<br />
P<br />
A<br />
r(ω) = ω n + − n −<br />
2c H<br />
χ = r(ω) · d · H<br />
= Ne3 µ ω 2<br />
2nm 2 c ε ◦ (ω◦ 2 − ω 2 ) 2<br />
ist die Verdet’sche Konstante.<br />
Bei Umkehrung des Lichtstrahles über einen Spiegel verdoppelt sich die Drehung durch<br />
den Faraday-Effekt, während bei optisch aktiven Medien (z.B. Zucker, der in zwei chemisch<br />
gleichwertigen Formen vorkommt, die nicht durch eine Drehung zur Deckung gebracht<br />
werden können) ohne ein äusseres Feld sich eine Drehung bei der Umkehrung<br />
aufhebt.<br />
Der Brechungsindex Gl. (40) <strong>und</strong> damit die Drehung sind frequenzabhängig, die magnetische<br />
Drehung ist also mit einer Dispersion verb<strong>und</strong>en.<br />
41 Die Absorption mit dem Dämpfungsterm iγω/m ist vernachlässigt.<br />
66
A <strong>Physik</strong>alische Konstanten Stand 1986<br />
<strong>Physik</strong>alische Grösse Symbol Wert(Fehler) Einheit Fehler<br />
(ppm)<br />
Lichtgeschwindigkeit c 2.99792458 × 10 8 m s −1 exakt<br />
magn. Feldkonst., Induktionskonst. µ 0 4π × 10 −7 V s A −1 m −1 exakt<br />
el. Feldkonst., Influenzkonst.=1/µ 0 c 2 ǫ 0 8.854187817 × 10 −12 A s V −1 m −1 exakt<br />
Gravitationskonstante G 6.67259(85) × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 128<br />
Standardschwerebeschleunigung g n 9.80665 m s −2 exakt<br />
Fallbeschleunigung Zürich (452 m) g Z 9.80652 m s −2<br />
Plancksche Konstante h 6.6260755(40) × 10 −34 J s 0.60<br />
h/2π ¯h 1.05457266(63) × 10 −34 J s 0.60<br />
¯hc 197.327053(59) MeV fm 0.30<br />
Elementarladung e 1.60217733(49) × 10 −19 A s = C 0.30<br />
magnetische Flussquant, h/2e Φ 0 2.06783461(61) × 10 −15 V s = Wb 0.30<br />
quatisierter Hall-Widerst. h/e 2 R H 2.58128056(12) × 10 4 V A −1 = Ω 0.045<br />
Feinstrukturkonstante, µ 0 ce 2 /2h α 7.29735308(33) × 10 −3 0.045<br />
inverse Feistrukturkonstante α −1 137.0359895(61) 0.045<br />
Atomare Masseneinheit m( 12 C) u 1.6605402(10) × 10 −27 kg 0.59<br />
u 931.49432(28) MeV/c 2 0.30<br />
Spezifische Ladung des Elektrons −e/m e −1.75881962(53) × 10 11 C kg −1 0.30<br />
Elektronenmasse m e 9.1093897(54) × 10 −31 kg 0.59<br />
m e 5.48579903(13) × 10 −4 u 0.023<br />
m e 0.51099906(15) MeV/c 2 0.30<br />
Myonenmasse m µ 1.8835327(11) × 10 −28 kg 0.61<br />
m µ 105.658389(34) MeV/c 2 0.32<br />
m µ /m e 206.768262(30) 0.15<br />
Protonenmasse m p 1.6726231(10) × 10 −27 kg 0.59<br />
m p 1.007276470(12) u 0.012<br />
m p 938.27231(28) MeV/c 2 0.30<br />
m p /m e 1836.152701(37) 0.020<br />
Neutronenmasse m n 1.6749286(10) × 10 −27 kg 0.59<br />
m n 1.008664904(14) u 0.014<br />
m n 939.56563(28) MeV/c 2 0.30<br />
m n /m e 1838.683662(40) 0.022<br />
m n /m p 1.001378404(9) 0.009<br />
Rydberg-Energie, chR ∞ E Ry 13.6056981(41) eV 0.30<br />
Bohrscher Radius, α/(4πR ∞ ) a 0 0.529177249(24) × 10 −10 m 0.045<br />
Compton Wellenlänge, h/m e c λ e 2.42631058(22) × 10 −12 m 0.089<br />
klassischer Elektronenradius, α 2 a 0 r e 2.81794092(38) × 10 −15 m 0.13<br />
Thomson Wirkungsquersch., re8π/3 2 σ e 0.66524616(18) × 10 −28 m 2 0.27<br />
Bohrsche Magneton, e¯h/2m e µ B 927.40154(31) × 10 −26 J/T = A m 2 0.34<br />
Myonmagneton, e¯h/2m µ µ M 4.4852219(15) × 10 −26 J/T 0.34<br />
Kernmagneton, e¯h/2m p µ N 0.50507866(17) × 10 −26 J/T 0.34<br />
g-Faktor Elektron, 2µ e /µ B g e 2 × 1.001159652193(10) 10 −5<br />
g-Faktor Myon, 2µ µ /µ M g µ 2 × 1.001165924(9) 0.009<br />
g-Faktor Proton, 2µ p /µ N g p 2 × 2.792847386(63) 0.023<br />
g-Faktor Neutron, 2µ n /µ N g n −2 × 1.91304275(45) 0.024<br />
Gyromag. Verhältnis Proton B/ω γ p 2π × 42.577469(13) 2π MHz T −1 0.30<br />
Gyromag. Verhältnis Myon B/ω γ µ 2π × 135.538,793(40) 2π MHz T −1 0.30<br />
Magn. Moment Verhältnis µ µ /µ p 3.18334547(47) 0.24<br />
Magn. Moment Verhältnis µ n /µ p −0.68497934(16) 0.24<br />
Magn. Moment Verhältnis µ n /µ e −0.00104066882(25) 0.24<br />
Avogadro (Loschmidt) Konstante N ◦ =L 6.0221367(36) × 10 23 mol −1 0.59<br />
Faraday-Konstante, N ◦ e F 96485.309(29) C mol −1 0.30<br />
Molare Gaskonstante R 8.314510(70) J K −1 mol −1 8.4<br />
Boltzmann-Konstante, R/N ◦ k 1.380659(12) × 10 −23 J K −1 8.5<br />
Molvolumen (273.15 K, 101325 Pa) V M 22.41410(19) × 10 −3 m 3 mol −1 8.4<br />
Wiensche Konstante, λ max T b 2.897756(24) × 10 −3 m K 8.4<br />
Stefan-Boltzmann-Konstante σ 5.67051(19) × 10 −8 W m −2 K −4 34<br />
67
B<br />
Grössen <strong>und</strong> Einheiten der <strong>Physik</strong><br />
B.1 Grössenart, Dimension, Einheitensystem<br />
In diesem Kapitel werden die wesentlichen Gr<strong>und</strong>lagen der Einheiten, Zahlenwerte, Dimensionen<br />
<strong>und</strong> Einheitensysteme zusammenfassend dargestellt [vgl. Kamke, Krämer;<br />
<strong>Physik</strong>alische Gr<strong>und</strong>lagen der Masseinheiten, Teubner 1977].<br />
B.1.1<br />
Grösse <strong>und</strong> Zahlenwert<br />
Für eine physikalische Grösse G gibt der Messwert {G} an, wie oft die Einheit [G] in G<br />
enthalten ist:<br />
{G} = G oder G = {G} [G] für Gleichungen.<br />
[G]<br />
Z.B. v = 50 km (ohne [. . . ]), 50 ist hier als Messwert eine reine Zahl. Mit Angabe des<br />
h<br />
Messfehlers schreibt man: v = (50 ± 2) km oder auch v = 50(2) km , wobei der Fehler der<br />
h<br />
h<br />
letzten angegebenen Stellen in Klammern gesetzt wird.<br />
B.1.2<br />
Grössenart <strong>und</strong> Dimension<br />
Längenangaben, wie z.B. Höhe, Umfang, Dicke, haben die gleiche Grössenart Länge, die<br />
Dimension dieser Grösse ist die Länge. Die Einheiten können sein: 1 m, 1 inch, 1 Lichtjahr,<br />
usw.<br />
Summen <strong>und</strong> Differenzen sowie Vergleiche (, ≥, =, ≠) können nur zwischen<br />
Grössen gleicher Grössenart <strong>und</strong> gleicher Dimension gebildet werden.<br />
∆r<br />
Eine Differentiation z.B. v = lim<br />
∆t→0 ∆t = dr [ ] m<br />
dt s<br />
liefert die Dimension der zu differenzierenden Grösse dividiert durch die Dimension des<br />
Differentials <strong>und</strong> bei einer Integration<br />
r =<br />
∫t<br />
t ◦<br />
v(t ′ )dt ′ [m] durch Multiplikation des Differentials.<br />
Es gibt einige Grössenarten, die die gleiche Dimension haben, wie z.B. der Skalar<br />
Energie oder die Arbeit ∫ ⃗ F · d⃗r [Fl] <strong>und</strong> der Pseudovektor (Axialvektor) Drehmoment<br />
⃗r × ⃗ F [lF]. Diese Grössen unterscheiden sich jedoch physikalisch durch ihr Stufe (Skalar<br />
S, Pseudoskalar P, Vektor oder polarer Vektor V , Pseudovektor oder axialer Vektor A,<br />
Tensor T).<br />
In Additionen <strong>und</strong> Subtraktionen dürfen nur Grössen gleicher Stufe verb<strong>und</strong>en werden.<br />
Für das Produkt von Grössen verschiedener Stufen gelten aus Symmetriegründen<br />
Gr<strong>und</strong>regeln, wie V · V = S, V × V = A, V × A = V (vgl. Fussnote S. ??).<br />
Eine Division ist nur mit Skalaren einfach. Tritt formell der Ausdruck ⃗a/ ⃗ b auf, dann<br />
kann mit einer Erweiterung mit ⃗ b gebildet werden<br />
⃗a ⃗a ·⃗b ⃗a ·⃗b<br />
= =<br />
⃗ b ⃗ b ·⃗ b b . 2<br />
Dieser Rechentrick kann auch für komplexe Zahlen (als 2-dim. Vektoren) angewendet<br />
werden.<br />
68
B.1.3<br />
Grössengleichungen<br />
In Gleichungen, wie F = Γ m 1m 2<br />
muss die Dimension rechts <strong>und</strong> links identisch sein<br />
r 2<br />
(Dimensionskontrolle). Damit ist die Dimension von Γ [ ]<br />
Nm 2<br />
kg bestimmt.<br />
2<br />
Mathematische Funktionen in Grössengleichungen, wie sin, cos, log, ln, sinh,<br />
exp, müssen als Argument unbenannte (dimensionslose oder Eins-Elemente)<br />
Zahlen (auch komplexe) enthalten, z.B. sin(ωt) = sin(2πνt), sin(2πx/λ),<br />
exp(−t/τ). ..<br />
Diese Regel wird in der Technik <strong>und</strong> Medizin oft missachtet [z.B. Grössenklasse eines<br />
Sternes m v = −2.5 · log 10 (Luminosität [W/m 2 ]/2.52 · 10 −8 )]. Einheiten <strong>und</strong> Dimensionen<br />
gehen verloren, es besteht die Gefahr von Rechenfehlern <strong>und</strong> Dimensionskontrollen können<br />
nicht mehr durchgeführt werden. Die Formel ist keine Grössengleichung.<br />
B.1.4<br />
Winkel <strong>und</strong> Raumwinkel<br />
ϕ 2<br />
ϕ<br />
s<br />
R=1<br />
ϕ 1<br />
ϕ=0<br />
Ein Winkel wird definiert als das Bogenmass d.h. die Bogenlänge<br />
im Einheitskreis:<br />
ϕ = s R = s<br />
1m<br />
[rad] mit R = 1.<br />
ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = s 2<br />
1 m − s 1<br />
1 m = s 2<br />
R − s 1<br />
R .<br />
Das Bogenmass ist eine dimensionslose Grösse (Verhältnisgrösse) mit der Bezeichnung<br />
rad (Radiant), ein voller Winkel ist ϕ = 2π. Die auch übliche Angabe in Grad ist<br />
Grad= rad · 180 ◦ /π mit 360 ◦ für den vollen Winkel.<br />
Der Raumwinkel ist die auf einer Einheitskugel aufgespannte Kugeloberfläche<br />
A<br />
Ω<br />
R=1<br />
Ω = A<br />
1 m 2 = A R 2 [sr]<br />
mit der Einheit [sr] (Steradiant). Eine Vollkugel hat Ω = 4π sr.<br />
Manchmal wird der Raumwinkel (z.B. eines Detektors) auch in<br />
Einheiten von 4π angegeben.<br />
B.1.5<br />
Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen<br />
Als Bedingungen für ein Einheitensystem können die folgenden aufgestellt werden 42 :<br />
(i) Beschränkung auf ein Minimum an Einheiten<br />
(ii) Die Bildung neuer Grössen (nicht Dimensionen) soll nur durch Multiplikation<br />
<strong>und</strong> Division bestehender Grössen bestimmt werden. Z.B. Fläche=(Länge) 2 , nicht aber<br />
Länge= √ Fläche mit der Fläche als Basis.<br />
(iii) Die Struktur des physikalischen Begriffsystems ist durch folgende Axiome gegeben:<br />
1. C = A · B Multiplikative Bildung von Grössenarten. Hierbei ist keine der Grössen<br />
A,B,C voreinander ausgezeichnet.<br />
2. Unbenannte Zahlen (1) = A ◦ (Eins-Elemente) ändern die Dimension einer Grösse<br />
nicht, A·(1) = A, z.B. [Länge]·5=[Länge], [Bogenlänge/Radius]=(1) [rad], [Wirkungsgrad<br />
42 Fleischmann, Zeitschrift für <strong>Physik</strong> 129(1951)377. Hier beziehen sich Produkt, Quotient, Multiplikation,<br />
Division nicht nur auf reine unbenannte Zahlen (dimensionslose Grössen) oder Skalare sondern auf<br />
allgemein benannte Grössen.<br />
69
η= Arbeit/Wärme].<br />
3. Reziproke Grössen A −1 multipliziert mit der Grösse A ·A −1 = (1) ergibt unbenannte<br />
Zahlen, z.B. [Frequenz·Zeit]=(1).<br />
4. Es gilt das assoziative Gesetz A · (B · C) = (A · B) · C <strong>und</strong> das kommutative Gesetz<br />
A · B = B · A. Die Bedingungen 1.-4. bilden eine kommutative Abelsche Gruppe.<br />
5. Für alle A ≠ (1) <strong>und</strong> m ∈ IN \ 0 gilt A m ≠ (1), d.h. die Gruppe ist keine Drehgruppe,<br />
sie ist torsionsfrei 43 .<br />
6. Die aus unendlich vielen Grössenarten bestehende Gesamtheit besitzt ein endliches<br />
Erzeugendensystem, d.h. es gibt endlich viele (N)-Elemente C p , C q , ...C r , so dass jedes<br />
Element X sich bildet mit X = Cp<br />
αp · Cq<br />
αq · Cr αr , α i ganzzahlig. Eindeutigkeit besteht,<br />
wenn kein C i durch die anderen ausgedrückt werden kann (unabhängige Erzeugende bzw.<br />
Basis). Eindeutigkeit der Darstellung wird nicht vorausgesetzt, z.B. ist ⃗r × F ⃗ = −F ⃗ × ⃗r.<br />
1.-6. sind das vollständige Axiomensystem der Gruppe, für die gilt:<br />
Satz: Es gibt mindestens eine Basis B 1 ...B n mit n ≤ N.<br />
Für n = 1 gibt es genau zwei Basen B 1 <strong>und</strong> B1 −1 .<br />
Für n > 1 gibt es unendlich viele, gleichwertige Basissysteme. Ein Basissystem entspricht<br />
den n linear unabhängigen Gr<strong>und</strong>vektoren eines n-dimensionalen Punktgitters.<br />
Die Anzahl der Elemente einer Basis werden durch folgende Bedingungen bestimmt:<br />
Es gebe in einem Gebiet k voneinander unabhängige Gleichungen zwischen l Grössenarten<br />
mit l > k, dann sind n = l − k unbestimmt <strong>und</strong> damit Gr<strong>und</strong>grössen (Basis).<br />
Z.B. in der Geometrie ist l eine Gr<strong>und</strong>grösse mit den Gleichungen A = l 2 , V = l 3 ;<br />
in der Kinematik die zwei Gr<strong>und</strong>grössen Länge, Zeit mit den Gleichungen v = l/t, a = l/t 2 ;<br />
in der Dynamik mit drei Gr<strong>und</strong>grössen:<br />
a) Système International d’Unites (SI) {l,Masse,t} mit [m, kg, s]<br />
b) technisches System {l,F,t} mit [m, kp, s]<br />
c) natürliche Einheiten {v, Energie E, Wirkung S} mit c = m e c 2 = ¯h = 1<br />
d) sowie viele andere mögliche Systeme.<br />
<strong>Physik</strong>alisch sind alle Basen gleichbedeutend, die Einheiten (Masszahlen wie cm, m,<br />
s, Std, Lichtjahre . . . ) sind belanglos, wesentlich ist die Verknüpfung <strong>und</strong> deren Eindeutigkeit.<br />
Es darf keine zweite, verschiedene, gleichzeitig geforderte Definition geben. Die<br />
Begriffsverknüpfungen (Definfitionen von Grössenarten der Form A · B = C) sind keine<br />
Naturgesetze, sie passen sich jedoch der Naturerfahrung an (wie v = l/t, F = m · b)<br />
ud stehen mit der <strong>Physik</strong> nicht im Widerspruch. Die Ganzzahligkeit des Exponenten ist<br />
eine reine Zweckmässigkeit, gebrochene Exponenten ( √ E) sind mathematisch einfach ,<br />
physikalisch jedoch problematischer einzuführen.<br />
Vorsicht: Zusatzvereinbarungen, die das n te Basiselement aus den (n − 1) restlichen<br />
definieren, verletzen die Eindeutigkeit.<br />
Z.B. müsste im elektrostatischen cgs-System Q(el. Ladung) ein unabhängiges Basiselement<br />
sein, jedoch ist E · l = Q · Q, Q = √ E · l = l · √Kraft<br />
<strong>und</strong> im magnetischen<br />
cgs-System ist der Induktionsfluss(Polstärke)= √ E · l = l · √Kraft.<br />
Diese Zusatzforderung<br />
besagt, der Quotient beider Seiten ist dimensionslos, d.h. man kann nur in diesem<br />
Dimensionssystem jede Grösse mit diesem Quotienten multiplizieren ohne die Grössen zu<br />
verändern, jedoch nicht in einem anderen Dimensionssystem. Die Dimensionssysteme sind<br />
damit nicht eindeutig aufeinander abbildbar.<br />
43 Für eine Drehgruppe gilt A m+n = A n mit beliebigen ganzen Zahlen n; eine m-fache Drehung um den<br />
Winkel 2π/m führt zur Identität.<br />
70
B.2 SI-Einheiten<br />
Für Gr<strong>und</strong>grössen <strong>und</strong> abgeleitete Grössen wurde an der 11. Generalkonferenz für Mass<br />
<strong>und</strong> Gewicht 1960 ein kohärentes Einheitssystem, das Systeme International d’Unités (SI),<br />
für den allgemeinen Gebrauch empfohlen. Die der Meterkonvention angehörenden Staaten<br />
sind gehalten, das SI durch Gesetz einzuführen. Das SI ersetzt alle früheren Masssysteme,<br />
wie das cgs- (cm g s), das mks- (m kg s), das technische Masssystem etc.<br />
In Klammern: die in diesem Skript i.a. benutzten Bezeichnungen der Grössen.<br />
Masse (m,M)<br />
1 Kilogramm (kg) ist die Masse des aus Pt-Ir bestehenden Urkilogramms , das im Bureau<br />
International des Poids et Mesures in Sevres aufbewahrt wird. Es entspricht ungefähr<br />
der Masse von 1 l Wasser bei 4 ◦ C.<br />
Zeit (t,T)<br />
1 Sek<strong>und</strong>e (s) ist die Zeitdauer von 9 192 631 770 Schwingungen des Uebergangs zwischen<br />
den beiden Hyperfeinstrukturniveaus im Gr<strong>und</strong>zustand des 133 Cs Atoms.<br />
Länge (l,l)<br />
1 Meter (m) ist die Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer<br />
von 1/299 792 458 s zurücklegt. Veraltet: Urmeter (sollte 1/40 000 000 des Meridians durch<br />
Paris sein), 1 m = 1 650 763.73 Wellenlängen des roten Lichtes, das von 86 Kr bei einem<br />
bestimmten Uebergang emittiert wird. Der Meterstandard zeigt, dass die Einteilung in<br />
Gr<strong>und</strong>- <strong>und</strong> abgeleitete Einheiten willkürlich ist. Definiert ist heute die Lichtgeschwindigkeit<br />
c = 2.99792458 ×10 8 m/s.<br />
Elektrische Stromstärke (I)<br />
1 Ampére (A) ist die Stärke eines Stromes, der durch zwei im Vakuum im Abstand<br />
von 1 m parallel verlaufende, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbarem<br />
Durchmesser, fliessend, eine gegenseitige Kraft von 2 × 10 −7 Newton pro Meter Länge<br />
hervorruft.<br />
Temperatur (T)<br />
1 Kelvin (K) ist der Bruchteil 1/273.16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes<br />
von Wasser. Die Celsiusskala ist definiert durch: t( ◦ C) = t(K) - 273.15 K.<br />
Schmelzpunkt <strong>und</strong> Siedepunkt des Wassers unter Normalbedingungen liegen nur ungefähr<br />
bei 0 ◦ respektive 100 ◦ C. Der absolute Nullpunkt ist per Definition 0 K.<br />
Quantität der Materie (n,ν)<br />
1 Mol (mol) ist die Menge eines Stoffes, die gleichviele Teilchen N ◦ (Atome, Moleküle,<br />
Ionen, Elektronen, ...) besitzt, wie Atome in 12 g des Kohlenstoffisotops 12 C enthalten<br />
sind.<br />
N ◦ =<br />
12.000 g/mol<br />
Masse eines Atoms 12 C<br />
Avogadrosche oder Loschmidtsche Zahl,<br />
diese Zahl ändert sich, wenn die 12 C-Atommasse genauer bestimmt wird.<br />
Lichtstärke<br />
1 Candela (cd) ist die Lichtstärke (Intensität I = dΦ/dΩ), mit der 1/60 cm 2 Oberfläche<br />
71
eines schwarzen Strahlers bei der Temperatur des beim Druck von 1 atm erstarrenden Pt<br />
(2024.5 K) senkrecht zur Oberfäche strahlt.<br />
Sämtliche Dimensionen physikalischer Grössen lassen sich auf diese 7 Gr<strong>und</strong>grössen<br />
zurückführen. Z.B. Beschleunigung m/s 2 , Kraft N = m kg/s 2 . Die 7 Gr<strong>und</strong>grössen sind<br />
nicht alle f<strong>und</strong>amentale Basisgrössen. Z.B. wird die Kelvinskala nur eingeführt, weil der<br />
theoretisch existierende Zusammenhang zwischen Temperatur <strong>und</strong> Energie experimentell<br />
nur schlecht bestimmbar ist. Für die <strong>Physik</strong> genügen die 4 Basisgrössen m, kg, s <strong>und</strong> A.<br />
B.2.1<br />
Von den SI-Einheiten abgeleitete Einheiten z.T. mit speziellen Namen<br />
In Klammern: die in diesem Skript i.a. benutzten Bezeichnungen der Grössen.<br />
ebener Winkel (α,ϕ) Radiant = rad = m m −1<br />
Raumwinkel (Ω) Steradiant = sr = m 2 m −2<br />
Frequenz (ν) Hertz = Hz = s −1<br />
Geschwindigkeit (⃗v)<br />
= m s −1<br />
Impuls (⃗p) = kg m s −1 = Ns<br />
Kraft ( F) ⃗ Newton = N = m kg s −2<br />
Druck (p) Pascal = Pa = m −1 kg s −2 = N/m 2<br />
Energie,Arbeit (E,W) Joule = J = m 2 kg s −2 = Nm<br />
Leistung (P) Watt = W = m 2 kg s −3 = J/s<br />
Drehimpuls ( L ⃗ ◦ )<br />
= kg m 2 s −1<br />
Drehmoment ( M ⃗ ◦ ) = kg m 2 s −2 = Nm<br />
Trägheitmoment (I ◦ ) = kg m 2<br />
Wärmemenge (Q) Joule = J = m 2 kg s −2 = Nm<br />
Entropie (S)<br />
= J/K<br />
el. Ladung (q,Q) Coulomb = C = As<br />
elektrische Feldstärke ( E) ⃗ = V/m<br />
dielektrische Verschiebung ( D) ⃗ = Cb/m 2<br />
el. Stromdichte (⃗j) = A/m 2<br />
el. Spannung, Potential (V ) Volt = V = m 2 kg s −3 A −1 = J/C<br />
el. Kapazität (C) Farad = F = m −2 kg −1 s 4 A 2 = C/V<br />
el. Widerstand (R) Ohm = Ω = m 2 kg s −3 A −2 = V/A<br />
el. Leitfähigkeit (σ) Siemens = S = m −2 kg −1 s 3 A 2 = A/V<br />
Induktionsfluss (Φ) Weber = Wb = m 2 kg s −2 A −1 = V s<br />
magn. Induktion ( B) ⃗ Tesla = T = kg s −2 A −1 = Wb/m 2<br />
magnetische Feldstärke ( H) ⃗ = A/m<br />
Induktivität (L) Henry = H = m 2 kg s −2 A −2 = Vs/A<br />
Lichtstrom Lumen = lm = cd sr<br />
Beleuchtungsstärke Lux = lx = lm m −2<br />
Radioaktivität Bequerel = Bq = s −1<br />
absorbierte Strahlungsdosis Gray = Gy = m 2 s −2 = J/kg<br />
72
B.2.2<br />
Verschiedene Einheiten<br />
Grösse (Symbol) SI Einheit<br />
Länge (l) 1 m 1 Parsec = 1 pc = 3.085 72 ×10 16 m<br />
1 Lichtjahr = 1 ly = 9.460 530 ×10 15 m<br />
1 astr. Einheit = 1 AE = 1.496 00 ×10 11 m<br />
1 inch = 1 in. = 2.54 cm (exakt)<br />
1 yard = 1 yd. = 3 feet = 3 ft.= 36 in.<br />
1 Seemeile = 10 Kabel = 1000 Faden = 1852 m<br />
1 mile = 1 mi. = 1760 yd. = 1.609 344 km<br />
1 Ångström = 1 Å = 10 −10 m<br />
1 Fermi = 1 fm = 10 −15 m<br />
Fäche (A) 1 m 2 1 Are = 1 a = 10 2 m 2<br />
1 Barn = 1 b = 10 −28 m 2<br />
Volumen (V) 1 m 3 1 Liter = 1 l = 10 −3 m 3<br />
1 Gallone (US) = 4 Quarts = 8 Pints = 3.785 4 l<br />
1 Gallone (GB) = 4 Quarts = 8 Pints = 4.545 9631 l<br />
Zeit (t) 1 s 1 d = 24 h = 86400 s<br />
1 Jahr = 1 y = 3.155 69 ×10 7 s ≈ π × 10 7 s<br />
Frequenz ν 1 Hz 1 cycle per second = 1 cps = 1 Hz<br />
1 revolution per minute = 1 rpm = 1/60 Hz<br />
Geschwindig. (v) 1 m/s 1 km/h = 1/3.6 m/s<br />
1 Knoten = 1 Seemeile/h<br />
1 mile per hour = 1 mph = 1.609 344 km/h<br />
Masse (m) 1 kg 1 techn. Masseneinh. = 1 TME = 1 kp m −1 s 2 = 9.806 65 kg<br />
1 atomare Masseneinheit = 1 u = 1.660 5655(86) ×10 −27 kg<br />
1 po<strong>und</strong> = 1 lb = 16 ounces = 16 oz. = 0.453 59237 kg<br />
Kraft (F) 1 N 1 dyn = 1 cm g s −2 = 10 −5 N<br />
1 Kilopond = 1 kp = 1 kg ∗ = 9.806 65 N<br />
Druck (p) 1 Pa 1 Bar = 1 b = 10 3 mb = 10 5 Pa<br />
1 Atmosphäre (phys.) = 1 atm = 1.013 25 ×10 5 Pa<br />
1 Atm. (techn.) = 1 at = 1 kp/cm 2 = 0.980 665 ×10 5 Pa<br />
1 Po<strong>und</strong> per sq. in. = 1 PSI = 6.894 76 ×10 3 Pa<br />
1 Torr = 1/760 atm = 133.322 37 Pa = 1 mm Hg (0 ◦ C)<br />
Arbeit (W) 1 J 1 Erg = 1 erg = 10 −7 J<br />
Energie (E)<br />
Wärme(Q)<br />
1 kWh = 3.6 ×10 6 J<br />
1 cal (thermoel.) = 4.184 J<br />
1 cal (mittlere) = 4.186 97 J<br />
1 cal (15 ◦ C) = 4.185 5 J<br />
1 cal (IT) = 4.186 84 J<br />
1 eV = 1.602 1892(46) ×10 −19 J<br />
Leistung (P) 1 W 1 Pferdestärke = 1 PS = 75 m kp/s = 735.498 75 W<br />
1 horse power = 1 hp (mech.) = 550 ft lb/s = 745.692 27 W<br />
1 hp (elektr.) = 746 W<br />
Magn. Indukt. (B) 1 T 1 Gauss = 1 G = 10 −4 T<br />
Magn. Feld (H) 1 A/m 1 Oersted = 10 3 /4π A/m<br />
73
B.2.3<br />
Vorsilben der Dezimalteilung von Einheiten<br />
Vorsilbe Abk. Faktor Vorsilbe Abk. Faktor spezielles<br />
Exa E 10 18 Dezi d 10 −1 nur dl, dm<br />
Peta P 10 15 Zenti c 10 −2 nur cm<br />
Tera T 10 12 Milli m 10 −3<br />
Giga G 10 9 Mikro µ 10 −6<br />
Mega M 10 6 Nano n 10 −9<br />
Kilo k 10 3 Piko p 10 −12<br />
Hekto h 10 2 Femto f 10 −15 1 fm=1 Fermi<br />
Deka d 10 1 Atto a 10 −18<br />
B.3 Astronomische Daten<br />
Erde<br />
1 mittl. Sonnentag 1 d = 86400 s<br />
1 Sterntag 86 164.09 s<br />
1 tropisches Jahr 1 y = 365.242 20 d<br />
1 siderisches Jahr 365.256 36 d<br />
mittl. Radius<br />
6 371.0 km<br />
Masse<br />
5.976 ×10 24 kg<br />
mittl. Dichte 5 517 kg/m 3<br />
mittl. Entfernung von der Sonne 1.496 ×10 11 m = 1 astr. Einheit = 1 AE<br />
Mond<br />
Masse<br />
Radius<br />
Entfernung von der Erde<br />
siderische Umlaufszeit<br />
synodische Umlaufszeit (Neumond)<br />
Sonne<br />
Radius<br />
Masse<br />
Oberflächentemperatur<br />
Milchstrasse<br />
Durchmesser<br />
Dicke<br />
Sonne-Zentrum<br />
Masse<br />
7.35 ×10 22 kg = 1/81.3 m E<br />
1 738.2 km<br />
384 400 km (356 400 . . . 406 700 km)<br />
27.321 661 d<br />
29.530 558 d<br />
695 990 km = 109.24 R E<br />
1.989 ×10 30 kg = 3.328 3 ×10 5 m E<br />
5770 K<br />
80 000 Ly<br />
6 000 Ly<br />
32 000 Ly<br />
1.4 ×10 11 m S<br />
74
C Mathematische Hilfsmittel<br />
C.1 Mathematische Formelsammlung<br />
C.1.1<br />
r<br />
✚α<br />
✚✚✚✚✚<br />
x<br />
Trigonometrie<br />
y<br />
sin(α ± β) = sinα cos β ± cos α sin β,<br />
sin α = y/r csc = r/y<br />
cos α = x/r sec = r/x<br />
tan α = y/x cot = x/y<br />
sin 2 α + cos 2 α = 1<br />
cos(α ± β) = cosα cos β ∓ sin α sin β<br />
sin α ± sin β=2 sin ( ) ( )<br />
α±β<br />
2 cos α∓β<br />
2<br />
cos α + cos β=2 cos ( ) ( )<br />
α+β<br />
2 cos α−β<br />
2<br />
cosα − cos β=2 sin ( ) ( )<br />
α+β<br />
2 sin α−β<br />
2<br />
a cos α + b sin α=A · sin(α + δ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ = a oder<br />
b<br />
a cos α + b sin α=A · cos(α − δ ′ ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ ′ = b a<br />
C.1.2<br />
Komplexe Zahlen<br />
✻I{z}<br />
z = a + ib = ρ exp(iϕ) = ρ e iϕ = ρ (cos ϕ + i sin ϕ)<br />
ρ = √ a 2 + b 2 = |z|, tanϕ = b/a, z n = ρ n e iϕ/n , √ z = √ ρ e iϕ/2<br />
da | e iϕ | 2 = e iϕ · e −iϕ = e 0 = 1 liegt e iϕ auf dem Einheitskreis.<br />
b<br />
✬✩<br />
i<br />
ρ z Geometrische Deutung: R{z} = ρ cos ϕ, I{z} = ρ sin ϕ<br />
✚ ✚✚✚❃ ϕ ✲ ⇒ exp(iϕ) = cosϕ + i sin ϕ, exp(−iϕ) = cosϕ − i sin ϕ ⇒<br />
−1 1 a<br />
✫✪R{z}<br />
exp(iϕ) + exp(−iϕ)<br />
−i cos ϕ = = a exp(iϕ) − exp(−iϕ)<br />
, sin ϕ = = b 2 ρ 2i ρ<br />
exp(iπ/2) = e iπ/2 = i, exp(iπ) = e iπ √<br />
= −1,<br />
z n = ρ n e inϕ = ρ n √<br />
(cosnϕ + i sin nϕ), z = ρ e iϕ/2 ,<br />
¯z = a − ib ist das konjugiert komplexe (auch z ∗ ) zu z = a + ib,<br />
Betrag |z| = √ z¯z = √ a 2 + b 2<br />
C.1.3<br />
Hyperbolische Funktionen<br />
sinh x = exp(x)−exp(−x) , cosh x = exp(x)+exp(−x)<br />
2 2<br />
sinh 2 x − cosh 2 x = −1, tanhx = sinh x<br />
cosh x<br />
C.1.4<br />
Inverse Funktionen<br />
sin[arcsin(x)] = x, cos[arccos(x)] = x, sinh[arcsinh(x)] = x, cosh[arccos(x)] = x<br />
ln[exp(x)] = x etc.<br />
75
C.1.5<br />
Ableitungen <strong>und</strong> unbestimmte elementare Integrale<br />
Für unbestimmte Integrale muss eine Konstante c berücksichtigt werden.<br />
Partielle Integration: ∫ udv = uv − ∫ v du<br />
d<br />
f(x)<br />
dx f(x)<br />
∫ f(x)dx<br />
x n<br />
d<br />
dx xn = nx n−1<br />
∫<br />
x n dx = xn+1<br />
n + 1 , n ≠ −1<br />
x −1<br />
d<br />
dx x−1 = −x −2<br />
∫<br />
x −1 dx = lnx<br />
ln x<br />
∫<br />
d<br />
ln x = x−1<br />
dx<br />
ln xdx = x ln x − x<br />
e x<br />
d<br />
dx ex = e x<br />
∫<br />
e x dx = e x<br />
sin x<br />
∫<br />
d<br />
sin x = cos x<br />
dx<br />
sin xdx = − cos x<br />
cos x<br />
∫<br />
d<br />
cosx = − sin x<br />
dx<br />
cos xdx = sin x<br />
tanx<br />
d<br />
dx tanx =<br />
x<br />
cos 2 x<br />
∫<br />
tanxdx = − ln cosx<br />
cot x<br />
d<br />
dx cotx = − x<br />
sin 2 x<br />
∫<br />
cotxdx = ln sin x<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
dx<br />
a 2 + x 2<br />
= 1 a arctan(x/a)<br />
dx<br />
= 1 1<br />
arctanh(x/a) oder =<br />
a 2 − x 2 a 2a ln a + x<br />
a − x , (a2 > x 2 )<br />
dx<br />
√<br />
a2 − x 2<br />
= arcsin x<br />
|a|<br />
dx<br />
x √ = − 1 ( √ ) a +<br />
a 2 ± x 2 |a| ln a2 ± x 2<br />
x<br />
∫ √<br />
x2 ± a 2 = 1 2<br />
oder = − arccos x<br />
|a| , (a2 > x 2 )<br />
[<br />
x<br />
√<br />
x2 ± a 2 ± ln(x + √ x 2 ± a 2 ) ]<br />
∫<br />
dx<br />
√<br />
x2 ± a 2 = ln(x + √ x 2 ± a 2 )<br />
76
C.1.6<br />
Einige bestimmte Integrale,<br />
die nicht als unbestimmte Integrale angegeben werden können.<br />
∫∞<br />
0<br />
∫∞<br />
0<br />
∫∞<br />
0<br />
∫π<br />
0<br />
∫∞<br />
0<br />
∫∞<br />
0<br />
∫1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫∞<br />
t n p −t n!<br />
dt =<br />
(lnp) , n = 0, 1, 2...,p > 0 dx<br />
n+1 (1 + x) √ x<br />
⎧<br />
0<br />
π<br />
a > 0<br />
a dx<br />
⎪⎨ 2<br />
∫∞<br />
sin mxdx<br />
= 0 a = 0<br />
a 2 + x 2 ⎪⎩ − π x<br />
a < 0<br />
0<br />
2<br />
sin 2 (px)dx<br />
x 2<br />
= πp<br />
2<br />
∫∞<br />
0<br />
∫<br />
= π<br />
sin 2 (mx)dx = π 2<br />
π/2<br />
dx π<br />
= √<br />
a + b cos x a2 − b , a > b ≥ 0 dx<br />
2 a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x = π<br />
2ab<br />
0<br />
e −ax dx = 1 ∫∞<br />
a , a > 0 e −a2 x 2 dx = 1 √ π<br />
2a<br />
0<br />
x e −x2 dx = 1 ∫∞<br />
√ π<br />
x 2 e −x2 dx =<br />
2<br />
4<br />
0<br />
∫1 √<br />
√ π<br />
(lnx) n dx = (−1) n · n!<br />
ln 1/x dx =<br />
2<br />
C.1.7<br />
ln x<br />
dx = −π2<br />
1 + x 12<br />
Reihenentwicklungen<br />
Taylor-Reihe: f(x) = f(x ◦ )+f ′ (x ◦ ) (x − x ◦) 1<br />
1!<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
ln x<br />
dx = −π2<br />
1 − x2 8<br />
⎧ π<br />
m > 0<br />
⎪⎨ 2<br />
= 0 m = 0<br />
⎪⎩ − π m < 0<br />
2<br />
+f ′′ (x ◦ ) (x − x ◦) 2<br />
+· · · mit 0 ≤ (x−x ◦ ) < 1<br />
2!<br />
exp(x) = e x = 1 + x + x2 + x3 + · · · ln(1 − x) = x − x2 + x3<br />
2! 3! 2!<br />
sin(x) = x − x3 + x5 − + · · · cos(x) = 1 − x2 + x4<br />
3! 5! 2!<br />
tan(x) = x + x3<br />
3 + 2x5 15<br />
+ · · · cot(x) = 1 −<br />
x2<br />
2 + x4<br />
sinh(x) = x + x3<br />
3!<br />
+ x5<br />
5!<br />
+ · · · cosh(x) = 1 + x2<br />
2!<br />
+ x4<br />
(1 + x) n = 1 + nx + n(n+1) x 2 + n(n−1)(n−2) x 3 + · · ·<br />
2! 3!<br />
1<br />
= 1 − x + 1+x x2 − x 3 + · · ·, (−1 < x < 1)<br />
√ 1 + x = 1 +<br />
x<br />
+ x2 + x3 + · · · , (−1 < x < 1)<br />
2 8 16<br />
√ 1<br />
1+x<br />
= 1 − x + 3x2 + · · · , (−1 < x < 1)<br />
2<br />
− 5x3<br />
8 16<br />
− + · · ·<br />
3!<br />
− + · · ·<br />
4! − + · · · 4<br />
+ · · ·<br />
4!<br />
77
C.2 Zusammenstellung von Differentialgleichungen in <strong>Physik</strong> A<br />
Differentialgleichung<br />
Lösung<br />
1. y ′′ = a y = 1 2 ax2 + C 1 x + C 2<br />
2. y ′′ + ωy ′ = 0 y = C 1 e −ωt + C 2<br />
3. y ′′ + ωy ′ = g y = C 1 e −ωt + C 2 + g ω · t<br />
4. y ′ + ωy = g y = C 1 e −ωt + g ω<br />
5. y ′′ + ω 2 y = g y = y 0 cos(ωt − δ) + g<br />
ω 2<br />
6. y ′′ − y = cos x y = C 1 e x + C 2 e −x − 1 2 cos x<br />
7. y ′′ + 2λy ′ + α 2 y = 0<br />
√<br />
λ > α y = e −λt (C 1 e ωt + C 2 e −ωt )<br />
ω = + |λ 2 − α 2 | λ < α y = e −λt (C 1 e iωt + C 2 e −iωt )<br />
λ = α y = e −λt (A + Bt)<br />
8. y ′′ + 2λy ′ + α 2 y = f(t)<br />
benutze :<br />
F(x) = ∫ x<br />
dF<br />
0 f(x,y)dy ⇒ x ∂f<br />
dx 0 ∂x<br />
Ansatz :<br />
y = ∫ t<br />
0 g(t − τ)f(τ)dτ<br />
damit :<br />
y ′ = g(0)f(t) + ∫ t<br />
0 g′ (t − τ)f(τ)dτ<br />
y ′′ = g(0)f ′ (t) + g ′ (0)f(t) + ∫ t<br />
0 g′′ (t − τ)f(τ)dτ<br />
Einsetzen in Dgl. : g(0)f ′ (t) + g ′ (0)f(t) + ∫ t<br />
0 g′′ (t − τ)f(τ)dτ + 2λg(0)f(t)<br />
+2λ ∫ t<br />
0 g′ (t − τ)f(τ)dτ + α 2 ∫ t<br />
0 g(t − τ)f(τ)dτ = f(t)<br />
zusammenfassen : g(0)f ′ (t) + [g ′ (0) + 2λg(0) − 1]f(t)<br />
+ ∫ t<br />
0 [g′′ (t − τ) + 2λg ′ (t − τ) + α 2 g(t − τ)] f(τ)dτ = 0<br />
Diese Gleichung wird erfüllt, wenn g(t − τ)<br />
die Dgl. 8. erfüllt mit den Anfangsbedingungen<br />
g(0) = 0 <strong>und</strong> g ′ (0) = 1<br />
also : λ > α y = 1 ∫ ( t<br />
2ω 0 e−λ(t−τ) e ω(t−τ) − e −ω(t−τ)) f(τ)dτ<br />
λ < α y = − i ∫ ( t<br />
2ω 0 e−λ(t−τ) e iω(t−τ) − e −iω(t−τ)) f(τ)dτ<br />
y = 1 ∫ t<br />
ω 0 e−λ(t−τ) sin ω(t − τ)f(τ)dτ<br />
λ = α y = ∫ t<br />
0 e−λ(t−τ) (t − τ)f(τ)dτ<br />
9. x 2 y ′′ + xy ′ − k 2 y = 0 y = C 1 x k + C 2 x −k<br />
78
C.3 Vektorgleichungen<br />
Skalarprodukt Vektorprodukt Tensorprodukt<br />
⃗a ·⃗b = a x b x + a y b y + a z b z ⃗a × ⃗ b = ⃗e x(a y b z − a z b y ) ⃗a ⊗ ⃗ ⎛<br />
⎞<br />
b = a x b x a x b y a x b z<br />
⎜<br />
⎟<br />
⃗e y (a z b x − a x b z ) ⎝ a y b x a y b y a y b z ⎠<br />
⃗e z (a x b y − a y b x ) a z b x a z b y a z b z<br />
⃗a( ⃗ b ·⃗c) = (⃗a ⊗ ⃗ b)⃗c<br />
⃗a · ( ⃗ b ×⃗c) = ⃗ b · (⃗c ×⃗a) = ⃗c · (⃗a × ⃗ b)<br />
⃗a × ( ⃗ b ×⃗c) = (⃗a ·⃗c) ⃗ b − (⃗a ·⃗b)⃗c<br />
(⃗a × ⃗ b) · (⃗c × ⃗ d) = (⃗a ·⃗c)( ⃗ b · ⃗d) − (⃗a · ⃗d)( ⃗ b ·⃗c)<br />
∇ × ∇ψ = 0<br />
∇ · (∇ ×⃗a) = 0<br />
(∇ · ∇)ψ = ∇ · (∇ψ) = ∆ψ<br />
∆⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∇ × (∇ ×⃗a)<br />
∇ × (∇ ×⃗a) = ∇ · (∇⃗a) − ∇ 2 ⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∆⃗a<br />
∇ · (ψ⃗a) = ⃗a · ∇ψ + ψ∇ ·⃗a<br />
∇ × (ψ⃗a) = ∇ψ ×⃗a + ψ∇ ×⃗a<br />
∇(⃗a ·⃗b) = (⃗a · ∇) ⃗ b + ( ⃗ b · ∇)⃗a +⃗a × (∇ × ⃗ b) + ⃗ b × (∇ ×⃗a)<br />
∇ · (⃗a × ⃗ b) = ⃗ b · (∇ ×⃗a) −⃗a · (∇ × ⃗ b)<br />
∇ × (⃗a × ⃗ b) = ⃗a(∇ ·⃗b) − ⃗ b(∇ ·⃗a) + ( ⃗ b · ∇)⃗a − (⃗a · ∇) ⃗ b<br />
Ist ⃗x die Koordinate eines Punktes in Bezug auf einen Ursprung mit dem Betrag r = |⃗x|<br />
<strong>und</strong> ⃗n = ⃗x/r der Einheitsradiusvektor, dann gilt<br />
∇ · ⃗x = 3 ∇ × ⃗x = 0<br />
∇ · ⃗n = 2 r ∇ × ⃗n = 0<br />
(⃗a · ∇)⃗n = 1 r [⃗a − ⃗n(⃗a · ⃗n)] ≡ ⃗a ⊥<br />
r<br />
C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung<br />
Im folgenden sind Φ, Ψ, <strong>und</strong> ⃗ A skalare oder Vektor-Funktionen, V ist ein dreidimensionales<br />
Volumen mit dem Volumenelement d 3 x. S ist eine zweidimensionale, geschlossene<br />
Oberfläche des Volumens V mit dem Flächenelement da <strong>und</strong> der nach aussen zeigenden<br />
Normalen ⃗n auf da.<br />
∫<br />
∇ · ⃗Ad 3 x = ∫ ⃗A · ⃗nda<br />
Divergenz Theorem<br />
V ∫<br />
S<br />
∇Ψd 3 x = ∫ ψ⃗nda<br />
V S<br />
∫<br />
∇ × Ad ⃗ 3 x = ∫ ⃗n × Ada ⃗<br />
∫<br />
V S<br />
(Φ∇ 2 Ψ + ∇Φ · ∇Ψ)d 3 x = ∫ Φ⃗n · ∇Ψda Green’s 1. Identität<br />
V ∫<br />
S<br />
(Φ∇ 2 Ψ − Ψ∇ 2 Φ)d 3 x = ∫ − Ψ∇Φ) · ⃗nda Green’s Theorem<br />
V<br />
S(Φ∇Ψ<br />
79
Im folgenden ist S eine offene Fläche <strong>und</strong> C eine sie einschliessende Kontur mit dem<br />
Linienelement d ⃗ l. Die Normale ⃗n zu S ist durch die rechte Hand-Regel in bezug auf das<br />
Linienintegral um die Kontur C definiert.<br />
∫<br />
× A)<br />
S(∇ ⃗ · ⃗nda = ∮ ⃗A · d ⃗ l Stoke’s Theorem<br />
C<br />
∫<br />
⃗n × ∇Ψda = ∮ Ψd ⃗ l<br />
C<br />
S<br />
C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen<br />
Mit den orthogonalen Einheitsvektoren ⃗e 1 ,⃗e 2 ,⃗e 3 , die den gewählten Koordinaten entsprechen<br />
<strong>und</strong> den Komponenten A 1 ,A 2 ,A 3 von ⃗ A gilt für den Nabla-Operator ∇<br />
Kartesische Koordinaten x 1 ,x 2 ,x 3 = ⃗x = x,y,z<br />
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ<br />
1∂x1 + ⃗e ∂Ψ<br />
2∂x2 + ⃗e ∂Ψ<br />
3∂x3<br />
∇ · ⃗A = ∂A 1<br />
∂x<br />
+ ∂A 2<br />
1 ∂x<br />
+ ∂A 3<br />
2 ∂x 3<br />
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ∂A 3<br />
∂x<br />
− ∂A 2<br />
2 ∂x<br />
) + ⃗e 2 ( ∂A 1<br />
3 ∂x<br />
− ∂A 3<br />
3 ∂x<br />
) + ⃗e 3 ( ∂A 2<br />
1 ∂x<br />
− ∂A 1<br />
1 ∂x<br />
)<br />
2<br />
∇ 2 Ψ = ∂2 Ψ<br />
∂x 2 + ∂2 Ψ<br />
1 ∂x 2 + ∂2 Ψ<br />
2 ∂x 2 3<br />
Zylinder Koordinaten ρ,ϕ,z<br />
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ<br />
1<br />
∂ρ<br />
+ ⃗e 1 ∂Ψ<br />
2ρ ∂ϕ<br />
+ ⃗e ∂Ψ<br />
3<br />
∂z<br />
∇ · ⃗A = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρA 1) + ρ 1 ∂A 2<br />
∂ϕ + ∂A 3<br />
∂z<br />
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ρ 1 ∂A 3<br />
∂ϕ − ∂A 2<br />
∂z ) + ⃗e 2( ∂A 1<br />
∂z − ∂A 3<br />
∂ρ ) + ⃗e 1 3ρ (∂(ρA 2)<br />
∂ρ<br />
− ∂A 1<br />
∂ϕ )<br />
∇ 2 Ψ = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρ∂Ψ ∂ρ ) + 1 ρ 2 ∂2 Ψ<br />
∂ϕ 2 + ∂2 Ψ<br />
∂z 2<br />
Kugel Koordinaten r,ϑ,ϕ<br />
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ<br />
1<br />
∂r<br />
+ ⃗e 1 ∂Ψ<br />
2r ∂ϑ<br />
+ ⃗e 1<br />
3<br />
rsinϑ ∂Ψ<br />
∂ϕ<br />
∇ · ⃗A = 1 ∂ r 2 ∂r (r2 A 1 ) +<br />
r sinϑ 1<br />
∂ϑ ∂ (sinϑA 2) +<br />
r sinϑ 1 ∂A 3<br />
∂ϕ<br />
∇ × A ⃗ [<br />
= ⃗e 1 ∂<br />
1<br />
r sinϑ ∂ϑ<br />
(sinϑA 3 ) − ∂A ]<br />
2<br />
∂ϕ<br />
+<br />
[<br />
+⃗e 1<br />
2<br />
r sinϑ ∂A 1<br />
∂ϕ − 1 r ∂r ∂ ] [ (rA 3) + ⃗e 1 ∂∂r<br />
3r (rA 2 ) − ∂A ]<br />
1<br />
∂ϑ<br />
∇ 2 Ψ = 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) + 1 ∂<br />
r 2 sinϑ ∂ϑ (sinϑ∂Ψ ∂ϑ ) + 1 ∂ 2 Ψ<br />
r 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2<br />
mit 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) ≡ 1 r ∂2<br />
∂r 2 (rΨ) = ∂2<br />
∂r 2 (Ψ) + 2 ∂<br />
r ∂r (Ψ)<br />
Es werden auch folgende Schreibweisen benutzt:<br />
gradΨ = ∇Ψ div ⃗ A = ∇ · ⃗A rot ⃗ A = ∇ × ⃗ A ∇ 2 = ∆<br />
80
Index<br />
Abbildungsfehler, 34<br />
Abbildungsgleichung, 31<br />
für Linsen, 32<br />
Aberration<br />
Chromatische, 35<br />
eines Sternes, 24<br />
Sphärische, 34<br />
Ammoniak-Maser, 5<br />
Apertur, numerische, 57<br />
Astigmatismus, 34<br />
Astronomische Daten, 74<br />
Äther, 24, 41, 43<br />
Auflösungsvermögen<br />
Auge, 54<br />
Fernrohr, 55<br />
Gitterspektrograph, 60<br />
Mikroskop, 56<br />
Auge, 53<br />
Babinet, Theorem von, 48<br />
Beugung, 45<br />
am Hindernis, 37<br />
am Loch, 37<br />
am Strichgitter, 49<br />
an kreisförmiger Öffnung, 48<br />
Fraunhofer’sche, 45, 46<br />
Fresnel’sche, 46, 52<br />
Bildflächenwölbung, 34<br />
Bildweite, 31<br />
Blauer Himmel, 62<br />
Brechkraft einer Linse, 33<br />
Brechungsgesetz, 30, 37<br />
Brechungsindex, 27, 29<br />
Komplexer, 27<br />
Brennpunkt, 32<br />
Brennweite, 32<br />
Brewster-Winkel, 61<br />
Chromatische Aberration, 35<br />
Dezibelskala, 16<br />
Dichroitische Doppelbrechung, 63<br />
Dioptrie, 33<br />
Dipolantenne, 25<br />
Dispersion, 20, 28<br />
Doppelbrechung, 62<br />
Dopplereffekt, 17<br />
Ebene Wellen, 21<br />
Effekt<br />
Doppler, 17<br />
Faraday, 65<br />
Kerr, 65<br />
Einheit, 68<br />
Elektromagnetische Wellen, 22<br />
Spektrum, 25<br />
Wellengleichung, 22<br />
Elektronenmikroskop, 58<br />
Entartung, 2<br />
Entspiegelung von Linsen, 44<br />
Erde<br />
Geschwindigkeit, 42<br />
Erregung, 6<br />
Experiment<br />
Haidinger, 44<br />
Jamin (Interferenz), 40<br />
Lichtgeschwindigkeit, 23, 41<br />
Michelson Morley, 24, 41<br />
Quincke, 39<br />
Young (Interferenz), 40<br />
Faradayeffekt, 65<br />
Fata Morgana, 30<br />
Fermat’sches Prinzip, 29<br />
Fernrohr, 55<br />
Flöten, Pfeifen, 15<br />
Fourier, Theorem von, 4<br />
Fourier-Analyse, 4<br />
Fraunhoferbeugung, 45, 46<br />
Fresnel-Gleichungen, 61<br />
Fresnelbeugung, 46, 52<br />
Galilei-Transformation, 42<br />
Gauss’sche Abbildungsformel, 34<br />
Gegenstandsweite, 31<br />
Gesetz von<br />
Babinet, 48<br />
Fermat, 29<br />
Fourier, 4<br />
Gauss (Abbildungsformel), 34<br />
Huygens, 36<br />
Malus, 61<br />
81
Newton (Abbildungsformel), 34<br />
Snellius (Brechung), 30, 37<br />
Gitterspektrograph, 59<br />
Gr<strong>und</strong>schwingung, 3<br />
Gruppengeschwindigkeit, 20<br />
Haidinger Interferenz, 44<br />
Halo der Sonne, 62<br />
Harmonische Schwingung, 1<br />
Hauptebenen einer Linse, 33<br />
Huygens, Prinzip von, 36<br />
Brechungsgesetz, 37<br />
gekrümmter Lichtstrahl, 37<br />
Reflexionsgesetz, 37<br />
Immersionsobjektiv, 58<br />
Impedanz, 10<br />
Intensitat einer Welle, 16<br />
Interferenz, 44<br />
von Wellen, 38<br />
Interferometer von Jamin, 40<br />
Io, 23<br />
Jamin, Interferometer von, 40<br />
Jupiter, 23<br />
Kapillarwelle, 11<br />
Kerreffekt, 65<br />
Koaxialleiter, 9, 15<br />
Kohärenz, 38<br />
Kohärenzlänge, 39<br />
Konstanten, 67<br />
Kugelwellen, 21, 24, 36, 43<br />
Lecherleitung, 9<br />
Lichtgeschwindigkeit, 22, 23, 41<br />
Lichtstrahl, 29<br />
Linsen, Abbildungsgleichung, 32<br />
Linsenfehler, 34<br />
Linsenvergütung, 44<br />
Longitudinale Wellen, 8<br />
Lupe, 55<br />
Malus, Gesetz von, 61<br />
Mathematische Hilfsmittel, 75<br />
Michelson Morley Experiment, 24, 41<br />
Mikroskop, 56<br />
Auflösungsvermögen, 56<br />
Immersionsobjektiv, 58<br />
Phasenkontrastverfahren, 58<br />
Newton’sche Ringe, 45<br />
Newtonsche Abbildungsformel, 34<br />
Nicol’sches Prisma, 63<br />
Normalschwingungen, 2<br />
Oberschwingungen, 3<br />
Optischer Weg, 40<br />
Orgelpfeife, 15<br />
Oszillator, linearer, 1<br />
Periode T, 6<br />
Pfeife (Orgel), 15<br />
Phasenflächen, 21<br />
Phasengeschwindigkeit, 19<br />
Phasenkontrastverfahren, 58<br />
Phasensprung, 14<br />
Phonskala, 16<br />
Polarisation von Licht, 60<br />
elliptisch, 60<br />
linear, 60<br />
zirkular, 60<br />
Poyntingvektor, 23<br />
Prisma, Nicol’sches, 63<br />
Produktansatz, 12<br />
Quincke, Interferenzrohr von, 39<br />
Rechteckkurve, 5<br />
Reflexion von Wellen, 13<br />
Reflexionsgesetz, 29, 37<br />
Sägezahnschwingung, 4<br />
Saite, 7, 12<br />
Schallgeschwindigkeit in einem Gas, 9<br />
Schallstrahlungsdruck, 16<br />
Schmidt-Teleskop, 35<br />
Schwächungskoeffizient, 27<br />
Schwebung, 3<br />
Schwerewelle, 11<br />
Schwingungen, 1<br />
Gekoppelte, 1<br />
SI-Einheiten, 71<br />
Snellius’sches Brechungsgesetz, 30, 37<br />
Solitonen, 11<br />
Sonnenuntergang, 30, 62<br />
Sphärische Aberration, 34<br />
Stehende Welle, 12<br />
Streuung von Licht, 62<br />
Totalreflexion, 30<br />
82
Transformation<br />
Galilei, 42<br />
Transmission von Wellen, 13<br />
Transversalwelle, 7<br />
Vierpoltheorie, 10<br />
Wasserwelle, 11<br />
Wellen, 1, 6, 24, 38, 43<br />
Ebene, 21<br />
Energie, 15<br />
Stehende, 12<br />
Wellengleichung, 7, 21<br />
Wellenlänge λ, 6<br />
Wellenwiderstand, 10<br />
Wellenzahl k, 6<br />
Young’scher Interferenzversuch, 40<br />
83