Was ist die Brownsche Bewegung - Institut für Physik

Brownsche Molekularbewegung -
Was hat Einstein
daraus gemacht?
Wolfgang Paul
Institut für Physik
Johannes Gutenberg-Universität

Was ist die Brownsche Bewegung ?
Robert Brown:
geb. 21.12.1773 in Montrose
gest. 10.06.1858 in London
war ein schottischer Botaniker
Entdecker des Zellkerns
hier: Orchidee
Fettklümpchen in
Milch beobachtet
durch einen Nachbau
des originalen
Mikroskops von
Robert Brown
Bild des Mikroskops und Beobachtungen von Brian J. Ford

Weitere Experimente
Moderne Realisierung: Kolloidphysik
z.B. vernetzte Kunststoffkügelchen
von 1 µm Durchmesser
Streuung an Schwebeteilchen
im Zigarettenrauch
www.deutsches-museum.de
Prof. T. Palberg, Institut für Physik

Wodurch entsteht die Brownsche Bewegung?
Es gab „Beobachtungen der Brownschen Bewegung“ vor Brown. Da diese
meist an Pollen gemacht wurden, war eine verbreitete Schlussfolgerung:
Hier sehen wir eine Manifestation einer Kraft,
die allem Lebendigen innewohnt!
Brown publizierte 1828 sorgfältige und systematische Experimente
● an Pollen
● an alten, gelagerten (toten) Pollen
● an Staub von allen möglichen Felsen
● an Staub von einem Stück Stein der Sphinx...?
● um Effekte von Strömung oder Verdampfung auszuschließen
Schlussfolgerung: Es ist ein allgemeines Phänomen, das bei kleinen in einer
Flüssigkeit gelösten Teilchen auftritt.
moderne Erklärung: Diese Bewegung wird hervorgerufen durch Kollisionen
mit den Molekülen der Flüssigkeit, die auf Grund ihrer thermischen Energie
in dauernder Bewegung sind.

Molekulartheorie der Wärme – Kinetische Gastheorie - Statistische Mechanik
Ludwig Boltzmann
geb. 20.02.1844 in Wien
gest. 5.10.1906 bei Trieste
James Clerk Maxwell
geb. 13.06.1831 in Edinburgh
gest. 5.11.1879 in Cambridge

Molekulartheorie der Wärme
Materie besteht aus Atomen oder Molekülen. Was wir als Temperatur oder
Wärme wahrnehmen, ist die andauernde, ungeordnete Bewegung dieser
Atome oder Moleküle.
Die Moleküle folgen in ihren Bewegungen den Newtonschen Gleichungen
der klassischen Mechanik, aber durch die andauernden Stöße untereinander
wird eine Art molekulares Chaos erzeugt, über das man nur noch
Wahrscheinlichkeitsaussagen machen kann.
p(
v)
1
⎛
exp
⎜ −
⎝
v
=
2 2
2π
v 2v
T
T
2
⎞
⎟
⎠
1
mv
2 T
=
2
1
2
k
B
T

Die Hypothese der Existenz von Atomen
● Elektronentheorie des Ladungstransports in Metallen (H. Lorentz)
● Theorie der Lösungen (Van’t Hoft) in Analogie zu idealen Gasen
● Stöchiometrie von chemischen Reaktionen
● Begründung von makroskopisch irreversiblem Verhalten trotz
reversibler Newtonschen Dynamik durch Boltzmann
Wenn man mittels der kinetischen Gastheorie die mittlere Geschwindigkeit
des suspendierten Teilchens ausrechnet, so erhält man einen Wert, der um
Größenordnungen kleiner ist, als man aus Beobachtungen abschätzt!
1
Mv
2 T
≠
2
1
2
k
B
T

Die Opposition
Ernst Mach
geb. 18. 2. 1838 Turas (Czechien)
gest. 19. 2. 1916 Vaterstetten
Eine Theorie sollte nur Objekte
enthalten, die der direkten
Sinneserfahrung zugänglich sind.
Wilhelm Ostwald
geb. 2.9.1853 Riga, Litauen
gest. 4.4.1932 nahe Leipzig
Das zentrale Konzept in der
Physik ist das der Energie.

Einsteins Arbeiten vor 1905
● Kinetische Theorie des Wärmegleichgewichtes
und des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik
Annalen der Physik, 9, S. 417, 1902
● Eine Theorie der Grundlagen der Thermodynamik
Annalen der Physik, 11, S. 170, 1903
● Zur allgemeinen molekularen Theorie der Wärme
Annalen der Physik, 14, S. 354, 1904
● Eine neue Bestimmung der Moleküldimensionen
Dissertation ETH Zürich, 30.04.1905
In diesen Arbeiten hat Einstein einen theoretischen Zugang zur
Beschreibung von Phänomenen entwickelt, die weder mikroskopisch
(klassische Mechanik) noch makroskopisch (Thermodynamik) sondern
mesoskopisch sind.

Annalen der Physik, 17 (1905), Seiten 549-560
Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte
Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen
als Patentamtsangestellter
oder: „ehrwürdiger
eidgenössischer Tintenscheisser
mit ordentlichem Gehalt“
In dieser Arbeit soll gezeigt werden, daß nach der
molekularkinetischen Theorie der Wärme in
Flüssigkeiten suspendierte Körper von mikroskopisch
sichtbarer Größe infolge der Molekularbewegung
der Wärme Bewegungen von solcher Größe
ausführen müssen, daß diese Bewegungen leicht
mit dem Mikroskop nachgewiesen werden können.
Es ist möglich, daß die hier zu behandelnden
Bewegungen mit der so genannten „Brownschen
Molekularbewegung“ identisch sind; die mir
erreichbaren Angaben über letztere sind jedoch so
ungenau, daß ich mir hierüber kein Urteil bilden
konnte.

Annalen der Physik, 19 (1906), Seiten 371-381
Zur Theorie der Brownschen Bewegung
im Patentamt
Kurz nach dem Erscheinen meiner Arbeit über die
durch die Molekulartheorie der Wärme geforderte
Bewegung von in Flüssigkeiten suspendierten
Teilchen teilte mir Herr Siedentopf (Jena) mit, daß er
und andere Physiker – zuerst wohl Herr Prof. Gouy
(Lyon) – durch direkte Beobachtung zu der Überzeugung
gelangt seien, daß die so genannte
Brownsche Bewegung durch durch die ungeordnete
Wärmebewegung der Flüssigkeitsmoleküle verursacht
sei. Nicht nur die qualitativen Eigenschaften der
Brownschen Bewegung, sondern auch die Größenordnung
der von den Teilchen zurückgelegten Wege
entspricht durchaus den Resultaten der Theorie.
M. Gouy, Journ. de Phys. (2) 7, S. 561. 1888

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegung
Über den suspendierten Teilchen zuzuschreibenden osmotischen Druck
Gesamtvolumen V, z Gramm gelöste Moleküle
Semipermeable Membran
Osmotischer Druck
RT RT
P = z = n =
* *
V V N
RT
N
c
V *
N ist die Anzahl der Moleküle pro Gramm
n die Gesamtanzahl gelöster Moleküle
c = n/V * ist die Konzentration
Weshalb soll das nur für Moleküle gelten und
nicht auch für suspendierte Teilchen ?
Einsteins Theorie der Fluktuationen basierend auf der molekularkinetischen
Theorie der Wärme liefert das gleiche Ergebnis.

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegung
Theorie der Diffusion kleiner suspendierter Kugeln
L
Sedimentationsgleichgewicht: c = c(z)
Virtuelle Verrückung δz aller Teilchen
Gleichgewicht: δF = δE - TδS = 0
K
Energieänderung
δ E
L
= −∫
Kc( z)
δz
dz
Entropieänderung
δ S
= −
0
R
N
L
∫
0
dc(
z)
δz
dz
dz
0
z
Kraftgleichgewicht
RT dc
K c(
z)
= =
N dz
dp
dz

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegung
Theorie der Diffusion kleiner suspendierter Kugeln
Mechanik makroskopischer Körper:
Wenn man Fallschirm springt, fällt man nach einiger Zeit mit konstanter
Geschwindigkeit. Schwerkraft und Reibungskraft kompensieren sich.
K = 6πηr v B B
Hierin sind: η die Viskosität des Lösungsmittels
r B der Radius des Brownschen Teilchens
v B die Geschwindigkeit des Brownschen Teilchens
K
Also:
v
B
=
6πη
r
B

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegung
Theorie der Diffusion kleiner suspendierter Kugeln
Makroskopisches Ficksches Diffusionsgesetz
j(z,t) ist der Teilchenstrom auf Grund
der Diffusion
Gleichgewicht der Ströme:
∂ c(
z,
t)
∂ j(
z,
t
= −
)
∂t
∂z
j(
z,
t)
∂c(
z,
t)
= − D
∂z
c(
z,
t)
K ∂c(
z,
t)
c( z,
t)
vB
+ j(
z,
t)
= 0 ⇒ − D =
6πη
r ∂z
B
0
Aus dem Gleichgewicht der Kräfte:
∂c ( z,
t)
NKc(
z,
t)
=
∂z
RT
Stokes-Einstein-Gesetz
D
=
RT
N
1
6πη
r B

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegung
Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit suspendierten
Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.
Es werden (auch) die Bewegungen eines und desselben Teilchens in
verschiedenen Zeitintervallen als voneinander unabhängige Vorgänge
aufzufassen sein, solange wir diese Zeitintervalle nicht zu klein gewählt denken.
In einem Zeitintervall τ werden sich die X-Koordinaten der einzelnen Teilchen
um W vergrößern, wobei W für jedes Teilchen einen anderen (positiven oder
negativen) Wert hat.
Wahrscheinlichkeitsverteilung für W:
ϕ( W ) = ϕ(
−W
)
∞
∫
−∞
ϕ( W ) dW
=1
Wie hängt der Diffusionskoeffizient von ϕ ab?

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegung
Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit suspendierten
Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.
f(x,t): Anzahl der Teilchen pro Volumeneinheit
f(x,t)
t
x
x+dx
t+τ
∞
∫
−∞
f ( x,
t + τ ) dx = dx f ( x + W , t)
ϕ(
W ) dW
τ ist klein und nur kleine W haben eine signifikant
von 0 verschiedene Wahrscheinlichkeit
f
∂ f
( x,
t + τ ) = f ( x,
t)
+ τ ( x,
t)
∂t
2 2
∂ f W ∂ f
f ( x + W , t)
= f ( x,
t)
+ W ( x,
t)
+
2
∂x
2 ∂x
( x,
t)

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegung
Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit suspendierten
Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.
∞
−∞
∞
2 2
∂ f
∂ f
∂ f W
f + τ = f ∫ϕ(
W ) dW + ∫Wϕ(
W ) dW + ∫ ϕ(
W ) dW
2
∂t
∂x
∂x
2
⎬
−∞
⎬
=1 =0
∞
−∞
Definiere:
∞ 2
1 W
D = ϕ(
W ) dW
τ ∫ 2
−∞
∂
f
∂
2
f
Ficksches Diffusionsgesetz
∂t
=
D
∂
x
2

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegung
Über die ungeordnete Bewegung von in einer Flüssigkeit suspendierten
Teilchen und deren Beziehung zur Diffusion.
• denken wir uns den Ursprung des Koordinatensystems in die Position eines
Teilchens zur Zeit t=0 gelegt
• alle Teilchen bewegen sich unabhängig
Es folgt: f(x,t) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen in der Zeit t eine
Distanz zwischen x und x+dx zurückgelegt hat.
Bedingungen:
Lösung:
f
f ( x,0)
= 0 für x ≠ 0 und f ( x,
t)
dx = 1
( x,
t)
2
1 ⎛ x
= exp
⎜ −
4π
Dt ⎝ 4Dt
⎞
⎟
⎠
∞
∫
−∞
Damit:
|
∞
∫
−∞
2
2
∆x | ( t)
= x ( t)
= x f ( x,
t)
dx = 2Dt

Einsteins Behandlung der Brownschen Bewegung
Formel für die mittlere Verschiebung suspendierter Teilchen. Eine neue
Methode zur Bestimmung der wahren Größe der Atome.
Wenn man das Stokes-Einstein-Gesetz in die Gleichung für die mittlere
quadratische Verschiebung einsetzt, erhält man:
D
=
RT
N
1
6πη
r B
⇒
| ∆x
| ( t)
=
t
RT
N
1
3πη
Abschätzung für ein Teilchen von 1 µm Radius in Wasser von 17°C:
ca. 1 µm pro Sekunde
r B
Messung der Anzahl der Atome pro Gramm des Stoffes mittels der
mittleren Verschiebung
Keine Messung der Geschwindigkeit des Brownschen Teilchens möglich!

Experimentelle Bestätigung der Existenz von Atomen
Jean Perrin
geb. 30.09.1870 in Lille
gest. 17.04.1942 in New York
11.11.1909 Einstein an Perrin
Ich hätte es für unmöglich gehalten, die
Brownsche Bewegung so präzis zu untersuchen;
es ist ein Glück für diese Materie, daß Sie sich
ihrer angenommen haben.
Diese Arbeiten wurden 1926 mit dem Nobelpreis für Physik ausgezeichnet.

Alternative Beschreibung
Marian von Smoluchowski
geb. 28.05.1872 in Wien
gest. 05.08.1917 in Krakau
Zur kinetischen Theorie der
Brownschen Molekularbewegung
und der Suspensionen,
Annalen der Physik 756-779 (1906)
Seine Arbeit beinhaltet eine detaillierte Analyse der vorhandenen
Literatur zur Brownschen Molekularbewegung und der Versuche, diese
mittels der kinetischen Gastheorie zu verstehen. Ausgehend von einer
statistischen Beschreibung der Stoßprozesse leitet er dann das gleiche
Resultat wie Einstein ab.

Eine kleine Zahlenspielerei
Der menschliche Körper enthält ca. 40 Kg Wasser
⎬
Die gesamte Wassermenge auf der Erde ist ca. 1.4 10 21 Kg
Avogadro Zahl: 6.022 10 23 Teilchen / Mol
⎬
1 Mol Wasser wiegen 18 g
2.86 10 -20
1.34 10 27
Wieviele Wassermoleküle aus dem Körper von Jesus Christus sind in uns?
Wenn man an die „Auferstehung des Fleisches“ glaubt: 0
Wenn man an die „Auferstehung der Seele“ glaubt oder kein Christ ist:
ca. 4 10 7
Zur Beruhigung: das gilt genau so für Buddha oder Mohammed
oder Jack the Ripper oder …
(vernachlässigt ist hier die Tatsache, dass der Mensch trinken muss)

Eine Einschätzung
Wenn in einem Kataklysmus alles
wissenschaftliche Wissen vernichtet
würde und nur ein Satz könnte an die
nächste Generation von Kreaturen
weitergegeben werden, welche
Aussage enthielte dann die meiste
Information in den wenigsten
Worten?
Richard P. Feynman
geb. 11.05.1918 in New York City
gest. 15.02.1988
1954: Albert Einstein award
Alle Dinge bestehen aus Atomen –
kleinen Teilchen, die in beständiger
Bewegung sind, die sich anziehen, wenn
sie eine gewisse Distanz voneinander
entfernt sind und sich abstoßen, wenn
man sie ineinander presst.
MEHR BROWNSCHE BEWEGUNG NACH DER PAUSE

Die seltsamen Pfade der Brownschen Teilchen
Newtonsche Mechanik
Brownsche Bewegung
dx = v dt dx = σ dW(t); dW(t) ~ (dt) 1/2
dv = (K / m) dt
v existiert nicht!
konservativ (Energie erhaltend) dissipativ
Einstein: physikalisch muss die Annahme, dass die Verschiebungen eines
Teilchens zu zwei Zeiten t und t+dt unabhängig sind für kleine
dt ungültig werden.
Neue mathematische Disziplin: Theorie stochastischer Prozesse
Die Brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess mit stetigen
aber nicht differenzierbaren Pfaden.
Wie kann man sich das veranschaulichen?

Der random walk wird geboren
Letter to Nature, 1905
A man starts from a point 0 and walks l
yards in a straight line: he then turns
through any angle whatever and walks
another l yards in a straight line. He
repeats this process n times.
I require the probability that after these n
stretches he is at a distance between r and
r+∆r from his starting point 0.
Karl Pearson
geb. 27.03.1857 in London
gest. 27.04.1936 in Coldharbour
2
2r
⎛ r
p = n
( r)
exp
⎜ −
n ⎝ n
⎞
⎟
⎠

Der random walk wird geboren
Der random walk geht in diskreten Schritten in der Zeit.
usw.
Die Brownsche Bewegung ist selbstähnlich (fraktal). Sie ist der
Grenzwert eines random walks, bei der die Schrittweite gegen Null
geht und das Zeitintervall zwischen zwei Schritten auch, aber so
daß gilt:
2
l
D = =
2 τ
const.

Anwendungen der Brownschen Bewegung
‣ Transportprozesse
Physik: Wärmeleitung, Ladungstransport, Diffusion in Flüssigkeiten
Chemie: Lösungen, Reaktionskinetik
Biologie: Transport in Zellen: Molekulare Motoren
Gesellschaft: Verkehr
‣ Finanzmarkt
‣ Quantenmechanik

Molekulare Motoren
Eine molekulare Pumpe, die für
Transport durch die Zellmembran
sorgt. Der Rotor dreht sich in
120° Sprüngen.
Die Moleküle sind dauernden
thermischen Schwankungen
ausgesetzt, erzeugen aber trotzdem
gerichteten Transport unter
Verbrennung von ATP
Direct Observation of the
Rotation of F1-ATPase
H. Noji, R. Yasuda, M. Yoshida,
K. Kinosita Jr., Nature 386, 299
(1997).

Molekulare Motoren
Ein molekularer Pickup-Truck: Kinesin
Kinesin ist ein Motor-Protein, das eine gerichtete Bewegung längs in
der Zelle vorhandener Faserbündel, so genannter Microtubulen
ausführt. Es „läuft“ auf 2 Beinen die Faser entlang.
Figuren von Prof. Steven Block,
Department of Applied Physics and
Biological Sciences
Stanford University
www.stanford.edu/group/blocklab

Brownsche Bewegung im Finanzmarkt
Louis Bachelier
geb. 11.03.1870 in Le Havre
gest. 28.04.1946 in St-Servan-Sur-Mer
Doktorarbeit am 19.03.1900
Theorie de la Spéculation
Doktorvater: Henri Poincaré
Eine bemerkenswerte Arbeit!
Die Arbeit enthielt alle mathematischen Ideen für eine Theorie der
Brownschen Bewegung, wie sie später systematisiert wurden.
Sie wurde vollkommen ignoriert.
Selbst Poincaré hat nicht bemerkt, dass sein Doktorand das Problem der
Brownschen Bewegung gelöst hatte.

Brownsche Bewegung im Finanzmarkt
Der S&P 500 ist ein Aktienindex aus den 500 größten Firmen in den USA.
Geometrische Brownsche Bewegung [H. Itô (Mathematiker)
M.F. Osborne (Physiker), P. Samuelson (Ökonom)]
dS
)[ µ dt + σ dW ( )]
( t)
= S(
t
t

Brownsche Bewegung und Quantenmechanik
In der Quantenmechanik kann ich nur noch Wahrscheinlichkeitsaussagen zu
Ort und Impuls eines Teilchens machen.
Ein Quantenobjekt wird beschrieben durch eine Wellenfunktion Ψ(x,t), die
eine Lösung der Schrödingergleichung ist.
Max Born postulierte:
Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Intervall [x,x+∆x] zu finden ist
gegeben durch | Ψ(x,t)| 2 ∆x.
Einstein in einem Brief an Max Born: „Der (liebe Gott) würfelt nicht!“
Einstein hat natürlich nicht daran gezweifelt, daß die Quantenmechanik
richtige Vorhersagen ausrechnet. Seine Kritik richtete sich gegen die
philosophische Interpretation der Kopenhagener Schule, die man so
formulieren könnte: „Du sollst dir kein Bildnis machen!“

Brownsche Bewegung und Quantenmechanik
h
∆x∆p
≥
2
Ein berühmtes Gedankenexperiment zur
Unschärferelation, das γ-Strahlen Mikroskop:
Werner Heisenberg
geb. 5.12.1901 in Würzburg
gest. 1.02.1976 in München
Aber: Das ist nicht nur richtig, wenn ich
absichtlich mit dem Elektron wechselwirke.
Kein Quantenteilchen ist jemals von seiner
Umgebung isoliert; nur dass wir die genauen
Einflüsse nicht kennen!

Brownsche Bewegung und Quantenmechanik
Edward Nelson
geb. 4.5.1932 in Georgien
Professor für Mathematik in
Princeton
60 Jahre nach Einsteins berühmter Arbeit über die Brownsche Bewegung:
Physical Review 150, 1179 (1966):
Herleitung der Schrödingergleichung aus der Newtonschen Mechanik

Brownsche Bewegung und Quantenmechanik
Die Brownsche Bewegung ist nicht notwendig dissipativ, man kann eine
konservative Brownsche Bewegung konstruieren. Hierzu folgt man im
Wesentlichen Newtons Ableitung der klassischen Mechanik.
Newton: Die Krümmung der Teilchenbahn (zweite Ableitung des Ortes
nach der Zeit, erste Ableitng der Geschwindigkeit nach der Zeit) ist durch
die äußere Kraft gegeben.
Nelson: Der Erwartungswert der Krümmung der Teilchenbahn ist durch die
äußere Kraft gegeben.
K
K
=−
dV ( x)
dx
x(t)

Bewegungsgleichung:
Brownsche Bewegung und Quantenmechanik
[ v(
x,
t)
+ u(
x,
t)
] dt + h dW ( )
dx( t)
=
t
m
Hierin ist
v( x,
t)
=
1
m
dS(
x,
t)
dx
u(
x,
t)
=
h
m
dR(
x,
t)
dx
Um die Teilchenbahnen berechnen zu können, brauche ich R(x,t) und S(x,t),
aber für diese Funktionen gilt:
⎛ i ⎞
Ψ ( x,
t)
= exp⎜
R(
x,
t)
+ S(
x,
t)
⎟
⎝ h ⎠
erfüllt die Schrödinger-Gleichung
∂Ψ(
x,
t)
ih
∂t
=−
2
h
2m
∂
2
Ψ(
x,
t)
2
∂x
+ V
( x)
Ψ(
x,
t)

Einstein und die Brownsche Bewegung
Auf der Suche nach einer vereinheitlichten
Feldtheorie hat Einstein in seinen späten
Lebensjahren seine Theorie der
Brownschen Bewegung als nicht so wichtig
angesehen. Da irrte er aus verschiedenen
Gründen, wie dieser Vortrag zeigen wollte.
• Dank seiner Arbeit wurde die Existenz
von Atomen allgemein akzeptiert.
•Die Theorie der Brownschen Bewegung
ist in fast allen Wissenschaftsbereichen
anwendbar.
•Daher ist seine Arbeit über die Brownsche
Bewegung auch die am meisten zitierte
seiner Arbeiten aus dem Jahr 1905.
•Eine weitere Beschäftigung mit dieser
Theorie hätte auch seinem (und unserem)
Verständnis der Quantenmechanik gut
getan.