Hall-Effekt und Magnetfeldmessung

Hall-Effekt und Magnetfeldmessung
erweitert aus Studiengebühren
Vorbereitung: Halbleiter, Bändermodell: n-Leitung, p-Leitung, Kraft auf
Ladungsträger in elektrischen und magnetischen Feldern, Hall-Effekt, Gesetz
von Biot-Savart, Helmholtz-Spulen.
Literatur:
• Standard-Lehrbücher der Experimentalphysik, z.B. Gerthsen, Vogel:
Physik, Springer-Verlag
1 Einführung
In diesem Versuch wird der Hall-Effekt an einem n- und p-dotierten Halbleiterplättchen
untersucht, sowie als Anwendung das Magnetfeld eines Helmholtz-Spulenpaars
mit Hilfe einer Hall-Sonde vermessen.
Fließt durch ein Halbleiterplättchen, das sich in einem Magentfeld befindet
(siehe Abb. 1) senkrecht zum Magnetfeld ein Strom, so bildet sich
senkrecht zur Stromrichtung und zum Magnetfeld eine Querspannung aus,
die sogenannte Hall-Spannung U H :
U H = R H
I S B
d
(1)
mit R H = 1/(nq) Hallkonstante,
n Ladungsträgerkonzentration (Zahl der Ladungsträger pro Volumen),
q < 0 Elektronenleitung (n-Leitung),
q > 0 Löcherleitung (p-Leitung).
I S Strom durch das Plättchen,
B Betrag des B-Feldes,
d Dicke des Plättchens
Führt man die Beweglichkeit µ der Ladungsträger ein (µ = v/E, v: Geschwindigkeit
der Ladungsträger, E: elektrische Feldstärke), so kann U H
geschrieben werden als:
U H = BEbµ (2)
mit
b Breite des Plättchens.
Da die resultierende Hall-Spannung direkt proportional zum B-Feld ist, das
das Hall-Plättchen durchsetzt, kann der Hall-Effekt zur Magnetfeldmessung
1

Abbildung 1: Hall-Effekt
verwendet werden, wenn die Proportionalitätskonstanten bekannt sind. Entsprechende
Messsonden heissen Hall-Sonden. Exemplarisch wird das Magnetfeld
eines Helmholtz-Spulenpaars mit einer Hall-Sonde vermessen:
Ein Helmholtz-Spulenpaar besteht aus zwei kurzen stromdurchflossenen
Zylinderspulen mit Radius R, die parallel und konzentrisch zueinander stehen
(siehe auch Abb.2). Wird der Abstand a zwischen den Spulen so gewählt,
dass a = R gilt, so ergibt sich ein weitgehend homogener Feldverlauf zwischen
den Spulen (bei gleichsinnigem Verlauf des Stroms durch die beiden
Spulen).
Abbildung 2: Schematische Darstellung eines Helmholtz-Spulenpaars
Das erzeugte Magnetfeld kann mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart
2

erechnet werden. Ein Stromleiter der infintesimalen Länge dl ⃗ am Ort r ⃗′ ,
der von einem Strom I durchflossen wird, erzeugt am Ort ⃗r die magnetische
Flussdichte
dB(⃗r) ⃗ = µ 0
4π I dl ⃗ × ⃗r − r ⃗′
∣
∣⃗r − r ⃗ ∣ ′ ∣∣ 3
(3)
Zunächst soll das Biot-Svart-Gesetz zur Berchnung des B-Feldes einer stromdurchflossenen
kreisförmigen Leiterschleife (Schleife mit Radius R parallel
zur xy-Ebene an der Stelle z 0 , z-Achse geht durch Mittelpunkt der Schleife)
angewandt werden (vgl. Abb. 2). Dann gilt:
⃗ l =
⎛
⎜
⎝
⎛
⃗dl
dϕ = ⎜
⎝
R cos ϕ
R sinϕ
z 0
⎞
⎟
⎠ = ⃗ r ′
−R sinϕ
R cos ϕ
0
Zur Vereinfachung der Rechnungen soll das B-Feld nur auf der z-Achse betrachtet
werden, also
⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
⃗r = ⎝ 0 ⎠
z
mit
und
folgt aus (3)
∫
⃗B =
⃗r − ⃗ r ′ =
⎛
⎜
⎝
−R cos ϕ
−R sinϕ
z − z 0
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
∣
∣⃗r − ⃗ r ′ ∣ ∣∣ =
√R 2 + (z − z 0 ) 2
⎛
⃗dl ×
(⃗r − r ⃗ )
′ ⎜
= ⎝
(z − z 0 )R cos ϕ
(z − z 0 )R sinϕ
R 2
dB ⃗ = µ ∫2π
0
4π I 1
√
R 2 + (z − z 0 ) 23
0
⎛
⎜
dϕ ⎝
⎞
⎟
⎠dϕ
(z − z 0 )R cos ϕ
(z − z 0 )R sinϕ
R 2
Die Integration des Sinus bzw. Cosinus über den gesamten Winkelbereich
ergibt Null, so dass nur die z-Komponente von Null verschieden ist:
⃗B =
µ 0 IR 2
2 √ R 2 + (z − z 0 ) 23⃗e z =
3
√
2R
µ 0 I
1 + ( z−z 0
R
⎞
⎟
⎠
) 2
3 ⃗e z (4)

Das Magnetfeld eines Spulenpaars (auf der z-Achse = Achse durch die Spulenmittelpunkte),
bei dem sich die Spulen bei ±z 0 befinden, je N Windungen
haben und gleichsinnig vom Strom I durchflossen werden, ergibt sich damit
durch Superposition zu
⎛
⎞
⃗B = µ 0NI
2R
⎜
⎝√
1
1 + ( z−z 0
R
) 3 + 1
√ 2
1 + ( z+z 0
R
⎟
) 3 2
⎠⃗e z (5)
Das Magnetfeld ist weitestgehend homogen, wenn der Abstand a der Spulen
genau ihrem Radius entspricht, d.h. a = R bzw. z 0 = R 2
(Wenn Sie Lust
haben, können Sie dies zeigen, indem Sie Gleichung (5) um z = 0 Taylor
entwickeln und nachweisen, dass dann abgesehen von der nullten Ordung
erst die vierte Ordnung von Null verschieden ist.).
Verzichtet man auf die Näherung, das Feld auf der Spulenachse zu berechnen,
so kann kein einfacher geschlossener Ausdruck mehr angegeben
werden. Näherungsweise kann der radiale Verlauf (r = Abstand von der z-
Achse) der z-Komponente des B-Feldes in der Mitte zwischen den Spulen
(z=0) für den Fall z 0 = R 2
beschrieben werden als
B z (r) =
( 4
5)3
2 µ 0 NI
R
(
)
1 − 16r4
25R 4
(6)
Bearbeiten Sie folgende Aufgabe schriftlich in der Vorbereitung:
1. Leiten Sie die Gleichungen (1) und (2) her.
2 Versuchsdurchführung
I. Hall-Effekt
2. Mit der in Abbildung 3 dargestellten Schaltung soll die Abhängigkeit
der Hallspannung vom Sondenstrom I S (Strom durch das Hall-Plättchen)
und vom Magnetfeld B gemessen werden: Messen Sie für die
Sondenströme 10 mA, 20 mA, 30 mA, 40 mA und 50 mA jeweils die
Hallspannung für verschiedene B-Felder, indem sie den Strom I M im
Magnetstromkreis von 0 - 5 A in 1 A-Schritten durchfahren (beide
Sonden!). Die Eichkurve, aus der Sie für die verschiedenen I M den Wert
des B-Feldes erhalten, liegt aus (Abstand der Polschuhe a = 10mm).
Der Konstanter für I S ist im Strom-Modus zu betreiben, wobei I S
50 mA nicht überschreiten darf. Prüfen Sie, ob für B = 0 (also
I M = 0) das U H -Instrument die Spannung 0 anzeigt. Woran liegt es,
wenn dies nicht der Fall ist?
4

Abbildung 3: Schaltung zur Messung des Hall-Effekts
Auswertung: Tragen Sie alle U H -Werte für beide Sonden getrennt
auf U H = f(B) mit I S als Parameter. Bestimmen Sie aus den Steigungen
der resultierenden Geraden die Ladungsträgerkonzentration n für
beide Sonden (d=1 mm, b=5 mm) sowie die Driftgeschwindigkeit der
Ladnungsträger. Berechnen Sie für jede Sonde den Mittelwert und die
Standardabweichung der Ladungsträgerkonzentration. Tragen Sie die
Driftgeschwindigkeiten über den Sondenstrom I S auf. Diskussion!
II. Magnetische Widerstandsänderung, nur Physiker/ Mathematiker
Legt man an einen stromführenden Leiter senkrecht zum Strom ein B-
Feld, so beobachtet man eine Erhöhung des elektrischen Widerstands.
Bei nicht zu hohen Feldern gilt:
mit
R 0 Widerstand für B=0,
R − R 0
R 0
= K 2 B 2 (7)
K Konstante, die näherungsweise die Beweglichkeit µ der Ladungsträger
darstellt.
Die quantitative Erklärung dieses Effekts ist nicht elementar. Eine anschauliche
Erklärung besteht darin, dass aufgrund des B-Feldes und
der damit verbundenen Kraftwirkung auf die Ladungsträger die Stromrichtung
im Leiter nicht mehr exakt in Richtung des E-Feldes (erzeugt
durch die angelegte Spannung) übereinstimmt, sondern um den sogenannten
Hall-Winkel davon abweicht. Dies führt zu einer Verlängerung
5

der ’Strombahnen’ im Leiter und effektiv zu einer Widerstandserhöhung.
3. Messen Sie die magnetische Widerstandsänderung ∆R/R = f(B) für
beide Sonden, wobei ein Sondestrom I S von 50mA zu wählen ist und
I M von 0 - 5 A in 1 A-Schritten variiert wird. Die jeweils anliegende
Spannung U S wird mit dem digitalen Voltmeter gemessen.
Hinweis: Die zu messenden Änderungen sind sehr klein; notieren Sie
sich alle Stellen des am digitalen Voltmeters angezeigten Wertes. Vermeiden
Sie Störfelder, z.B. durch Mobiltelefone (Ausschalten!). Beginnen
Sie die Messung bei I M = 0, warten Sie bis sich eine konstante
Spannung eingestellt hat und führen Sie die Messung dann zügig durch.
Auswertung: Prüfen Sie den Zusammenhang (7) durch Auftragen
von ∆R/R über B 2 für beide Sonden. Bestimmen Sie die Steigung der
resultierenden Geraden und daraus die Konstante K. Fehlerabschätzung!
III. Vermessung des B-Felds eines Helmholtz-Spulenpaars
Die Messung des Magnetfelds erfolgt mit einer Hall-Sonde, die über
Pocket-Cassy ausgelesen wird. Die Sonde enhält zwei Sensoren, einen
zur Messung der axialen und einen zur Messung der transversalen
Komponente des Magnetfelds. Überlegen Sie sich anhand des Feldverlaufs
welchen Sie benötigen, Sie müssen diesen am Steuergerät aktivieren
(Bt, Ba ein). Beachten Sie, dass der transversale Sensor sich an
der Spitze der Sonde befindet, der axiale dagegen an der Verdickungsstelle
des Stabes. Die beiden Spulen besitzen jeweils 320 Windungen
und einen Radius R = 6.5cm. An die Spulen wird eine Spannung von
21 V angelegt, da sich die Spulen dabei langsam erwärmen, müssen Sie
die Spannung mindestens 10 min bevor Sie die Messung starten wollen
anlegen, damit der Strom während der Messung konstant bleibt.
Notieren Sie sich den Strom durch die Spulen zum Beginn und Ende
jeder Messreihe.
Bei diesem Versuchsteil ist nur von Physikern und Mathematikern
der erwartete Verlauf bei der Auswertung mit einzuzeichnen!
4. Messen Sie das B-Feld auf der Mittelachse (z-Achse) der Spulen im
Innenbereich zwischen den Spulen, sowie auf einer Seite bis zu einem
z von 15 cm (z=0 entspricht der Stelle genau in der Mitte zwischen
den Spulen) in 1cm-Schritten für einen Spulenabstand
(a) a=13 cm (d.h. z 0 = 6.5cm in Gl. (5)),
(b) a=6.5 cm (Helmholtz-Anordnung a=R, z 0 = 3.25cm).
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Korrigieren Sie am Steuergerät vor jeder Messreihe den möglichen Offset
der Hall-Sonde, indem Sie die Sonde aus dem B-Feld nehmen (Eigenschaften
→ Offset korrigieren → 0).
Auswertung: Tragen Sie beide Messreihen in ein Diagramm (B über
z) und zeichnen Sie jeweils den erwarteten Verlauf nach Gleichung (5)
ein. Diskutieren Sie mögliche Abweichungen zum erwarteten Verlauf
und machen Sie sich Gedanken über den Fehler der einzelnen Messpunkte.
Zeichnen Sie sinnvolle Fehlerbalken ein.
5. Messen Sie die radiale Abhängigkeit des B-Feld am Ort z=0 (Mitte
zwischen den Spulen) von r=0 cm (Mittelachse) bis zum Spulenrand
(r=6 cm) in 0.5cm-Schritten für die Helmholtz-Anordnung der Spulen
(a=R).
Tragen Sie Ihre Messwerte graphisch auf (B über r) und zeichnen Sie
den erwarteten Verlauf nach Gleichung (6) ein. Diskutieren Sie Gründe
für mögliche Abweichungen vom erwarteten Verlauf.
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