Anleitung zur Fehlerrechnung

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Anleitung zur Fehlerrechnung
Grundsätzlich ist jedes Meßergebnis mit einem Fehler behaftet. Das gemessene
Ergebnis weicht vom idealen, wahren Ergebnis ab.
Es wird unterschieden zwischen Fehlern, die systematischer oder zufälliger
Art sind. Dieser Unterschied soll anhand eines Beispiels der Längenmessung
mit einem Maßstab erklärt werden.
Messung einer Länge mit einem Maßstab:
Ein zufälliger Fehler wäre:
Ein systematischer Fehler wäre:
Beschränkte Ablesegenauigkeit
(Paralaxenfehler)
Messung mit fehlerbehaftetem
Maßstab (der z.B. eine zu kleine
Längeneinteilung besitzt)
Systematische Fehler haben eine bestimmte Größe und ein bestimmtes
Vorzeichen. Sie können also bei Kenntnis dieses Fehlers korrigiert werden.
Zufälliger Fehler: Werden bei einer Messung sämtliche Korrekturen angebracht
und alle systematischen Fehler ausgeschaltet, so wird das Meßergebnis
infolge unübersehbarer, störender Einflüsse und wegen der Unzulänglichkeit
der subjektiven Beobachtung dennoch in einer Weise vom
wahren Wert abweichen, die einer rein zufälliger Streuung entspricht und
auf die nur die Gesetze der Statistik anwendbar sind. Bei einer einzelnen
Messung kann nicht angegeben werden, wie ihr Ergebnis vom wahren
Wert abweicht. Lediglich bei sehr vielen Messungen derselben Größe
können Aussagen über den wahrscheinlichen Wert der Größe gemacht
und damit Rückschlüsse auf die Fehler bei den einzelnen Messungen gezogen
werden.
1 Berechnung des zufälligen Fehlers durch arithmetische
Mittel
Als Resultat einer Meßreihe, welche die Einzelwerte l 1 , l 2 , l 3 , . . . , l n , enthält,
wird das arithmetische Mittel ¯l angegeben zu:
¯l = 1 n
n
∑ l i = 1 n (l 1 + l 2 + . . . + l n ) (1)
i=1

10 Die Standardabweichung
2 Die Standardabweichung
Bei genügend großer Anzahl von Meßwerten ein und derselben Messung
ergibt sich eine Normalverteilung in Form der Gauß’schen Fehlerkurve:
Haeufigkeit der
l−Werte
l
Messwerte l
Charakteristisch für diese Kurve ist die Breite 2σ zwischen den beiden
Wendepunkten der Kurve. Die Gaußsche Fehlerkurve ist dort auf 1/ √ l
abgefallen. Man nennt σ (halbe Breite) die Standardabweichung. Unter
der Voraussetzung vieler Messungen (großes n) gilt für die Standardabweichung:
σ = ±
√
1
n − 1
n
∑
i=1
(l i − ¯l) 2 (2)
Die Standardabweichung berücksichtigt jedoch nicht, daß mit wachsender
Zahl der Messungen die Differenz zwischen Mittelwert und ,,wahrem
Wert“ kleiner wird.
2.1 Der mittlere quadratische Fehler
Je größer die Zahl der Messungen, desto vertrauenswürdiger ist der arithmetische
Mittelwert. Dieser Tatsache wird Rechnung getragen, wenn man
als Maß für die Zuverlässigkeit der Messung nicht die Standardabweichung
σ, sondern den sogenannten mittleren statistischen Fehler σ m verwendet
(Standardabweichung des Mittelwertes),
σ m = σ √ n
=
√
1
n(n − 1)
n
∑
i=1
Dieser ist abhängig von der Anzahl der Einzelmessungen.
(l i − ¯l) 2 . (3)

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3 Absoluter und relativer Fehler
Addiert man den absoluten Fehler zur mittleren quadratischen Abweichung,
so erhält man das Ergebnis der Meßreihe:
(
¯l ± ∆l oder ¯l 1 ± ∆l )
l
(Ergebnis einer Meßreihe) (4)
∆l = σ m (∆l = absoluter Fehler) (5)
Den Quotienten aus absoluten Fehler ∆l und Mittelwert ¯l bezeichnet man
als relativen Fehler.
rel. Fehler = ∆l
( ) ∆l
Prozentangabe: · 100 % (6)
¯l
¯l
4 Fehlerfortpflanzung
In vielen Fällen ist die gesuchte Größe nicht direkt meßar, sondern muß
mit Hilfe von zugänglichen Größen indirekt bestimmt werden. Der mittlere
quadratische Fehler der gesuchten Größe A läßt sich aus den mittleren
Fehlern der direkt gemessenen Größen U, V, . . . berechnen. Es gilt allgemein
(absoluter Fehler)
Spezialfälle:
√ ( ) ∂A 2
∆A = ±
∂U ∆U +
1. A = U m ,,Potenz“
( ∂A
∂V ∆V ) 2
+ . . . . (7)
Gemessen wird U mit ±∆U als absoluten Fehler. Dann gilt für den
relativen Fehler
∆A
A
= ±|m| ∆U (8)
U
2. A = U · V, oder A = U/V ,,Produkt oder Division“
∆A
A
= ± √ ( ∆U
U
) 2 ( ∆V
+
V
) 2
(9)
3. A = U + V, oder A = U − V ,,Summe oder Differenz“
√
∆A = ± (∆U) 2 + (∆V) 2 (10)

12 Fehlerfortpflanzung
Für Produkte und Quotienten ist daher das Rechnen mit den relativen
Fehlern, für Summen und Differenzen das Rechnen mit den absoluten
Fehlern bequemer. Auch wenn die einzelnen Größen U, V nur einmal
gemessen werden, sollte dennoch der Fehler für A nach der Fehlerfortpflanzung
berechnet werden. In diesem Fall sind für die Fehler sinnvolle
Abschätzungen einzusetzen (z.B. die Ablesegenauigkeit der Meßinstrumente).