WS 2013/2014 Blatt 5
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Übungen zur Vorlesung „Theoretische Physik I (Höhere Mechanik,<br />
Quantenmechanik Teil I)“<br />
<strong>WS</strong> <strong>2013</strong>/<strong>2014</strong> <strong>Blatt</strong> 5<br />
Aufgabe 17: Endliche Bahnen<br />
Ein Massenpunkt m bewege sich in dem Kraftfeld<br />
{<br />
a(r − R) r für r ≤ R,<br />
F(r) =<br />
r<br />
0 für r > R.<br />
Untersuchen Sie, für welche Bahndrehimpulse L es Bahnen gibt, für die r(t) für alle Zeiten<br />
t endlich ist, d.h. |r(t)| < ∞.<br />
Hinweis: Betrachten Sie das effektive Potential V eff (r, L) für die Fälle L = 0 und L ≠ 0.<br />
Aufgabe 18: Zykloidenpendel<br />
Im homogenen Schwerefeld −ge z ist ein Pendel<br />
so im Koordinatenursprung zwischen zwei Backen<br />
aufgehängt, dass sich der Faden der Länge l =<br />
4a bei großen Auslenkungen immer weiter an die<br />
Backen anlegt. Die Form der Backen wird durch<br />
die Parameterdarstellung x = a(φ − sin φ); z =<br />
a(−1 + cos φ) beschrieben.<br />
z<br />
-2a<br />
-4a<br />
m<br />
x<br />
a) Zeigen Sie, dass die Bahnkurve der Pendelmasse duch x = a(φ + sin φ) und<br />
z = a(−3 − cos φ) mit −π < φ < π gegeben ist.<br />
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für das Pendel auf und lösen Sie sie mit Hilfe der<br />
Substitution u = sin(φ/2).<br />
c) Christian Huygens hat 1673 ein solches Pendel für die Konstruktion von Pendeluhren<br />
vorgeschlagen. Warum ist es hierfür besonders geeignet?<br />
Aufgabe 19: Rotierender Schütze<br />
a) Ein Massenpunkt m ruhe in einem Inertialsystem. Der Massenpunkt gleite andererseits<br />
reibungsfrei auf einer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden<br />
Scheibe. Beschreiben Sie die Bewegung des Massenpunkts in einem mit der Scheibe<br />
mitrotierenden und daher beschleunigten Bezugssystem als Folge der auf ihn wirkenden<br />
Trägheitskräfte.
) Auf der rotierenden Plattform eines Karussells stehe<br />
eine Schiessbude, an der ein Schütze auf ein in radialer<br />
Richtung vor ihm stehendes Ziel im Abstand<br />
a = r 2 − r 1 schiesst. Das Geschoss bewege sich reibungsfrei<br />
mit konstanter Geschwindigkeit v 0 . Um<br />
wieviel verfehlt der Schütze sein Ziel?<br />
ω<br />
a<br />
r 1 r 2<br />
Denksport IV<br />
Flussschwimmer: Ein Schwimmer will einen Fluss der Breite B überqueren. Relativ<br />
zum strömenden Wasser erreicht er die Geschwindigkeit v. Die Strömungsgeschwindigkeit<br />
u sei über die ganze Breite des Flusses konstant.<br />
a) Der Schwimmer will auf exakt geradem Wege die genau gegenüberliegende Stelle des<br />
jenseitigen Flussufers erreichen. Unter welchem Winkel muss er gegen die Strömung<br />
anschwimmen? Nach welcher Zeit hat er den Fluss überquert?<br />
b) Der Schwimmer will möglichst schnell das jenseitige Ufer erreichen, ohne Rücksicht<br />
auf etwaige Abdrift. Wie muss er sich verhalten? Wie lange braucht er für die<br />
Überquerung? Wo kommt er an?<br />
c) Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses falle nun vom Wert u in der Flussmitte<br />
proportional zum Abstand zur Flussmitte nach beiden Seiten hin ab und habe den<br />
Wert 0 an beiden Ufern. Beantworten Sie wieder die in a) gestellten Fragen.