Übungen zur Vorlesung „Mathematische Konzepte II“ SS 2013 Blatt 4

Übungen zur Vorlesung „Mathematische Konzepte II“
SS 2013 Blatt 4
Aufgabe 13: Rechenregeln für den Nabla-Operator
Gegeben sind das skalare Feld f(r) sowie die Vektorfelder A(r) und B(r). Beweisen Sie
folgende Rechenregeln für den Gradienten grad f(r) = ∇f(r), die Divergenz div A(r) =
∇·A(r) und die Rotation rot A(r) = ∇×A(r), wobei ∇ = (∂ x , ∂ y , ∂ z ) der Nabla-Operator
ist und ∆ = ∇ 2 :
(i) ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
(ii) ∇ · (∇ × A) = 0
(iii) ∇ × (∇f) = 0
(iv) ∇(A · B) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇ × B) + B × (∇ × A).
(v) Es seien a und b konstante Vektoren. Berechnen Sie ∇(a·r), ∇(a·A(r)), ∇·((a·r)b)
und ∇ · (b cos(a · r)).
Hinweis: Benutzen Sie für (i)–(iv) den ɛ-Tensor:
⎧
⎨ 1, falls i, j, k eine gerade Permutation von 1, 2, 3, . . . ist,
ɛ ijk = −1, falls i, j, k eine ungerade Permutation von 1, 2, 3, . . . ist,
⎩
0, falls mindestens zwei Indizes gleich sind.
Aufgabe 14: δ-Funktion
Die δ-Funktion wird durch zwei Eigenschaften bestimmt:
(i) δ(x) = 0 für x ≠ 0
(ii)
∫ a
−a
δ(x) dx = 1 für a > 0.
a) Zeigen Sie explizit, dass
ɛ/π
f(x) = lim
ɛ→0 ɛ 2 + x 2
diese Eigenschaften erfüllt, wenn die Grenzwertbildung mit der Integration vertauscht.
b) Zeigen Sie
(i)
∫ ∞
−∞
dx δ ′ (x)f(x) = −f ′ (0),

(ii)
∫ ∞
−∞
dx δ(ax)f(x) = 1 a f(0).
c) Zeigen Sie, dass
δ(u(x)) = ∑ i
1
|u ′ i (x i)| δ(x − x i),
wobei die Summe über alle einfachen Nullstellen x i der Funktion u(x) läuft. Berechnen
Sie damit
∫ ∞
−∞
dx x 2 δ(x 2 − a), a > 0.
Aufgabe 15: Zirkulation einer Wasserströmung
In einer grossen, tiefen Wasserwanne steht ein Zylinder vom Radius r 0 . Der Zylinder
rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω im Gegenuhrzeigersinn (von oben gesehen)
und zieht an seiner Oberfläche das Wasser mit sich. Im stationären Fall hat sich
eine Geschwindigkeitsverteilung ausgebildet, bei welcher die Strömungsgeschwindigkeit v
vom Wert v 0 = ωr 0 an der Oberfläche des Zylinder ausgehend und unabhängig von der
Wassertiefe, umgekehrt proportional zum Abstand von der Zylinderachse abfällt.
a) Formulieren Sie das Strömungsvektorfeld v(r) in Abhängigkeit von r, ω und r 0 .
Vergleichen Sie mit dem Vektorfeld v ′ (r), dass ein starre Mitbewegung der gesamten
Flüssigkeit beschreiben würde.
b) Berechnen Sie für die Vektorfelder v(r)
und v ′ (r) das Zirkulationsintegral
∫
Z = v(r) ds
C
über den skizzierten geschlossenen Weg C,
der die Fläche F umschliesst.
c) Berechnen Sie den Grenzwert lim
F →0
Z/F .
φ F C
r 0
r 1 r 2
d) Berechnen Sie explizit ∇ × v(r) und vergleichen Sie mit c). Physikalisch ist dies
die Winkelgeschwindigkeit, die ein kleines, in der Flüssigkeit schwimmendes Objekt
annimmt. Verwenden Sie zur Berechnung die Identitäten
∇ × (a × b) = (b · ∇)a − b(∇ · a) − a(∇ · b) + (a · ∇)b
und
∇ × (φa) = φ∇ × a − a × ∇φ.