Übungen zur Vorlesung „Mathematische Konzepte II“ SS 2013 Blatt 6
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<strong>Übungen</strong> <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong> <strong>„Mathematische</strong> <strong>Konzepte</strong> <strong>II“</strong><br />
<strong>SS</strong> <strong>2013</strong> <strong>Blatt</strong> 6<br />
Aufgabe 20: Komplexe Zahlen<br />
a) Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke in der From x + i y: e i , i i , sin<br />
(<br />
π(1+i)<br />
b) Finden Sie alle Werte von (−32) 1/5 . Wie lautet deshalb die allgemeine Lösung der<br />
Differentialgleichung d 5 x(t)/dt 5 − 32x(t) = 0?<br />
c) Finden Sie mit Hilfe der komplexen Zahlen eine Formel, die sin 3x als Polynom in<br />
sin x ausdrückt.<br />
d) Welche Punktmenge in der komplexen z-Ebene wird durch die Gleichung<br />
zz ∗ + Bz + B ∗ z ∗ + C = 0<br />
mit reellem C und komplexem B mit BB ∗ > C beschrieben?<br />
Aufgabe 21: Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen<br />
Betrachten Sie für z = x + iy die komplexe Funktion f : C → C: f(z) = u(x, y) + iv(x, y).<br />
f heisst komplex differenzierbar in z 0 , wenn der folgende Grenzwert existiert<br />
f(z) − f(z 0 )<br />
lim<br />
=: f ′ (z 0 ).<br />
z→z 0 z − z 0<br />
a) Zeigen Sie, dass komplex differenzierbare Funktionen die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen<br />
erfüllen:<br />
4<br />
)<br />
.<br />
∂u<br />
∂x (x 0, y 0 ) = ∂v<br />
∂y (x 0, y 0 ),<br />
∂v<br />
∂x (x 0, y 0 ) = − ∂u<br />
∂y (x 0, y 0 ).<br />
b) Ist C ein Weg in C, der durch eine stückweise stetig differenzierbare Funktion z(t),<br />
t ∈ [0, 1], parametrisiert wird, so definiert man das Kurvenintegral über C durch<br />
∫<br />
∫ 1<br />
f(z) dz := f(z(t))z ′ (t) dt.<br />
C<br />
0<br />
Sei nun f überall komplex differenzierbar und f ′ stetig. Zeigen Sie mit dem Satz von<br />
Stokes (oder mit dem Satz von Gauß, der in zwei Dimensionen äquivalent dazu ist),<br />
dass für einen geschlossenen Weg C gilt:<br />
∮<br />
f(z) dz = 0.<br />
C
Bemerkung: Dieser Satz ist in der Mathematik als Cauchy’scher Integralsatz bekannt.<br />
Er wird dort unter wesentlich schwächeren Bedingungen bewiesen, allerdings mit<br />
anderen Mitteln. Dabei benötigt man die Voraussetzung, dass f stetig ist, nicht.<br />
Auch braucht der Weg nicht durch eine stückweise stetig differenzierbare Funktion<br />
parametrisiert zu werden; es genügt, wenn er eine endliche Länge hat. Die<br />
Beschränkung auf die hier zu beweisende schwache Version des Satzes bedeutet aber<br />
nur einen Verlust an theoretischer Einsicht, die praktische Nützlichkeit bleibt voll<br />
erhalten.<br />
Hinweis: Fassen Sie den Real- und Imaginärteil von ∮ f(z) dz auf als ∮ A(r)·dr oder<br />
als ∮ rotA(r) · n df.<br />
c) Die Aussage von b) braucht nicht mehr zu gelten, falls es im Inneren des Weges C<br />
Stellen gibt, an denen f nicht komplex differenzierbar ist (Singularitäten). Berechnen<br />
Sie ∮ dz<br />
über einen Kreis um 0 mit Radius 1 in positivem Umlaufsinn.<br />
C z<br />
Aufgabe 22: Funktionentheorie in der Elektrostatik<br />
Es sei f(z) = u(x, y) + iv(x, y) eine komplex differenzierbare Funktion mit z = x + iy.<br />
a) Zeigen Sie: u und v sind harmonische Funktionen, d.h. sie erfüllen die Laplace-<br />
Gleichung ∆u = ∆v = 0, und es gilt: ∇u · ∇v = 0. Die Linien u = konst. in der<br />
komplexen Ebene verlaufen also überall senkrecht zu den Linien v = konst.<br />
b) Anwendung auf die Elektrostatik:<br />
Ist u = φ ein elektrostatisches Potential, so sind die Linien v = konst. elektrische<br />
Feldlinien, und entsprechend für v = φ. Wählen Sie speziell f(z) = z 2 und bestimmen<br />
Sie mit der Wahl φ = u das elektrische Feld einer geladenen metallischen Kante und<br />
mit der Wahl φ = v das elektrische Feld einer sogenannten Quadrupol-Linse. Fertigen<br />
Sie jeweils eine Skizze an.<br />
Aufgabe 23: Konforme Abbildungen<br />
Die Funktion w = f(z) bildet ein Gebiet G in der komplexen z-Ebene (z = x + iy) auf<br />
ein Gebiet G ′ in der komplexen w-Ebene (w = u + iv) ab. Skizzieren Sie für die folgenden<br />
Funktionen jeweils G und G ′ :<br />
(i) f(z) = iz und G ist das Rechteck 0 < x < a, 0 < y < b,<br />
(ii) f(z) = 1/z und G ist der Halbkreis 0 < r < 2, 0 < ϕ < π,<br />
(iii) f(z) = e z und G ist das Rechteck 0 < x < 1, 0 < y < π/2.<br />
Bemerkung: Eine Abbildung f heisst konform, wenn sie glatte Wege in glatte Wege überführt<br />
und bijektiv auf G ′ = f(G) abbildet.
Denksport (freiwillig)<br />
Schatzsuche in der komplexen Ebene<br />
Auf einer alten Karte einer kleinen Wüsteninsel mit nur zwei Bäumen und einem Brunnen<br />
findet sich folgende Beschreibung der Lage eines vergrabenen Schatzes:<br />
Gehe vom Brunnen zum Eichbaum und zähle die Schritte. Wende Dich am Eichbaum nach<br />
links (um 90 ◦ ) und gehe noch einmal so weit. An dieser Stelle schlage einen Pfahl in den<br />
Boden. Gehe <strong>zur</strong>ück zum Brunnen. Gehe <strong>zur</strong> Kiefer, zähle die Schritte, wende Dich nach<br />
rechts (um 90 ◦ ) und gehe noch einmal so weit. Schlage einen Pfahl in den Boden. Genau<br />
in der Mitte zwischen beiden Pfählen grabe nach dem Schatz!<br />
Ein junger Abenteurer macht sich auf den weiten Weg und findet auf der Insel tatsächlich<br />
den Eichbaum und die Kiefer. Doch auch nach langem Suchen sieht er keine Spur mehr<br />
von dem Brunnen. Mit leeren Händen will er die Heimreise aber nicht antreten. Muss er<br />
resignieren?