pdf - Physikzentrum der RWTH Aachen

Simulationsstudien zur Myonenproduktion in
hadronischen Kaskaden in Eis mit Geant4
von
Jacob Leuner
Bachelorarbeit in P H Y S I K
vorgelegt der
Fakultät für Mathematik, Informatik und
Naturwissenschaften
der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen
im
Juli 2013
angefertigt am
III. Physikalischen Institut B
Prof. Dr. Christopher Wiebusch

Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 2
2. Detektion von Neutrinos mit Tscherenkowteleskopen 4
2.1. Neutrinowechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Propagation geladener Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1. Myonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2. Elektromagnetische und hadronische Kaskaden . . . . . . . . . . . 6
2.3. Tscherenkowlicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Simulationen von Kaskaden in Eis mit Geant4 9
3.1. Konfiguration von Geant4 zur Durchführung der Simulationen . . . . . . . 9
3.2. Berechnung von Ertrag und Winkelverteilung der Tscherenkowphotonen . 11
4. Parameterisierung der simulierten Daten 13
4.1. Anzahl der Sekundärmyonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2. Entstehungsposition der Sekundärmyonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3. Reichweite der Sekundärmyonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Schlussbetrachtung 25
A. Anhang 31

1. Einleitung
Die Erdatmosphäre wird permanent von kosmischen Teilchen getroffen. Bei der Suche
nach den Quellen dieser höchstenergetischen kosmischen Strahlung sind Neutrinos ideale
Botenteilchen [1]. Als elektrisch neutrale und nur schwach wechselwirkende Elementarteilchen
durchqueren sie dichte Materie nahezu ungehindert und werden nicht in interstellaren
Magnetfeldern abgelenkt. Damit ist es möglich andernfalls nicht zugängliche
Bereiche des Universums zu beobachten. Diese idealen Eigenschaften für Botenteilchen
machen allerdings ihre Detektion zu einer Herausforderung.
Detektion von Neutrinos geschieht über das Tscherenowlicht, das von Sekundärteilchen
aus Neutrinowechselwirkungen erzeugt wird. Das Tscherenkowlicht lässt sich in einem
transparenten Medium mit einem Gitter aus Photoelektronenvervielfachern messen. Ein
Beispiel für einen solchen Neutrinodetektor ist das IceCube Neutrino Observatory [2].
Es befindet sich nahe der Scott-Amundsen-Station am Südpol. Dieser Standort wurde
gewählt, da das Eis am Südpol optisch sehr klar ist und ein großes instrumentalisierbares
Volumen zur Verfügung steht. Um Störsignale wie atmosphärische Myonen zu minimieren,
wurden in einer Tiefe von 1450 bis 2450 Metern in 1 km 3 Eis 86 Kabel mit je 60
digitalen optischen Modulen (DOM) eingelassen (siehe Abbildung 1.1). Ein DOM besteht
aus digitaler Elektronik sowie einem Photoelektronenvervielfacher. Sie geben bei
der Detektion von Licht ein Signal ab, welches mit einer genauen Zeitangabe versehen
wird. So kann aus den Signalen mehrerer Module über das gemessene Tscherenkowlicht
die Spur eines Neutrinos rekonstruiert werden.
Für die Rekonstruktion einer Neutrinospur benötigt man genaue Informationen über
die bei Neutrinowechselwirkung entstehenden Kaskaden und deren Tscherenkowlichterzeugung.
Die Simulation und Parameterisierung dieser hadronischen und elektromagnetischen
Kaskaden in Energiebereichen über 30 GeV wurden in einer Masterarbeit [3] und
Veröffentlichungen behandelt [4] [5]. Hier wurden der Tscherenkowlichtertrag elektromagnetischer
und hadronischer Kaskaden sowie Myonen in Eis simuliert. Eine genauere
Untersuchung von hadronischen Kaskaden unter 30 GeV und deren Parameterisierung
sowie die Untersuchung von sekundären Myonen in solchen Kaskaden bietet Themen für
weitere Bachelorarbeiten. Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit der Parameterisierung
von Sekundärmyonen aus hadronischen Kaskaden bei Energien von 100 GeV bis
10 TeV.
Die Kapitel Einleitung, Detektion von Neutrinos mit Tscherenkwoteleskopen und Simulationen
von Kaskaden in Eis mit Geant4 wurden in Zusammenarbeit mit Richard
Konietz verfasst.
2

Abbildung 1.1.: Schematischer Aufbau des IceCube Neutrino Observatory am Südpol. [6]
3

2. Detektion von Neutrinos mit
Tscherenkowteleskopen
Tscherenkowteleskope messen das Tscherenkowlicht, welches durch geladenen Sekundärteilchen
aus Neutrinowechselwirkungen erzeugt wird. In diesem Kapitel wird der Nachweis
hochenergetischer Neutrinos erläutert.
2.1. Neutrinowechselwirkungen
Die dominante Wechselwirkung hochenergetischer Neutrinos mit Materie ist tiefinelastische
Streuung [7]. Dabei interagiert das Neutrino mit einem Nukleus über die schwache
Wechselwirkung. Diese Wechselwirkung wird in zwei Arten unterteilt:
Bei Wechselwirkungen über das Z-Boson (neutraler Strom) entsteht ein Neutrino gleicher
Art und eine hadronische Kaskade:
ν l + N → ν l + hadronische Kaskade
Bei Wechselwirkungen über das W-Boson (geladener Strom) entsteht ein Lepton der
gleichen Generation und eine hadronische Kaskade:
ν e ( ¯ν e ) + N → e − (e + ) + hadronische Kaskade
ν µ ( ν ¯ µ ) + N → µ − (µ + ) + hadronische Kaskade
ν τ ( ¯ν τ ) + N → τ − (τ + ) + hadronische Kaskade
Diese Wechselwirkungen haben unterschiedliche Signaturen im Detektor. Sie sind in
Abbildung 2.1 dargestellt. Unabhängig von der Neutrinogeneration entsteht eine hadronische
Kaskade durch den dissoziierten Nukleus. Diese Kaskade wird durch die Signatur
des geladenen Sekundärleptons überlagert.
Bei Elektron-Neutrinos wird durch das Elektron eine elektromagnetische Kaskaden
erzeugt.
Die Myonen und Antimyonen aus Myon-Neutrino-Wechselwirkungen erzeugen eine lange
Spur im Detektor. Für hochenergetische Myonen führen lokale Energieverluste zu
elektromagnetischen und hadronischen Kaskaden, die mehr Tscherenkowlicht erzeugen
als das Myon selbst.
Die Signatur von Tau-Neutrinos ist energieabhängig. Für niedrige Energien zerfällt es
nahezu sofort und führt zu einer zweiten hadronischen Kaskade. Diese Kaskade ist experimentell
nicht von der ersten zu unterscheiden. Mit steigender Energie kann das Tauon
4

2.2. Propagation geladener Teilchen
aufgrund der Zeitdilataion eine größere Strecke zurücklegen bevor es zerfällt. Dies führt
bei hohen Energien dazu, dass die hadronischen Kaskaden räumlich getrennt gemessen
werden können. Dies bezeichnet man auch als "Double Bang". Diese Signatur wurde
bisher nicht beobachtet.
Abbildung 2.1.: Charakteristische Signaturen von Neutrinowechselwirkungen über den
geladenen Strom in Tscherenkowteleskopen. Es ist zu beachten, dass
elektromagnetische und hadronische Kaskaden ebenfalls Tscherenkowlichtquellen
sind. [8]
2.2. Propagation geladener Teilchen
2.2.1. Myonen
Myonen verlieren bei der Propagation durch Materie Energie durch Ionisation, Paarbildung,
Bremsstrahlung und Kernwechselwirkungen [9]. Für niedrige Energien überwiegt
der Energieverlust durch Ioniation. Mit steigender Energie wächst der Energieverlust
durch Paarbildung, Bremsstrahlung und Kernwechselwirkungen an. Der Gesamtenergieverlust
ist gegeben durch die Summe der Energieverluste der einzelnen Prozesse. Vereinfacht
ist der gegeben durch:
− dE = a + bE, (2.1)
dx
wobei a den Energieverlust durch Ionisation und b den Verlust durch die restlichen Strahlungsprozesse,
Paarbildung, Bremsstrahlung und Kernwechselwirkungen darstellt [10].
5

2. Detektion von Neutrinos mit Tscherenkowteleskopen
Die Parameter a und b werden als konstant angenommen, da sie nur schwach mit der
Energie variieren.
Typische Werte in Eis sind a ≈ 0.295 GeV m −1 und b ≈ 0.363 · 10 −3 m −1 [11]. Eine
Lösung dieser Differenzialgleichung ergibt die Myonenenergie als eine Funktion des
Abstandes r und der Anfangsenergie E 0
E(r, E 0 ) = (E 0 + E krit ) −br − E krit . (2.2)
Hier ist E krit = a b
≈ 710GeV die kritische Energie bei welcher Energieverluste durch
Ionisation und Strahlungsprozesse gleich sind.
2.2.2. Elektromagnetische und hadronische Kaskaden
Als elektromagnetische Kaskade bezeichnet man die lawinenartige Erzeugung von Elektronen,
Positronen und Photonen. Dabei entstehen Photonen durch Bremstrahlung der
Elektronen und der Positronen und Elektron-Positron-Paare durch Paarerzeugung der
Photonen [10]. Dieser Vorgang wiederholt sich solange, bis die Photonenenergie nicht
mehr für Paarerezeugung ausreicht, das heißt unter zweifache Elektronenmasse fällt. Eine
schematische Darstellung findet sich in 2.2. Die Gesamtanzahl der erzeugten Teilchen
innerhalb einer elektromagnetischen Kaskade ist durch die Energie des Primärteilchens
begrenzt und steigt exponentiell mit der Energie des Primärteilchens an.
Abbildung 2.2.: Schematische Darstellung einer elektromagnetischen Kaskade. [12]
Hadronische Kaskaden verhalten sich ähnlich wie elektromagnetische Kaskaden, jeodch
entstehen schwerere Hadronen innerhalb der Kaskade. Zudem können pro Wechselwirkung
mehr als zwei Teilchen entstehen. Aufgrund der höheren Masse dieser Teilchen ist
die Gesamtzahl aller Teilchen einer hadronischen Kaskade geringer als die einer elektromagnetischen
Kaskade bei gleicher Primärenergie. Ein Teil der entstehenden Teilchen ist
6

2.3. Tscherenkowlicht
ungeladen, wie zum Beispiel Neutronen oder ungeladene Pionen. Enstandene Neutronen
zerfallen wieder in geladene Teilchen, tragen aber zur Erzeugung von Tscherenkowlicht
nicht selbst bei. Entsteht ein π 0 innerhalb einer hadronischen Kaskade, zerfällt es nahezu
sofort in zwei Photonen, aus welchen dann elektromagnetische Kaskaden hervorgehen.
Mit steigender Energie des auslösenden Teilchens entstehen im Laufe der hadronischen
Kaskade mehr π 0 und die hadronische Kaskade nimmt die Form einer elektromagnetischen
Kaskade an. Das erzeugte Tscherenkowlicht einer hadronischen Kaskade ist geringer
als das einer elektromagnetischen Kaskade.
Da die Schwankung des Tscherenkowlichtertrages elektromagnetischer Kaskaden im
Vergleich zu einer hadronischen Kaskaden gering ist, bietet sich die Einführung eines
Skalierungsfaktors von hadronischen und elektromagnetischen Kaskaden F an. Dieser
stellt das Verhältnis der Tscherenkowlicherträge dar und ermöglicht eine genauere Parameterisierung
der Tscherenkowlichterzeugung hadronischer Kaskaden.
2.3. Tscherenkowlicht
Ein geladenes Teilchen erzeugt Tscherenkowlicht, wenn es mit einer Geschwindigkeit
durch ein Medium propagiert, die größer ist als die Phasengeschwindigkeit des Lichts
im betreffenden Medium, also
β ≥ c med
c vac
= 1 n , (2.3)
wobei β die Geschwindigkeit des Teilchens, c med die Lichtgeschwindigkeit im Medium
und c vac die Vakuumlichtgeschwindigkeit, jeweils in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit
und n der Brechungsindex des Mediums ist. Ein geladenes Teilchen polarisiert die Atome
entlang seiner Spur. Fallen die polarisierten Atome in ihren Grundzustand zurück
emmitieren sie Dipolstrahlung [13]. Die Erzeugung von Tscherenkowlicht nach dem Huygensschen
Prinzip ist in Abbildung 2.3 zu sehen. jeder Punkt entlang der Teilchenspur ist
der Ausgangspunkt einer Elementarwelle, welche sich bei ausreichender Geschwindigkeit
konstruktiv überlagern. Der halbe Öffungswinkel des so entstehenden Lichtkegels ist der
Tscherenkowwinkel θ C . Er ist gegeben durch
cos(θ C ) = 1
βn , (2.4)
wobei n der Brechungsindex und β = v c
die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit
ist [10].
Die Anzahl der enstehenden Photonen ist gegeben durch die Frank-Tamm-Formel
d 2 N
dλdx = 2πα f z 2
λ 2 sin 2 (θ C ) = 2πα f z 2 (
λ 2 1 − 1 )
β 2 n 2 , (2.5)
wobei α f die Feinstrukturkonstante, z die Ladung des Teilchens in Einheiten der Elementarladung
und λ die Wellenlänge der entstehenden Tscherenkowphotonen ist [14].
7

2. Detektion von Neutrinos mit Tscherenkowteleskopen
ct/n
βct
Θ c
Abbildung 2.3.: Prinzip der Tscherenkowlichtproduktion anhand des Huygensschen Prinzips
erklärt.
8

3. Simulationen von Kaskaden in Eis mit
Geant4
In diesem Kapitel wird die Simulation von hadronischen Kaskaden durch Geant4 behandelt.
Geant4 ist ein Softwarepaket zur Simulation von Teilchenpropagation in Materie
[15]. Für eine Simulation muss vom Benutzer die Detektorgeometrie, das Detektormaterial,
die zu simulierenden Wechselwirkungen beziehungsweise Wechselwirkungsmodelle
sowie das Primärteilchen defeiniert werden. Die zur Simulation von hadronischen Kaskaden
verwendete Konfiguration wird im folgenden erläutert.
3.1. Konfiguration von Geant4 zur Durchführung der
Simulationen
60m
40m
y
z
x
Abbildung 3.1.: Geometrie des für die Simulation benutzten Detektors. [5]
*
Als Detektormaterial wird Eis verwendet. Eis ist kein vordefiniertes Element in Geant4.
Die verwendete Definietion von Eis ist eine Kombination aus Wasserstoff und Sauerstoff
im Massenverhältnis 11, 19% zu 88, 81%. Die Dichte beträgt 0, 91
g und es wurde ein
cm 3
für Eis typischer Brechungsindex von n = 1, 33 verwendet.
Die Detektorgeometrie der Simulation ist in Abbildung 3.1 dargestellt. Als Detektor
wurde ein Zylinder mit einem Durchmesser von 60 m und einer Höhe von 40 m benutzt. In
9

3. Simulationen von Kaskaden in Eis mit Geant4
diesen Zylinder wird vom Zentrum der Bodenfläche das Primärteilchen mit einer festgelegten
Energie injiziert. Von entstehenden sekundären Teilchen werden für jedes einzelne
Spursegment die Spurlänge l i , die Geschwindigkeit β i und der Winkel α i relativ zur
Z-Achse, die der initialen Richtung entspricht abgespeichert.
primary
charged particle
neutral particle
β 5 ,l 5
α 4
β 4 ,l 4
α 2
β 1 ,l β 2 ,l 2 1
β 3 ,l 3
α 5
α 3
α 7
α 1
β 7 ,l 7
β 6 ,l 6
β 8 ,l 8
α 6α8
α 9
β 9 ,l 9
Abbildung 3.2.: Simulationsprinzip einer hadronischen Kaskade. Das Primärteilchen ist
blau, geladene Sekundärteilchen rot und neutrale Sekundärteilchen grün
dargestellt [5]
In Abbildung 3.2 ist das Simulationsprinzip einer hadronischen Kaskade dargestellt.
Das Primärteilchen (blau) erzeugt in einer Wechselwirkung ein geladenens Teilchen (rot)
sowie ein neutrales Teilchen (grün). Diese Teilchen können weiter wechselwirken und dabei
weitere Teilchen erzeugen. Die Teilchenspuren werden zwischen Wechselwirkungen als
gerade Spuren simuliert. Zur Bestimmung des Tscherenkowlichts werden für alle Spursegmente
geladener Teilchen die Länge l i , die Geschwindigkeit β i sowie der Winkel α i
gespeichert. Der Winkel α ist der Winkel zwischen der Flugrichtung des Teilchens und
der initialen Richtung des Primärteilchens. Weiterhin werden Myonen mit einer Energie
unter 1 GeV gesondert abgespeichert, um diese separat betrachten zu können. Zur
Beschreibung aller physikalischen Vorgänge während der Simulation wird eine physicslist
benötigt. In ihnen werden alle zu simulierenden Wechselwirkungen und Teilchen definiert.
Die standardmäßig benutzte physicslist dieser Simulationen ist die Referenzphysikliste
QGSP_BERT_EMY [15]. Zu Vergleichszwecken wurden Simulationen mit weiteren Refenzphysiklisten
QGSP, FTFP_BERT und FTFP_BERT_EMY durchgeführt. QGSP
steht hierbei für Quark-Gluon-String-Modell und FTFP für das Fritjof-Precompound-
Modell. Der Zusatz BERT bedeutet, dass im Energiebereich unter 9, 9 GeV das Bertini-
Kaskaden-Modell zur Simulation benutzt wird. Der Zusatz EMY definiert die benutzte
Liste für elektromagnetische Wechselwirkungen [15].
Zur Erzeugung hadronischer Kaskaden werden als Primärteilchen die Mesonen π + ,
π − und KL 0 und die Baryonen (Anti-)Proton und Neutron benutzt. Elektromagnetische
Kaskaden zum Vergleich wurden mit Elektronen erzeugt. Desweiteren wurden Kaskaden
mit π 0 erzeugt, um sie mit den elektromagnetischen Kaskaden zu vergleichen.
10

3.2. Berechnung von Ertrag und Winkelverteilung der Tscherenkowphotonen
Entstehen sekundäre Myonen mit einer Energie über 1 GeV, so werden diese separat
gezählt und Informationen über ihre Anzahl und Energie gespeichert. Zudem wird der
Entstehungsort des Myons relativ zur Z-Achse für α und relativ zum Eintrittspunkt für
Z gespeichert. Da diese Myonen zur hadronischen Kaskade nicht mehr beitragen, werden
sie nicht weiter propagiert und sie müssen separat parametrisiert werden.
3.2. Berechnung von Ertrag und Winkelverteilung der
Tscherenkowphotonen
Zur Berechnung des Tscherenkowlichts eines Spursegmentes verwendet man die integrierte
Frank-Tamm-Formel
dN
dλ = 2πα f z 2 (
λ 2 l 1 − 1 )
n 2 β 2 . (3.1)
Daraus ergibt sich, dass die Anzahl der Tscherenkowphotonen proportional zur Spurlänge
l ist. Ein Teilchen mit einem β < 1 erzeugt weniger Photonen entlang der Spurlänge l als
ein Teilchen mit β = 1. Betrachtet werden hierbei nur Teilchen, welche die Bedingung 2.3
erfüllen. In Eis liegt die untere Grenze zur Erzeugung von Tscherenkowlicht bei β min =
0, 752. Teilchen mit geringerem β erzeugen kein Tscherenkowlicht.
Zur Bestimmung der Gesamtzahl der Tscherenkowphotonen und des Lichtertrages eines
hadronischen Schauers wird die Gesamtspurlänge benötigt. Dazu werden die skalierten
Spurlängen ˆl aller geladenen Teilchen zur Gesamtspurlänge W aufsummiert. Bei der
Skalierung wird l mit dem Frank-Tamm-Faktor an die Spurlänge eines Teilchens mit
β = 1 angepasst.
ˆl = l
sin 2 (θ C )
sin 2 (θ C,0 ) , (3.2)
wobei sin 2 (θ C,0 ) = 1 − 1 n 2 . ˆl entspricht der Spurlänge eines relativistischen Teilchens,
welches die gleiche Anzahl an Photonen emmitiert, wie das unskalierte Teilchen auf der
Länge l.
Die Gesamtspurlänge W einer hadronischen Kaskade ist direkt proportional zur Anzahl
der entstehenden Tscherenkowphotonen. Der in Kapitel 2.2.2 Skalierungsfaktor F ist das
Verhältnis der Tscherenkowlichterträge einer elektromagnetischen und einer hadronischen
Kaskade mit gleicher Primärteilchenenergie. Der Skalierungsfaktor wird definiert als:
F = W had
W em
, (3.3)
wobei W had die Gesamtspurlänge einer hadronischen Kaskade und W em die Gesamtspurlänge
einer elektromagnetischen Kaskade ist. F kann durch die elektromagnetischen
Anteil F em und den hadronischen Anteil F had einer Kaskade beschrieben werden:
F = F em + f 0 F had = F em + f 0 (1 − F em ), (3.4)
wobei f 0 das Verhältnis von hadronischem und elektromagnetischem Lichtertrag einer
Kaskade ist und F em + F had = 1 [16]. F em und F had sind hierbei die Anteile der Primärenergie
E 0 , welche zur elektromagnetischen beziehungsweise hadronischen Prozessen in
11

3. Simulationen von Kaskaden in Eis mit Geant4
einer Kaskade beitragen. Die Energieabhängigkeit von F em kann wie folgt beschrieben
werden
( ) −m E0
F em = 1 − , (3.5)
E s
wobei E 0 die Energie des Primärteilchens, E s eine Skalenenergie und m ein freier Parameter
ist.
Für die Berechnung der Richtungsverteilung des Tscherenkowlichts einer Kaskade wird
die in [4] eingeführte Transformation benutzt. Sie nutzt als Eingabe ein zweidimensionales
Histogramm, welches die Spurlänge l i,j eines Teilches abhängig von seinem Zenitwinkel
α i und seiner relativen Geschwindigkeit β j enthält. Abbildung 3.3 zeigt ein Beispiel eines
solchen Histogrammes. Aus diesem Histogramm wird der Zenitwinkel Φ der Tscherenkowphotonen
berechnet. Eine Vorraussetzung für diese Transformation ist eine azimutale
Symmetrie der hadronischen Kaskade. Durch diese Transformationsmethode kann Rechenzeit
eingespart werden, da keine einzelnen Tscherenkowphotonen simuliert werden
müssen.
Grad
Zenitwinkel α
180
160
140
120
100
80
60
40
10
1
10 -1
10 -2
-3
10
10 -4
-5
10
cm
0.002 0.5 Grad
zusaetzliche Weglaenge
20
-6
10
0
0.8 0.85 0.9 0.95 1
Geschwindigkeit β
Abbildung 3.3.: Ein beispielhaftes Histogramm der Spurlänge l, anhängig von dem Zenitwinkel
α und der relativen Geschwindigkeit β.
12

4. Parameterisierung der simulierten
Daten
In diesem Kapitel sollen die in hadronischen Kaskaden entstehenden Sekundärmyonen
genauer untersucht werden. Dazu werden die Anzahl der pro Kaskade entstandenen Myonen
mit einer Energie von E 1 GeV sowie deren Entstehungspositionen innerhalb des
Detektor-Zylinders und ihre Reichweiten parameterisiert. Als Primärteilchen, welche die
Kaskaden erzeugen, wurden p, ¯p, n, π + , π − und KL 0 , jeweils mit Primärenergien von 100
bis 10000 GeV, genutzt. Die Werte wurden für jede einzelne Kaskade gespeichert und
dann für die jeweilige Energie histogrammiert.
4.1. Anzahl der Sekundärmyonen
E [GeV] 100 200 300 400 700 1000 2000 3000 4000 7000 10000
p 109 168 242 272 639 609 1209 1778 2168 3422 4627
¯p 103 192 241 337 553 779 1307 1873 2283 3726 5057
n 104 178 222 308 487 666 1159 1692 2140 3416 4559
π + 94 140 213 261 410 609 984 1527 1963 3006 4241
π − 81 149 251 261 454 610 1072 1503 1888 3054 4178
KL 0 82 170 243 286 445 577 1045 1513 1889 3088 4206
Tabelle 4.1.: Gesamtanzahl der in jeweils 1000 Kaskaden entstandenen Sekundärmyonen
für verschiedene Primärenergien und Primärteilchen
Wie in Tabelle 4.1 zu sehen ist, steigt die Gesamtanzahl der Sekundärmyonen mit
der Primärenergie stark an, ist aber nahezu unabhängig vom Primärteilchen. Da mit
steigender Primärenergie die Gesamtanzahl der Teilchen pro Kaskade zunimmt, ist dieses
Verhalten zu erwarten.
Abbildung 4.1 zeigt beispielhaft die relative Häufigkeit der Anzahl der pro Kaskade
entstandenen sekundären Myonen für Kaskaden aus Baryonen bei Primärenergien von
400 GeV und 4000 GeV. Die Anzahl ist für alle Primärenergien und -teilchen poissonverteilt,
wobei die mittlere Anzahl mit höheren Primärenergien ansteigt. Mit Baryonen
als Primärteilchen ist die wahrscheinlichste Anzahl von Sekundärmyonen pro Kaskade
bei Primärenergien von 100 GeV bis einschließlich 1000 GeV Null. Mit Mesonen als Primärteilchen
ist dies bis einschließlich 2000 GeV der Fall. Mit höheren Energien steigt die
wahrscheinlichste Anzahl sekundärer Myonen an, bis sie schließlich bei 10000 GeV vier
(Mesonen) bzw. fünf (Baryonen) beträgt.
13

4. Parameterisierung der simulierten Daten
Abbildung 4.1.: Relative Häufigkeit der Anzahl an Sekundärmyonen für 400-GeV-
Baryonen (links) und 4000-GeV-Baryonen (rechts)
Während bei einer Primärenergie von 100 GeV die maximale Anzahl an Sekundärmyonen
pro Kaskade vier beträgt, entstehen in Kaskaden mit Primärenergien von 10000 GeV
bis zu 16 Myonen.
Die Anzahl wurde jeweils mit einer Poisson-Verteilung
f λ (N) = λN
N! · e−λ (4.1)
parameterisiert, wobei f die relative Häufigkeit, N die Anzahl der Sekundärmyonen pro
Kaskade und λ der Parameter der Poisson-Verteilung ist. Zwei Beispiele solcher Plots
sind in Abbildung 4.2 zu sehen.
Abbildung 4.2.: Relative Häufigkeit der Anzahl an Sekundärmyonen für 400-GeV-
Baryonen (links) und 4000-GeV-Baryonen (rechts). Zusätzlich eingezeichnet
sind die Parameterisierungen durch Gleichung 4.1.
14

4.1. Anzahl der Sekundärmyonen
Die sich daraus ergebenden Parameter wurden als Funktion der Primärenergie aufgetragen
und mit der Funktion
λ(E) = a · E b (4.2)
parameterisiert. Eine Poissonverteilung ist durch einen Parameter vollständig beschrieben,
für die Standardabweichung gilt ¯N = λ und σ ¯N = √ λ.
Zur Einschätzung der Schwankung der mittleren Anzahl an Myonen pro Kaskade wurde
der Bereich [ ¯N − σ ¯N, ¯N + σ ¯N] farblich markiert.
Abbildung 4.3.: Parameter der Poissonverteilungen als Funktion der Primärenergie am
Beispiel von ¯p (links) und π − (rechts). Der farblich hinterlegte Bereich
entspricht dem Intervall [ ¯N − σ ¯N, ¯N + σ ¯N].
Die Ergebnisse dieser Parameterisierung sind in Tabelle 4.2 zusammengefasst. Wie
erwartet steigt der Mittelwert mit der Primärenergie an, der Exponent liegt für alle
Primärteilchen im positiven Bereich von etwa 0,83 bis 0,86.
Primärteilchen a b
p 0,00185 0,85109
¯p 0,00231 0,83419
n 0,00194 0,84290
π + 0,00150 0,85609
π − 0,00184 0,83412
KL 0 0,00184 0,83381
Tabelle 4.2.: Ergebnisse der Parameterisierung der mittleren Anzahl an Sekundärmyonen
pro Kaskade durch Gleichung 4.1
15

4. Parameterisierung der simulierten Daten
4.2. Entstehungsposition der Sekundärmyonen
Die Position, an der in hadronischen Kaskaden ein sekundäres Myon entsteht, wird in
zwei Variablen abgespeichert: Die Z-Position, welche die Z-Koordinate des entstandenen
Myons im Detektor-Zylinder angibt sowie der Radius, der den senkrechten Abstand zur
Z-Achse beschreibt (vergleiche Abb. 3.1).
Abbildung 4.4.: Verteilung des Radius für Kaskaden aus Baryonen mit 1000 GeV (links)
und 10000 GeV (rechts)
Abbildung 4.4 zeigt beispielhaft die Häufigkeitsverteilungen des Radius für Kaskaden
aus Baryonen mit Primärenergien von 1000 und 10000 GeV. Wie zu sehen ist, ist die Form
der Verteilung weitgehend unabhängig von Primärteilchen und -energie. Die meisten
Myonen entstehen nahe der Z-Achse, dann folgt ein starker Abfall zu größeren Radien.
Diese Form der Verteilung der Radien ist zu erwarten, da an der Z-Achse, also an der
Flugbahn des Primärteilchens, die Teilchendichte am höchsten ist. Mit steigender Primärenergie
entstehen insgesamt mehr Teilchen mit höheren Energien, wodurch die Kaskade
länger und auch breiter wird. Der maximale Radius steigt also mit der Primärenergie an.
Es entstehen jedoch nur vereinzelt Myonen bei großen Radien von R > 150 cm, sodass
die relative Häufigkeit nahezu unverändert bleibt.
Die Radiusverteilungen wurden für die verschiedenen Primärenergien und -teilchen
zunächst durch die Funktion N(R) = A ( cm) R −B + C parameterisiert.
1
Da der Parameter C dieser Funktion jedoch nur um wenige
1000
um den Wert −1
schwankte, wurde als endgültige Parameterisierung
N(R) = A ( R
cm) −B − 1 (4.3)
gewählt. Zwei Beispiele einer solchen Parameterisierung sind in den Abbildungen 4.5 und
4.6 zu sehen.
Die sich daraus ergebenden Parameter A und B wurden als Funktion der Energie
aufgetragen. Dies ist beispielhaft in den Abbildungen 4.7 für Neutronen und 4.8 für π +
dargestellt.
16

4.2. Entstehungsposition der Sekundärmyonen
Abbildung 4.5.: Parameterisierung nach Gleichung 4.3 der in Abbildung 4.4 gezeigten
Verteilungen für Kaskaden aus Baryonen mit 1000 GeV
Abbildung 4.6.: Parameterisierung nach Gleichung 4.3 der in Abbildung 4.4 gezeigten
Verteilungen für Kaskaden aus Baryonen mit 10000 GeV
17

4. Parameterisierung der simulierten Daten
Abbildung 4.7.: Auftragung der Parameter A (links) und B (rechts) der Radiusverteilung
gegen die Primärenergie für Kaskaden aus Neutronen nach Gleichung 4.3
Abbildung 4.8.: Auftragung der Parameter A (links) und B (rechts) der Radiusverteilung
gegen die Primärenergie für Kaskaden aus π + nach Gleichung 4.3
Die Parameter haben keine klar erkennbare Energieabhängigkeit, sondern liegen in
einem kleinen Bereich um einen Mittelwert, was bedeutet, dass die Form der Verteilung
unabhängig von der Primärenergie ist. Die Abweichung vom Mittelwert nimmt mit
steigenden Primärenergien ab. Dies kann auf die geringe Statistik bei kleinen Energien
zurückgeführt werden, da weitaus weniger Sekundärmyonen entstehen.
Die Ergebnisse der Parameterisierung sind in den Tabellen 4.3 und 4.4 zusammengefasst.
Zusätzlich wurden für jeden Parameter Mittelwert und Standardabweichung berechnet.
18

4.2. Entstehungsposition der Sekundärmyonen
E [GeV] p ¯p n π + π − KL
0
100 5,20142 15,32569 10,21953 4,20582 6,87427 3,03704
200 5,46293 8,94164 4,48072 5,14417 7,05504 7,46233
300 4,57956 3,92138 6,43915 5,24418 6,25692 4,79843
400 6,91463 5,73139 5,12675 6,24679 7,72997 6,10050
700 3,83739 6,46067 5,41244 8,36781 6,20292 6,24192
1000 6,24449 5,52902 6,69851 6,40955 6,70547 4,75540
2000 6,41082 8,31374 6,55957 5,22832 6,89994 7,23882
3000 6,68006 7,00612 8,17038 7,79745 5,45599 6,69796
4000 7,51343 6,60758 6,25991 6,91547 7,98292 8,09710
7000 5,19653 7,38412 6,71704 6,60682 6,17867 7,18594
10000 7,03046 7,19190 6,43551 6,89761 6,90197 7,09260
Ā 5,91561 7,49211 6,59268 6,27855 6,74946 6,24619
σ A 1,14315 2,93308 1,54377 1,23866 0,71971 1,49439
Tabelle 4.3.: Ergebnisse des Parameters A der Parameterisierung der Radiusverteilungen
E [GeV] p ¯p n π + π − KL
0
100 0,87580 1,09153 1,01369 0,84011 0,95651 0,71518
200 0,90150 0,99538 0,85478 0,87908 0,94378 0,95399
300 0,86143 0,81417 0,95333 0,89085 0,92469 0,86934
400 0,95551 0,92052 0,89509 0,93932 0,96604 0,92353
700 0,82440 0,92517 0,90900 1,00254 0,93072 0,93925
1000 0,93531 0,92639 0,92952 0,93964 0,95964 0,86699
2000 0,93878 0,99558 0,95310 0,90955 0,97218 0,96820
3000 0,96234 0,96392 1,00527 0,98606 0,91131 0,95628
4000 0,98503 0,95752 0,94550 0,96847 0,99556 0,99536
7000 0,90980 0,98356 0,95986 0,95263 0,95113 0,97453
10000 0,97903 0,98762 0,95625 0,97067 0,97315 0,97273
¯B 0,92081 0,96012 0,94322 0,93445 0,95316 0,92140
σ B 0,05130 0,06806 0,04579 0,04964 0,02436 0,07995
Tabelle 4.4.: Ergebnisse des Parameters B der Parameterisierung der Radiusverteilungen
Es ist zu erkennen, dass der Parameter A weitaus größeren Schwankungen unterliegt
als B und als Folge davon mit relativen Unsicherheiten von bis zu 39, 1% behaftet ist.
Auch liegt A für die verschiedenen Primärteilchen weiter auseinander als B.
Parameter B hingegen bewegt sich für alle Primärteilchen und -energien in einem sehr
kleinen Bereich und hat relative Unsicherheiten von etwa 5%.
19

4. Parameterisierung der simulierten Daten
Abbildung 4.9.: Verteilung der Z-Position für Baryonen mit 1000 GeV (links) und
10000 GeV (rechts)
Die Z-Positionen ähneln Gamma-Verteilungen. Da das Longitudinalprofil hadronischer
Kaskaden einer Gamma-Verteilung folgt, ist dies zu erwarten [10]. Für die Parameterisierung
der Z-Position wurde aus den Histogrammen der Median berechnet. Außerdem
wurden zur Bestimmung der Schwankung das 0,16-Quantil und das 0,84-Quantil berechnet,
sodass 68% aller Einträge der Histogramme zwischen den beiden Quantilen liegen.
Der Median sowie die Quantile wurden gegen die Energie aufgetragen, es ergab sich
folgende Form:
Abbildung 4.10.: Energieabhängigkeit des Z-Medians für ¯p (links) und π − (rechts).
Im farblich hinterlegten Bereich befinden sich jeweils 68% der
Histogrammdaten.
20

4.3. Reichweite der Sekundärmyonen
Die aus den Histogrammen berechneten Mediane wurden für jedes Primärteilchen mit
einer Funktion der Form
( )
Z(E)
E −c
cm
= a − b · (4.4)
GeV
parameterisiert. Die Ergebnisse dieser Parameterisierung sind in Tabelle 4.5 dargestellt.
Primärteilchen a b c
p 1, 86074 · 10 2 1, 14557 · 10 −1 −3, 13425 · 10 1
¯p 3, 82916 · 10 1 2, 02408 · 10 −1 2, 29299 · 10 2
n 5, 47419 · 10 5 9, 56090 · 10 −5 −5, 47366 · 10 5
π + 1, 99530 · 10 2 1, 12565 · 10 −1 1, 99058 · 10 −1
π − 3, 60951 · 10 5 1, 39699 · 10 −4 −3, 60871 · 10 5
KL 0 3, 33736 · 10 5 1, 13864 · 10 −4 −3, 33595 · 10 5
Tabelle 4.5.: Ergebnisse der Parameterisierung der Z-Mediane
4.3. Reichweite der Sekundärmyonen
Die Reichweite der Sekundärmyonen wird in der Simulation nicht gespeichert und muss
daher separat berechnet werden. Da Myonen beim Durchgang durch Materie, in diesem
Falle Eis, Energie verlieren, ist ihre Reichweite von ihrer Energie bei der Entstehung
abhängig. Um die Reichweite zu berechnen, stellt man Formel 2.2 um und es ergibt sich
R(E 0 ) = 1 (1
b ln + b )
a · E 0 , (4.5)
wobei R die Reichweite, E 0 die anfängliche Energie des Myons und a ≈ 0.295 GeV m −1
und b ≈ 0.363 · 10 −3 m −1 Materialkonstanten des Eises sind [11]. Hierbei wurde vereinfacht
angenommen, dass die Myonen so lange existieren, bis ihre Energie Null ist.
Hier ist zu beachten, dass die Myonen vorher zerfallen können, was hier nicht berücksichtigt
wurde. Die nach der Simulation gespeicherten Energieverteilungen wurden so in
Reichweitenverteilungen umgerechnet.
21

4. Parameterisierung der simulierten Daten
Abbildung 4.11.: Verteilung der Myon-Energien für Kaskaden aus 1000-GeV-Mesonen
(links) und daraus errechnete Reichweitenverteilung (rechts)
In Abbildung 4.11 ist die Energieverteilung aus sekundären Myonen von 1000-GeV-
Mesonen sowie die daraus errechnete Reichweitenverteilung zu sehen. Die mit Abstand
häufigste Energie ist die Grenzenergie 1 GeV, dann folgt ein starker Abfall zu höheren
Energien. Dieser Verlauf zeigt sich auch in den Reichweitenverteilungen, wobei der häufigste
Wert R ≈ 3, 85 m ist, was der Reichweite eines Myons mit E = 1 GeV entspricht.
Die Form der Reichweitenverteilungen ist nahezu unabhängig von Primärteilchen und
-energie, sie wurden mit folgender Funktion parameterisiert:
N(R) = A ( R
cm) −B − 1 (4.6)
Zwei Beispiele solcher Plots sind in Abbildung 4.12 zu sehen.
Abbildung 4.12.: Reichweitenverteilung für Kaskaden aus Baryonen mit 1000 GeV (links)
und 10000 GeV (rechts). Zusätzlich sind die zugehörigen Parameterisierungen
durch Gleichung 4.6 eingezeichnet.
Die sich aus der Anpassung ergebenden Parameter A und B wurden gegen die Energie
aufgetragen. Dies ist beispielhaft in den Abbildungen 4.13 und 4.14 dargestellt.
22

4.3. Reichweite der Sekundärmyonen
Abbildung 4.13.: Auftragung der Parameter A (links) und B (rechts) der Reichweitenverteilung
gegen die Primärenergie für Kaskaden aus ¯p nach Gleichung
4.6
Abbildung 4.14.: Auftragung der Parameter A (links) und B (rechts) der Reichweitenverteilung
gegen die Primärenergie für Kaskaden aus π − nach Gleichung
4.6
Wie bei den Radiusverteilungen zeigen sich auch hier keine klaren Energieabhängigkeiten.
Zu beachten ist hier die doppelt logarithmische Auftragung des Parameters A
aufgrund der extremen Schwankung um bis zu 30 Größenordnungen bei π + als Primärteilchen
(siehe Tabelle 4.6).
Diese große Schwankung ist durch die Form des Fits zu erklären. Stellt man Gleichung
4.6 um, so ergibt sich A = (N + 1) ( cm) R B , wobei N die relative Häufigkeit ist. Hier ist
R ≥ 6, 35 cm, was der Mitte des ersten Bins entspricht. Dadurch variiert A bei kleinen
Schwankungen von N und B sehr stark.
Aufgrund der starken Schwankung sind in Tabelle 4.6 nur Größenordnungen angegeben,
eine ausführliche Tabelle findet sich im Anhang.
23

4. Parameterisierung der simulierten Daten
E [GeV] p ¯p n π + π − KL
0
100 1 · 10 26 6 · 10 11 3 · 10 36 8 · 10 18 2 · 10 16 3 · 10 13
200 2 · 10 18 2 · 10 23 2 · 10 25 2 · 10 13 4 · 10 17 1 · 10 29
300 5 · 10 19 4 · 10 15 1 · 10 21 2 · 10 45 6 · 10 18 3 · 10 21
400 7 · 10 21 1 · 10 20 1 · 10 20 3 · 10 26 5 · 10 15 3 · 10 18
700 6 · 10 33 6 · 10 24 1 · 10 22 2 · 10 20 8 · 10 22 1 · 10 15
1000 8 · 10 22 2 · 10 17 2 · 10 17 9 · 10 20 3 · 10 32 1 · 10 16
2000 1 · 10 19 5 · 10 24 4 · 10 21 6 · 10 24 4 · 10 21 2 · 10 18
3000 8 · 10 20 2 · 10 21 2 · 10 21 1 · 10 20 5 · 10 25 2 · 10 19
4000 4 · 10 20 1 · 10 21 3 · 10 21 7 · 10 19 4 · 10 24 2 · 10 19
7000 3 · 10 22 6 · 10 20 1 · 10 18 5 · 10 24 2 · 10 23 3 · 10 20
10000 2 · 10 20 4 · 10 19 7 · 10 20 2 · 10 21 3 · 10 22 5 · 10 19
Tabelle 4.6.: Ergebnisse des Parameters A der Parameterisierung der
Reichweitenverteilungen.
E [GeV] p ¯p n π + π − KL
0
100 2,56976 2,17342 2,72351 2,38683 2,35428 2,21674
200 2,36944 2,50418 2,57301 2,22205 2,39152 2,60993
300 2,39877 2,28531 2,43997 2,84133 2,40493 2,45577
400 2,46893 2,41451 2,40855 2,56348 2,30119 2,38398
700 2,68730 2,53415 2,47453 2,43013 2,48724 2,28726
1000 2,51066 2,34703 2,36868 2,45389 2,65683 2,32693
2000 2,39697 2,52692 2,45638 2,53924 2,45787 2,38470
3000 2,44388 2,46268 2,45261 2,41655 2,53654 2,39816
4000 2,44224 2,44108 2,45079 2,42261 2,52201 2,40475
7000 2,47660 2,43622 2,37095 2,52708 2,49638 2,42767
10000 2,42677 2,41129 2,44430 2,45271 2,47395 2,41051
¯B 2,47194 2,412434 2,46939 2,47781 2,46207 2,39149
σ B 0,09092 0,108545 0,10058 0,15154 0,09736 0,09971
Tabelle 4.7.: Ergebnisse des Parameters B der Parameterisierung der
Reichweitenverteilungen
Die Tabellen 4.6 und 4.7 fassen die Ergebnisse der Parameterisierung der Reichweitenverteilungen
nach Gleichung 4.6 zusammen. Für B wurden zusätzlich Mittelwerte und
Standardabweichungen berechnet, für A erschien dies aufgrund der extremen Schwankungen
nicht sinnvoll.
Die Parameter B liegen für alle Primärteilchen in einem kleinen Bereich und haben
relative Unsicherheiten von etwa 5%.
24

5. Schlussbetrachtung
In dieser Bachelorarbeit wurde die Myonenproduktion in hadronischen Kaskaden in Eis
untersucht. Dazu wurden hadronische Kaskaden mit Geant4 simuliert. Als Primärteilchen,
welche die Kaskaden erzeugen, wurden p, ¯p, n, π + , π − und KL 0 mit Primärenergien
von 100 GeV bis 10 TeV genutzt. Die in diesen Kaskaden entstandenen Sekundärmyonen
mit einer Energie von E ≥ 1 GeV wurden in dieser Arbeit genauer untersucht.
Dazu wurde zuerst die Anzahl der pro Kaskade entstehenden Myonen betrachtet. Die
Verteilung der Anzahl wurde mit einer Poissonverteilung parameterisiert, die Energieabhängigkeit
des sich daraus ergebenden Parameters wurde wiederum parameterisiert. Es
wurde gezeigt, dass die mittlere Anzahl sowie die Gesamtanzahl an Sekundärmyonen mit
der Primärenergie wie erwartet zunimmt. Die Exponenten der Gleichung 4.2 liegen bei
etwa 0, 83 bis 0, 86.
Außerdem wurde die Entstehungspositionen der sekundären Myonen parameterisiert.
Diese ist angegeben durch die Z-Position, welche die Z-Koordinate des entstandenen
Myons beschreibt und den Radius, den senkrechten Abstand zur Z-Achse.
Für die Z-Position wurde jeweils der Median sowie die Schwankung um diesen berechnet
und die Energieabhängigkeit der Mediane parameterisiert. Es wurde gezeigt, dass die
Verteilung der Z-Positionen einer Gamma-Verteilung ähnelt, was mit dem Longitudinalprofil
hadronischer Kaskaden übereinstimmt.
Die Radiusverteilungen wurde mit der Gleichung 4.3 parameterisiert. Die sich daraus
ergebenden Parameter wurden gegen die Primärenergie aufgetragen. Es ergab sich, dass
die Parameter jeweils in einem kleinen Bereich verteilt und innerhalb der berechneten
Schwankungen unabhängig von Primärteilchen- und energie sind.
Zusätzlich wurde die Reichweite der Sekundärmyonen untersucht. Sie wurde nach Gleichung
4.5 aus der kinetischen Energie der Myonen berechnet. Die Reichweitenverteilungen
wurden nach Gleichung 4.6 parameterisiert und die Parameter in Abhängigkeit von der
Primärenergie dargestellt. Obwohl die Reichweitenverteilung sekundärer Myonen durch
Gleichung 4.6 gut beschrieben wird, ist die Energieabhängigkeit der sich ergebenden
Parameter nicht trivial parameterisierbar. Hier kann möglicherweise noch eine bessere
Parameterisierung der Reichweitenverteilungen gefunden werden.
25

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PhD thesis, 2004.
27

Abbildungsverzeichnis
1.1. Schematischer Aufbau des IceCube Neutrino Observatory am Südpol. [6] . 3
2.1. Charakteristische Signaturen von Neutrinowechselwirkungen über den geladenen
Strom in Tscherenkowteleskopen. Es ist zu beachten, dass elektromagnetische
und hadronische Kaskaden ebenfalls Tscherenkowlichtquellen
sind. [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Schematische Darstellung einer elektromagnetischen Kaskade. [12] . . . . . 6
2.3. Prinzip der Tscherenkowlichtproduktion anhand des Huygensschen Prinzips
erklärt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1. Geometrie des für die Simulation benutzten Detektors. [5] . . . . . . . . . 9
3.2. Simulationsprinzip einer hadronischen Kaskade. Das Primärteilchen ist
blau, geladene Sekundärteilchen rot und neutrale Sekundärteilchen grün
dargestellt [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3. Ein beispielhaftes Histogramm der Spurlänge l, anhängig von dem Zenitwinkel
α und der relativen Geschwindigkeit β. . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1. Relative Häufigkeit der Anzahl an Sekundärmyonen für 400-GeV-Baryonen
(links) und 4000-GeV-Baryonen (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2. Relative Häufigkeit der Anzahl an Sekundärmyonen für 400-GeV-Baryonen
(links) und 4000-GeV-Baryonen (rechts). Zusätzlich eingezeichnet sind die
Parameterisierungen durch Gleichung 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3. Parameter der Poissonverteilungen als Funktion der Primärenergie am Beispiel
von ¯p (links) und π − (rechts). Der farblich hinterlegte Bereich entspricht
dem Intervall [ ¯N − σ ¯N, ¯N + σ ¯N]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4. Verteilung des Radius für Kaskaden aus Baryonen mit 1000 GeV (links)
und 10000 GeV (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.5. Parameterisierung nach Gleichung 4.3 der in Abbildung 4.4 gezeigten Verteilungen
für Kaskaden aus Baryonen mit 1000 GeV . . . . . . . . . . . . . 17
4.6. Parameterisierung nach Gleichung 4.3 der in Abbildung 4.4 gezeigten Verteilungen
für Kaskaden aus Baryonen mit 10000 GeV . . . . . . . . . . . . 17
4.7. Auftragung der Parameter A (links) und B (rechts) der Radiusverteilung
gegen die Primärenergie für Kaskaden aus Neutronen nach Gleichung 4.3 . 18
4.8. Auftragung der Parameter A (links) und B (rechts) der Radiusverteilung
gegen die Primärenergie für Kaskaden aus π + nach Gleichung 4.3 . . . . . 18
4.9. Verteilung der Z-Position für Baryonen mit 1000 GeV (links) und 10000 GeV
(rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
28

Abbildungsverzeichnis
4.10. Energieabhängigkeit des Z-Medians für ¯p (links) und π − (rechts). Im farblich
hinterlegten Bereich befinden sich jeweils 68% der Histogrammdaten. 20
4.11. Verteilung der Myon-Energien für Kaskaden aus 1000-GeV-Mesonen (links)
und daraus errechnete Reichweitenverteilung (rechts) . . . . . . . . . . . . 22
4.12. Reichweitenverteilung für Kaskaden aus Baryonen mit 1000 GeV (links)
und 10000 GeV (rechts). Zusätzlich sind die zugehörigen Parameterisierungen
durch Gleichung 4.6 eingezeichnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.13. Auftragung der Parameter A (links) und B (rechts) der Reichweitenverteilung
gegen die Primärenergie für Kaskaden aus ¯p nach Gleichung 4.6 . . 23
4.14. Auftragung der Parameter A (links) und B (rechts) der Reichweitenverteilung
gegen die Primärenergie für Kaskaden aus π − nach Gleichung 4.6 . 23
A.1. Parameter der Poissonverteilungen als Funktion der Primärenergie am Beispiel
von p (links) und π + (rechts). Der farblich hinterlegte Bereich entspricht
dem Intervall [λ − σ λ , λ + σ λ ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A.2. Parameter der Poissonverteilungen als Funktion der Primärenergie am Beispiel
von n (links) und KL 0 (rechts). Der farblich hinterlegte Bereich entspricht
dem Intervall [λ − σ λ , λ + σ λ ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A.3. Energieabhängigkeit des Z-Medians für p (links) und π + (rechts). Im farblich
hinterlegten Bereich befinden sich jeweils 68% der Histogrammdaten. 32
A.4. Energieabhängigkeit des Z-Medians für n (links) und KL 0 (rechts). Im farblich
hinterlegten Bereich befinden sich jeweils 68% der Histogrammdaten. 32
29

Tabellenverzeichnis
4.1. Gesamtanzahl der in jeweils 1000 Kaskaden entstandenen Sekundärmyonen
für verschiedene Primärenergien und Primärteilchen . . . . . . . . . . 13
4.2. Ergebnisse der Parameterisierung der mittleren Anzahl an Sekundärmyonen
pro Kaskade durch Gleichung 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3. Ergebnisse des Parameters A der Parameterisierung der Radiusverteilungen 19
4.4. Ergebnisse des Parameters B der Parameterisierung der Radiusverteilungen 19
4.5. Ergebnisse der Parameterisierung der Z-Mediane . . . . . . . . . . . . . . 21
4.6. Ergebnisse des Parameters A der Parameterisierung der Reichweitenverteilungen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.7. Ergebnisse des Parameters B der Parameterisierung der Reichweitenverteilungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
A.1. Vollständige Ergebnisse des Parameters A der Parameterisierung der Reichweiteverteilungen
für Baryonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A.2. Vollständige Ergebnisse des Parameters A der Parameterisierung der Reichweiteverteilungen
für Mesonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
30

A. Anhang
Im Hauptteil nicht verwendete Plots der Parameterisierung der mittleren Anzahl an
Sekundärmyonen nach Gleichung 4.2:
Abbildung A.1.: Parameter der Poissonverteilungen als Funktion der Primärenergie am
Beispiel von p (links) und π + (rechts). Der farblich hinterlegte Bereich
entspricht dem Intervall [λ − σ λ , λ + σ λ ].
Abbildung A.2.: Parameter der Poissonverteilungen als Funktion der Primärenergie am
Beispiel von n (links) und KL 0 (rechts). Der farblich hinterlegte Bereich
entspricht dem Intervall [λ − σ λ , λ + σ λ ].
31

Im Hauptteil nicht verwendete Plots der Parameterisierung der Z-Mediane nach Gleichung
4.4:
Abbildung A.3.: Energieabhängigkeit des Z-Medians für p (links) und π + (rechts).
Im farblich hinterlegten Bereich befinden sich jeweils 68% der
Histogrammdaten.
Abbildung A.4.: Energieabhängigkeit des Z-Medians für n (links) und KL
0 (rechts).
Im farblich hinterlegten Bereich befinden sich jeweils 68% der
Histogrammdaten.

Vollständige Ergebnisse des Parameters A aus der Parameterisierung der Reichweiteverteilungen
nach Gleichung 4.6:
E [GeV] p ¯p n
100 1, 1472 · 10 26 5, 5839 · 10 11 2, 9573 · 10 36
200 1, 5038 · 10 18 1, 9193 · 10 23 2, 2830 · 10 25
300 5, 4269 · 10 19 4, 2333 · 10 15 1, 2850 · 10 21
400 6, 5108 · 10 21 9, 5804 · 10 19 1, 1184 · 10 20
700 5, 9562 · 10 33 6, 1636 · 10 24 1, 3542 · 10 22
1000 8, 1079 · 10 22 1, 7870 · 10 17 2, 1088 · 10 17
2000 1, 4561 · 10 19 4, 5249 · 10 24 3, 8405 · 10 21
3000 7, 9959 · 10 20 2, 3208 · 10 21 2, 2250 · 10 21
4000 4, 3624 · 10 20 1, 3384 · 10 21 3, 4221 · 10 21
7000 3, 2683 · 10 22 5, 8519 · 10 20 9, 6315 · 10 17
10000 2, 3007 · 10 20 4, 2546 · 10 19 7, 0061 · 10 20
Tabelle A.1.: Vollständige Ergebnisse des Parameters A der Parameterisierung der Reichweiteverteilungen
für Baryonen
E [GeV] π + π − KL
0
100 7, 7126 · 10 18 2, 0797 · 10 16 2, 8650 · 10 13
200 1, 7566 · 10 13 4, 2056 · 10 17 9, 7377 · 10 28
300 2, 4119 · 10 45 5, 6624 · 10 18 2, 8509 · 10 21
400 3, 2678 · 10 26 5, 4118 · 10 15 3, 2396 · 10 18
700 1, 5009 · 10 20 8, 0954 · 10 22 1, 4040 · 10 15
1000 9, 4144 · 10 20 3, 2784 · 10 32 1, 3948 · 10 16
2000 5, 8410 · 10 24 3, 6020 · 10 21 2, 4945 · 10 18
3000 1, 0857 · 10 20 4, 8605 · 10 25 2, 0775 · 10 19
4000 6, 5150 · 10 19 4, 2912 · 10 24 2, 0504 · 10 19
7000 5, 0587 · 10 24 1, 7748 · 10 23 2, 8778 · 10 20
10000 2, 1195 · 10 21 3, 1632 · 10 22 4, 5794 · 10 19
Tabelle A.2.: Vollständige Ergebnisse des Parameters A der Parameterisierung der Reichweiteverteilungen
für Mesonen

Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen
als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.