Relativistische Quantentheorie freier Felder - Physikzentrum der ...

Kapitel 3
Relativistische
Quantentheorie freier Felder
3.1 Lorentz-Transformationen in der Quantentheorie
Wir untersuchen zunächst, wie Lorentz-Transformationen auf den Zuständen
des Hilbertraums (Fockraums) wirken. Insbesondere wird die Algebra der
Generatoren der Lorentz-Transformationen abgeleitet. Dies geschieht vollkommen
analog zur Behandlung von Drehungen und der mit diesen verknüpften
Algebra der Drehimpulsoperatoren J i .
3.1.1 Die Lorentz-Gruppe
Das zentrale Postulat der speziellen Relativitätstheorie ist das
Relativitätsprinzip
• Die physikalischen Gesetze nehmen in allen gleichförmig gegeneinander
bewegten Bezugssystemen (Inertialsystemen) dieselbe Form an.
Das bedeutet zum Beispiel, dass ein Beobachter, der in einem geschlossenen
Labor Experimente durchführt, aus dem Resultat seiner Experimente
nicht schließen kann, ob sich das Labor in Bewegung befindet,
vorausgesetzt, die Geschwindigkeit des Labors ist konstant.
• Die Lichtgeschwindigkeit c ist in allen Inertialsystemen gleich.
Wir betrachten zwei Inertialsysteme, in denen Ereignisse mittels der Koordinaten
(t,⃗x ) und (t ′ ,⃗x ′ ) lokalisiert werden, die über t ′ = t ′ (t,⃗x ) und
71

⃗x ′ = ⃗x ′ (t,⃗x ) zusammenhängen. Für einen zur Zeit t = t ′ = 0 am Ort
⃗x = ⃗x ′ = 0 ausgesandten Lichtstrahl gilt
(ct) 2 − ⃗x 2 = (ct ′ ) 2 − ⃗x ′ 2 = 0. (3.1)
Der Ausdruck (ct) 2 − ⃗x 2 nimmt also in allen Inertialsystemen denselben
Wert, nämlich Null, an. Wir interpretieren den zweiten Teil des Postulats
so, dass (ct) 2 −⃗x 2 auch dann in allen Inertialsystemen gleich sein soll, wenn
sein Wert von Null verschieden ist. Dies schränkt den Zusammenhang zwischen
(t,⃗x) und (t ′ ,⃗x ′ ) ein und definiert die möglichen Transformationen
(Lorentz-Transformationen) zwischen Inertialsystemen. Wenn die beiden Systeme
gleich orientiert sind und sich in z-Richtung mit der Geschwindigkeit
v gegeneinander bewegen, hat die Transformation die Form
⎛
ct ′ ⎞ ⎛
⎜ x ′
⎟
⎝ y ′ ⎠ = ⎜
⎝
z ′
⎞ ⎛
γ 0 0 −βγ
0 1 0 0
⎟ ⎜
0 0 1 0 ⎠ ⎝
−βγ 0 0 γ
ct
x
y
z
⎞
⎟
⎠ (3.2)
mit den Parametern β = v/c und γ = 1/ √ 1 − β 2 .
Im Folgenden wird durchgehend die Vierervektor-Notation
⎛ ⎞
ct
x µ , µ = 0,1,2,3, x = ⎜ x 1 ( )
⎟ x
⎝ x 2 ⎠ = 0
⃗x
x 3
(3.3)
verwendet. Das Skalaprodukt von Vierervektoren ist
x · y = g µν x µ y ν = x 0 y 0 − ⃗x · ⃗y. (3.4)
Für Vierervektoren wird stets die Summenkonvention verwendet. Die Minkowski-Metrik
lautet
⎛ ⎞
1
g µν = ⎜ −1
⎟
⎝ −1 ⎠ . (3.5)
−1
Eine Lorentz-Transformation ist dadurch charakterisiert, dass das Skalarprodukt
(3.4) unverändert bleibt:
(x ′ − y ′ ) 2 = (x ′ (x) − y ′ (y)) 2 = (x − y) 2 (3.6)
72

(Dies garantiert die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.) Es handelt sich
also um Rotationen in einem vierdimensionalen Raum mit der Metrik (3.5).
Solche Transformationen müssen linear sein,
x µ → x ′µ = Λ µ νx ν + a µ . (3.7)
Eine Lorentz-Transformation (Λ,a) besteht also im Allgemeinen aus einem
konstanten Vektor a µ (Translation in Raum und Zeit) und einer Matrix Λ µ ν,
die der Bedingung
g µν Λ µ ρΛ ν σ = g ρσ (3.8)
bzw. Λ T gΛ = g in Matrixschreibweise genügt. (Die Transposition ist nötig,
weil bei beiden Matrizen der erste Index kontrahiert wird und bei Matrizenmultiplikation
die Regel “Zeile × Spalte” gilt.) Aus (3.8) folgt die Invarianz
des Skalarprodukts:
(x ′ − y ′ ) 2 = g µν (x ′ − y ′ ) µ (x ′ − y ′ ) ν
= g µν Λ µ ρΛ ν σ(x − y) ρ (x − y) σ
= g ρσ (x − y) ρ (x − y) σ = (x − y) 2 . (3.9)
Ko- und kontravariante Vektoren. Durch eine Koordinatentransformation
x ′ = x ′ (x) wird die Matrix
∂x ′µ
∂x ν (x),
definiert, die für Lorentz-Transformationen mit Λ µ ν übereinstimmt. Nach
ihrem Transformationsverhalten unterscheidet man kontravariante und kovariante
Vektoren.
Kontravariante Vektoren (als Spalte geschrieben) transformieren beim Wechsel
des Koordinatensystems mit der obigen Jacobi-Matrix:
V ′µ = ∂x′µ
∂x ν V ν . (3.10)
Sie tragen ihren Index oben. Das Differential dx µ und damit die Vierer-
Geschwindigkeit u µ und der Energie-Impuls p µ = mu µ = (p 0 , ⃗p ) = (E/c, ⃗p )
sind Beispiele für kontravariante Vektoren.
Kovariante Vektoren (als Zeile geschrieben) transformieren mit der inversen
Jacobi-Matrix (als Matrix multipliziert von rechts), ihr Index steht unten:
W ′ µ = ∂xν
∂x ′µW ν (3.11)
73

Für Lorentz-Transformationen ist die inverse Jacobi-Matrix durch (Λ −1 ) ν µ
gegeben. Die partielle Ableitung ∂ µ = ∂
∂x
ist ein kovarianter Vektor, wie
µ
man mit der Kettenregel leicht ausrechnet.
Die Metrik hat ein Inverses, g µν , definiert durch g µν g νρ = δ µ ρ. Als Matrix
sind g µν und g µν identisch. Mit Hilfe der Metrik kann man Indizes “heben”
und “senken”. D.h. einem kovarianten Vektor W µ lässt sich durch die
Definition
W µ = g µν W ν (3.12)
ein kontravarianter Vektor zuordnen und umgekehrt: V µ = g µν V ν ist kovariant.
Beweis: Aus (3.8) folgt durch Multiplikation mit (Λ −1 ) σ β g αρ , dass
Damit
(Λ −1 ) α β = g αρ g βσ Λ σ ρ (3.13)
W ′µ = g µν W ′ ν = gµν (Λ −1 ) α νW α
= g µν g αρ g νσ Λ σ ρW α = δ µ σ Λσ ρg ρα W α
= Λ µ ρW ρ . (3.14)
Lorentz-Tensoren höherer Stufe werden ebenfalls durch ihr Transformationsverhalten
definiert:
T ′µ 1...µ nν1
...ν m
= Λ µ 1
α1 ...Λ µn α n
T α 1...α nβ1
...β m
(Λ −1 ) β 1
ν1 ... (Λ −1 ) βm ν m
(3.15)
Die Regeln für das Heben und Senken gelten für beliebige Tensoren. Insbesondere
lässt sich dann (3.13) auch in der Form
(Λ −1 ) α β = Λ β
α
schreiben. Aus diesen Regeln folgt auch
( )
∂ µ = (∂ 0 , −∂ ⃗ 1 ∂
) =
c ∂t , −⃗ ∇
(3.16)
(3.17)
d.h. ∂ i = −∇ i . Die Metrik g µν ist ein invarianter Tensor, da
g ′ ρσ = g ′ µνΛ µ ρΛ ν σ = g αβ (Λ −1 ) α µ(Λ −1 ) β νΛ µ ρΛ ν σ
= g αβ δ α ρ δβ σ = g ρσ (3.18)
Die numerischen Einträge des metrischen Tensors sind also in allen Inertialsystemen
dieselben, wie es sein muss.
74

Die Gruppeneigenschaften der Lorentz-Transformationen
Das Hintereinanderausführen zweier Lorentz-Transformationen (Λ 1 ,a 1 ) und
(Λ 2 ,a 2 ) ergibt die Lorentz-Transformation (Λ 2 Λ 1 ,Λ 2 a 1 + a 2 ):
x ′′µ = Λ 2
µ ν x ′ν + a µ 2
= Λ 2
µ ν (Λ 1
ν ρ x ρ + a ν 1 ) + aµ 2
= (Λ 2 Λ 1 ) µ ν x ν + (Λ 2 a 1 + a 2 ) µ (3.19)
Die Menge aller Lorentz-Transformationen bilden eine Gruppe, die inhomogene
Lorentz-Gruppe oder Poincaré-Gruppe. Sie setzt sich aus der homogenen
Lorentz-Gruppe (Λ,a ≡ 0) und den Raumzeit-Translationen (Λ ≡ 1,a)
zusammen und wird durch zehn reelle Zahlen parametrisiert: vier Komponenten
des Translationsvektors a µ , drei für die in der Menge der Λ enthaltenen
gewöhnlichen Raumdrehungen und drei (Relativgeschwindigkeit ⃗v )
für die “Boosts”. Die sechs Parameter der homogenen Lorentzgruppe ergeben
sich formal daraus, dass die Matrix Λ durch 16 Einträge parameterisiert
wird. Da g symmetrisch ist, unterliegt Λ zehn linearen Gleichungen
Λ T gΛ = g, so dass sechs Einträge frei gewählt werden können.
Wir untersuchen die homogene Lorentz-Gruppe genauer: Aus Λ T gΛ = g
bzw. (3.8) folgt
(det Λ) 2 = 1 ⇒ detΛ = ±1 (3.20)
und
g µν Λ µ 0Λ ν 0 = 1 ⇒ (Λ 0 0) 2 = 1 +
3∑
(Λ i 0) 2 , (3.21)
so dass Λ 0 0 ≥ 1 oder Λ 0 0 ≤ 1. Die Transformationen mit detΛ = 1 bilden
eine Untergruppe (jedoch nicht die mit det Λ = −1, weil sie das Einselement
nicht enthalten). Hierin bilden die Transformationen mit Λ 0 0 ≥ 1 wieder eine
Untergruppe, die eigentliche, orthochrone Lorentz-Gruppe. Ihre Elemente
können kontinuierlich mit der Identität 1 verbunden werden und bilden eine
Lie-Gruppe mit sechs Parametern. Die gesamte Lorentz-Gruppe hat vier
Zusammenhangskomponenten, die über die Paritäts- und Zeitumkehrtransformation
(beide sind Lorentz-Transformationen) mit der Zusammenhangskomponente
der Eins in Verbindung stehen, wie in folgendem Schaubild
verdeutlicht wird.
Nach unserem heutigen Wissen bezieht sich das Relativitätsprinzip nur auf
die orthochrone Lorentz-Gruppe einschließlich der Translationen. Die Form
i=1
75

der Naturgesetze ist nicht invariant ist unter der Raumspiegelung und Zeitumkehr.
Diese Nicht-Invarianz ist mit der schwachen Wechselwirkung verknüpft.
Elektromagnetische Phänomene, die hauptsächlich Gegenstand dieser
Vorlesung sind, sind P- und T-invariant.
orthochrone LTs
det Λ = 1
Λ 0 0 ≥ 1
0
1
1
P = B −1
C
@ −1 A
−1
P (Parität ⃗x → −⃗x) ist eine LT
✲
LTs mit
det Λ = −1
Λ 0 0 ≥ 1
0
−1
T = B
@
1
1
1
1
C
A
T
Zeitumkehr t → −t ist
eine LT
❄
LTs mit
det Λ = −1
Λ 0 0 ≤ −1
P
✲
❄
LTs mit
det Λ = 1
Λ 0 0 ≤ −1
3.1.2 Die Algebra der Poincaré-Gruppe
Eine Lorentz-Transformation g = (Λ,a) der Raumzeit, x ′ = Λx + a, induziert
eine Transformation der Zustände eines Quantensystems. Ihr ist also
ein Operator (eine lineare Abbildung) U(g) = U(Λ,a) zugeordnet, so dass
die transformierten Zustände durch |Ψ ′ 〉 = U(Λ,a)|Ψ〉 gegeben sind. Wir
fordern, dass das Gruppenverknüpfungsgesetz respektiert wird, d.h. es gelte
U(Λ ′ ,a ′ )U(Λ,a) = U(Λ ′ Λ,Λ ′ a + a ′ ). (3.22)
Eine Zuordnung g → U(g) von linearen Abbildungen zu Gruppenelementen,
die diese Eigenschaft erfüllt, nennt man eine Darstellung der Gruppe. Dieses
Konzept spielt im Folgenden eine wichtige Rolle. Aus den einführenden
76

Bemerkungen folgt zunächst, dass der Zustandsraum eines Quantensystems
eine Darstellung der Poincaré-Gruppe trägt.
Wir betrachten nun infinitesimale Lorentz-Transformationen
Λ µ ν = δ µ ν + ω µ ν + ...
a µ = ε µ + .... (3.23)
Die zugehörige Abbildung U(Λ,a) ist dann in linearer Ordnung in den (kleinen)
Parametern ω und ε durch
U(1 + ω,ε) = 1 − i 2 ω µνJ µν + iε µ P µ + ... (3.24)
gegeben. Dies definiert die Operatoren (linearen Abbildungen) J µν ,P µ in
der gegebenen Darstellung. Man bezeichnet sie als die Erzeugenden oder
Generatoren der Poincaré-Gruppe. Man vergleiche dies mit den bekannten
Resultaten für die räumlichen Translationen und dreidimensionalen Drehungen
in der nicht-relativistischen Quantenmechanik (QMI, S.161/162 und
S.177):
Translationen U = 1 − i ⃗a · ⃗P + ... ⃗ P Impulsoperator
Drehungen U = 1 − i δθ ⃗n · ⃗J + ... ⃗ J Drehimpulsoperator
Da die räumlichen Translationen und dreidimensionalen Drehungen Untergruppen
der Poincaré-Gruppe sind, erwarten wir, dass der Impuls- und Drehimpulsoperator
zu den Generatoren gehören.
Eine wichtige Eigenschaft der Generatoren ist, dass ihre Vertauschungsregeln
für alle Darstellungen gleich sind, weil sie allein aus der Form des Gruppenverknüpfungsgesetzes
folgen. Die Vertauschngsrelationen der Generatoren
bilden die der Gruppe zugehörige Algebra. Diese soll nun für die Poincaré-
Gruppe abgeleitet werden. Zunächst gilt
g ρσ = g µν Λ µ ρΛ ν σ ≈ g µν (δ µ ρ + ω µ ρ)(δ ν σ + ω ν σ)
= g ρσ + (ω ρσ + ω σρ ), (3.25)
und damit ω ρσ = −ω σρ . J µν kann also antisymmetrisch in µν gewählt werden.
Es gibt also zehn Generatoren: sechs J µν und vier P µ . Die Vertauschungsrelationen
findet man, indem man Terme der Ordnung ωω ′ , εε ′ , εω ′
und ε ′ ω in der Entwicklung des Kompositionsgesetzes U(Λ ′ ,a ′ )U(Λ,a) =
U(Λ ′ Λ,Λa + a ′ ) vergleicht. Das Ergebnis ist die
77

Poincaré-Algebra
[J µν ,J ρσ ] = i(g νρ J µσ + g µσ J νρ − g µρ J νσ − g νσ J µρ )
[P µ ,J ρσ ] = i(g µρ P σ − g µσ P ρ )
[P µ ,P ν ] = 0, (3.26)
Zur Ableitung betrachten wir zuerst die Verkettung
U(Λ,a)U(1 + ω,ε)U −1 (Λ,a) = U(Λ,a)U(1 + ω,ε)U(Λ −1 , −Λ −1 a)
= U(Λ,a)U((1 + ω)Λ −1 ,(1 + ω)Λ −1 (−a) + ε)
= U(Λ(1 + ω)Λ −1 ,Λε − ΛωΛ −1 a). (3.27)
Die rechte Seite ergibt für kleine ε und ω
1 − i 2 (ΛωΛ−1 ) ρσ J ρσ + i(Λε − ΛωΛ −1 a) ρ P ρ
= 1 − i 2 Λ ρ µ ω µν (Λ −1 ) ν σJ ρσ + iΛ ρ µ ε µ P ρ − iΛ ρ µ ω µν (Λ −1 ) ν σa σ P ρ
= 1 − i 2 ω µν [Λ ρ µ Λ σ ν J ρσ + 2Λ ρ µ Λ σ ν a σ P ρ ] + iε µ Λ ρ µ P ρ . (3.28)
Im letzten Schritt wurde (3.16), d.h. (Λ −1 ) ν σ = Λ σ ν , verwendet. Andererseits
ergibt die linke Seite
U(Λ,a)U(1 + ω,ε)U −1 (Λ,a) = 1 − i 2 ω µνU(Λ,a)J µν U −1 (Λ,a)
+ iε µ U(Λ,a)P µ U −1 (Λ,a) + ... (3.29)
Der Vergleich der Koeffizienten von ω und ε ergibt unter der Berücksichtigung
der Antisymmetrie von ω µν
U(Λ,a)J µν U −1 (Λ,a) = Λ ρ µ Λ σ ν (J ρσ − a ρ P σ + a σ P ρ ),
U(Λ,a)P µ U −1 (Λ,a) = Λ ρ µ P ρ . (3.30)
In diesen Gleichungen wird nun (Λ,a) als infinitesimal betrachtet. Die Terme
erster Ordnung lauten
[ ]
1
(−i)
2 ω αβJ αβ − ε α P α ,J µν = ω µ ρ J ρν + ω ν σ J µσ − ε µ P ν + ε ν P µ
[ ]
1
(−i)
2 ω αβJ αβ − ε α P α ,P µ = ω µ ρ P ρ (3.31)
78

Der zweite Kommutator enthält keinen ε-Term, so dass [P α ,P µ ] = 0, d.h.
eine der drei Gleichungen der Poincaré-Algebra (3.26) folgt. Außerdem gilt
für die Terme, die ω enthalten,
[ ] 1
(−i)
2 ω αβJ αβ ,P µ = ω αβ g βµ P α = 1 2 ω αβ(g βµ P α − g αµ P β ), (3.32)
also [
P µ ,J αβ] = (−i)(g βµ P α − g αµ P β ). (3.33)
Analog folgt die die verbleibende Kommutatorrelation [J µν ,J ρσ ] aus der
ersten Gleichung in (3.31).
Fasst man die unabhängigen Raumkomponenten in J µν zu einem Vektor
⃗J = (J 1 ,J 2 ,J 3 ) ≡ (J 23 ,J 31 ,J 12 ) (3.34)
zusammen, so erfüllt dieser Vektor die Kommutatorrelation eines dreidimensionalen
Drehimpulses:
[
J i ,J j] = iǫ ijk J k . (3.35)
Die J i erzeugen also die dreidimensionalen Rotationen. Die drei gemischten
Komponenten von J µν erzeugen die Boosts und werden zu dem Vektor ⃗ K
zusammengefasst:
⃗K genügt den Relationen
⃗K = (K 1 ,K 2 ,K 3 ) ≡ (J 10 ,J 20 ,J 30 ). (3.36)
[
K i ,K j] = −iǫ ijk J k ,
[
J i ,K j] = iǫ ijk K k . (3.37)
Im Viererimpulsoperator P µ sind der Hamiltonoperator P 0 und der Impuls
⃗P enthalten. Die verbleibenden Vertauschungsrelationen lauten
[
P i ,J i] = iǫ ijk P k ,
[
P i ,K j] = −iδ ij P 0 ,
[
P 0 ,K i] = −iP i , (3.38)
[
P 0 ,P 0] = [ P 0 ,P i] = [ P 0 ,J i] = 0. Damit folgt insbesondere die Energie-,
Impuls- und Drehimpulserhaltung aus der relativistischen Invarianz. Mit den
Boosts sind dagegen keine Erhaltungsgrößen verknüpft.
79

3.1.3 Lorentzsymmetrie auf Quantenzuständen
Hängen zwei Inertialsysteme über eine Lorentz-Transformation g = (Λ,a)
zusammen,
x ′ ≡ T(Λ,a)x = Λx + a (3.39)
dann gilt für die Zustände eines Quantensystems im gestrichenen Bezugssystem
|ψ ′ 〉 = U(g)|ψ〉, (3.40)
wobei U(g) eine g zugeordnete Abbildung auf dem Hilbertraum ist. Das Relativitätsprinzip
drückt die Invarianz unter den Lorentz-Transformationen
aus. Messungen von (skalaren) Observablen an einem System dürfen nicht
davon abhängen, in welchem Inertialsystem sie durchgeführt werden. In der
Quantenmechanik sind Messungen mit Wahrscheinlichkeiten verknüpft, die
durch den Betrag von Skalarprodukten von Zuständen berechnet werden.
Es muss also
|〈φ ′ |ψ ′ 〉| = |〈φ|ψ〉| (3.41)
gelten (vgl. QMI, S.166ff). Dann folgt (Theorem von Wigner)
• U(g) ist unitär oder anti-unitär
• U(g 2 )U(g 1 ) = e iα(g 2,g 1 ) U(g 2 g 1 )
Zur Wiederholung: ein anti-unitärer Operator besitzt die folgenden Eigenschaften (QMI, S.167ff)
• Anti-Linearität: U(c 1 |ψ 1 〉 + c 2 |ψ 2 〉) = c ∗ 1 U|ψ 1〉 + c ∗ 2 U|ψ 2〉. Insbesondere Uc = c ∗ U für
komplexe Zahlen c.
• Für den adjungierten Operator gilt 〈ϕ|U † ψ〉 = 〈Uϕ|ψ〉 ∗
• U † U = UU † = 1, also 〈Uϕ|Uψ〉 = 〈ϕ|ψ〉 ∗ (Anti-Unitarität).
Für kontinuierliche Gruppen ist U(g) immer unitär, solange g kontinuierlich
mit dem Einselement verbunden ist, welches durch die unitäre Abbildung
U = 1 dargestellt wird. Dies ist für die orthochrone Lorentzgruppe
einschließlich der Translationen der Fall, und insbesondere für die im vorangehenden
Abschnitt behandelten infinitesimalen Transformationen. Aus
(3.24) folgt dann, dass die Generatoren J µν , P µ hermitesche Operatoren
sind.
Aus dem zweiten Teil des Wignerschen Theorems folgt, dass im Allgemeinen
die U(g) nur eine projektive Darstellung bilden müssen, d.h. im Gegensatz
zu (3.22) eine Darstellung bis auf eine Phase. Diese Möglichkeit (wie auch
80

die von anti-untären Operatoren) hängt damit zusammen, dass nur die Beträge
von Skalarprodukten unverändert bleiben müssen. Man kann jedoch
zeigen (Weinberg Bd.1, Kap.2.7), dass die Phasen α(g 1 ,g 2 ) für infinitesimale
Lorentz-Transformationen durch eine Redefinition der Generatoren eliminieren
kann, so dass im folgenden angenommen werden kann, dass (3.22) für
kleine Lorentz-Tranformationen gilt.
Allerdings kann es globale Phasen geben. Wie bei den Rotationen gibt es Darstellungen bis auf
ein Vorzeichen, d.h. einer Lorentz-Transformation g werden zwei unitäre Transformationen ± U(g)
zugeordnet. So wird bei einer Rotation um den Winkel 2π der Zustand |ψ〉 eines Objekts mit halbzahligem
Spin in −|ψ〉 abgebildet. Solche globalen Phasen haben einen topologischen Urspung
in der Tatsache, dass die Rotationsgruppe und Lorentzgruppe nicht einfach zusammenhängend
sind, d.h. es gibt geschlossene Wege im Raum der Gruppenelemente, die nicht stetig zu einem
Punkt kontrahierbar sind. Es existiert dann eindeutig die universelle Überlagerungsgruppe, deren
Darstellungen echte Darstellungen ohne Phasen sind. Verschiedene Gruppen können dieselbe
universelle Überlagerung und dieselbe Algebra besitzen. Dagegen existiert eine eindeutige Korrespondenz
zwischen der universellen Überlagerung und der Algebra. Die universelle Überlagerung
der Rotationsguppe SO(3) ist die Gruppe SU(2) der unitären 2 × 2 Matrizen mit Determinante
1. Die kleinste nicht-triviale Darstellung der SU(2) ist die Multiplikation einer SU(2) Matrix auf
einem komplexen Zweiervektor. Diese Darstellung enspricht gerade den Spin-1/2 Objekten.
3.2 Klassifikation von Einteilchenzuständen
An dieser Stelle gehen wir zu natürlichen Einheiten
c = Lichtgeschwindigkeit = 1
= 1
ε 0 = 1 (3.42)
über. Eine solche Festlegung ist möglich, da c, ,ε 0 Konstanten sind, deren
numerischer Wert mit der Wahl des Maßeinheitensystems zusammenhängt.
In diesen Einheiten gilt
und so weiter.
E = √ m 2 + ⃗p 2 ⇒ p 2 = p µ p µ = (p 0 ) 2 − ⃗p 2 = m 2
E = ω, ⃗p = ⃗ k
α = e2
4π = 1
137
(3.43)
Der Begriff des Teilchens
Was ist ein Teilchen? Welche unveränderlichen Eigenschaften charakterisieren
ein Teilchen, d.h. unterscheiden es von anderen Teilchen? Welche
81

Zustände kann ein solches Teilchen annehmen, wodurch sind die Basiszustände
des Einteilchen-Hilbertraums gekennzeichnet? Im Folgenden werden
diese Fragen durch gruppentheoretische Überlegungen mathematisch
präzisiert und dann für die Poincaré-Gruppe im Detail ausgeführt.
Zunächst einige Begriffe aus der Darstellungstheorie. Eine Darstellung einer
Gruppe auf einem Vektorraum W wird irreduzibel genannt, wenn sie keinen
invarianten Untervektorraum V (außer dem Null-Vektorraum) besitzt,
d.h. es gibt kein V ⊂ W, so daß U(g)|ψ〉 ∈ V für alle Vektoren |ψ〉 ∈ V
und Gruppenelemente g ∈ G. Ein Operator heißt invarianter oder Casimir-
Operator, wenn er mit allen Generatoren der Algebra der Gruppe vertauscht.
Ein wichtiger Satz aus der Darstellungstheorie besagt, dass die irreduziblen,
unitären Darstellungen einer Gruppe durch die Eigenwerte der invarianten
Operatoren eindeutig bestimmt werden.
Für die Gruppe der dreidimensionalen Rotationen sind die irreduziblen, unitären Darstellungen
(2j + 1)-dimensional. Die verschiedenen Darstellungen werden durch den Eigenwert j (genauer:
j(j+1)) des Operators ⃗ J 2 charakterisiert, der der einzige invariante Operator ist, den man aus den
J i bilden kann. J 3 bildet einen vollständigen Satz von kommutierenden Operatoren, die (2j + 1)
Zustände |jm〉 des Vektorraums, auf dem die Darstellung irreduzibel operiert, werden durch den
Eigenwert m = −j,. . . , j − 1, j von J 3 gekennzeichnet. Die Clebsch-Gordon-Zerlegung der (2j 1 +
1)(2j 2 + 1) Produktzustände |j 1 m 1 ; j 2 m 2 〉 in die Zustände |jm〉 mit j = |j 1 − j 2 |, . . . , j 1 + j 2
entspricht gerade der Zerlegung des (2j 1 + 1)(2j 2 + 1)-dimensionalen Produktraums in invariante
Unterräume bezüglich der Rotationen, d.h. ein Zustand U(g)|jm〉 ist eine Linearkombination
von Zuständen mit demselben j. Man überzeuge sich davon anhand des folgenden Beispiels: Die
Produktdarstellung 1 2 ⊗ 1 2 der Zustände | 1 2 m; 1 2 m′ 〉 ≡ |m; m ′ 〉 ist nicht irreduzibel. Der Zustand
|ψ〉 = 1 √
2
„
| 1 2 ; −1 2 〉 − | − 1 2 ; 1 2 〉 «
transformiert unter Rotationen in sich selbst und bildet einen eindimensionalen invarianten Unterraum.
Dies ist gerade der Zustand mit dem Gesamtdrehimpuls 0. Die Transformation lautet
U(⃗n, θ)|ψ〉 = 1 √
2
„
e − i ⃗ J·⃗n θ | 1 2 〉 ⊗ e− i ⃗ J·⃗n θ | − 1 2 〉 − zweiter Term «
= X „
1 √2 |m; m ′ 〉
m,m ′
= |ψ〉
mit ⃗ J = ⃗σ/2 und der Wigner-Funktion
D (1/2)
m, 1 (⃗n, θ)D (1/2)
m
2
′ ,−
2
1 (⃗n, θ) − D (1/2)
m,−
2
1
«
(⃗n, θ)D (1/2)
m ′ , 1 (⃗n, θ)
2
siehe dazu auch QM I, S. 191.
D (1/2)
m,m ′ (⃗n, θ) ≡ 〈m ′ |e − i J·⃗n ⃗ θ |m〉 = cos θ 2 · 1 − i sin θ ⃗n · ⃗σ,
2
Unter einem Teilchen verstehen wir ein Objekt, welches im Rahmen einer
vorgegebenen Theorie nicht weiter in kleinere Einheiten unterteilbar
82

ist. Aufgrund der Lorentz-Invarianz gehören zu einem gegebenen Zustand
|ψ〉 mindestens alle weiteren Zustände U(g)|ψ〉, die durch eine Lorentz-
Transformation aus |ψ〉 hervorgehen. Wir identifizieren die Zustände eines
Teilchen also als diejenigen, die einen irreduziblen, invarianten Unterraum
bilden, d.h. die Darstellung der Lorentz-Transformationen wirkt auf
den Zuständen eines Teilchens irreduzibel. Denn würde man mehr Zustände
hinzunehmen, so dass die Darstellung reduzibel ist, so gäbe es eine relativistisch
invariante Charakterisierung von kleineren Einheiten, nämlich
den irreduziblen Unterräumen dieser zu großen Darstellung. Folglich sind
die unveränderlichen Eigenschaften eines Teilchens (bzw. einer Teilchensorte)
durch die Eigenwerte der invarianten Operatoren der Poincaré-Algebra
bestimmt, während die Basiszustände des zugehörigen Einteilchen-Hilbertraums
durch die Eigenwerte eines vollständigen Satzes von kommutierenden
Generatoren der Algebra gekennzeichnet werden.
Invariante Operatoren der Poincaré-Algebra
Ein aus P µ und J µν gebildeter invarianter Operator muss notwendigerweise
ein Lorentzskalar sein, d.h. er darf keinen unkontrahierten Lorentz-Index
besitzen. Dies ergibt zunächst
a) P 2 = P µ P µ
b) P µ P ν J µν ergibt 0 wegen Antisymmetrie
c) J µν J µν
Man rechnet leicht nach, dass P 2 invariant ist,
[
P 2 ,P µ] = 0 offensichtlich,
[
P 2 ,J µν] = P ρ [P ρ ,J µν ] + [P ρ ,J µν ]P ρ
= −i(P ρ (δ ρ ν P µ − δ ρ µ P ν ) + (δ ρ ν P µ − δ ρ µ P ν )P ρ )
= 0, (3.44)
J µν J µν jedoch nicht. Dies erschöpft jedoch nicht alle Möglichkeiten, Skalare
zu bilden. Mit Hilfe von ǫ µνρσ , dem total antisymmetrischen Tensor in vier
Dimensionen (analog zu ǫ ijk ) mit der Konvention ǫ 0123 = −1, kann man den
Vektor
W µ ≡ 1 2 ǫ µνρσJ νρ P σ (3.45)
bilden und daraus
83

d) W 2 ≡ −W µ W µ
e) P µ W µ ergibt 0 wegen Antisymmetrie
Man rechnet nach, dass [ W 2 ,P µ] = [ W 2 ,J µν] = 0, d.h. W 2 ist ein weiterer
invarianter Operator. Die Eigenwerte von P 2 und W 2 sind mit den Eigenschaften
Masse und Spin verknüpft. Sie definieren die Begriffe “Masse” und
“Spin”.
Basiszustände (Einteilchenzustände)
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, einen vollständigen Satz kommutierender
Operatoren der Algebra zu wählen. Man verwendet bevorzugt die vier
Komponenten von P µ und eine Komponente von W µ , da die P µ mit allen
W µ vertauschen, letztere aber nicht untereinander. Üblicherweise wählt man
W 3 (in einem Standardbezugssystem) und führt die
Basiszustände |p,s〉
p = Eigenwerte von P µ (3.46)
s = Eigenwert von W 3
ein. Dies liefert eine vollständige Charakterisierung vom Standpunkt der
Lorentz-Symmetrie. In der Natur gibt es weitere (“innere”) Symmetrien, die
nicht mit Transformationen der Raumzeit zusammenhängen. Diese führen
zu weiteren unveränderlichen Eigenschaften (elektrische Ladung, Farbe,. ..)
und weiteren Kennzeichnungen n der Basiszustände, so dass man |p,s,n〉
schreiben muss. Für die folgende Diskussion der Lorentz-Symmetrie können
wir die Kennzeichnung n weglassen.
Die Basiszustände haben ein einfaches Verhalten unter Translationen,
U(a)|p,s〉 = e iaµ P µ
|p,s〉 = e iaµ p µ
|p,s〉, (3.47)
welches für räumliche Translationen mit der Transformation in der nichtrelativistischen
Quantenmechanik übereinstimmt. Wir identifizieren die räumlichen
Komponenten von P µ als den Impulsoperator P ⃗ der Theorie und P 0
mit dem Hamiltonoperator H. Dies ist konsistent, wie die folgende Überlegung
zeigt: Die (aktive) Zeittranslation impliziert die Zeitentwicklung der
Zustände. Die durch die Lorentz-Transformation t ′ = t + τ verknüpften
Systeme müssen äquivalent sein in dem Sinne, dass der Zustand im gestrichenen
System zur Zeit t ′ mit dem im ungestrichenen System zur Zeit t
84

übereinstimmt (man vergleiche dies mit den Rotationen in QMI, S.161: dort
war 〈⃗x ′ |ψ ′ 〉 = 〈⃗x|ψ〉), also
Dann folgt aus (3.47), dass
und somit
|ψ ′ (t ′ )〉 = |ψ(t)〉. (3.48)
|ψ(t)〉 = |ψ ′ (t ′ )〉 = e iτP0 |ψ(t ′ )〉 = e iτH |ψ(t + τ)〉 (3.49)
|ψ(t + τ)〉 = e −iτH |ψ(t)〉. (3.50)
Die differentielle Form ist die Schrödinger-Gleichung
i ∂ |ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉, (3.51)
∂t
die sich hier als Konsequenz der Zeittranslationssymmetrie ergibt.
Für die Untersuchung des Transformationsverhaltens der Basiszustände unter
der homogenen Lorentz-Gruppe, die zum Konzept des Spins führt, muss
man eine Fallunterscheidung je nach Eigenwert m 2 von P 2 treffen:
a) P 2 |p,s〉 = m 2 |p,s〉 mit m 2 > 0
b) m 2 = 0
c) m 2 < 0
d) m 2 = 0 und p µ = 0
Der vorletzte Fall ist in der Natur nicht realisiert, der letzte betrifft nur den
Vakuumzustand.
3.2.1 Massive Teilchen
Wir betrachten Einteilchenzustände |p,s〉. Hier steht p für die Eigenwerte
der drei räumlichen Komponenten von P µ . Der Eigenwert p 0 von P 0 braucht
nicht angegeben zu werden, weil wegen P 2 |p,s〉 = m 2 |p,s〉 für alle Zustände
derselben Teilchensorte die Gleichung p 0 = ± √ ⃗p 2 + m 2 folgt. Dies ist die
relativistische Energie-Impuls-Beziehung, so dass der Eigenwert m mit der
Ruhmasse identifiziert wird. Damit die Energie nach unten beschränkt ist,
wird immer das positive Vorzeichen der Wurzel angenommen. Dagegen ist
die Bedeutung und der Wertebereich von s noch nicht bestimmt. Dies sollen
85

die folgenden Überlegungen zum Transformationsverhalten unter homogenen
Lorentz-Transformationen
klären.
U(Λ)|p,s〉 =? (3.52)
Für massive Teilchen existiert ein Ruhsystem, d.h. da p 2 > 0 existiert eine
Lorentz-Transformation (“Standard-Boost”) L(p) mit der Eigenschaft
p µ = L(p) µ νk ν mit k ν = (m,0,0,0). (3.53)
Auf den Zuständen |k,s〉 wirkt der in (3.45) definierte Operator W µ als
W µ = 1 2 ǫ µνρσJ νρ P σ = 1 2 mǫ µνρ0J νρ , (3.54)
also W 0 = 0 und mit ǫ 0ijk = −ǫ ijk
sowie
W i = 1 2 mǫ ijkJ jk = mJ i , (3.55)
W 2 ≡ −W µ W µ = W i W i = m 2 ⃗ J 2 . (3.56)
Die weitere mit dem Eigenwert von W 2 verknüpfte invariante Eigenschaft
eines relativistischen Teilchens ist also der Eigenwert von J ⃗2 , j(j + 1) (mit
den Werten j = 0, 1 2
,1,...), und wird — weil im Ruhsystem definiert — als
Eigenspin (kurz: Spin) bezeichnet. Die Kennzeichnung s der Zustände gibt
die Spinorientierung längs der Spinquantisierungsachse, i.A. der z-Achse, an
und kann folglich die 2j + 1 Werte s = −j,... ,j − 1,j annehmen. Die Ruhzustände
|k,s〉 eines Teilchens mit Spin j sind also identisch mit den aus der
Quantenmechanik bekannten Zuständen |jm〉. Das Transformationsverhalten
bei einer dreidimensionalen Rotation R lautet folglich
U(R)|k,s〉 = U(R)|jm〉 = ∑ m ′ |jm ′ 〉〈jm ′ |U(R)|jm〉 = ∑ m ′ D (j)
m ′ m (R)|jm′ 〉
=
j∑
s ′ =−j
D (j)
s ′ s (R) |k,s′ 〉, (3.57)
mit den Wigner-Funktionen D (j)
s ′ s
(R). Für Spin j = 1/2 lauten diese explizit
(QMI, S.191)
D (1 2 ) (⃗n,θ) = cos θ 2 1 − isin θ ⃗n · ⃗σ (3.58)
2
86

für eine Drehung mit Drehwinkel θ um die Achse ⃗n (⃗n 2 = 1). ⃗σ ist der aus
den Paulimatrizen gebildete Dreiervektor. Im Allgemeinen ist die Wigner-
Funktion eine (2j +1) ×(2j +1) Matrix, die von den drei Parametern (⃗n,θ)
der Rotation abhängt.
Nachdem so die Bedeutung von W 2 und s für die Ruhzustände geklärt ist,
definieren wir
|p,s〉 ≡ U(L(p))|k,s〉. (3.59)
Diese Gleichung ist als eine Definition der Bedeutung von s für die Zustände
mit allgemeinem p zu interpretieren: für beliebiges p ist s die Spineinstellung
im zu p gehörigen Ruhsystem. Dies setzt eine Konvention für die Wahl des
Standard-Boosts voraus, denn L(p) ist nicht eindeutig. Damit die Definition
(3.59) konsistent ist, muss gezeigt werden, dass das so definierte |p,s〉
tatsächlich ein Eigenzustand von P µ mit Eigenwert p µ ist. Dazu verwendet
man (3.30) in der Form
für den speziellen Fall Λ = L(p):
U(Λ) −1 P µ U(Λ) = Λ µ ρP ρ (3.60)
P µ |p,s〉 = U(L(p))(U(L(p)) −1 P µ U(L(p)))|k,s〉
= L(p) µ ρU(L(p))P ρ |k,s〉
= (L(p)k) µ (U(L(p))|k,s〉
= p µ |p,s〉 (3.61)
Vollkommen analog zeigt man, dass U(Λ)|p,s〉 erwartungsgemäß ein Eigenzustand
von P µ mit Eigenwert (Λp) µ ist. Das gesuchte Tranformationsverhalten
der Einteilchenzustände unter homogenen Lorentz-Transformationen
ergibt sich nun wie folgt:
U(Λ)|p,s〉 = U(Λ)U(L(p))|k,s〉 = U(ΛL(p))|k,s〉
= U(L(Λp))U(L(Λp) −1 ΛL(p)) |k,s〉. (3.62)
} {{ }
≡ U(W)
Die Transformation W = W(Λ,p) = L(Λp) −1 ΛL(p) wirkt auf den Ruhimpuls
k als
k −→ L(p)
p −→ Λ Λp L(Λp)−1
−→ k, (3.63)
d.h. W lässt k µ = (m,0,0,0) invariant. Die Untergruppe der Transformationen,
die den Vektor k µ = (m,⃗0) invariant lassen, auch als die zu k gehörige
“little group” bezeichnet, sind gerade die dreidimensionalen Rotationen.
87

W(Λ,p) wird deshalb auch Wigner-Rotation genannt. Die Wirkung einer
Rotation auf |k,s〉 ist durch (3.57) gegeben, so dass
U(Λ)|p,s〉 = U(L(Λp))
j∑
s ′ =−j
D (j)
s ′ s (W) |k,s′ 〉
= ∑ s ′ D (j)
s ′ s (W) |Λp,s′ 〉 (3.64)
wobei W ≡ L −1 (Λp)ΛL(p) von Λ und p abhängt. Der Lorentz-transformierte
Zustand ist folglich eine Superposition der verschiedenen Spinzustände des
Basiszustands mit Impuls Λp.
Normierung der Zustände
Als Eigenzustände von hermiteschen Operatoren sind die oben gewählten
Basisvektoren orthogonal:
〈p,s|p ′ ,s ′ 〉 = (2π) 3 N(p)δ ss ′δ (3) (⃗p − ⃗p ′ ) (3.65)
Für N(p) ist eine geeignete Konvention zu finden. Tatsächlich ist nur N(k)
frei wählbar, denn
〈p,s|p ′ ,s ′ 〉 = 〈k,s|U † (L(p))U(L(p ′ ))
} {{ }
=1 für p=p ′ |k ′ ,s ′ 〉 = (2π) 3 N(k) δ ss ′ δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ )
= (2π) 3 p0
k 0 N(k) δ ss ′ δ(3) (⃗p − ⃗p ′ ). (3.66)
Beim Übergang zur letzten Zeile wurde verwendet, dass p 0 δ (3) (⃗p − ⃗p ′ )
Lorentz-invariant ist, so dass insbesondere k 0 δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ) = p 0 δ (3) (⃗p − ⃗p ′ ).
Man wählt nun N(k) = 2m und erhält mit k 0 = m
N(p) = 2p 0 . (3.67)
Diese Normierung wird im Folgenden immer verwendet. Sie ist Lorentzinvariant,
d.h.
〈Λp,s|Λp ′ ,s ′ 〉 = 〈p,s|p ′ ,s ′ 〉. (3.68)
Die Vollständigkeitsrelation lautet mit dieser Normierung
∑
∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 |p,s〉〈p,s| = 1. (3.69)
2p0 s
88

d
Das Integrationsmaß
3 ⃗p
ist ebenfalls Lorentz-invariant (2p 0 im Nenner
(2π) 3 2p 0
kompensiert den Normierungsfaktor). Ein beliebiges Einteilchen-Wellenpaket
hat die Form
|ϕ〉 = ∑ ∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 |p,s〉 · ˜ϕ s(⃗p). (3.70)
s
Das Skalarprodunkt lautet
〈ϕ 1 |ϕ 2 〉 = ∑ s
= ∑ s
∫
∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 〈ϕ 1|p,s〉〈p,s|ϕ 2 〉
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 ˜ϕ 1s(⃗p) ∗ ˜ϕ 2s (⃗p). (3.71)
Bis auf die Umnormierung 1 −→ 2p 0 sind diese Ausdrücke mit den nichtrelativistischen
identisch.
Die Basiszustände |p,s〉 bilden für gegebenes m und j einen unendlichdimensionalen
Hilbertraum, da die Werte von p kontinuierlich sind. Die
irreduziblen, unitären Darstellungen der Poincaré-Gruppe sind alle unendlich-dimensional,
weil die Gruppenmannigfaltigkeit nicht kompakt ist. Im
Gegensatz dazu besitzen die dreidimensionalen Rotationen endlich-dimensionale,
unitären Darstellungen (Dimension 2j+1), weil die Rotationsgruppe
kompakt ist.
3.2.2 Masselose Teilchen
Der Fall P 2 |p,s〉 = 0 (also m 2 = 0) ist etwas komplizierter, da man nicht
auf die bekannten Eigenschaften der dreidimensionalen Rotationen zurückgreifen
kann.
Für einen Vektor mit p 2 = 0 existiert kein Ruhsystem. Masselose Teilchen
bewegen sich immer mit Lichtgeschwindigkeit: v = |⃗p |c 2 /E = c, da E =
√
(mc 2 ) 2 + (⃗pc) 2 = |⃗p |c. Statt der Transformation ins Ruhsystem wählen
wir nun die Lorentz-Transformation L(p) so, dass der Referenzvektor k eine
einfache Gestalt annimmt:
p µ = L(p) µ νk ν mit k = (n,0,0,n) (3.72)
und definieren wiederum |p,s〉 ≡ U(L(p))|k,s〉. Wie zuvor – Gl. (??) –
transformieren die Zustände bei einer Lorentz-Transformation Λ gemäß
U(Λ)|p,s〉 = U(L(p))U(W)|k,s〉. (3.73)
89

Die Matrix W = L(Λp) −1 ΛL(p) lässt jedoch jetzt den Vektor (n,0,0,n)
invariant. Wir bestimmen nun die Untergruppe der (homogenen) Lorentz-
Transformationen mit dieser Eigenschaft, um die Wirkung von U(W) auf
den Referenzzuständen |k,s〉 zu berechnen. Dazu betrachten wir zunächst
infinitesimale Transformationen Λ µ ν = δ µ ν +ω µ ν +.... Die Bedingung, dass
Λ den Vektor k unverändert lässt, lautet dann
ω µ νk ν = 0. (3.74)
Diese Gleichungen schränken die antisymmetrische Matrix w µν auf die Gestalt
⎛
⎞
0 −α −β 0
ω µν = ⎜ α 0 Θ −α
⎟
⎝ β −Θ 0 −β ⎠ (3.75)
0 α β 0
mit reellen Einträgen α, β und Θ ein. Der zugehörige unitäre Operator lautet
U(1 + ω) = 1 − i 2 ω µνJ µν + ...
= 1 − i(ω 10 J 10 + ω 20 J 20 + ω 30 J 30 ) − i(ω 12 J 12 + ω 13 J 13 + ω 23 J 23 ) + ...
= 1 − i[α(J 10 − J 13 ) + β(J 20 − J 23 ) + ΘJ 3 ] + ...
= 1 − i(ΘJ 3 + α (K 1 + J 2 ) +β (K 2 − J 1 )) + ... . (3.76)
} {{ } } {{ }
≡ A
≡ B
Die gesuchte Untergruppe wird von den drei Operatoren A, B und J 3 erzeugt.
Die Vertauschungsrelationen ergeben sich zu
[A,B] = 0
[
J 3 ,A ] = iB (3.77)
[
J 3 ,B ] = −iA
und sind in sich geschlossen. Sie bilden eine Unteralgebra der Poincaré-
Algebra (3.26), die äquivalent zur Algebra der Translationen (Erzeugende
A, B) und Rotationen (J 3 ) im zweidimensionalen euklidischen Raum ist.
Der Operator J 3 erzeugt die Rotationen um die z-Achse. Für die Konstruktion
der allgemeinen Form von W und U(W) erweist es sich als günstig, sie
in eine Rotation um die z-Achse und einen Rest zu zerlegen. Für gegebenes
Λ und p berechnet man zuerst W(Λ,p) ≡ L(Λp) −1 ΛL(p) und bestimmt aus
dem Resultat die Parameter α,β,Θ so, dass
W(Λ,p) = S(α,β) R(Θ), (3.78)
90

wobei S(α,β) und R(Θ) die durch Exponentieren der Generatoren A,B bzw.
J 3 erhaltenen globalen Transformationen sind und die Parameter als Funktionen
von (Λ,p) aufzufassen sind, d.h. Θ = Θ(Λ,p) usw. Der Parameter
Θ ist mit dem Rotationswinkel um die z-Achse assoziiert. Die zugehörige
Rotationsmatrix R(Θ) hat die Gestalt
R(Θ) =
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
0 cos Θ − sinΘ 0
0 sin Θ cos Θ 0
0 0 0 1
während der verbleibende Faktor S(α,β) durch
S(α,β) =
⎛
⎜
⎝
1 + ξ −α −β −ξ
−α 1 0 α
⎞
−β 0 1 β
ξ −α −β 1 − ξ
⎟
⎠ , (3.79)
⎞
⎟
⎠ (3.80)
gegeben ist. Hier wird die Abkürzung ξ ≡ (α 2 + β 2 )/2 verwendet.
Die Gestalt der Matrizen R und S erhält man, indem man die globalen Transformationen durch
das Exponential der Generatoren berechnet. Dazu stellen wir die Lorentz-Transformationen Λ
auf Viervektoren durch sich selbst dar, d.h. die Darstellung bildet ein Gruppenelement Λ auf
D(Λ) = Λ ab. Solche (nicht notwendigerweise unitären) Matrixdarstellungen der Lorentz-Gruppe
werden später noch eingehend untersucht. Wir schreiben also
„
Λ ρ σ
»exp = − i «– ρ
2 ωµνJµν , (3.81)
σ
wobei in dieser Darstellung jeder der sechs Generatoren J µν eine 4 × 4 Matrix mit den Indizes ρ,
σ ist. Für infinitesimale Transformationen führt diese Gleichung auf
ω ρ σ = − i 2 ωµν (Jµν ) ρ σ. (3.82)
Da diese Gleichung für beliebiges Ω gilt, erhält man für die Generatoren J µν in der Darstellung,
die auf Vierervektoren wirkt, den Ausdruck
(J µν ) ρ σ = i(g µρ δ ν σ − g νρ δ µ σ). (3.83)
Für die drei Generatoren der Algebra (??) ergeben sich daraus die Matrizen
−iJ 3 =
0
B
@
0 0 0 0
0 0 −1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
1
C
A ,
91

−iA =
−iB =
0
B
@
0
B
@
0 −1 0 0
−1 0 0 1
0 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
−1 0 0 1
0 0 1 0
1
1
C
A , (3.84)
Die Rotation R(Θ) in (??) folgt mit obigem Ausdruck für −iJ 3 aus der Beziehung R(Θ) =
exp(−iΘJ 3 ), die Matrix S(α, β) aus S(α, β) = exp(−i[αA + βB]) = exp(−iαA) exp(−iβB). Hier
wird verwendet, dass [A, B] = 0. Da A n = B n = 0 für n > 2 brechen die Exponentiale nach der
zweiten Ordnung ab und S(α, β) ist quadratisch in α, β.
C
A .
Wir kommen nun zurück zum Ausgangsproblem, der Charakterisierung der
Eigenwerte σ. Diese sind die Eigenwerte eines maximalen Satzes kommutierender
Operatoren der von A, B und J 3 aufgespannten Unteralgebra.
Bei massiven Teilchen entsprach diese Algebra der Drehimpulsalgebra, dort
bestand der maximale Satz kommutierender Operatoren aus J 3 , was zur
Identifikation von σ mit der z-Komponente des Spins im Ruhsystem führte.
Im vorliegenden masselosen Fall bilden A und B einen kommutierenden
Observablensatz. Wir schreiben also für die Zustände
|k,a,b〉, (3.85)
wobei a und b die Eigenwerte zu A und B sind. Dies führt jedoch zu einem
Problem, denn dann ist
U(R(Θ))| ⃗ k,a,b〉 (3.86)
ein Eigenzustand zu Eigenwerten a ′ = acos Θ − bsin Θ und b ′ = asin Θ −
bcos Θ. Dies ist anschaulich klar, denn die Eigenwerte (a,b) kann man als
einen Vektor in der zweidimensionalen euklidischen Ebene auffassen, dessen
Komponenten durch eine Rotation mit dem Winkel Θ wie angegeben
verändert werden.
Wir zeigen dies in erster Ordnung in Θ für den Operator A: Zunächst gilt
und damit
AU(R(Θ)) = A(1 − iΘJ 3 ) = (1 − iΘJ 3 )A + iΘ ˆJ 3 , A˜ , (3.87)
AU(R(Θ))|k, a, b〉 = a(1 − iΘJ 3 )|k,a, b〉 − bΘ|k, a, b〉
= (a(1 + . . . ) − b(Θ + . . . ))(U(R(Θ))|k, a, b〉). (3.88)
| {z } | {z }
a cos Θ bsin Θ
Der Vorfaktor ergibt, wenn man alle Ordnungen betrachtet, gerade a ′ = acos Θ − b sinΘ.
92

Die Eigenwerte a und b liegen — falls ungleich Null — also kontinuierlich.
Dies ist in der Natur nicht realisiert: Es gibt keine Teilchen mit kontinuierlichen
inneren Freiheitsgraden. Deswegen fordern wir jetzt für masselose
Teilchen, dass die Zustände Eigenzustände mit Eigenwerten a = b = 0 sind.
Dann lässt sich der Eigenwert von J 3 noch festlegen und J 3 bildet nach
obiger Forderung das einzig mögliche maximale kommutierende Operatorensystem.
Die verbleibende Zustanndskennzeichnung s ist folglich wie bei
massiven Zuständen durch die Eigenwerte von J 3 bestimmt:
J 3 |k,s〉 = s|k,s〉 (3.89)
93

Achtung! Ab hier ist das Manuskript unkorrigiert.
Es enthält bekannte und unbekannte
Fehler. Korrekturen sind willkommen.
94

Für Impulseigenzustände mit ⃗ k = (0,0,n) haben wir
U(W(α,β,Θ))| ⃗ k,σ〉 = e −iΘσ | ⃗ k,σ〉 (3.90)
abgeleitet. Daraus ergibt sich das Transformationsgesetz
U(Λ)|⃗p,σ〉 = e −iΘ(Λ,p)σ | ⃗ Λp,σ〉 (3.91)
für masselose Zustände. Der Winkel Θ ist über W aus Λ und p zu bestimmen.
Wie bei der Drehgruppe sind die Darstellungen der Lorentzgruppe nur
bis auf ein Vorzeichen bestimmt. Wenn wir im Transformationsgesetz für
Λ eine Drehung um den Winkel Θ 0 einsetzen, so gilt Θ(Λ,p) = Θ 0 . Daran
sieht man, daß σ ganz- oder halbzahlig sein muß, weil eine solche Drehung
immer durch ±1 dargestellt wird. Wir nennen σ die Helizität und definieren
|σ| als den Spin eines masselosen Teilchens. Die physikalische Bedeutung
der Helizität klärt die folgende Überlegung: Der Operator W µ ist für den
Impuls k = (n,0,0,n)
also
W µ = 1 2 (ǫ µνρ0J νρ − ǫ µνρ3 J νρ ) · n, (3.92)
W µ = n · (J 3 , −B,A,J 3 ). (3.93)
Weil die Anwendung von A und B 0 ergibt, erhalten wir
W µ | ⃗ k,σ〉 = k µ J 3 | ⃗ k,σ〉 = σk µ | ⃗ k,σ〉. (3.94)
W µ mißt somit die Länge der Projektion des Spins auf die Bewegungsrichtung
des Teilchens, und diese Länge ist die Helizität.
Zusammenfassend stellen wir fest: Ein masseloses Teilchen wird durch seine
Helizität und seinen Impuls charakterisiert. Weil der transformierte Zustand
U(Λ)|⃗p,σ〉 proportional zu |⃗p,σ〉 ist, ist die Helizität eine Lorentz-Invariante.
Daraus folgt, daß es für ein Teilchen nur einen Helizitätszustand geben muß.
Allerdings hat zum Beispiel das Photon zwei Helizitätszustände, die wir als
die beiden zirkularen Polarisationen kennen. Der Grund hierfür liegt in der
Paritätsinvarianz der Theorie des Elektromagnetismus: Wie wir im nächsten
Abschnitt sehen werden, geht |⃗p,σ〉 unter einer Paritätstransformation in
|⃗p, −σ〉 über. Deswegen treten beide Helizitäten auf.
3.2.3 Parität und Zeitumkehr
Bisher haben wir uns auf Lorentztransformationen beschränkt, die kontinuierlich
mit der Identität verbunden sind, die eigentlichen, orthochronen
95

Lorentztransformationen. In diesem Abschnitt untersuchen wir das Transformationsverhalten
der Einteilchenzustände |⃗p,σ〉 unter Paritäts- und Zeitumkehrtransformationen.
Weil diese Gruppenelemente nicht in der Zusammenhangskomponente
der Einheit liegen, können wir diese Untersuchungen
nicht mit Hilfe von infinitesimalen Transformationen durchführen.
Wir nehmen an, daß die Raumspiegelung P und die Zeitumkehr T durch
Operatoren U P und U T auf dem Hilbertraum darstellbar sind. Beachte:
Für die orthochronen Lorentztransformationen haben wir postuliert, daß
zugehörige Operatoren U(Λ,a) existieren; dies entspricht gerade der Forderung
nach relativistischer Invarianz. Diese Forderung stellen wir für P
und T nicht. Ob es Operatoren U P und U T gibt, hängt von der Theorie
ab. Im allgemeinen ist das nicht der Fall, oft kann man jedoch P und T als
sogenannte approximative Symmetrien, zu denen Operatoren U P und U T
existieren, betrachten, wenn man ”kleine”Terme im Hamiltonoperator vernachlässigt.
Zum Beispiel ist die Theorie des Elektromagnetismus Paritätsund
Zeitumkehrinvariant.
Auf der Minkowski-Raumzeit werden P und T durch die Matrizen
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1
−1
P = ⎜ −1
⎟
⎝ −1 ⎠ und T = ⎜ 1
⎟
⎝ 1 ⎠ (3.95)
−1
1
dargestellt. Konjugiert man die eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen
mit U P oder U T , so erhält man die Abbildungen, die in der entsprechenden
Zusammenhangskomponente der Lorentzgruppe liegen:
U P U(Λ,a)U −1
P
= U P U(Λ,a)U P −1
= U P U(ΛP −1 ,a) = U(PΛP −1 ,Pa)
für die Paritätstransformation und
U T U(Λ,a)U −1
T
= U(TΛT −1 ,Ta) (3.96)
für die Zeitspiegelung. Wir lassen an dieser Stelle noch offen, ob U P und U T
unitär oder anti-unitär sind.
Um das Transformationsverhalten der Generatoren P µ und J µν der Poincaré-Gruppe
zu bestimmen, betrachten wir eine infinitesimale Transformation
U(Λ,a) = − i 2 ω µνJ µν +iε µ P µ +... und führen einen Koeffizientenvergleich
96

mit 3.90 und 3.90 durch:
U(PΛP −1 ,Pa) ≃ 1 − i 2 (PωP −1 ) µν J µν + i(Pε) µ P µ
Andererseits haben wir mit obiger Definition
U P U(Λ,a)U −1
P
woraus man
≃ 1 − i 2 P µ ρ ω ρσ (P −1 ) σ νJ µν + iP µ ρ P µ .
= 1 − 1
2 ω µνU P iJ µν U −1
P
+ ε µU P iP µ U −1
P
U P iJ ρσ U −1
P
= iP ρ µ P σ ν J µν
U P iP ρ U −1
P
= iP ρ µ P µ
+ ... , (3.97)
ableitet. Für die Zeitumkehr gelten identische Gleichungen, wenn man U P
durch U T und P µ ν durch T µ ν ersetzt 1 . Auf der linken Seite wurden i und
U P nicht vertauscht, weil wir noch nicht wissen, ob U P unitär oder antiunitär
ist. Zu diesem Punkt behaupten wir: U P ist unitär, U T anti-unitär.
Dies begründen wir wie folgt: Für den Hamiltonoperator (H ≡ P 0 ) liefert
3.92
U P iHU −1
P
U T iHU −1
T
= iH
= −iH.
Aus der umgekehrten Annahme, daß U P anti-unitär und U T unitär sei, folgt
U P H = −HU P und U T H = −HU T . (3.98)
Es sei |ψ〉 ein Energieeigenzustand mit E > 0. Wir können dann einen
Zustand negativer Energie konstruieren:
H(U P |ψ〉) = −U P H|ψ〉 = −E|ψ〉 (3.99)
und analog für U T . Zustände negativer Energie werden aber nicht beobachtet.
Außerdem würde ihre Existenz zu theoretischen Problemen führen, weil
es dann keinen stabilen Grundzustand mehr gäbe, außer wenn das Spektrum
nach oben beschränkt ist, was ebenfalls nicht möglich ist.
Die Transformationsregeln der übrigen Generatoren der Poincaré-Algebra
erhält man aus analogen Rechnungen. Wir fassen nur die Ergebnisse in der
folgenden Tabelle zusammen:
1 P µ ν mit zwei Indices ist die Matrix der Paritätstransformation, P µ der Impulsoperator
mit nur einem Index
97

H P ⃗ J ⃗ K ⃗
U P + - + -
U T + - - +
Dies ist so zu lesen, daß zum Beispiel U T
⃗ KU
−1
T
= + ⃗ K und so weiter.
Transformationsverhalten von massiven Einteilchenzuständen. Wir
untersuchen zuerst wieder die Zustände | ⃗ k,s〉, um das Verhalten des Eigenspins
im Ruhsystem zu erkennen. | ⃗ k,s〉 sei also Eigenzustand von P 0 , P i
und J 3 mit den Eigenwerten M, ⃗0 und s. In der obigen Tabelle liest man
ab, daß U P mit P 0 und J i kommutiert, und der Raumanteil des Impulses
ergibt Null; der transformierte Zustande U P | ⃗ k,s〉 ist also Eigenzustand
zu den gleichen Eigenwerten. Wegen der Unitarität von U P kann dann der
Unterschied höchstens in einer Phase liegen:
U P | ⃗ k,s〉 = η s | ⃗ k,s〉. (3.100)
Die Phse η s könnte von s abhängen, jedoch nicht von ⃗ k, weil wir ja k = (M,⃗0)
festgelegt haben.
Man könnte vermuten, daß | ⃗ k, s〉 entartet ist, sodaß U P nicht denselben Zustand bis auf eine
Phase ergeben muß. Tatsächlich wird ein Zustand noch durch weitere ”innere”Quantenzahlen n
charakterisiert, siehe dazu den nächsten Abschnitt über innere Symmetrien. Eine Altenative wäre
dann
U P | ⃗ k, s, n〉 = X n ′ c s nn ′ |⃗ k, s, n ′ 〉. (3.101)
Das dies aber nicht möglich ist, liegt daran, daß U P mit inneren Symmetrieoperationen kommutiert,
also den Wert von n nicht ändert. Das ist die Aussage des sogennanten Coleman-Mandula-
Theorems.
Tatsächlich ist η s auch von s unabhängig, wir schreiben also η ≡ η s . Die
s-Unabhängigkeit folgtdaraus, daß U P mit allen Komponenten von ⃗ J kommutiert
und unitär ist; somit [J ± ,U P ] = 0 (per definitionem J ± = J 1 ±iJ 2 ):
η s±1 | ⃗ k,s ± 1〉 =
U P
√
(j ∓ s)(j ± s + 1)
J ± | ⃗ k,s〉 =
J ±
√
(j ∓ s)(j ± s + 1)
U P | ⃗ k,s〉
J ±
= η s √ | ⃗ k,s〉 = η s | ⃗ k,s〉.
(j ∓ s)(j ± s + 1)
Für den allgemeinen Zustand gilt dann
U P |p,s〉 = U P U(L(p))| ⃗ k,s〉 = U(PL(p)P −1 )U P | ⃗ k,s〉
= ηU(L(Pp))| ⃗ k,s〉 = η|P⃗p,s〉,
98

weil PL(p)P −1 k = PL(p)k = Pp = L(Pp)k. Der gespiegelte Viererimpuls
ist Pp = ( √ m 2 + ⃗p 2 , −⃗p). Die Phase η heißt innere Parität des Teilchens.
Die Untersuchung des Zeitumkehrverhaltens verläuft ähnlich. Da J 3 unter
= −J 3 , gehört der transformierte
Zustand U T | ⃗ k,s〉 zu den Eigenwerten M, ⃗0 und −s. Wir schreiben
also wieder mit einer Phase ξ s
Zeitumkehr sein Vorzeichen ändert, U T J 3 U −1
T
Die Phase ist jetzt s-abhängig:
U T | ⃗ k,s〉 = ξ s | ⃗ k, −s〉. (3.102)
ξ s±1 | k, −(s ⃗ ± 1) = U T(J 1 ± iJ 2 )
√ | ⃗ k,s〉. ...
= U T(J 1 ± iJ 2 −1
)
〉 √ ...|
U
⃗ k,s〉.
T
durch den Leiteroperator müssen wir beach-
Beim Durchschieben von U −1
T
ten, daß U T anti-unitär ist:
−J 1 ± iJ 2
... = ξ s √ | ⃗ k, −s〉 ...
= (−ξ s ) J1 ∓ iJ 2
√ ...
| ⃗ k, −s〉 = (−ξ s )| ⃗ k, −(s ± 1)〉.
Daraus schließen wir
ξ s±1 = −ξ s , (3.103)
daß also die Phase ihr Vorzeichen wechselt. Dieses Vorzeichen schreiben wir
als (−1) j−s (j ist der Spin). Damit lautet das Transformationsgesetz
im Ruhsystem und
U T | ⃗ k,s〉 = ξ(−1) j−s | ⃗ k, −s〉. (3.104)
U T |⃗p,s〉 = U(TL(p)T −1 )U T | ⃗ k,s〉 = ξ(−1) j−s |P⃗p,s〉 (3.105)
in einem System, wo ⃗p ≠ ⃗0. Der Impuls des transformierten Zustands läßt
sich durch die Paritätstransformation P ausdrücken:
TL(p)T −1 k = TL(p)(−k) = −Tp = Pp. (3.106)
99

Im Gegensatz zur inneren Parität η hat die Phase ξ jedoch keine physikalische
Bedeutung, was an der Anti-Unitarität von U T liegt: Sei ξ ≠ 1. Dann
können wir eine Phasentransformation der Zustände vornehmen.
Für die transformierten Zustände gilt dann
|k,s〉 ′ = √ ξ|k,s〉. (3.107)
U T |k,s〉 ′
= U T
√
ξ|k,s〉 =
√
ξ ∗ U T |k,s〉
= √ ξ ∗ ξ (−1) j−s |k, −s〉 = (−1) j−s√ ξ|k, −s〉
= (−1) j−s |k, −s〉 ′ , (3.108)
was bedeutet, daß die gestrichenen Zustände die Phase ξ ′ = 1 haben.
Transformationsverhalten von masselosen Einteilchenzuständen.
Dieser Fall ist komplizierter, weil der Referenzvektor k = n(1,0,0,1) nicht
invariant unter Raumspiegelung P ist und auch unter Zeitumkehr T nicht
einfach das Vorzeichen wechselt. Hier wird nur das Ergebnis angegeben 2 :
U P |⃗p,s〉 = η s e ∓iπs |P⃗p,s〉, (3.109)
wobei das obere Vorzeichen gilt, wenn die 2-Komponente von ⃗p positiv und
das untere, wenn sie negativ ist. Hinsichtlich der Helizität ist zu bemerken,
daß P ihr Vorzeichen ändert. Dies ist anschaulich klar, wenn man sich die
Definition der Helizität als Spin/Impuls vorstellt. Der Impuls wechselt das
Vorzeichen, während das des Spins dasselbe bleibt. Das Vorzeichen der Helizität
ist aber nur für Teilchen mit halbzahligem Spin relevant und hängt
damit zusammen, daß man dann nur Darstellungen bis auf eine Phase angeben
kann.
Für die Zeitumkehr ist
U T |⃗p,s〉 = ξ s e ±iπs |P⃗p,s〉, (3.110)
man erhält also keine Helizitätsänderung. Auch dies ist anschaulich klar,
weil die Zeitumkehr das Vorzeichen von Spin und Impuls umkehrt.
Im Zusammenhang mit der Zeitumkehr ist die Kramers-Entartung erwähnenswert:
Die zweifache Anwendung von U T ergibt
U 2 T |⃗p,s〉 = (−1) 2j |⃗p,s〉. (3.111)
Diese Entartung besteht bei massiven und masselosen Teilchen; bei letzteren
ist j der Helizität gleichzusetzen.
2 siehe Weinberg Kap. 2.6, S. 79/80
100

3.2.4 Innere Symmetrien, Antiteilchen und die Ladungskonjugation
Bisher haben wir ein Teilchen vom Standpunkt der Lorentzsymmetrie charakterisiert.
Das ist aber nicht immer ausreichend. Unter Ümständen sind
mehr Eigenschaften als Masse und Spin notwendig, um die Identität eines
Teilchens vollständig festzulegen.so sind zum Beispiel die verschiedenen
Quarks u, d und s nahezu masselos und haben Spin 1/2. Sie werden durch
eine weitere Eigenschaft, die man ”flavour”nennt, unterschieden.
Wir müssen wieder die unveränderlichen Eigenschaften, die die Darstellung
festlegen, von den Variablen (”Quantenzahlen”) trennen, welche die Basiszustände
des Einteilchen- Hilbertraums kennzeichnen. Formal geschieht dies
dadurch, daß wir mit diesen Eigenschaften eine Gruppe G von Symmetrietransformationen
assoziieren. Danach folgen wir der Analyse parallel zur
Lorentzgruppe. G kann diskret oder kontinuierlich sein, wir beschränken
uns aber auf den kontinuierlichen Fall, die sogenannten Lie-Gruppen. Wir
nehmen an, daß alle Elemente g ∈ G mit Lorentztransformationen kommutieren.
Unter Hinzunahme einiger physikalisch motivierter Annahmen kann
man zeigen, daß dies so sein muß. Die gesamte Symmetriegruppe ist dann
P ⊗ G, mit der Poincaré-Gruppe P und der inneren Symmetriegruppe G.
Einteilchenzustände |⃗p,s;n〉 bekommen einen zusätzlichen Index n, der die
mit G verknüpften Quantenzahlen zusammenfaßt.
Ein Teilchen ist dadurch definiert, daß die zugehörigen Zustände einen nicht
weiter teilbaren, invarianten Unterraum des Gesamthilbertraums bilden, also
eine irreduzible Darstellung der Symmetriegruppe tragen. Wir fassen die
Symmetrieanalyse in einem Flußdiagramm zusammen:
101

Symmetriegruppe G
❄
Darstellung U(g), g ∈ G;
U(g) = 1 + iε j T j + ...;
i = 1,... ,Zahl der Gruppenparameter
❄
Algebra der Hermiteschen Generatoren
T i :
[T i ,T j ] = i f ijk T k
(falls man keine projektive
Darstellung hat; sonst zusätzlich
+i Z ij · 1 für zentrale Ladungen
(s. QMI, S. 171/172))
✘✾✘ ✘✘✘ ✘ ✘✘✘✘ ❳ ❳❳❳❳
❳ ❳❳❳
❳3
invariante Operatoren C α mit
[C α ,T i ] = 0 ∀i (”Casimiroperatoren”)
Die Eigenwerte der Casimiroperatoren
klassifizieren die
Darstellungen; wie für die
Poincaré-Gruppe sind dies die
unveränderlichen Eigenschaften.
maximaler Satz kommutierender Operatoren
Die Eigenwerte kennzeichenen
die Zustände des Teilchens.
Wenn nur eine Teilchensorte
vorliegt, kann man die Casimiroperatoren
weglassen,
weil sich deren Eigenwert nie
ändert
Als Einteilchenzustände schreiben wir |⃗p,s;n〉, wobei der Index n diskret sein
soll. Weil die Operation der inneren Symmetriegruppe mit der der Poincaré-
Gruppe kommutieren soll, muß ein transformierter Zustand U(g)|⃗p,s;n〉 eine
102

Linearkombination von Zuständen zu den gleichen Eigenwerten ⃗p und s sein:
U(g)|⃗p,s〉 = ∑ n ′ D(g) n ′ n |⃗p,s;n ′ 〉 (3.112)
Die D(g) n ′ n bilden eine quadratische Matrix mit der Dimension der Darstellung.
Die Gesamtheit der Matrizen D(g) bildet eine Matrixdarstellung
der Symmetriegruppe, denn wegen U(g 1 )U(g 2 ) = U(g 1 g 2 ) und der Unitarität
der U(g) gilt auch D(g 1 )D(g 2 ) = D(g 1 g 2 ). D selbst ist also auch unitär.
Ein wichtiges Beispiel ist die Gruppe U(1) der Phasentransformationen um eine Phase Θ:
T(Θ 1 )T(Θ 2 ) = T(Θ 1 + Θ 2 )
U(T(Θ)) = e iΘ Q .
Diese Gruppe ist abelsch und hat nur einen Generator Q, der gleichzeitig auch die zugehörige
Invariante darstellt. Man könnte nun eine weitere Quantenzahl, den Eigenwert q n zum Operator
Q, in den Zustand aufnehmen, dies ist aber wegen der der Eindimensionalität der Gruppe nicht
notwendig, weil dieser Eigenwert für alle Zustände |⃗p, s〉 derselbe ist:
Q|⃗p, s〉 = q n |⃗p, s〉 (3.113)
q n kann zum Beispiel mit der elektrischen Ladung des Teilchens identifiziert werden, Q hieße dann
Ladungsoperator.
Definition des Antiteilchens. Gegeben sei ein Teilchen der Masse m
und Spin (m > 0) oder Helizität m = 0) und dem Transformationsverhalten
U(g)|⃗p,s;n〉 = ∑ n ′ D(g) n ′ n |⃗p,s;n ′ 〉 (3.114)
unter der inneren Symmetrie. Ein weiteres Teilchen heißt Antiteilchen zum
ersten, wenn es
(a) gleiche Masse hat;
(b) gleichen Spin (m > 0) beziehungsweise entgegengesetzte Helizität (m =
0) besitzt;
(c) unter allen inneren Symmetrien mit der komplex konjugierten Matrix
transformiert:
U(g)|⃗p,s; ¯n〉 = ∑¯n ′ D(g) ∗¯n ′¯n |⃗p,s; ¯n′ 〉 , (3.115)
was offensichtlich nur möglich ist, wenn auch die Matrizen D(g) ∗ eine
Darstellung der Gruppe formen.
103

In unserem obigen Beispiel der Phasentransformationen hat dann offensichtlich das Antiteilchen
die entgegengesetzte Ladung: Wegen U(T(Θ))|⃗p, s〉 = e iΘ Q |⃗p, s〉 transformiert das Antiteilchen
mit e −iΘ Q , also
Q|Antiteilchen〉 = −q n |Antiteilchen〉. (3.116)
Insbesondere: Teilchen und Antiteilchen haben entgegengesetzte elektrische Ladung.
Ladungskonjugation. Falls zu |⃗p,s;n〉 ein Antiteilchenzustand existiert,
so ist die Transformation der Ladungskonjugation, vermittelt vom Operator
U C , durch
U C |⃗p,s;n〉 = ξ |⃗p,s; ¯n〉 (3.117)
definiert. Diese Transformation führt also den Teilchenzustand bis auf eine
Phase in den Antiteilchenzustand über, außerdem ist C unitär.
Wenn die Matrizen D(g) für ein Teilchen reell sind, fassen wir das Teilchen
als sein eigenes Antiteilchen auf.
3.2.5 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Die Vielteilchenzustände werden wie im nichtrelativistischen Fall konstruiert:
wir gehen aus von Einteilchenzuständen |p,s;n〉, für die wir in diesem
Abschnitt die Kurznotation |p〉 verwenden 3 . Aus diesen Einteilchenzuständen
erhalten wir durch Bildung von Tensorprodukten die Besetzungszahlzustände
|n(p 1 )n(p 2 )...〉, wobei n(p 1 ) die Zahl der Teilchen im Zustand
|p〉 angibt. Bei der Konstruktion der Besetzungszahlzustände ist das Pauli-
Prinzip zu beachten: Sind die betrachteten Teilchen Fermionen, so ist der
Zustand antisymmetrisch unter Teilchenaustausch, sind die Bosonen, ist er
symmetrisch. Im Moment müssen wir die Frage offen lassen, ob unsere bisherige
Charakterisierung eines Teilchens schon festlegt, ob es ein Fermion
oder Boson ist.
Die Besetzungzahlzustände bilden den Fockraum. Die Manipulationen
mit Fockzuständen lassen sich auf solche mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
zurückführen. Die Fockzustände könnten wie in QMI, Kap. 6.3
zunächst über eine abzählbare Basis definiert werden, wonach man wie in
Kap. 6.3.3 zur Basis von Impulseigenzuständen übergehen könnte. Hier gehen
wir direkt von den Einteilchenzuständen |p〉 aus:
3 Die Eigenwerte der Casimiroperatoren, die die Teilchensorte spezifizieren, denken wir
uns dazu
104

Vakuum |0〉 〈0|0〉 = 1
Ein Teilchen |p〉 〈p|p ′ 〉 = δ(p − p ′ ) ≡ 2p 0 δ (3) (⃗p − ⃗p ′ ) δ ss ′δ nn ′
Zwei Teilchen 4 |p 1 p 2 〉 |p 1 p 2 〉 = √ 1 2
(|p 1 〉|p 2 〉 ± |p 2 〉|p 1 〉)
〈p ′ 1 p′ 2 |p 1p 2 〉 =
δ(p ′ 1 − p 1)δ(p ′ 2 − p 2) ± δ(p ′ 2 − p 1)δ(p ′ 1 − p 2)
N Teilchen |p 1 ...p N 〉 |p 1 ... p N 〉 = √ 1
N!
∑σ (±1)|σ| P σ (|p 1 〉|p 2 〉... |p N 〉)
∑
〈p ′ 1 ...p′ M |p 1 ...p N 〉 =
σ (±1)|σ| Π N i=1 δ(p′ i − p σ(i)) δ MN
Eine konventionellere Definition ist
|p 1 . . . p N 〉 ′ ≡ 1 √
N!
|p 1 . . . p N 〉. (3.118)
Für diese gilt die nützliche Vollständigkeitsrelation in der Form
Z
Z
1 = |0〉〈0| + dp |p〉 ′ 〈p| ′ + · · · + dp 1 . . . dp N |p 1 . . . p N 〉 ′ 〈p 1 . . . p N | ′ + . . . (3.119)
mit R dp ≡ P R
s,n
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 . In späteren Kapiteln verwenden wir diese Konvention.
Wir definieren jetzt den Erzeugungsoperator durch seine Wirkung auf einen
Basiszustand:
a † (p)|p 1 p 2 ... p N 〉 = |p p 1 p 2 ... p N 〉 (3.120)
Für |...〉 ′ -Zustände fügt man einen Faktor √ N + 1 ein. Diese Definition gilt
für Fermionen und Bosonen; da der Zustand |pp 1 ... p N 〉 für Fermionen total
antisymmetrisch ist, ergibt die rechte Seite Null, wenn p mit einem der schon
besetzten p i übereinstimmt. Insbesondere gilt
|p〉 = a † (p)|0〉. (3.121)
Wir beweisen die folgenden Rechenregeln für Erzeuger und Vernichter:
(a)
a(p)|p 1 ...p N 〉 =
N∑
(±1) i+1 δ(p i − p)|p 1 ...p i−1 p i+1 ... p N 〉 (3.122)
i=1
105

(b)
[ ]
a(p),a † (p ′ ) = δ(p − ∓ p′ )
[
a(p),a(p ′ ) ] ∓
[ ]
= 0
a † (p),a † (p ′ ) = 0
∓
Hierin ist [A,B] ∓ = AB ∓ BA; für bosonische Teilchen ist jeweils mit
− der gewöhnliche Kommutator zu wählen, für fermionische der Antikommutator
mit +.
(c) Jeder Operator kann durch Erzeuger und Vernichter dargestellt werden.
Beweis:
zu (a): Wir bilden das Skalarprodukt der linken Seite mit einem beliebigen
M-Teilchen-Zustand |p ′ 1 ...p′ M 〉
|p 1 ...p ′ M〉 a(p) |p 1 ...p N 〉 = 〈p p ′ 1 ... p ′
} {{ M|
}
p 1 ...p N 〉 (3.123)
q 1 ...q N
und benennen die p p ′ 1 ...p′ M in q 1 ...q N um. Nach 3.2.5 ist das
∑ ∏
N
δ N M+1 (±1) |σ| δ(p σ(i) − q i ). (3.124)
σ
Die Permutation σ zerlegen wir in den Teil, der q 1 = p mit p σ(i) vertauscht,
und den Rest, der die übrigen q 2 ...q N = p ′ 1 ...p′ M permutiert,
aber 1 und σ(i) festhält. Diesen Rest nennen wir σ ′ . Damit erhält man
∑
N ∑
δ N M+1
i=1
i=1
σ ′ (±1) i−1 (−1) |σ′| δ(p − p i )
M∏
j=1
δ(p σ ′ (i) − p ′ i),
Dies ist genau das Matrixelement der rechten Seite, wenn man die
Deltafaktoren von p aus dem Produkt herauszieht.
zu (b): Wir benutzen Wirkung der Erzeuger und Vernichter auf einen beliebigen
Zustand |p 1 ...p N 〉:
(a(p)a † (p ′ ) ∓ a † (p ′ )a(p)|p 1 ...p N 〉
N∑
= a(p)|p ′ p 1 ... p N 〉 ∓ a † (p ′ ) (±1) i+1 δ(p − p i ) |p 1 ...p i−1 p i+1 ...p N 〉.
106
i=1

Im ersten Term isolieren wir den Summanden, der die Deltafunktion
von p ′ enthält:
· · · = δ(p − p ′ )|p 1 ...p N 〉 +
∓
N∑
(±1) i+2 δ(p − p i ) |p ′ p 1 ...p i−1 p i+1 ...p N 〉
i=1
N∑
(±1) i+1 δ(p − p i ) |p ′ p 1 ...p i−1 p i+1 ... p N 〉
i=1
= δ(p − p ′ ) |p 1 ...p N 〉.
Im zweiten Term ergibt sich das Vorzeichen daraus, daß der jeweilige
Impuls an p ′ vorbeigezogen werden muß. Dann heben sich die beiden
Summen gerade auf.
zu (c): siehe QMI, S.279-282 und S.289/290.
Wir nehmen nun an, daß ein Zustand |p 1 ...p N 〉 auch verschiedene Teilchensorten
enthalten kann. Hinsichtlich der Symmetrie vereinbaren wir, daß die
Zustände
• symmetrisch beim Austausch beliebiger Bosonen,
• symmetrisch beim Austausch von Fermionen und Bosonen,
• aber antisymmetrisch beim Austausch zweier Fermionen, auch solcher
unterschiedlicher Sorte,
sind. Diese Konvention ist günstig, weil zwei Teilchen, die auf den ersten
Blick verschieden sind, unter Umständen als Zustände eines Teilchens bezüglich
einer approximativen Symmetrie aufgefaßt werden können. So unterscheiden
sich zum Beispiel Proton und Neutron nur in ihrem Isospin, wenn sie
als gleichschwer betrachtet werden und die elektrische Ladung keine Rolle
spielt. Ähnliches gilt für die drei Quarks u, d und s und die sogenannte
”flavour”-Quantenzahl. Eine derartige Änderung des Blickwinkels kann
dann ohne eine Umdefinition der Zustände implementiert werden.
Transformationsverhalten von a und a † . Dieses folgt sofort aus der
Regel
|p〉 = a † (p)|0〉 (3.125)
und Adjunktion des Gesetzes. Wir nehmen an, das das Vakuum unter allen
Symmetrioperationen unverändert bleibt, also insbesondere Lorentz-invariant
107

ist. Dann gilt mit einem beliebigen Gruppenelement g:
U(g)a † (p)U(g) −1 |0〉 = U(g)a † (p)U(g) −1 U(g)|0〉
= U(g)|p〉
= ∑ D p ′ p(g)|p ′ 〉
p ′
= ∑ p ′ D p ′ p(g) a † (p ′ )|0〉,
also
U(g) a † (p) U(g) −1 = ∑ p ′ D p ′ pa † (p ′ ). (3.126)
Es folgt eine Zusammenfassung der Gesetze, die man durch Anwendung
dieser allgemeinen Formel auf die bisher betrachteten Symmetrieoperationen
erhält.
Poincaré-Transformationen
• Eigentliche, orthochrone Transformationen von massiven Zuständen
(U(Λ,b) = e ib·P U(Λ,0))
U(Λ,b) a † (p,s,n) U(Λ,b) −1 = e ib·Λp ∑ s ′
U(Λ,b) a(p,s,n) U(Λ,b) −1 = e −ib·Λp ∑ s ′
D (j)
s ′ s (W(Λ,b)) a† (Λp,s ′ ,n)
D (j)∗
s ′ s (W(Λ,b)) a(Λp,s′ ,n)
• diskrete Operationen
U P a † (p,s,n) U −1
P
= η P a † (Pp,s,n)
U T a † (p,s,n) U −1
T
= ξ T (−1) j−s a † (Pp, −s,n)
C a † (p,s,n) C −1 = ξ C a † (p,s, ¯n)
• masselose Zustände:
U(Λ,b) a † (p,s,n) U(Λ,b) = e ib·Λp e −iΘ(Λ,p)σ a † (Λp,s,n)
U P a † (p,s,n) U −1
P
= η Ps e ∓iπs a † (Pp, −s,n)
U T a † (p,s,n) UT
−1 = ξ Ts (−1) j−s e ±iπs a † (Pp,s,n)
C a † (p,s,n) C −1 = ξ Cs a † (p,s, ¯n)
108

innere Symmetrien
Teilchen
U(g) a † (p,s,n) U(g) −1 = ∑ n ′ D n ′ n(g) a † (p,s,n ′ )
U(g) a(p,s,n) U(g) −1 = ∑ n ′ D ∗ n ′ n (g) a(p,s,n′ )
Antiteilchen
U(g) a † (p,s, ¯n) U(g) −1 = ∑ n ′ D ∗ n ′ n (g) a† (p,s, ¯n ′ )
U(g) a(p,s, ¯n) U(g) −1 = ∑ n ′ D n ′ n(g) a(p,s, ¯n ′ )
109

3.3 Feldoperatoren für freie Teilchen
Wir wenden uns jetzt der Konstruktion des Feldoperators für freie Teilchen
zu. Wie für die schon bekannten Fälle des nichtrelativistischen Elektrons und
des Photons in der Coulomb-Eichung soll der Feldoperator durch Summation
über Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gebildet werden:
∫
Ψ i (x) ∼ d 3 p ∑ f i (⃗p,s,n;x) a † (p,s;n)
s,n
Zunächst soll aber motiviert werden, warum man in der relativistischen
Quantentheorie zum Begriff des Feldoperatores geführt wird und welche
Forderung man zusätzlich an diesen Operator stellen muß. Anschließend
konstruieren wir den Feldoperator für freie Teilchen mit Spin 0, 1 und 1/2
und leiten dann die Feldgleichungen ab.
Man erinnere sich daran (Seite 85), daß die Bewegungsgleichung, die
die Zeitentwicklung bestimmt, eine Folge der Zeittranslationsinvarianz des
Systems ist und nicht zusätzlich postuliert werden muß. Die ganze nichttriviale
Arbeit ist nach Analyse der Darstellungen der Lorentzgruppe schon
geleistet!
3.3.1 Felder und relativistische Invarianz
In der Streutheorie und der zeitabhängigen Störungstheorie benötigt man
das Matrixelement
〈f|U(∞, −∞) |i〉,
wobei U der Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild ist. Lorentz-
Invarianz bedeutet, daß ein Beobachter in einem anderen Inertialsystem,
der das System durch Zustände |i ′ 〉 = U(Λ,a)|i〉 und |f ′ 〉 = U(Λ,a)|f〉
beschreibt, dasselbe Resultat erhält:
〈f|S|i〉 = 〈f ′ |S|i ′ 〉 = 〈f|U † (Λ,a)SU(Λ,a)|i〉
(Wir schreiben S für U(∞, −∞).) Weil dies für alle Zustände gelten soll und
U(Λ,a) unitär ist, ist das äquivalent zu
U −1 (Λ,a)S U(Λ,a) = S
oder [U(Λ,a),S] = 0 (3.127)
In Kapitel 1.2.2 haben wir schon einen für eine Störungsentwicklung verwertbaren
Ausdruck abgeleitet, der von der Störung V (t) im Wechselwir-
110

kungsbild ausgeht:
S = 1 − i
= 1 − i
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
dt V (t)U(t, −∞)
∫ ∞ ∫ t1
dt 1 V (t 1 ) + (−i) 2 dt 1 dt 2 V (t 1 )V (t 2 )
−∞
−∞
−∞
∫ ∞ ∫ t1
+ · · · + (−i) n dt 1 dt 2 ...
−∞
∫ tn−1
−∞
dt n V (t 1 )V (t 2 )... V (t n ) + ...
(3.128)
Wir definieren das zeitgeordnete Produkt von Operatoren, das in einem Produkt
von mehreren Operatoren denjenigen zum spätesten Zeitpunkt nach
links außen, den nächstfrüheren an die zweite Stelle und so fort stellt. Für
zwei Operatoren
T(V (t 1 )V (t 2 )) = Θ(t 1 − t 2 )V (t 1 )V (t 2 ) + Θ(t 2 − t 1 )V (t 2 )V (t 1 )
=
{ V (t1 )V (t 2 ) t 1 ≥ t 2
V (t 2 )V (t 1 ) t 1 < t 2
Die Gestalt für mehr als zwei Faktoren möge man sich überlegen, sie wird
aber nie explizit benötigt. Mithilfe des T-Produkts können wir die Summanden
in der Störungsreihe 3.121 vereinfachen, was am Beispiel des quadratischen
Terms vorgeführt wird:
∫ ∞
−∞
∫ t1
dt 1 dt 2 V (t 1 )V (t 2 )
−∞
= 1 (∫
dt 1 dt 2 V (t 1 )V (t 2 ) +
2 t 1 >t 2
= 1 ∫
dt 1 dt 2 T(V (t 1 )V (t 2 )).
2
∫
)
dt 1 dt 2 V (t 2 )V (t 1 )
t 2 >t 1
Im zweiten Schritt wurden die Integrationsvariablen ausgetauscht. Die Θ-
Funktionen im T-Produkt schränken den Integrationsbereich passend ein.
Analog verfahre man mit den Summanden höherer Ordnung, beachte aber
den Faktor 1/n! (im obigen Beispiel 1/2), weil man über alle Permutationen
von 1... n summiert. Mit dieser Definition lautet der Streuoperator S
∞∑ (−i) n ∫
S = 1 + dt 1 ...dt n T(V (t 1 )... V (t n ))
≡ T exp
n=1
(
−i
n!
∫ ∞
−∞
)
dt V (t)
111
. (3.129)

Wann ist der auf diese Weise gebildete Operator Lorentz-invariant? Wir behaupten:
S ist relativistisch invariant, falls V (t) als Integral über eine Dichte geschrieben
werden kann,
∫
V (t) = d 3 ⃗x H(t,⃗x) ,
und die Dichte H(t,⃗x) die folgenden Bedingungen erfüllt (x ≡ (t,⃗x)):
(a) U(Λ,a) H(x)U(Λ,a) −1 = H(Λx + a)
(b) [H(x), H(y)] = 0 für (x − y) 2 < 0 .
Zum Beweis: Wir setzen den vorausgesetzten Ausdruck für V (t) in die Form
(3.122) ein:
S = 1 +
∞∑
n=1
(−i) n
n!
∫
d 4 x 1 ... d 4 x n T(H(x 1 )... H(x n )).
Die Maße d 4 x i sind Lorentz-invariant. Stünde im Integral kein T-Produkt,
würde die Invarianz von S aus Voraussetzung (a) folgen:
∫
U(Λ,a) d 4 x 1 ...d 4 x n H(x 1 )...H(x n ) U(Λ,a) −1
∫
= d 4 x 1 ...d 4 x n H(Λx 1 + a)...H(Λx n + a)
∫
= d 4 x 1 ...d 4 x n H(x 1 )... H(x n ) .
Man muß also noch zeigen, daß die Zeitordnung ebenfalls Lorentz-invariant
ist. Dazu wird die Bedingung (b) benötigt, wie man gleich sieht. Wir betrachten
wieder den quadratischen Term und verwenden die Definition des
T-Produkts:
U(Λ,a) T(H(x 1 )H(x 2 )) U(Λ,a) −1
= Θ(t ′ 1 − t ′ 2)H(t ′ 1,⃗x ′ 1)H(t ′ 2,⃗x ′ 2) + Θ(t ′ 2 − t ′ 1)H(t ′ 2,⃗x ′ 2)H(t ′ 1,⃗x ′ 1).
Damit Die Zeitordnung erhalten bleibt, muß entweder t ′ 1 > t′ 2 gelten, oder
man muß H(x 1 ) mit H(x 2 ) vertauschen dürfen, um die Zeitordnung wieder
herzustellen, wenn t ′ 1 < t′ 2 ist. Sei z = x 1−x 2 = (t,0,0,a) und damit z ′ = Λz.
112

Ohne die Allgemeinheit einzuschränken untersuchen wir die Zeitdifferenz t ′ ,
wenn Λ ein Boost in z-Richtung ist:
( ) ( )( )
t
′ γ −βγ t
a ′ =
−βγ γ a
Die erste Komponente dieser Gleichung lautet
t ′
= γt − βγa = γ(t − βa).
Sei nun t > 0. Dann gilt t ′ > 0 für alle β, falls a ≤ t, also z 2 ≥ 0. Für
a > t, was nichts anderes als z 2 < 0 bedeutet, kann man dagegen immer
ein β finden, mit dem t ′ < 0. Diese Aussage läßt sich auf beliebige Lorentztransformationen
ausweiten; wir schließen also, daß die Zeitordnung erhalten
bleibt, wenn (x 1 − x 2 ) 2 ≥ 0 ist. Anderenfalls gibt es eine Lorentztransformation,
die die Zeitordnung umkehrt. Deswegen verlangen wir, daß H(x 1 )
und H(x 2 ) für raumartige Abstände kommutieren. Es ist also bewiesen, daß
Gleichung (3.120) unter den gewählten Voraussetzungen gilt. Wir merken
an:
(1) Forderung (a) statt der umgekehrten Form U(Λ,a) −1 H(x)U(Λ,a) =
H(Λx+a) ist sinnvoll, weil sich dann die richtige Zeitentwicklung von
V (t) im Wechselwirkungsbild ergibt:
V (t) = U(1,t) V (0) U(1,t) −1 = e iH 0t V (0) e −iH 0t .
Man beachte, daß U(Λ,a) durch die Wirkung auf freie Zustände definiert
wurde und deshalb die Generatoren der freien Theorie, hier H 0 ,
enthält.
(2) Die Forderung (b) kann man mit der Forderung nach Kausalität rechtfertigen:
Zwei raumartig ((x 1 −x 2 ) 2 < 0) getrennte Beobachter können
ihr Handeln durch kein Signal wechselseitig beeinflussen. Deshalb sollten
auch Operatoren an raumartig getrennten Orten kommutieren,
also insbesondere gleichzeitig scharf messbar sein.
(3) Die Bedingungen (a) und (b) sind hinreichend,aber nicht notwendig für
relativistische Invarianz. Wir erden im folgenden dennoch nur Wechselwirkungen
betrachten, die diese Bedingungen erfüllen.
Daß V (t) als Integral über d 3 ⃗x geschrieben werden soll, legt nahe, den
Operator H(t,⃗x) aus Produkten von Feldern zu konstruieren. Wir definieren
113

dazu die Feldoperatoren
Ψ (+)
α (x) ≡ ∑ ∫
s,n
Ψ α
(−) (x) ≡ ∑ ∫
s,n
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 u α(x; ⃗p,s,n)a(⃗p,s,n)
”Vernichtungsfeld”
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 v α(x; ⃗p,s,n)a † (⃗p,s,n) ”Erzeugungsfeld” .
Der Index α soll endlich viele Werte annehmen, daß Feld also eine endliche
Zahl von Komponenten besitzen. Die Koeffiziententfunktionen u α und v α
wählen wir so, daß die Felder daß Transformationsgesetz
U(Λ,a)Ψ (±)
α (x)U(Λ,a) −1 = ∑ α ′ D αα ′(Λ −1 )Ψ (±)
α ′ (Λx + a) (3.130)
für Lorentztransformationen Λ erfüllen. Die Matrix D αα ′(Λ −1 ) soll dabei
weder von x noch von a abhängen.
Diese Definition ist konsistent mit der Transformation unter Translationen und Rotationen in
QMI, S. 161 und 189. Der Zusammenhang zwischen Operator und Wellenfunktion wird dadurch
hergestellt, daß Ψ (+) einen Ortszustand erzeugt. Dann bekommt man die Einteilchenwellenfunktion
in der Ortsdarstellung durch Projektion des abstrakten Einteilchenzustands |Ψ〉 auf den
Zustand Ψ (+)
α (x)|0〉:
Ψ α(x) ≡ 〈0|Ψ (−)
α (x)|Ψ〉.
Dann folgt mit dem Gesetz (3.123) das bekannte Transformationsverhalten der Wellenfunktion:
Ψ ′ α (x) = 〈0|Ψ(−) α (x)|Ψ ′ 〉 = 〈0|U(Λ, a) −1 Ψ (−)
α (x) U(Λ, a)|Ψ〉
= 〈0| U(Λ −1 , −Λ −1 a)Ψ (−)
α (x) U(Λ −1 , −Λ −1 a) −1 |Ψ〉
= X D αα ′(Λ) 〈0|Ψ (−)
α (Λ −1 x − Λ −1 a)|Ψ〉
αα ′
= X αα ′ D αα ′(Λ) Ψ α(Λ −1 (x − a)) .
Wir erhalten
für Translationen: Ψ ′ α (x) = Ψα(x − a) in Übereinstimmung mit QMI, S. 161;
für Rotationen: Ψ ′ α (x) = P α ′
D(j) αα ′ (⃗n, Θ) Ψ α(R −1 x) wie in QMI, S. 189.
Man kann dann die Dichte
H(x) = ∑ ∑ ∑
c α1 ...α m;β 1 ...β n
Ψ (−)
α 1
(x)... Ψ (−)
α m
(x)Ψ (+)
β 1
(x)... Ψ (+)
β n
(x)
mn α 1 ...α m β 1 ...β n
bilden, die wie U(Λ,a)H(x)U(Λ,a) −1 = H(Λx + a) transformiert, wenn die
Koeffizienten c α1 ...α m;β 1 ...β n
gerade die Matrizen D(Λ) −1 kompensieren. Desweiteren
ist darauf zu achten, daß H(x) hermitesch ist und für raumartige
114

Abstände mit sich selbst vertauscht.
Die Hintereinanderausführung von zwei Lorentztransformationen im Gesetz
(3.123) liefert die Homomorphieigenschaft der Abbildung D von der Gruppe
in die entsprechende Matrixgruppe:
oder mit Λ ′ 1 ≡ Λ−1 1 , Λ′ 2 ≡ Λ−1 2
D(Λ −1
1 )D(Λ−1 2 ) = D((Λ 2Λ 1 ) −1 )
D(Λ ′ 1 )D(Λ′ 2 ) = D(Λ′ 1 Λ′ 2 ) .
Damit ist gezeigt, daß die D αα ′ eine endlich dimensionale Matrixdarstellung
der homogenen orthochronen Lorentzgruppe bilden. Die Matrizen D(Λ)
müssen nicht unitär sein! Im nächsten Abschnit werden wir diese Matrixdarstellungen
abstrakt untersuchen. Einfacher gestaltet sich die Ableitung der
Ortsabhängigkeit der Koeffizienten u α und v α , die wir mithilfe des Translationsverhaltens
aus (3.123) bestimmen: Wir wählen (Λ,a) ≡ (1,a) und
erhalten unter Verwendung der Transformationsregel für den Vernichter a
von Seite 107 und der Definition (3.123)
U(1,a)Ψ (+)
α U(1,a) −1
= ∑ ∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 u α(x; ⃗p,s,n) U(1,a)a(⃗p,s,n)U(1,a) −1
s,n
= ∑ ∫
d 3 ⃗p
e−ia·p
(2π) 3 2p 0 u α (x; ⃗p,s,n)a(⃗p,s,n)
s,n
= Ψ (+)
α (x + a) = ∑ ∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 u α(x + a; ⃗p,s,n)a(⃗p,s,n) .
s,n
Weil die Verschiebung a beliebig ist, können wir u α (⃗p,s,n) als Anfangswert
an einem frei wählbaren Raumzeitpunkt, zum Beispiel im Ursprung, festlegen,
und diesen Wert mit dem Translationsgesetz über die ganze Raumzeit
tragen, um die Funktion u α (⃗x; ⃗p,s,n) zu konstruieren:
Eine analoge Rechnung ergibt
u α (⃗x; ⃗p,s,n) ≡ e −ip·x u α (⃗p,s,n) .
v α (⃗x; ⃗p,s,n) ≡ e ip·x v α (⃗p,s,n)
für den Erzeugeranteil. Beachte, daß exp(−ip ·x) unter homogenen Lorentztransformationen
skalaren Charakter hat: bei der Behandlung der Boosts
115

auchen wir uns nur um die u α (⃗p,s,n) zu kümmern, welche auch sämtliche
Information über den Spin des Feldes enthalten.
Hinsichtlich der Zeitentwicklung der Felder bemerken wir: Der Faktor exp(−ip·
x) enthält exp(−ip 0 t), was nichts anderes ist als die Zeitentwicklung bezüglich
des freien Hamiltonoperators H 0 . Wie üblich handelt es sich bei den gerade
konstruierten Feldern um Heisenberg- Operatoren. Die Fockraum-Basiszustände
sind zeitunabhängig.
In der Gegenwart von Wechselwirkungen (V (t) ≠ 0) bezieht sich U(Λ,a)
wie schon erwähnt auf den freien Fall, das bedeutet, daß die Feldoperatoren
dann im Wechselwirkungsbild zu verstehen sind. Mehr dazu im Zusammenhang
mit der Streutheorie.
3.3.2 Endlichdimensionale Darstellungen der Lorentzgruppe
Um die Koeffizienten u(⃗p,s,n) und v(⃗p,s,n) zu konstruieren, verschaffen
wir uns zuerst einen Überblick über die endlichdimensionalen Darstellungen
der Lorentzgruppe. Diese sind streng von den unendlichdimensionalen Darstellungen
auf Einteilchenzuständen zu unterscheiden, denn sie können im
Gegensatz zu letzteren nicht unitär konstruiert werden, was an der Nichtkompaktheit
der Gruppenmannigfaltigkeit liegt. Wir beginnen mit einer Zusammenfassung
der Algebra der Generatoren J µν endlicher Lorentztransformationen
Λ, die von den Erzeugern der Darstellung erfüllt werden muß. Die
Generatoren sind dadurch definiert, daß die Darstellungsmatrix einer infinitesimalen
Transformation Λ µ ν = δ µ ν + ω µ ν gegeben ist durch
D(Λ) = 1 − i 2 ω µνJ µν .
Wir haben festgestellt, daß die J µν der Vertauschungsrelation
[J µν ,J ρσ ] = i (g νρ J µσ + g νσ J µρ − g µρ J νσ − g µσ J µρ )
gehorchen, oder, in Boost- und Rotationserzeugern ⃗ K ≡ (J 10 ,J 20 ,J 30 und
⃗J ≡ (J 23 ,J 31 ,J 12 ) geschrieben,
[
J i ,J j] = iǫ ijk J k
[
K i ,K j] = −iǫ ijk J k
[
J i ,K j] = iǫ ijk K k .
Die Struktur der Algebra wird klarer, wenn man den Basiswechsel
⃗A = 1 2 (⃗ J + i ⃗ K)
⃗B = 1 2 (⃗ J − i ⃗ K) (3.131)
116

durchführt: ⃗ A und ⃗ B erfüllen dann
[
A i ,A j] = iǫ ijk A k
[
B i ,B j] = iǫ ijk B k
[
A i ,B j] = 0 .
Damit hat man die Liealgebra der Lorentzgruppe in zwei unabhängige Drehimpulsalgebren
zerlegt 5 . Die irreduziblen Darstellungen sind demnach durch
zwei Zahlen (A,B) (analog zu j beim Drehimpuls) charakterisiert, wobei,
A(A+1) und B(B+1) die Eigenwerte der zugehörigen invarianten Operatoren
⃗ A 2 und ⃗ B 2 sind. Wie man aus der Tabelle auf Seite 96 abliest, vertauscht
die Paritätstransformation ⃗ A und ⃗ B:
U P J ⃗ U
−1
P
= J ⃗ und
U P K ⃗ U
−1
P
= −K ⃗ .
Wir suchen endlich dimensionale Darstellungen , also endliche Matrizen
J µν , die die Kommutatorbeziehung erfüllen 6 . Die Darstellungsmatrizen sind
dann
D(Λ) = e − i 2 ωµνJµν .
Wie die Darstellungsräume der Drehgruppe zerfallen auch diejenigen der
Lorentzgruppe in eine Clebsch-Gordan-Reihe aus irreduziblen Unterräumen.
Damit läßt sich die gesamte Analyse der Drehgruppe auf die Lorentzgruppe
übertragen. Wir stellen die wichtigsten Fälle vor.
Die triviale Darstellung (0,0). Wir setzen A i = 0 und B i = 0. Sämtliche
Darstellungsmatrizen sind durch die Einheitsmatrix gegeben:
D(Λ) = 1 ∀Λ
Das entspricht Spin 0 für A- und B-Spin.
Die Spinordarstellungen ( 1 2 ,0) und (0, 1 2
). Mit den Pauli-Matrizen
( ) ( ) ( )
σ 1 0 1
= , σ 2 0 −i
= , σ 3 1 0
=
1 0 i 0 0 −1
5 su(2) ist als dreidimensionaler reeller Vektorraum aufzufassen, die obige Algebra
sl(2, C) als dreidimensional komplex. In diesem Sinne nennt man SL(2, C) die Komplexifizierung
der SU(2)
6 Es sei betont, daß J µν für alle µ, ν eine Matrix ist
117

erfüllen
⃗A = ⃗σ 2 und ⃗ B = 0
die Kommutatorbeziehung. Auf diese Weise erhält man die Darstellung
( 1 2
,0). Obige Wahl entspricht
Mit den Definitionen
J i0 = −i σi
2 und Jij = 1 2 ǫijk σ k .
σ µ ≡ (1,σ i ) ¯σ µ ≡ (1, −σ i )
σ µν = i 4 (σµ¯σ ν − σ ν¯σ µ )
¯σ µν = i 4 (¯σµ σ ν − ¯σ ν σ µ )
nehmen die Erzeuger die Gestalt J µν = ¯σ µν und die Darstellungsmatrizen
die Form
D (
1
2 ,0)(Λ) = e− i 2 ωµν¯σµν
an. Wir erwähnen die folgenden Eigenschaften:
• ( 1 2 ,0) und (0, 1 2
) sind zweidimensional. Die Objekte, auf denen die Matrizen
in der ( 1 2
,0)-Darstellung operieren, heißen rechtshändige Spinoren.
• Die Matrix D (
1
,0)(Λ) ist nicht unitär, weil ¯σµν nicht hermitesch ist
2
( A ⃗ und B ⃗ sind es, K ⃗ jedoch nicht). Dies ist aber auch nicht nötig, da
D (
1
,0)(Λ) nicht auf Zustände eines Hilbertraums wirkt, sondern auf
2
Feldoperatoren.
• D (
1
,0)(Λ) ist eine komplexe 2 × 2-Matrix mit Determinante
2
det D (
1
2 ,0)(Λ) = e− i 2 ωµν tr ¯σµν = 1 ,
weil tr ¯σ µν = 0. Die Gesamtheit der Matrizen mit Determinante 1 bilden
die sechsparametrige Gruppe SL(2,C). Man spricht deshalb auch
von SL(2,C)-Spinoren im Gegensatz zu den SU(2)-Spinoren der nichtrelativistischen
Quantenmechanik, für die die Wignerfunktion D (1 2 ) (R)
einer Drehung R ein Element der SU(2) ist.
118

• Einer Rotation um einen Winkel Θ wird die Matrix
D (
1
2 ,0)(R) = e−i Θ 2 ⃗n·⃗σ = cos Θ 2 1 − isin Θ 2
zugeordnet. Damit gilt insbesondere
D (
1
,0)(⃗n,2π) = −1 .
2
⃗n · ⃗σ
Das bedeutet: Jeder Lorentztransformation Λ werden zwei Matrizen
±D (
1
,0)(Λ) zugeordnet, man hat also eine Darstellung bis auf ein Vorzeichen.
2
• SL(2,C) ist die universelle Überlagerungsgruppe der homogenen Lorentzgruppe
SO(1,3) und als solche einfach zusammenhängend. Auch
hier besteht eine Analogie zum Verhältnis von SU(2) zu SO(3).
Zur (0, 1 2 )-Darstellung: Hier wählt man ⃗ A = 0 und ⃗ B = ⃗σ 2 , sodaß
J i0 = i σi
2
J ij = 1 2 ǫijk σ k ,also
J µν = σ µν .
Die Darstellungsmatrizen haben die Gestalt
D (0,
1
2 )(Λ) = e− i 2 ωµν σµν ,
und die von ihnen transformierten Spinoren werden linkshändig genannt.
Die ( 1 2 ,0)- und (0, 1 2
)-Darstellung sind nicht äquivalent, das heißt, es gibt
keine Matrix S mit der Eigenschaft
D (0,
1
2 )(Λ) = S D ( 1 2 ,0)(Λ) S−1 ∀ Λ .
Die beiden Darstellungen sind aber gewissermaßen komplex konjugiert zueinander,
was sich in den beiden folgenden Beziehungen niederschlägt:
(1) D (0,
1
2 )(Λ)† = D (
1
2 ,0)(Λ)−1
(2) D (0,
1
2 )(Λ) = εD ( 1 2 ,0)(Λ)∗ ε −1 mit ε ≡ −iσ 2 =
( 0 −1
1 0
)
Die Beweise sind schnell durchgeführt:
119

zu (1) Man überzeugt sich zunächst von σ µν† = ¯σ µν , was an der Hermitizität
der Pauli-Matrizen liegt. Wir benutzen die Exponentialformel für die
Darstellungsmatrix:
D (0,
1
2 )(Λ)† = e + i 2 ωµν σµν† = e + i 2 ωµν ¯σµν = D (
1
2 ,0)(Λ)−1 .
zu (2) Da man das Konjugieren mit der Matrix ε einfach in die Exponentialfunktion
hineinziehen kann, genügt es, die Wirkung von ε auf die
Erzeuger zu studieren. Für die Paulimatrizen gilt
und für die Einheitsmatrix σ 0
Das ergibt für die Erzeuger
εσ i∗ ε −1 = −σ 2 σ i∗ ε −1 = − σ i ,
εσ 0∗ ε −1 = + σ 0 .
εσ µν∗ ε −1 = − i 4 (εσµ∗ ε −1 ε ¯σ ν∗ ε −1 − εσ ν∗ ε −1 ε ¯σ µ∗ ε −1 )
= −¯σ µν ,
was —in die Exponentialformel eingesetzt— gerade die Behauptung
(2) ist.
Zwei weitere wichtige Eigenschaften betreffen das Transformationsverhalten
der Spinoren und das des aus den Paulimatrizen gebildeten 4-Tupels σ µ :
(1) Transformiert ψ wie ein links-(rechts-)händiger Spinor, so transformiert
(εψ) ∗ wie ein rechts-(links-)händiger Spinor.
(2)
D (0,
1
2 )(Λ)−1 σ µ D (
1
,0)(Λ) = Λµ ν σ ν
2
D (
1
2 ,0)(Λ)−1 ¯σ µ D (0,
1
)(Λ) = Λµ ν ¯σ ν
2
Die zweite Aussage läßt sich unter Verwendung der zweiten Eigenschaft von
oben auch als D (
1
2 ,0)(Λ)† σ µ D (
1
,0)(Λ) = Λµ ν σ ν lesen. Wir werden sie verwenden,
um die schon bekannte Vierervektordarstellung zu konstruieren.
2
Zum Beweis:
120

(1) Einem linkshändigen Spinor ψ ist durch eine Lorentztransformation Λ
der Spinor ψ ′ = D (0,
1
)ψ zugeordnet. Wie man leicht verifiziert, ist ε
2
SL(2,C)- invariant, was bedeutet, daß der Spinor (εψ) ∗ auf den Spinor
(εψ ′ ) ∗ abgebildet wird. Mit der zweiten obigen Regel ergibt das aber
(εψ ′ ) ∗ = ε(D (0,
1
2 )ψ)∗ = εD ∗ (0, 1 2 ) ε−1 εψ ∗ = D (
1
2 ,0)(εψ)∗ ,
das Transformationsgesetz für einen rechtshändigen Spinor.
(2) Zunächst drücken wir Λ durch die infinitesimalen Parameter ω aus.
Dazu schreiben wir
x ′µ = (δ µ ν + ω µ ν)x ν
= (δ µ ν − i 2 ω ρσ(+i)[g µρ δ σ ν − g µσ δ ρ ν])x ν
= (δ µ ν − i 2 ω ρσ (J ρσ ) µ ν)x ν .
Die Darstellungsmatrix der Lorentztransformation auf dem Minkowskiraum
ist demnach gegeben durch
Λ µ ν = e − i 2 ωρσ (+i)(gµρ δ σ ν−g µσ δ ρ ν) . (3.132)
Um die Behauptung zu beweisen, machen wir uns die differenzierbare
Struktur der Matrix-Liegruppe der Darstellungsmatrizen D (0,
1
)(Λ) 2
zunutze: Wir definieren die Bahn des 4-Tupels σ µ unter der Transformation,
f µ (ω) ≡ D (
1
2 ,0)(Λ(ω))† σ µ D (0,
1
)(Λ(ω)) .
2
Man stelle sich dies analog zu einer Kurve, die ein Dreiervektor unter
einer kontinuierlichen Drehung um eine raumfeste Achse durch den
dreidimensionalen Raum zieht, vor 7 . Die Liegruppeneigenschaft der
Darstellungsmatrizen erlaubt uns, diese Funktion nach dem Parameter
ω ρσ abzuleiten:
d
dω ρσ
f µ (ω) = i 2 D ( 1 2 ,0)(Λ(ω))† (¯σ ρσ† σ µ − σ µ¯σ ρσ )D (0,
1
2 )(Λ(ω))
Mit etwas Aufwand (indem man zum Beispiel die Fälle µ = 0, ρ = 0,
σ = k = 1,2,3; µ = i, ρ = 0, σ = k =; µ = i, ρ = j, σ = k separat
behandelt) rechnet man die folgende Indentität nach (¯σ ρσ† = σ ρσ ):
σ ρσ σ µ − σ µ¯σ ρσ = (−i)(g µρ δ σ ν − g µσ δ ρ ν)σ ν
7 Dabei entspräche ω dem variierenden Drehwinkel oder auch der Zeit oder Bogenlänge.
Diese Bahnen sind natürlich Kreise
121

Wir ersetzen hierdurch den mittleren Faktor in obiger Differentialgleichung,
benutzen die Definition der Bahn f µ (ω) und erhalten
d
dω ρσ
f µ (ω) = 1 2 (gµρ δ σ ν − g µσ δ ρ ν)f ν (ω)
f µ (ω) ist für jedes µ eine 2 ×2-Matrix. Da die Indizes dieser Untermatrizen
aber in der Differentialgleichung überhaupt nicht mehr auftauchen,
können wir f wie eine Spalte von vier Zahlen behandeln. Dann
haben wir es mit einer gewöhnlichen Matrix-Differentialgleichung zu
tun, deren Lösung das Matrix-Exponential des Vorfaktors ist. Die Anfangsbedingung
ist f µ (ω = 0) = σ µ , was man sofort feststellt, wenn
man im Transformationsgesetz Λ = 1 setzt. Damit haben wir
f µ (ω) = e 1 2 (gµρ δ σ ν−g µσ δ ρ ν) f ν (ω = 0)
= Λ µ ν σ ν ,
wie man aus einem Vergleich mit (3.125) ersieht, und das ist mit der
Definition von f die Behauptung.
Der Dirac-Spinor. Weil die Paritätstransformation A- und B-Spin vertauscht,
sind die Darstellungen ( 1 2 ,0) und (0, 1 2
) nicht paritätsinvariant. Sie
können also nicht zur Konstruktion von paritätsinvarianten Theorien verwendet
werden. Um dies zu bewerkstelligen, bildet man die direkte Summe
( 1 2 ,0) ⊕ (0, 1 2
). Diese Darstellung erlaubt die Definition einer Paritätstransformation.
Sie ordnet einer Lorentztransformation Λ eine 4 × 4-Matrix zu:
(
D(0, 1
Λ ↦−→
)(Λ) 0
)
2
0 D (
1
,0)(Λ) 2
Die vierkomponentigen Objekte des Darstellungraums heißen Dirac-Spinoren.
Da die Darstellungsmatrizen der Lorentzgruppe ohne die Raumspiegelung
block-diagonal sind, ist ( 1 2 ,0) ⊕ (0, 1 2
) nicht irreduzibel bezüglich dieser Untergruppe.
Nimmt man die Paritätstransformation hinzu, so ist die Darstellung
irreduzibel. Wir definieren die Dirac-Matrizen in der Weyl-Darstellung
( )
γ µ 0 σ
µ
=
¯σ µ 0
und die Erzeuger
Σ µν = i 4 [γµ ,γ ν ] =
122
( ) σ
µν
0
0 ¯σ µν
.

Damit nehmen die Darstellungsmatrizen die Gestalt
D (0,
1
2 )⊕(1 2 ,0)(Λ) = e− i 2 ωµνΣµν
an. Die Spinoren haben einen links- und einen rechtshändigen Teil: ψ ∼
(ψ L ,ψ R ) T . Einige Bemerkungen zu den γ-Matrizen:
• Die γ µ bilden eine Clifford-Algebra, das bedeutet, daß sie die Antivertauschungsrelation
{γ µ ,γ ν } = γ µ γ ν + γ ν γ ν = 2g µν
erfüllen. Aus dieser Beziehung leiten sich sämtliche Eigenschaften der
γ-Matrizen ab.
• Die Eigenschaften der Darstellung werden von einer unitären Transformation
γ µ ↦−→ U † γ µ U nicht verändert. In der Literatur findet man
deshalb unterschiedliche Formen der Dirac-Matrizen, oft die Dirac-
Darstellung:
( ) ( )
γ 0 1 0
=
γ i 0 σ
i
=
0 −1
−σ i 0
Die Antivertauschungsregel ist in jeglicher Form der γ µ gültig.
• γ µ transformiert wie ein kontravarianter Vierervektor:
D (
1
2 ,0)⊕(0, 1 2 )(Λ)−1 γ µ D (
1
( ) ( ) D(0, 1
=
2 )(Λ)−1 0
( 0 σ
µ D (0,
1
)(Λ) 0
)
0 D (
1
2 ,0)(Λ)−1 ¯σ µ 2
0 0 D (
1
,0)(Λ) 2
( )(
)
D(0, 1
=
2 )(Λ)−1 0
0 σ µ D (
1
,0)(Λ) 2
0 D (
1
2 ,0)(Λ)−1 ¯σ µ D (0,
1
)(Λ) 0 2
(
0 D −1 )
D
(0,
=
1 2 )σµ (
1
,0)(Λ) (
2 0 Λ
µ
D −1
( 1 ,0)¯σµ D (0,
1
)(Λ) 0 =
ν σ ν )
Λ µ ν¯σ ν 0
2 2
= Λ µ νγ ν .
2 ,0)⊕(0, 1 2 )(Λ)
123

Die Vierervektor-Darstellung ( 1 2 , 1 2
). Wir bilden das Tensorprodukt
( 1 2 ,0) ⊗ (0, 1 2 ) ≡ (1 2 , 1 2
) und zeigen, daß diese Darstellung der fundamentalen
oder definierenden Darstellung
Λ ↦−→ D(Λ) µ ν = Λ µ ν
auf den Vierervektoren entspricht. Zu diesem Zweck ordnen wir einem Vierervektor
V µ den 2 × 2- Spinor
V ≡ V µ σ µ
zu. V ist dann eine hermitesche Matrix. Aus dem Vektorraum der hermiteschen
Matrizen erzeugen wir einen Darstellungsraum für die SL(2,C), indem
wir eine Operation durch
D (
1
2 , 1 2 )(Λ)(V ) ≡ D (0, 1 2 )(Λ)V D ( 1 2 ,0)(Λ)−1
erklären. Zum Beweis, daß dann die Komponenten V µ wie ein kovarianter
Vierervektor transformieren, benutzen wir wieder das Transformationsverhalten
der Paulimatrizen:
D (0,
1
2 )(Λ)V µσ µ D (
1
2 ,0)(Λ)−1 = D (0,
1
2 )(Λ−1 ) −1 V µ σ µ D (
1
2 ,0)(Λ−1 )
= V µ (Λ −1 ) µ νσ ν = Λ ν µ V µ σ ν
!
= V ′ ≡ V ′
ν σν .
(Beachte: (Λ −1 ) µ ν = Λ ν µ .) Durch Vergleich erhalten wir
V ′
ν = Λ ν µ V µ .
Weitere Darstellungen. Alle Darstellungen der Form (A,B) der SL(2,C)
sind irreduzibel. Diejenigen mit höherem A- und B-Spin als 1/2 können
durch Produktbildung aus ( 1 2 ,0) und (0, 1 2
) aufgebaut werden. Damit ist allerdings
nicht gesagt, daß die induzierte Darstellung der Drehgruppe, die
ja eine Untergruppe der Lorentzgruppe bildet, ebenfalls irreduzibel ist: So
zerfällt zum Beispiel die Vierervektor-Darstellung in die Raumkomponenten
V ⃗ , die die definierende Darstellung der Drehgruppe tragen, und in die
Zeitkomponente V 0 , aud der die triviale Darstellung wirkt. (V 0 ist invariant
unter dreidimensionalen Drehungen). Anhand der Darstellungen der Drehgruppe
haben wir in QMI den physikalischen (Gesamt-) Spins eines Zustands
identifiziert. Denken wir zum Beispiel an ein Zwei-Elektronen-System, so
124

transformieren dessen Zustände gemäs der 1 2 ⊗ 1 2- Darstellung der SU(2).
Diese Darstellung zerfällt in die beiden Teile
1
2 ⊗ 1 2 = 0 ⊕ 1 (Clebsch-Gordan-Zerlegung!),
und dies sagt uns, daß das Gesamtsystem den (ganzzahligen) Spin 0 oder
1 besitzt. Bei der Lorentzgruppe sprechen wir nicht von einzelnen Teilchen,
sondern von Feldern, und deshalb macht der Begriff des Zwei-Teilchen-
Systems hier keinen Sinn; wir können also nicht einfach mehrere Felder zu
einem Feld mit höherem Spin zusammenfassen. Allerdings haben wir zu Beginn
dieses Kapitels gesehen, daß eine einzige Darstellung der Lorentzgruppe
schon zwei unabhängige Spins beinhaltet 8 . Man kann sich vorstellen, daß eine
Darstellung der SL(2,C) dann nicht sehr weit von einem Tensorprodukt
zweier SU(2)-Darstellungen entfernt ist. Die Tatsache, daß sie für die Untergruppe
SU(2) mit dem Tensorprodukt übereinstimmt 9 , ermöglicht uns
die Bestimmung des Spins eines Feldes: Für die Erzeuger der Drehgruppe
gilt
⃗J = ⃗ A + ⃗ B ,
und damit kann der Spin des Teilchens nach der Additionsregel für Drehimpulse
die Werte
J = |A − B|,... ,A + B − 1,A + B
annehmen. So beschreibt die obige Vektordarstellung ( 1 2 , 1 2
) ein Teilchen,
daß die Spins j = 0 und 1 haben kann: Die auf die SU(2) eingeschränkte
Darstellung ist
1
2 ⊗ 1 2 = 0 ⊕ 1 .
Die (1,0)- und (0,1)-Darstellung. Das Tensorprodukt zweier rechtshändiger
Spinoren ξ α und η β ergibt eine 2 × 2-Matrix M αβ . Die zugehörige Darstellung
besitzt die Zerlegung
( 1 2 ,0) ⊗ (1 ,0) = (0,0) ⊕ (1,0) .
2
Diese Vektorraumsumme enspricht der Zerlegung der Matrix in einen in
(α,β) antisymmetrischen ((0,0)) und einen symmetrischen Teil ((1,0)). Wir
8 Wir haben die Liealgebra in zwei Drehimpulsalgebren zerlegt
9 Mathematischer ausgedrückt: Die Einschränkung der Darstellungsabbildung Λ ↦−→
D (A;B) (Λ) auf SU(2) ist ein Tensorprodukt: D (A,B) (U) = D (A) (U) ⊗ D (B) (U) ∀ U ∈
SU(2)
125

isolieren den symmetrischen Teil von M αβ und nennen ihn F αβ ; Auf diesem
wirkt die (1,0)-Darstellung wie 10
F ′ αβ = D ( 1 2 ,0)αα′ D (
1
2 ,0)ββ′ F α ′ β ′ .
Als Kandidaten für einen Lorentz-Tensor definieren wir (vergleiche dies mit
der Konstruktion des Vierervektors mithilfe der Pauli-Matrizen)
F µν ≡ i 4 (ε¯σ µν) αβ F αβ ,
dessen folgende Eigenschaften wir jetzt beweisen:
(1) F µν transformiert wie ein Lorentz-Tensor;
(2) F µν ist selbstdual, das heißt
F µν = i 2 ǫµνρσ F ρσ ;
(3) F µν ist antisymmetrisch in (µν) (nicht zu verwechseln mit der Symmetrie
von F αβ in (α,β)).
Beweis:
(1)
F ′ µν = i 4 (ε¯σ µν) αβ D (
1
2 ,0)αα′ D (
1
2 ,0)ββ′ F α ′ β ′
= i 4 · i
4
= i 4 · i
4
(
D T ( 1 2 ,0) ε(¯σ µσ ν − ¯σ ν σ µ )D (
1
(
ε ε −1 D T ( 1 2 ,0) ε ¯σ µD (0,
1
2
} {{ )
}
Λ µρ ¯σ ρ
)
− (µ ←→ ν) F α ′ β ′ α ′ β ′
= Λ µ ρ Λ ν
σ i 4 (ε¯σ ρσ) αβ F αβ .
D −1
2 ,0) )
α ′ β ′ F α ′ β ′
σ (0, 1 2 ) ν D (
1
2
} {{ ,0)
}
Λ σ ν σ σ
(2) folgt aus der Antisymmetrie der ¯σ µν .
10 Wir lassen daß Argument Λ weg
126

(3) Dies liegt daran, daß die ¯σ µν selbstdual sind:
¯σ µν = i 2 ǫµνρσ ¯σ ρσ .
Die Objekte der (0,1)-Darstellung sind antiselbstdual. Beide Darstellungen
enthalten nur Spin 1; Spin 0 wird durch die Forderung, daß F αβ symmetrisch
ist, ausgeschlossen. Diese Forderung ist äquivalent zur der Bedingung, daß
der antisymmetrische Teil der Matrix M verschwindet.
Die (1,1)-Darstellung. Der Darstellungsraum zu (1,1) ist der neundimensionale
Vektorraum der symmetrischen, spurfreien Tensoren zweiter Stufe.
Er taucht in der Clebsch-Gordan-Zerlegung der ( 1 2 , 1 2 )⊗(1 2 , 1 2 )-Darstellung
auf:
( 1 2 , 1 2 ) ⊗ (1 2 , 1 ) = (0,0) ⊕ (1,0) ⊕ (0,1) ⊕ (1,1)
2
Ein Vierertensor T µν zerfällt dementsprechend eindeutig in die folgenden
Teile:
(0,0) Spur von T
(1,0) antisymmetrisch und selbstdual
(0,1) antisymmetrisch und antiselbstdual
(1,1) symmetrisch und spurfrei
Man übe sich in der Konstruktion des Tensors F µν und im Nachweis seiner
Eigenschaften.
127

3.3.3 Konstruktion des skalaren Feldes und die Klein-Gordon-
Gleichung
Nach den Überlegungen zu den endlichdimensionealen Darstellungen der
Lorentzgruppe kennen wir alle notwendigen Grundlagen, um kovariante Feldoperatoren
zu konstruieren. Dies soll in den folgenden drei Abschnitten für
das skalare, das Spinor- und das Vektorfeld durchgeführt werden. Was ist
bei der Konstruktion zu leisten? Wir haben auf Seite 112 den allgemeinen
Ansatz
ψ α
(+) (x) ≡ ∑ sn
ψ α
(−) (x) ≡ ∑ sn
∫
∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 e−ipx u α (⃗p,s,n) a(⃗p,s,n)
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 e−ipx v α (⃗p,s,n) a † (⃗p,s,n)
für freie Felder im Heisenbergbild aufgestellt. Nach (3.123) passen wir zuerst
die Koeffizientenfunktionen u α und v α so an, daß obige Operatoren das
Transformationsgesetz
U(Λ,a) ψ (±)
α (x) U(Λ,a)−1 = ∑ α ′ D αα ′(Λ −1 )ψ (±)
α ′ (Λx + a) (3.133)
erfüllen. Dabei können wir uns die Darstellung D der Lorentzgruppe passend
aussuchen. Nach diesem Schritt hat der Feldoperator ein definiertes
Transformationsverhalten, und wir erkennen den Spin des beschriebenen
Teilchens. Allein mit den freien Feldern kann man aber wenig Physik betreiben:
Wir müssen uns Gedanken zur Konstruktion einer im Sinne von Seite
110 zulässigen Wechselwirkung machen, was die Frage nach der Statistik
und den zu verwendenden Kommutatorrelationen beantworten wird. Weil
die Konstruktion der Koeffizientenfunktionen weitgehend ohne Bezug auf
die konkrete Darstellung D durchgeführt werden kann, wollen wir bei der
Herleitung einer Bestimmungsgleichund für die u α und v α nur voraussetzen,
daß das Feld eine nichtverschwindende Masse m > 0 trägt.
Für die linke Seite von (3.126) erhalten wir mit den Formeln von Seite 113
∑
∫
sn
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 e−ipx u α (⃗p,s,n) e −ia·Λp ∑ s ′
D (j)∗
ss ′ (W) a(Λp,s ′ ,n) , (3.134)
128

und für die rechte Seite
∑
D αα ′(Λ −1 ) ∑ ∫
d 3 ⃗p
e−ip·(Λx+a)
(2π) 3 2p 0 u α ′(⃗p,s,n) a(p,s,n)
α ′
sn
= ∑ D αα ′(Λ −1 ) ∑ ∫
d 3 (Λp) ⃗
e−ipx−iΛp·a
(2π) 3 2(Λp) 0 u α ′(Λp,s ′ ,n) a(Λp,s ′ ,n) ,
α ′ s ′ n
(3.135)
wo wir p −→ Λp substituiert und den Summationsindex s in s ′ umbenannt
haben. Die Substitution führen wir auch in (3.127) durch. Dann erhalten
wir die folgende Gleichung durch Vergleich der Koeffizienten von
exp (−ipx − iΛp · a) a(Λp,s ′ ,n):
∑
s
u α (p,s,n) D (j)∗
s ′ s (W) = ∑ α ′ D αα ′(Λ −1 ) u α ′(Λp,s,n) (3.136)
Diese multiplizieren wir von links mit D(Λ), von rechts mit D (j)
s ′ t
(W) und
verwenden die Darstellungseigenschaft D(Λ)D(Λ −1 ) = 1 sowie die Unitarität
der Matrix D (j) (W) mit dem Ergebnis (t wird wieder s genannt)
∑
s ′
u α (Λp,s ′ ,n) D (j)
s ′ s (W(Λ,p)) = ∑ α ′ D αα ′(Λ) u α ′(p,s,n) . (3.137)
Analog für ψ (−) und v α :
∑
v α (Λp,s ′ ,n) D (j)∗
s ′ s (W(Λ,p)) = ∑ D αα ′(Λ) v α ′(p,s,n) . (3.138)
α ′
s ′
Es sei nochmal betont, daß dies bei massiven Teilchen für beliebige Darstellungen
D und natürlich alle Poincarétransformationen (Λ,a) gilt. Die
beiden Gleichungen liefern uns eine Möglichkeit, u α (p,s,n) und v α (p,s,n)
mit endlichen Impuls-Raumanteilen ⃗p aus den Funktionen zu ⃗p = 0 zu berechnen:
Wir wählen in (3.130) und (3.131) Λ = L(p), den Standard-Boost,
der k = (m,⃗0) in p überführt, und p = k. Die Wigner-Rotation W ist
W(L(p),k) = L(L(p)k) −1 L(p)L(k) = L(p) −1 L(p) = 1 ,
da L(k) = 1. Also ist auch die Darstellungsmatrix D (j) (W) die Identität:
D (j)
s ′ s (W(L(p),k)) = δ s ′ s .
129

Die beiden Gleichungen (3.130) und (3.131) nehmen die Gestalt
u α (p,s,n) = ∑ α ′ D αα ′(L(p)) u α ′(k,s,n) (3.139)
v α (p,s,n) = ∑ α ′ D αα ′(L(p)) v α ′(k,s,n) (3.140)
an. Es genügt also, u α (k,s,n) und v α (k,s,n) zu bestimmen. An diese Funktionen
ist die Bedingung zu stellen, daß sie (3.130) und (3.131) insbesondere
für dreidimensionale Rotationen R erfüllen; Drehungen lassen jedoch den
Ruhimpuls k invariant, deswegen ist die Bedingung äquivalent zu
∑
u α (k,s ′ ,n) D (j)
s ′ s (R) = ∑ D αα ′(R) u α ′(k,s,n) (3.141)
α ′
s ′
∑
s ′
v α (k,s ′ ,n) D (j)∗
s ′ s (R) = ∑ α ′ D αα ′(R) v α ′(k,s,n) (3.142)
Die Matrix D (j) (R,k) ist für Drehungen R und den Impuls k die gewöhnliche
Wignerfunktion.
Soweit unsere allgemeinen Betrachtungen; an dieser Stelle muß man die Matrix
D(Λ), also die Darstellung der Lorentzgruppe, konkretisieren. Die u α
und v α erhalten wir dann, indem wir (3.134) und (3.135) lösen und die
Lösungen gemäß (3.132) und (3.133) auf endliche Impulse transformieren.
Wir wenden uns wieder dem skalaren Feld zu: Die Darstellung D der Lorentzgruppe
sei die triviale, das heißt
Gleichung (3.134) reduziert sich auf
D(Λ) = 1 ∀ Λ .
u(k,s,n) = ∑ s ′
u(k,s ′ ,n) D (j)
s ′ s
(R) (3.143)
und gilt in dieser Form für alle Rotationen R. Sie kann nur für j = 0 erfüllt
werden, und wir folgern: Das skalare Feld beschreibt Teilchen mit Spin 0.
Auf den Index s kann man verzichten, man hat also Konstanten u(k,n)
, die man für ein n willkürlich festlegen kann. Die restlichen u(k,n) sind
dann durch die Darstellungseigenschaft bezüglich der inneren Symmetrie
festgelegt. Zur Vereinfachung der Diskussion nehem wir jetzt an, daß n nur
einen Wert annimmt, sodaß wir auch diesen Index vergessen können. Per
Konvention setzt man dann
u(k) = 1
v(k) = 1 .
und
130

Vernichtungs- und Erzeugungsfeld nehmen die Form
∫
φ (+) d 3 ⃗p
(x) =
(2π) 3 2p 0 e−ipx a(p)
∫
φ (−) d 3 ⃗p
(x) =
(2π) 3 2p 0 eipx a † (p)
(3.144)
an. Sie sind zueinander adjungiert: φ (+)† (x) = φ (−) (x).
Aus diesen Feldern kann man nun Hamilton-Dichten konstruieren, die
die Bedingungen der relativistischen Invarianz von Seite 110 erfüllen und
hermitesch sind. Um die Kausalitätsbedingung [H(x), H(y)] = 0 für raumartige
Abstände zu wahren, könnte man zum Beispiel H(x) entweder nur
aus φ (+) (x) oder nur aus φ (−) (x) aufbauen; diese Operatoren vertauschen
ja jeweils mit sich selbst. Dann ist H(x) aber nicht hermitesch. Mischt man
φ (+) (x) und φ (−) (x), verschwindet hingegen der Kommutator [H(x), H(y)]
für raumartige Abstände nicht, weil [ φ (+) (x),φ (−) (y) ] ∓ auch für (x−y)2 < 0
von Null verschieden ist 11 . Genauer gilt
[
∫
φ (+) (x),φ (−) (y)
]∓ =
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 d 3 ⃗ p ′
(2π) 3 2p ′0 e−ipx e ip′ y
∫
d 3 ⃗p
=
(2π) 3 2p 0 e−ip(x−y)
≡ ∆ + (x − y) .
[ ]
a(p),a † (p ′ )
} {{ }
= (2π) 3 2p 0 δ (3) (⃗p−⃗p ′ )
Für raumartige Abstände z 2 ≡ −(x − y) 2 > 0 kann man ∆ + durch eine
Hankelfunktion ausdrücken:
∆ + (x − y) =
m
4π 2 z K 1(mz) .
K 1 (mz) ist die Besselfunktion erster Ordnung. Sie ergibt sich wie folgt: Weil ∆ + eine lorentzinvariante
Distribution ist, können wir in einem Bezugssytem rechnen, in dem (x − y) 0 = 0 und
‖⃗x − ⃗y‖ = z gilt. Dann ist
Z
d 3 ⃗p e i⃗p·⃗x
∆ + (x − y) =
(2π) 3 2 p m 2 + ⃗p 2
= 1 Z
4π 2 d‖⃗p‖ d cos Θ ei‖⃗p‖z cos Θ ‖⃗p‖ 2
2 p m 2 + ⃗p 2
Z ∞
=
1
4π 2 z
0
d‖⃗p‖
‖⃗p‖
p
m 2 + ‖⃗p‖ 2 sin(‖⃗p‖z) .
11 [. . . , . . . ] −
ist der gewöhnliche Kommutator für Bosonen, [. . . , . . . ] +
der Antikommutator
für Fermionen
131

Das letzte Integral stimmt mit der Definition von K 1 (mz) überein.
Die Hankelfunktion verschwindet nicht für große z, sondern fällt viel mehr
wie 1/z ab. Der Ausweg besteht darin, eine Linearkombination von Erzeugungsund
Vernichtungsfeld zu bilden:
φ(x) = φ (+) (x) + λφ (−) (x) .
Dann gelten für raumartige Abstände die Vertauschungsregeln
[φ(x),φ(y)] ∓
= λ(1 ∓ 1) ∆ + (x − y)
[ ]
φ(x),φ † (y) = (1 ∓ |λ| 2 ) ∆ + (x − y) (3.145)
Es gibt nur eine Möglichkeit, den Kommutator (∓)) und die Zahl λ so zu
wählen, daß die rechten Seiten wie gefordert verschwinden: den gewöhnlichen
Kommutator (−)und |λ| = 1. Die fundamentale Aussage ist:
Um relativistische Invarianz zu gewährleisten, muß ein skalares Spin-0-Feld
der Bose-Statistik gehorchen.
Durch eine Umdefinition der Phase von a(p) kann man λ = 1 erreichen.
Wir haben also den Feldoperator im Heisenbergbild für freie Bosonen mit
Spin 0 gefunden:
∫
φ(x) =
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ip·x a(p) + e ip·x a † (p)
φ(x) ist hermitesch. Außerdem gilt [H(x), H(y)] = 0 für raumsrtige Abstände,
wenn H(x) ein Polynom des Operators φ(x) ist, im einfachsten Fall
∫
H(x) = g d 3 ⃗x φ(x) n
mit der Kopplungkonstanten g.
Im Allgemeinen wird φ(x) n normalgeordnet: dies kennzeichnet man durch die Schreibweise : φ(x) n :.
Darunter versteht man φ(x) n , wobei aber alle Erzeugungsoperatoren links von allen Vernichtungsoperatoren
zu schreiben sind, schematisch zum Beispiel
: φ 2 : ∼ : (a + a † ) 2 : ∼ a † a † + a † a + a † a + aa .
.
Der Grund dafür wird später klar.
Der Operator φ(x) kann jedoch nur ungeladene Teilchen beschreiben! Das
132

erkennen wir, indem wir eine innere (Index n) Symmetrieoperation anwenden:
U(g)φ n (x)U(g) −1
∫
d 3 ⃗p
=
(2π) 3 2p 0 (e−ipx U(g)a(p,n)U(g) −1 + e ipx U(g)a † (p,n)U(g) −1 )
= ∑ ∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 (e−ipx D(g) ∗ n ′ n a(p,n′ ) + e ipx D(g) n ′ n a † (p,n ′ ) ,
n ′
wie man auf Seite 107 nachliest, und das entspricht nicht dem gewünschten
Transformationsverhalten, es sei denn, die Darstellungsmatrizen D(g) n ′ n
sind reell.
Es ist also nicht möglich, eine Hamiltondichte zu konstruieren, die unter
der inneren Symmetrie invariant ist. Daraus folgt: Falls ein Teilchen Ladungen
bezüglich einer inneren Symmetriegruppe trägt, die auf den Operatoren
a † (p) von komplexen Matrizen dargestellt wird —dazu gehören die elektrisch
geladenen Teilchen für die Phasentransformationen exp ±iqΘ—, muß
man, um Invarianz zu gewährleisten, die Existenz eines weiteren Teilchens
mit gleicher Masse und Spin, also zur gleichen Darstellung der Poincaré-
Gruppe, aber komplex konjugiertem Transformationsgesetz bezüglich der
inneren Symmetrieoperation postulieren. Die Existenz komplexer Darstellungen
ist der Grund für die Existenz von Antiteilchen in der relativistischen
Quantentheorie für alle geladenen Teilchen. In diesem Fall definieren wir
φ n (x) =
∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 (e−ipx a(p,n) + e ipx a † (p, ¯n))
und interpretieren a(p,n) als Vernichter von Teilchen und a † (p, ¯n) als Erzeuger
von Antiteilchen. Der Feldoperator hat dann daß richtige Transformationsverhalten:
U(g)φ n (x)U(g) −1 = ∑ n ′ D(g) ∗ n ′ n φ n ′(x) = ∑ n ′ D(g −1 ) nn ′φ n ′(x) ,
wobei letztere Gleichheit nur bei unitären Darstellungen gilt. Das Feld φ n (x)
ist nicht mehr hermitesch:
∫
φ † n (x) = d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ipx a(p, ¯n) + e ipx a † (p,n) .
133

Die Kommutatoren lauten jetzt
[ ]
φ(x),φ † (y = ∆ + (x − y) + ∆ + (y − x)
∫
d 3 ⃗p
=
(2π) 3 2p 0 (eip(x−y) − e −ip(x−y) )
[ ]
[φ(x),φ(y)] = φ † (x),φ † (y) = 0 .
Die Klein-Gordon-Gleichung. Der skalare Feldoperator erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung
(∂ 2 + m 2 )φ(x) = 0 .
Die Ladung des Feldes spielt hier keine Rolle. Der Beweis ist trivial; die
Anwendung von ∂ µ auf den Feldoperator liefert den Faktor ±ip µ . Zweifache
Anwendung ergibt
∂ 2 φ(x) = −p µ p µ φ(x) = −p 2 φ(x) = −m 2 φ(x) .
Die Klein-Gordon-Gleichung ist also nur Ausdruck der Bedingung p 2 = m 2
(oder der Energie-Impuls- Beziehung p 0 = √ m 2 + ⃗p 2 ), die wir schon durch
die Wahl der Ein-Teilchen-Zustände als Eigenvektoren zu p 2 befriedigt haben.
Paritätstransformation. Nach Seite 107 ist das Verhalten der Erzeugungsund
Vernichtungsoperatoren durch
U P a(p,n) UP
−1
U P a † (p, ¯n) U −1
P
= ηP ∗ a(Pp,n)
= eta ¯ P a † (Pp,n)
gegeben. Der Feldoperator transformiert demnach wie
∫
U P φ(x) UP −1 d 3 ⃗p
=
(2π) 3 2p 0 (η∗ P e −ipx a(Pp,n) + ¯η P e ipx a † (Pp, ¯n))
=
∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 (η∗ P e−i(Pp)x a(p,n) + ¯η P e i(Pp)x a † (p, ¯n)) .
Damit wir einen paritätsinvarianten Hamiltonoperator konstruieren können,
muß die Phase des Antiteilchens der komplex konjugierten des Teilchens
entsprechen:
¯η P = η ∗ P .
Für Spin-0-Teilchen gilt also η P ¯η P = |η p | 2 = +1, für ihren Feldoperator
U P φ(x) U −1
P
= η ∗ P φ(Px) .
134

Zeitumkehr. Hier erhält man ebenfalls die Bedingung ¯ξ T = ξT ∗ und (beachte
die Antiunitarität von U T : U T exp (ipx) = exp (−ipx) U T !) das Verhalten
U T φ(x) U −1
T
= ξT ∗ φ(Px) .
Ladungskonjugation. Diese vertauscht erwartungsgemäß die Rollen von
Teilchen und Antiteilchen, also φ mit φ † . Auch hier müssen wir ¯ξ C = ξ ∗ C
fordern. Auf dem Niveau der Leiteroperatoren:
C a † (p,n) C −1 = ξ C a † (p, ¯n) .
Damit gilt für das Feld
∫
C φ(x) C −1 d 3 ⃗p
(
=
(2π) 3 2p 0 ξC ∗ e −ipx a(p, ¯n) + ¯ξ
)
C e ipx a † (p,n)
∫
= ξC
∗ d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ipx a(p, ¯n) + e ipx a † (p,n)
= ξ ∗ C φ† (x) .
Masselose skalare Felder. Die Rechnugen gestalten sich analog zum
massiven Fall, wir müssen nur das unterschiedliche Transformationsverhalten
beachten. Statt der Bestimmungsgleichungen (3.130) und (3.131) von
Seite 127 gelten nun
u α (Λp,s,n)e −iΘ(Λ,p)·s = ∑ α ′
D αα ′(Λ)u α ′(p,s,n)
v α (Λp,s,n)e +iΘ(Λ,p)·s = ∑ α ′ D αα ′(Λ)v α ′(p,s,n) .
Man erinnere sich daran, daß s jetzt die Helizität angibt. Wie der Spin
massiver Teilchen muß diese bei masselosen skalaren Teilchen verschwinden.
Die Lösungen u und v stimmen mit den eben hergeleiteten überein. Weil
der Eigenwert zu p 2 jetzt Null ist, besitzt die Klein-Gordon-Gleichung die
offensichtliche Form
∂ 2 φ(x) = 0 .
135

3.3.4 Konstruktion von Spinorfeldern
Für das skalare Feld haben wir die triviale Darstellung gewählt, in der alle
Lorentztransformationen der Identität entsprechen. Wir betrachten nun
den ersten nichttrivialen Fall, indem wir ein Feld konstruieren, das gemaß
der (0, 1 2
)-Darstellung transformiert; in die allgemeine Transformationsregel
(3.126) eingesetzt also
U(Λ,a)ψ (±)
α (x)U(Λ,a) −1 = ∑ α ′ D (0,
1
2 )(Λ−1 ) αα ′ ψ (±)
α ′ (Λx + a) .
Man erkennt das Transformationsverhalten eines linkshändigen Spinors. Wir
schreiben D L für die Darstellungsmatrix D (0,
1
)(Λ) und D R für D
2 (
1
,0)(Λ). 2
Wenn das Argument Λ fehlt, ist also immer eine solche Matrix und nicht die
Darstellungsabbildung selbst gemeint.
Die allgemeinen Überlegungen vom Anfang des letzten Abschnitts ergaben,
daß die Spinoren zu endlichem Impuls p aus denen im Ruhsystem (k µ =
(m,⃗0)) nach der Vorschrift (Gleichungen (3.132) und (3.133))
u α (p,s) = ∑ α ′ D L (L(p)) αα ′ u α ′(k,s) (3.146)
v α (p,s) = ∑ α ′ D L (L(p)) αα ′(L(p)) v α ′(k,s) (3.147)
berechnet werden können. Die Ruhspinoren u α (k,s) und v α (k,s) erfüllen die
Gleichungen (3.134) und (3.135) mit der linkshändigen Spinordarstellung:
∑
s ′
∑
s ′
u α (k,s ′ ) D (j)
s ′ s (R) = ∑ α ′ D L (R) αα ′ u α ′(k,s) (3.148)
v α (k,s ′ ) D (j)∗
s ′ s (R) = ∑ α ′ D L (R)αα ′ v α ′(k,s) (3.149)
die für beliebige Rotationen R gelten. Wir nehmen zunächst an, daß kein innerer
Freiheitsgrad n vorhanden ist. Nun entspricht die linkshändige Darstellung,
eingeschränkt audf Rotationen, gerade der ( 1 2
)-Darstellung der SU(2),
D L (R) = D (1 2 ) (R) ,
und das ist eine unitäre 2 × 2-Matrix. Auf der linken Seite ist D (j) (R) eine
(2j + 1) × (2j + 1)-Matrix. Um die Ruhspinoren u zu bestimmen, stellen
wir zunächst fest, daß wir u α (k,s) als eine 2 × (2j + 1)-Matrix U verstehen
können: α = ±1/2 ist der Zeilen-, s = −j, −j + 1,... ,j der Spaltenindex.
136

In dieser Sichtweise bedeutet Gleichung (3.141) einfach, daß die Matrix U
mit den Darstellungsmatrizen D (j) und D (1 2 ) der Rotationen die folgende
Vertauschungsregel erfüllt:
U D (j) = D (1 2 ) U (3.150)
Ein Satz der Darstellungtheorie besagt dann: U ist eine nicht-singuläre 2×2-
Matrix, was für die Physiker j = 1/2 bedeutet. Zweierspinoren beschreiben
also Spin (1/2)-Teilchen.
Weil dieser Satz auch bei den Vektor- und höheren Spinor-Feldern Anwendung findet, geben
wir einen Beweis für zwei allgemeine Darstellungen D 1 und D 2 an. Es seien diese D i irreduzible
Darstellungen auf Vektorräumen V i der Dimension n i . Außerdem sei U eine lineare Abbildung
V 1 ↦−→ V 2 , nicht identisch Null, die für alle Gruppenelemente g obige Gleichung erfüllt:
U D 1 (g) = D 2 (g) U .
Unter diesen Voraussetzungen ist die Matrix der Abbildung U quadratisch, daß bedeutet n 1 = n 2 ,
und nichtsingulär, der Kern von U ist der Nullvektorraum.
Der Beweis verwendet etwas Lineare Algebra I und geht vom Gegenteil aus: n 1 ≠ n 2 . Dann gibt
es zwei Fälle, die beide zu Widersprüchen führen:
n 1 > n 2 : In diesem Fall ist der Urbildraum V 1 von U : V 1 ↦−→ V 2 größer als der Zielraum V 2 .
Dann muß der auf den Nullvektorraum {0} ⊂ V 2 abgebildete Untervektorraum ker U ⊂ V 1
die Dimension dimker U > 0 (und zwar streng) besitzen. Wir können also einen einen
nichtverschwindenden Vektor v ∈ ker U ⊂ V 1 wählen, für den dann wegen der Vertauschungseigenschaft
auch D 1 (g)v in ker U liegt,
U D 1 (g) v = D 2 (g)
U v
|{z}
=0∈V 2 ⇐v∈ker U
= 0 ,
und zwar für alle Gruppenelemente g. ker U ist also ein invarianter Unterraum! Das widerspricht
der Irreduzibilität von D 1 , es sei denn, ker U ist ganz V 1 . Dann ware U aber die
Nullabbildung, im Widerspruch zur Voraussetzung.
n 2 < n 1 : Dies bedeutet, daß der Zielraum V 2 größer als der Urbildraum V 1 ist. Deshalb trifft U
nicht alle Vektoren in V 2 , sondern nur den echten Unterraum BildU = U(V 1 ). Wir zerlegen
V 2 in Bild U und den komplementären Rest, den wir W nennen: V 2 = Bild U ⊕ W. Diese
Zerlegung ist disjunkt in dem Sinne, daß Bild U ∩ W = {0}. Laut Voraussetzung ist die
Darstellung D 2 irreduzibel, was bedeutet, daß es keinen D 2 -invarianten Unterraum in V 2
gibt; insbesondere ist Bild U nicht invariant. Man kann also einen Vektor v 2 ∈ Bild U und
ein Gruppenelement g finden, sodaß v 2 von g in W gedreht wird: D 2 (g)v 2 ∈ W. Weil v 2 in
Bild U liegt, hat v 2 aber ein Urbild v 1 ∈ V 1 , also Uv 1 = v 2 . Die Vertauschungseigenschaft
sagt uns
D 2 (g)v 2 = D 2 (g) Uv 1 = U D 1 (g)v 1 .
Damit haben wir den Widerspruch abgeleitet: D 2 (g)v 2 war aus W, U D 1 (g)v 1 liegt offensichtlich
in BildU. Weil sich W und BildU nur in 0 ∈ V 2 überschneiden, muß v 2 dann der
Nullvektor sein; das wiederum heißt aber, daß BildU = {0}, was nur gilt, wenn U entgegen
der Voraussetzung die Nullabildung war.
Damit ist n 1 = n 2 bewiesen. Die nicht-Singularität, also die Invertierbarkeit von U, ergibt sich
wie folgt: wäre die Abbildung U singulär, so hätte sie einen nicht-trivialen Kern ker U ⊆ V 1 .
Wegen der Irreduzibilität von D 1 ist dieser Kern nicht D 1 -invariant, und wir suchen uns wieder
137

ein Gruppenelement g und einen Vektor v ∈ V 1 mit der Eigenschaft D 1 (g)v ∉ ker U. Mit der
Vertauschungsrelation gilt dann
U D 1 (g)v = D 2 (g) Uv = 0 ∈ V 2 ,
weil Uv verschwindet und D 2 (g) linear ist; damit liegt D 1 (g)v doch in ker U, was der Wahl von
v widerspricht, es sei denn, man kann nur v = 0 wählen. In diesem Fall ist aber der Kern trivial
und U invertierbar.
Setzt man in (3.143) infinitesimale Transformationen für D (1 2 ) = D (j) ein,
überträgt sich das Ergebnis auf die Generatoren σ i :
U σ i = σ i U
V ((−σ i∗ ) = σ i V .
und
Die V -Gleichung läßt sich wegen εσ i∗ ε −1 = −σ i auf eine Form bringen, in
der man die Vertauschungseigenschaft besser erkennt:
(V ε −1 )σ i = σ i (V ε −1 ) . (3.151)
Die Matrizen U und V ε −1 kommutieren also mit allen Erzeugern der Darstellung.
Der einzige Kandidat mit dieser Eugenschaft ist der Casimir-Operator
⃗σ 2 = 1 (2×2) 12 . U und V ε −1 müssen proportional zu diesem Operator sein:
u α (k,s) = c u δ αs
v α (k,s) = −c v ε αs
Die Konstanten c u und c v legen wir später fest. Die Ruhespinoren, die wir
für die Feldkonstruktion benötigen, liest man jetzt einfach als Spalten aus
U und V ab:
u(k, 1 ( )
2 ) = cu
v(k, 1 ( ) 0
0 2 ) = c v
u(k, − 1 2 ) = ( 0
c u
)
v(k, − 1 2 ) = ( −cv
0
Spinoren zu endlichem Impuls p erhalten wir, indem wir diese Spinoren mit
dem Standardboost D L/R (L(p)) transformieren. D L/R (L(p)) hat die Gestalt
D L/R (L(p)) = p0 + m ∓ ⃗σ · ⃗p
√
2m(m + p 0 ) . (3.152)
)
12 Ein allgemeines Ergebnis (Lemma von Schur) der Darstellungtheorie ist, daß Operatoren,
die mit allen Erzeugern einer Liealgebra vertauschen, skalar, also proportional zur
Einheit sein müssen
138

Zur Ableitung dieses Resultats betrachten wir einen zuerst einen boost in z-Richtung, um den
boost-Parameter ω zu bestimmen. Die Transformation erhalten wir dann durch exponenzieren.
Ein solcher boost wird von K 1 erzeugt:
K 1 = J 10 = i(g µ1 δ 0 µ − g µ0 δ 1 ν) = (−i) B
@
Das Exponential dieser Matrix mit Parametern ω ρσ ist
Λ = e − 2 i ωρσ(Jρσ ) µ ν
= e iω 01 K 1 ω=ω 01
=
0
B
@
0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1
C
A .
cosh ω sinhω 0 0
sinh ω cosh ω 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Andererseits fordern wir von Λ, daß es einen Ruhimpuls (m,⃗0) auf den endlichen Impuls (p 0 , ‖⃗p‖, 0,0)
transformiert,
0 1 0 1
„ « m Λ = B C
⃗0 @ A
=
! B C
@ A ,
mcosh ω
sinh ω
0
0
also cosh ω = p 0 /m ≡ γ und sinh ω = ‖⃗p‖/m ≡ p γ 2 − 1. Für den Standardboost in Richtung
eines allgemeinen Impulses ⃗n = ⃗p/‖⃗p‖ erhält man
p 0
‖⃗p‖
0
0
1
C
A .
e − i 2 ωρσJρσ = e i ω ⃗n· ⃗K ,
wobei wieder cosh ω = p 0 /m ≡ γ. Nachdem wir die Parameter ω bestimmt haben, können wir die
Darstellungsmatrix dieses Boosts in der R/L-Darstellung ausrechnen. Der dazu benötigte Erzeuger
⃗K ist in der R/L-Darstellung gegeben durch ⃗ K = ∓i ⃗σ 2 :
D R/L (L(p)) = e i ω ⃗n·(∓i ⃗σ 2 ) = e ± 2 1 ω⃗n· ⃗σ 2
= cosh ω 2 1 ± sinh ω r r
γ + 1 γ − 1
2 ⃗n · ⃗σ = 1 ± ⃗n · ⃗σ
2 2
q q q γ+1
‖⃗p‖1 ± γ−1
γ+1
⃗p · ⃗σ
2 2 γ−1 m p γ 2 − 1 1 ± ⃗σ · ⃗p
=
= p
‖⃗p‖
2m 2 (γ + 1)
= p0 + m ± ⃗σ · ⃗p
p
2m(p 0 + m) .
In der zweiten Zeile haben wir von den Identitäten cosh(x/2) = p (cosh x + 1)/2 und sinh(x/2) =
p
(cosh x − 1)/2, in der vierten von ‖⃗p‖ = m
p
γ 2 − 1 Gebrauch gemacht.
Neutrale Spinorfelder nennt man auch Majorana-Teilchen. Wir wollen
ein Feld, das solche Teilchen beschreibt, konstruieren. Die Erzeugungs- und
Vernichtungsfelder können wir dank unserer Vorarbeit bis auf die Normierungsfaktoren
c u und c v einfach hinschreiben. Nur die Statistikfrage ist noch
139

nicht beantwortet worden; hier gehen wir ähnlich wie beim skalaren Feld
vor und wählen den richtigen Kommutator so, daß die Kausalitätsforderung
erfüllt wird. Es gilt wieder
[
ψ (−)
α (x),ψ (+)
α ′
]
(y) ≠ 0
±
auch für raumartige Abstände (x − y) 2 < 0. Wie vorher bildet man eine
Linearkombination
ψ α (x) = ψ (+)
α
(x) + λψ(−) (x) , (3.153)
und bestimmt λ geeignet. An der expliziten Form
ψ α (x) = ∑ ∫
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ipx u α (p,s)a(p,s) + λe ipx v α (p,s)a † (p,s)
s
(3.154)
erkennt man, daß ein solcher Feldoperator nur ungeladene Teilchen beschreiben
kann, genauer solche, die unter inneren Symmetrieoperationen reell
transformieren.
Unter Verwendung der Vartauschungsregel 13
[
]
a(p,s),a † (p ′ ,s ′ ) = ∓ (2π)3 2p 0 δ (3) (⃗p − ⃗p ′ )δ ss ′
berechnen wir
α
[ψ α (x),ψ α ′(y)] ∓
= λ ∑ ∫
s
[ ]
ψ α (x),ψ † α
(y) ′
= ∑ ∫
s
∓
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ip(x−y) u α (p,s)v α ′(p,s) ∓ e ip(x−y) v α (p,s)u α ′(p,s)
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ip(x−y) u α (p,s)u ∗ α ′(p,s) ∓ ‖λ|2 e ip(x−y) v α (p,s)vα ∗ ′(p,s)
13 beachte, daß an dieser Stelle keineswegs festgelegt ist, ob es sich um Kommutatoren
oder Antikommutatatoren handelt; lediglich die Distribution auf der rechten Seite wird
fixiert
.
(3.155)
140

Zur weiteren Auswertung benötigen wir die folgenden Spinsummen:
∑
u α (p,s)u ∗ α ′(p,s) = |c u| 2
m σµ p µ
s
∑
v α (p,s)vα ∗ ′(p,s) = |c v| 2
m σµ p µ
s
∑
u α (p,s)v α ′(p,s) = −c u c v ε αα ′
s
∑
v α (p,s)u α ′(p,s) = c u c v ε αα ′
s
Wir beweisen die erste und die dritte Formel. Die anderen beiden ergeben sich dann aus
analogen Rechnungen. Zur ersten Formel:
X
u α(p, s)u ∗ α ′(p, s) = D L(L(p)) αβ DL ∗ (L(p)) X
α ′ β ′ u β (k, s) u β ′(k, s) ∗
s
s | {z }
|c u| 2 δ ββ ′
“ ”
= |c u| 2 D L (L(p))D † L (L(p)) αα ′
0
=
|c u| 2
2m(p 0 + m) ·
B
@ (p 0 + m) 2 + (⃗σ · ⃗p) 2 −2(p 0 + m)⃗σ · ⃗p C
| {z }
A
(p 0 ) 2 +2mp 0 +m 2 +⃗p 2 =2p 0 (p 0 +m)
= |cu|2
m
(p0 − ⃗σ · ⃗p) = |cu|2
m σµ p µ .
Die gemischte Spinsumme ergibt sich wie folgt:
X
u α(p, s)v α ′(p, s) = D L (L(p)) αβ D L (L(p)) α ′ β ′
s
=c uc v(
1
X
u β (k, s)v β ′(k, s)
s
| {z }
!
!
0 1 0 0
+ )=c uc v(−ε)
0 0 −1 0
= −c uc v D L εD T L = −cucv D LεD T L ε−1 ε = −c uc v D L D † L ε
= −c uc v ε αα ′ ,
wobei wir die Identität (3.3.2) von Seite 117 benutzt haben.
Mit diesen (wichtigen!) Regeln vereinfachen sich die (Anti-)Kommutatoren
(3.148) zu
∫
d 3 ⃗p
(
[ψ α (x),ψ α ′(y)] ∓
= −c u c v λε αα ′
(2π) 3 2p 0 e −ip(x−y) ± e ip(x−y))
[
ψ α (x),ψ † α ′ (y)
= −c u c v λε αα ′ (∆ + (x − y) ± ∆ x (y − x)) und
∫ ]∓ = d 3 (
⃗p p 0 − ⃗σ · ⃗p
(2π) 3 2p 0 m
( )
σ µ ∂ µ
(x) (
=
αα
m
′|c u| 2 ∆ + (x − y) ∓ |λ| 2 | c v
| 2 ∆ + (y − x)
c u
141
)αα ′ |c u | 2 (
e −ip(x−y) ∓ |λ| 2 | c v
c u
| 2 e ip(x−y) )
)
.

Nach Seite 129 ist ∆ + (x − y) für raumartige Abstände eine gerade Funktion
von x−y, und somit ist σ µ ∂ µ (x) ∆ + (x) ungerade. Die gerade abgeleiteten
Kommutatoren verschwinden für |λ||c v /c u | = 1 und Antivertauschungsrelationen,
wenn also Spin-1/2-Teilchen Fermionen sind. Man wählt jetzt λ = 1 und
c u = √ m und c v = e iδ √ m .
Diese Normierung erweist sich als günstig, weil dann alle Gleichung im
Grenzfall verschwindender Masse m → 0 gültig bleiben (Außer denen für
den Standardboost L(p) wegen des fehlenden Ruhsystems). Den so konstruierten
Spinor nennt man Majorana-Spinor.
Majorana-Gleichung. Die Bewegungsgleichung des Majorana-Spinors ist
die Majorana-Gleichung:
i¯σ µ ∂ µ ψ − m e iδ (ψε) † = 0 , (3.156)
wobei die Phase e iδ für ein Fermion eins gesetzt werden kann.
Man erhält dies wie folgt. Zunächst erfüllen die Spinoren u(p, s) und v(p, s) die folgende Beziehung:
¯σ · p u(p, s) = (p 0 + ⃗σ · ⃗p) p0 + m − ⃗σ · ⃗p
p
2m(m + p 0 ) u(k, s) = p0 (p 0 + m) − ⃗p 2 + m⃗σ · ⃗p
√ . . .
u(k, s)
und dementsprechend
Damit erhält man
= m(p0 + m + ⃗σ · ⃗p)
√ . . .
u(k, s) = mD R (L(p)) u(k, s) = mε −1 ε D R ε −1 εu(k, s)
| {z }
=D
L
∗
= e −iδ m ε −1 D ∗ L v(k, s) = −e−iδ mεD L v(k, s) = −me −iδ ε v(p, s)
= −me iδ ε v(p, s) ∗
¯σ · p v(p, s) = m D R v(k, s) = mε −1 DL ∗ ε v(k, s) = meiδ ε DL ∗ u(k, s)
= +me iδ ε u(p, s) ∗ .
i¯σ µ ∂ µ ψ(x) = X Z
d 3 ⃗p
“
”
(2π)
s
3 2p 0 e −ipx ¯σ · p u(p, s)a(p, s) − e ipx ¯σ · p v(p, s)a † (p, s)
= −m e iδ ε X Z
d 3 ⃗p
“
”
(2π)
s
3 2p 0 e −ipx v(p, s) ∗ a(p, s) + e ipx u(p, s) ∗ a † (p, s)
= −m e iδ ε αβ ψ † β = m eiδ ε † ψ †
= m e iδ (ψε) † .
Die Majorana-Gleichung beschreibt zum Beispiel den allgemeinen Fall
massiver Neutrinos, die (wie der Name schon sagt) keine elektrische Ladung
142

tragen 14 . Offensichtlich ist die Bewegungsgleichung unter inneren Symmetrieoperationen
ψ → D(g)ψ nur invariant, wenn D(g) reell ist.
Parität. Es ist nicht möglich, für einen Majorana-Spinor eine Paritätstransformation
zu definieren. Dies ist aber zu erwarten, da die (0, 1 2 )-Darstellung
keine Darstellung der Paritätstransformation enthielt; diese vertauscht ja
gerade die (0, 1 2 )- mit der (1 2
,0)-Darstellung. Genauer gilt
U P ψ(x)UP
−1
∫
d 3 ⃗p
(
)
=
(2π) 3 2p 0 ηP ∗ e −ipx u(p,s)a(Pp,s) + η p e ipx v(p,s)a † (Pp,s)
∫
d 3 ⃗p
(
)
=
(2π) 3 2p 0 ηP ∗ e −i(Pp)·x u(Pp,s)a(p,s) + η P e i(Pp)·x v(Pp,s)a † (p,s)
!
= M ψ(Px) ,
wobei M eine 2 × 2-Matrix ist. Damit die Transformation überhaupt durch
eine Matrix zu bewerkstelligen ist, muß man zunächst η P = η ∗ P fordern.
Auf die Spinor-Koeffizienten angewandt, sollte die Matrix M für beliebige
Impulse p und Spineinstellungen s
u(Pp,s) = Mu(p,s)
ergeben. Mit der Konstruktionsregel u(Pp,s) = D L (L(Pp))u(k,s) bedeutet
dies auf der Ebene der Generatoren
¯σ µ p µ = M σ µ p µ .
Es existiert aber keine Matrix, die diese Gleichung für alle Impulse erfüllt.
Es sei erwähnt, daß der Majorana-Spinor — wie alle freien Felder —
der Klein-Gordon-Gleichung gehorcht, denn diese ist ja nur Ausdruck der
Energie-Impuls-Beziehung p 2 = m 2 , welche unabhängig vom Teilchenspin
Gültigkeit besitzt. Um dies nachzuweisen, berechnen wir
∂ µ ∂ µ ψ α = g µν ∂ ν ∂ µ ψ α .
An dieser Stelle erinnern wir uns an das Gesetz (3.3.2) von Seite 116: Es
gilt σ ν¯σ µ = g νµ + M µν , wobei M µν antisymmetrisch in den Lorentzindizes
µ und ν ist. Dieser Teil verschwindet also nach Kontraktion mit dem
14 genau genommen nach Brechung der elektroschwachen Symmetrie
143

symmetrischen ∂ ν ∂ µ , und wir können fortfahren:
... = σ ν αβ ∂ ν ¯σ µ βγ ∂ µ ψ γ = −ime iδ σ ν αβ ∂ ν(ψε) † β
= ime iδ σ ν αβ ε βγ∂ ν ψ † γ = ime iδ ε αβ ¯σ ν∗
βγ ∂ νψ † γ
= ime iδ ε αβ (¯σ ν† ) γβ ∂ ν ψ † γ = imeiδ ε αβ (¯σ ν ∂ ν ψ) † β
= ime iδ ε αβ (−ime iδ (ψε) † ) † β = −m2 ε αβ (−ε βγ ψ † γ) †
= −m 2 ψ α .
Beachte im letzten Schritt: ε 2 = −1!
Geladene Spinorfelder. Die mittels solcher Felder beschriebenen Teilchen
nennt man auch Dirac-Teilchen. Ein erster Ansatz besteht darin, ähnlich
wie beim geladenen skalaren Feld den Teilchen-Vernichetr a(p,s,n) mit
dem Antiteilchen-Erzeuger a † (p,s, ¯n) zu kombinieren:
ψ α (x) = ∑ s,n
∫
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ipx u α (p,s,n)a(p,s,n) + e ipx v α (p,s, ¯n)a † (p,s, ¯n)
mit zweikomponentigen Spinorkoeffizienten u und v. Wir erhalten dann ein
homogenes Transformationsverhalten unter inneren Symmetrieoperationen:
ψ → D ∗ (g)ψ, was uns prinzipiell die Konstruktion invarianter Wechselwirkungen
gestattet.
Man kann dann dieselben Überlegungen wie für den ungeladenen Spinor
anstellen und findet heraus, daß ψ wieder die Majorana-Gleichung erfüllt,
wobei allerdings auf der rechten Seite nicht (ψε) † , sondern (ψ C ε) † steht.
Der Operator ψ C entspricht ψ nach Vertauschung von Teilchen- und Antiteilchenoperator.
Wie das komplex konjugierte Feld φ ∗ eines geladenen Skalarfelds
φ muß ψ C unabhängig von ψ betrachtet werden, und die Majorana-
Gleichung gilt nicht für ψ allein, sondern koppelt ψ mit ψ C . Um diese beiden
Majorana-Felder einheitlich zu beschreiben, führt man die unabhängigen
Felder ψ α (x) und ϕ α (x) ein und faßt sie in einem vierkomponentigen Spinor
zusammen: (
)
ψ α
(+) (x) + ϕ (−)
α (x)
ε αβ (ψ α (−) (x) + ϕ (+)
α (x)) ∗
φ α (−) (x) erzeugt das Antiteilchen zu ψ α
(+) (x). Dieses Objekt transformiert
nach der Darstellung ( 1 2 ,0)⊕(0, 1 2
) auf Dirac-Spinoren und erfüllt die Dirac-
Gleichung.
144

Statt diesen Weg weiter zu verfolgen, konstruieren wir direkt ein Feld für
ein geladenes Teilchen, das sich gemäß der ( 1 2 ,0) ⊕ (0, 1 2
)-Darstellung transformiert.
Wir wählen also einen vierkomponentigen Ansatz (α = 1,... ,4):
ψ α (x) = ∑ ∫
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ipx u α (p,s,n)a(p,s,n) + e ipx v α (p,s, ¯n)a † (p,s, ¯n)
s
(3.157)
Zur Vereinfachung nehme n nur einen Wert an, sodaß nicht darüber summiert
werden muß.
Die Spinorkoeffizienten u und v bestimmen wir wieder aus dem Transformationsgesetz
(3.126) von Seite 126, wobei jetzt die der Darstellung entsprechende
Regel eingesetzt wird:
( )
ψ ′ DL
= ψ
D R
Die Rechnung von Seite 134 bis 136 läßt sich wiederholen, es ergeben sich
keine wesentlichen Unterschiede zwischen links- und rechtshändigem Teil.
Spinoren zu endlichem Impuls erhält man wieder durch Anwendung des
Standardboosts auf die Ruhspinoren:
( )
DL (L(p))
u(p,s) =
u(k,s)
D R (L(p))
Für die Ruhspinoren u(k,s) und v(k,s) (k = (m,0,0,0)) selbst findet man
eine zu (3.143) analoge Gleichung mit den Lösungen
⎛
u(k, 1 2 ) = ⎜
⎝
c Lu
0
c Ru
0
⎞
⎟
⎠
⎛ ⎞
0
v(k, 1 2 ) = ⎜ c Lv
⎟
⎝ 0 ⎠
c Rv
⎛ ⎞
0
u(k, −1 2 ) = ⎜ c Lu
⎟
⎝ 0 ⎠
c Ru
⎛
v(k, −1 2 ) = ⎜
⎝
−c Lv
0
−c Rv
0
⎞
⎟
⎠
Die Konstanten c (R/L)(u/v) werden gleich festgelegt.
Um die Statistikfrage zu beantworten, berechnen wir wieder die Vertau-
145

schungsregeln
[ψ α (x),ψ α ′(y)] ∓
= 0 und
[ ]
ψ α (x),ψ † α
(y) ′ ∓
= ∑ ∫
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ip(x−y) u α (p,s)u ∗ α ′(p,s) ∓ eip(x−y) v α (p,s)vα ∗ ′(p,s) ,
s=± 1 2
wobei wir offenlassen, ob Kommutator oder Antikommutator gemeint ist.
Wir benötigen die Spinsummen:
∑
( ) ( )
u α (p,s)u ∗ α ′(p,s) = DL 0 ∑
u
0 D α (k,s)u ∗ α ′(k,s) D † L 0
R 0 D † s
s
R
( ) (
DL 0 |cLu |
=
2 · 1 c Lu c ∗ Ru · 1 ) ( )
D †
0 D R c ∗ Lu c Ru · 1 |c Ru | 2 L 0
· 1 0 D † R
(
)
|c
= Lu | 2 D L D † L c Luc ∗ Ru D LD † R
c ∗ Lu c RuD R D † L
|c Ru| 2 D R D † R
(
)
|c
= Lu | 2 σ µ p µ
m
c Lu c ∗ Ru · 1
c Ru c ∗ Lu · 1 |c Ru| 2 ¯σ µ p µ
,
m
was wir mit den Identitäten 3.3.2 von Seite 117 erhalten. Die andere Spinsumme
∑ s v α(p,s)vα ∗ (p,s) ergibt denselben Ausdruck, wenn man die entsprechenden
Konstanten c L/Rv statt c L/Ru einsetzt. Der (Anti-)Kommutator
′
von ψ α (x) mit seinem Adjungierten ist also die 4 × 4-Matrix
[ ]
ψ α (x),ψ † α
(y) ′
=
(
i σµ ∂ µ
(x)
m
∓
(
|cLu | 2 ∆ + (x − y) ∓ |c Lv | 2 ∆ + (y − x) ) ...
c Ru c ∗ Lu ∆ +(x − y) ∓ c Rv c ∗ Lv ∆ +(y − x) ...
... c Lu c ∗ Ru ∆ +(x − y) ∓ c Lv c ∗ Rv ∆ )
+(y − x)
... i ¯σµ ∂ µ
(x) (
m |cRu | 2 ∆ + (x − y) ∓ |c Rv | 2 ∆ + (y − x) )
.
(3.158)
Beachte, daß jeder Eintrag eine 2 ×2-Matrix ist! Die Distribution ∆ + (x −y)
ist wie auf Seite 129 gegeben durch
∫
d 3 ⃗p
∆ + (x − y) =
(2π) 3 2p 0e−ip(x−y) ,
146

und gerade für raumartige Abstände; ihre Ableitung σ µ ∂ µ ∆ + (x −y) ist ungerade.
Die Diagonalelemente von (3.151) verschwinden also, wenn wir das
untere Vorzeichen und damit den Antikommutator und außerdem |c Lu | 2 =
|c Lv | 2 , |c Ru | 2 = |c Rv | 2 wählen. Ohne die Allgemeinheit einzuschränken, setzen
wir c Lu = c Lv = c Rv = √ m, müssen dann allerdings beachten, daß die
Elemente auf der Gegendiagonalen nur Null ergeben, wenn wir c Rv = − √ m
festlegen. Wir stellen fest:
Dirac-Teilchen sind Fermionen mit Spin 1/2.
Mit der Definition
∆(x) ≡ ∆ + (x) − ∆ + (−x)
nimmt der Antikommutator (3.151) die kompakte Form
{ } (
ψ α (x),ψ † iσ
α
(y) =
µ )
∂ µ m
′
m i ¯σ µ ∆(x − y) (3.159)
∂ µ
an. Wir fassen nun alle wichtigen Resultate für Dirac-Felder zusammen.
Feldoperator. Dirac-Teilchen sind Fermionen mit Spin 1/2. Insbesondere
gelten die Antivertauschungsrelationen
{
}
a(p,s,n),a † (p ′ ,s ′ ,n) = (2π) 3 2p 0 δ (3) (⃗p − p ⃗′ )δ ss ′ (3.160)
{
}
a(p,s, ¯n),a † (p ′ ,s ′ , ¯n) = (2π) 3 2p 0 δ (3) (⃗p − p ⃗′ )δ ss ′ (3.161)
Dabei gehören die Leiteroperatoren zu n (¯n) zum Teilchen (Antiteilchen).
Alle anderen Antikommutatoren verschwinden, auch diejenigen, in denen
Teilchen- und Antiteilchenoperatoren gemischt auftreten. Der Feldoperator
ist
ψ α (x) = ∑
s=± 1 2
∫
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ipx u α (p,s)a(p,s,n) + e ipx v α (p,s)a † (p,s, ¯n)
(3.162)
Spinor-Koeffizientenfunktionen. An dieser Stelle führen wir die
Kontraktion eines Vierervektors mit den Dirac-Matrizen, den sogenannten
Feynman-Dolch, ein:
̸V ≡ V µ γ µ = V µ γ µ .
.
147

Der Feynman-Dolch ist eine 4 ×4-Matrix. Mit der von uns getroffenen Konstantenwahl
lauten die Ruhspinoren (k = (m,⃗0)):
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1
0
u(k, 1 2 ) = √ m ⎜ 0
⎟
⎝ 1 ⎠ u(k, −1 2 ) = √ m⎜
1
⎟
⎝ 0 ⎠
0
1
⎛
v(k, 1 2 ) = √ m ⎜
⎝
0
1
0
−1
⎞
⎟
⎠
Die Spinorwertigen Koeffizienten sind dann
⎛
v(k, −1 2 ) = √ m ⎜
⎝
−1
0
1
0
⎞
⎟
⎠
u(p,s) =
̸p + m
√
2m(m + p 0 ) u(k,s)
v(p,s) = −
̸p − m
√
2m(m + p 0 ) v(k,s)
Natürlich gilt die Energie-Impuls-Beziehung p 0 = √ m 2 + ⃗p 2 .
Zur Ableitung: Man notiere, daß die Ruhspinoren Eigenvektoren zu γ 0 sind:
γ 0 u(k, s) =
γ 0 v(k, s) = −v(k, s)
„ « 0 1
u(k, s) = u(k, s)
1 0
Deswegen gilt
u(p, s) =
=
=
=
„ DL
D R
«
u(k, s)
0
„
1 B m 0
p
2m(m + p 0 @
) 0 m
„ m σ µ p µ
¯σ µ p µ m
« „ σ
+
µ «
p µ 0
0 ¯σ µ p µ
«
u(k, s)
1
p
2m(m + p 0 )
1
p
2m(m + p 0 ) (γµ p µ + m) u(k, s) .
1
·1
|{z}
=γ 0 γ 0
C
A u(k, s)
Der Beweis für v(p, s) verläuft analog.
Dirac-Adjunktion. Weil die Kombination so häufig auftritt, definiert
man den Dirac-Adjungierten eines Spinors:
¯ψ α ≡ (ψ † γ 0 ) α = ψ † α ′ γ 0 α ′ α
148

Dementsprechend gilt auch
ū α (p,s) = u ∗ α ′(p,s)γ0 α ′ α
¯v α (p,s) = v ∗ α ′(p,s)γ0 α ′ α .
Wenn man sich u(p,s) als Spalte vorstellt, erhält man nach Dirac-Adjunktion
eine Zeile:
ū(p,s) = u † (p,s)γ 0 .
Man kann auch Matrizen Dirac-adjungieren: ¯M = γ 0 M † γ 0 . Die Dirac-
Adjunktion gehorcht dann denselben Rechenregeln wie die hermitesche. Für
komplexe Zahlen: ¯λ = λ ∗ . Beim Rechnen mit Spinoren ist diese Form der
Adjunktion natürlicher als die hermitesche.
Spinsummen. Auf Seite 139 hatten wir die folgenden Spinsummen
ausgerechnet:
∑
(
u α (p,s)u ∗ σ
α ′(p,s) = µ )
p µ m
m ¯σ µ = ( (̸p + m)γ 0) p αα ′
µ αα ′
s
und für v(p,s) dasselbe unter m → −m. Multipliziert man dies von links
mit γ 0 , so erhält man die Spinsumme eines Spinors mit seinem Dirac-
Adjungierten:
∑
u α (p,s)ū α ′(p,s) = (̸p + m) αα ′
s
∑
v α (p,s) ¯v α ′(p,s) = (̸p − m) αα ′
s
(3.163)
Vertauschungsregel für das Feld. Der kanonische Antikommutator
des Feldes wird ebenfalls mit dem Dirac-Adjungierten gebildet:
{
ψα (x), ¯ψ α ′(y) } ( σ
=
µ )
∂ µ m
m ¯σ µ γ 0 ∆(x − y) = (i̸∂ + m)
∂ αα ′ ∆(x − y) .
µ
Mit ∂ µ ∆(x − y) meinen wir ∂ (z)
µ ∆(z) |z=(x−y) .
Dirac-Gleichung. Das Feld ψ(x) erfüllt die Dirac-Gleichung:
(3.164)
(i̸∂ − m)ψ(x) = 0 (3.165)
149

Wegen ̸ p ̸ p = p µ p ν γ µ γ ν = 1 2 pµ p ν {γ µ ,γ ν } = p 2 = m 2 projizieren die Operatoren
̸p + [−]m nämlich gewissermaßen auf die von u(p,s) [v(p,s)] aufgespannten
Unterräume:
(̸p − m)u(p,s) =
(̸p + m)v(p,s) = 0
(̸p − m)(̸p + m)
√
2m(m + p 0 ) u(k,s) = 0
Also ergibt die Anwendung des Dirac-Operators (i ̸∂ − m) auf das Feld
(i ̸∂ − m)ψ(x)
∫
d 3 ⃗p
(
)
= (i ̸∂ − m)
(2π) 3 2p 0 e −ipx u(p,s)a(p,s,n) + e ipx v(p,s)a † (p,s, ¯n)
∫
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ipx (̸p − m)u(p,s)a(p,s,n) + e ipx (− ̸p − m)v(p,s)a † (p,s, ¯n)
= 0 .
Die diskreten Symmetrien C, P und T. Wir fassen hier die Ergebnisse
zusammen und leiten sie nachher einzeln ab. Der entsprechend
transformierte Raumzeitpunkt wird durch Px = (t, −⃗x) ausgedrückt. Die
überstrichenen Zahlen sind die inneren Paritäten des Antiteilchens.
U P ψ(x)U −1
P
= ηP ∗ γ0 ψ(Px) ¯η p = −ηp
∗
U C ψ(x)U −1
C
= −ξC ∗ iγ 2 (ψ † (x)) T ¯ξC = ξC
∗
U T ψ(x)U −1
T
= −ξT ∗ γ1 γ 2 ψ(−Px) ¯ξT = ξT
∗
Bei der Herleitung obiger drei Gesetze verwenden wir zur Abkürzung dp ≡
d3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 . Außerdem
kennzeichnen wir die Antiteilchenoperatoren nicht mit einem ¯n, sondern mit einem Überstrich
ā.
Parität. Zunächst gilt (siehe auch Seite 107)
U P ψ(x) U −1
P
= X Z
s
= X Z
s
“
”
dp ηP ∗ e−ipx u(p, s) a(Pp, s) + ¯η P e ipx v(p, s) ā † (Pp, s)
“
”
dp ηP ∗ e−iPp·x u(Pp, s)a(p, s) + ¯η P e iPp·x v(Pp, s)ā † (p, s) ,
wobei man im zweiten Schritt zuerst die Substitution p = Pp ′ und dann die Umbenennung p ′ → p
vornimmt. Dies soll in die Form ψ(Px) gebracht werden; man muß also u(Pp,s) und v(Pp, s)
durch u(p, s) und v(p, s) ausdrücken. Mit der expliziten Form von Seite 146 des Standardboosts
und der Eigenschaft γ 0 u(k, s) = u(k, s) erhalten wir
u(Pp,s) =
„ DL (L(Pp)) 0
0 D R (L(Pp))
= γ 0 „ DL (L(p)) 0
0 D R (L(p))
«
u(k, s) =
«
γ 0 u(k, s) = γ 0 u(p, s) .
„ «
DR (L(p)) 0
u(k, s)
0 D L (L(p))
150

Entsprechend gilt
v(Pp, s) = −γ 0 v(p, s) .
Damit haben wir die gesuchten Ausdrücke und erhalten das Transformationsgesetz
U P ψ(x) U −1
P = η ∗ P γ0 ψ(Px) ,
wenn wir ¯η P = ηP ∗ fordert; ansonsten würde man das Antiteilchen nicht als solches bezeichnen.
Ladungskonjugation. Wir verwenden wieder das Transformationsgesetz der Erzeuger und
Vernichter:
U C ψ(x) U −1
C
= X Z “
dp ξC ∗ e−ipx u(p, s) ā(p, s) + ¯ξ
”
C e ipx v(p, s)a † (p, s)
s
(3.166)
= X s
Z
dp
» “¯ξ∗ C e −ipx v ∗ (p, s) a(p, s) + ξ C e ipx u ∗ (p, s) ā † (p, s)” †
– T
(3.167)
Um dies in eine Form, die ψ(x) enthält, zu bringen, muß man u(p, s) mit v ∗ (p, s) in Verbindung
setzen. Dazu führen wir die (linkshändigen) Zweierspinoren
ξ 1
2
=
„ 1
0
«
ξ −
1
2
=
„ 0
1
«
ein. Mithilfe der Regeln
ε ξ 1
2
=
ε ξ − 1
2
=
„ « „ « 0 −1 1
1 0 0
„ « −1
= −ξ 1
0 2
=
„ 0
1
«
= ξ − 1
2
können wir dann die Ruhspinoren durch die ξ ausdrücken:
u(k, s) = √ „ « ξs
m
ξ s
v(k, s) = √ „ « ε ξs
m
−ε ξ s
Dann läßt sich u ∗ (p, s) auf v(p, s) zurückführen:
u ∗ (p, s) =
=
S.117
=
ε −1 =−ε
=
=
„ DL (L(p)) ∗ 0
0 D R (L(p)) ∗ «
u ∗ (k, s)
„ ε −1 ε D L (L(p)) ∗ ε −1 ε 0
0 ε −1 ε D R (L(p)) ∗ ε −1 ε
„
√ ε −1 « „ «
D m R (L(p))ε 0 ξs
0 ε −1 D L (L(p))ε ξ s
„ « „ « „
√ 0 −ε DL (L(p)) 0 0 −ε
m
ε 0 0 D R (L(p)) ε 0
„ « 0 ε
v(p, s) = −iγ 2 v(p, s) ,
−ε 0
«
u(k, s)
| {z }
reell!
« „ ξs
ξ s
«
| {z }
=−v(k,s)
151

im letzten Schritt wurden die Definitionen von ε = −iσ 2 und den Gamma-Matrizen von Seite 120
benutzt. Für v ∗ (p, s) erhält man
v ∗ (p, s) = √ „ « „ « „ 0 −ε DL (L(p)) 0 0 −ε
m
ε 0 0 D R (L(p)) ε 0
=
„ 0 −ε
ε 0
«
u(p, s) = −i γ 2 u(p, s) .
« „ « εξs
−εξ s
| {z }
=−u(k,s)
Wegen (−iγ 2 )(−iγ 2 ) = 1 gilt dann auch u(p, s) = −iγ 2 v ∗ (p, s) und v(p, s) = −iγ 2 u ∗ (p, s), sodaß
wir, wenn wir ¯ξ C = ξC ∗ annehmen, fortfahren können:
U C ψ(x) U −1
C
vgl.(3.159)
= −i γ 2 ξ ∗ C
X
Z
vgl.(3.160)
= −ξ ∗ C iγ2 h ψ † (x)i T
,
s
“
”
dp e −ipx v ∗ (p, s) ā(p, s) + e ipx u ∗ (p, s) a † (p, s)
was zu zeigen war.
Zeitumkehr. Man geht wie bei der Paritätstransformation vor, muß aber die Antiunitarität
der Zeitumkehrtransformation berücksichtigen:
U T ψ(x) U −1
T
= X Z
s
= X Z
s
“ dp (−1) 1 2 −s ξT ∗ eipx u ∗ (p, s) a(−⃗p, −s) + ¯ξ
”
T e −ipx v ∗ (p, s) ā † (−⃗p, −s)
“
dp (−1) 1 2 +s ξT ∗ e−ip·(−Px) u ∗ (−⃗p, −s)a(p, s) + ¯ξ
”
T e +ip·(−Px) v ∗ (−⃗p, −s)ā † (p, s)
mit den Ersetzungen ⃗p → −⃗p und s → −s. Die Dreiervektoren sind so zu verstehen, daß nur die
Raumkomponenten des Vierervektors mit einem Minus versehen werden. Man erkennt, daß jetzt
ein Zusammenhang zwischen (−1) 1 2 +s u ∗ (−⃗p, −s) und u(p, s) zu suchen ist:
(−1) 1 2 −s u ∗ (−⃗p, −s)
„
= (−1) 1 2 +s DL (L(−p)) ∗
0
«
0
D R (L(−p)) ∗ u(k, −s)
„
= (−1) 1 2 +s DR (L(p)) ∗
0
«
0
D L (L(p)) ∗ u(k, −s)
„
= (−1) 1 2 +s ε −1 D L (L(p)) ε 0
«
u(k, −s)
= √ m(−1) 1 2 +s (−1)
=
0 ε −1 D R (L(p)) ε
„ ε 0
0 ε
„ « −ε 0
u(p, s) = γ
0 −ε
1 γ 3 u(p, s) ,
« „ DL (L(p)) 0
0 D R (L(p))
« „ « ε ξ−s
ε ξ −s
| {z }
−(−1) 1 2 −s u(k,s)
weil (wie man leicht nachrechnet) γ 1 γ 3 = diag(−ε, −ε). Für (−1) 1 2 +s v ∗ (−⃗p, −s) erhält man das
152

entsprechende Ergebnis
(−1) 1 2 +s v ∗ (−⃗p, −s)
= √ m(−1) 1 2 +s (−1)
= γ 1 γ 2 v(p, s) .
„ « „ « „ ε 0 DL (L(p)) 0 ε 2 «
ξ −s
0 ε 0 D R (L(p)) −ε 2 ξ −s
| {z }
−(−1) 1 2 −s v(k,s)
Wenn die Phasen von Teilchen und Antiteilchen zueinander komplex konjugiert sind, ¯xi T = ξ ∗ T ,
finden wir im obigen Integral das Feld am transformierten Raumzeitpunkt (−t, ⃗x) = −Px wieder:
U T ψ(x) U −1
T = ξ ∗ T γ1 γ 3 ψ(−Px) .
Mithilfe der Ladungskonjugation erkennen wir in der Dirac-Gleichung
zwei gekoppelte Majorana-Gleichungen wieder: Ein Majorana-Spinor beschreibt
ein neutrales Spin-1/2-Teilchen. Man kann dies so interpretieren,
daß dieses Teilchen sein eigenes Antiteilchen ist, was für den Dirac-Spinor
bedeutet, daß er unter Ladungskonjugation in sich selbst übergeht, also
U C ψ(x)U −1
C
= −ξ ∗ C iγ 2 (ψ † (x)) T = ψ(x)
erfüllt. Diese Bedingungen verknüpft die oberen mit den unteren zwei Komponenten
von ψ(x):
( ) ( ) ( )
−ξC ∗ iγ 2 (ψ † ) T = ξC
∗ 0 ε ψ † 1 ξ
−ε 0 ψ † =
C ∗ εψ† 2
2 −ξC ∗ εψ† 1
( )
! ψ1
= .
ψ 2
In Komponenten:
ψ 2 = −ξ ∗ C εψ† 1 = ξ∗ C (ψ 1ε) † .
Ebenfalls in Zweier-Spinoren aufgeteilt lautet die Dirac-Gleichung (3.158):
( 0 σ µ )( ) ( )
i∂ µ ψ1 ψ1
¯σ µ − m = 0 .
i∂ µ 0 ψ 2 ψ 2
Die untere Hälfte wird mit der obigen Bedingung zur Majorana-Gleichung
eines linkshändigen Spinorfeldes:
i ¯σ µ ∂ µ ψ 1 − m ψ 2 ;= i ¯σ µ ∂ µ ψ 1 − mξ ∗ C (ψ 1 ε) † = 0 .
ψ 2 erfüllt die Gleichung eines rechtshändigen Majorana-Feldes.
153

Der Hamiltonoperator des freien Dirac-Feldes. Für ein beliebiges
freies Feld ist der Impulsoperator gegeben durch
P µ = ∑ s,n
∫
d 3 ⃗p
( )
(2π) 3 2p 0 pµ a † (p,s,n)a(p,s,n) + a † (p,s, ¯na(p,s, ¯n)
Der freie Hamiltonoperator ist dessen Zeitkomponente:
H 0 = P 0 .
.
(3.168)
Das bedeutet: Die Energie eines Fockzustands ist die Summe der Ein-Teilchen-
Energien, wie für ein nicht wechselwirkendes System zu erwarten. Wir drücken
nun H 0 durch den Feldoperator aus. Das ergibt
∫
H 0 = d 3 ⃗x
(m ¯ψ(x) + γ i 1 )
i ∇i ψ(x) (3.169)
unter Vernachlässigung der divergenten Nullpunktsebergie. ∇ i ≡
∂ ist der
∂x i
gewöhnliche Gradient 15 , und ¯ψ der Dirac-adjungierte Operator zu ψ.
Diese Form kann man vermuten, indem man die Dirac-Gleichung
(i ̸∂ − m)ψ = (i γ 0 ∂ ∂t + i γi ∇ i − m)ψ = 0
auf die Gestalt einer Schrödinger-Gleichung bringt:
i ∂ ∂t ψ = (γ0 m − i γ 0 γ i ∇ i ) ψ .
| {z }
H 0
Dann sieht (3.162) wie der Erwartungswert der Energie aus. Zur Verifikation setzen wir die Definition
(3.155) von ψ(x) ein:
H 0 = X ss ′ Z
pp ′ d 3 ⃗x
“
e ipx ū(p, s)a † (p, s) + e −ipx¯v(p, ”
s)ā(p, s)
X
Z
ss ′
×(m + γ i 1 “
”
i ∇i ) e −ipx u(p ′ , s ′ )a(p ′ , s ′ ) + e ipx v(p ′ , s ′ )ā † (p ′ , s ′ )
d 3 ⃗p 1
h
(2π) 3 2p 0 2p 0 ū(p, s)(m + γ i p i )u(p, s)a † (p, s)a(p, s ′ )
+¯v(p, s)(m − γ i p i )v(p, s ′ ) ā(p, s)ā † (p, s ′ )
+ū(p, s)(m − γ i p i )v(−p, s ′ ) a † (p, s)ā † (−p, s ′ )
+¯v(p, s)(m + γ i p i )u(−p, s ′ ) ā(p, s)a(−p, s ′ )˜
(3.170)
15 beachte: ∂ µ = (∂ 0, −∇ i); das Minuszeichen entsteht beim Herunterziehen des Indices
154

An dieser Stelle verwenden wir die Projektoreigenschaft (3.156), Seite 147, von (̸ p ± m): Aus
(̸p − m)u(p, s) = (̸p + m)v(p, s) = 0 folgt (m + γ i p i )u(p, s) = γ 0 u(p, s) und (m − γ i p i )v(p, s) =
−γ 0 v(p, s). Damit ergibt (3.163)
. . . = X ss ′ Z
d 3 ⃗p p 0 h
(2π) 3 2p 0 2p 0 u † (p, s)u(p, s ′ )a † (p, s)a(p, s ′ )
−v † (p, s)v(p, s ′ )ā(p, s)ā † (p, s ′ )
−u † (p, s)v(−p, s ′ )a † (p, s)ā † (−p, s ′ )
i
+v † (p, s)u(−p, s ′ )ā(p, s)ā(−p, s ′ ) . (3.171)
Wir benötigen die Spinor-Skalarprodukte:
u † (p, s)u(p, s ′ ) = u † (k, s) (̸p† + m)(̸p + m)
2m(p 0 u(k, s ′ ) = u † (k, s) 2p0
+ m)
2m · 1 u(k, s′ )
= 2p 0 δ ss ′
v † (p, s)v(p, s ′ ) = 2p 0 δ ss ′
!
u † (p, s)v(−p, s ′ ) = u † D † (k, s) L D R 0
0 D † R D v(k, s ′ ) = u † (k, s)v(k, s ′ ) = 0
L
| {z }
D L (L(−p))=D R (L(p))
v † (p, s)u(−p, s ′ ) = 0 .
Nach Einsetzen dieser Ausdrücke haben erhalten wir
· · · = X s
Z
d 3 ⃗p
“ ”
(2π) 3 2p 0 p0 a † (p, s)a(p, s) − ā(p, s)ā † (p, s) .
Jetzt wird noch einmal der Antikommutator verwendet:
. . . = X s
Z
d 3 ⃗p
“ ”
(2π) 3 2p 0 p0 a † (p, s)a(p, s) + ā † (p, s)ā(p, s)
+ X Z
d 3 ⃗p
(2π)
s
3 2p 0 p0 · 2p 0 (2π) 3 δ (3) (0) .
| {z }
divergente Nullpunktsenergie
Die Nullpunktsenergie ist ohne Gravitations unbeobachtbar und kann weggelassen werden. Formal
definiert man die Normalordnung
: a † a : ≡ a † a ,
indem man alle Erzeuger unter Vernachlässigung der Kommutatorterme nach links tauscht. Streng
genommen muß man auch den Hamiltonoperator normalordnen:
Z
H 0 =
d 3 ⃗x :
„m ¯ψ(x) + γ i 1 «
i ∇i ψ(x) : . (3.172)
155

Spinorfelder für masselose Teilchen. Die Konstruktion masseloser Felder
gestaltet sich wegen des fehlenden Ruhsystems schwieriger. Als Referenzsystem
hatten wir auf Seite 90 dasjenige gewählt, in dem der Impuls
in z-Richtung zeigt: k = n(1,0,0,1). Beliebige Impulse erhalten wir mittels
des Standardboosts: p = L(p)k. Auf Seite 127 hatten wir zwei für massive
Teilchen allgemeingültige Bestimmungsgleichungen (3.130) und (3.131)
hergeleitet. Wir geben hier die entsprechenden Gleichungen für masselose
Felder, die unter beliebigen Darstellungen transformieren, an. Dabei ist s
die Helizität, und weil diese lorentz-invariant ist, entällt die Summe über s.
u α (Λp,s)e −iΘs = ∑ α ′ D αα ′(Λ)u α ′(p,s) (3.173)
v α (Λp,s)e iΘs = ∑ α ′ D αα ′(Λ)v α ′(p,s) (3.174)
Außerdem erhalten wir auch die Spinoren zum Impuls p aus denen zum
Referenzimpuls k über den Standardboost:
u α (p,s) = ∑ α ′ D αα ′(L(p))u α ′(k,s) (3.175)
v α (p,s) = ∑ α ′ D αα ′(L(p))v α ′(k,s) (3.176)
Wie bei den massiven Feldern konzentrieren wir uns auf die Lorentztransformationen,
die den Referenzimpuls festhalten. Das sind im Vergleich mit Seite
128 nur die Rotationen um die z-Achse, und die masselosen Äquivalente von
(3.134) und (3.135) lauten in Matrixschreibweise
u(k,s)e −iΘ(W)s = D(W)u(k,s) (3.177)
v(k,s)e +iΘ(W)s = D(W)v(k,s) . (3.178)
Θ(W) entspricht dem Drehwinkel. Bevor wir diese Gleichungen lösen, bilden
wir den Limes m → 0 für den Majorana- und Dirac-Spinor.
Die linkshändige masselose Majorana-Gleichung hat die Gestalt
i ¯σ µ ∂ µ ψ = 0 .
Die Spinorkoeffizienten im Feldoperator lauten
u(p,s) m→0 −→ σµ p µ
√
2p
0 ξ s
v(p,s) m→0 −→ σµ p µ
√
2p 0 εξ s e iδ
156

und der Feldoperator
ψ ∼ ∑
s=± 1 2
u(p,s)a(p,s) + v(p,s)a † (p,s)
beschreibt zwei Helizitätszustände. Kann man ein Feld für nur einen Helzitätszustand
konstruieren? Wir betrachten die Dirac-Gleichung im Grenzfall
verschwindender Masse:
(
iγ µ 0 iσ
∂ µ ψ =
µ )( )
∂ µ ψL
i ¯σ µ = 0 .
∂ µ ψ R
Man erhält also zwei entkoppelte Majorana-Gleichungen:
i ¯σ µ ∂ µ ψ L = 0
iσ µ ∂ µ ψ R = 0 .
Die linkshändigen Feldkomponenten,
ψ L ∼ ∑
[u(p,s)] obere a(p,s,n) + [v(p,s)]
s=± 1 2
zwei Komp.
obere
zwei Komp.
a † (p,s, ¯n) ,
beschreiben ebenfalls zwei Helizitätszustände von Teilchen und Antiteilchen.
Wie sich herausstellt, ist die Bewegungsgleichung korrekt, aber die Interpretation
des a † (p,s) ändert sich etwas. Man kann s nicht einfach im
Grenzfall m → 0 als Helizität definieren, in diesem Sinne ist der Grenzwert
nicht glatt. Das ist nicht verwunderlich, weil für massive Teilchen der Spin
s im Ruhsystem definiert ist, welches für m = 0 nicht existiert; die Helizität
hingegen im Referenzsystem, in dem der Impuls durch k = (n,0,0,n)
gegeben ist.
Wir lösen jetzt die Bestimmungsgleichung (3.171) und (3.171) für die
(0, 1 2 )-(D L)- und die ( 1 2 ,0)-(D R)-Darstellungen. Dazu betrachten wir eine
infinitesimale Transformation W, vergleiche dazu Seite 91:
D(W) = 1 − i(Θ J 3 + α(K 1 + J 2 ) + β(K 2 − J 1 )) + ...
= 1 − i(Θ σ3 σ1
+ α(±i
2 2 + σ2 σ2
) + β(±i
2 2 − σ1
)) + ...
2
= 1 − iΘ σ3
2 − i(±iα − ∓ iσ 2
β)σ1 + ...
2
Durch Vergleich mit den Koeffizienten von u und v in (3.171) und (3.169)
erhalten wir die Gleichungen
σ 1 ∓ iσ 2 σ 1 ∓ iσ 2
u(k,s) = 0 v(k,s) = 0
2
2
(3.179)
σ 3
2 u(k,s) = s u(k,s) σ 3
= −s v(k,s)
2
(3.180)
157

Die Projektoren in Gleichung (3.172) lauten als Matrizen
( )
( )
σ 1 − iσ 2 0 0
= und σ 1 + iσ 2 0 1
=
1 0
0 0
.
Linkshändiger Spinor. Für die Darstellung D L gilt in den obigen Gleichungen
das obere Vorzeichen. (3.172) bedeutet dann, daß die obere Komponente
von u(k,s) verschwinden muß:
( ) 0
u(k,s) = = ξ
1 −
1 .
2
Die andere Gleichung (3.173) bestätigt nur, daß u Teilchen mit Helizität
s = − 1 2 beschreibt. v(k,s) ist gegeben durch v(k, 1 2 ) = (0,1)T = εξ1, seine
2
Helizität ist s = + 1 2 .
Ein linkshändiger masseloser Spinor vernichtet Teilchen der Helizität − 1 2
und erzeugt Teilchen der Helizität + 1 2 .
Somit können wir den Feldoperator, auch Weyl-Spinor genannt, hinschreiben:
∫
d 3 (
⃗p
ψ L (x) =
(2π) 3 2p 0 e −ipx u(p, − 1 2 )a(p, −1 2 ) + eipx v(p,+ 1 2 )a† (p,+ 1 )
2 )
(3.181)
Er kombiniert die Leiteroperatoren zu unterschiedlichen Helizitätszuständen.
Die Feldoperatoren massiver Teilchen enthalten diejenigen zu gleichen Spin-
Eigenzuständen; darin besteht ein wichtiger Unterschied zwischen Spin und
Helizität. Im Weyl-Spinor tritt letztere ähnlich wie eine Quantenzahl zu einer
inneren Symmetrie bei den massiven Feldern auf. Im Rahmen dieser Analogie
faßt man das vom Weyl-Spinor erzeugte Teilchen als Antiteilchen zum
Vernichteten auf; falls diese Teilchen Ladungen tragen, müssen sie entgegengesetzt
sein. Sind sie ungeladen, so kann man die Teilchen als die beiden
Helizitätszustände eines Teilchens verstehen.
Die vom Weyl-Spinor erfüllte Feldgleichung nennt man Weyl-Gleichung:
i ¯σ µ ∂ µ ψ L (x) = 0 (3.182)
Ihre Gültigkeit erhält man ähnlich wie die der Dirac-Gleichung:
¯σ µ p µ u(p, − 1 2 ) = (σ0 + ⃗σ · ⃗p) σ0 − ⃗σ · ⃗p
√ ...
u(k, − 1 2 ) = p2
... u(k, −1 2 ) = 0 .
158

Rechtshändiger Spinor. Obige Aussagen gelten genauso für den rechtshändigen
Weyl-Spinor. Die Koeffizienten tragen jetzt die umgekehrten Helizitäten:
)
u(k, 1 ( 1
2 ) = 0
v(k, − 1 ( ) −1
2 ) = 0
= ξ1
2
= εξ −
1
2
Ein rechtshändiger masseloser Spinor vernichtet Teilchen der Helizität + 1 2
und vernichtet Teilchen der Helizität − 1 2 .
Auch der Feldoperator sieht ähnlich aus:
∫
d 3 (
⃗p
ψ R (x) =
(2π) 3 2p 0 e −ipx u(p, 1 2 )a(p, 1 2 ) + eipx v(p, − 1 2 )a† (p, − 1 )
2 ) .
Die rechtshandige Weylgleichung lautet
iσ µ ∂ µ ψ R (x) = 0 (3.183)
Rechts- und linkshändige Weyl-Spinoren lassen sich nach Seite 118 ineinander
überführen:
ψ R (x) = ε(ψ † L (x))T
wegen εu(p, − 1 2 )∗ = v(p, − 1 2 ) und εv(p, 1 2 )∗ = u(p, 1 2
). Wir schließen mit
einigen Bemerkungen.
(1) Die Eigenschaften der Weyl-Spinoren finden in der Theorie der Neutrinos
Anwendung. Masselose Neutrinos und ihre Antiteilchen werden
durch linkshändige Weylfelder beschrieben.
(2) Man hat immer Zustände mit Helizität +s und −s. Allerdings kann
einer der beiden Zustände ein Antiteilchen des anderen beschreiben.
(3) Diese Besonderheiten gelten allgemein für masselose Teilchen 16 . Transformiert
ψ(x) bezüglich der irreduziblen Darstellung (A,B) der homogenen
Lorentzgruppe, dann
• erzeugt ψ ein Teilchen der Helzität σ = A − B
• vernichtet ψ ein weiteres (eventuell Anti-) Teilchen mit Helizität
σ = B − A.
16 eine einfache Herleitung steht im Buch von Weinberg, Bd. 1, S.254
159

Kovariante Produkte von zwei Spinorfeldern. Um lorentzinvariante
Wechselwirkungen zu konstruieren, benötigen wir aus den verschiedenen
Spinorfeldern gebildete Tensoren. Im folgenden bezeichne ψ L/R einen links-
(rechts-)händigen Zweierspinor, der mit D L/R transformiert, und ψ einen
Diracspinor, der mit D = diag(D L ,D R ) transformiert.
Skalare Skalare aus gleichhändigen Zweierspinoren werden mithilfe der unter
D L/R invarianten Matrix ε gebildet, ähnlich wie das Skalarprodukt
von Vierervektoren mit der Minkowski-Metrik g µν :
ψ T Lεψ L ,ψ T Rεψ R
Skalarprodukte aus zwei entgegengesetzt transformierenden Spinoren
bleiben wegen D −1
L
ψ † R ψ L ,ψ † L ψ R
= D† R invariant:
ψ ′† R ψ′ L = ψ† R D† R D Lψ L = ψ † R ψ L .
Die Invarianz der anderen Objekte kann man daraus ableiten, indem
man verwendet, daß (εψ L ) ∗ wie ein rechtshändiger Spinor transforniert
und umgekehrt. Die Invarianz der aus Diracspinoren gebildeten
reellwertigen Funktion
ergibt sich aus Obigem.
¯ψψ = ψ † γ 0 ψ = ψ † R ψ L + ψ † L ψ R
Pseudoskalar Pseudotensoren, also solche, die die Determinante der Transformation
aufnehmen, können nur aus Diracspinoren gebildet werden,
weil die links- und die rechtshändige Darstellung keine Paritätstransformation
enthalten. Man führt die Matrix γ 5 ∼ ǫ µνρσ γ µ γ ν γ ρ γ σ ein,
die die Eigenschaft
D −1 γ 5 D ∼ ǫ µνρσ Λ µ′ µΛ ν′ νΛ ρ′ ρΛ σ′ σγ µ ′γ ν ′γ ρ ′γ σ ′ = (detΛ)γ 5
hat. Mit dieser Matrix erhält man den Pseudoskalar
¯ψ γ 5 ψ .
Vektoren Mit den Transformationsregeln von Seite 118 und 121 der Pauliund
Dirac-Matrizen beweist man, daß sich die folgenden Größen wie
Vierervektoren verhalten:
ψ † L ¯σµ ψ L , ψ † R σµ ψ R
¯ψ γ µ ψ
160

Pseudovektor Der Pseudovektor wir d wie der Pseudoskalar mit γ 5 gebildet:
¯ψ γ µ γ 5 ψ
Tensoren Tensoren zweiter Stufe sind gegeben durch
ψ † L ¯σµν ψ L , ψ † R σµν ψ R
¯ψ σ µν ψ ,
wobei die Matrizen σ µν für Dirac-Spinoren durch den Kommutator der
Dirac-Matrizen definiert sind:
σ µν = i 2 [γµ ,γ ν ] .
Die Beweise sollte man zur Übung seblst durchführen. Wir illustrieren dies
am aus Dirac-Spinoren gebildeten Vektoroperator:
U(Λ,a) ¯ψγ µ ψ U(Λ,a) −1 = U(Λ,a) ¯ψ U(Λ,a) −1 γ µ U(Λ,a)ψ U(Λ,a) −1
= [U(Λ,a)ψ U(Λ,a) −1 ] † γ 0 γ µ [U(Λ,a)ψ U(Λ,a) −1 ]
= [D(Λ −1 )ψ] † γ 0 γ µ D(Λ −1 )ψ
= ψ † D † (Λ −1 )γ 0 γ µ D(Λ −1 ) ψ
= ψ † γ 0 D −1 (Λ −1 )γ µ D(Λ −1 ) ψ = Λ µ ν ¯ψ γ ν ψ ,
wobei der letzte Ausdruck am transformierten Raumzeitpunkt Λx + a auszuwerten
ist.
161

3.3.5 Konstruktion von Vektorfeldern
In diesem letzten Abschnitt zur Feldkonstruktion wenden wir uns den durch
Vektoren beschriebenen Teilchen zu. Unter diese fallen zum Beispiel die
masselosen Photonen und Gluonen sowie die massiven Austauschteilchen
der schwachen Wechselwirkung, die W ± - und Z-Bosonen. Wir betrachten
hier nur den Fall neutraler Felder, das heißt solcher, die reell unter inneren
Symmeterien transformieren. Das Photon gehört zu dieser Klasse. Weil uns
die Konstruktion masseloser Vektorteilchen vor Kovarianz-Probleme stellt,
beginnen wir aber mit den
Massiven Vektorfeldern. Wie der Name nahelegt, wählen wir ( 1 2 , 1 2 )-
Darstellung auf den Vierer-Vektoren, siehe Seite 122:
D(Λ) = Λ .
Dann gehen wir wie gewohnt vor und definieren Vernichtungs- und Erzeugungsfeldoperatoren
A µ(+) (x) = ∑ s
A µ(+) (x) = ∑ s
∫
∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 e−ipx u µ (p,s)a(p,s) (3.184)
d 3 ⃗p
(2π) 3 2p 0 eipx v µ (p,s)a † (p,s) (3.185)
mit den Koeffizientenfunktionen (wie üblich sei k = (m,⃗0) der Referenzimpuls)
u µ (p,s) = L(p) µ ν u ν (k,s) (3.186)
v µ (p,s) = L(p) µ ν,v ν (k,s) , (3.187)
die es zu bestimmen gilt. Die Bestimmungsgleichungen beschaffen wir uns
auf Seite 128:
∑
u µ (k,s ′ )D (j)
s ′ s (R) = Λµ ν u ν (k,s) (3.188)
s ′
∑
s ′
v µ (k,s ′ )D (j)∗
s ′ s (R) = Λµ ν v ν (k,s) (3.189)
Wie immer ist R eine dreidimensionale Rotation. Im Gegensatz zu den Spinorfeldern
tritt hier allerdings die Besonderheit auf, daß die Darstellungen
der Drehungen auf der rechten Seite nicht irreduzibel ist: Sie enthält einen
162

trivialen Spin-0-Anteil, entsprechend der Zeitkomponente, und einen dreidimensionalen
Spin-1-Anteil auf den Raumkomponenten. Aus diesem Grund
ist zu erwarten, daß es zwei j gibt, mit denen sich die Gleichungen erfüllen
lassen: j = 0 und j = 1.
Wir betrachten die infinitesimalen Versionen der beiden Gleichungen
(nur für u µ , für v µ verfahre man analog). Die Rotationserzeuger in der Vektordarstellung
sind die J k ≡ ǫ ijk J ij , wobei
[J ρσ ] µ ν = i(g µρ δ σ ν − g µσ δ ρ ν)
[
J k] i j = −iǫ kij ,
und [J k ] µ ν = 0, wenn µ = 0 oder ν = 0. Setzt man dies in (3.181) ein, so
erhält man aus ∑
u µ (k,s ′ )[J k ] (j)
s ′ s = [Jk ] µ ν u ν (k,s) (3.190)
s ′
die beiden Gleichungen
∑
u 0 (k,s ′ )[J k ] (j)
s ′ s = 0 (3.191)
s ′
∑
s ′
u i (k,s ′ )[J k ] (j)
s ′ s = [Jk ] i j u j (k,s) (3.192)
durch getrennte Betrachtung von µ = 0 und µ = i = 1,2,3. Wir multiplizieren
von rechts mit [J k ] (j)
ss
und summieren über s und k. Dadurch entsteht
′′
der Casimiroperator [ J ⃗2 ] (j)
s ′ s
der Darstellung, von dem wir wissen, daß er die
′′
Gestalt j(j + 1)δ s ′ s ′′ hat. Für Gleichung (3.184) erhalten wir dann
∑
s ′
u 0 (k,s ′ )[ ⃗ J 2 ] (j)
s ′ s ′′ = u 0 (k,s ′′ )j(j + 1) = 0 .
Die linke Seite von Gleichung (3.185) ergibt genauso
u i (k,s ′′ )j(j + 1) ,
163

und beim Berechnen der rechten Seite setzen wir (3.185) selbst ein:
∑ ∑
[J k ] i j [J k ] (j)
ss
u j (k,s)
′′
Zusammengefaßt:
jk
s
} {{ }
(3.185)
= ∑ jkm[J k ] i j[J k ] j m u m (k,s ′′ )
= ∑ ∑
(−i)ǫ kij (−i)ǫ kjm u m (k,s ′′ )
m jk
} {{ }
=2δ im
= 2u i (0,s ′′ )
u 0 (k,s)j(j + 1) = 0
u i (k,s)j(j + 1) = 2u i (k,s) (3.193)
Wie erwartet erhalten wir nichttriviale Lösungen für j = 0
und für j = 1:
u 0 (k,s) ≠ 0 (3.194)
u i (k,s) = 0 (3.195)
u 0 (k,s) = 0
Die beiden Fälle behandeln wir separat.
u i (k,s) ≠ 0 . (3.196)
Fall j = 0. Wir wählen 17 u 0 (k) = m; wegen der Konjugation in (3.182)
gilt dann v 0 (k) = −m. Die Spinoren zu endlichem Impuls sind
u µ (p) = L(p) µ ν u ν (k) = m L(p) µ 0 = p µ
v µ (p) = −p µ .
Bei genauer Betrachtung lassen sich Feldoperatoren (3.177) und (3.178) als
Ableitung der entsprechenden Operatoren zum Skalarfeld darstellen:
A µ(±) (x) = i∂ µ ψ (±) (x) .
Das ist aber nichts Neues: Man kann das Spin-0-Vektorfeld durch ein Skalarfeld
ersetzen.
17 s kann nur den Wert 0 annehmen und wird deshalb weggelassen
164

Fall j = 1 beschreibt ein Feld für Spin-1-Teilchen. Um die Koeffizientenfunktionen
zu bestimmen, muß man
∑
s ′ u i (k,s ′ )[J k ] (1)
s ′ s = [Jk ] i j u j (k,s)
− ∑ s ′ v i (k,s ′ )[J k ] (1)
s ′ s = [Jk ] i j u j (k,s) (3.197)
lösen. Das Resultat lautet nach Wahl einer beliebigen Normierung
⎛ ⎞
0
u µ (k,0) = v µ (k,0) ≡ ε µ (k,0) ≡ ⎜ 0
⎟
⎝ 0 ⎠
1
⎛ ⎞
u µ (k, ±1) = −v µ (k, ±1) ≡ ε µ (k, ±1) ≡ ∓√ 1 2
und damit die Koeffizientenfunktionen
ε µ (p,s) = L(p) µ ν ε ν (k,s)
u µ (p,s) = ε µ (p,s)
⎜
⎝
0
1
±i
0
⎟
⎠ , (3.198)
v µ (p,s) = ε µ∗ (p,s) , (3.199)
letzteres weil L(p) reell ist und v µ (k,s) = u µ (k,s) ∗ .
Zur Ableitung der Ergebnisse (3.191). Leider können wir nicht wie bei den Spinorfeldern
einfach sagen, die Matrix u i (k, s) sei proportional zum Einheitsoperator, weil sich die Indizes s, s ′
auf die Eigenvektoren von J 3 , i, j hingegen auf die Standardbasis im R 3 beziehen. Das bedeutet,
daß auf den Seiten der Gleichung (3.190) unterschiedliche Matrizen J k stehen; wir müssen sie
explizit für k = 3,+, − berechnen, wobei J ± = J 1 ± iJ 2 . Die Matrizen auf der linken Seite von
(3.190) sind (vergleiche auch QMI, S.180)
ˆJ3˜(1)
ˆJ+˜(1)
ˆJ
−˜(1)
=
0
@ 1 0 0
0 0 0
0 0 −1
1
A
= 〈1m ′ |J + |1m〉 = p (1 − m)(2 + m) δ m ′ ,m+1 = √ 2
= p (1 + m)(2 − m) δ m ′ ,m+1 = √ 2
0
@ 0 0 0
1 0 0
0 1 0
1
A
0
@ 0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
A
165

Die Summe über s ′ ergibt damit in der Reihenfolge k = 3, +, −
X
s = 1
u i (k, s ′ )[J k ] (1)
s ′ s = s = 0
s ′ s = −1
0
@ ui (k, 1)
0
u i (k, −1)
1 0
A @
1 0
√
0
√ 2 u i (k,1) A @
2 u i (k,0)
√
2 u i (k,0)
√
2 u i (k, −1)
Die Matrizen auf der rechten Seite von (3.190) berechnet man mit [J k ] i j = −iǫ kij zu
womit man für die rechte Seite
X
[J k ] i j u j (k, s) =
j
i = 1
i = 2
i = 3
0
ˆJ3˜ = (−i) @ 0 1 0 1
−1 0 0 A
0 0 0
0
ˆJ+˜ = (−i) @ 0 0 −i 1
0 0 1 A
i −1 0
0
ˆJ
−˜ = (−i) @ 0 0 i
1
0 0 1 A ,
−i −1 0
(−i)
0
@ u2 (k, s)
−u 1 (k, s)
0
1
0
A , (−i) @
0
1
A (3.200)
1
∓i u 3 (k, s)
u 3 (k, s)
±iu 1 (k, s) − u 2 (k, s)
A (3.201)
erhält. Die erste Spalte bezieht sich wieder auf k = 3, die zweite mit dem oberen (unteren) Vorzeichen
auf k = + (k = −). Durch (mühsamen) Vergleich von (3.193) und (3.194) für alle i,
k und s findet man die oben angegebenen u µ . Zum Beispiel liest man für k = 3, s = 0 sofort
u 1 (k,0) = u 2 (k, 0) = 0.
Wir benötigen gleich die Spinsummen oder Polarisationssummen, wie
man die ε µ (p,s) für Vektorteilchen normalerweise nennt:
∑
ε µ (p,s)ε ν∗ (p,s)
s
∑
= L(p) µ µ ′L(p)ν ν ′ ε µ (k,s)ε ν∗ (k,s)
⎛
= L(p) µ µ ′L(p)ν ⎜
ν ′ ⎝
= ̷L(p) µ µ ′̷L(p)ν ν ′ (
= −g µν + pµ p ν
s
0 0 0 0
0
0 δ ij
0
⎞
⎟
⎠
−g µ′ ν ′ + kµ′ k ν′
m 2 )
m 2 , (3.202)
166

Wie üblich untersuchen wir die (Anti-) Kommutatoren, um herauszufinden,
welcher Statistik die von Vektorfeldern beschriebenen Teilchen genügen.
Für raumartige Abstände (x − y) 2 < 0 berechnet man
[
]
A µ(−) (x),A ν(−) (y)
[
A µ(+) (x),A ν(−) (y)
Mit der gewohnten Linearkombination
= 0
∓
∫ ]∓ = d 3 ⃗p ∑
(2π) 3 2p 0 e−ip(x−y) ε µ (p,s)ε ν∗ (p,s)
s
(
)
= (−1) g µν + ∂µ(x) ∂ ν(x)
m 2 ∆ + (x − y) .
A µ (x) = A µ(+) (x) + λA µ(−) (x)
erhalten wir wie beim Skalarfeld auf Seite 129
[A µ (x),A ν (y)] ∓
= λ(1 ∓ 1)(−1)
(g µν + ∂µ ∂ ν )
m 2 ∆ + (x − y)
[ ]
A µ (x),A ν† (y) = (1 ∓ ∓
|λ|2 )(−1)
(g µν + ∂µ ∂ ν )
m 2 ∆ + (x − y) .
Diese Ausdrücke verschwinden, wenn wir das obere Vorzeichen und |λ| 2 = 1
(ohne weitere Einschränkung λ = 1) wählen;
Massive Spin-1-Vektorteilchen sind Bosonen.
Wir fassen unsere Erkenntnisse über massive Vektorfelder zusammen:
(1) Der Feldoperator hat die Gestalt
A µ (x) = ∑ s
∫
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ipx ε µ (p,s)a(p,s) + e ipx ε µ∗ (p,s)a † (p,s)
und ist hermitesch: A µ (x) = A µ† (x).
(3.203)
(2) Die beschribenen Teilchen gehorchen der Bose-Statistik und somit der
Vertauschungsrelation (∆(x − y) ≡ ∆ + (x − y) − ∆ + (y − x))
[A µ (x),A ν (y)] = (−1)
(g µν + ∂µ ∂ ν )
m 2 ∆(x − y) . (3.204)
167

Die Polarisationsumme ist
∑
ε µ (p,s)ε ν∗ (p,s) = (−1)
(g µν + pµ p ν )
m 2
s
(3) Die Bewegungsgleichungen des Feldoperators lauten
(∂ 2 + m 2 )A µ (x) = 0
. (3.205)
∂ µ A µ (x) = 0 . (3.206)
Man nennt sie Maxwell-Proca-Gleichungen; im Grenzfall sehr kleiner
Masse m → 0 erhält man die Maxwellgleichungen in der Lorentz-
Eichung. Die zweite Gleichung stellt eine Bedingung an A µ , sodaß A µ
nur drei unabhängige Komponenten hat, wie man es bei einem Teilchen
mit drei Spineinstellungen erwartet. Die Gültigkeit dieser Gleichungen
ergibt sich aus p 2 = m 2 und der Transversalität der Polarisationsvektoren:
p µ ε µ (p,s) = k µ ε µ (k,s) = 0 ,
weil k µ nur eine Zeitkomponente und ε(k,s) nur Raumkomponenten
besitzt.
(4) Das massive Vektorfeld gehorcht den folgenden diskreten Transformationsregeln:
U P A µ (x)U −1
P
= −ηp ∗ P µ νA ν (Px) (3.207)
U C A µ (x)U −1
C
= ξC ∗ A µ (x) (3.208)
U T A µ (x)UT −1 = ξT ∗ P µ νA ν (−Px) (3.209)
P µ ν = diag(1, −1, −1, −1) ist die Matrix der Paritätstransformation.
Das ergibt eine Rechnung wie auf Seite 148ff unter Verwendung von
ε µ (−p,s) = L(−p) µ ν ε ν (k,s) = (PL(p)P −1 ) µ ν ε ν (k,s)
= P µ ν L(p) ν ρ(−ε ρ (k,s) = −P µ ν ε ν (p,s)
bei der Paritätstransformation und Ladungskonjugation und
(−1) 1+s ε µ∗ (−p, −s) = (−1) 1+s (PL(p)P −1 ) µ ν ε ν∗ (k, −s)
für die Zeitumkehr.
= (PL(p)P −1 ) µ ν (−1)ε ν (k,s) = +P µ ν ε ν (p,s)
168

Masselose Vektorfelder. Die Feldgleichungen (3.199) scheinen den Übergang
m → 0 zu gestatten. In der Polarisationssumme (3.198) tritt jedoch
ein Problem auf: der Term (p µ p ν )/m 2 divergiert. Wir müssen erreichen, daß
dies ohne Konsequenzen bleibt. Dazu stellen wir uns eine Wechselwirkungs-
Hamiltondichte der Form
H(x) = J µ (x)A µ (x)
vor, wie wir sie aus der klassischen Elektrodynamik kennen — dort ist J µ
gerade der Ladungsstrom. Die Übergangsrate für einen Prozess, in dem ein
einlaufendes Photon in Strom J umgewandelt wird, ist dann proportional
zu
∑
|J µ ε µ (p,s)| 2 = J µ Jν
(−g ∗ µν + pµ p ν )
m 2 .
s
Der Grenzwert m → 0 ist gerade dann möglich, wenn der hintere Summand
nach Kontraktion mit den J verschwindet, das heißt, wenn der Strom
p µ J µ = 0 oder im Ortsraum ∂ µ J µ = 0
erfüllt. Die letzte Gleichung fordert in Vierer-Sprechweise die Divergenzfreiheit
des Stroms J, die uns besser in Form einer Kontinuitätsgleichung
bekannt ist:
∂
∂ρ + div ⃗j = 0 ,
mit ρ ≡ J 0 . J nennt man dann auch erhaltenen Strom. Dies legt die Vermutung
nahe, daß man masselose Vektorfelder an erhaltene Ströme koppeln
muß.
Die nachfolgende Betrachtung liefert genau dieses Resultat, jedoch als
Konsequenz der Forderung nach Lorentz-Invarianz.
Von Seite 154 übernehmen wir die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizientenfunktionen,
wobei wir jetzt für D(W) die Matrix einer Wigner-
Rotation für masselose Teilchen in der Vektordarstellung einzusetzen haben
(siehe auch Seite 93)
u µ (k,s)e −iΘ(W)s = Λ µ νu ν (k,s) (3.210)
v µ (k,s)e iΘ(W)s = Λ µ νv ν (k,s) (3.211)
Λ µ ν ist die erwähnte Matrix und gegeben durch
Λ µ ν = [S(α,β)R(Θ)] µ ν
169

mit einer Rotation R(Θ) um die z-Achse. Weil Λ reell ist, definieren wir
wieder Polarisationvektoren
ε µ (p,s) = u µ (p,s)
ε µ∗ (p,s) = v µ (p,s) .
Die Matrizen R und S lauten nach Seite 91 mit der Abkürzung ξ = (α 2 +
β 2 )/2
R(Θ) =
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
0 cos Θ − sinΘ 0
0 sin Θ cos Θ 0
0 0 0 1
⎞
⎛
⎟
⎠ und S(α,β) = ⎜
⎝
1 + ξ −α −β ξ
−α 1 0 α
−β 0 1 β
ξ −α −β 1 − ξ
Wie immer setzen wir für die Wigner-Rotation jetzt eine Drehung um die z-
Achse ein, die ja den Referenzimpuls k festhält. Dann ergibt sich aus (3.203)
die folgende Eigenvektorgleichung:
ε µ (k,s)(cos(Θs) − isin(Θs)) =
=
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
0 cos Θ − sin Θ 0
0 sin Θ cos Θ 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠ µ νε ν (k,s)
ε 0 (k,s)
cos Θ ε 1 (k,s) − sin Θ ε 2 (k,s)
sin Θ ε 1 (k,s) + cos Θ ε 2 (k,s)
ε 3 (k,s)
⎞
⎟
⎠ .
R hat in der Tat die Eigenwerte cos Θ ± isin Θ, woraus wir schließen, daß
auf der linken Seite die Helizitäten s = ±1 zugelassen sind. Die zugehörigen
Eigenvektoren lauten
⎛
ε µ (k,1) = −√ 1
⎜
2
⎝
0
1
i
0
⎞
⎟
⎠ und εµ (k, −1) = 1
⎛
√ ⎜
2
⎝
0
1
−i
0
⎞
⎞
⎟
⎠ .
⎟
⎠ . (3.212)
Dabei ist die Normierung so gewählt, daß die Vektoren mit denen des massiven
Falls übereinstimmen. Es gibt jedoch keine Lösung zur Helizität s = 0,
also keinen Polarisationsvektor ε µ (k,0). Das masselose Vektorfeld beschreibt
also Teilchen mit Helizitäten ±1.
170

Allerdings muß dieselbe Gleichung auch für Boosts in z-Richtung mit
der Matrix S(α,β)
ε µ (k, ±1)
e −iΘs
} {{ }
=0 weil Θ=0
= S µ ν(α,β)ε ν (k, ±1)
erfüllt werden, und zwar für alle α, β! Das ist offensichtlich nicht möglich:
Man kann kein Lorentz-kovariantes masseloses Vektorfeld mit Spin 1 konstruieren.
Dies haben wir erwartet, denn nach Seite 157 kann die ( 1 2 , 1 2 )-Vektor-
Darstellung nur Teilchen der Heizität s = 1 2 − 1 2
= 0 beschreiben. Das
entspricht dem Feld ∂ µ ψ, denn in der Tat ist
ε µ (k,s) = k µ = n(1,0,0,1)
eine weitere Lösung zu s = 0, die diesem Fall entspricht.
Photonen. Wie beschreibt man Photonen, die nur mit Helizität ±1 vorkommen?
Für solche Teilchen kann man die Darstellungen (1,0) oder (0,1),
also die selbst- beziehungsweise antiselbstduale antisymmetrische Tensordarstellung
verwenden; ein Photon entspricht einem (1,0) ⊕ (0,1)-Feld für
die beiden Helizitätszustände. Dies ist gerade das Feld für den elektromagnetischen
Feldstärketensor.
Das allgemeinere Vorgehen besteht aber darin, eine Nicht-Kovarianz
zunächst in Kauf zu nehmen und den Feldoperator wie folgt zu definieren:
A µ (x) = ∑ ∫
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ipx ε µ (p,s)a(p,s) + e ipx ε µ∗ (p,s)a † (p,s) ,
s
(3.213)
wobei ε µ (p,s) die beiden transversalen Polarisationsvektoren (3.205) von
Seite 168 sind.
Es gilt für raumartige Abstände (x − y) 2 < 0
[A µ (x),A ν (y)] = 0 ,
wenn das Teilchen ein Boson ist. Um diesen Kommutator und die Bewegungsgleichungen
abzuleiten, benötigen wir einige Eigenschaften der transversalen
Polarisationsvektoren. Diejenigen zu beliebigem Impuls entstehen
171

wie üblich aus denen zum Referenzimpuls k = n(1,0,0,1) durch eine Boosttransformation,
die die Energie von ‖ ⃗ k‖ = n auf ‖⃗p‖ bringt:
ε µ (p,s) = L(p) µ ν ε ν (k,s) . (3.214)
Als Boostrichtung wählen wir jetzt die z-Achse. Anschließend drehen wir die
z-Achse auf den gewünschten Impuls ⃗p; diese Drehung nennen wir R(p). Nun
wirkt aber ein Boost in z-Richtung nur auf die 0- und die 3-Komponente,
und diese verschwinden bei den von uns gewählten Vektoren ε µ (k,s). Also
gilt
ε µ (p,s) = R(p) µ ν ε ν (k,s) .
Daraus folgt sofort
ε 0 (p,s) = 0
p i ε i (p,s) = 0 ,
letzteres, weil ⃗ k·⃗ε(k,s) = 0 und das Dreier-Skalarprodukt Rotationsinvariant
ist. Die Polarisationssumme ergibt
( )
∑
0 0
ε µ (p,s)ε ν∗ (p,s) =
0 δ ij − pi p j , (3.215)
‖⃗p‖ 2
s=±1
was man folgenderweise erhält: Die Polarisationssumme wurde durch Anwendung
der Rotation R(p) definiert und verhält sich deswegen tensoriell,
das bedeutet, sie kann nur aus dem Rotationsinvarianten Tensor δ ij und
einem Tensor zweiter Stufe, der aus ⃗p gebildet wird, bestehen; eventuelle
Vorfaktoren können höchstens vom invarianten Betrag von ⃗p abhängen.
Damit ist der Ansatz
∑
s=±1
ε i (p,s)ε j∗ (p,s) = A(‖⃗p‖ 2 )δ ij + B(‖⃗p‖ 2 ) pi p j
‖⃗p‖ 2 (3.216)
gerechtfertigt. Aus der Normierung ⃗ε(p,s) ·⃗ε(p,s) ∗ = 1 und der Transversalität
⃗p · ⃗ε(p,s) = 0 folgen für die Koeffizienten A und B die Bestimmungsgleichungen
2 = 3A(⃗p 2 ) + B(⃗p 2 )
0 = A(⃗p 2 ) + B(⃗p 2 ) ,
die die Lösung
besitzen.
A(⃗p 2 ) = −B(⃗p 2 ) = 1
172

Feldgleichungen. Das oben definierte Vektorfeld genügt den Maxwell-
Gleichungen im Vakuum und der Coulomb-Eichbedingung:
∂ 2 A µ (x) = 0
A 0 (x) = 0
∇ i A i (x) = 0 .
Die letzten beiden Gleichungen sind offensichtlich nicht kovariant, was auch
für die Polarisationssumme gilt.
Um die Nicht-Kovarianz genauer zu fassen, berechnen wir die Transformation
von ε µ (p,s) unter einer Wigner-Rotation (Seite 168):
W µ ν ε ν (p,s)
= S(α,β) µ ρR(Θ) ρ ν ε ν (k,s)
= e −iΘs S(α,β) µ ρ ε ρ (k,s)
⎛
= e −iΘs ⎜
⎝
1 + ξ −α −β ξ
−α 1 0 α
−β 0 1 β
ξ
= e −iΘs (∓√ 1
) ⎜
2
⎝
−α −β 1 − ξ
⎛ ⎞
−α ∓ iβ
1
±i
−α ∓ iβ
⎞
⎟
⎠ (∓ √ 1 )
2
⎛
⎜
⎝
0
1
±i
0
⎞
⎟
⎠
(
⎟
⎠ = e−iΘs ε µ (k,s) ± α √ ± iβ )
k µ
2n
Für eine beliebige Lorentztransformation erhält man nach Seite 90
Λ µ ν ε ν (p,s) = L(Λp)W(α,β,Θ)L(p) −1 ε(p,s)
} {{ }
= L(Λp) µ ν
=ε(k,s)
(
e −iΘs (ε ν (k,s) ± α √ ± iβ )
k ν )
2n
= e −iΘs ε µ (p,s) − λ(p,Λ)(Λp) µ
wobei die Funktion λ über α, β und Θ von der Lorentztransformation Λ und
dem Impuls p abhängt.
Jetzt können wir das Transformationsgesetz des masselosen Vektorfeld-
.
173

operators ausrechnen. Nach Seite 126 gilt
U(Λ)A µ (x)U(Λ) −1
= ∑ ∫
d 3 ⃗p (
e −ipx
(2π) 3 2p 0 ε µ (p,s)e iΘs a(Λp,s)
s
)
+ e ipx ε µ∗ (p,s)e −iΘs a † (Λp,s)
,
was wir durch die Substitution p ′ = Λp und Umbenennung p ′ → p auf die
Form
174

... = ∑ s
∫
d 3 ⃗p (
e −ip·Λx
(2π) 3 2p 0 e iΘs ε µ (Λ −1 p,s)a(p,s)
)
+ e ip·Λx e −iΘs ε µ∗ (Λ −1 p,s)a † (p,s)
bringen. An dieser Stelle verwenden wir das soeben hergeleitete Transformationsgesetz
der Polarisationsvektoren, wobei zu beachten ist, das Θ beim
Übergang zur inversen Transformation das Vorzeichen wechselt. Das kürzt
die Phasenfaktoren exp(±iΘs):
... = ∑ s
∫
d 3 ⃗p (
e
−ip·Λx [
(2π) 3 2p 0 (Λ −1 ) µ νε ν (p,s) + λ(p,Λ)(Λ −1 p) µ] a(p,s)
+ e ip·Λx [ (Λ −1 ) µ νε ν∗ (p,s) + λ(p,Λ) ∗ (Λ −1 p) µ] )
a † (p,s)
= (Λ −1 ) µ ν A ν (Λx)
+ ∑ ∫
d 3 ⃗p
(
)
(2π) 3 2p 0 e −ipx λ(p,Λ)p µ a(p,s) + e ipx λ ∗ (p,Λ)a † (p,s)
s
= (Λ −1 ) µ ν A ν (Λx) +
} {{ }
∂ µ ˜λ(x,Λ)
} {{ }
kovariant nicht kovariant
˜λ(x,Λ) definieren wir durch die Zeile darüber. Damit ist gezeigt, daß ein masseloses
Vektorfeld bei einer Lorentztransformation einen nicht-kovarianten
Term aufnimmt: Das Transformationsgesetz ist nicht mehr linear 18 .
Die Nicht-Kovarianz hat jedoch keine Auswirkungen, wenn die Wechselwirkung
über einen erhaltenen Strom konstruiert wird:
H(x) = j µ (x)A µ (x) mit ∂ µ j µ (x) = 0
Dann ist der physikalisch relevante Wechselwirkungsterm für den Hamiltonoperator
∫ d 4 x H(x) Lorentz-invariant:
∫
d 4 x j µ A µ
∫
−→ d 4 x [ Λ −1 µ ρ j ρ (Λx) ] [ Λ −1µ νA ν (xx) + ∂ µ˜λ(Λx,Λ) ]
=
=
∫
∫
.
d 4 x
(j µ (Λx)A µ (Λx) + Λ −1 µ ρ j ρ (x)∂ µ˜λ(Λx,Λ) )
d 4 x
(j µ (x)A µ (x) + j µ (x)∂ µ˜λ(x,Λ) )
18 sondern affin, weil es wie eine affine Funktion aussieht
.
175

Wenn die Felder im Unendlichen schnell genug verschwinden, dürfen wir
partiel integrieren und erhalten die alte Form zurück:
∫
... = d 4 x j µ A µ .
Man kann dies auch so ausdrüken: Die Theorie muß nicht nur Lorentz-,
sondern zusätzlich unter ”Eichtransformationen”
A µ (x) → A µ (x) + ∂ µ λ(x) .
invariant sein.
Wir erkennen den Grund für Eichsymmetrien: Sie gestatten den Einbau
masseloser ”Vektorfelder”der Helizität ±1 in kovariante Theorien. Die Natur
hat von dieser Möglichkeit vielfältig Gebrauch gemacht, insbesondere von-
Verallgemeinerungen solcher Symmetrien auf innere Freiheitsgrade wie zum
Beispiel die ”Farbe”. Die Farbsymmetrie erfordert die Existenz der Gluonen.
Bezüglich des Vektorfeldes stellen wir fest, daß die aus A µ (x) gebildete
Größe
F µν (x) = ∂ µ A ν (x) − ∂ ν A µ (x)
der antisymmetrische Feldstärketensor, eichinvariant ist: der inhomogene
Term ∂ µ˜λ(x) fällt heraus, Fµν ist ein echter Lorentz-Tensor. Dies entspricht
der Tatsache, daß man gemäß Seite 125 aus der (1,0) ⊕ (0,1)-Darstellung
Felder für masselose Teilchen der Helizität ±1 konstruieren kann, ohne in
Konflikt mit der Lorentz-Kovarianz zu gelangen.
176