1 Die Kosmische Kanne

1 Die Kosmische Kanne
Mit diesem Versuchsaufbau sollen auf der Erde auftreffende Myonen gemessen
werden. Vorüberlegungen:
• Was ist kosmische Strahlung?
• Warum öffnet kosmische Strahlung das ’Fenster zum Weltall’?
• Teilchen im Überfluss: Elektronen, Myonen, Gammas. Charakterisieren
Sie die Myonen nach Masse und Ladung.
• Wo und wie hinterlässt die kosmische Strahlung ihre Spuren?
1.1 Aufbau
Der Detektor besteht aus einer verspiegelten, mit Wasser gefüllten Thermoskanne.
In dieser Kanne erzeugen schnelle geladene Teilchen durch den
sogenannten Cherenkov-Effekt schwache Lichtblitze. Auf der Kanne sitzt
ein Photomultiplier, der auch Photosensor genannt wird. Dieser wandelt die
Lichtblitze in kurze schwache Spannungssignale um. Die Verspiegelung der
Thermoskanne stellt sicher, dass eine größtmögliche Lichtmenge den Photomultiplier
erreicht. Genaueres dazu kann z.B. in der Staatsexamensarbeit
von Dania Burak nachgelesen werden, zu finden unter:
http://www.physik.uni-karlsruhe.de/Studium/Lehramt/kosmischeKanne.html
1.1.1 Benötigte Geräte/Zubehör
• Netzgerät (konstant)
• Myonenkanne(n)
• HV-Box
• digitales Speicher-Oszilloskop
• Multimeter
• 50 Ohm-Abschlusswiderstand
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1.1.2 Informationen zu den speziell kombinierbaren Boxen
• VERDI-BOX: Verstärker (verstärkt die Impulse des Photomultipliers)
u. Diskriminator
• KONDOR-BOX: Zählt gleichzeitigh Signale im Bereich von ∆t =
1µs von 2 bzw. max. 3 VERDI-Boxen. (Dient dem Nachweis von Luftschauern)
• LIMES-BOX: Registriert schnell aufeinander folgende Signale einer
VERDI-Box im Bereich von ∆t = 1 − 10µs (Messung der Lebensdauer
von Myonen)
1.1.3 Sicherheitshinweise
• Die dünnen Kabel nur am Metall anfassen!
• Hochspannung herunterdrehen, bevor die Kanne aufgeschraubt und der
Photomultiplier damit dem Tageslicht ausgesetzt wird!
• Möglichst destilliertes Wasser nehmen wegen Verkalkung und Schimmelbildung
in der Kanne
1.2 Versuch 1: Nachweis kosmischer Myonen
In diesem einführenden Experiment soll zunächst die kosmische Kanne als
Detektor kennengelernt werden.
Aufbau Die Kanne wird mit Wasser gefüllt. Der im Deckel der Kanne
befestigte Photomultiplier wird, nachdem er auf die Kanne geschraubt wurde,
über die HV-Box mit Hochspannung versorgt. Die Hochspannung wird
auf den Idealwert des Photomultipliers eingestellt, der auf dem Aufkleber
am Photomultiplier angegeben ist (Typischerweise 1720V . Am Ausgang des
Reglers wird die Spannung in 1 : 1000V ausgegeben.
Will man eine Spannung von beispielsweise 1700V einstellen, muss der
Regler so eingestellt werden, dass ein Messgerät an diesem Ausgang eine
Spannung von 1, 7V misst.
Nun kann die Kanne an das Oszilloskop angeschlossen werden. Um die
Signale gut zu sehen, werden hier folgende Einstellungen gewählt:
• 200mV
• 25ns
• Triggerschwelle auf ca. −200mV (negative Flanke)
Achtung: Bevor der Photomultiplier von der Kanne abgeschraubt und
somit direkt ins Licht gehalten wird, muss die Hochspannung wieder heruntergedreht
werden.
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Messung Mit diesem Versuchsaufbau soll Folgendes beobachtet werden:
1. Die Signale auf dem Oszilloskop mit Wasser in der Kanne
2. (ohne die Einstellungen am Oszilloskop zu ändern) Die Signale auf dem
Oszilloskop ohne Wasser in der Kanne
3. (mit Wasser in der Kanne) Die Signale am Oszilloskop, während die
Triggerschwelle langsam variiert wird. Das Oszilloskop baut immer dann,
wenn ein Signal die Triggerschwelle erreicht, beziehungsweise sie überschreitet
ein neues Bild auf. Mit der Triggerschwelle kann also die minimale
Spannung eingestellt werden, die ein Puls haben muss, damit
er am Oszilloskop angezeigt wird.
Aufgaben Zu den jeweiligen Punkten der Beobachtungen sollen die folgenden
Aufgaben bearbeitet werden:
Zu 1
Zu 2
Zu 3
• Zeichnen Sie ein typisches Signal, oder fotografieren sie ein solches.
• Gibt es unterschiedliche Signale?
• Zeichnen Sie ein typisches Signal, oder fotografieren sie ein solches.
• Welche Unterschiede zu 1 gibt es?
• Wie verändern sich die Signale?
1.3 Versuch 2: Messung der Pulshöhenverteilung
In diesem Experiment soll ein Pulshöhenspektrum aufgenommen werden. Eine
solche Messung erfolgt mit einem sogenannten Vielkanalpulshöhenanalysator.
Hier wird die VKA-Box zusammen mit dem Detektor und in Verbindung
mit Sensor-CASSY oder Pocket-CASSY und einem Computer verwendet.
Diese Bausteine ergeben zusammen einen Vielkanalpulshöhenanalysator zur
Aufnahme eines Spektrums.
Die Cherenkov-Strahlung im Detektor wird vom Photomultiplier in elektrische
Pulse unterschiedlicher Höhe umgewandelt, die proportional zum Energieverlust
im Detektor ist. Diese Pulshöhen werden in äquivalente Zahlenwerte
umgesetzt und vom Sensor-CASSY in Kanälen, die dem Zahlenwert
entsprechen, aufaddiert. Das so entstehende Pulshöhenspektrum stellt die
Häufigkeitsverteilung der detektierten Strahlung in Abhängigkeit von der
Energie dar.
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Aufbau Wie im vorherigen Versuch wird der Photomultiplier über die HV-
Box mit Hochspannung versorgt. Der Ausgang des Detektors wird an die
VKA-Box angeschlossen. Diese wird mit einem Pocket-CASSY oder einem
Sensor-CASSY an den Computer angeschlossen. Nun wird am Computer
das Programm CASSY gestartet und die VKA-Box angeklickt. Folgende
Messparameter werden eingestellt:
• Vielkanalmessung
• Anzahl der Kanäle: 512
• Verstärkung an Box A1: -12
• Haken beim Feld ”
negative Pulse“ setzen
• Messdauer: mindestens 15min
Um die Messung zu starten, wird auf die Stoppuhr geklickt.
Messung Die Messung wird zweimal durchgeführt:
1. Mit Wasser in der Kanne
2. Ohne Wasser in der Kanne
Aufgaben
1. Welche physikalische Bedeutung hat das aufgenommene Spektrum?
2. Welche Unterschiede zwischen den beiden aufgenommenen Spektren
sind zu erkennen?
3. Was können Sie aus den Unterschieden der Spektren schließen?
4. Subtrahieren Sie vom Spektrum, das mit Wasser in der Kanne gemessen
wurde, jenes, welches ohne Wasser gemessen wurde. Das Spektrum
welcher Pulse wird durch diese Differenz dargestellt?
5. Welche Aussagen über die Wahl der Schwelle können Sie nun treffen?
1.4 Versuch 3: Poisson-Statistik
Um nachzuweisen, dass die einzelnen Signale, die vom Detektor registriert
werden, voneinander unabhängig sind, ist zu zeigen, dass die Häufigkeitsverteilung
der Raten einer Poisson-Verteilung entspricht. Die Poisson-Verteilung
beschreibt die Häufigkeitsverteilung von zueinander unabhängigen Ereignissen
in einem bestimmten Zeitraum. So kann zum Beispiel die Anzahl der
Menschen, die pro Minute ein Geschäft betreten, durch die Poisson-Verteilung
beschrieben werden. Manchmal kommt kein Kunde, manchmal 20 Kunden
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pro Minute in das Geschäft. Die einzelnen Kunden sind voneinander unabhängig.
Genauso verhält es sich mit Sekundärteilchen aus der kosmischen
Strahlung. Sie kommen zwar in Luftschauern an, da aber die Luftschauer
voneinander unabhängig sind, sind auch die Teilchen, die ein einzelner Detektor
misst, voneinander unabhängig. Ereignisse dieser Art, die also mit kleiner
Wahrscheinlichkeit p auftreten, genügen der diskreten Poisson-Verteilung mit
der Wahrscheinlichkeitsfunktion
f(k) = P(X = x) = λx
x! · e−λ , x ∈ N 0
Die Verteilungsfunktion der Poisson-Verteilung lautet
F(x) = P(X ≤ x) = e −λ · ∑
Aufbau Wie im vorherigen Versuchsaufbau wird der mit Hochspannung
versorgte Kannen-Detektor an die VERDI-Box angeschlossen. Die Schwelle
der VERDI-Box wird in diesem Versuch so eingestellt, dass im Mittel etwa
2-3 Myonen pro Sekunde registriert werden. Der Ausgang der VERDI-Box
wird mit der TIMER-Box verbunden, welche wie zuvor an den Computer
angeschlossen wird. In der CASSY-Lab-Software wird ”
Rate“ ausgewählt und
die folgenden Messparameter eingestellt:
• automatische Aufnahme
• Intervall: 2s
• Messdauer: mindestens 15 − 20min
k≤x
λ k
k!
Messung Die Messung wird zweimal durchgeführt:
1. Mit Wasser in der Kanne
2. Ohne Wasser in der Kanne
Aufgaben
Stufe 1:
• In der CASSY-Lab-Software soll eine Poisson-Verteilung berechnet werden.
Dazu müssen Sie mit der rechten Maustaste auf die Häufigkeitsverteilung
klicken und unter weitere Auswertungen die Poissonberechnung
auswählen.
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Stufe 2:
• Lesen Sie die gemessenen Daten in Excel ein.
• Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung in einem geeigneten Diagramm
dar.
• Berechnen Sie die theoretische Poisson-Verteilung mit dem zugehörigem
Mittelwert µ und mit der Anzahl der Ereignisse N 0 und zeichnen
Sie diese in dasselbe Diagramm ein.
• Vergleichen Sie die theoretisch berechnete Verteilung mit der von Ihnen
gemessenen, indem sie einen Chi-Quadrat-Test durchführen.
1.5 Der Chi-Quadrat-Test
Der Chi-Quadrat-Test (χ 2 − Test) ist einer der ältesten und wichtigsten
Anpassungs- oder Vergleichstests. Er beruht auf einem Vergleich der empirischen
Häufigkeitsverteilung mit der theoretisch erwarteten Verteilung. Die
empirische Häufigkeitsverteilung wird aus einer Zufallsstichprobe x 1 ,x 2 ,...,x n
gewonnenen. Die theoretisch erwartete Verteilung berechnet man aus der als
” wahr“ angenommenen Verteilungsfunktion F 0(x) der Grundgesamtheit, aus
der die Stichprobe stammt. Man testet dabei die Nullhypothese
gegen die Alternativhypothese
H 0 : F(x) = F 0 (x)
H 1 : F(x) ≠ F 0 (x)
Dabei geht man folgendermaßen vor:
Die n Stichproben x 1 ,x 2 ,...,x n werden in k Intervalle I 1 ,I 2 ,...,I k (k < n)
unterteilt, welche auch Klassen genannt werden. Jedes dieser Intervalle sollte
dabei erfahrungsgemäß mindestens 5 Stichprobenwerte enthalten. Dann
werden die absoluten Klassenhäufigkeiten, die sogenannten Besetzungszahlen
n 1 ,n 2 ,...,n k , bestimmt, wobei n 1 + n 2 + ... + n k = n gilt.
Aus der als ”
wahr“ angenommenen Verteilungsfunktion F 0 (x) berechnet man
zunächst für jedes Intervall I i die zugehörige Klassenwahrscheinlichkeit p i und
daraus die hypothetische, also die theoretisch zu erwartende Anzahl n ∗ i = np i ,
der Stichprobenwerte in I i . Dabei ist p i die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
unter der Voraussetzung, dass F 0 (x) die wahre Verteilungsfunktion ist, eine
Stichprobe in die i-te Klasse fällt.
Ein geeignetes Maß für die Abweichung zwischen empirischer und theortischer
Verteilung ist nach K. Pearson 1 die Maßzahl
ˆχ 2 =
k∑
i=1
(n i − np i ) 2
np i
=
k∑ (∆n i ) 2
i=1
n ∗ i
(1)
1 Karl Pearson (1857-1936): britischer Physiker
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Bei einer guten übereinstimmung zwischen den empirischen und den hypothetischen
Werten erwartet man kleine Abweichungsquadrate (∆n i ) 2 und somit
auch kleine Werte für das Abweichungsmaß ˆχ 2 . Die Maßzahl ˆχ2 ist dabei ein
spezieller Wert der Testvariablen oder Prüfgröße
k∑
Z = χ 2 (N i − np i ) 2
= , (2)
i=1
np i
den diese Variable für die vorgegebene konkrete Stichprobe annimmt. Dabei
ist N i die Anzahl der beobachteten Stichprobenwerte in der i-ten Klasse, also
die empirische absolute Klassenhäufigkeit. Die Testvariable Z = χ 2 genügt
für großes n, das heißt bei einer umfangreichen Stichprobe, näherungsweise
einer Chi-Quadrat-Verteilung mit f = k −1 Freiheitsgraden, wenn alle Parameter
in der als ”
wahr“ angenommenen Verteilungsfunktion F 0 (x) bekannt
sind.
Man wählt nun eine kleine Signifikanzzahl α (in der Praxis meist α = 0, 05 =
5% oder α = 0, 01 = 1%) und bestimmt dann die kritische Grenze so, dass
die Werte der Testvariablen Z = χ 2 mit der Wahrscheinlichkeit p = 1 − α
unterhalb dieser kritischen Grenze liegen. Somit gilt:
P(Z ≤ c) H0 = p = 1 − α (3)
Die kritische Grenze c teilt dabei das Intervall Z = χ 2 ≤ 0 in einen nichtkritischen
und einen kritischen Bereich. Die zur Durchführung des χ 2 -Testes
benötigten kritischen Werte χ 2 k−1;1−α können für verschiedene Werte von α
und k der Tabelle im Anhang entnommen werden.
Liegt der aus der Stichprobe berechnete Test- oder Prüfwert ẑ = ˆχ 2
der Testvariablen Z = χ 2 unterhalb der kritischen Grenze c, so wird die
Nullhypothese beibehalten, andernfalls zu Gunsten der Alternativhypothese
H 1 : F(x) = F 0 (x) verworfen. Die gewählte Signifikanzzahl α ist dabei
die Irrtumswahrscheinlichkeit. Die Irrtumswahrscheinlichkeit entspricht der
Wahrscheinlichkeit dafür, eine an sich richtige Nullhypothese H 0 abzulehnen,
geschieht dies, so spricht man von einem Fehler 1. Art.
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2 Die Nebelkammer
2.1 Radioaktivität und Zerfallsgesetze
Bei den natürlich vorkommenden Elementen gibt es stabile und instabile
Atomkerne. Beim radioaktiven Zerfall zerfällt ein instabiler Kern (Mutterkern)
unter Aussendung von Teilchenstrahlung in ein anderes Element (Tochterkern).
Die Entdeckung der Radioaktivität um das Jahr 1900 rüttelte an
der damals herrschenden Sichtweise, dass Elemente unveränderlich seien. Der
beim Zerfall entstehende Kern ist meistens ebenfalls instabil. Somit ergeben
sich vier verschiedene natürliche Zerfallsreihen mit dem namensgebenden
Ausgangselement, die in je einem stabilen Element enden.
Eine Kernreaktion wird für gewöhnlich folgendermaßen dargestellt:
A
ZX → A′
Z ′ Y + s
Dabei ist X der Mutterkern, Y der Tochterkern, Z bzw. Z ′ die Kernladungszahl,
also die Zahl der Protonen im Kern, und A bzw. A ′ die Massenzahl,
also die Zahl der Nukleonen (Protonen und Neutronen) im Kern,
jeweils vor bzw. nach dem Zerfall. Das s steht für die beim jeweiligen Zerfall
abgegebene Teilchenstrahlung. Die freiwerdende Bindungsenergie geht
als Massendefekt gemäß E = mc 2 in die Energie der nach dem Zerfall vorhandenen
Teilchen über. Der Massendefekt berechnet sich über die Massen
M des Mutter- und des Tochterkerns sowie die Masse M s des abgestrahlten
Teilchens. Für die freiwerdende Energie gilt damit:
E = (M( A ZX) − M( A′
Z ′Y ) − M s) · c 2
Durch den großen Massenunterschied geht der Großteil der Energie in die
kinetische Energie des Strahlungsteilchens über.
Man kann für einen einzelnen instabilen Kern keine Vorhersagen treffen,
wann dieser zerfällt. Man kann nur gewisse Wahrscheinlichkeiten angeben,
es handelt sich also um einen statistischen Prozess. Die Wahrscheinlichkeiten
drücken sich in verschiedenen Größen aus: Die Wahrscheinlichkeit, dass
ein Kern in einem bestimmten Zeitfenster zerfällt, ist für alle N in einer
beobachteten Probe vorhandenen Kerne eines Elements gleich. Sie wird als
Zerfallskonstante λ bezeichnet. Es gilt also für die Zerfälle pro Zeiteinheit:
dN(t)
dt
= −λ · N = −A(t)
Dabei ist zu beachten, dass alle Zerfälle unabhängig voneinander stattfinden.
Die Zerfälle pro Zeiteinheit werden auch als Aktivität A bezeichnet und
in Becquerel (= Zerfälle pro Sekunde) gemessen. Demnach ist die Einheit
von λ ebenfalls 1/s.
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Aufgaben
1. Leiten Sie aus obigem Zusammenhang das radioaktive Zerfallsgesetz
her, mit dem sich die Anzahl der zum Zeitpunkt t vorhandenen Kerne
einer radioaktiven Probe bestimmen lässt.
2. Der Mittelwert der Zeit von t = 0 bis zum Zerfall eines Kerns wird mit
der mittleren Lebensdauer τ bezeichnet: τ = 1 λ
Meist wird als charakteristische Eigenschaft eines instabilen Elements
die Halbwertszeit t1 angegeben. Das ist die Zeit, nach der nur noch die
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Hälfte der zum Ausgangszeitpunkt vorhandenen Kerne übrig ist.
Leiten Sie aus diesem Zusammenhang sowie aus dem Zerfallsgesetz
einen Ausdruck für die Halbwertszeit her, der nur von der mittleren
Lebensdauer der entsprechenden Kerne abhängt.
3. Für die Experimente, die Sie durchführen werden, werden Sie Radon-
220-Gas verwenden. Dieser Alphastrahler ist ein Zerfallsprodukt des in
Glühstrümpfen enthaltenen Thoriums, seine Halbwertszeit beträgt 55,6
Sekunden. Das Radon zerfällt zu Polonium-216, das eine so kurze Halbwertszeit
(0,15 Sekunden) hat, sodass einige Doppelspuren beobachtbar
sind. Sie gehen kurz nacheinander bzw. für das Auge gleichzeitig vom
nahezu selben Punkt aus und sehen wie ein ’V’ aus. Sie müssen später
bei der Messung der Halbwertszeit beachtet werden. Warum?
Erklären Sie, was ein Alphazerfall ist.
2.2 Die Diffusionsnebelkammer
In der Nebelkammer wird ein Dampf (meist Alkohol) in einen übersättigten
Zustand überführt. Für die Funktion ist wichtig, dass Ionen als Kondensationskeime
dienen können. Fliegt ein geladenes Teilchen durch den übersättigten
Dampf in der Nebelkammer, der gemischt ist mit Luft, ionisiert es entlang
seiner Spur Gasteilchen, an denen die Alkoholmoleküle kondensieren
und Tröpfchen bilden. Damit man diese Spur sehen kann, müssen die Tröpfchen
eine Größe in der Ordnung von 10 −3 cm erreichen. Nimmt man ein geschlossenes
Dampfvolumen und kühlt dieses ab, kann es in einen übersättigten
Zustand übergehen. Die radioaktive Strahlung wechselwirkt mit dem
Coulomb-Feld der Hüllenelektronen oder der Atomkerne des Gases in der
Kammer. Das Strahlungsteilchen ”
fliegt“ relativ weit entfernt an den Elektronen
vorbei, sodass immer nur wenig Energie abgegeben wird. Ist diese
Energie kleiner als die Ionisierungsenergie des Gases, so werden die Elektronen
nur angeregt und kehren sofort wieder in ihren Grundzustand zurück.
Ist sie größer, werden die Atome des Gases ionisiert, aber das freie Elektron
hat nicht genug kinetische Energie, um sich merklich vom Atom zu entfernen.
Kollidieren Strahlungsteilchen und Hüllenelektron, findet elastische
Coulomb-Streuung statt. Der Hauptteil des Gesamtenergieverlusts rührt von
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den nieder-energetischen Übertragungen bei der Ionisation her. Die Energieübertragung
bei der Coulomb-Streuung ist zwar pro einzelnem Stoß höher,
trägt aber wegen ihrer geringen Häufigkeit nur wenig zum Gesamtenergieverlust
bei. An den entstandenen Ionen lagern sich dann Alkoholmoleküle an,
die ein elektrisches Dipolmoment besitzen und deshalb angezogen werden.
Die Tröpfchen wachsen bis zu einer sichtbaren Größe heran und man sieht
eine Spur des radioaktiven Teilchens.
Unsere Nebelkammer ist eine sog. kontinuierliche Diffusionsnebelkammer.
Dieser Nebelkammertyp erreicht die Übersättigung des Dampfes
durch einen räumlichen Temperaturgradienten. Der Dampf diffundiert dabei
nicht-isotherm vom Bereich hoher Temperatur zum Bereich niedrigerer Temperatur.
An der Oberseite der abgeschlossenen Kammer wird Alkohol erhitzt
und verdampft. Am Boden befindet sich eine Kühlplatte, die kontinuierlich
auf der benötigten Temperatur von unter 0 o C gehalten wird (in unserem Fall
etwa −15 o C). Der Alkohol diffundiert durch die Luft durch immer kälter werdende
Bereiche bis er kurz über dem Boden die Schicht erreicht hat, in der
sein Sättigungsdampfdruck kleiner ist als sein tatsächlicher Druck. Dies ist
die übersättigte Schicht, in der Spuren von geladenen Teilchen sichtbar werden
können. Sie ist etwa 10 bis 15 mm dick.
Messungen
• Zunächst müssen Sie die Nebelkammer in Betrieb nehmen. Dies dauert
einige Zeit, denn Sie müssen Heizung und Kühlung auf die richtige
Betriebstemperatur bringen. Ihnen steht eine Betriebsanleitung zur
Verfügung, die Ihnen Schritt für Schritt alle wichtigen Maßnahmen beschreibt.
Bitte halten Sie sich sehr genau daran, da Sie die Nebelkammer
sonst beschädigen können!
• Einbringen der radioaktiven Probe und Sichtbarmachung der Alphastrahlung:
Wenn die Kammer betriebsbereit ist, können Sie radioaktives
Gas einfüllen. Beim Aufbau finden Sie eine große Glasspritze, in der
sich ein thoriumhaltiger Glühstrumpf befindet. Ziehen Sie die Spritze
auf und spritzen das darin befindliche Radongas durch den Einfüllstutzen
in die Nebelkammer. Beobachten Sie einige Minuten lang, was
passiert. Welche Spuren können Sie erkennen? Warum sind einige Spuren
kürzer als erwartet (Sie haben ja nur Radon eingefüllt, demnach
sollten theoretisch alle Spuren gleich lang sein..)?
• Messung der Halbwertszeit:
Filmen Sie mit der zur Verfügung stehenden Kamera (oder mit einer eigenen)
das Geschehen in der Nebelkammer vom Einspritzen des Gases
an einige Minuten lang. Ideal ist eine Zeitrafferaufnahme, bei der Bilder
im Abstand von 1 Sekunde gemacht werden. Zur Auswertung müssen
Sie die Spuren in jedem Einzelbild zählen. Sie können dazu ein beliebiges
Videoprogramm oder die Software ”
ParTrac“ verwenden, die Sie
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sich auch zuhause von der Praktikumshomepage herunterladen können.
Sie können den Film in die Software laden und sich Bild für Bild anzeigen
lassen. Tragen Sie schließlich die Anzahl der gezählten Teilchen
in einem Zeitintervall (Intervalllänge maximal 30 Sekunden) gegen die
Zeit auf. Sie können nun direkt das Zerfallsgesetz auf die gewonnene
Kurve anwenden und daraus die Halbwertszeit ermitteln (s. Aufgabenteil).
Wie gut stimmt das Ergebnis mit dem erwarteten Wert überein?
Wodurch kommen Abweichungen zustande?
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2.3 Anhang
p
f 0, 900 0, 950 0, 975 0, 990 0, 995 0, 999
1 2, 71 3, 84 5, 02 6, 63 7, 88 10, 83
2 4, 61 5, 99 7, 38 9, 21 10, 60 13, 82
3 6, 52 7, 83 9, 53 11, 34 12, 84 16, 72
4 7, 78 9, 49 11, 14 13, 28 14, 86 18, 47
5 9, 24 11, 07 12, 83 15, 09 16, 75 20, 51
6 10, 64 12, 59 14, 45 16, 81 18, 55 22, 46
7 12.02 14, 07 16, 01 18, 48 20, 09 24, 32
8 13, 36 15, 51 17, 53 20, 09 21, 95 26, 12
9 14, 68 16, 92 19, 02 21, 67 23, 59 27, 88
10 15, 99 18, 31 20, 48 23, 21 25, 19 29, 59
11 17, 28 19, 68 21, 92 24, 73 26, 76 31, 26
12 18, 55 21, 03 23, 34 26, 22 28, 30 32, 91
13 19, 81 22, 36 24, 74 27, 69 29, 82 34, 53
14 21, 06 23, 68 26, 12 29, 14 31, 32 36, 12
15 22, 31 25, 00 27, 49 30, 58 32, 80 37, 70
20 28, 41 31, 41 34, 17 37, 57 40, 00 45, 31
25 34, 38 37, 65 40, 65 44, 31 46, 93 52, 62
30 40, 26 43, 77 46, 98 50, 89 53, 67 59, 70
40 51, 81 55, 76 59, 34 63, 69 66, 77 73, 40
50 63, 17 67, 50 71, 42 76, 15 79, 49 86, 66
100 118, 50 124, 34 129, 56 135, 81 140, 17 149, 45
Tabelle 1: Tabelle der Quantile χ 2 f,p mit f Freiheitsgeraden (f = k − 1) und
der Wahrscheinlichkeit p = 1 − α
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