EINSTEIN â DE HAAS E F F E K T
EINSTEIN â DE HAAS E F F E K T
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<strong>EINSTEIN</strong> – <strong>DE</strong> <strong>HAAS</strong><br />
E F F E K T<br />
Historischer Aufbau des Einstein - de Haas Experiments in der PTB<br />
(Physikalisch-Technische Bundesanstalt)
INHALT: <strong>EINSTEIN</strong> - <strong>DE</strong> <strong>HAAS</strong> EFFEKT<br />
Deckblatt .....................................................................................................................................................1<br />
Inhalt: Einstein-de-Haas-Effekt ..............................................................................................................2<br />
Stichworte und Literaturhinweise ...............................................................................................................3<br />
1. Einleitung und historischer Zusammenhang……......................................................................................4<br />
2. Gyromagnetisches Verhältnis und Landé-Faktor……..............................................................................7<br />
3. Berechnung des Landé-Faktors mit experimentellen Größen ................................................................9<br />
4. Torsionsschwingungen…........................................................................................................................10<br />
4.1 Die Schwingung………….........................................................................................................10<br />
4.2 Die Differentialgleichung…………….......................................................................................11<br />
5. Die Magnetisierung……….....................................................................................................................13<br />
5.1 Die Magnetisierung eines Stoffes..............................................................................................13<br />
5.2 Die Hysterese ...........................................................................................................................13<br />
5.3 Berechnung des Magnetfeldes einer Spule...............................................................................14<br />
5.3.1 Durchflutungsgesetz - das Ampèresche Gesetz…...........................................................14<br />
5.3.2 Magnetfeld eines geraden Leiters…................................................................................14<br />
5.3.3 Magnetfeld einer Zylinderspule.......................................................................................15<br />
5.4 Mathematischer Einschub - Fourier-Analyse..........................................................................15<br />
5.5 Berechnung von M &<br />
max<br />
…........................................................................................................16<br />
5.5.1 Herleitung von (dM/dt) 1 aus der Sättigungsmagnetisierung M s ……...............................17<br />
5.5.2 Herleitung von (dM/dt) 1 aus genauerer Betrachtung von dM / dt…...….........................19<br />
6. Das Erdmagnetfeld…...............................................................................................................................20<br />
6.1 Das Magnetfeld der Erde…......................................................................................................20<br />
6.2 Das resultierende Drehmoment…............................................................................................20<br />
6.3 Die Abschirmung des Erdmagnetfeldes…...............................................................................21<br />
7. Zusammenfassung……............................................................................................................................22<br />
8. Der Versuchsaufbau…….........................................................................................................................23<br />
9. Aufgabenstellung: Einstein - de Haas Effekt………...............................................................................26<br />
2
Stichworte<br />
gyromagnetisches Verhältnis, Landé-Faktor, erzwungene Schwingungen, Magnetisierung, Hysterese,<br />
Induktionsgesetz, Erdmagnetfeld, Fourieranalyse, ballistisches Galvanometer<br />
Literatur<br />
[1] Paul A. Tipler - Physik<br />
[2] Westphal - Physikalisches Praktikum<br />
[3] Richard P. Feynman - Vorlesungen über Physik, Band II [4] Halliday/Resnick - Physik 2<br />
[5] Bergmann/Schäfer - Elektromagnetismus<br />
[6] A. Einstein und W.J. de Haas - Verh. d. dtsch. Phys. Ges. 1915<br />
Maximilian Schuster /2005<br />
3
1. EINLEITUNG UND HISTORISCHER ZUSAMMENHANG<br />
Um 1820 entdeckte H. C. Oerstedt, dass ein<br />
elektrischer Strom durch einen Leiter zu einer<br />
Auslenkung einer in der Nähe befindlichen<br />
Magnetnadel führt; dass also ein<br />
stromdurchflossener Leiter von einem<br />
Magnetfeld umgeben ist.<br />
Man sah sich nun mit dem Problem<br />
konfrontiert zwei „Arten“ von Magnetismus<br />
unterscheiden zu müssen. Zum einen war es<br />
die magnetische Wirkung, die von einem<br />
stromdurchflossenen Leiter ausgeht - Magnetismus<br />
durch bewegte Ladung - andererseits<br />
waren da die ferromagnetische Stoffe wie<br />
Eisen, Kobalt und Nickel, die offenbar<br />
magnetisiert werden konnten und somit ein<br />
magnetisches Feld besaßen, ohne dafür<br />
irgendeinen fließenden Strom zu benötigen.<br />
Um gleiche Wirkungen auf gleiche Ursachen zurückzuführen, begab man sich nun auf die Suche nach<br />
den elektrischen Strömen (sich bewegende Ladungsträger; im Inneren der ferromagnetischen Stoffe.<br />
Kurz nach Oerstedts Entdeckung stellte A. M. Ampère sein Modell der Molekularströme vor. Diese<br />
Hypothese postulierte elektrische Ströme in den Molekülen der Ferromagnetika. Damit ließ sich zwar der<br />
Ferromagnetismus auf bewegte Ladungsträger zurückführen, aber es gab ein großes Problem: diese<br />
Ströme hätten widerstandslos fließen müssen und da dies nach damaligem Kenntnisstand unmöglich<br />
schien, verwarf man die Idee wieder.<br />
In Anlehnung an Rutherfords Vorstellung des Atoms - der<br />
Atomkern ist winzig klein im Vergleich zu den Ausmaßen des<br />
ganzen Atoms - formulierte Niels Bohr 1913 sein Atommodell<br />
in Analogie zum Aufbau unseres Planetensystems. Demnach<br />
würden sich die Elektronen auf stationären, kreisförmigen<br />
Bahnen um den Atomkern herum bewegen. Elektronen jedoch,<br />
die sich auf einer Kreisbahn um den Kern bewegen, stellen einen<br />
reibungsfreien, geschlossenen Stromkreislauf dar und laut<br />
Oerstedt erzeugt jeder elektrische Strom auch ein magnetisches<br />
Feld. Die Richtung des erzeugten magnetischen Momentes ist<br />
für ein negativ geladenes Teilchen<br />
antiparallel zum Bahndrehimpuls (also<br />
antiparallel zur Rotationsachse des<br />
Elektrons). Aus der Kopplung dieser zwei<br />
Achsen folgt, dass wenn man eine davon<br />
dreht, die jeweils andere automatisch mitgedreht wird. Mit Hilfe dieses Modells, so<br />
schien es, hatte man endlich die sich bewegenden Ladungsträger, somit die<br />
elektrischen Ströme und vor allem die elementaren magnetischen Momente im<br />
Inneren der ferromagnetischen Stoffe gefunden und man hatte auch das Problem mit<br />
dem Widerstand nicht mehr. Aus heutiger Sicht handelt es sich dabei um das mit<br />
dem Bahndrehimpuls verknüpfte magnetische Moment der Elektronen.<br />
Von Bohrs Modell inspiriert, entwarfen A. Einstein 1 und W. J. de Haas ein<br />
gyromagnetisches 2 Experiment, das sie 1915 in Deutschland durchführten. Dieser Versuch sollte<br />
beweisen, dass sich das Phänomen des Ferromagnetismus tatsächlich auf die magnetischen Momente der<br />
einzelnen Elektronen (auf ihren Bahnen um die Kerne) zurückführen lässt. In einfachen Worten kann man<br />
1 Dies war Einsteins einziges veröffentlichtes Experiment. Seine Veröffentlichungen betrafen üblicherweise die theoretische Physik.<br />
2 gyromagnetisch : kreiselmagnetisch; gyros Kreis, Drehung<br />
4
sagen, dass sie ein Magnetfeld auf einen Eisenstab wirken ließen, und dann eine Rotation des Stabes<br />
feststellten (Abb.1.2). Die Rotation des Stabes resultiert aus der Erhaltung des<br />
Drehimpulses. Wenn sich die magnetischen Momente an dem äußeren Magnetfeld<br />
ausrichten, dann drehen sich wegen der Richtungskopplung auch die Achsen der<br />
Bahndrehimpulse mit und der Eisenstab muss darauf, makroskopisch sichtbar, mit<br />
einer Rotation reagieren um den Gesamtdrehimpuls zu erhalten. Aus dieser<br />
Rotation und dem angelegten Magnetfeld konnten sie den Landé-Faktor im<br />
gyromagnetischen Verhältnis 33 berechnen, erhielten aber nur sehr ungenaue Werte,<br />
die sie als g = 1 interpretierten.<br />
Da in diesen Jahren der erste Weltkrieg die westliche Welt in Atem hielt, wussten<br />
Einstein und de Haas nicht, dass S. J. Barnett in den USA bereits 1914 ein ganz<br />
ähnliches Experiment durchgeführt hatte. Barnett ging allerdings von dem<br />
umgekehrten Ansatz aus. Er rotierte einen entmagnetisierten Eisenstab und stellte dann, wiederum wegen<br />
der Achsenkopplung von magnetischem Moment und Drehimpuls, eine zwar schwache aber dennoch<br />
messbare Magnetisierung des Eisenstabes fest. Der von ihm berechnete Landé-Faktor betrug jedoch g = 2<br />
(±12%).<br />
Wiederholungen des von Einstein und de Haas konzipierten Experimentes zwischen 1918 und 1920<br />
bestätigten Barnetts Ergebnis.<br />
Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass Einstein und de Haas die richtige Idee hatten, wie man den<br />
Ursachen des Ferromagnetismus experimentell näher kommt, sie irrten sich jedoch bei der Interpretation<br />
ihrer Ergebnisse, denn sie gingen davon aus, dass das magnetische Moment von der Bewegung des<br />
Elektrons um den Kern herrührt, dies erklärt auch warum sie g = 1 interpretiert hatten.<br />
Tatsächlich verhält es sich aber so, dass der Effekt hauptsächlich durch den Elektronenspin<br />
hervorgerufen wird (g = 2!). M. Abraham hatte zwar bereits 1903 gezeigt, dass ein um seine Mittelachse<br />
rotierendes, kugelförmiges Teilchen mit homogener Oberflächenladungsdichte einen g-Faktor von 2 hat,<br />
der Elektronenspin als solcher war 1915 aber noch unbekannt.<br />
Als W. Pauli 1925 den Elektronenspin s = ħ / 2 einführte, erntete er zunächst Widerspruch, da sich<br />
Teile des Elektrons mit Überlichtgeschwindigkeit hätten bewegen müssen. Heute betrachtet man den Spin<br />
3 Das gyromagnetische Verhältnis y ist der Quotient aus magnetischem Moment und Drehimpuls. Dieses Verhältnis enthält den so genannten<br />
Lande• Faktor. Für ein Elektron auf einer Kreisbahn bekommt man einen Landé-Faktor von g = 1; für den Spin des Elektrons g = 2. (-> Kap. 2)<br />
5
als inneren Freiheitsgrad des Elektrons und verzichtet auf die makroskopische Vorstellung einer<br />
rotierenden Kugel.<br />
Im Prinzip gleicht das Einstein-de-Haas-Experiment der bekannten<br />
Vorlesungsdemonstration mit Drehstuhl und Schwungrad zur Erhaltung des<br />
Drehimpulses. Eine Person sitzt auf dem ruhenden Stuhl während eine andere<br />
das Rad in Schwung bringt. In dem Augenblick in dem die Person auf dem<br />
Stuhl das Rad mit vertikaler Drehachse übernimmt, passiert noch nichts.<br />
Wenn aber die Drehachse nun um 180° gedreht wird, dann fängt auch die<br />
Person auf dem Stuhl an sich zu drehen. Durch eine weitere Drehung der<br />
Drehachse - diesmal um -180° - ändert sich auch der Drehsinn des Systems<br />
Stuhl/Person. Man kann nun eine Resonanzschwingung anregen indem man<br />
immer dann die Drehachse des Rades umkehrt wenn der Stuhl durch seine<br />
Ruheposition geht.<br />
In unserem Fall entspricht das Schwungrad den elementaren magnetischen<br />
Momenten der Elektronen und das System Stuhl/Person dem ferromagnetischen Stab.<br />
Abb 1.3 Analogie zum<br />
Einstein - de Haas Effekt<br />
Der Einstein-de-Haas-Effekt ist wegen g ≈ 2 der makroskopische Beweis dafür, dass der Ferromagnetismus<br />
zu ungefähr 95% auf den magnetischen Spinmomenten einzelner Elektronen beruht. Die<br />
restlichen 5% rühren von den magnetischen Bahnmomenten dieser Elektronen.<br />
Zum theoretischen Konzept des Experimentes<br />
Obwohl der Ferromagnetismus und damit der Einstein-de-Haas-Effekt eigentlich vorwiegend quantenmechanische<br />
Phänomene sind, beruhen die zum Durchführen des Experimentes notwendigen<br />
theoretischen Grundlagen auf der klassischen Physik.<br />
Der gedankliche rote Faden - sowohl durch die Mappe als auch durch den Versuch - ist, dass man bei<br />
der Vorbereitung - genauso wie Einstein und de Haas - davon ausgeht, dass der beobachtete Effekt durch<br />
die Drehung der Elektronen um die Atomkerne verursacht wird. Aufbauend auf diese Vorbereitung<br />
berechnet man dann den Landéschen g-Faktor und erwartet den Wert g = 1. Unter idealen Bedingungen<br />
würde man aber g = 2 erhalten.<br />
Dieses laut Vorbereitung 'falsche' Resultat ist dennoch richtig wenn man eben nicht mehr von der Bahndrehbewegung<br />
der Elektronen ausgeht, sondern von der Eigendrehbewegung (Quantenmechanik!). Die<br />
für diesen Versuch notwendigen, klassisch hergeleiteten Formeln sind auch quantenmechanisch korrekt.<br />
(siehe auch die Bemerkung am Ende des 2. Kapitels)<br />
Alle Daten, die man zur Berechnung des Landéschen g-Faktors braucht, erhält man aus dem Magnetfeld<br />
der Spule, in der sich der Stab befindet und der Drehung des Stabes.<br />
6
2. GYROMAGNETISCHES VERHÄLTNIS UND LANDÉ-FAKTOR<br />
Das gyromagnetische Verhältnis ist der Quotient aus dem magnetischen Moment und dem Gesamtdrehimpuls<br />
eines geladenen Teilchens. Für ein gegebenes Teilchen und eine bestimmte Rotation - entweder<br />
auf einer Kreisbahn oder um sich selbst - ist das Verhältnis zwischen dem Drehimpuls und dem<br />
magnetischen Moment unabhängig von der Geschwindigkeit des Teilchens oder dem Radius der<br />
Kreisbahn. Es hängt nur von der Ladung und der Masse des Teilchens ab.<br />
Für ein Elektron auf seiner Bahn um den Atomkern (ohne Berücksichtigung seines Spins) berechnet sich<br />
das gyromagnetische Verhältnis folgendermaßen:<br />
Magnetisches Bahnmoment<br />
Da jedes sich bewegende, geladene Teilchen 4 einen<br />
elektrischen Strom darstellt, erzeugt es ein<br />
magnetisches Feld dessen Richtung durch das<br />
magnetische Moment gegeben ist. Dieses<br />
magnetische Moment berechnet sich aus dem Strom<br />
und der von der Elektronenbahn eingeschlossenen<br />
Fläche:<br />
r r<br />
μ = I ⋅ A (Def .) (2.1)<br />
l<br />
Die Stromstärke ist nach Definition die Ladung pro<br />
Zeit. Für das Elektron gilt demnach:<br />
ω<br />
I r = ( −e)<br />
⋅ν<br />
mit ν =<br />
(2.2)<br />
2π<br />
Wenn man davon ausgeht, dass die<br />
eingeschlossene Fläche ein Kreis ist (A = π r 2 ),<br />
ergibt sich für das magnetische Moment die<br />
skalare Größe:<br />
1 2<br />
I ⋅ A<br />
r = μl = ( −e)<br />
r ω (2.3)<br />
2<br />
Abb. 2.1 Das magnetische Moment eines<br />
geladenen Teilchens auf einer Kreisbahn<br />
Bahndrehimpuls<br />
Der Bahndrehimpuls eines Elektrons auf einer<br />
Kreisbahn ist definiert als<br />
r r r<br />
L = × p (Def.) (2.4)<br />
r r = ⋅ × v<br />
.<br />
m e<br />
wobei m e die Masse des Elektrons ist, r der Abstand<br />
des Elektrons vom Kern, v der<br />
Geschwindigkeitsvektor und p der Impuls. Da man<br />
die Größen skalar betrachten kann und außerdem<br />
r r r<br />
v = ω ×<br />
(oder eben skalar v = ω r) gilt, folgt<br />
daraus:<br />
2<br />
L = m r ω<br />
(2.5)<br />
e<br />
Abb. 2.2 Der Bahndrehimpuls eines Teilchens auf<br />
einer Kreisbahn<br />
4 Das Neutron (elektrisch neutral) ist überraschenderweise magnetisch nicht neutral. Sein magnetisches Spinmoment entspricht dem einer<br />
rotierenden negativen Ladung.<br />
7
Das Verhältnis des magnetischen Momentes zum Bahndrehimpuls lautet damit:<br />
Diese klassische Herleitung gilt für ein Elektron ohne Spin auf einer Kreisbahn. Wenn man nun ein<br />
Elektron betrachtet, welches sich nur um sich selbst dreht, ohne sich auf einer Kreisbahn zu bewegen, so<br />
erhält man aus rein quantenmechanischen Gründen - es gibt dafür keine klassische Erklärung - ein<br />
gyromagnetisches Verhältnis, das doppelt so groß ist:<br />
Das gyromagnetische Verhältnis eines Teilchens hängt also zum einen von dessen Ladung q und Masse<br />
m q ab und zum anderen von der Art der Drehbewegung. Die Art der Drehbewegung spiegelt sich im<br />
Landé-Faktor - oder auch g-Faktor - wider. g, steht für eine Kreisbahnbewegung und g s für eine<br />
Eigendrehbewegung 5 . g j steht für die Kombination der beiden Rotationsarten 6 , mit J= L+ S.<br />
Das allgemeine Verhältnis y l,s,j > für ein Teilchen lautet dann:<br />
Bei einem Elektron, welches sich um einen Atomkern bewegt, überlagern sich das magnetische<br />
Bahnmoment und das Spinmoment aber letzteres dominiert (~95%). Deshalb haben wir in der Einleitung<br />
gesagt der Ferromagnetismus sei ein 'vorwiegend' quantenmechanisches Phänomen.<br />
Bemerkung<br />
Eine quantenmechanische Herleitung der Gleichungen (2.7) bzw. (2.10) würde vertiefte Kenntnisse der<br />
Quantenelektrodynamik voraussetzen, wir wissen aber, dass sie korrekt sind. Die Gleichungen (2.6) bzw.<br />
(2.9) sind - wie in der Einleitung bereits erwähnt - ebenfalls quantenmechanisch korrekt sind, obwohl wir<br />
sie klassisch hergeleitet haben.<br />
Dies ist der Grund warum wir die ganze Herleitung klassisch - und damit einfacher zu verstehen -<br />
gehalten haben, denn das Ergebnis ist auch quantenmechanisch richtig. Und das ist auch der Grund<br />
warum das klassisch 'falsche' Resultat g = 2 so einfach quantenmechanisch als richtig interpretiert werden<br />
kann.<br />
5 Zahlenwerte für gs : theoretisch g s = 2,002 319 304 76 ; experimentell g s = 2,002 319 304 82<br />
6 Der Bahndrehimpuls L und der Eigendrehimpuls S addieren sich zum Gesamtdrehimpuls J.l , s und j sind die zugehörigen Quantenzahlen.<br />
8
3. BERECHNUNG <strong>DE</strong>S LANDÉ-FAKTORS MIT<br />
EXPERIMENTELLEN GRÖSSEN<br />
Da sich das magnetische Moment und der Drehimpuls eines Elektrons nicht unmittelbar messen lassen,<br />
muss man zur Berechnung des Landé-Faktors auf andere, experimentell bestimmbare Meßgrößen<br />
zurückgreifen. Dazu gehen wir von der Gleichung (2.9) 7 aus:<br />
g<br />
l<br />
me<br />
µ<br />
l<br />
= 2 (3.1)<br />
− e L<br />
Die Magnetisierung M eines ferromagnetischen Stabes ist gleich dem Quotienten aus dem gesamten<br />
magnetischem Moment und dem Volumen des Stabes (siehe Gl.(5.1)). In unserem Fall ist das gesamte<br />
magnetische Moment r μ Stab = N· r μ l, wobei r μ l das magnetische Bahnmoment eines einzelnen Elektrons<br />
ist. N ist die Anzahl der ungepaarten Elektronen im Stab deren Spin- beziehungsweise Bahndrehimpulse<br />
nicht kompensiert sind; die anderen Elektronen sind in tieferen, abgeschlossenen Schalen der Atome, wo<br />
sich deren Impulse zu Null summieren. Demnach gilt für die Magnetisierung:<br />
r<br />
r<br />
µ<br />
r<br />
r<br />
Stab<br />
N ⋅ µ<br />
M = (Def.)<br />
l<br />
→ M =<br />
(3.2)<br />
VStab<br />
VStab<br />
Für den Gesamtdrehimpuls des Stabes gilt:<br />
r r<br />
= N ⋅ L ( L r ist der Bahndrehimpuls eines einzelnen Elektrons) (3.3)<br />
L Stab<br />
Wenn man nun die Gleichungen (3.2) und (3.3) nach r μ beziehungsweise L r auflöst und die Beträge in<br />
Gleichung (3.1) einsetzt, so erhält man:<br />
me<br />
M ⋅VStab<br />
gl<br />
= 2 (3.4)<br />
− e L<br />
Stab<br />
Man beachte, dass die Anzahl N der ungepaarten Elektronen durch diese Quotientenbildung wegfällt.<br />
Aufgrund der Torsionsschwingung des Stabes in unserem Experiment sind die Magnetisierung und der<br />
Drehimpuls des Stabes Funktionen der Zeit, also M(t) und L Stab (t). Was man also in Gleichung (3.4)<br />
eigentlich betrachtet, sind die zeitlichen Änderungen dieser Größen:<br />
2m<br />
M&<br />
e<br />
max<br />
d<br />
gl<br />
= VStab<br />
⋅ mit D ( t)<br />
= L & ( t)<br />
= L(<br />
t)<br />
(Def.) (3.5)<br />
− e D<br />
dt<br />
max<br />
Somit hätten wir den Landé-Faktor auf die experimentell bestimmbaren Größen 'zeitliche Änderung der<br />
Magnetisierung' dM(t)/dt und Drehmoment D(t) das auf den Stab wirkt, zurückgeführt, da alles andere<br />
Konstanten sind. Zur expliziten Berechnung des g-Faktors in Gleichung (3.5) betrachten wir die zwei<br />
Größen zu dem Zeitpunkt in dem die jeweiligen Amplituden maximal sind - also M & max<br />
und D max<br />
2m<br />
M&<br />
e<br />
max<br />
gl<br />
= ⋅VStab<br />
⋅<br />
− e Dmax<br />
(3.6)<br />
M & max<br />
und D max werden in den nun folgenden Kapiteln 4 bzw. 5 hergeleitet.<br />
7 An der Vektorform der Gleichung (2.9) kann man sehen, dass das magnetische Bahnmoment und der Bahndrehimpuls des Elektrons<br />
antiparallel zueinander sind, und es wird klar, dass eine Richtungsänderung des magnetischen Momentes zu einer Änderung des Drehimpulses,<br />
also zu einem Drehmoment D führt:<br />
r − e<br />
µ<br />
l<br />
= gl<br />
2m<br />
e<br />
r<br />
L<br />
9
4. TORSIONSSCHWINGUNGEN<br />
Ziel dieses Kapitels ist es, die für uns notwendigen theoretischen Grundlagen der Torsionsschwingungen<br />
zu verdeutlichen und eine Formel für das maximale Drehmoment D., welches man zur Berechnung des g-<br />
Faktors braucht (→ Gl. (3.6)), zu finden.<br />
Wie schon in der Einleitung erwähnt, beruht der Einstein - de Haas Effekt darauf, dass sich der Stab<br />
aufgrund der Drehimpulserhaltung dreht. Man schickt also einen Strom durch die Spule, in der der Stab<br />
hängt; durch das äußere Magnetfeld werden die elementaren magnetischen Momente ausgerichtet und<br />
dadurch auch die Bahn- beziehungsweise Spindrehimpulse der Elektronen. Diese Änderung der<br />
Drehimpulse führt zu einem Gesamtdrehmoment, auf das der Stab mit einer makroskopischen Drehung in<br />
umgekehrter Richtung reagiert.<br />
Einstein und de Haas benutzten in ihrem Versuch einen großen Kondensator, der bei seiner Entladung<br />
den Strom für die Spule zur Verfügung stellte. Die daraus resultierende Drehung des ferromagnetischen<br />
Stabes war aber wegen des kurzzeitigen Stromstosses ziemlich klein und die Magnetisierung des Stabes<br />
erst recht. Eine diesbezügliche Verbesserung des Versuchsaufbaus besteht darin, die Spule mit<br />
Wechselstrom zu betreiben. Der Vorteil dabei ist, dass der Stab zu einer Torsionsschwingung angeregt<br />
wird und im Falle der Resonanzschwingung wird die Drehung des Stabes so verstärkt, dass die<br />
gemessenen Daten um einiges präziser werden.<br />
4.1 Die Schwingung<br />
Die hier betrachtete Schwingung ist eine erzwungene,<br />
harmonische Torsionsschwingung mit schwacher<br />
Dämpfung. Erzwungen ist die Schwingung, weil das<br />
System von außen durch einen cosinusförmigen Strom<br />
angeregt wird und die schwache Dämpfung beruht auf<br />
den Torsionseigenschaften des Glasfadens an dem der<br />
ferromagnetische Stab hängt.<br />
Nach der Einschwingphase dreht sich der Stab mit der<br />
Anregefrequenz der Spule. Je weiter die Anregefrequenz<br />
ω err von der Eigenfrequenz ω 0 der ungedämpften<br />
Schwingung entfernt ist, desto kleiner wird die<br />
Amplitude der Drehung. Nähert man sich hingegen mit<br />
der Erregerfrequenz der Eigenfrequenz, so wird die<br />
2<br />
Amplitude immer größer und für eine schwache Dämpfung (ω 0 » β 2 ), wie hier der Fall, erreicht man für<br />
ω err → ω 0 die maximal mögliche Amplitude (→ Abb. 4.1). Die Resonanzkurve hat eine Breite von D ω =<br />
2 ß bei der Amplitude ˆ α 2 .<br />
Nach Abschalten des Spulenstroms fällt die<br />
Erregerschwingung weg und der Stab geht mit<br />
einer gedämpften Schwingung langsam zurück in<br />
seine Ruheposition. Die Drehamplitude nimmt<br />
dabei exponentiell ab und wird deshalb durch ihre<br />
Einhüllende beschrieben, wie man in Abbildung<br />
4.2 sehen kann:<br />
α t<br />
e<br />
−β<br />
t<br />
( ) α ⋅<br />
(4.1)<br />
= ˆ<br />
Dabei ist α der Winkel um den sich der Stab<br />
dreht und ß die Dämpfungs- oder<br />
Abklingkonstante. Die Dämpfungskonstante lässt<br />
sich mit Hilfe von Gleichung (4.1) oder alternativ<br />
aus der Breite der Resonanzkurve bestimmen.<br />
10
4.2 Die Differentialgleichung<br />
Die Bewegungsgleichung für eine erzwungene, harmonische Torsionsschwingung mit schwacher<br />
Dämpfung lautet:<br />
2 Dmax<br />
& α + 2βα&<br />
+ ω0α<br />
= cos( ωerr<br />
) (Def.) (4.2)<br />
θ<br />
D max bezeichnet die maximale, reelle Amplitude des Drehmomentes wie in Kapitel 3. Um einfacher<br />
rechnen zu können, betrachten wir diese Gleichung als Realteil folgender Differentialgleichung:<br />
Dabei bezeichnet ß die Dämpfungskonstante<br />
D<br />
θ<br />
2 max iω<br />
& errt<br />
+ 2 βα&<br />
+ ω0α<br />
= e<br />
(4.3)<br />
α<br />
ω 0 die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung<br />
Dˆ die komplexe Amplitude des Drehmomentes<br />
θ das Trägheitsmoment des Stabes<br />
ω err die Erregerfrequenz.<br />
Mathematisch gesehen ergibt sich die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung aus<br />
der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung plus eine spezielle Lösung<br />
der Inhomogenen. Um D max zu bestimmen, brauchen wir aber die allgemeine Lösung nicht, wenn wir<br />
nach Einschalten des Wechselstromes nach (4.1) einige ß -1 warten (die Einheit von ß -1 ist [s]). Wir können<br />
einen Ausdruck für D max aus der speziellen Lösung der Inhomogenen herleiten.<br />
Nach der Einschwingphase schwingt der Stab mit der Erregerfrequenz. Die Funktion α(ω err , t), welche<br />
diese Drehung beschreibt, ist die stationäre Lösung der Differentialgleichung (4.3) und man macht<br />
folgenden Ansatz (α 0 ist die komplexe Amplitude):<br />
iωerrt<br />
α( ωerr<br />
, t)<br />
= α<br />
0e<br />
(4.4)<br />
Die Gleichung (4.4) leiten wir zwei Mal nach der Zeit ab, setzten es in Gleichung (4.3) ein und kürzen<br />
den Exponentialterm:<br />
2<br />
2 D<br />
α<br />
0ω<br />
err<br />
+ 2 βα<br />
0iωerr<br />
+ ω0α<br />
=<br />
(4.5)<br />
θ<br />
−<br />
0<br />
Umstellung nach Dˆ liefert:<br />
2<br />
( ω −ω<br />
) + i βω )<br />
ˆ 2<br />
ˆθ<br />
⋅<br />
0 err<br />
⋅<br />
D = α 2<br />
(4.6)<br />
err<br />
Der Betrag von Dˆ ist das in Kapitel 3 gesuchte, maximale, reelle Drehmoment D max :<br />
D<br />
2 2 2<br />
( ω ) ( ) )<br />
2<br />
0<br />
−ωerr<br />
βωerr<br />
= ˆ ˆ<br />
(4.7)<br />
2 2<br />
max<br />
D = α θ ⋅<br />
+ 2<br />
D<br />
2 2 2<br />
( ω −ω<br />
) ( βω ) 2<br />
= ˆ<br />
.<br />
max<br />
α θ<br />
0 err<br />
+ 2<br />
Wie wir in diesem Kapitel weiter oben bereits gesehen haben, ist nur die Resonanzschwingung für uns<br />
interessant, weil in diesem Fall die Drehamplitude des Stabes sehr groß wird. Das heißt, daß wir uns nicht<br />
für irgendeine Drehamplitude α 0 bei irgendeiner Erregerfrequenz ω 0 , interessieren, sondern für die<br />
Drehamplitude im Resonanzfall - also α Res und ω Res .<br />
Um diese zwei Größen mit D max in Verbindung zu bringen, stellen wir zuerst die Gleichung (4.7) nach α 0<br />
um:<br />
err<br />
11
α<br />
D<br />
θ<br />
max<br />
0<br />
= ⋅<br />
(4.8)<br />
2 2<br />
2 2<br />
( ω −ω<br />
) + 4β<br />
ω<br />
0<br />
err<br />
1<br />
Da die maximale Amplitude der Drehung von der Anregefrequenz abhängt, erhalten wir durch<br />
Nullsetzung der ersten Ableitung von α 0 nach ω 0 , die Bedingung dafür, dass die Amplitude maximal wird<br />
und somit die Schwingung in Resonanz ist - wir erhalten also die Resonanzfrequenz und die<br />
Resonanzamplitude:<br />
dα<br />
0<br />
= 0<br />
dω<br />
Re s<br />
err<br />
2<br />
0<br />
err<br />
(4.9)<br />
2<br />
→ ωerr = ω = ω − 4β<br />
(4.10)<br />
Die Gleichung (4.10) in (4.8) eingesetzt liefert die Resonanzamplitude α Res :<br />
α<br />
D<br />
1<br />
max<br />
Re s<br />
= (4.11)<br />
θ 2βω0<br />
Da wir es mit einer schwach gedämpften Schwingung zu tun haben, gilt in Gleichung (4.10) ω 0<br />
2<br />
» β 2 und<br />
somit folgt ω Res → ω 0 . Für die Gleichung (4.11) bedeutet das:<br />
D<br />
= βω α θ<br />
(4.12)<br />
max<br />
2<br />
Re s<br />
Re s<br />
Damit haben wir das maximale Drehmoment, wie wir es in Kapitel 3, Gleichung (3.6) gesucht hatten.<br />
12
5. DIE MAGNETISIERUNG<br />
Bevor wir in Kapitel 5.5 mit der Berechnung von M & max<br />
beginnen, wollen wir zuerst ein paar Grundlagen<br />
zum Thema Magnetisierung wiederholen, da wir später auf sie zurückgreifen werden.<br />
5.1 Die Magnetisierung eines Stoffes<br />
Wenn im Inneren eines Stoffes die elementaren, magnetischen Dipolmomente ausgerichtet werden, so<br />
sagt man das Material sei magnetisiert. Diese Magnetisierung M v<br />
ist definiert als resultierendes<br />
magnetisches Moment pro Volumeneinheit:<br />
r r<br />
dµ<br />
M = (Def.) (5.1)<br />
dV<br />
Dies bedeutet, dass ein magnetisierter ferromagnetischer Stab sein eigenes Magnetfeld hat. Wenn man<br />
eine gleichmäßige Magnetisierung voraussetzt, so ergibt sich für das magnetische Feld des Stabes:<br />
r r<br />
= µ M<br />
(5.2)<br />
B Stab<br />
0<br />
Betrachten wir nun eine lange Zylinderspule. Bringt man den Stab in die Spule, so wird er durch das<br />
H r -Feld der Spule magnetisiert und besitzt die Magnetisierung M r . Innerhalb der Spule setzt sich dann<br />
das resultierende Magnetfeld B r Spule<br />
aus dem von der Spule erzeugten Feld µ H<br />
r<br />
0 Spule<br />
und dem Magnetfeld<br />
des magnetisierten Stabes µ M<br />
r<br />
0<br />
zusammen:<br />
r r r<br />
B = µ 0<br />
H + M<br />
(5.3)<br />
Spule<br />
( )<br />
Spule<br />
Dabei ist H r die durch den Spulenstrom hervorgerufene magnetische Erregung und B r die aus H r und<br />
M r resultierende magnetische Flussdichte.<br />
5.2. Die Hysterese<br />
13
Wird ein entmagnetisierter, ferromagnetischer Stoff einem oszillierenden äußeren Magnetfeld<br />
ausgesetzt, so werden im Inneren die elementaren magnetischen Momente ausgerichtet und der Stoff wird<br />
magnetisch. Mit steigendem Magnetfeld H r nimmt auch die Magnetisierung M r des Materials zu; bis zur<br />
Sättigung (). Selbst wenn dann H r noch weiter zunimmt, bleibt die Magnetisierung dieselbe. Wird das<br />
äußere Magnetfeld wieder auf Null zurückgefahren, stellt man fest, dass M r nicht ebenfalls bei Null ist.<br />
Es ist ein Remanenzfeld und eine Remanenzmagnetisierung übrig geblieben (). Um die Magnetisierung<br />
auf Null zu bringen, muss man das H r -Feld umpolen und bis zur Stärke des Koerzitivfeldes steigern ().<br />
Mit zunehmendem äußerem Magnetfeld erreicht die Magnetisierung die umgekehrte Sättigung ().<br />
(Abb. 5.1)<br />
5.3 Berechnung des Magnetfeldes einer Spule<br />
5.3.1 Durchflutungsgesetz - das Ampèresche Gesetz<br />
In speziellen, symmetrischen Fällen, wie bei einem gerader Leiter oder einer Spule, kann das<br />
Durchflutungsgesetz dazu benutzt werden, das erzeugte Magnetfeld in Abhängigkeit vom angelegten<br />
Strom zu berechnen. Dabei verknüpft dieses Gesetz die Tangentialkomponente des magnetischen<br />
Feldstärke H r mit dem Strom I c , der durch die Fläche hindurchfließt, die von einer Kurve C umrandet<br />
wird ( dl<br />
r ist ein infinitesimal kleines Stück auf dieser Kurve). Die Kurve C läuft entlang einer<br />
Magnetfeldlinie. Die Formel wird klarer wenn man sich die Abbildung 5.2 zum geraden Leiter anschaut.<br />
∫ H r r<br />
dl = IC<br />
; C ist eine beliebige, geschlossene Kurve (Magnetfeldlinie) (5.4)<br />
C<br />
Das Durchflutungsgesetz kann aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden:<br />
r r<br />
rot H = j + D<br />
&v r r r r<br />
→ Hdl = jdf (für D &r = 0) (5.5)<br />
∫ ∫ =<br />
C<br />
F<br />
I C<br />
5.3.2 Magnetfeld eines geraden Leiters<br />
Dieser Abschnitt soll dem besseren<br />
Verständnis des Durchflutungsgesetzes<br />
dienen.<br />
Wie wir wissen, laufen die Magnetfeldlinien<br />
immer senkrecht zum elektrischen Leiter<br />
(Rechte-Hand-Regel). Das Durchflutungsgesetz<br />
integriert nun die Tangentialkomponente<br />
des Magnetfeldes entlang der<br />
Kurve C - also entlang einer Magnetfeldlinie -<br />
und setzt es gleich dem Strom, der durch die<br />
Fläche fließt, die von C umrandet wird.<br />
Die Stärke des radialen Magnetfeldes nimmt<br />
mit dem Abstand r zum Leiter ab. Das<br />
bedeutet, dass auf einem Kreis mit Radius r<br />
um den Leiter das Feld konstant ist. Je größer<br />
der Radius ist, desto schwächer wird das Feld.<br />
Somit sind wir in der Lage das H r -Feld des geraden Leiters anzugeben. Da die Kurve C ein Kreis mit<br />
Radius r um den Leiter ist und I der Strom im Leiter, ergibt sich aus dem Durchflutungsgesetz:<br />
r r<br />
I<br />
∫ Hdl = H ⋅ 2πr<br />
= I → H =<br />
2πr<br />
C<br />
(5.6)<br />
14
5.3.3 Magnetfeld einer Zylinderspule<br />
Im Zusammenhang mit unserem Experiment interessiert uns nur das Magnetfeld innerhalb der Spule, da<br />
der Stab in der Spule hängt. Das Feld außerhalb hat für uns keinerlei Bedeutung. Das Feld innerhalb der<br />
Spule sollte jedoch möglichst homogen sein. Aus diesem Grund benutzen wir eine lange, dicht gewickelte<br />
Spule, bei der die Länge groß ist, im Verhältnis zum Durchmesser.<br />
Für eine solche Spule kann man das äußere Magnetfeld vernachlässigen. Dies bedeutet, dass nur der Teil<br />
der Kurve C, der innerhalb der Spule läuft, zum Integral beiträgt - dies ist aber gerade die Länge 1 der<br />
Spule. Der Strom, der durch die von C umrandete Fläche fließt, ist gleich dem angelegten Strom<br />
multipliziert mit der Anzahl N der Windungen der Spule. Da der Integrationsweg wieder entlang einer<br />
Magnetfeldlinie verläuft, ist H r entlang dieses Weges konstant.<br />
Aus dem Durchflutungsgesetz folgt dann:<br />
∫<br />
C<br />
r r<br />
Hdl = H ⋅l<br />
= N ⋅ I<br />
Spule<br />
→<br />
N ⋅ I<br />
H =<br />
l<br />
Spule<br />
(5.7)<br />
5.4 Mathematischer Einschub - Fourier-Analyse<br />
Jede periodische Funktion f(t) kann durch eine Fourierzerlegung mathematisch als Fourierreihe<br />
beschrieben werden, das heißt als Summe von sinus- beziehungsweise cosinusförmigen<br />
Teilschwingungen.<br />
f ( t)<br />
=<br />
∑ ∞<br />
n=<br />
0<br />
( a ⋅cos(<br />
n t)<br />
+ b ⋅sin(<br />
nω<br />
t )<br />
Die Fourierkoeffizienten a n und b n sind definiert wie folgt:<br />
n<br />
ω (5.8)<br />
0 n<br />
0<br />
)<br />
a<br />
b<br />
n<br />
n<br />
2<br />
=<br />
T<br />
2<br />
=<br />
T<br />
T<br />
∫<br />
0<br />
T<br />
∫<br />
0<br />
f ( t)cos(<br />
nω<br />
0<br />
t)<br />
dt<br />
f ( t)sin(<br />
nω<br />
0<br />
t)<br />
dt<br />
15
5.5 Berechnung von M &<br />
max<br />
Das Magnetfeld der Feldspule wird mit Hilfe eines cosinusförmigen Wechselstromes erzeugt, woraus<br />
mit Gleichung (5.6) folgt, dass H(t) ebenfalls cosinusförmig sein wird:<br />
N<br />
H ( t)<br />
= ⋅ Iˆ<br />
⋅cos(<br />
ω<br />
Re st)<br />
(5.9)<br />
l<br />
Aufgrund der Hystereseeigenschaft des ferromagnetischen Stabes wird die zeitliche Entwicklung der<br />
Magnetisierung und von B r<br />
, nicht ebenfalls cosinusförmig sein; vielmehr wird die Amplitude im<br />
Spule<br />
Bereich der Sättigung abgeplattet sein. Und das wiederum führt zu dem zackenförmigen Aussehen der<br />
zeitlichen Ableitung der Magnetisierung. Die Spitzen der Kurve werden immer mehr zu δ-Peaks, je<br />
weiter man den Stab in die Sättigung fährt. Wenn man also die maximale Amplitude des äußeren<br />
Magnetfeldes so wählen würde, dass die Magnetisierung des Stabes an den Umkehrpunkten exakt die<br />
Sättigungsmagnetisierung erreichen würde, dann wären alle drei Funktionen - das Magnetfeld der Spule,<br />
die Magnetisierung des Stabes und dessen zeitliche Ableitung - ziemlich genau cosinus- beziehungsweise<br />
sinusförmig (Abb. 5.1).<br />
Da im Resonanzfall hauptsächlich nur die erste<br />
Fourierkomponente des Drehmomentes als<br />
Anregung wirkt, ist es günstig die zeitliche<br />
Änderung der Magnetisierung in eine<br />
Fourierreihe zu entwickeln und nur noch mit der<br />
Grundschwingung (also n = 1) weiterzuarbeiten.<br />
Wie man in Abb. 5.5 sieht, trägt die 2.<br />
Fourierkomponente nicht zur Amplitude der<br />
Magnetisierungsänderung bei und die weiteren<br />
Komponenten haben bereits eine so kleine<br />
Amplitude, dass man sie vernachlässigen kann.<br />
Aus diesem Grund werden wir ab jetzt die<br />
maximale Amplitude der Magnetisierungsänderung<br />
M &<br />
max<br />
, mit der maximalen Amplitude<br />
der ersten Fourierkomponente abschätzen. Das<br />
heißt, wir werden diesen ersten<br />
Fourierkoeffizienten anstelle von M & max<br />
in die<br />
Formel für den Landé-Faktor einsetzen (Gl. (3.6)).<br />
Die Funktion dM/dt ist ungerade (d.h. dM/dt(t 0 )= - dM/dt(-t 0 )) und deshalb fällt der cosinusförmige Teil<br />
der Fourierzerlegung weg; außerdem wird aus der Frequenz ω 0 in Gleichung (5.8) unsere<br />
Resonanzfrequenz ω Res :<br />
dM<br />
dt<br />
⎛ dM ⎞<br />
= ∑ ∞ ⎜ ⎟<br />
n=<br />
1 ⎝ dt ⎠<br />
n<br />
⋅sin(<br />
nω<br />
Der uns interessierende erste Koeffizient ergibt sich für n=1 zu<br />
⎛ dM ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dt ⎠<br />
1<br />
2<br />
=<br />
T<br />
T<br />
∫<br />
0<br />
dM<br />
dt<br />
Und unsere weiter oben gemachte Abschätzung liefert<br />
Re s<br />
t)<br />
(5.10)<br />
⋅sin(<br />
ω t)<br />
dt<br />
(5.11)<br />
1<br />
Re s<br />
⎛ dM ⎞<br />
M & max<br />
≈ ⎜ ⎟ (5.12)<br />
⎝ dt ⎠<br />
Um die Änderung der Magnetisierung messen zu können, müssen wir in unsere Feldspule (S l mit N l<br />
Windungen) eine Induktionsspule (S 2 mit N 2 Windungen) bringen, um dann aus der Induktionsspannung<br />
einen Ausdruck für die zeitliche Ableitung der Magnetisierung herleiten zu können.<br />
16
Die induzierte Spannung wird erzeugt durch:<br />
r &r ∂ r r<br />
rot E = −B<br />
= μ<br />
0<br />
( H + M )<br />
(5.13)<br />
∂t<br />
Das Induktionsgesetz besagt, dass durch einen zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss eine<br />
Spannung in der Induktionsspule induziert wird.<br />
d<br />
−U ind<br />
= N 2<br />
⋅ Φ<br />
(5.14)<br />
dt<br />
Ganz allgemein ist der magnetisch Fluß Φ durch eine beliebig geformte Fläche F definiert als:<br />
Φ = B<br />
r<br />
df<br />
r<br />
= B r<br />
dF n<br />
(Def.) (5.15)<br />
∫<br />
F<br />
∫<br />
F<br />
Hierbei bezeichnet B n den Anteil des Magnetfeldes, der senkrecht auf dem Flächenelement dF steht. Da<br />
in unserem Versuch auch die Änderung des magnetischen Flusses außerhalb des Stäbchens zu<br />
berücksichtigen ist, ergibt sich<br />
→<br />
d<br />
dt<br />
⎛ r r ⎞<br />
= μ ⎜ + ⎟<br />
0<br />
HdF MdF<br />
(5.16)<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
FSpule<br />
FStab<br />
⎠<br />
Φ ∫ ∫<br />
( F H F M )<br />
= µ 0 Spule<br />
+<br />
Stab<br />
⎛ dH dM ⎞<br />
Φ = μ<br />
0⎜<br />
FSpule<br />
+ FStab<br />
⎟<br />
(5.17)<br />
⎝ dt dt ⎠<br />
F Spule und F Stab sind die Querschnittsflächen der Induktionsspule beziehungsweise des Stabes.<br />
Für die Induktionsspannung ergibt sich damit:<br />
dH<br />
dM<br />
− U<br />
ind<br />
= µ<br />
0<br />
N<br />
2FSpule<br />
+ µ<br />
0N<br />
2FStab<br />
(5.18)<br />
dt<br />
dt<br />
Wir werden in den folgenden zwei Kapiteln zwei Arten kennen lernen wie man (dM / dt) herleiten kann.<br />
Einmal aus der Sättigungsmagnetisierung und einmal über den zeitlichen Verlauf der Magnetisierungsänderung.<br />
Beide Varianten beginnen mit der Amplitude der Grundschwingung, also mit dem ersten<br />
Fourierkoeffizienten wie er in der Gleichung (5.11) definiert ist. Die zweite Variante führt zu einem<br />
genaueren Wert für (dM / dt).<br />
5.5.1 Herleitung von (dM/dt) 1 aus der Sättigungsmagnetisierung M s<br />
Unter der Annahme, dass die Peaks der Magnetisierungsänderung schmal sind gegenüber der<br />
Periodendauer T, kann man (dM/dt) 1 aus der Sättigungsmagnetisierung ableiten. Der Ausgangspunkt<br />
unserer Überlegungen ist die Definition des ersten Fourierkoeffizienten der Magnetisierungsänderung:<br />
⎛ dM ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dt ⎠<br />
1<br />
2<br />
=<br />
T<br />
T<br />
∫<br />
0<br />
dM<br />
dt<br />
sin( ω t)<br />
dt<br />
(5.19)<br />
Die schmalen Peaks bedeuten im Idealfall, daß dM/dt = 0 ist, außer für ω Res = π/2 (→ t = T/4) und<br />
ω Res = 3π/2 (→ t = 3T/4). Daraus folgt<br />
Re s<br />
T<br />
T / 2<br />
T<br />
dM<br />
dM<br />
dM<br />
∫ sin( ω<br />
Re st)<br />
dt = ∫ sin( π / 2) dt +<br />
dt<br />
dt<br />
∫ sin(3π<br />
/ 2)<br />
dt<br />
0 0<br />
T / 2<br />
dt<br />
17
=<br />
T / 2<br />
∫<br />
0<br />
dM −<br />
T<br />
∫<br />
T / 2<br />
dM<br />
( M ( T / 2) − M (0)) − ( M ( T ) − M ( T / 2) )<br />
= (5.20)<br />
Mit M S = M(0) = M(T) = -M(T/2) folgt daraus<br />
T<br />
dM<br />
∫ sin( ω<br />
Re st)<br />
dt = −4M<br />
S<br />
(5.21)<br />
dt<br />
0<br />
Damit haben wir das Integral in Gleichung (5.19) gelöst und es ergibt sich:<br />
⎛ dM ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dt ⎠<br />
1<br />
8M<br />
= −<br />
T<br />
S<br />
(5.22)<br />
Nun muss man mit Hilfe der Induktionsspannung einen Ausdruck für die Sättigungsmagnetisierung<br />
finden. Dazu gehen wir von Gleichung (5.18) aus und integrieren auf beiden Seiten von 0 bis T/2. Diese<br />
Integrationsgrenzen ergeben sich aus der Bedingung, dass das Integral nicht Null wird.<br />
−<br />
T / 2<br />
T / 2<br />
∫ U<br />
ind<br />
dt = µ<br />
0N<br />
2FSpule<br />
∫ dt +<br />
0<br />
0<br />
dH<br />
dt<br />
µ<br />
0<br />
N<br />
2<br />
F<br />
Stab<br />
T / 2<br />
∫<br />
0<br />
dM<br />
dt<br />
dt<br />
= µ N<br />
T / 2<br />
N1<br />
= −µ 0<br />
N<br />
2F<br />
ˆ<br />
Spule<br />
Iω<br />
Re s ∫ sin( ω<br />
Re sT<br />
) dt + µ<br />
0N<br />
l<br />
F<br />
0<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
N<br />
⎜ ⎛ T ⎞<br />
Iˆ cos⎜ω<br />
⎟ − ⎟<br />
Re s<br />
cos(0) + µ N F<br />
l ⎜ ⎝ ⎠ ⎟<br />
14243 4<br />
2<br />
⎝ = ( −1)<br />
⎠<br />
2<br />
F<br />
Stab<br />
T / 2<br />
∫<br />
0<br />
dM<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ ⎛ T ⎞<br />
M ⎜ ⎟ − M (0 ⎟<br />
⎜ ⎝ ⎠ ⎟<br />
144<br />
2<br />
243<br />
4<br />
⎝ =−2M S ⎠<br />
1<br />
0 2 Spule<br />
0 2 Stab<br />
)<br />
N1<br />
= −2µ N FSpule<br />
Iˆ<br />
0 2<br />
− 2µ<br />
0N<br />
2FStabM<br />
S<br />
(5.23)<br />
l<br />
Dadurch folgt für die Sättigungsmagnetisierung:<br />
Iˆ<br />
FSpule<br />
→ M<br />
S<br />
=<br />
2µ<br />
N<br />
∫ (5.24)<br />
F<br />
T / 2<br />
1 N1<br />
U<br />
ind<br />
dt −<br />
0 2FStab<br />
l<br />
0<br />
Stab<br />
Mit Gleichung (5.22) ergibt sich daraus:<br />
⎛ dM ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dt ⎠<br />
1<br />
= −<br />
Tµ<br />
0<br />
ˆ F<br />
T / 2<br />
4 8N1I<br />
Spule<br />
U<br />
inddt<br />
F<br />
∫ +<br />
(5.25)<br />
2 Stab<br />
Tl F<br />
0<br />
Stab<br />
N<br />
Den Wert des Integrals in (5.25) kann man mit Hilfe eines Galvanometers bestimmen (→ Kap. 8).<br />
18
5.5.2 Herleitung von (dM/dt) 1 aus genauerer Betrachtung von dM / dt<br />
Wenn man die Bedingung der schmalen Peaks weglässt, kann man nicht mehr davon ausgehen, dass die<br />
Magnetisierungsänderung für fast alle Zeitpunkte gleich Null ist. Stattdessen leiten wir aus der Gleichung<br />
(5.17) einen Ausdruck für die zeitliche Änderung der Magnetisierung her<br />
dM 1<br />
=<br />
dt µ F<br />
0<br />
Stab<br />
⎛ dΦ<br />
⎜ − µ<br />
0F<br />
⎝ dt<br />
Spule<br />
dH ⎞<br />
⎟<br />
dt ⎠<br />
(5.26)<br />
und setzen es in den 1. Fourierkoeffizienten (Gl. (5.11)) ein:<br />
1<br />
=<br />
µ F<br />
0<br />
1<br />
=<br />
µ F<br />
0<br />
Stab<br />
Stab<br />
⎛ dM ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dt ⎠<br />
1<br />
2<br />
=<br />
µ F<br />
0<br />
Stab<br />
T<br />
T<br />
⎛ dΦ<br />
⎜ − µ<br />
0F<br />
⎝ dt<br />
∫<br />
0<br />
Spule<br />
dH<br />
dt<br />
⎞<br />
⎟⋅sin(<br />
ω<br />
⎠<br />
Re s<br />
t)<br />
dt<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
T<br />
T<br />
⎟<br />
⎜ 2 dΦ<br />
2 dH<br />
−<br />
⎟<br />
⎜ ∫ sin( ω<br />
Re st)<br />
dt µ<br />
0FSpule<br />
∫ sin( ω<br />
Re st)<br />
dt<br />
(5.27)<br />
T dt<br />
T dt<br />
⎟<br />
0<br />
0<br />
⎜ 1444<br />
24443<br />
1444<br />
24443⎟<br />
⎜<br />
⎛ dΦ<br />
⎞<br />
⎛ BSpule<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎟<br />
⎝<br />
⎝ dt ⎠1<br />
⎝ dt ⎠1<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜ 1<br />
−<br />
⎜ N<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
T<br />
2<br />
∫U<br />
ind<br />
sin( ω<br />
Re st)<br />
dt + µ<br />
0F<br />
T<br />
0<br />
1444<br />
24443<br />
Spule<br />
2<br />
Iˆ<br />
ω<br />
T<br />
Re s<br />
N<br />
l<br />
( Uind<br />
) 1 T<br />
1<br />
⎞<br />
T<br />
⎟<br />
2 ⎟<br />
∫sin<br />
( ω<br />
Re st)<br />
dt<br />
⎟<br />
0<br />
144<br />
243<br />
4 ⎟<br />
= / 2 ⎠<br />
⎛ dM ⎞<br />
N Iˆ<br />
1 Re sFSpule<br />
→ ⎜ ⎟ = −<br />
1 ( U<br />
ind<br />
)<br />
1<br />
⋅<br />
{<br />
K +<br />
ω<br />
(5.28)<br />
⎝ dt ⎠ µ N F<br />
F l<br />
1<br />
0<br />
2<br />
Stab<br />
Eichfaktor<br />
Stab<br />
Der erste Fourierkoeffizient der Induktionsspannung (U ind ) 1 in Gleichung (5.28) lässt sich über eine<br />
Rechtecksumme anhand eines Oszilloskopbildes berechnen, jedoch muss der Wert mit Hilfe des Faktors<br />
K geeicht werden, da die Auflösung des Oszilloskops nicht groß genug ist (→ Kap. 8).<br />
Der Eichfaktor ergibt sich durch:<br />
T / 2<br />
∫<br />
U<br />
ind<br />
0<br />
T / 2<br />
0<br />
U<br />
dt<br />
dt<br />
( gemessen mit dem Galvanometer)<br />
K = (5.29)<br />
∫<br />
ind<br />
( gemessen mit dem Oszilloskop)<br />
19
6. DAS ERDMAGNETFELD<br />
In diesem Kapitel wollen wir zeigen warum und wie man bei unserem Experiment das Erdmagnetfeld<br />
abschirmen sollte.<br />
6.1 Das Magnetfeld der Erde<br />
Bis heute ist es der Wissenschaft nicht<br />
gelungen eine umfassende Erklärung für den<br />
Erdmagnetismus zu finden. Man geht davon aus,<br />
dass flüssige Materie im Erdkern durch<br />
kreisende, so genannte Konvektionsströme das<br />
Magnetfeld erzeugt.<br />
Bereits im 17. Jahrhundert fand man heraus,<br />
dass die Kompassnadel nicht überall auf der Erde<br />
in die geographische Nordrichtung zeigte. Der<br />
Winkel zwischen der geographischen<br />
Nordrichtung und der magnetischen<br />
Nordrichtung heißt Deklination. Man muss<br />
zwischen zwei Polachsen unterscheiden: die<br />
geographische Nord-Süd-Achse, die nichts<br />
anderes ist als die Rotationsachse der Erde und die magnetische Nord-Süd-Achse, die durch die<br />
magnetischen Pole der Erde festgelegt wird. Der Winkel zwischen den beiden Achsen beträgt ungefähr<br />
12°. Aus einiger Entfernung von der Erde<br />
betrachtet, lässt sich das Erdmagnetfeld mit dem<br />
Feld eines Dipols vergleichen. Die<br />
Magnetfeldlinien schließen an den magnetischen<br />
Polen einen Winkel von 90° mit der Erdoberfläche<br />
ein, wohingegen die Feldlinien am magnetischen<br />
Äquator parallel zur selben verlaufen. Diesen<br />
Winkel, den die Magnetfeldlinien mit der<br />
Erdoberfläche einschließen, nennt man Inklination<br />
und er hat an jedem Ort auf der Erde einen<br />
charakteristischen Wert. An Orten auf dem<br />
gleichen magnetischen Breitenkreis ist auch die<br />
Inklination gleich. In Deutschland beträgt die<br />
Deklination ungefähr l° in westlicher Richtung<br />
und die Inklination ungefähr 60°.<br />
Aufgrund der Neigung des Erdmagnetfeldes an der Erdoberfläche, kann man es in eine Horizontal- und<br />
eine Vertikalkomponente zerlegen. Für unseren Versuch ist nur die Horizontalkomponente von<br />
Bedeutung.<br />
6.2 Das resultierende Drehmoment<br />
Ein magnetisierter Stab erfährt in einem homogenen Magnetfeld ein Drehmoment, welches senkrecht zu<br />
dem magnetischen Moment des Stabes und zu dem Magnetfeld steht:<br />
r r r<br />
D = µ × B<br />
(6.1)<br />
Diesen Effekt kennt man von der Kompassnadel. Die Nadel selbst ist ein magnetisierter Zeiger aus<br />
Metall, der im lokal homogenen Erdmagnetfeld ein Drehmoment erfährt. Das Drehmoment wirkt solange<br />
bis die zwei magnetischen Achsen antiparallel zueinander stehen.<br />
Der Stab aus unserem Versuch reagiert auf das Magnetfeld der Erde sehr ähnlich. Er versucht sich<br />
wegen seines magnetischen Momentes antiparallel zur horizontalen Komponente des Erdmagnetfeldes zu<br />
drehen.<br />
20
Da sein magnetisches Moment mit der Anregefrequenz<br />
der Spule oszilliert, ändert sich auch<br />
jedes Mal die Richtung des Drehmomentes und es<br />
kommt zu einer transversalen Schwingung des<br />
Stabes.<br />
Wegen der Modenkopplung (Interferenz der<br />
transversalen Schwingung mit der<br />
Drehschwingung) wird dadurch die<br />
Drehamplitude sehr groß. Dieser Effekt wird<br />
zusätzlich noch verstärkt wenn der Stab nicht gut<br />
in der Spule zentriert wird.<br />
Um diese Probleme zu vermeiden, ist erstens auf<br />
eine möglichst gute Zentrierung des Stabes zu<br />
achten, und zweitens muss die horizontale<br />
Komponente des Erdmagnetfeldes kompensiert<br />
werden. Die vertikale Komponente des Feldes<br />
kann man vernachlässigen, da ihre Richtung<br />
bereits mit der Richtung des magnetischen<br />
Momentes des Stabes übereinstimmt und es somit zu keiner Schwingung kommt.<br />
6.3 Die Abschirmung des Erdmagnetfeldes<br />
Um das Erdmagnetfeld zu kompensieren, benutzen wir<br />
ein Paar Helmholtzspulen, deren Abstand dem Radius der<br />
Spulen entspricht. Auf diese Weise erhält man im Zentrum<br />
des Raumes, der von ihnen eingeschlossen wird, einen<br />
faustgroßen Bereich in dem das Magnetfeld homogen ist.<br />
Man muss die Spulen dann an der Horizontalkomponente<br />
des Erdmagnetfeldes ausrichten und den Stab so<br />
aufhängen, dass er sich in diesem zentralen Bereich<br />
befindet. Die korrekte Richtung der Spulen kann man mit<br />
Hilfe einer Kompaßnadel ermitteln. Die richtige<br />
Feldstärke erhält man über die maximale Drehamplitude<br />
des Stabes. Wie wir vorher schon gesehen haben, wird die<br />
Drehamplitude durch den Einfluss des Erdmagnetfeldes<br />
größer; das heißt, daß die maximale Drehamplitude ein<br />
Minimum erreicht wenn das Feld gänzlich kompensiert<br />
wurde. Man probiert also verschiedene Feldstärken an den<br />
Spulen und versucht die Drehamplitude zu minimieren;<br />
wenn man das Minimum erreicht hat, ist dies die richtige<br />
von den Helmholtzspulen erzeugte Feldstärke.<br />
21
7. ZUSAMMENFASSUNG<br />
Fassen wir kurz die Schritte und Formeln zur Berechnung des g-Faktors zusammen. Die Herleitungen<br />
der Formeln kann man in den vorangegangenen Kapiteln nachlesen.<br />
Wir gehen vom gyromagnetischen Verhältnis aus, welches über das magnetische Bahnmoment und den<br />
Bahndrehimpuls des Elektrons definiert ist.<br />
µ<br />
g<br />
− e<br />
l<br />
γ<br />
l<br />
= =<br />
l<br />
(7.1)<br />
L 2me<br />
Da sich µ l und L nicht unmittelbar messen lassen, müssen wir den g-Faktor auf die experimentell<br />
messbaren, zeitlich veränderlichen Größen Magnetisierung und Drehmoment zurückführen, die wir in<br />
dem Augenblick betrachten, in dem sie ihren Maximalwert erreichen.<br />
g<br />
2m<br />
V<br />
M&<br />
e<br />
max<br />
l<br />
= ⋅<br />
Stab<br />
⋅<br />
(7.2)<br />
− e Dmax<br />
Um das maximale Drehmoment aus der Torsionsschwingung des Stabes zu bestimmen, sehen wir uns<br />
die dazugehörige Bewegungsgleichung<br />
näher an und finden den Ausdruck:<br />
2 Dmax<br />
& α + 2βα&<br />
+ ω0α<br />
= cos( ω err<br />
t)<br />
(7.3)<br />
θ<br />
D<br />
= βω α θ<br />
(7.4)<br />
max<br />
2<br />
Re s<br />
Da die Magnetisierung, im Unterschied zum Magnetfeld der Feldspule, nicht cosinusförmig verläuft<br />
sondern im Bereich der Sättigung ein Plateau aufweist, ist die Magnetisierungsänderung, genauso wie die<br />
induzierte Spannung, durch Peaks charakterisiert, die umso schmaler werden je weiter man den Stab in<br />
die Sättigungsmagnetisierung bringt. Mit Hilfe der Fourieranalyse können wir die maximale Änderung<br />
der Magnetisierung durch den ersten Fourierkoeffizienten abschätzen:<br />
Re s<br />
⎛ dM ⎞<br />
M & max<br />
≈ ⎜ ⎟ (7.5)<br />
⎝ dt ⎠<br />
Wenn wir nun die letzten zwei Ergebnisse in Gl. (7.2) einsetzen, bekommen wir<br />
g<br />
l<br />
meVStab<br />
=<br />
− eβω<br />
α<br />
Re s<br />
Re s<br />
1<br />
⎛ dM ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
θ ⎝ dt ⎠<br />
Zur Erinnerung: das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders, der um seine Längsachse rotiert, ist<br />
gegeben durch θ = 1/2mR 2 .<br />
(dM/dt) 1 läßt sich anschließend auf zwei Arten bestimmen. Einmal aus der Sättigungsmagnetisierung:<br />
1<br />
(7.6)<br />
⎛ dM ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dt ⎠<br />
1<br />
= −<br />
Tµ<br />
0<br />
ˆ F<br />
T / 2<br />
4 8N1I<br />
Spule<br />
U<br />
ind<br />
dt<br />
F<br />
∫ +<br />
(7.7)<br />
2 Stab<br />
Tl F<br />
0<br />
Stab<br />
und zweitens, genauer aus dem zeitlichen Verlauf der Magnetisierungsänderung:<br />
N<br />
⎛ dM ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dt ⎠<br />
1<br />
N Iˆ<br />
1 Re sF<br />
= −<br />
1 ( U<br />
ind<br />
)<br />
1<br />
⋅<br />
{<br />
K +<br />
ω<br />
µ N F<br />
F l<br />
0<br />
2<br />
Stab<br />
Eichfaktor<br />
Stab<br />
Spule<br />
(7.8)<br />
Benutzen sie die Gleichung (7.6) als Ausgang für die Fehlerrechnung.<br />
22
8. Der Versuchsaufbau<br />
Spulen Laser Sinusgenerator Oszilloskop Galvanometer 2. Spiegel Rechner<br />
Glasfaden<br />
Feldspule<br />
Skala<br />
Helmholtz-<br />
Spulen<br />
Spiegel<br />
23
Schaltung zur Eichung des Galvanometers:<br />
Das ballistische Spiegelgalvanometer<br />
Galvanometer sind im physikalischen Sinn fast ideale (rauschfreie und lineare) Messgeräte für kleinste<br />
elektrische Signale. Das Funktionsprinzip beruht darauf, dass der zu messende Strom durch eine<br />
Bändchenspule fließt, die sich dann in einem Magnetfeld verdreht. In unserem Experiment haben wir ein<br />
Spiegelgalvanometer, welches statt eines Zeigers einen Spiegel zur Ablenkung eines Lichtstrahls hat.<br />
Dadurch dass die Trägheit des Zeigers wegfällt, ist die Messgenauigkeit erheblich gesteigert.<br />
24
Ein ballistisches Galvanometer ist so aufgebaut, dass es sehr träge in Relation zu dem ankommenden<br />
elektrischen Impuls reagiert, das heißt, es mißt nur die Menge der ankommenden Ladungen, von der<br />
zeitlichen Verteilung dieser Ladungen merkt es nichts und dementsprechend ist der Ausschlag A 0<br />
proportional zur Ladung. Der Proportionalitätsfaktor (die so genannte Galvanometerkonstante) kann aber<br />
nicht berechnet werden; sondern muß empirisch bestimmt werden. Die Kalibrierung wird anhand von<br />
Messungen mit bekannten Ladungen nach der Formel Q = CU mit genau bekannten Spannungen<br />
vorgenommen.<br />
Man kann sagen, dass das Galvanometer über die Zeit integriert denn die Ladung, die es misst ist<br />
1<br />
Q = I ⋅t<br />
= ∫ Idt = ∫U<br />
inddt<br />
R<br />
Der Zeitraum, über den das Galvanometer bei der Messung in Aufgabe c) integriert, entspricht einer<br />
Magnetfeldänderung von = Bˆ<br />
bis B Spule = 0, also von t = 0 bis t = T /4. Der Wert, den man misst ist<br />
B Spule<br />
also (1/R) 0 ∫ T/4 U ind dt. Für die Bestimmung der Sättigungsmagnetisierung muss man danach nur noch<br />
beachten, dass 0 ∫ T/2 U ind dt = 2 0 ∫ T/4 U ind dt ist.<br />
Während der Messung besteht der Stromkreis aus der Induktionsspule, dem Widerstand und dem<br />
Galvanometer und es gilt (Abb. 8.1):<br />
T / 4<br />
(8.1)<br />
1<br />
Q = k ⋅ A0<br />
=<br />
37Ω + 9,5Ω + 25Ω<br />
∫U ind<br />
dt<br />
(8.2)<br />
0<br />
Graphische Auswertung mit Oszilloskop und Computer<br />
In Aufgabenteil d.) sollen Sie (dM/dt) 1 aus dem<br />
zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung<br />
anhand des Integrals 0∫ T |U ind sin(ω Res t)dt|<br />
berechnen. Der Betrag ist wichtig, da sonst das<br />
Integral gleich Null wäre; uns interessiert ja die<br />
tatsächliche Fläche unter der Funktion.<br />
Dazu ist das Oszilloskop an den Computer<br />
angeschlossen und die Messdaten werden mittels<br />
der Software FreeCapture gespeichert und<br />
graphisch dargestellt. Das generierte Bild sollte<br />
so, oder so ähnlich aussehen, wie in Abbildung<br />
8.2 gezeigt. Dabei stellt die orangefarbene Kurve<br />
die induzierte Spannung dar und die graue<br />
Sinuskurve die Wechselspannung an der Feldspule.<br />
Das Oszilloskop nimmt pro Kästchen 25 Werte in x- und in y-Richtung auf. Es hat also eine Auflösung<br />
von jeweils 25 Einheiten pro Kästchen in beide Richtungen.<br />
Um das Integral über der Induktionsspannung mittels einer Rechtecksumme berechnen zu können,<br />
brauchen Sie die Messdaten für jeden Zeitpunkt. Diese Daten sollen Sie auf Diskette oder USB-Stick<br />
abspeichern.<br />
In der gespeicherten Datei finden Sie 500 Zahlenpaare, die durch ein Komma getrennt sind; dabei stellen<br />
die linken Zahlen die Zeitschritte und die Rechten die dazugehörigen Spannungsmesswerte dar. Ganz<br />
unten finden Sie die Einstellungen des Oszilloskops während der dargestellten Messung, denen Sie die<br />
Eichung der x- bzw. y-Achse entnehmen können. Hierbei wird ein Kästchen mit der Abkürzung "DIV''<br />
bezeichnet. Beispielsweise bedeutet die Angabe "TIME/DIV,10.00ms", dass jedes Kästchen in x-<br />
Richtung 10ms lang ist und demnach zwischen zwei Messungen jeweils 10ms / 25 = 0,4ms vergehen.<br />
Bringen Sie eine Diskette oder einen USB-Stick mit, um die Daten speichern zu können.<br />
25
9. AUFGABENSTELLUNG: <strong>EINSTEIN</strong> - <strong>DE</strong> <strong>HAAS</strong> EFFEKT<br />
Bitte beachten:<br />
• Zentrierarbeiten nur unter Aufsicht des betreuenden Assistenten durchführen.<br />
Der Torsionsfaden, an dem der Stab hängt ist aus Glas, mit einen Durchmesser von nur 0,5mm und<br />
ist deswegen sehr empfindlich.<br />
Die Hauptaufgabe bei diesem Experiment besteht darin den g-Faktor zu bestimmen. Die einzelnen<br />
Teilaufgaben dienen dazu, die notwendigen Messdaten aufzunehmen, die man für diese Bestimmung<br />
braucht.<br />
a.) Zuerst sollen die mechanischen Eigenschaften des Systems, d.h. die Resonanzfrequenz der<br />
Torsionsschwingung und die Dämpfungskonstante bestimmt werden.<br />
Wählen Sie den Wechselstrom durch die Feldspule zu 0,6A eff . Suchen Sie die Resonanzfrequenz<br />
und nehmen Sie die Resonanzkurve in der Umgebung dieser Frequenz auf.<br />
Es darf dabei nur eine reine Torsionsschwingung angeregt werden, d.h. in vertikaler Richtung darf<br />
keine Ablenkung des Lichtzeigers auftreten. Das Lichtband muss nach dem Einschwingen zeitlich<br />
konstant bleiben und symmetrisch zum Nullpunkt liegen.<br />
Da diese Messungen bei großer Resonanzamplitude genauer durchgeführt werden können, wird<br />
das Erdmagnetfeld vorerst nicht kompensiert.<br />
Bestimmen sie ebenfalls die Abklingzeit der Torsionsschwingung.<br />
b.) Zur Messung der Resonanzamplitude muss der Stab gut justiert sein. Um die Justierung zu<br />
kontrollieren, lassen Sie einen Gleichstrom durch die Feldspule fließen. Während Sie den Strom<br />
langsam von 0 auf 0,7A erhöhen, darf sich der Stab nur wenig aus seiner Ruhelage wegbewegen.<br />
Jetzt soll die Horizontalkomponente des Erdmagnetfeldes mit Hilfe der Helmholtzspulen<br />
kompensiert werden. Die Richtung des kompensierenden Magnetfeldes stellen Sie mit der<br />
Kompaßnadel fest, die Stärke mit Hilfe der Amplitude bei Resonanzfrequenz. Messen Sie die<br />
Resonanzamplitude bei einem Wechselstrom durch die Feldspule von 0,6A eff in Abhängigkeit<br />
vom Strom durch die Helmholtzspulen (I H