Gitterschwingungen
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<strong>Gitterschwingungen</strong><br />
Fortgeschrittenen-Praktikum (FP oder P III)<br />
Institut für Angewandte Physik<br />
Allgemeine Vorbemerkung: Mehrere der Versuche im FP des Instituts für Angewandte<br />
Physik zielen auf das Verständnis verschiedener Effekte und Phänomene aus dem Bereich<br />
Halbleiterphysik in Übereinstimmung mit der Hauptarbeitsrichtung des Instituts und der<br />
Anwendung in der Industrie, wie z.B. die Versuche pn-Übergang, Solarzelle, Halleffekt,<br />
Lumineszenzspektroskopie, Photoleitfähigkeit oder Halbleiterspektroskopie. Die Mehrzahl<br />
der Studierenden führt die Versuche zum FP im 5. oder 6. Semester durch. Das ist im<br />
Hinblick auf die Dauer des Studiums sinnvoll, hat aber das Problem, dass die<br />
Festkörperphysik (Physik V) oft erst im gleichen Semester gehört wird, sodass insbesondere<br />
zu Beginn dieses Semesters noch kaum Festkörperkenntnisse vorliegen. Dieses Problem<br />
sollen die nachfolgenden Ausführungen beheben. Der Aufbau ist folgendermaßen:<br />
Die Kenntnis der hier dargestellten Grundlagen ist Voraussetzung für die sinnvolle<br />
Durchführung des Versuchs und wird in der Besprechung vor Versuchsbeginn mit dem<br />
Assistenten überprüft. Der Text der Vorbereitung soll selbst verfasst sein, kurz auf die<br />
Grundlagen und auf die zu Beginn des Aufgabenblattes gestellten Fragen eingehen. Es ist<br />
nicht nötig, den ganzen Text aus der Vorbereitungsmappe abzuschreiben oder zu kopieren. Es<br />
ist verboten, Vorbereitungstexte „alter Meister“ aus dem Netz auszudrucken, da der<br />
Lerneffekt dieses Verfahrens Null ist und die Texte im Netz erfahrungsgemäß mit Fehlern<br />
behaftet sind.<br />
Einleitung<br />
In diesem Versuch werden die Eigenschaften von Schwingungen in einem Gitter an Hand<br />
eines mechanischen Modells untersucht. Von <strong>Gitterschwingungen</strong> spricht man, wenn die<br />
Ruhelagen der Massen ein periodisches Punktgitter bilden. Ein bekanntes Beispiel sind<br />
Festkörpergitter, deren Atome oder Moleküle um ihre Gitterpositionen schwingen. Die<br />
Normalschwingungen eines solchen Systems können als Quasiteilchen mit (Quasi-) Impuls<br />
Ñ k und Energie Ñω betrachtet werden mit dem Wellenvektor k und der Kreisfrequenz ω der<br />
Normalschwingung. Sie heißen Phononen.<br />
Der Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz ω und dem Wellenvektor k wird als<br />
Dispersionsrelation ω(k) bezeichnet. Alle wesentlichen Eigenschaften der<br />
<strong>Gitterschwingungen</strong> lassen sich hieraus ableiten.<br />
Im Versuch wird die Dispersionsrelation eines eindimensionalen Modellkristalls bestimmt.<br />
Die Kristallatome sind durch Gleiter realisiert, die sich auf einer Luftkissenschiene bewegen.<br />
Die Kräfte zwischen den „Atomen“ werden durch Zugfedern zwischen den Gleitern simuliert.<br />
Auf der Luftkissenschiene befinden sich insgesamt 12 Gleiter. Das Modell repräsentiert somit<br />
die longitudinalen Schwingungen einer linearen Kette von 12 Atomen.<br />
Massen, Wellenlängen und Schwingungsfrequenzen haben im Modellkristall Werte im<br />
Bereich kg, Meter und Hertz. In einem echten Atomkristall liegen diese Werte im Bereich<br />
Zeptogramm, Mikrometer und Terahertz. Trotz dieser sehr großen Unterschiede wird die<br />
Dispersionsrelation atomarer <strong>Gitterschwingungen</strong> sehr gut wiedergegeben.<br />
1
1. Kristallstruktur<br />
Wir betrachten zunächst und im Folgenden, soweit nicht anders vermerkt, kristalline<br />
Festkörper, die sich durch eine räumlich periodische Anordnung der Atome auszeichnen. Die<br />
(primitive) Einheitszelle wird aufgespannt durch drei nicht koplanare Basisvektoren a r i. Eine<br />
Translation, die den Kristall in sich selbst überführt, lässt sich schreiben als<br />
R r =<br />
3<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
ni<br />
a r i<br />
mit n i =0, ±1, ±2,… (1)<br />
Die a r<br />
i spannen ein abstraktes Punktgitter im Ortsraum auf, das sog. Kristallgitter. Die<br />
Kristallstruktur besteht aus diesem abstrakten Punktgitter und der sog. Basis, die angibt, an<br />
welchen Plätzen in der Einheitszelle die einzelnen Atome sitzen. Es können unterschiedliche<br />
Kristallstrukturen für das gleiche Punktgitter auftreten, so haben z.B. Diamant, Zinkblende<br />
oder Kochsalz ein kubisch flächenzentriertes Punktgitter, aber durchaus unterschiedliche<br />
Kristallstrukturen.<br />
Neben dem abstrakten Punktgitter im Ortsraum definiert man ein Punktgitter im reziproken<br />
Raum, das sog. reziproke Gitter, aufgespannt durch die Vektoren b r i mit<br />
b r 2π<br />
r r<br />
= a 2 × a3<br />
1<br />
VEZ<br />
sodass gilt:<br />
r<br />
a<br />
i ⋅b j<br />
und zyklisch, (2)<br />
r<br />
= 2πδij<br />
. (3)<br />
Dabei ist V EZ das Volumen der Einheitszelle im Ortsraum. Ein Translationsvektor G r im<br />
reziproken Gitter schreibt sich somit<br />
r<br />
G =<br />
3<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
r<br />
h i<br />
b i<br />
mit h i =0,±1,±2,… (4)<br />
Man definiert im reziproken Gitter sogenannte Brillouin-Zonen (BZ). Die erste Zone besteht<br />
aus allen Punkten des reziproken Raumes, die dem Ursprung (dem sog. Γ-Punkt) näher liegen<br />
als allen anderen Punkten G r .<br />
Für eine einfache kubische Kristallstruktur mit der Gitterkonstanten a erstreckt sich die erste<br />
BZ in alle drei Richtungen des reziproken Raumes von<br />
π<br />
− ≤<br />
a<br />
ki<br />
≤<br />
π<br />
a<br />
i=x,y,z (5)<br />
2
2. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit, Dispersion von Wellen<br />
Eine Welle ist charakterisiert durch Kreisfrequenz ω und Wellenvektor k bzw. Frequenz ν<br />
und Wellenlänge λ. Sie besitzt die Phasengeschwindigkeit<br />
ω<br />
v ph = = λν , (6)<br />
k<br />
und ein Wellenpaket die Gruppengeschwindigkeit<br />
v gr<br />
dω<br />
= . (7)<br />
dk<br />
Ein einfacher Fall ist die<br />
elektromagnetische Welle im Vakuum,<br />
bei der gilt:<br />
Kreisfrequenz ω<br />
Elektromagnetische Welle im Vakuum<br />
lineare Dispersion ω = c k<br />
ω dω<br />
= = c<br />
k dk<br />
(ω 1<br />
,k 1<br />
)<br />
Δ ω<br />
ω = c k.<br />
ω wächst linear in k. In diesem Fall<br />
fallen Phasengeschwindigkeit und<br />
Gruppengeschwindigkeit zusammen und<br />
sind gleich der Porportionalitätskonstante<br />
c<br />
ω 1<br />
k 1<br />
Δ k<br />
ω 1<br />
Δ ω<br />
=<br />
k 1<br />
Δ k<br />
Wellenvektor k<br />
ω dω<br />
v ph ≡ = vgr<br />
≡ = c .<br />
k dk<br />
Die Propagation von Wellen durch Materie hebt die Linearität zwischen ω und k auf. Die<br />
Folge ist das Auftreten von Dispersion: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit werden<br />
abhängig von der Frequenz bzw. von der<br />
Wellenlänge. Insbesondere unterscheiden<br />
Nichtlineare Dispersion<br />
sie sich :<br />
v = v ( ω)<br />
≠ v = v ( ω)<br />
.<br />
ph<br />
ph<br />
gr<br />
gr<br />
(ω 1<br />
,k 1<br />
)<br />
dω<br />
dk<br />
k 1<br />
Normalerweise ist die Gruppengeschwindigkeit<br />
kleiner als die<br />
Phasengeschwindigkeit, v < v<br />
(« normale Dispersion »).<br />
gr<br />
ph<br />
ω 1<br />
Kreisfrequenz ω<br />
ω(k)<br />
Δ k<br />
Δ ω<br />
ω 1<br />
k 1<br />
><br />
Δ ω dω<br />
Δ k<br />
=<br />
dk<br />
k 1<br />
k 1<br />
Wellenvektor k<br />
Die Funktion ω = f(k) heißt Dispersionsrelation oder Dispersionsbeziehung. Die<br />
Gruppengeschwindigkeit entspricht der Steigung der Dispersionskurve.<br />
3
3. Stehende Wellen: Schwingungsmoden und Wellenvektor<br />
3.1 Kontinuierliche Massenverteilung (schwingende Saite)<br />
Im Folgenden betrachten wir eindimensionale Systeme. Ein eindimensionaler Strang mit<br />
kontinuierlicher, homogener Massenverteilung sei zwischen feste Enden mit Abstand L<br />
eingespannt. Der Strang sei dehnbar und ist<br />
somit schwingungsfähig. Auf Grund der<br />
L<br />
Kontenbedingung am Rand sind nur stehende<br />
Wellen möglich. Dabei muss eine ganzzahlige<br />
Anzahl n von Schwingungsbäuchen in die<br />
Länge L eingepasst werden.<br />
n = 1 n = 3<br />
λ<br />
!<br />
n ⋅ = L,<br />
n = 1,2, ... ∈ N . (8)<br />
2<br />
Es sind also nur die Wellenlängen λ n = 2L/n<br />
möglich.<br />
Die zugehörigen Wellenvektoren sind<br />
n = 2<br />
k<br />
n<br />
2π = =<br />
λ<br />
n<br />
nπ<br />
L<br />
(9)<br />
Die zu jeder Welle λ n gehörenden Frequenzen ω n heißen Eigenfrequenzen, n heißt auch<br />
Modenzahl und man spricht von der n-ten Eigenschwingung, der n-ten Mode oder der n-ten<br />
Eigenmode.<br />
Die Zahl der Eigenfrequenzen ist im Idealfall eines unendlich dünnen Strangs unbegrenzt.<br />
Denn ein beliebig dünner Strang kann auf beliebig kleinen Strecken gedehnt werden, so dass<br />
beliebig kleine Wellenlängen möglich sind.<br />
3.2 Diskontinuierliche, diskrete Massenverteilung<br />
Wir denken uns die Masse des eindimensionalen Strangs zu diskreten Punktmassen<br />
zusammengezogen, die zunächst einen festen Abstand a voneinander haben.<br />
Bei einem physikalischen Gitter muss nun die Wechselwirkung zwischen den diskreten<br />
Massen derart sein, dass a gerade der sich von selbst einstellende Gleichgewichtsabstand ist.<br />
In diesem Fall können die Massen um ihre Gleichgewichtspositionen schwingen. Eine<br />
derartige Reihe von miteinander gekoppelten Massepunkten heißt lineare Kette.<br />
Bei festen Enden sind wieder nur stehende Wellen möglich, für die die gleiche Knotenrandbedingung<br />
gilt wie zuvor. Die Auslenkung ist jedoch nur noch an den Stellen der<br />
Massepunkte, d.h. an diskreten Koordinatenpunkten definiert. Dazwischen existiert keine<br />
Materie, so dass die „Auslenkung“ der Welle zwischen den Massepunkten lediglich eine<br />
mathematische Konstruktion darstellt. Das hat zur Folge, dass zu jeder möglichen Welle mit λ<br />
a<br />
4
2a eine langwellige Welle mit λ > 2a existiert, die ein identisches Auslenkungsmuster der<br />
Punktmassen besitzt.<br />
Auslenkung<br />
m=1<br />
2a<br />
λ 2<br />
= 7a<br />
λ 1<br />
= 0,875 a<br />
1<br />
2<br />
Fig. 3.1:<br />
Auslenkungsmuster des eindimensionalen<br />
Punktmassegitters.<br />
Zu jeder Welle mit λ < 2a<br />
existiert eine Welle identischer<br />
Auslenkung mit λ > 2a.<br />
Dabei muss gelten:<br />
λ −1 lang = λ<br />
−1<br />
kurz − m a ,<br />
mit m = trunc( a λ kurz ) ∈ N ,<br />
bzw. k 2 = k1<br />
− 2π<br />
m / a .<br />
(trunc = ganzzahliger Anteil)<br />
Ortskoordinate<br />
In Fig. 3.1 zeigt ein Beispiel für diesen Sachverhalt. Der obere Teil 1 zeigt eine Welle mit<br />
einer Wellenlänge λ 1 < 2a und die dazugehörige Auslenkung der Punktmassen. Der Mittelteil<br />
zeigt das Auslenkungsmuster der Punktmassen alleine. Der untere Teil 2 zeigt eine Welle<br />
mit λ 2 > 2a, die genau das gleiche Auslenkungsmuster hat. Offensichtlich existieren mehrere<br />
Wellen, die an den Orten der Punktmassen ein und dasselbe Auslenkungsmuster aufweisen.<br />
Da nun lediglich die Punktmassen materiell existierende Objekte sind, sind die Wellen 1 und<br />
2 physikalisch ununterscheidbar. Sie beschreiben ein und denselben physikalischen Zustand,<br />
nämlich eine bestimmte Auslenkung der Punktmassen. Zur Beschreibung dieses Zustands<br />
genügt es vollständig, sich auf eine Welle beschränken. Man wählt diejenige mit λ > 2a, da<br />
hier nur eine passende Welle für ein gegebenes Auslenkungsmuster existiert, während es im<br />
kurzwelligen Bereich λ < 2a unendlich viele sind. Die kleinste benötigte Wellenlänge ist<br />
daher λ = 2a. Diese Schranke bedeutet, dass die Zahl der stehenden Wellen zur Beschreibung<br />
der diskreten Auslenkungsmuster endlich ist.<br />
In einer linearen Kette diskreter Massepunkte ist die Anzahl physikalisch unterscheidbarer<br />
Schwingungen endlich. Die kleinste Wellenlänge ist das Zweifache der Gitterkonstante.<br />
Alle Wellenlängen der unterscheidbaren Schwingungen mit λ ≥ 2a müssen im Intervall<br />
[2a, 2L] liegen:<br />
λ min = 2a<br />
2a<br />
und<br />
λ max = 2L<br />
L<br />
5
Mit der Modennummer n = 2L/λ n aus (8) folgt die Gesamtzahl der Moden aus der größten<br />
Modenzahl n max zu<br />
2L<br />
L<br />
n max = = .<br />
λmin<br />
a<br />
L L , genauer der ganzzahlige Anteil von , ist gerade die Anzahl der Gitterabstände a, die in<br />
a<br />
a<br />
der Länge L Platz haben. Sie ist gleich der Anzahl der Massenpunkte.<br />
Die Anzahl der (unterscheidbaren) Schwingungsmoden der linearen Kette entspricht der<br />
Anzahl ihrer Massenpunkte.<br />
Für den maximalen Wellenvektor folgt:<br />
k<br />
max<br />
2π π =<br />
λ a<br />
=<br />
min<br />
(10)<br />
Der maximale Wellenvektor ist somit identisch zum maximalen reziproken Gittervektor der<br />
ersten Brillouin-Zone des Kristallgitters, siehe Gleichung (5). Anders gesagt: Die<br />
Beschränkung auf physikalisch unterscheidbare Wellen entspricht der Beschränkung auf die<br />
erste Brillouin-Zone im k-Raum. Die erste Brillouin-Zone enthält somit bereits alle k-<br />
Vektoren, die zur Beschreibung der Gesamtheit der physikalisch unterscheidbaren Zustände<br />
nötig sind.<br />
6
4. <strong>Gitterschwingungen</strong>: Eindimensionales Modell für ein Gitter realer<br />
Atome<br />
Die Abbildung eines realen Atomgitters in einer Dimension auf eine lineare Kette von<br />
Punktmassen erfordert zum einen die Kenntnis der Wechselwirkung zwischen den Atomen,<br />
zum anderen muss klar sein, ob Atome als Punktmassen behandelt werden dürfen.<br />
Das Letztere kann bejaht werden, denn die Masse des Atoms ist ganz überwiegend im Kern<br />
konzentriert und der Kernradius beträgt nur etwa ein Hunderttausendstel eines typischen<br />
Gitterabstands. Auf der Längenskala der linearen Kette schrumpft die Masse des Atoms also<br />
zu einem Punkt zusammen. Die Ausdehnung des Atoms wird jedoch von der Elektronenhülle<br />
bestimmt und liegt in der Größenordnung der Gitterkonstante.<br />
Die Wechselwirkung zwischen Atomen beruht auf dem Überlapp der Wellenfunktionen der<br />
Elektronen der äußeren Schale. Die inneren, abgeschlossenen Schalen samt dem Kern<br />
bezeichnet man als Atomrumpf. Bewirkt der Überlapp eine Absenkung der Energie der<br />
äußeren (Valenz-) Elektronen, so entsteht eine chemische Bindung: Die Gesamtenergie des<br />
Systems aus Valenzelektronen und positiven Atomrümpfen besitzt ein Minimum bei einem<br />
bestimmten Atomkernabstand x 0 . Dieser Abstand ist der Gleichgewichtsabstand und identisch<br />
zur Bindungslänge. Eine Auslenkung des Atoms aus der Minimumslage erhöht die<br />
Zustandsenergie der Valenzelektronen. Die Erhöhung ist aber viel zu klein, um höhere<br />
Zustände anregen zu können. Sie wird daher beim Rückgang der Auslenkung reversibel<br />
zurückgewonnen. Der Atomrumpf schwingt daher im Potenzial der Valenzelektronen um<br />
seine Gleichgewichtslage x 0 . Die Schwingung ist reibungsfrei.<br />
Das Paarpotenzial, d.h. das Potenzial zwischen zwei Atomen einer Kette, hat qualitativ<br />
folgende Form:<br />
Potenzialenergie<br />
0<br />
Parabelnäherung<br />
aus Taylor-Entwicklung<br />
x 2 x 0<br />
0<br />
Kernabstand x<br />
Paarpotenzial<br />
Fig. 4.1:<br />
Paarpotenzial zwischen zwei Atomen als<br />
Funktion des Kernabstands. Den steilen<br />
Anstieg zu kleinen Abständen bewirkt das<br />
Pauli-Prinzip, das eine Durchdringung<br />
der abgeschlossenen Schalen ausschließt.<br />
Die Parabelnäherung entspricht der<br />
Taylor-Entwicklung um x 0 bis zur 2.<br />
Ordnung.<br />
Die genaue Form des Potenzials ist zunächst unbekannt, aber es kann offensichtlich um den<br />
Gleichgewichtsabstand x 0 entwickelt werden<br />
Φ<br />
2<br />
1 ∂ Φ<br />
2<br />
2 ∂x<br />
2<br />
( x) = Φ + ( x − x ) + K<br />
0<br />
xo<br />
0<br />
7
Das Paarpotenzial ist also um x 0 herum in erster Näherung parabolisch (der lineare Term<br />
verschwindet aus Symmetriegründen).<br />
Zur Beschreibung der Kräfte auf ein Atom machen wir daher folgende Näherungen:<br />
1. Die harmonische Näherung: Wir gehen davon aus, dass die Atome nur wenig aus der<br />
Gleichgewichtslage ausgelenkt werden. Dann genügt die Entwicklung des Schwingungspotenzials<br />
bis zur 2. Ordnung in der Auslenkung. Die Kräfte zwischen den Atomen werden<br />
damit linear in der Auslenkung.<br />
2. Die Näherung der so genannten Nächste-Nachbar-Wechselwirkung: Es wird nur die<br />
Wechselwirkung mit den direkten Nachbarn berücksichtigt. Die mit dem Abstand rasch<br />
abnehmende Wechselwirkung entfernterer Atome wird vernachlässigt. Auf ein Atom in der<br />
eindimensionalen Kette wirken also nur Kräfte des jeweils rechten und linken Nachbarn.<br />
Mit diesen Näherungen ist eine Punktmasse der linearen Kette nur an ihre jeweils rechten und<br />
linken Nachbarn gekoppelt, und zwar mit harmonischer Kopplung. Die Kräfte auf die<br />
Punktmasse reduzieren sich somit auf zwei Hookesche Federkräfte.<br />
Die Schwingungsdynamik des eindimensionalen Atomgitters lässt sich im Rahmen der<br />
Nächste-Nachbar-Wechselwirkung und der harmonischen Näherung durch ein sehr einfaches<br />
Modell darstellen: Linear angeordnete Punktmassen verbunden mit idealen Federn.<br />
Die Auslenkung erfolgt dabei längs der Kette. Es handelt sich also um longitudinale<br />
Schwingungen.<br />
Anmerkung 1:<br />
Die „Federkonstante“ der Hookeschen Kraft F −Dx<br />
= −∇Φ( x)<br />
= entspricht gerade dem<br />
Entwicklungskoeffizienten ∂ 2 Φ/∂x 2 | xo mit der Dimension N/m. Dieser<br />
Entwicklungskoeffizient heißt auch Kopplungskonstante.<br />
Anmerkung 2:<br />
Effekte bei realen Kristallen, die aus der Nichtharmonizität des Potenzials resultieren, heißen<br />
anharmonische Effekte. Ein Beispiel hierfür ist die thermische Ausdehnung.<br />
8
5. <strong>Gitterschwingungen</strong>: Die lineare einatomige Kette<br />
5.1 Koordinatensystem<br />
Wir betrachten ein eindimensionales Atomgitter mit einem Atom in der Basis. Die Masse des<br />
Atoms sei m. Der Gitterabstand sei a. Die lineare Kette, die dieses Atomgitter repräsentiert,<br />
heißt lineare einatomige Kette. Sie besteht aus Punktmassen der Masse m mit dem<br />
Ruheabstand a, verbunden durch identische, masselose Hookesche Federn mit der<br />
Federkonstante D.<br />
m<br />
a<br />
D<br />
x<br />
Zur mathematischen Behandlung werden die Massenpunkte mit dem Index j indiziert. Als<br />
Koordinatenachse wählen wir eine x-Achse parallel zur Kette, da sich die Massepunkte nur<br />
längs x bewegen können (longitudinale Auslenkung). x j (t) ist dann die momentane Position<br />
des Massepunkts mit der Nummer j. Sie lässt sich zerlegen in die Gleichgewichtsposition x o,j<br />
und in die Auslenkung aus dieser Gleichgewichtsposition, s j (t):<br />
x ( t)<br />
= x , s ( t)<br />
.<br />
j o j +<br />
j<br />
9
5.2 Die Bewegungsgleichung<br />
Die Newtonsche Bewegungsgleichung für einen herausgegriffenen Massepunkt j kann damit<br />
wie folgt aufgestellt werden<br />
() t = F rechte Feder)<br />
F ( linke )<br />
m & x<br />
j j, j+ 1( + j,<br />
j−1<br />
Feder .<br />
F j,j+1 ist die Kraft auf den Massepunkt j durch die rechte Feder, die j mit j+1 verbindet. F j,j-1<br />
ist die Kraft auf j durch die linke Feder, die j mit j-1 verbindet.<br />
Sind die Massen in Ruhe, d.h. die Federlänge ist gleich a, so ist die Summe dieser Kräfte<br />
Null. Sie spielen daher für die Dynamik keine Rolle. Ein Dynamikbeitrag resultiert nur aus<br />
einer Änderung der Federlänge. Die Federlänge ändert sich auf Grund der Positionsänderung<br />
der beiden Massenpunkte an den Federenden.<br />
Die Kraft der rechten Feder auf die Masse j ist demnach<br />
F<br />
j, j+ 1 = − D ⋅ s j + D ⋅ s j+<br />
1<br />
Stauchung für Dehnung für<br />
s j > 0 s j+1 > 0<br />
=> Kraft zeigt in => Kraft zeigt in<br />
negative x-Richtung positive x-Richtung<br />
a<br />
j j+1<br />
a<br />
j j+1<br />
s j<br />
s j+1<br />
F<br />
F<br />
x<br />
Die Kraft der linken Feder auf j ist entsprechend<br />
F<br />
( − s )<br />
j, j−1<br />
= − D ⋅ s j + D ⋅ s j−1<br />
= − D s j j−1<br />
Die Newtonsche Bewegungsgleichung kann jetzt ausgeschrieben werden<br />
( s + s s )<br />
m & s<br />
2 .<br />
j = D j+<br />
1 j−1<br />
−<br />
Dabei wurde benutzt, dass aufgrund der Koordinatenzerlegung gilt: x&<br />
( t) & s<br />
( t)<br />
j<br />
& = .<br />
j<br />
j<br />
5.3 Die Dispersionsrelation<br />
i( kx −ω t )<br />
Zur Lösung werden eindimensionale harmonische ebene Wellen ∝ e angesetzt. Dabei<br />
sind die Auslenkungen x nur an den diskreten Gitterpunkten x o,j definiert. Diese können als<br />
Vielfache des Gitterabstands geschrieben werden: x o,j = a⋅ j. Der Ansatz lautet dann explizit<br />
i( k⋅<br />
a⋅<br />
j −ω<br />
t)<br />
s k, ω,<br />
t = s e .<br />
j<br />
( )<br />
( )<br />
o<br />
Die zweifache Zeitableitung kann sofort berechnet werden:<br />
Einsetzen in die Bewegungsgleichung liefert<br />
2<br />
& s j = −ω s .<br />
j<br />
10
[ ]<br />
2 i( k⋅( a⋅<br />
j)<br />
−ω<br />
t) i( k ⋅a( j+<br />
1)<br />
−ω<br />
t) i ( k ⋅a( j−1)<br />
−ω<br />
t ) i( k⋅<br />
( a⋅<br />
j ) −ω<br />
t )<br />
− mω<br />
s e = D s e + e − 2e<br />
o<br />
o<br />
i( ) ( a j t) i ka i( a j t )<br />
[ ]<br />
k ⋅a⋅<br />
j −ω<br />
t ika i<br />
D s e e e<br />
k ⋅ ⋅ −ω<br />
( − )<br />
e e<br />
k ⋅ ⋅ −ω<br />
= +<br />
− 2 .<br />
o<br />
Nach Kürzen mit<br />
s i( k a j t )<br />
o e ⋅ ⋅ −ω<br />
verbleibt<br />
2<br />
ika −<br />
[ ( e + e )]<br />
ika<br />
mω = D 2 −<br />
.<br />
Wir erhalten somit eine Beziehung zwischen der Kreisfrequenz ω und dem Wellenvektor k.<br />
Mit den Identitäten<br />
ix ix<br />
e + e<br />
− = 2 cos( x)<br />
und<br />
1 − cos( x ) = 2sin<br />
2 x 2<br />
( )<br />
kann nach ω 2 und schließlich nach ω aufgelöst werden, so dass wir die Dispersionsrelation<br />
ω(k) der linearen einatomigen Kette erhalten<br />
4D<br />
⎛ ka ⎞<br />
ω ( k) = sin⎜<br />
⎟ (11)<br />
m ⎝ 2 ⎠<br />
ω(k)<br />
4D<br />
m<br />
- 2π<br />
a<br />
π<br />
-<br />
a<br />
0 π<br />
2π<br />
a<br />
a<br />
k<br />
Fig. 5.1: Dispersionsrelation der linearen einatomigen Kette.<br />
ω ist offensichtlich periodisch im Wellenvektor k mit der Periode 2π/a. Zu Wellenvektoren<br />
größer π/a gehören Kreisfrequenzen, die bereits im Intervall [-π/a, π/a] enthalten sind. Die<br />
Dispersionsrelation (11) drückt daher das Ergebnis aus Kap. 4 aus, wonach keine neuen<br />
Moden für Wellenvektoren größer π/a zu finden sind (Glg. 10).<br />
Da jede Kette eine endliche Länge hat, ist auch die Anzahl N der diskreten Massen endlich.<br />
Die Dispersionskurve besteht daher im k-Intervall [0, π/a] in Wirklichkeit aus N diskreten<br />
Punkten, der Zahl der unterscheidbaren Moden. Die zugehörigen k-Werte ergeben sich aus<br />
Glg. (9). Allerdings ist bei einem realen Kristall die Zahl der Atome sehr, sehr groß, so dass<br />
die Dispersionskurve realer Kristalle einen quasi-kontinuierlichen Verlauf zeigt. Dem<br />
entspricht Fig. 5.1. Der Modellkristall unseres Versuchs besitzt aber nur 12 Massen, so dass<br />
die „Kurve“ in diesem Fall auch nur aus 12 Punkten besteht.<br />
11
5.4 Grenzfälle für kleine und große k (Zentrum und Rand der Brillouin-Zone)<br />
k<br />
0 (Zonenzentrum)<br />
k 0 bedeutet λ ∞: die Wellenlänge wird wesentlich größer als die Gitterkonstante. Dann<br />
gilt<br />
ka
Die maximale Wellenausbreitungsgeschwindigkeit der linearen Kette, die für kleine k oder<br />
lange Wellen auftritt, ist die Schallgeschwindigkeit.<br />
Die Schallgeschwindigkeit ist also die größte in einem Kristall auftretende Wellenausbreitungsgeschwindigkeit.<br />
Typische Werte sind einige wenige Kilometer pro Sekunde<br />
(Silizium: 8,9 km/s, Gold: 1,7 km/s). Da die Wellen, die mit Schallgeschwindigkeit laufen,<br />
gleichzeitig die geringste Energie besitzen, denn ω geht gegen Null für k gegen Null, werden<br />
solche Wellen auch sehr leicht erzeugt. Jede mechanische Anregung erzeugt diese Wellen.<br />
Ein Weg-Zeit-Experiment zur Messung der Geschwindigkeit der Wellenausbreitung in einem<br />
kristallinen Material liefert daher stets die dispersionsfreie Schallgeschwindigkeit v S .<br />
k<br />
π/a (Zonenrand)<br />
In diesem Fall geht die Steigung der Dispersionskurve gegen Null. Im Punkt k = π/a wird also<br />
die Gruppengeschwindigkeit Null.<br />
Die Frequenz ist maximal und die Wellenlänge ist die kürzest mögliche, nämlich λ = 2a.<br />
5.5 Die Schwingungsmoden des Modellkristalls<br />
Aus dem Realteil der Lösung<br />
s<br />
j<br />
i( k⋅( a⋅<br />
j)<br />
−ω t )<br />
= s e erhält man durch Addition einer hinlaufenden<br />
o<br />
und einer mit Phasensprung π zurücklaufenden Welle eine stehende Welle der Form<br />
s<br />
j<br />
( t) ⋅sin( k a ⋅ j)<br />
= 2 so<br />
⋅ sin ω n 1 .<br />
Der Index von a 1 steht für „einatomig“.<br />
nπ<br />
Die Wellenzahl k n mit der Modenzahl n folgt aus (9) zu k n = .<br />
L<br />
Im Modellkristall mit 12 Massen ist die Länge L gegeben durch 12+1 Federlängen = 12+1<br />
Gitterkonstanten. Daher ist L = 13a1<br />
und k n wird zu<br />
k n<br />
nπ<br />
= . (13)<br />
13a 1<br />
Da nur 12 Massen vorhanden sind, gibt es maximal 12 Moden, d.h. insgesamt 12 k-Werte.<br />
Das bedeutet<br />
n max = 12 .<br />
Der zeitunabhängige Sinus-Term der stehenden Welle beschreibt das ortsabhängige<br />
Amplitudenmuster:<br />
⎛ nπ<br />
⎞<br />
s j ∝ sin⎜<br />
j⎟<br />
⎝ 13 ⎠<br />
mit dem Gitterplatzindex oder Positionsindex j , j = 1 … 12.<br />
Fig. 5.2 zeigt das Amplitudenmuster der Punktmassen für alle 12 Moden. Die<br />
„mathematische“ Sinuswelle ( = Amplitude für „unendlich“ viele Massenpunkte) ist mit<br />
eingezeichnet. Zur Verdeutlichung ist die Amplitude transversal dargestellt.<br />
13
n =<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
12<br />
j =<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
Fig. 5.2:<br />
Amplituden der stehenden Wellen der linearen einatomigen Kette mit 12 Punktmassen.<br />
5.6 Zusammenfassung<br />
• Die Dispersionsrelation der einatomigen Kette ist sinusförmig.<br />
• Sie ist periodisch im Wellenvektor k mit der Periodizität 2π/a.<br />
• Wellenvektor k und Modennummer n sind äquivalent: sie unterscheiden sich nur um<br />
den Faktor π/L.<br />
• Die Steigung im Ursprung der Dispersionskurve entspricht der Schallgeschwindigkeit.<br />
14
6. <strong>Gitterschwingungen</strong>: Die lineare zweiatomige Kette<br />
6.1 Koordinatensystem<br />
Wir betrachten ein eindimensionales Atomgitter mit zwei Atomen pro Basis, die<br />
unterschiedliche Masse haben. Die Masse des leichteren Atoms sei m, die des schwereren<br />
Atoms sei M. Der Gitterabstand sei wieder a. Die lineare Kette, die dieses Gitter repräsentiert,<br />
heißt lineare zweiatomige Kette. Sie besteht aus Punktmassen, die durch ideale Hookesche<br />
Federn im Abstand a/2 verbunden sind und die abwechselnd die Massen m und M haben.<br />
a/2<br />
a<br />
.<br />
m<br />
M<br />
Die Auslenkungen sind wieder relativ zu den Ruhelagen definiert<br />
a/2<br />
x<br />
s<br />
j-2<br />
s<br />
j-1 s<br />
j<br />
s<br />
j+1<br />
s<br />
j+2<br />
s<br />
j+3<br />
x j-2 x j-1 x j x j+1 x j+2 x j+3<br />
x( t)<br />
x 0,j-2<br />
x 0,j-1<br />
x 0,j<br />
x 0,j+1<br />
x 0,j+2<br />
x 0,j+3<br />
= a 2<br />
(j-2) = a (j-1) = a j = a (j+1) = a (j+2) = a (j+3)<br />
2 2 2 2 2<br />
Die Ruhelagen<br />
x 0,<br />
j ergeben sich wegen der verdoppelten Gitterkonstante zu<br />
x0,<br />
j<br />
a<br />
= j ⋅ .<br />
2<br />
6.2 Die Bewegungsgleichungen<br />
Die Kraft auf einen Massepunkt resultiert wieder aus der Änderung der Federlänge der jeweils<br />
rechten und linken Federn. Auf den Massepunkt j wirkt somit die Kraft<br />
F<br />
( − s ) − D( s s )<br />
j = − D s j j+ 1 j − j−1<br />
rechte Feder<br />
linke Feder<br />
15
Auf den rechts benachbarten Massepunkt j+1 wirkt die Kraft<br />
F<br />
( − s ) − D( s − s )<br />
j+ 1 = − D s j+<br />
1 j+<br />
2 j+<br />
1<br />
j<br />
rechte Feder<br />
linke Feder<br />
Der Massepunkt an der Position j habe die kleine Masse m (analog zur obigen Abbildung).<br />
Dann hat der benachbarte Massepunkt j+1 die große Masse M. Für beide Massenpunkte folgt<br />
je eine Newtonsche Bewegungsgleichung<br />
( s + s s )<br />
m & s<br />
j = D j+<br />
1 j−1<br />
− 2<br />
(14a).<br />
( s + s s )<br />
M & s<br />
, (14b)<br />
j + 1 = D j + 2 j − 2 j + 1<br />
die jedoch gekoppelt sind, da beide s j und s j+1 enthalten. Zur Lösung setzen wir für die<br />
insgesamt vier Auslenkungen s j−1 , s j , s j+1 , s j+2 wieder harmonische ebene Wellen an. Im<br />
Unterschied zur einatomigen Kette erhalten die zwei verschiedenen Massen aber nun zwei<br />
verschiedene Amplituden: s o,m für die leichten Massen und s o,M für die schweren Massen. Die<br />
Auslenkungen sind wieder nur bezüglich der diskreten Ruhelagen = j ⋅ 2 definiert.<br />
s<br />
s<br />
s<br />
s<br />
⎛<br />
⎞<br />
i⎜<br />
k⋅( j−1) −ω<br />
t ⎟<br />
⎝ 2<br />
, ω s e<br />
⎠<br />
schwere Masse j-1<br />
( k t)<br />
j− 1 , =<br />
j<br />
( k , t)<br />
o,<br />
M<br />
a<br />
⎛ a ⎞<br />
i⎜<br />
k⋅<br />
j −ω<br />
t ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
, ω = so,<br />
m e<br />
leichte Masse j<br />
⎛<br />
⎞<br />
i⎜<br />
k⋅( j+<br />
1) −ω<br />
t ⎟<br />
⎝ 2<br />
, ω s e<br />
⎠<br />
schwere Masse j+1<br />
( k t)<br />
j+ 1 , =<br />
( k t)<br />
o,<br />
M<br />
a<br />
⎛<br />
⎞<br />
i⎜<br />
k⋅( j+<br />
2) −ω<br />
t ⎟<br />
⎝ 2<br />
, ω s e<br />
⎠<br />
leichte Masse j+2<br />
j+ 2 , =<br />
o,<br />
m<br />
a<br />
j<br />
x o , j a<br />
Damit die Amplituden für beliebige j den richtigen Gitterplätzen zugeordnet sind, müssen wir<br />
noch fordern, dass j entweder stets geradzahlig oder stets ungeradzahlig ist, je nach dem, ob<br />
die leichten Massen auf den Positionen j = 2, 4, 6, … oder j = 1, 3, 5, … liegen.<br />
6.3 Die Dispersionsrelation<br />
Einsetzen des Ansatzes in (14) und kürzen durch<br />
(14b) liefert<br />
i<br />
e<br />
⎛ a ⎞<br />
⎜ k⋅<br />
⋅ j −ω<br />
t ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
bei (14a) und<br />
i<br />
e<br />
⎛ a<br />
⎜ k⋅<br />
⎝ 2<br />
⎞<br />
⋅( j+<br />
1) −ω<br />
t ⎟ ⎠<br />
bei<br />
− ω<br />
− ω<br />
⎡<br />
= D ⎢s<br />
⎢⎣<br />
⎛<br />
⎜e<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟ − 2s<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
a a<br />
ix<br />
+<br />
−ix<br />
ik −ik<br />
e e = 2cos x<br />
2<br />
m s<br />
2<br />
o m o M + e<br />
2<br />
,<br />
,<br />
o,<br />
m =<br />
o,<br />
M<br />
o,<br />
m<br />
⎡<br />
= D ⎢s<br />
⎢⎣<br />
⎛<br />
⎜e<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟ − 2s<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎡<br />
2D⎢s<br />
⎣<br />
⎡<br />
2D⎢s<br />
⎣<br />
⎛ a ⎞<br />
cos⎜k<br />
⎟ − s<br />
⎝ 2 ⎠<br />
a a<br />
ix<br />
+<br />
−ix<br />
ik −ik<br />
e e = 2cos x<br />
2<br />
M s<br />
2<br />
o M o m + e<br />
2<br />
,<br />
,<br />
o,<br />
M =<br />
o,<br />
m<br />
o,<br />
M<br />
⎛ a ⎞<br />
cos⎜k<br />
⎟ − s<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
16
Alles auf eine Seite gebracht ergibt<br />
2<br />
cos ⎛ a ⎞ ⎛ mω<br />
⎞<br />
⎜k<br />
⎟ so<br />
M + ⎜ 1⎟<br />
2<br />
−<br />
⎝ ⎠ 2<br />
so<br />
⎝ D ⎠<br />
,<br />
, m =<br />
2<br />
cos ⎛ a ⎞ ⎛ Mω<br />
⎞<br />
⎜k<br />
⎟ so<br />
m + ⎜ 1⎟<br />
2<br />
−<br />
⎝ ⎠ 2<br />
so<br />
⎝ D ⎠<br />
,<br />
, M =<br />
0<br />
0<br />
(15a)<br />
(15b)<br />
Das sind Bestimmungsgleichungen für die Amplituden s o,m , s o,M . Sie bilden ein lineares<br />
Gleichungssystem A x = 0 mit<br />
⎛ s<br />
x =<br />
⎜<br />
⎝ s<br />
o,<br />
m<br />
o,<br />
M<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
und<br />
⎛ mω2<br />
⎜ − 1<br />
⎜ 2D<br />
A =<br />
⎜ ⎛ a ⎞<br />
⎜cos⎜k<br />
⎟<br />
⎝ ⎝ 2 ⎠<br />
⎛ a ⎞⎞<br />
cos⎜k<br />
⎟⎟<br />
⎝ 2 ⎠⎟<br />
2<br />
.<br />
Mω<br />
⎟<br />
−1⎟<br />
2D<br />
⎠<br />
Dieses hat nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante von A verschwindet,<br />
d.h. wenn gilt:<br />
2<br />
2<br />
⎛ mω<br />
⎞⎛<br />
Mω<br />
⎞<br />
2⎛<br />
ka<br />
⎜<br />
⎞<br />
1⎟⎜<br />
1⎟<br />
−<br />
− cos ⎜ ⎟ = 0<br />
2<br />
−<br />
2<br />
. (16)<br />
⎝ D ⎠⎝<br />
D ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
Gleichung (16) ist eine Beziehung zwischen der Kreisfrequenz ω und dem Wellenvektor k.<br />
Ausmultiplizieren ergibt eine quadratische Gleichung in ω 2 mit den zwei Lösungen<br />
2<br />
2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 4 2⎛<br />
ka ⎞<br />
ω + = D ⎜ + ⎟ + D ⎜ + ⎟ − sin ⎜ ⎟<br />
(17a)<br />
⎝ m M ⎠ ⎝ m M ⎠ mM ⎝ 2 ⎠<br />
2<br />
2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 4 2⎛<br />
ka ⎞<br />
ω − = D ⎜ + ⎟ − D ⎜ + ⎟ − sin ⎜ ⎟ . (17b)<br />
⎝ m M ⎠ ⎝ m M ⎠ mM ⎝ 2 ⎠<br />
Dabei wurde die Idendität 1 − cos 2 = sin 2 benutzt. Die beiden Gleichungen (17a) und (17b)<br />
sind die Dispersionsrelation der zweiatomigen Kette (in quadratischer Form). Es gibt also<br />
zwei Lösungen: zu jedem k-Wert gibt es zwei ω-Werte, ω + und ω − . Die verschiedenen<br />
Lösungen werden „Zweige“ oder „Äste“ genannt.<br />
17
ω(k)<br />
ω +<br />
Frequenzlücke<br />
ω -<br />
- 2π<br />
a<br />
π<br />
-<br />
a<br />
0 π<br />
2π k<br />
a<br />
a<br />
Fig. 6.1: Dispersionsrelation der linearen zweiatomigen Kette.<br />
Die Dispersionsrelation ist wiederum periodisch in k mit der k-Periode 2π/a. Der ω + -Ast heißt<br />
„optischer Ast“, da hier, wie wir noch sehen werden, die leichten und schweren Massen<br />
gegeneinander schwingen, so dass bei unterschiedlicher elektrischer Ladung die Atome m und<br />
M einen schwingenden Dipol bilden. Da dieser elektromagnetische Strahlung absorbieren<br />
oder emittieren kann, wird die Schwingung „optisch aktiv“. Die unterschiedliche Ladung<br />
resultiert aus dem ionischen oder polaren Charakter der chemischen Bindung in vielen<br />
Kristallen.<br />
Der ω − -Ast heißt „akustischer Ast“, da er für k → 0 die größte Gruppengeschwindigkeit<br />
innerhalb der Kette aufweist, d.h. die akustischen Schallgeschwindigkeit v S .<br />
Zwischen den beiden Ästen existiert ein Frequenzbereich, der nicht überstrichen wird. Im<br />
Frequenzspektrum der Schwingungsmoden existiert also eine Frequenzlücke.<br />
Die zwei fundamentalen Unterschiede zur einatomigen Kette sind also: Ankopplung an<br />
elektromagnetische Wellen und eine Frequenzlücke im Frequenzbereich der Schwingungen.<br />
6.4 Grenzfälle für kleine und große k (Zentrum und Rand der Brillouin-Zone)<br />
k<br />
0 (Zonenzentrum)<br />
Im langwelligen Grenzfall kann auf die Dispersionsrelation des akustischen Astes (17b)<br />
wieder die Näherung sin(x) ≈ x angewandt werden. Entwickeln der Wurzel liefert dann<br />
ω<br />
mit der Schallgeschwindigkeit<br />
D ka<br />
⎯
Für den optischen Ast folgt aus (17a) mit k = 0<br />
2 ⎛ 1 1 ⎞<br />
ω + , k→0<br />
= 2D⎜<br />
+ ⎟<br />
(19)<br />
⎝ M m ⎠<br />
k π/a (Zonenrand)<br />
Einsetzen von k = π⁄a in (17) liefert nach Ausquadrieren der Wurzel<br />
2<br />
⎡⎛<br />
1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤<br />
ω + / − k = π / a = D ⎢⎜<br />
+ ⎟ ± ⎜ − ⎟⎥<br />
.<br />
⎣⎝<br />
m M ⎠ ⎝ m M ⎠⎦<br />
d.h. für den optischen Ast ω +<br />
und für den akustischen Ast ω −<br />
2 2D<br />
ω + , k→π<br />
/ a =<br />
m<br />
(20)<br />
2 2D<br />
ω −, k→π<br />
/ a =<br />
M<br />
(21)<br />
Man nennt (19), (20) und (21) die „Grenzfrequenzen“ oder „charakteristische Frequenzen“<br />
der Dispersionsrelation.<br />
Einige interessante Aspekte sind:<br />
• (19) ist die Summe von (20) + (21); die drei Grenzfrequenzen sind also linear<br />
abhängig. Aus der Dispersion können daher die drei Größen m, M und D nicht<br />
unabhängig voneinander bestimmt werden.<br />
• Das Verhältnis der Grenzfrequenzen am Zonenrand hängt nur vom Verhältnis der<br />
Massen M und m ab<br />
ω<br />
ω<br />
+ , k=<br />
π / a<br />
−,<br />
k=<br />
π / a<br />
=<br />
M<br />
m<br />
Je größer das Massenverhältnis, desto größer ist das Verhältnis der Grenzfrequenzen<br />
und damit auch die Frequenzlücke. Bei gleichen Massen werden die Grenzfrequenzen<br />
(20) und (21) identisch, d.h. die Frequenzlücke verschwindet.<br />
.<br />
6.5 Die Schwingungsmoden des Modellkristalls<br />
Im Modellkristall der zweiatomigen Kette ist die Länge L ebenfalls durch 12+1 Federlängen<br />
gegeben, jedoch erstreckt sich die Gitterkonstante a 2 über 2 Federn. Daher ist L = 6,5 a 2 und<br />
für k n folgt<br />
π<br />
Mit kmax<br />
= folgt n max = 6 ,<br />
a2<br />
d.h. es gibt nur 6 k-Werte in der 1. Brillouin-Zone.<br />
k n<br />
nπ<br />
= (22)<br />
6,5<br />
a<br />
2<br />
19
Die Modenzahl beträgt jedoch trotzdem 12, da jedem k-Wert zwei Moden zueignen.<br />
Das Amplitudenmuster wird bestimmt vom Verhältnis der Amplitude der leichten Massen,<br />
s o,m , zur Amplitude der schweren Massen, s o,M . Das Amplitudenverhältnis folgt aus (15) als<br />
Funktion von ω 2 und k. Wird für ω 2 die Dispersionsrelation (17) eingesetzt, erhält man das<br />
Amplitudenverhältnis als explizite Funktion von k, z.B. aus (15a) zu<br />
s<br />
s<br />
o,<br />
m<br />
o,<br />
M<br />
=<br />
1 + γ ⎡<br />
1 − ⎢1<br />
±<br />
2γ<br />
⎢⎣<br />
⎛ ka<br />
cos⎜<br />
⎝ 2<br />
1 −<br />
2<br />
4γ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
( 1 + γ )<br />
2<br />
sin<br />
2<br />
( ka 2)<br />
2<br />
,<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
M<br />
γ = (23)<br />
m<br />
Dabei wurde zur Abkürzung das Massenverhältnis γ := M/m verwendet. Das Pluszeichen<br />
gehört zum ω + -Ast und das Minuszeichen zum ω − -Ast.<br />
Fig. 6.2 zeigt das Amplitudenverhältnis s o,m / s o,M für vier verschiedene Massenverhältnisse γ<br />
über dem k-Intervall der 1. Brillouin-Zone.<br />
Amplitudenverhältnis s o,m<br />
/ s o,M<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
Parameter: γ = M/m<br />
4<br />
4 2 1,5 1<br />
1<br />
1,5<br />
2<br />
akustisch<br />
optisch<br />
γ = 1 akustisch<br />
optisch<br />
γ =1,5 akustisch<br />
optisch<br />
γ = 2 akustisch<br />
optisch<br />
γ = 4 akustisch<br />
optisch<br />
-5<br />
Zonenzentrum<br />
0<br />
π<br />
2 a<br />
Wellenvektor k<br />
π<br />
a<br />
Zonenrand<br />
Fig. 6.2:<br />
Verhältnis der Amplituden der leichten und schweren Massen in der 1. Brillouin-Zone für<br />
verschiedene Massenverhältnisse γ.<br />
Betrachten wir zunächst nur den Betrag des Amplitudenverhältnisses und ignorieren das<br />
Auftreten negativer Werte. Bei den akustischen Moden ist der Betrag stets kleiner 1, d.h. die<br />
leichten Massen schwingen stets weniger stark als die schweren. Die den optischen Moden ist<br />
es umgekehrt, der Betrag ist stets größer als 1 und die leichten Massen schwingen immer<br />
stärker als die schweren. Das Amplitudenverhältnis der akustischen Moden hängt nur<br />
schwach vom Massenverhältnis ab. Das der optischen Moden hingegen zeigt eine ausgeprägte<br />
Massenabhängigkeit.<br />
Die Verhältnisse an den Rändern k → 0 und k → π/a zeigt die folgende Tabelle.<br />
20
Akustischer Ast<br />
Optischer Ast<br />
k → 0 Zonenzentrum<br />
s o,m / s o,M → 1<br />
Leichte und schwere Massen<br />
schwingen gleich stark<br />
| s o,m / s o,M | → M/m<br />
Die leichten Massen schwingen<br />
stärker entsprechend dem<br />
Verhältnis der Massen<br />
k → π/a Zonenrand<br />
s o,m / s o,M → 0<br />
Die leichten Massen stehen still<br />
| s o,m / s o,M | → ∞<br />
Die schweren Massen stehen still<br />
Das Auftreten negativer Amplitudenverhältnisse bedeutet, dass die Amplituden noch eine<br />
iΔϕ<br />
komplexe Phase enthalten, und somit das Verhältnis der Amplituden einen Phasenfaktor e<br />
hat. Der Phasenfaktor muss reell sein, d.h. die relative Phasenlage Δ ϕ muss die Werte<br />
iΔϕ<br />
0,<br />
π , 2π<br />
,... annehmen, damit e die (reellen) Werte + 1 , −1,<br />
+ 1, ... annimmt. Das bedeutet<br />
• Der akustische Ast mit positivem Amplitudenverhältnis hat die Phasenlage Δϕ = 0<br />
leichte und schwere Massen schwingen gleichphasig.<br />
• Der optische Ast mit negativem Amplitudenverhältnis hat die Phasenlage Δϕ = π<br />
leichte und schwere Massen schwingen gegenphasig.<br />
Damit ist verständlich, warum der optische Ast die höheren Frequenzen hat: Die<br />
Schwingungen gegeneinander müssen bei gleicher Federkonstante schneller sein als jene, bei<br />
denen die Atome gleichphasig schwingen und sich der Abstand von Atom zu Atom nur wenig<br />
ändert.<br />
Weiterhin können die gegenphasigen Schwingungen nicht beliebig langsam werden: ω opt<br />
kann also nicht gegen Null gehen, sondern muss endlich bleiben.<br />
Die Amplituden der stehenden Wellen können jetzt konstruiert werden. Abbildung 6.3 zeigt<br />
alle 12 Moden für die zweiatomige Kette mit 12 Massen bei einem Massenverhältnis von 1,5.<br />
21
n =<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
optische Moden akustische Moden<br />
γ = 1,5<br />
5<br />
6<br />
j =<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
Fig. 6.3:<br />
Amplituden der linearen zweiatomigen Kette mit 12 Punktmassen bei einem Massenverhältnis<br />
M/m = 1,5. Durchgezogene Linie: Amplitude der schweren Massen bei „unendlich“ vielen<br />
Massenpunkten. Gepunktete Linie: Amplitude der leichten Massen bei „unendlich“ vielen<br />
Massenpunkten.<br />
22
so,<br />
m<br />
Das Amplitudenverhältnis = f ( k)<br />
ist unabhängig von der Position x, d.h. für eine<br />
s<br />
o,<br />
M<br />
gegebene Mode n überall längs der Kette gleich.<br />
s 0,m<br />
s 0,m<br />
= f(x)<br />
s 0,M<br />
s 0,m<br />
s 0,M<br />
s 0,M<br />
x<br />
Für die Verhältnisbildung werden dabei s o,m und s o,M stets an derselben Position x betrachtet.<br />
Die leichten und schweren Punktmassen liegen jedoch an unterschiedlichen Positionen.<br />
s 0,m<br />
( j )<br />
s 0,m<br />
( j +2)<br />
s 0,m<br />
( j )<br />
s 0,M<br />
( j +1)<br />
=<br />
s 0,m<br />
s 0,M<br />
x 0, j<br />
s 0,M<br />
( j +3)<br />
s 0,M<br />
( j +1)<br />
x 0, j<br />
x 0, j+1<br />
x 0, j+2<br />
x 0, j+3<br />
x<br />
Für die Amplitude der Punktmassen gilt<br />
leichte Massen<br />
schwere Massen<br />
s<br />
s<br />
Punkt<br />
o,<br />
m<br />
Punkt<br />
o,<br />
M<br />
∝ s<br />
∝ s<br />
o,<br />
m<br />
o,<br />
M<br />
⎛ ka2<br />
⎞<br />
sin ⎜ j⎟<br />
= so,<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎛ ka2<br />
⎞<br />
sin ⎜ j⎟<br />
= so,<br />
⎝ 2 ⎠<br />
m<br />
M<br />
⎛ nπ<br />
⎞<br />
sin⎜<br />
j⎟ ⎝ 13 ⎠<br />
⎛ nπ<br />
⎞<br />
sin⎜<br />
j⎟ ⎝ 13 ⎠<br />
j = 1, 3, 5, 7, 9, 11.<br />
j = 2, 4, 6, 8, 10, 12.<br />
Dabei ist der Positionsindex j ungeradzahlig für die leichten Massen gewählt und geradzahlig<br />
für die schweren Massen.<br />
Für das Amplitudenverhältnis zweier benachbarter Massen gilt dann, wenn j der spezielle<br />
Index einer leichten Masse und j−1 derjenige der links benachbarten schweren Masse ist:<br />
s<br />
Punkt<br />
so,<br />
m<br />
Punkt<br />
o,<br />
M<br />
( j)<br />
s<br />
=<br />
( j − 1) s<br />
o,<br />
m<br />
o,<br />
M<br />
⎛ nπ<br />
⎞<br />
sin⎜<br />
j⎟<br />
⎝ 13<br />
⋅<br />
⎠<br />
. (24)<br />
⎛ nπ<br />
⎞<br />
sin⎜<br />
( j − 1) ⎟<br />
⎝ 13 ⎠<br />
s o,M (j−1) hat dabei ein negatives Vorzeichen gegenüber s o,m (j), wenn es sich um eine optische<br />
Mode handelt. Liegt die schwere Masse rechts von der leichten, ist j−1 durch j+1 zu ersetzen.<br />
23
Zum Vergleich der Amplituden der Massenpunkte mit dem Amplitudenverhältnis<br />
⎛ nπ<br />
⎞<br />
sin⎜<br />
j⎟<br />
also durch den Korrekturfaktor<br />
⎝ 13 ⎠<br />
⎛ nπ<br />
⎞<br />
sin⎜<br />
( j ± 1) ⎟<br />
⎝ 13 ⎠<br />
s<br />
s<br />
o,<br />
m<br />
o,<br />
M<br />
ist<br />
zu dividieren. Die folgende Tabelle zeigt die Werte dieses Korrekturfaktors in der<br />
Moden/Positions-Matrix für j = 3,5,7,11 und j−1 = 2,4,6,8,10.<br />
n j 3 5 7 9 11<br />
1 1,4269 1,1361 1,0000 0,8802 0,7008<br />
2 1,2062 0,7092 -1,0000 1,4100 0,8290<br />
3 0,8290 -1,9419 1,0000 -0,5150 1,2062<br />
4 0,2559 1,4970 -1,0000 0,6680 3,9070<br />
5 -0,7008 0,2411 1,0000 4,1481 -1,4269<br />
6 -3,9070 -1,7709 -1,0000 -0,5647 -0,2559<br />
6.6 Zusammenhang zwischen Grenzfrequenzen und Amplitudenmuster<br />
Die nachfolgende Abbildung fasst die Ergebnisse des Kapitels „Die lineare, zweiatomige<br />
Kette“ zusammen. Sie zeigt dabei den Zusammenhang zwischen den Grenzfrequenzen und<br />
dem Amplitudenmuster im Zentrum und am Rand der Brillouin-Zone.<br />
Frequenzlücke<br />
Amplitudenmuster<br />
die leichten<br />
Massen<br />
schwingen<br />
um so stärker,<br />
je größer<br />
M/m ist<br />
Grenzfrequenz<br />
ω<br />
op,<br />
0<br />
=<br />
⎛ 1 1<br />
2D<br />
⎜ +<br />
⎝ m M<br />
um so stärker von m<br />
bestimmt, je größer<br />
M/m ist<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
ω<br />
Amplitudenmuster<br />
optischer Ast<br />
M<br />
m<br />
= 2<br />
Grenzfrequenz<br />
ω<br />
op, π a =<br />
2D<br />
m<br />
vollständig von m<br />
bestimmt<br />
nur die leichten<br />
Massen schwingen<br />
m und M<br />
schwingen<br />
mit gleicher<br />
Amplitude<br />
dω<br />
=<br />
dk<br />
D a<br />
2( m + M )<br />
von beiden Massen<br />
gleich bestimmt<br />
2<br />
akustischer Ast<br />
ω<br />
ak, π a =<br />
2D<br />
M<br />
vollständig von M<br />
bestimmt<br />
nur die schweren<br />
Massen schwingen<br />
k<br />
0<br />
π<br />
2a<br />
π<br />
a<br />
24
6.7 Zusammenfassung<br />
• Die Dispersionsrelation der zweiatomigen Kette ähnelt einem Sinus, der in der Mitte<br />
aufgespalten und dessen obere Hälfte in die 1. Brillouin-Zone zurückgespiegelt ist.<br />
• Die Brillouin-Zone ist halb so groß wie bei der einatomigen Kette.<br />
• Es gibt darin halb so viele Wellenvektoren wie bei der einatomigen Kette.<br />
• Zu jedem Wellenvektor gibt es zwei Frequenzen.<br />
• Das untere Frequenzband heißt „akustischer Ast“, das obere „optischer Ast“.<br />
• Zwischen beiden Ästen existiert eine Frequenzlücke.<br />
• Im akustischen Ast schwingen leichte und schwere Massen gleichphasig innerhalb<br />
eines Schwingungsbauches, im optischen Ast gegenphasig.<br />
• Die relative Amplitude der leichten und schweren Massen hängt vom Wellenvektor<br />
bzw. der Modennummer ab. Am Rand der Brillouin-Zone schwingt jeweils nur noch<br />
eine Massensorte.<br />
7. Übergang von einatomiger zu zweiatomiger Basis<br />
Obwohl die Dispersionsrelationen der einatomigen und der zweiatomigen Kette<br />
unterschiedlich aussehen, müssen sie für den Grenzfall M m auseinander hervorgehen. Die<br />
folgende Abbildung veranschaulicht den Übergang von der einatomigen Dispersion zu den<br />
zwei Ästen der zweiatomigen Dispersion. Entscheidend ist die Halbierung der Brillouin-Zone<br />
und damit die Halbierung des Translationsvektors, wodurch der obere Teil der Dispersion in<br />
die 1. Brillouinzone „zurückgefaltet“ oder „zurückgeklappt“ erscheint (Bild 2). Die<br />
Frequenzlücke wird dann durch Massenungleichheit geöffnet.<br />
Der Übergang von zweiatomig zu einatomig ist auch formal vollziehbar. Für M = m werden<br />
die zweiatomigen Beziehungen (15a) und (15b) identisch, da auch die Auslenkungen s o,M und<br />
s o,m gleich werden. Mit a 2 = 2a 1 und 1-cos(x) = 2sin 2 (x/2) folgt<br />
2<br />
1<br />
(<br />
M ⎛ ⎞<br />
⎯ ⎯ = m ka2 mω<br />
2 2D<br />
4D<br />
ka<br />
15)<br />
→ cos⎜<br />
⎟ + = 1 ⇔ ω =<br />
1<br />
⎜<br />
⎝ 2 ⎠ 2D<br />
m<br />
m ⎝ 2<br />
das ist die Dispersionsrelation (11) der einatomigen Kette.<br />
2⎛<br />
⎞<br />
( 1 − cos( ka )) = sin ⎟ ⎠<br />
Das gleiche Ergebnis folgt aus der zweiatomigen, akustischen Dispersion (17b), wenn M = m<br />
gesetzt wird.<br />
,<br />
25
26
8. Erweiterung auf drei Dimensionen und transversale Schwingungen<br />
In einem dreidimensionalen Kristall wird das Potenzial dreidimensional. Der Wellenvektor k<br />
hat drei Komponenten.<br />
Betrachten wir zunächst den Fall einer einatomigen Basis. Der vektorwertige Lösungsansatz<br />
hat die Form s(k,ω,t) = ε(k) exp{i(k⋅R)-ωt} mit dem Polarisationsvektor ε(k). Der<br />
mathematische Formalismus zeigt, dass es drei Polarisationsvektoren ε i , i=1,2,3, gibt, die<br />
senkrecht aufeinander stehen und Einheitsvektoren sind. Sie geben die räumliche Richtung<br />
der Auslenkung s an. In einem isotropen Medium kann der k-Vektor immer längs eines dieser<br />
Vektoren gelegt werden (ε // k). Dies entspricht einer longitudinalen Auslenkung. Die zwei<br />
dazu senkrechten Polarisationen (ε ⊥ k) entsprechen transversalen Auslenkungen. Die<br />
Dispersion hängt nun im Allgemeinen vom Index i ab, so dass es drei Äste ω i = f i (k) gibt,<br />
einen longitudinalen Ast und zwei transversale Äste.<br />
ω<br />
Longitudinal<br />
Transversal<br />
0 π<br />
k<br />
a<br />
Oft sind diese Äste aber entartet, insbesondere die transversalen, auf Grund der<br />
Kristallsymmetrie.<br />
In anisotropen Kristallen treten rein longitudinale oder rein transversale Wellen nur bei<br />
Ausbreitung längs einer Symmetrieachse auf. Eine Welle mit beliebiger Ausbreitungsrichtung<br />
besitzt sowohl longitudinale als auch transversale Komponenten.<br />
Bei der zwei- oder mehratomiger Basis ändert sich das Bild nicht grundlegend. Für jeden<br />
Wert von k gibt es 3p Äste, wobei p die Zahl der Teilchen in der Elementarzelle ist. Für eine<br />
zweiatomige Basis gibt es also sechs Äste, für eine dreiatomige Basis neun Äste, usw. Drei<br />
dieser Äste sind stets akustischer Natur, alle anderen sind optischer Natur. Je einer dieser drei<br />
Äste ist longitudinal polarisiert, die zwei anderen transversal.<br />
Fig. 8.1:<br />
Schematische Darstellung der akustischen<br />
und optischen Äste eines dreidimensionalen<br />
Kristalls mit zweiatomiger<br />
Basis.<br />
„LO“ bedeutet „Longitudinal optisch“,<br />
„TO“ bedeutet „Transversal optisch“,<br />
usw.<br />
Aus C.F. Klingshirn, „Semiconductor<br />
Optics“ 3. Auflage (2006).<br />
27
Bei transversaler Auslenkung erfolgt die Rückstellkraft im Kontinuum durch Scherkräfte. Für<br />
die Feder- oder Kopplungskonstante D ist daher nicht der Elastizitätsmodul maßgebend,<br />
sondern der Schermodul. Dieser ist im Allgemeinen kleiner ist als der Elastizitätsmodul. Die<br />
Frequenzen der transversalen Äste sind daher kleiner als die des longitudinalen Astes.<br />
Gemessen werden Phonondispersionen mit unelastischer Neutronenstreuung. Thermische<br />
Neutronen weisen Energien auf, die im Bereich typischer Phononenergien von einigen<br />
wenigen bis einigen 10 meV liegen, bei gleichzeitig ausreichend großen Impulsen, um die<br />
gesamte Brillouin-Zone auszumessen. Der Kristall wird dabei so orientiert, dass der<br />
Impulsübertrag längs der gewünschten Raumrichtung stattfindet. Als Raumrichtung werden<br />
Kristallachsen hoher Symmetrie gewählt, bei denen, soweit möglich, rein longitudinale und<br />
transversale Moden vorliegen.<br />
Phonondispersion von Natrium bei 90 K, gemessen mit unelastischer Neutronenstreuung<br />
längs der Richtungen [100], [110] und [111] des kubisch flächenzentrierten Gitters von Na.<br />
Aus: Ch. Kittel, Festkörperphysik, 9. Auflage, Seite 124.<br />
28
9. Zur Fourier-Analyse (harmonische Analyse)<br />
Die allgemeine Bewegung x(t) eines Massepunktes der Kette setzt sich aus den zwölf<br />
harmonischen Eigenmoden ∼cos(ω n t) additiv zusammen. Daher ist auch die allgemeine<br />
Bewegung x(t)<br />
n 12<br />
∑ =<br />
n=1<br />
( ω ) cos( ω t)<br />
x(<br />
t)<br />
= a<br />
mit den Amplituden a(ω n )<br />
n<br />
n<br />
eine periodische Funktion der Zeit.<br />
Nun kann jede periodische Funktion trigonometrisch, d.h. in eine Fourierreihe entwickelt<br />
werden. Die Fourierreihe von x(t) ist (bis auf eine Konstante) identisch zur obigen Summe.<br />
Sie enthält nur zwölf gerade Summanden und damit nur zwölf Fourierkoeffizienten a(ω n ).<br />
Ist eine Funktion x(t) nur auf einem diskreten System von Punkten t bekannt, so können ihre<br />
Fourierkoeffizienten mit dem Verfahren der so genannten schnellen Fouriertransformation<br />
numerisch effizient berechnet werden (Bronstein 24. Auflage, S. 616).<br />
Das Spektrum der Fourierkoeffizienten a(ω) hat nur an den Stellen ω n von Null verschiedene<br />
Werte. Dieses sogenannte Fourierspektrum besteht für unsere Massenpunktbewegung x(t)<br />
also aus zwölf Spikes an den Stellen der zwölf Eigenfrequenzen ω n . Die Höhe der Spikes<br />
entspricht der Amplitude a(ω n ), mit der die Mode n zur Gesamtbewegung x(t) beiträgt.<br />
Da im Versuch x(t) mit einer Kamera gemessen wird, die mit einer bestimmten Taktfrequenz<br />
ausgelesen wird, besteht die Zeitachse tatsächlich aus äquidistanten Punkten und die schnelle<br />
Fouriertransformation kann angewendet werden.<br />
Die Ermittlung der Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion heißt Fourieranalyse<br />
oder auch harmonische Analyse.<br />
29