Lösung zur Probeklausur - Technische Universität München

Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht 13.09.2013
ü + g 4a u = 0 (29)
Damit beschreibt die reduzierte Bewegung einen perfekten harmonischen Oszillator. Die
allgemeine Lösung ist einfach:
( √ ) ( √ )
g
g
u(t) = u 1 cos
4a t + u 2 sin
4a t
(30)
Invertierung ergibt:
[ ( √
g
ϑ(t) = 2arccos u 1 cos
u 1 = cos
4a t )
+ u 2 sin
( )
√
ϑo
a
, u 2 = −
2
g ˙ϑ 0 sin
( √
g
4a t )]
( ) (31)
ϑ0
2
wobei wir als Anfangsbedingung ϑ(t = 0) = ϑ 0 und ˙ϑ(t = 0) = ˙ϑ 0 angenommen haben.
Bemerkung:
√
Besonders einfach ist die Lösung, wenn ϑ 0 = 0 gesetzt wird. Dann ist ϑ(t) =
g
a t. Für die Beschleunigung erhält man ¨⃗r(t)
( ( √ ) ( √ ))
= (ẍ(t), ÿ(t)) = g sin g
a t , −cos g
a t .
Man erkennt also, dass ¨⃗r(t) −g⃗e y . Das liegt daran, dass eine Zwangskraft ⃗Z = (Z x , Z y )
auftritt, die das Teilchen auf der Brachistochrone hält. Wäre die Brachistochronenbahn
nicht vorhanden, würde die Kraft ⃗G = (0, −mg) auf die Masse wirken. Hier muss jedoch
zusätzlich die Zwangskraft ⃗Z = mg
(
sin
( √
g
a t )
, 1 − cos
( √ ))
g
a t wirken, die sicherstellt,
dass die Masse in jedem Punkt der Bahn nur von der Hangabtriebskraft m¨⃗r parallel zur
Bahn beschleunigt wird. Die Zwangskraft ist dann entgegengesetzt zur Normalkraft der
Masse bezüglich der Bahn. Insgesamt gilt damit ⃗F = m¨⃗r = ⃗G + ⃗Z. ⃗Z muss von der
Bahn aufgebracht werden. Diese Zwangskraft kann auch mithilfe der Euler-Lagrange-
Gleichungen 1.Art hergeleitet werden.
4. Um die Zeit T zu bestimmen, die der Massenpunkt benötigt, um von einem beliebigen
Anfangspunkt (x(ϑ 0 ), y(ϑ 0 )) mit ẋ(t = 0) = 0 und ẏ(t = 0) = 0 zum Minimum der
Zykloide zu gelangen, bemerken wir zuerst folgende Punkte:
Wegen ẋ = a(1 − cosϑ) ˙ϑ = 0, ẏ = −asinϑ ˙ϑ = 0 folgt auch ˙ϑ(t = 0) = ˙ϑ 0 = 0. Die
Bahnkurve für diesen speziellen Fall ist dann:
[ ( ) ( √ )]
ϑ0 g
ϑ(t) = 2arccos cos cos
2 4a t
(32)
Das Minimum der Zykloide entspricht offenbar ϑ = π. Die Laufzeit T ist damit bestimmt
aus:
ϑ(T) = π ⇐⇒ cos
( ) ( √ )
ϑ0 g
( π
) √
g
cos
2 4a T = cos = 0 ⇐⇒
2 4a T = π 2
(33)
wobei berücksichtigt wurde, dass 0 ≤ ϑ 0 < π gilt ( also cos ( ϑ 0
2
)
0 ) , und T als Zeit des
ersten Minimumsdurchgangs aufgefasst wird. Schließlich erhalten wir:
Technische Universität München 9 Fakultät für Physik