Lösung zur Probeklausur - Technische Universität München

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Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht 13.09.2013 3. Die vollständige Lösung des Schwingungsprobelms (55) erhält man am einfachsten dadurch, indem man zu Normalkoordinaten ξ 1 , ξ 2 übergeht. Dazu diagonalisieren wir zunächst die Matrix A durch Multiplikation mit: S −1 ≔ √ 1 ( ) 1 1 2 1 −1 =⇒ S = (S −1 ) T = √ 1 ( ) 1 1 2 1 −1 (Die Invertierung von S −1 erfolgte durch Transponieren, da S −1 eine orthogonale Matrix ist, d. h. die Spalten sind orthonormale Vektoren, ⃗a i · ⃗a j = δ i j für i, j ∈ {1, 2}.) Die Diagonalmatrix ist: ( g D = S AS −1 = diag l , 2 f m + g ) l Definieren wir nun die Normalkoordinaten als: (61) (62) dann lautet die Bewegungsgleichung (55): ⃗ξ = (ξ 1 , ξ 2 ) T ≔ S ⃗α (63) Damit sind die Gleichungen für ξ 1 und ξ 2 entkoppelt: ¨⃗α = −S −1 DS ⃗α ⇐⇒ ¨⃗ξ = −D⃗ξ (64) Die Lösungen können sofort angegeben werden: ¨ξ 1 = −ω 2 1 ξ 1, ¨ξ 2 = −ω 2 2 ξ 2 (65) ξ 1 (t) = c 1 cos(ω 1 t) + d 1 sin(ω 1 t) ξ 2 (t) = c 2 cos(ω 2 t) + d 2 sin(ω 2 t) (66) Mit ⃗α(t) = S −1 ⃗ξ(t) ergibt sich die vollständige Lösung: ⃗α(t) = √ 1 ( ) 1 ξ 2 1 1 (t) + √ 1 ( ) 1 ξ 2 −1 2 (t) (67) Aus dieser Darstellung wird noch einmal klar, warum bereits die Eigenvektoren von A als Eigenschwingungen oder Eigenmoden bezeichnet werden: Sie geben nämlich die relativen Amplituden von unabhängigen Schwingungen an. Setzt man die Anfangsbedingungen α 1 (0) = ˙α 1 (0) = ˙α 2 (0) = 0, α 2 (0) = α 0 in Gleichung (66) ein, so erhält man das Gleichungssystem: c 1 + c 2 = 0 ω 1 d 1 + ω 2 d 2 = 0 c 1 − c 2 = √ 2α 0 ω 1 d 1 − ω 2 d 2 = 0 (68) Technische Universität München 16 Fakultät für Physik
Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht 13.09.2013 woraus unmittelbar c 1 = α 0 √ 2 , c 2 = − α o √ 2 und d 1 = d 2 = 0 folgt. Die vollständige Lösung ist dann unter Verwendung des zweiten Summensatzes: α 1 (t) = α ( 0 2 (cos(ω ω1 + ω ) ( 2 ω1 − ω ) 2 1t) − cos(ω 2 t)) = −α 0 sin t sin t 2 2 α 2 (t) = α ( 0 2 (cos(ω ω1 + ω ) ( 2 ω1 − ω ) (69) 2 1t) + cos(ω 2 t)) = α 0 cos t cos t 2 2 4. Für schwache Kopplung f m ≪ g l kann die zweite Eigenfrequenz entwickelt werden: ω 2 ∣ − 1 ω 1 ∣ ≈ f g m l ≪ 1 (70) In diesem Fall treten sogenannte Schwebungen auf, bei denen die Schwingungen mit Frequenz ω 1+ω 2 2 durch eine langsam variierende Schwingung mit Frequenz ∣ ∣ ω 1 −ω 2 ∣ 2 moduliert wird. In der untenstehenden Abbildung ist eine typische Schwebung exemplarisch für α 2 gezeigt ( ω 2 ω 1 = 1.1 ). Als Schwebungsfrequenz wird ω s = |ω 1 − ω 2 | definiert (und nicht ∣ ω 1−ω 2 ∣ 2 ∣, da in der Regel Intensitäten gemessen werden, die mit der doppelten Frequenz variieren.) Schwebungen spielen in der Signalverarbeitung und auch in der Musik eine große Rolle. So werden z. B. Schwebungen verwendet, um Musikinstrumente zu stimmen. Technische Universität München 17 Fakultät für Physik
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