Lösung zur Probeklausur - Technische Universität München

Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht 13.09.2013
Lösung:
1. Zunächst wollen wir für das Pendel die Auslenkung ⃗r i = (x i , y i ) T , i ∈ {1, 2} durch die
generalisierten Koordinaten α 1 und α 2 ausdrücken. Setzt man den Ursprung jeweils in
den Aufhängepunkt der Pendel, dann gilt ⃗r i = (lsinα i , −lcosα i ). Daraus erhält man dann
auch unmittelbar die Geschwindigkeiten der beiden Pendel ˙⃗r i = (l ˙α i cosα i , l ˙α i sinα i ) bzw.
deren Quadrate ˙⃗r 2 i = l 2 ˙α 2 i
(i ∈ {1, 2}).
Daraus erhalten wir zunächst ganz allgemein die kinetische Energie:
T( ˙α 1 , ˙α 2 ) = 1 2 ml2 ( ˙α 2 1 + ˙α2 2 ) (48)
Die potentielle Energie setzt sich aus dem Potential der Feder:
und der Lageenergie:
U F = 1 2 f (x 2 − x 1 ) 2 = 1 2 f (sinα 2 − sinα 1 ) 2 (49)
zusammen also:
U G = mg(y 1 + y 2 ) = mgl(−cosα 1 − cosα 2 ) = −mgl(cosα 1 + cosα 2 ) (50)
U(α 1 , α 2 ) = U F (α 1 , α 2 ) + U G (α 1 , α 2 ) = 1 2 ml2 ( ˙α 2 1 + ˙α2 2 ) − mgl(cosα 1 + cosα 2 ) (51)
Nun wenden wir die Kleinwinkelnäherung an, um die Bewegungsgleichungen aufzustellen.
Für den Sinus gilt dann sinα = α+O(α 3 ) und für den Kosinus cosα = 1− 1 2 α2 +O(α 4 ).
Setzt man dies in (48) und (51) ein, so erhält man, nach Vernachlässigung konstanter Terme,
die Lagrangefunktion:
L = T − U = 1 2 ml2 ( ˙α 2 1 + ˙α2 2 ) − 1 2 f l2 (α 2 − α 1 ) 2 − 1 2 mgl(α2 1 + α2 2 ) (52)
Die Bewegungsgleichungen erhalten wir aus den Euler-Lagrange-Gleichungen von (52):
(
d ∂L
dt
d
dt
∂ ˙α 1
)
− ∂L
= ml 2 ¨α 1 − f l 2 (α 2 − α 1 ) + mglα 1 = 0
∂α 1
( ) ∂L
− ∂L = ml 2 ¨α 2 + f l 2 (α 2 − α 1 ) + mglα 2 = 0
∂ ˙α 2 ∂α 2
(53)
Dies kann noch vereinfacht werden zu:
¨α 1 = f m (α 2 − α 1 ) − g l α 1
¨α 2 = − f m (α 2 − α 1 ) − g l α 2
(54)
Technische Universität München 14 Fakultät für Physik