Lösung zur Probeklausur - Technische Universität München

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Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht 13.09.2013 Hier haben wir die Winkelgeschwindigkeit bezüglich der sogenannten momentanen Drehachse berechnet. Dabei handelt es sich um die Achse, um die der starre Körper in einem festem Zeitpunkt eine reine Rotation ausführt. In dem vorliegenden Beispiel ist dies gerade die Berührungsachse von Körper und schiefer Ebene. Bemerkung: Die Wahl der Berührungsachse als momentaner Drehachse ist äquivalent zur Rollbedingung; diese Wahl stellt sicher, dass der Körper in der Tat rollt und nicht rutscht (reines Abrollen um die Berührungsachse). Würde man eine andere Achse als momentane Drehachse wählen, so würde der Körper auf der schiefen Ebene zusätzlich rutschen. Das kann man sich anhand von zwei Extremfällen klarmachen: Ist die momentane Drehachse im Unendlichen, so entspricht dies dem Fall des Rutschens ohne zu rollen. Verläuft die momentane Drehachse durch das Zentrum des Körpers, so handelt es sich um eine reine Rotation, ohne Bewegung des Schwerpunkts, gleich einem durchdrehenden Reifen. Die Wahl der Berührungsachse als momentane Drehachse ist also in der Tat äquivalent zur Rollbedingung. Mit der kinetischen Energie der Schwerpunktsbewegung (M K = M Z = M, R K = R Z = R): und der Rotationsenergie um den Schwerpunkt: T trans = 1 2 M ⃗V 2 = 1 2 MR2 ˙ϕ 2 (41) T rot,i = 1 2 I iω 2 i = 1 2 I i ˙ϕ 2 (42) (i ∈ {K, Z}), lautet die kinetische Energie für Kugel bzw. Zylinder: T K = T trans + T rot,K = 1 2 MR2 ˙ϕ 2 + 1 2 I K ˙ϕ 2 = 7 10 MR2 ˙ϕ 2 T Z = T trans + T rot,Z = 1 2 MR2 ˙ϕ 2 + 1 2 I Z ˙ϕ 2 = 3 4 MR2 ˙ϕ 2 (43) Wir legen den Nullpunkt der potentiellen Energie in (0, R) des angegebenen Koordinatensystems. Dann ist die Lageenergie für beide Körper jeweils gegeben durch: Die Lagrange-Funktion für Kugel bzw. Kegel ist damit: U = −Mgx s sinα = −MgRϕsinα (44) L K = T K − U = 7 10 MR2 ˙ϕ 2 + MgRϕsinα L Z = T Z − U = 3 4 mR2 ˙ϕ 2 + MgRϕsinα (45) 3. Die Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben für die Kugel: und für den Zylinder: ¨ϕ = 5 gsinα 7 R (46) Technische Universität München 12 Fakultät für Physik
Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht 13.09.2013 ¨ϕ = 2 gsinα 3 R (47) Offenbar ist die (konstante) Beschleunigung für die Kugel, a K = R ¨ϕ = 15 21gsinα, größer als die Beschleunigung für den Zylinder, a Z = R ¨ϕ = 14 21gsinα, sodass die Kugel schneller unten ankommen wird als der Zylinder. 5 Gekoppelte Pendel [15 Punkte] Zwei gleiche Pendel (Masse m, Länge l) sind durch eine masselose, ideale Feder (Federkonstante f) verbunden und bewegen sich im homogenen Schwerefeld der Erde. Die Ruhelänge a der Feder ist gleich dem Abstand der Pendel in der Ruhelage (siehe Abbildung). Es wirken keine weiteren Kräfte. Man kann annehmen, dass bei kleinen Auslenkungen α 1 , α 2 das von der Feder erzeugte Potential nur vom horizontalen Abstand der Pendel abhängt. 1. Formulieren Sie im Falle kleiner Auslenkungen α 1 und α 2 die Lagrangefunktion und die Bewegungsgleichungen. [4 Punkte] 2. Welche Eigenfrequenzen und Normalschwingungen (Eigenvektoren) hat das System? Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. [4 Punkte] 3. Berechnen Sie α 1 (t) und α 2 (t) für die Anfangsbedingungen α 1 (0) = ˙α 1 (0) = ˙α 2 (0) = 0; α 2 (0) = α 0 . [4 Punkte] 4. Betrachten Sie das System im Limes schwacher Kopplung, d.h. l f ≪ mg und diskutieren Sie das Ergebnis. [3 Punkte] Technische Universität München 13 Fakultät für Physik
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