Lösung zur Probeklausur - Technische Universität München

Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht 13.09.2013
Hier haben wir die Winkelgeschwindigkeit bezüglich der sogenannten momentanen Drehachse
berechnet. Dabei handelt es sich um die Achse, um die der starre Körper in einem
festem Zeitpunkt eine reine Rotation ausführt. In dem vorliegenden Beispiel ist dies gerade
die Berührungsachse von Körper und schiefer Ebene.
Bemerkung: Die Wahl der Berührungsachse als momentaner Drehachse ist äquivalent zur
Rollbedingung; diese Wahl stellt sicher, dass der Körper in der Tat rollt und nicht rutscht
(reines Abrollen um die Berührungsachse). Würde man eine andere Achse als momentane
Drehachse wählen, so würde der Körper auf der schiefen Ebene zusätzlich rutschen. Das
kann man sich anhand von zwei Extremfällen klarmachen: Ist die momentane Drehachse
im Unendlichen, so entspricht dies dem Fall des Rutschens ohne zu rollen. Verläuft die
momentane Drehachse durch das Zentrum des Körpers, so handelt es sich um eine reine
Rotation, ohne Bewegung des Schwerpunkts, gleich einem durchdrehenden Reifen. Die
Wahl der Berührungsachse als momentane Drehachse ist also in der Tat äquivalent zur
Rollbedingung.
Mit der kinetischen Energie der Schwerpunktsbewegung (M K = M Z = M, R K = R Z = R):
und der Rotationsenergie um den Schwerpunkt:
T trans = 1 2 M ⃗V 2 = 1 2 MR2 ˙ϕ 2 (41)
T rot,i = 1 2 I iω 2 i = 1 2 I i ˙ϕ 2 (42)
(i ∈ {K, Z}), lautet die kinetische Energie für Kugel bzw. Zylinder:
T K = T trans + T rot,K = 1 2 MR2 ˙ϕ 2 + 1 2 I K ˙ϕ 2 = 7
10 MR2 ˙ϕ 2
T Z = T trans + T rot,Z = 1 2 MR2 ˙ϕ 2 + 1 2 I Z ˙ϕ 2 = 3 4 MR2 ˙ϕ 2 (43)
Wir legen den Nullpunkt der potentiellen Energie in (0, R) des angegebenen Koordinatensystems.
Dann ist die Lageenergie für beide Körper jeweils gegeben durch:
Die Lagrange-Funktion für Kugel bzw. Kegel ist damit:
U = −Mgx s sinα = −MgRϕsinα (44)
L K = T K − U = 7
10 MR2 ˙ϕ 2 + MgRϕsinα
L Z = T Z − U = 3 4 mR2 ˙ϕ 2 + MgRϕsinα
(45)
3. Die Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben für die Kugel:
und für den Zylinder:
¨ϕ = 5 gsinα
7 R
(46)
Technische Universität München 12 Fakultät für Physik