Ferienkurs Experimentalphysik 4 - Vorlesung 1
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2.2 Schrödinger-Gleichung Die Dynamik eines Zustandes, also dessen zeitliche Entwicklung, wird durch eine Differentialgleichung, im nicht relativisitschen Grenzfall ist das die Schrödinger-Gleichung, beschrieben. i ∂ [ ] ∂t Ψ(t, r) = − 2 2m ∇2 + V (t, r) Ψ(t, r) = ĤΨ(t, r) (12) Hierbei ist Ĥ der Hamiltonoperator, der Operator der Gesamtenergie. Für viele Probleme genügt die Beschreibung durch ein stationäres d.h. zeitunabhängiges Potential V (t, r) = V (r), und man sieht sofort, dass damit auch der Hamiltonoperator also die Gesamtenergie nichtmehr von der Zeit abhängt: E = const. In diesem Fall führt ein einfacher Separationsansatz auf die stationäre Schrödinger-Gleichung Ψ(t, r) = Ψ(t = 0, r)e −iωt = ψ(r)e − i Et , (13) Ĥψ(r) = ] [− 2 2m ∇2 + V (r) ψ(r) = Eψ(r). (14) Da die Schrödinger-Gleichung eine lineare (in Ψ) homogene DGL ist, können verschiedene Lösungen linear überlagert werden (Superpositionsprinzip), d.h. mit den Lösungen ψ 1 und ψ 2 ist auch ψ 3 = aψ 1 +bψ 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung. Die Schrödinger- Gleichung sollte als Eigenwertgleichung für die Wellenfunktion Ψ aufgefasst werden. Die eigentliche Aufgabe besteht nun darin, für ein vorgegebenes Potential V (r) die Wellenfunktion zu finden, die die Schrödinger-Gleichung löst. Das heißt die Lösungen ergeben sich aus den Randbedingungen die an das System gestellt werden. Leider lassen sich nur wenige Potentiale exakt analytisch lösen, im Eindimensionalen gibt es jedoch eine Reihe von ’Standardtypen’ wie z.B. den unendlich hohen Potentialtopf, die Potentialbarriere oder den harmonischen Oszillator (dieser verlangt jedoch etwas mehr Rechenaufwand). 2.3 Observablen, Eigenwerte und Eigenfunktionen Klassische Messgrößen werden in der Quantenmechanik durch sog. Observablen A ausgedrückt wobei jeder dieser physikalischen Größen (z.B. Energie, Impuls, Drehimpuls, Ort, ...) ein Operator  zugeordnet wird, der sie mit der Zustandsfunktion verknüpft. Prinzipell sind im Sinne der Wahrscheinlichkeitsinterpretation nur Erwartungswerte von Observablen zugänglich. Für den Erwartungswert 〈A〉 einer Observable A gilt 4
ˆ 〈A〉 = d 3 r Ψ ∗ (t, r)ÂΨ(t, r) (15) Der Operator  wird also auf die Zustandsfunktion Ψ(t, r) angewendet. Eine entscheidende Größe zur Charakterisierung des Erwartungswertes ist die Standardabweichung ∆A, welche sich berechnet als √ ∆A = 〈A 2 〉 − 〈A〉 2 . (16) Als Ergebnis einer Messung der Observable A an einem System Ψ(t, r) erwarten wir also Messergebnisse die mit der Standardabweichung ∆A um den Erwartungswert 〈A〉 streuen. Im Spezialfall, dass Ψ(t, r) eine Eigenfunktion zum Operator  ist, sprich ÂΨ(t, r) = aΨ(t, r), ist der Erwartungswert ˆ 〈A〉 = ˆ d 3 r Ψ ∗ (t, r) ÂΨ(t, r) = a } {{ } =aΨ(t,r) ˆ d 3 r Ψ ∗ (t, r)Ψ(t, r) = a d 3 r |Ψ(t, r)| 2 = a, (17) ganz einfach durch den Eigenwert gegeben. In diesem Fall verschwindet die mittlere quadratische Schwankung und man misst (bis auf experimentelle Messfehler) immer den gleichen Wert, der Zustand ist scharf bestimmt. Da physikalische Größen reell sein sollen, werden diese ausschließlich durch Operatoren mit reellen Eigenwerten beschrieben. Man nennt diese Operatoren hermitesch. Dies bedeutet, dass der Operator  und sein Adjungiertes † gleich sind, also  = † . Hermitesche Operatoren haben die Eigenschaft, dass ihre Eigenfunktionen ein vollständiges System (d.h. eine Basis des Hilbertraumes) bilden, in die sich alle anderen Funktionen entwickeln lassen. Falls zwei Operatoren  und ˆB vertauschbar sind, d.h. der Kommutator [Â, ˆB] =  ˆB − ˆB (18) verschwindet, haben die Operatoren die gleichen Eigenfunktionen und somit lassen sich die Erwartungswerte 〈A〉 und 〈B〉 gleichzeitig scharf messen. Ein wichtiger Spezialfall ist der Kommutator zwischen dem Hamiltonoperator Ĥ und einem Operator Â. Ist dieser gleich Null, so ist die zum Operator  gehörende Observable A eine Erhaltungsgröße des Systems. Um von klassischen Messgrößen auf die zugehörigen quantenmechanischen Operatoren (im Orstraum) zu kommen benutzt man folgende, sog. kanonische Ersetzungsregeln. 5
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ˆ<br />
〈A〉 =<br />
d 3 r Ψ ∗ (t, r)ÂΨ(t, r) (15)<br />
Der Operator  wird also auf die Zustandsfunktion Ψ(t, r) angewendet. Eine entscheidende<br />
Größe zur Charakterisierung des Erwartungswertes ist die Standardabweichung<br />
∆A, welche sich berechnet als<br />
√<br />
∆A = 〈A 2 〉 − 〈A〉 2 . (16)<br />
Als Ergebnis einer Messung der Observable A an einem System Ψ(t, r) erwarten wir<br />
also Messergebnisse die mit der Standardabweichung ∆A um den Erwartungswert 〈A〉<br />
streuen.<br />
Im Spezialfall, dass Ψ(t, r) eine Eigenfunktion zum Operator  ist, sprich ÂΨ(t, r) =<br />
aΨ(t, r), ist der Erwartungswert<br />
ˆ<br />
〈A〉 =<br />
ˆ<br />
d 3 r Ψ ∗ (t, r) ÂΨ(t, r) = a<br />
} {{ }<br />
=aΨ(t,r)<br />
ˆ<br />
d 3 r Ψ ∗ (t, r)Ψ(t, r) = a<br />
d 3 r |Ψ(t, r)| 2 = a, (17)<br />
ganz einfach durch den Eigenwert gegeben. In diesem Fall verschwindet die mittlere<br />
quadratische Schwankung und man misst (bis auf experimentelle Messfehler) immer den<br />
gleichen Wert, der Zustand ist scharf bestimmt. Da physikalische Größen reell sein sollen,<br />
werden diese ausschließlich durch Operatoren mit reellen Eigenwerten beschrieben. Man<br />
nennt diese Operatoren hermitesch. Dies bedeutet, dass der Operator  und sein Adjungiertes<br />
† gleich sind, also  = † . Hermitesche Operatoren haben die Eigenschaft,<br />
dass ihre Eigenfunktionen ein vollständiges System (d.h. eine Basis des Hilbertraumes)<br />
bilden, in die sich alle anderen Funktionen entwickeln lassen. Falls zwei Operatoren Â<br />
und ˆB vertauschbar sind, d.h. der Kommutator<br />
[Â, ˆB]<br />
= Â ˆB − ˆBÂ (18)<br />
verschwindet, haben die Operatoren die gleichen Eigenfunktionen und somit lassen sich<br />
die Erwartungswerte 〈A〉 und 〈B〉 gleichzeitig scharf messen. Ein wichtiger Spezialfall ist<br />
der Kommutator zwischen dem Hamiltonoperator Ĥ und einem Operator Â. Ist dieser<br />
gleich Null, so ist die zum Operator  gehörende Observable A eine Erhaltungsgröße<br />
des Systems. Um von klassischen Messgrößen auf die zugehörigen quantenmechanischen<br />
Operatoren (im Orstraum) zu kommen benutzt man folgende, sog. kanonische Ersetzungsregeln.<br />
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