Ferienkurs Experimentalphysik 4 - Vorlesung 1

2.2 Schrödinger-Gleichung
Die Dynamik eines Zustandes, also dessen zeitliche Entwicklung, wird durch eine Differentialgleichung,
im nicht relativisitschen Grenzfall ist das die Schrödinger-Gleichung,
beschrieben.
i ∂ [
]
∂t Ψ(t, r) = − 2
2m ∇2 + V (t, r) Ψ(t, r) = ĤΨ(t, r) (12)
Hierbei ist Ĥ der Hamiltonoperator, der Operator der Gesamtenergie. Für viele Probleme
genügt die Beschreibung durch ein stationäres d.h. zeitunabhängiges Potential
V (t, r) = V (r), und man sieht sofort, dass damit auch der Hamiltonoperator also die
Gesamtenergie nichtmehr von der Zeit abhängt: E = const. In diesem Fall führt ein
einfacher Separationsansatz
auf die stationäre Schrödinger-Gleichung
Ψ(t, r) = Ψ(t = 0, r)e −iωt = ψ(r)e − i Et , (13)
Ĥψ(r) =
]
[− 2
2m ∇2 + V (r) ψ(r) = Eψ(r). (14)
Da die Schrödinger-Gleichung eine lineare (in Ψ) homogene DGL ist, können verschiedene
Lösungen linear überlagert werden (Superpositionsprinzip), d.h. mit den Lösungen ψ 1
und ψ 2 ist auch ψ 3 = aψ 1 +bψ 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung. Die Schrödinger-
Gleichung sollte als Eigenwertgleichung für die Wellenfunktion Ψ aufgefasst werden. Die
eigentliche Aufgabe besteht nun darin, für ein vorgegebenes Potential V (r) die Wellenfunktion
zu finden, die die Schrödinger-Gleichung löst. Das heißt die Lösungen ergeben
sich aus den Randbedingungen die an das System gestellt werden. Leider lassen sich nur
wenige Potentiale exakt analytisch lösen, im Eindimensionalen gibt es jedoch eine Reihe
von ’Standardtypen’ wie z.B. den unendlich hohen Potentialtopf, die Potentialbarriere
oder den harmonischen Oszillator (dieser verlangt jedoch etwas mehr Rechenaufwand).
2.3 Observablen, Eigenwerte und Eigenfunktionen
Klassische Messgrößen werden in der Quantenmechanik durch sog. Observablen A ausgedrückt
wobei jeder dieser physikalischen Größen (z.B. Energie, Impuls, Drehimpuls,
Ort, ...) ein Operator  zugeordnet wird, der sie mit der Zustandsfunktion verknüpft.
Prinzipell sind im Sinne der Wahrscheinlichkeitsinterpretation nur Erwartungswerte
von Observablen zugänglich. Für den Erwartungswert 〈A〉 einer Observable A gilt
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