Ferienkurs Experimentalphysik 4 - Vorlesung 1

1 Das Bohrsche Atommodell
1.1 Bohrsche Postulate
Bohr formulierte sein Modell, indem er das rutherfordsche Modell um drei Postulate
erweiterte. Sie lauten:
• Elektronen bewegen sich auf stabilen Kreisbahnen um den Atomkern. Anders als es
die Theorie der Elektrodynamik vorhersagt, strahlen die Elektronen beim Umlauf
keine Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung ab. Elektronen quasi als
stehende Welle.
• Der Radius der Elektronenbahn ändert sich nicht kontinuierlich, sondern sprunghaft.
Bei diesem Quantensprung wird elektromagnetische Strahlung abgegeben
(oder aufgenommen), deren Frequenz sich aus dem von Max Planck entdeckten
Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz von Licht ergibt. Wenn E n1 die
Energie des Ausgangszustands und E n2 die Energie des Zielzustands ist, dann
wird ein Lichtquant emittiert mit der Frequenz ν der ausgesandten Strahlung
ν = (E n1 − E n2 )/h.
• Elektronenbahnen sind nur stabil, wenn der Bahndrehimpuls L des Elektrons
ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten planckschen Wirkungsquantums ist.
(Bohr-Sommerfeld Qunatisierung)
1.2 Mathematische Formulierung
Im Bohrschen Atommodell bewegt sich das Elektron (Masse m e , Ladung e) mit der
Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn (Orbital) mit Radius r um den Schwerpunkt
des Systems aus Elektron und Kern (Masse m K , Ladung Ze). Dies lässt sich durch
die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse µ = m e m K /(m e + m K ) ≈ m e
(m e ≪ m K ) um das Zentrum des Coulombpotentials im Kern bei r = 0 beschreiben.
Aus der Beziehung F Z = F C , also
µv 2
r
= 1
4πɛ 0
Ze 2
r 2 , (1)
ergibt sich der Radius der Kreisbahn
r =
Ze2
4πɛ 0 µv 2 , (2)
der jeden möglichen Wert annehmen kann. Setzt man jedoch für das Elektron seine
Materiewelle an, so muss es sich bei dieser um eine stehende Welle handeln, damit
das Elektron das Atom nicht verlässt. Der Umfang U = 2πr der Kreisbahn muss also
einem ganzzahligen Vielfachen der de-Broglie-Wellenlänge λ entsprechen, das ist die
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