Ferienkurs Experimentalphysik 4 - Vorlesung 1
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nicht gleichzeitig scharf gemessen werden. ˆL x und ˆL y sind aber in ihren Werten über die Relation ˆL 2 x + ˆL 2 y = ˆL 2 − ˆL 2 z (33) beschränkt. Dabei wurde als sog. Quantisierungsachse gemäß Konvention die z-Achse gewählt. Der Drehimpulsvektor ˆL hat also eine wohldefinierte Länge und Projektion auf die Quantisierungsachse, er präzediert somit um die Quantisierungsachse (vgl. Abb. 3). Abb. 3: Mögliche Richtungen eines Drehimpulses mit definierter Komponente (Quantisierungsachse) 〈L z 〉 = m l und definiertem Betrag |L| = √ l(l + 1). 4 Spin Zusätzlich zu den klassisch bereits bekannten Freiheitsgraden, besitzen alle Teilchen einen weiteren inneren Freiheitsgrad, den Spin Ŝ . Dieser besitzt kein klassisches Analogon, lässt sich jedoch über weite Strecken als Eigendrehimpuls eines Teilchens verstehen. Wie jeder Drehimpuls ist auch der Spin mit einem magnetischem Moment µ verknüpft. Der Spin folgt somit den selben Gesetzmäßigkeiten wie der Bahndrehimpuls und besitzt daher die Erwartungswerte 〈Ŝ 2〉 〈Ŝz 〉 = 2 s(s + 1), (34a) = m s . (34b) Für das Elektron ist die Spinquantenzahl s = 1/2 und somit m s = ±1/2. Die Zustände mit m s = 1/2 werden als Spin-Up, die mit m s = −1/2 als Spin-Down bezeichnet. Alle 10
anderen Eigenschaften der Zustände bleiben erhalten, der Spin kann also stets separat betrachtet werden. Das bedeutet, die Gesamtwellenfunktion lässt sich separieren in den bisher betrachteten Ortsanteil Ψ(t, r) sowie einen Spinanteil χ(s) Ψ s (t, r) = Ψ(t, r)χ(s) (35) Generell treten in der Natur zwei Arten von Teilchen auf, solche mit ganzzahliger Spinquantenzahl und solche mit halbzahliger Spinquantenzahl. s = 1 2 : Fermionen s = 1 : Bosonen 5 Fermionen und Bosonen Alle Elementarteilchen lassen sich in Fermionen(halbzahliger) und Bosonen(ganzzahliger Spin) aufteilen. Der wesentliche Unterschied zwischen Fermionen und Bosonen (abgesehen vom Spin) tritt erst in Mehrteilchenproblemen auf. Betrachten wir beispielsweise ein Zweiteilchen-Quantensystem aus zwei identischen Teilchen. Grundsätzlich sind identische Teilchen ununterscheidbar, das heißt die sämtliche Observablen (und damit das Betragsquadrat der Wellenfunktion) müssen invariant unter Austausch beider Teilchen sein: |Ψ(r 1 , r 2 )| 2 = |Ψ(r 2 , r 1 )| 2 . (37) Für die Wellenfunktion ergeben sich demnach bei Austausch identischer Teilchen zwei Transformationsmöglichkeiten { + für Bosonen, Ψ(r 1 , r 2 ) = ±Ψ(r 2 , r 1 ) mit (38) − für Fermionen. Daraus ergeben sich sehr weitreichende Konsequenzen. Betrachten wir ein System aus zwei identischen Teilchen. In Abwesenheit einer Wechselwirkung zwischen den Teilchen können wir die Wellenfunktion separieren und erhalten Ψ(r 1 , r 2 ) = Ψ a (r 1 )Ψ b (r 2 ), (39) wobei a und b für einen Satz von sämtlichen weiteren Quantenzahlen (z.B. Spin) steht. Berücksichtigt man nun (38) so ist klar, dass wir die Wellenfunktion symmetrisieren bzw. anti-symmetriesieren müssen damit Sie die gewünschte Austauschsymmetrie widerspiegelt: Ψ ± (r 1 , r 2 ) = C (Ψ a (r 1 )Ψ b (r 2 ) ± Ψ a (r 2 )Ψ b (r 1 )) . (40) 11
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anderen Eigenschaften der Zustände bleiben erhalten, der Spin kann also stets separat<br />
betrachtet werden. Das bedeutet, die Gesamtwellenfunktion lässt sich separieren in den<br />
bisher betrachteten Ortsanteil Ψ(t, r) sowie einen Spinanteil χ(s)<br />
Ψ s (t, r) = Ψ(t, r)χ(s) (35)<br />
Generell treten in der Natur zwei Arten von Teilchen auf, solche mit ganzzahliger Spinquantenzahl<br />
und solche mit halbzahliger Spinquantenzahl.<br />
s = 1 2 : Fermionen<br />
s = 1 : Bosonen<br />
5 Fermionen und Bosonen<br />
Alle Elementarteilchen lassen sich in Fermionen(halbzahliger) und Bosonen(ganzzahliger<br />
Spin) aufteilen. Der wesentliche Unterschied zwischen Fermionen und Bosonen (abgesehen<br />
vom Spin) tritt erst in Mehrteilchenproblemen auf. Betrachten wir beispielsweise<br />
ein Zweiteilchen-Quantensystem aus zwei identischen Teilchen. Grundsätzlich sind identische<br />
Teilchen ununterscheidbar, das heißt die sämtliche Observablen (und damit das<br />
Betragsquadrat der Wellenfunktion) müssen invariant unter Austausch beider Teilchen<br />
sein:<br />
|Ψ(r 1 , r 2 )| 2 = |Ψ(r 2 , r 1 )| 2 . (37)<br />
Für die Wellenfunktion ergeben sich demnach bei Austausch identischer Teilchen zwei<br />
Transformationsmöglichkeiten<br />
{<br />
+ für Bosonen,<br />
Ψ(r 1 , r 2 ) = ±Ψ(r 2 , r 1 ) mit<br />
(38)<br />
− für Fermionen.<br />
Daraus ergeben sich sehr weitreichende Konsequenzen. Betrachten wir ein System aus<br />
zwei identischen Teilchen. In Abwesenheit einer Wechselwirkung zwischen den Teilchen<br />
können wir die Wellenfunktion separieren und erhalten<br />
Ψ(r 1 , r 2 ) = Ψ a (r 1 )Ψ b (r 2 ), (39)<br />
wobei a und b für einen Satz von sämtlichen weiteren Quantenzahlen (z.B. Spin) steht.<br />
Berücksichtigt man nun (38) so ist klar, dass wir die Wellenfunktion symmetrisieren<br />
bzw. anti-symmetriesieren müssen damit Sie die gewünschte Austauschsymmetrie widerspiegelt:<br />
Ψ ± (r 1 , r 2 ) = C (Ψ a (r 1 )Ψ b (r 2 ) ± Ψ a (r 2 )Ψ b (r 1 )) . (40)<br />
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