Ferienkurs Experimentalphysik 4 - Vorlesung 1

Für die anderen Raumrichtungen eines dreidimensionalen Wellenpaketes erhält man analoge
Ungleichungen. Die Konsequenz dieser Orts-Impuls-Unschärfe ist, dass der Ort und
der Impuls eines Teilchens nicht beliebig genau bestimmbar, sondern immer mit einer
Unschärfe behaftet sind (vgl. Abb. 2). Man kann die Unschärferelation also als direkte
Konsequenz der Normierungsbestimmung und somit der Wahrscheinlichkeitsinterpretation
verstehen, nur durch Sie waren wir gezwungen überhaupt Wellenpakete zur Beschreibung
von Teilchen anstatt einfacher Ebener Wellen einzuführen.
3 Drehimpuls in der Quantenmechanik
Für den Drehimpulsoperator ˆL = r × ˆp = −i(r × ∇) erhält man in kartesischen
bzw. sphärischen Koordinaten
(
ˆL x = −i y ∂ ∂z − z ∂ ) (
= i sin ϕ ∂
)
∂
+ cot ϑ cos ϕ , (28)
∂y
∂ϑ ∂ϕ
(
ˆL y = −i z ∂
∂x − x ∂ ) (
= i − cos ϕ ∂
)
∂
+ cot ϑ sin ϕ , (29)
∂z
∂ϑ ∂ϕ
(
ˆL z = −i x ∂ ∂y − y ∂ )
= −i ∂
∂x ∂ϕ . (30)
Damit ergibt sich für den Operator des Drehimpuls-Betragsquadrats
[ (
ˆL 2 = ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL 1
2
z = − 2 ∂
sin ϑ ∂ )
+ 1 ]
∂ 2
sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin 2 = − 2 ∇ 2
ϑ ∂ϕ
ϑ,ϕ. (31)
2
Offensichtlich ist ˆL 2 proportional zum Winkelanteil des Laplace-Operators. Dies bedeutet,
dass die Kugelflächenfunktionen Y lm (ϑ, ϕ) Eigenfunktionen des Operators ˆL 2
sind. Des Weiteren sind die Kugelflächenfunktionen auch Eigenfunktionen zum Operator
ˆL z . Die Eigenwertgleichungen lauten
ˆL 2 Y lm (ϑ, ϕ) = 2 l(l + 1)Y lm (ϑ, ϕ) mit l = 0, 1, ... (32a)
ˆL z Y lm (ϑ, ϕ) = m l Y lm (ϑ, ϕ) mit m l = −l, ..., l. (32b)
Wir nennen m l die magnetische Quantenzahl. Die Operatoren ˆL 2 und ˆL z haben also
die gleichen Eigenfunktionen und sind somit gleichzeitig scharf messbar. Im Gegensatz
ist keine gleichzeitige scharfe Messung von ˆL x und ˆL y möglich.
Allgemein kann man zeigen, dass der Betrag und eine Richtung des Drehimpulses gleichzeitig
scharf gemessen werden können. Einzelne Richtungskomponenten jedoch können
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