Skript
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3.3 Distributionen Eine Distribution ordnet also jeder Testfunktion eine Zahl zu. 3.3.2 Die Dirac-Delta-Distribution Definition 9 (δ-Distribution) F δ (φ) = ∫ ∞ δ(x)φ(x)dx := φ(0) (3.45) −∞ Definition 10 (Physiker-Definition) δ(x) = { ∫∞ 0 x ≠ 0 ∞ x = 0 und −∞ δ(x)dx = 1 (3.46) Diese Definition ist zwar anschaulich und in der Physik üblich, mathematisch jedoch nicht korrekt. 3.3.3 Eigenschaften der δ-Distribution Faltungssatz ∫ ∞ −∞ f(x)δ(x − a)dx = ∫ ∞ −∞ f(x)δ(a − x)dx = f(a) (3.47) Fouriertransformation F(δ(φ)) = 1 (3.48) Skalierung δ(ax) = 1 δ(x) (3.49) |a| Stammfunktion Achtung: Nur bei Auffassung der δ-Distribution als Funktion (mathematisch inkorrekt). Θ(t) ist die Heaviside-Sprung-Funktion. δ(t) = d Θ(t) (3.50) dt 11
3 Fourier Analysis Ableitung Achtung: Nur bei Auffassung der δ-Distribution als Funktion (mathematisch inkorrekt). ∫ ∞ −∞ δ n (x) ist die n-te Ableitung der δ-Distribution. f(x)δ n (x)dx = (−1) n f (n) (0) (3.51) 12
- Seite 1 und 2: 3 Fourier Analysis 3.1 Fourier-Reih
- Seite 3 und 4: 3 Fourier Analysis Also: f(x) unger
- Seite 5: 3 Fourier Analysis Höhere Ableitun
3.3 Distributionen<br />
Eine Distribution ordnet also jeder Testfunktion eine Zahl zu.<br />
3.3.2 Die Dirac-Delta-Distribution<br />
Definition 9 (δ-Distribution)<br />
F δ (φ) =<br />
∫ ∞<br />
δ(x)φ(x)dx := φ(0) (3.45)<br />
−∞<br />
Definition 10 (Physiker-Definition)<br />
δ(x) =<br />
{ ∫∞<br />
0 x ≠ 0<br />
∞ x = 0 und<br />
−∞<br />
δ(x)dx = 1 (3.46)<br />
Diese Definition ist zwar anschaulich und in der Physik üblich, mathematisch jedoch nicht korrekt.<br />
3.3.3 Eigenschaften der δ-Distribution<br />
Faltungssatz<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
f(x)δ(x − a)dx =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
f(x)δ(a − x)dx = f(a) (3.47)<br />
Fouriertransformation<br />
F(δ(φ)) = 1 (3.48)<br />
Skalierung<br />
δ(ax) = 1 δ(x) (3.49)<br />
|a|<br />
Stammfunktion<br />
Achtung: Nur bei Auffassung der δ-Distribution als Funktion (mathematisch inkorrekt).<br />
Θ(t) ist die Heaviside-Sprung-Funktion.<br />
δ(t) = d Θ(t) (3.50)<br />
dt<br />
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