Skript

3.2 Fouriertransformation
Bemerkung 4 (Integrabilität) Die zu transformierende Funktion f muss über R integrierbar sein,
∞∫
also |f(t)| < ∞, woraus insbesondere folgt, dass f(t) → 0 für |t| → ∞
−∞
Definition 4 (Rücktransformation) Die Fourier-Rücktransformation ist gegeben durch:
F −1 [f](ω) =
∫ ∞
e iωt f(t)dt (3.23)
−∞
3.2.1 Eigenschaften der Fouriertransformation
Linearität
Beweis: trivial
F(f 1 + f 2 ) = F(f 1 ) + F(f 2 ) (3.24)
F(αf 1 ) = αF(f 1 ) ∀α ∈ R (3.25)
Verschiebungssatz
Beweis:
F(f(t + k)) = e iωk F(f(t)) (3.26)
F(f(t + k)) = 1
2π
= 1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
= 1
2π eiωk
e −iωt f(t + k)dt t′ :=t+k
= (3.27)
e −iω(t′ −k) f(t ′ )dt ′ = (3.28)
∫∞
−∞
e −iω(t′) f(t ′ )dt ′ = (3.29)
= e iωk F(f(t)) (3.30)
Differentation
Beweis:
F(f (n) (t)) = (iω) n F(f(t)) (3.31)
∫ ∞
F(f ′ (t)) = 1
2π
⎡
−∞
e −iωt f ′ (t)dt (3.32)
∫ ∞
= 1 ⎢
⎣ [ e −iωt f(t) ] ∞
− −iωe −iωt ⎥
f(t)dt
2π
−∞
⎦ (3.33)
} {{ }
=0
−∞
= iωF(f(t)) (3.34)
⎤
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