Skript

3.1 Fourier-Reihen
Bemerkung 2 (Schreibweise) Häufig betrachtet man nicht die vollständige Fourierreihe, sondern
nur das trigonometrische Polynom bis zur n-ten Ordnung:
S f,n (x) = a n∑
0
2 + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) (3.6)
k=1
Zur besseren Unterscheidbarkeit zwischen einer Funktion und ihrer (vollständigen) Fourierreihe wird
häufig auch S f ≡ S f,∞ = a 0
2
+ ∑ ∞
k=1 (a kcos(kx) + b k sin(kx)) geschrieben.
Die Fourier-Koeffizienten sind gegeben durch
a k = 1 π
∫
c+2π
f(x)cos(kx)dx für k = 0, 1, 2, ... (3.7)
c
b k = 1 π
∫
c+2π
f(x)sin(kx)dx für k = 1, 2, ... (3.8)
c
Die Konstante c kann beliebig gewählt werden.
Die Fourier-Koeffizienten ergeben sich aus den Orthogonalitätsrelationen:
1
π
1
π
∫ π
−π
∫ π
−π
1
π
∫ π
−π
sin(nx)sin(mx)dx = δ nm (3.9)
cos(nx)cos(mx)dx = δ nm (3.10)
sin(nx)cos(mx)dx = 0 (3.11)
3.1.3 Symmetriebetrachtungen
Eine Funktion f heißt gerade, wenn gilt: f(−x) = f(x).
Eine Funktion f heißt ungerade, wenn gilt: f(−x) = −f(x).
Das Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion. Das
Produkt zweier (un)gerader Funktionen ist eine gerade Funktion.
Klar ist auch, dass für eine ungerade Funktion u gilt:
π∫
−π
u(x)dx = 0.
cos(x) ist eine gerade Funktion. Daher verschwinden für eine ungerade Funktion f die Koeffizienten
a k . Die Fourierreihe besteht dann nur aus den Sinus-Gliedern.
sin(x) ist eine ungerade Funktion. Daher verschwinden für eine gerade Funktion f die Koeffizienten
b k . Die Fourierreihe besteht dann nur aus den Cosinus-Gliedern.
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