Skript

3 Fourier Analysis
3.1 Fourier-Reihen
Als Fourier-Reihe bezeichnet man die Entwicklung einer periodischen Funktion nach dem Funktionensystem
cos(kx), sin(kx) (k ∈ N) (3.1)
Im Gegensatz zu den Taylor-Reihen können durch Fourier-Reihen auch periodische Funktionen dargestellt
werden, die nur stückweise stetig differenzierbar sind und deren Ableitungen Sprungstellen
haben.
3.1.1 Periodische Funktionen
Eine auf ganz R definierte reell- oder komplexwertige Funktion f heißt periodisch mit der Periode
L > 0, falls
f(x + L) = f(x) ∀x ∈ R (3.2)
Im Folgenden werden wir uns auf Funktionen mit der Periode 2π beschränken. Man kann leicht
zeigen, dass dies ohne Beschränkung der Allgemeinheit möglich ist.
Hat f die Periode L, so hat die Funktion F
die Periode 2π. Aus der Funktion F gewinnt man f zurück mittels
F(x) := f( L x) (3.3)
2π
f(x) = F( 2π x) (3.4)
L
Wenn im Folgenden von einer periodischen Funktion die Rede ist, so habe diese stets die Periode 2π.
3.1.2 Die Fourier-Reihe im Reellen
Definition 2 (Fourierreihe im Reellen) Sei f eine stückweise glatte, periodische Funktion mit der
Periode 2π, f : [−π, π] → R
Dann heißt die Darstellung von f als trigonometrisches Polynom gemäß
Fourierreihe von f.
f(x) = a ∞
0
2 + ∑
(a k cos(kx) + b k sin(kx)) (3.5)
k=1
Die reellen Koeffizienten a k , b k heißen Fourier-Koeffizienten von f.
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3.1 Fourier-Reihen
Bemerkung 2 (Schreibweise) Häufig betrachtet man nicht die vollständige Fourierreihe, sondern
nur das trigonometrische Polynom bis zur n-ten Ordnung:
S f,n (x) = a n∑
0
2 + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) (3.6)
k=1
Zur besseren Unterscheidbarkeit zwischen einer Funktion und ihrer (vollständigen) Fourierreihe wird
häufig auch S f ≡ S f,∞ = a 0
2
+ ∑ ∞
k=1 (a kcos(kx) + b k sin(kx)) geschrieben.
Die Fourier-Koeffizienten sind gegeben durch
a k = 1 π
∫
c+2π
f(x)cos(kx)dx für k = 0, 1, 2, ... (3.7)
c
b k = 1 π
∫
c+2π
f(x)sin(kx)dx für k = 1, 2, ... (3.8)
c
Die Konstante c kann beliebig gewählt werden.
Die Fourier-Koeffizienten ergeben sich aus den Orthogonalitätsrelationen:
1
π
1
π
∫ π
−π
∫ π
−π
1
π
∫ π
−π
sin(nx)sin(mx)dx = δ nm (3.9)
cos(nx)cos(mx)dx = δ nm (3.10)
sin(nx)cos(mx)dx = 0 (3.11)
3.1.3 Symmetriebetrachtungen
Eine Funktion f heißt gerade, wenn gilt: f(−x) = f(x).
Eine Funktion f heißt ungerade, wenn gilt: f(−x) = −f(x).
Das Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion. Das
Produkt zweier (un)gerader Funktionen ist eine gerade Funktion.
Klar ist auch, dass für eine ungerade Funktion u gilt:
π∫
−π
u(x)dx = 0.
cos(x) ist eine gerade Funktion. Daher verschwinden für eine ungerade Funktion f die Koeffizienten
a k . Die Fourierreihe besteht dann nur aus den Sinus-Gliedern.
sin(x) ist eine ungerade Funktion. Daher verschwinden für eine gerade Funktion f die Koeffizienten
b k . Die Fourierreihe besteht dann nur aus den Cosinus-Gliedern.
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3 Fourier Analysis
Also:
f(x) ungerade ⇒ a k = 0 nur sin-Glieder (3.12)
f(x) gerade ⇒ b k = 0 nur cos-Glieder (3.13)
3.1.4 Die Fourier-Reihe im Komplexen
Vermöge cos(x) = 1 2 (eix + e −ix ) und sin(x) = 1 2i (eix − e −ix ) lässt sich die reelle Fourierreihe auch
als komplexwertiges trigonometrisches Polynom darstellen. Dieser Übergang von der reellen zur
komplexen Fourierreihe sei hier kurz skizziert:
mit
f(x) = a ∞
0
2 + ∑
(a k cos(kx) + b k sin(kx)) (3.14)
k=1
= a ∞
0
2 + ∑
(a k ( 1 2 (eikx + e −ikx )) + b k ( 1 2i (eikx − e −ikx ))) (3.15)
k=1
= a ∞
0
2 + ∑
[ 1
2 (a k − ib k )e ikx + 1 ]
2 (a k + ib k )e −ikx (3.16)
k=1
∞∑
= c k e ikx (3.17)
k=−∞
c 0 = a 0
2
(3.18)
c k = 1 2 (a k − ib k ) (3.19)
c −k = 1 2 (a k + ib k ) (3.20)
Die Koeffizienten c k lassen sich auch direkt berechnen:
c k = 1
2π
∫ ∞
k=−∞
f(x)e −ikx , k ∈ Z (3.21)
3.2 Fouriertransformation
Definition 3 ((kontinuierliche) Fouriertransformation) Die Fouriertransformierte einer Funktion
f : R → C ist gegeben durch:
F[f](ω) = ˆf(ω) = F(f(t)) = 1
2π
∫ ∞
−∞
e −iωt f(t)dt (3.22)
Bemerkung 3 (Normierungsfaktor) Der Normierungsfaktor 1 ist abhängig von der verwendeten
2π
1
Konvention. In der Physik ist √
2π
aus Gründen der Energieerhaltung üblich.
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3.2 Fouriertransformation
Bemerkung 4 (Integrabilität) Die zu transformierende Funktion f muss über R integrierbar sein,
∞∫
also |f(t)| < ∞, woraus insbesondere folgt, dass f(t) → 0 für |t| → ∞
−∞
Definition 4 (Rücktransformation) Die Fourier-Rücktransformation ist gegeben durch:
F −1 [f](ω) =
∫ ∞
e iωt f(t)dt (3.23)
−∞
3.2.1 Eigenschaften der Fouriertransformation
Linearität
Beweis: trivial
F(f 1 + f 2 ) = F(f 1 ) + F(f 2 ) (3.24)
F(αf 1 ) = αF(f 1 ) ∀α ∈ R (3.25)
Verschiebungssatz
Beweis:
F(f(t + k)) = e iωk F(f(t)) (3.26)
F(f(t + k)) = 1
2π
= 1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
= 1
2π eiωk
e −iωt f(t + k)dt t′ :=t+k
= (3.27)
e −iω(t′ −k) f(t ′ )dt ′ = (3.28)
∫∞
−∞
e −iω(t′) f(t ′ )dt ′ = (3.29)
= e iωk F(f(t)) (3.30)
Differentation
Beweis:
F(f (n) (t)) = (iω) n F(f(t)) (3.31)
∫ ∞
F(f ′ (t)) = 1
2π
⎡
−∞
e −iωt f ′ (t)dt (3.32)
∫ ∞
= 1 ⎢
⎣ [ e −iωt f(t) ] ∞
− −iωe −iωt ⎥
f(t)dt
2π
−∞
⎦ (3.33)
} {{ }
=0
−∞
= iωF(f(t)) (3.34)
⎤
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3 Fourier Analysis
Höhere Ableitungen: analog.
Faltung
Definition 5 (Faltung zweier Funktionen)
(f 1 ∗ f 2 )(t) = 2π
Hierbei sind f 1 und f 2 stetig und absolutintegrabel und f 1 ist beschränkt.
∫ ∞
−∞
f 1 (t − u)f 2 (u)du (3.35)
Beweis:
F(f 1 ∗ f 2 ) = 1
2π
= 1
2π
F(f 1 ∗ f 2 ) = 2πF(f 1 )F(f 2 ) (3.36)
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
1
= 2π ·
2π
e −iωt
∫∞
−∞
e −iω(s+u) ∞
∫ ∞
−∞
f 1 (t − u)f 2 (u)dudt s:=t−u
= (3.37)
∫
−∞
e −iωs 1
f 1 (s)ds ·
2π
f 1 (s)f 2 (u)duds = (3.38)
∫ ∞
−∞
e −iωu f 2 (u)du = (3.39)
= 2πF(f 1 )F(f 2 ) (3.40)
3.3 Distributionen
3.3.1 Definition
Definition 6 (Träger einer Funktion)
supp f := {x ∈ R n , f(x) ≠ 0} (3.41)
Definition 7 (C 0 (R n )) Menge aller in R n stetigen Funktionen mit kompaktem Träger, d. h. supp f ist
abgeschlossen und beschränkt.
Definition 8 (Distribution) Sei f ∈ C 0 (R n ) eine stetige Funktion mit kompaktem Träger und sei
φ ∈ C ∞ 0 (R n )
Dann ist die Distribution F definiert durch:
F : C 0 (R n ) → R (3.42)
f ↦−→ F f (3.43)
mitF f (φ) =
∫ ∞
f(x)φ(x)dx (3.44)
−∞
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3.3 Distributionen
Eine Distribution ordnet also jeder Testfunktion eine Zahl zu.
3.3.2 Die Dirac-Delta-Distribution
Definition 9 (δ-Distribution)
F δ (φ) =
∫ ∞
δ(x)φ(x)dx := φ(0) (3.45)
−∞
Definition 10 (Physiker-Definition)
δ(x) =
{ ∫∞
0 x ≠ 0
∞ x = 0 und
−∞
δ(x)dx = 1 (3.46)
Diese Definition ist zwar anschaulich und in der Physik üblich, mathematisch jedoch nicht korrekt.
3.3.3 Eigenschaften der δ-Distribution
Faltungssatz
∫ ∞
−∞
f(x)δ(x − a)dx =
∫ ∞
−∞
f(x)δ(a − x)dx = f(a) (3.47)
Fouriertransformation
F(δ(φ)) = 1 (3.48)
Skalierung
δ(ax) = 1 δ(x) (3.49)
|a|
Stammfunktion
Achtung: Nur bei Auffassung der δ-Distribution als Funktion (mathematisch inkorrekt).
Θ(t) ist die Heaviside-Sprung-Funktion.
δ(t) = d Θ(t) (3.50)
dt
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3 Fourier Analysis
Ableitung
Achtung: Nur bei Auffassung der δ-Distribution als Funktion (mathematisch inkorrekt).
∫ ∞
−∞
δ n (x) ist die n-te Ableitung der δ-Distribution.
f(x)δ n (x)dx = (−1) n f (n) (0) (3.51)
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