Lösung zur Probeklausur

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Lösung Der Erwartungswert einer Größe O ist gegeben durch ∫ 〈O〉 = Ψ ∗ OΨdV (2) dV = r 2 sin θdrdθdφ (3) 〈r n 〉 = ∫ Ψ ∗ r n ΨdV = = 4π = = an 0 8 = an 0 8 = an 0 8 ∫ ∞ ∫ π ∫ 2π 0 0 ∫ ∞ 4π 0 32πa 3 0 0 Ψ ∗ r n+2 Ψdr ∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 ∫ ∞ [ 4 0 = (n + 2)!an 0 2 = (n + 2)!an 0 2 Ψ ∗ r n ΨdV r 2 sin θdrdθdφ e −r/a 0 r n+2 (2 − r a 0 ) 2 dr e −x x n+2 (4 − 4x + x 2 )dx mit x = r/a 0 ∫ ∞ ∫ ∞ ] e −x x n+2 dx − 4 e −x x n+3 dx + e −x x n+4 dx [4(n + 2)! − 4(n + 3)! + (n + 4)!] [ ] (n + 3)(n + 4) 1 − (n + 3) + 4 [ ] −(n + 2) + 〈1/r〉 = a−1 0 2 0 (n + 3)(n + 4) 4 [ −1 + 6 ] = 1 4 4a 0 〈r〉 = 3a 0 [−3 + 5] = 6a 0 [ 〈r 2 〉 = 12a 2 0 −4 + 30 ] = 42a 2 0 4 0 6 Hyperfeinaufspaltung Welches Magnetfeld entspricht bei der Hyperfeinaufspaltung des Grundzustands im Wasserstoffatom dem ’Grenzfall’, bei dem die beiden Energieabstände der Hyperfein- und dessen Zeemanaufspaltungen gleich groß wären? Gehen sie bei ihren Berechnungen davon aus, dass der g-Faktor des Protons 5.58 ist. (Hinweis: Für die Berechnung der Kopplungskonstante benötigen sie das mittlere vom Elektron erzeugte Magnetfeld. Dieses ist proportional zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit des felderzeugenden Elektrons am Kernort.) Wieso wären? Könnte man das erzeugte Magnetfeld für einen 2p 3 /2 -Zustand genauso wie für den Grundzustand berechnen? 8
Lösung Um die Hyerfeinaufspaltung zu bestimmen, kann man die Formel aus Aufgabe 5 benutzten. Hier wird noch einmal kurz erklärt, woher diese Gleichung kommt. Die Hyperfeinaufspaltung lässt sich in erster Näherung berechnen als E HF S = A HF S 〈B j 〉(F (F + 1) − j(j + 1) − I(I + 1)) (4) 2 A HF S = − g P µ √ K 〈B j 〉 j(j + 1) Dabei ist 〈B j 〉 das mittlere vom Elektron (oder allgemeiner: von der Elektronenhülle) am Kernort erzeugte Magnetfeld. Dies ist proportional zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit des felderzeugenden Elektrons am Kernort und lässt sich schreiben als 〈B j 〉 = | ⃗j| µ 0g j µ B 2 3 |ψ(0)|2 (5) |ψ(0)| 2 = Wir lösen also die Aufgabe für den Grundzustand und erhalten: Z3 πa 3 0 n3 Für l, m l = 0. (6) ∆E HF S = ∆E Zeemann (7) ∆E HF S = E HF S,F =1 − E HF S,F =0 (8) E HF S = A HF S (9) = 2 3 µ 0g j µ B g I µ K Z 3 πa 3 0 n3 (10) Mit n = 1, Z = 1, a 0 = 0.529 · 10 −10 m, g j = 2 und g I = g P = 5.58 ergibt sich: A HF S = 5.87 · 10 −6 eV (11) ∆E Zeeman = g j µ B B z (12) = g s µ B B z (13) B z = A HF S g j µ B (14) = 0.051T (15) In der Zwischensituation ∆E HF S = ∆E Zeemann ist keine der Quantenzahlen wirklich erhalten. Für den 2p 3/2 -Zustand kann das mittlere erzeugte Magnetfeld nicht wie für den Grundzustand berechnet werden. Die p-Elektronen haben nämlich eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit von 0 am Kernort, und nur Effekte höherer Ordnung,die mindestens eine Größenordnung unter dem Fall für s-Elektronen liegen und deren Berechnung den Rahmen der Vorlesung übersteigt, tragen dort zur Hyperfeinaufspaltung bei. 7 Zeemann-Effekt Der atomare Übergang 7 3 S 1 → 6 3 P 2 in Quecksilber entspricht einer Wellenlänge von λ = 546.10 nm. a) Welcher Zeeman-Effekt liegt vor: der normale oder der anomale? 9
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