Drucklose Tanks unter Windlasten - Ingenieurbüro Dr. Knödel
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Wind auf <strong>Tanks</strong><br />
E-H030-10-469-0<br />
22.03.2011 Essen Seite 1/42<br />
Windengineering –<br />
<strong><strong>Dr</strong>ucklose</strong> <strong>Tanks</strong> <strong>unter</strong> <strong>Windlasten</strong><br />
<strong>Dr</strong>.-Ing. Peter Knödel, SFI/IWE<br />
Beratender Ingenieur<br />
ö.b.u.v. Sachverständiger für „Schweißtechnik – Sonderbauten in Metall“<br />
Professor für Stahlbau an der FH Augsburg<br />
www.peterknoedel.de<br />
Seminar am 22. März 2011<br />
Haus der Technik<br />
Hollestrasse 1, D-45127 Essen<br />
Haus der Technik GmbH, Essen<br />
www.hdt-essen.de<br />
Ingenieurbüro <strong>Dr</strong>. Knödel Vordersteig 52, D-76275 Ettlingen Peterhofstr. 3 b, D-86438 Kissing<br />
info@peterknoedel.de +49(0) 7243 – 32 40 913; Fax 76 54 16 +49(0) 8233 – 73 54 36 – 0; Fax – 3<br />
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0.1 Inhalt<br />
0.1 Inhalt 2<br />
0.2 Verzeichnis der Anhänge 4<br />
1. Einleitung 5<br />
2. Begriffe / Abkürzungen / Namen 6<br />
3. Der natürliche Wind 9<br />
3.1 Potentialströmung 9<br />
3.2 Turbulente Strömung 10<br />
3.3 Umströmung von geschlossenen Zylindern – Th. v. Kármán 11<br />
3.4 Umströmung von oben offenen Zylindern 12<br />
3.5 Der Wind als ingenieurmäßige Last 13<br />
4. Innendruck bei belüfteten Behältern 14<br />
5. Schnittgrößen in Schalentragwerken 15<br />
5.1 Allgemeines 15<br />
5.2 Die Fourier-Harmonischen 15<br />
5.3 Dehnungslose Verformungen 17<br />
5.4 Einfluss der Randbedingungen 19<br />
6. Stabilität 21<br />
6.1 Stabilitätstheorie dünnwandiger Schalen 21<br />
6.2 Rechnerische Beulnachweise 23<br />
6.3 Ringsteifen aus dem Flugzeugbau 24<br />
6.4 Mindeststeifigkeit von Ringsteifen 25<br />
7. Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode 26<br />
7.1 Zur Einstimmung 26<br />
7.2 Elementierung – Konvergenzstudien 26<br />
7.3 Lineare Berechnungen 26<br />
7.4 Klassische Verzweigungslasten 26<br />
7.5 Nichtlineare Berechnungen 27<br />
7.6 Nichtlineare Berechnungen mit begleitender Eigenwertanalyse 28<br />
7.7 Nachbeulverhalten 29<br />
8. Fallbeispiele, Schadensfälle, Praxistipps 31<br />
8.1 Ermittlung der Beulwiderstände als Erstes 31<br />
8.2 Rezept gegen Leersaugen 31<br />
8.3 Argument für überkritischen Zustand 31<br />
8.4 Nachträglich eingeschweißte Stutzen 32<br />
8.5 VdTÜV–960 als Leitdokument 33<br />
8.6 Blechdicken–Untermaße nach ISO 9445 34<br />
8.7 Ausnutzungsgrad bei Interaktionsformeln 35<br />
8.8 Flaches Kegeldach 35<br />
8.9 Diskontinuierlich befestigte Ringsteifen 35<br />
8.10 E-Modul von Austeniten im Außendruckbeulnachweis: 2,1 36<br />
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9. Quellen und Literaturhinweise 37<br />
9.1 Normen und Regelwerke 37<br />
9.2 Fachliteratur 39<br />
9.3 Sonstiges 42<br />
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0.2 Verzeichnis der Anhänge<br />
- Dokumentation zu kármánschen Wirbeln, 4 Seiten<br />
- Rechenblatt mit Fourier-Darstellung der <strong>Windlasten</strong>, 4 Seiten<br />
- Rechenblatt Leersaugen eines <strong>Tanks</strong>, 2 Seiten<br />
- Rechenblatt EC3-1-6 Beulnachweis <strong>unter</strong> Axialdruck, 6 Seiten<br />
- Rechenblatt EC3-1-6 Beulnachweis <strong>unter</strong> Umfangsdruck, 6 Seiten<br />
- Rechenblatt Ringsteifen nach Herber-Czerwenka, 5 Seiten<br />
- Veröffentlichung Ummenhofer/Knoedel 2000: Boundary Conditions ... , 15 Seiten<br />
- Veröffentlichung Knoedel/Ummenhofer 2004: Squat <strong>Tanks</strong> ... , 8 Seiten<br />
- Veröffentlichung Knödel/Ummenhofer 2006: Ankerkräfte ... , 6 Seiten<br />
- Veröffentlichung Rotter 2003: Shallow Conical Shells ... , 7 Seiten<br />
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1. Einleitung<br />
Dünnwandige Schalentragwerke sind anders gegen <strong>Windlasten</strong> zu bemessen, als z.B. schlanke<br />
Schornsteine. Für den Beulnachweis auf der Luvseite muss der örtlich begrenzte Winddruck in einen<br />
gleichmäßig um den Umfang wirkenden Ersatz-Außendruck umgerechnet werden. Bei belüfteten<br />
Behältern entsteht zusätzlich aus Leersaugen noch ein innerer Unterdruck, zu dem es in den verschiedenen<br />
Regelwerken widersprüchliche Festlegungen gibt. Schließlich kann noch das „gutartige“<br />
überkritische Tragverhalten in die Bewertung des Beulnachweises einfließen.<br />
Der Teilnehmer versteht die Umströmung des Behälters im natürlichen Wind und die daraus entstehenden<br />
Lasten und Schnittgrößen. Er kann die gängigen Berechnungsmethoden hinsichtlich ihrer<br />
Realitätsnähe beurteilen und anwenden.<br />
Einzelthemen<br />
- Der natürliche Wind und seine ingenieurmäßige Beschreibung als "Last".<br />
- Aerodynamische Effekte beim Umströmen von Zylindern – die karmansche Wirbelerregung.<br />
- Innendruckentwicklung bei belüfteten Behältern.<br />
- Schnittgrößen in Schalentragwerken aus <strong>Windlasten</strong>.<br />
- Einfluss der Randbedingungen.<br />
- Einsatz der Finite-Elemente-Methode, überkritisches Tragverhalten.<br />
- Praxisnahe Rechenverfahren, Beulnachweise.<br />
- Fallbeispiele, Schadensfälle, Praxistipps.<br />
Sofern nicht anders angegeben, liegen die Urheberrechte für Text, Skizzen, Fotos, usw. beim Verfasser.<br />
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2. Begriffe / Abkürzungen / Namen<br />
Bernoulli<br />
Daniel Bernoulli (1700-1782) schweizer Mathematiker und Physiker.<br />
(Nicht zu verwechseln mit Jakob Bernoulli mit der Balkenbiegung,<br />
das war sein Onkel)<br />
Breitenkreis<br />
Folgelasten, follower loads<br />
Fourier<br />
von Kármán<br />
Kesselformel<br />
Lee<br />
Luv<br />
siehe Meridian<br />
Folgelasten, sie stehen immer senkrecht auf der Bauteiloberfläche,<br />
auch wenn diese große Verformungen und Tangentenverdrehungen<br />
macht; Beispiel: Flüssigkeitsdruck auf einer Behälterwand.<br />
Das Gegenteil sind richtungstreue Lasten.<br />
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), französischer Mathematiker<br />
und Physiker, erfand die Fourier-Reihe (siehe Text)<br />
Theodor von Kármán (1881-1963), ungarischer Aerodynamiker<br />
siehe hierzu (Knödel 2003)<br />
Allzweckwaffe, um den Zusammenhang zwischen radialen Lasten<br />
und Umfangslasten an einem gekrümmten Bauteil zu beschreiben:<br />
N = p * R<br />
windabgewandte Seite (lee), siehe auch Luv<br />
windzugewandte Seite (luff), siehe auch Lee;<br />
ich verwende den Begriff verallgemeinert für die Seite des Lastangriffes,<br />
z.B. auch bei Erdbeben, Schiefstellung, usw.<br />
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Meridian, Erzeugende, Geriatrix<br />
wie von unserer Erdkugel gewohnt werden Rotationsschalen in Breitenkreise<br />
und Meridiane <strong>unter</strong>teilt. Die Meridiane werden auch als<br />
„Erzeugende“ (Geriatrix) bezeichnet, weil ihre Kontur beim Rotieren<br />
um die Rotationsachse die Form der Rotationsschale erzeugt.<br />
Bei Zylinderschalen sind die Meridiane gerade und parallel zur Rotationsachse,<br />
alle Breitenkreise haben den gleichen Radius.<br />
Mittragende Breite b,m = 0,778 * √(R * T) ... und nichts anderes!<br />
(Vorsicht: FALSCHE Veröffentlichung von Bär 1983)<br />
Re<br />
Richtungstreue Lasten<br />
Schalenmittelflächenradius<br />
Reynoldszahl, nach dem ... Reynolds<br />
Die Reynoldszahl ist ein Parameter der, Massenträgheit und Zähigkeit<br />
eines Fluids beschreibt<br />
Re = d * v / ν (d mal vau durch ny)<br />
d ist eine charakteristische Länge, bei Zylindern der Durchmesser;<br />
ν ist z.B. die Zähigkeit der Luft, mit dem Zahlenwert 1,5 * 10 –5 m 2 /s<br />
nach EC1-1-4 Abs. E.1.3.4 Gl. (E.5).<br />
behalten ihre Richtung bei, auch wenn das Bauteil starken Verformungen<br />
<strong>unter</strong>liegt. Beispiel: Trägheitskräfte<br />
Bei dünnwandigen Schalen werden die Membrantheorie, die Biegetheorie<br />
und die Stabilitätstheorie jeweils für die Schalenmittelfläche<br />
beschrieben; dies entspricht in der technischen Biegelehre – der Balkenbiegetheorie<br />
– dem Bezug des Balkens auf die Schwerlinie. Daher<br />
müsste man eigentlich jeweils mit dem Schalenmittelflächenradius<br />
R,m rechnen. Technisch gesehen ist der Unterschied jedoch vernachlässigbar,<br />
so dass üblicherweise in den Berechnungen nur vom Radius<br />
R gesprochen wird, und erst die Konstruktionszeichnungen erkennen<br />
lassen, ob damit R,i, R,m oder R,a gemeint ist.<br />
Beispiel: R,i = 2000 mm; T = 8 mm; R,m = 2004 mm; der Fehler bei<br />
Verwendung von R,i statt R,m beträgt 2%o.<br />
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tragende Bauteile<br />
Venturi<br />
Zylinderkoordinaten<br />
„Bauteile für tragende Zwecke zur Sicherstellung der mechanischen<br />
Festigkeit und Standsicherheit und/oder des Feuerwiderstandes sowie<br />
der Dauerhaftigkeit und der Gebrauchstauglichkeit eines Bauwerks.<br />
Tragende Bauteile können direkt im Lieferzustand verwendet werden<br />
oder zum Einbau in ein Bauwerk vorgesehen sein.“<br />
(DIN EN 1090-1 Abs. 3.1.9)<br />
Giovanni Battista Venturi (1746-1822), italienischer Physiker, erfand<br />
die Venturi-Düse<br />
R, φ, L<br />
Schreibweise<br />
Indizes werden vereinfachend durch Komma abgetrennt, z.B.<br />
γ,M2 = γ M2<br />
lies: gamma Index M2<br />
α,T = α T<br />
lies: alpha Index T<br />
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3. Der natürliche Wind<br />
3.1 Potentialströmung<br />
Sofern die Strömungsgeschwindigkeit klein genug ist, werden in der Strömung liegende Gegenstände<br />
laminar umströmt. (Bei Zylindern ist dies möglicherweise bei Re < 30 der Fall.)<br />
Für die Umströmung eines unendlich langen Zylinders ergibt sich dabei eine doppelt-symmetrische<br />
<strong>Dr</strong>uckverteilung, die durch<br />
cp = 1 – 4 sin 2 φ<br />
beschrieben wird (Ruscheweyh I 1982).<br />
Verlauf des <strong>Dr</strong>uckbeiwertes bei Potentialströmung<br />
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3.2 Turbulente Strömung<br />
Tatsächlich ist ein Geschwindigkeitsprofil des natürlichen Windes im Höhen- oder Breitenprofil inhomogen.<br />
Strömungstechnisch wird das aufgefasst als Böenwalzen, die in Richtung des mittleren<br />
Windes gerollt werden, mathematisch wird es beschrieben durch eine mittlere Windgeschwindigkeit<br />
(Stundenmittel, 10-Min-Mittel), der Geschwindigkeitsvarianzen mit beiden Vorzeichen überlagert<br />
sind. Die Summe über die Varianzen ergibt Null, der langfristige Mittelwert der Momentangeschwindigkeiten<br />
ist identisch mit der mittleren Windgeschwindigkeit.<br />
Am Mast Gartow gemessenes Windgeschwindigkeitsprofil über 20 s<br />
Messung am 25.01.1990 „Vivian“, siehe (Nölle 1991, Peil/Nölle 1995)<br />
Quelle: www.wtg-dach.org<br />
Das Lastkollektiv der Windgeschwindigkeiten einschließlich der Böen ist dabei derart, dass aus der<br />
veränderlichen Beanspruchung in Windrichtung keine ermüdungsrelevante Beanspruchung entsteht.<br />
Das geht aus einer Untersuchung von Ibach (1988) über die Windbelastung von turmartigen Bauwerken<br />
hervor.<br />
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3.3 Umströmung von geschlossenen Zylindern – Th. v. Kármán<br />
Potentialströmung um einen langen Zylinder<br />
(www.mathlab.de 12.03.2011)<br />
Kármánsche Wirbelstraße für <strong>unter</strong>schiedliche Reynoldszahlen<br />
(aus Petersen Stahlbau 1997)<br />
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3.4 Umströmung von oben offenen Zylindern<br />
Bild auf der Rückseite eines Tagungsbandes (Krupka 2003)<br />
Ein oben offener Zylinder wird durch das Überstömen „leergesaugt“. Als Folge steht auf der Luvseite<br />
der luvseitigen Behälterwand der Staudruck an (vielleicht auch nur mit cp = +0,8, weil die<br />
Luft über die Kante abströmen kann), auf der Leeseite der luvseitigen Behälterwand entsteht ein<br />
Rückseitensog, wie wir ihn auch von Gebäuden kennen. Dieser Rückseitensog wird üblicherweise<br />
mit einem <strong>Dr</strong>uckbeiwert von cp = –0,5 ... –0,6 beziffert.<br />
Möglicherweise steht die Luvwand also <strong>unter</strong> einer effektiven Last von 1,6 * w,0.<br />
Gleichzeitig sinkt der Beulwiderstand des Zylinders gegenüber dem am oberen Rand radial gehaltenen<br />
um den Faktor 4.<br />
Siehe hierzu z.B. Eßlinger/Ahmed/Schroeder (1971).<br />
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3.5 Der Wind als ingenieurmäßige Last<br />
Den tatsächlichen Verhältnissen nicht entsprechende, symmetrische <strong>Dr</strong>uckverteilung<br />
(aus Knödel 2003)<br />
<strong>Windlasten</strong> sind zwischenzeitlich in der Grundnorm EC1-1-4 geregelt, wobei auch die dynamische<br />
Antwort schwingungsanfälliger Bauwerke geregelt ist, die früher nur in Fachnormen wie z.B. DIN<br />
4133 enthalten war. Nachteilig ist z.B. dass der Böenreaktionsfaktor auf das 10-Min-Mittel bezogen<br />
wird; dies ist insofern eine ungeschickten Beschreibung, als das Bauwerk nicht auf das 10-Min-<br />
Mittel reagiert, sondern auf die 5-Sek-Bö. Insofern enthält der Böenreaktionsfaktor nach EC1-1-4<br />
implizit den „Abstand“ der Böenlast zum 10-Min-Mittel, was zumindest umständlich und ungeschickt<br />
ist.<br />
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5. Schnittgrößen in Schalentragwerken<br />
5.1 Allgemeines<br />
5.2 Die Fourier-Harmonischen<br />
(Bronstein 1974)<br />
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Funktionsgleichungen für die nachfolgende Grafik<br />
(die Ziffern 6 und 2 sind willkürlich gewählt)<br />
Grafische Darstellung der ersten Fourier-Glieder am Vollkreis<br />
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5.3 Dehnungslose Verformungen<br />
Einfach gekrümmte Schalen, wie z.B. Zylinder oder Kegelschalen, sind „abwickelbar“. Nach dem<br />
Auftrennen eines Meridians lässt sich der Mantel in eine Ebene rollen.<br />
Diese Eigenschaft ist sehr vorteilhaft für die Herstellungstechnologie von Schalen im Metallbau<br />
(Schornsteine, Silos, <strong>Tanks</strong>, usw.). Nachteilig ist, dass diese Schalen äußerst empfänglich für Verformungen<br />
aus der Schalenebene sind, da sie in dieser Richtung wegen<br />
R und L >> T<br />
und I,x ~ T 3<br />
nur über sehr geringe Steifigkeit verfügen.<br />
Für die folgende Darstellung eines cos-2φ-Verformungszustandes wurde ein Rechenblatt von Kotan<br />
(1994) verwendet, welches für die Behälterbau-Vorlesung Knödel (2003) überarbeitet wurde.<br />
Dehnungslose Verformungen für eine am <strong>unter</strong>en Rand aufgeprägte<br />
Verformung der Form u,max * cos(N * φ)<br />
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Dehnungslose Verformungen, Ansicht und <strong>Dr</strong>aufsicht<br />
Dehnungslose Verformungen, perspektivisch<br />
Die dargestellte Verformungsfigur erzeugt in der Schale keine Membran-Schnittkräfte, weil eben<br />
auch keine Membrandehnungen auftreten (daher: dehnungslose Verformungen, strainless mode).<br />
Aus der Krümmung der Schalenwand in Umfangsrichtung entstehen natürlich Randfaserdehnungen<br />
und Biegemomente, diese sind jedoch sehr gering, weil die Schale dünnwandig vorausgesetzt ist.<br />
Die dargestellte Verformung, bei der am <strong>unter</strong>en Rand vertikale Verschiebungen u aufgeprägt sind,<br />
könnten z.B. durch entlang des Umfangs ungleichförmige Setzungen des Behälterfußes auftreten.<br />
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5.4 Einfluss der Randbedingungen<br />
Werden die im vorigen Abschnitt gezeigten Verformungen dadurch <strong>unter</strong>drückt, das die Zylinderschale<br />
eine in radialer Richtung unendlich steife Dachscheibe erhält, sind dehnungslose Verformungen<br />
nicht mehr möglich. Der Zylinder wird dadurch so steif, dass er (zunächst) nur noch Starrkörperbewegungen<br />
macht. Ungleichförmige Vertikalverschiebungen des Behälterfußes erzeugen<br />
jetzt große Membranschnittkräfte.<br />
Radiale Flächenlasten in Form einer Fourier-Harmonischen erzeugen jetzt ebenfalls große Membran-Schnittgrößen,<br />
wenn der <strong>unter</strong>e Schalenrand am Behälterfuß unverschieblich aufgelagert ist.<br />
Unter Windbelastung ergeben sich dabei Meridiankräfte, die 8 mal größer als die Werte nach Balken-Biegetheorie<br />
werden können (Ummenhofer/Knödel 2000).<br />
Im nachfolgenden (akademischen) Beispiel wird ein Zylinder mit D = 10000 mm; H = 10000 mm;<br />
T = 1 mm und einer Kopfringsteife 100x10 mm gezeigt, der <strong>unter</strong> einer harmonischen Randlast<br />
mit Maximalwerten von 10 kN/m steht.<br />
Harmonisch 8-fach alternierende horizontale Randlast von 10 N/mm (!)<br />
Verschiebungen in mm; D und L = 10000 mm, T = 1 mm, Kopfsteife 100x10 mm<br />
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Harmonisch 8-fach alternierende horizontale Randlast von 10 N/mm (!)<br />
Verschiebungen in mm; D und L = 10000 mm, T = 1 mm, Kopfsteife 100x10 mm<br />
Die Horizontalverformungen am Kopf betragen ca. 100 mm, die Beträge der Spannungen liegen bei<br />
knapp 40 N/mm 2 .<br />
Geht man von einer in vertikaler Richtung elastischen Lagerung aus, was z.B. durch die Nachgiebigkeit<br />
von Ankern oder die Verformung des Fußbleches der Fall sein kann, dann entspannen sich<br />
diese hohen Schnittgrößen wieder, dazu genügen oft schon Verformungen im Millimeterbereich<br />
(Knödel/Ummenhofer 2006).<br />
Diese Membrankräfte verhalten sich daher wie Zwangsschnittgrößen – sie werden geringer, wenn<br />
man die Anschlusssteifigkeiten reduziert.<br />
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6. Stabilität<br />
6.1 Stabilitätstheorie dünnwandiger Schalen<br />
Die erste Lösung des Stabilitätsproblems der axialgedrückten Zylinderschale wird Lorenz (1908)<br />
und Timoshenko (1910) zugeschrieben. Sie gelangen durch Linearisieren der Differentialgleichungen<br />
und anderen Vereinfachungen zu einer Indifferenzbedingung für die kritischen Membrandehnungen<br />
(siehe Knödel 1995):<br />
σ,kl / E = 1 / λ 2 + λ 2 * (T/R) 2 / [12*(1 – ν 2 )]<br />
Durch Minimieren nach<br />
λ = m * π R/L<br />
mit m als Anzahl der Längshalbwellen<br />
erhält man <strong>unter</strong> Verwendung von ν = 0,3 den auch heute noch verwendeten Bezugswert<br />
σ,kl / E ≈ 0,605 * T/R<br />
Ein etwas wirklichkeitsnäherer, ebenfalls heute als „klassisch“ empfundener Ansatz besteht aus einem<br />
schachbrettartigen Beulmuster der Form<br />
w = A * cos (n * φ) * sin (m * π * x / L)<br />
Offensichtlich ist hierbei n die Anzahl der Umfangsvollwellen, während m die Anzahl der Längshalbwellen<br />
ist (Knödel 1995). Unter Verzicht auf einige der obigen Vereinfachungen erhält Flügge<br />
(1932) hieraus Beziehungen für eine Kurvenschar von Indifferenzbedingungen in Abhängigkeit von<br />
m und n, deren <strong>unter</strong>e Hüllkurve als kleinsten Wert wiederum den oben angegebenen Term „0,605<br />
...“ annimmt.<br />
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aus Knödel 1995<br />
Der Umstand, dass die klassische Verzweigungstheorie ein axialsymmetrisches Ringbeulmuster o-<br />
der ein schachbrettartiges Muster vorhersagt, im Versuch aber Beulformen mit rautenförmigen, e-<br />
her breitgestreckten Beulen beobachtet werden, wird von Esslinger (1970) erklärt:<br />
Filmaufnahmen mit einer Hochgeschwindigkeitskamera zeigen den Beulvorgang eines Mylarzylinders.<br />
Es ist erkennbar, dass beim ersten Verzweigen tatsächlich ein Schachbrettmuster auftritt, das<br />
sich mit zunehmender Stauchung des Zylinders in der Weise verändert, dass jeweils sprungartig<br />
entweder die Umfangswellenzahl um einen Zähler abnimmt oder die Längswellenzahl um einen<br />
Zähler zunimmt. Auf diese Weise entstehen Beulen, die immer niedriger und breiter werden.<br />
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6.2 Rechnerische Beulnachweise<br />
Stellen, für die F Festigkeits- und S Stabilitätsnachweise zu führen sind<br />
An folgenden Stellen des Tankmantels sind Festigkeitsnachweise zu führen:<br />
1 Nachweis der Ringzugspannungen aus Füllung, diese sind wegen des nach unten zunehmenden<br />
Flüssigkeitsdruckes am <strong>unter</strong>en Rand am größten.<br />
3 Nachweis der Meridianzuspannungen aus Wind-Kippmoment am leeren Tank, diese sind<br />
wegen des nach unten zunehmenden Biegemomentes am <strong>unter</strong>en Rand am größten.<br />
An folgenden Stellen des Tankmantels sind Stabilitätsnachweise zu führen:<br />
2 Beulnachweis der Umfangsdruckspannungen aus Wind und innerem Unterdruck; der Staudruck<br />
ist oben am größten, der Mantel ist möglicherweise oben am dünnsten.<br />
4 Beulnachweis der Längsdruckspannungen aus Wind-Kippmoment, Eigengewicht, Schnee<br />
und innerem Unterdruck; das Eigengewicht ist unten am größten.<br />
5, 6 Interaktion der Beulnachweise: wenn dort Umfangsdruckspannungen auftreten (Hecksog erzeugt<br />
Zugspannungen, aber Leersaugen oder innerer betrieblicher Unterdruck könnte größer<br />
sein); dazu die zu dieser Lastkombination zugehörigen Längsdruckspannungen.<br />
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Interessant ist ein Vergleich zwischen den Nachweisen nach DIN 18800-4 und denen nach EC3-1-<br />
6, der hier unkommentiert wiedergegeben wird.<br />
Beispiel: D = 10000 mm; L = 10000 mm; T = 5 mm; S235<br />
Axialbeulen<br />
Umfangsbeulen<br />
DIN 18800-4 σ,xS,Rd = 20,9 N/mm 2 σ,φS,Rd = 2,64 N/mm 2<br />
EC3-1-6:<br />
Klasse A exzellent σ,x,Rd = 30,3 N/mm 2 σ,θ,Rd = 2,08 N/mm 2<br />
Klasse B hoch σ,x,Rd = 19,5 N/mm 2 σ,θ,Rd = 1,81 N/mm 2<br />
Klasse C normal σ,x,Rd = 11,7 N/mm 2 σ,θ,Rd = 1,39 N/mm 2<br />
6.3 Ringsteifen aus dem Flugzeugbau<br />
Der Nachteil der konventionellen Stabilitätsnachweise für Ringsteifen ist, dass man mangels besserer<br />
Werkzeuge stark auf der sicheren Seite liegend von einem freien Kreisringträger ausgeht.<br />
Für diesen – wie für das unendlich lange Rohr <strong>unter</strong> Außendruck (follower loads!) – wird die kritische<br />
Beulform durch cos-2φ beschrieben („plattgedrücktes Rohr“) mit der Knicklänge<br />
s,k = 0,5 * 2πR / √3<br />
und der kritischen Normalkraft<br />
N,ki = 3EI / R 2<br />
bzw. der kritischen Linienlast<br />
p,ki = 3 EI / R 3<br />
Hinweis:<br />
Die Ziffer 3 kann gedeutet werden als Minimum aus (N 2 – 1) Umfangswellen.<br />
Für richtungstreue Lasten wird aus der Ziffer 3 jeweils die Ziffer 4, daher<br />
s,k = 0,5 * 2πR / 2 = 0,25 * 2πR<br />
N,ki = 4EI / R 2<br />
p,ki = 4 EI / R 3<br />
Durch den konservativen Ansatz der Knicklast ergeben sich bei der Tragwerksplanung entsprechend<br />
große – rechnerisch erforderliche – Ringsteifen.<br />
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Hier helfen Czerwenka (1961) aus dem Flugzeugbau und Herber (1966), der dieses Verfahren im<br />
Tankbau bekannt gemacht hat. Die große Errungenschaft ist die Möglichkeit, die tatsächliche Umfangswellenzahl<br />
N > 2 zu bestimmen; daraus ergeben sich dann entsprechend höhere Beullasten<br />
(siehe Rechenblatt im Anhang).<br />
6.4 Mindeststeifigkeit von Ringsteifen<br />
Jede Branche hat bei Bedarf irgend eine obskure Formel für die Mindeststeifigkeit von Ringsteifen<br />
„hinterlassen“. Vergleicht man diese, so stellt man fest, dass sie häufig nur auf einen bestimmten<br />
Parameterbereich zugeschnitten sind, z.B. relativ dickwandige Schornsteine oder extrem dünnwandige<br />
<strong>Tanks</strong>.<br />
Beispiele:<br />
DIN 15018-1:1984 Abs. 7.3.2 <strong>unter</strong> Rückgriff auf DIN 4114-2:1953 Ri 18.12<br />
I = 0,5 * R * T 3 * √(R/T)<br />
Beispiel:<br />
R = 10000 mm; T = 10 mm;<br />
I = 15800 cm 4 das entspricht einem IPE 360<br />
Eine strukturierte Aufarbeitung dieses Chaos findet sich bei Binder (1996).<br />
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7. Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode<br />
7.1 Zur Einstimmung<br />
„But remember my dear colleagues: a finite element calculation is per definition wrong!“<br />
Prof. Arbocz während eines Vortrages auf dem EUROMECH Colloquium 317, University<br />
of Liverpool, 21.-23. March 1994.<br />
7.2 Elementierung – Konvergenzstudien<br />
Für 4-Knoten-Elemente mit linearen Ansatzfunktionen gilt, dass man je Halbwelle einer Verformungs-<br />
oder Beulfigur mindestens 5 Elemente verwenden soll. Detaillierte Hinweise sind in Knödel<br />
(2003) gegeben.<br />
Erfahrungsgemäß können Spannungen schon bei gröberer Einteilung konvergieren, Verformungen<br />
reagieren jedoch empfindlicher (Knödel 2011).<br />
7.3 Lineare Berechnungen<br />
Bei einer linearen Berechnung postuliert man einen linearen Zusammenhang zwischen den Lasten P<br />
und den Verformungen U, das Proportionalglied ist die Steifigkeitsmatrix K der Struktur<br />
U * K = P<br />
7.4 Klassische Verzweigungslasten<br />
Die klassischen Verzweigungslasten erhält man als lineare Eigenwertanalyse für eine sehr klein angenommene<br />
Last.<br />
Schwierig ist die Modellierung der Randbedingungen, da in der klassischen Verzweigungstheorie<br />
z.B. <strong>unter</strong> Axiallast ein unendlich langer Zylinder angenommen wird, der dann vollständig dem bereits<br />
oben beschriebenen Beulmuster <strong>unter</strong>liegt. Die Ränder des numerischen Modells dürfen dabei<br />
in radialer Richtung nicht gehalten sein, da sonst <strong>unter</strong> Axiallast aufgrund der Querdehnungsbehinderung<br />
eine Randstörwelle entstehen würde, die die Verzweigungslast erfahrungsgemäß um 15 %<br />
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herabsetzt (Knödel/Maierhöfer 1989). Ebensowenig darf daher einer der beiden Ränder in Längsrichtung<br />
starr aufgelagert sein.<br />
7.5 Nichtlineare Berechnungen<br />
Bei nichtlinearen Berechnungen wird der Gleichgewichtszustand nachiteriert, dabei stellen sich mit<br />
steigender Anzahl der Iterationsschritte größere oder kleinere Verformungen ein, als bei der linearen<br />
Lösung. Aus der Technischen Mechanik ist dieses Phänomen als „Theorie II. Ordnung“ oder<br />
„Theorie III. Ordnung“ bekannt.<br />
Üblicherweise prägt man der Zylinderschale dabei radiale Imperfektionen auf. Diese haben die<br />
Aufgabe geometrischer Ersatz-Imperfektionen und sollen stellvertretend auch für strukturelle Imperfektionen<br />
stehen, wie z.B. Werkstoffinhomogenitäten und Eigenspannungen. Demzufolge sind<br />
diese rechnerisch angesetzten Imperfektionen größer, als die nach den technischen Lieferbedingungen<br />
oder Herstellnormen zulässigen Formabweichungen. Als Faustformel gilt, die erlaubten Amplituden<br />
der Formabweichungen zu verdoppeln, jedoch kann hierzu im Moment keine Quelle angegeben<br />
werden. Eine weitaus komplexere Frage ist die nach dem zu verwendenden „ungünstigsten“<br />
Muster. Aus gutem Grund sind in den einschlägigen Normen hierzu keine weiteren Angaben enthalten;<br />
es wird sogar bezweifelt, dass es diese „ungünstigsten“ Muster überhaupt gibt (Schneider<br />
2004, 2006).<br />
Die aufgeprägten Imperfektionen und gegebenenfalls auch die Berücksichtigung der Fließgrenze<br />
des Werkstoffes führen in der strukturmechanischen Berechnung zu einer progressiven Abnahme<br />
der Steifigkeit, so dass irgendwann eine horizontale Tangente im Last-Verformungs-Pfad erreicht<br />
wird. Diese Last wird als Traglast (ultimate load) interpretiert.<br />
Je nach verwendetem Gleichungslöser, dem verwendeten Pfadverfolgungs-Algorithmus, den verwendeten<br />
Schrittweiten, dem verwendeten Element, der verwendeten Maschenweite, der verwendeten<br />
Netzform, dem verwendeten Werkstoffgesetz, aber auch der klugen Manipulation der in den<br />
Programmen voreingestellten Konvergenzschranken ist es für die Software <strong>unter</strong>schiedlich schwierig,<br />
Traglasten genügend genau zu bestimmen.<br />
In diesem Zusammenhang bietet sich an, die üblichen, eindringlichen, warnenden Anmerkungen<br />
und Ermahnungen auszusprechen:<br />
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- Es ist offensichtlich, dass man sein Werkzeug (das FE-Programm) genau kennen muss,<br />
sonst weiß man nicht, auf welchem Weg man zu den Ergebnissen kommt, die man gerne<br />
hätte („it does not give the right answer“).<br />
- Es ist ebenso offensichtlich, dass man schon vorher wissen muss, was qualitativ und quantitativ<br />
zumindest ungefähr herauskommen muss, sonst kann man die Brauchbarkeit der Ergebnisse<br />
nicht beurteilen.<br />
Das klingt in diesem Zusammenhang vielleicht ketzerisch – aber der Baustatik-Unterricht<br />
beschränkt sich auch nicht darauf, dem Adepten die drei Gleichgewichtsbedingungen zu<br />
vermitteln, sondern man lernt ganz konkret, wie die Momentenlinie eines Durchlaufträgers<br />
auszusehen hat. DIESE erlernten, vorkonfektionierten Muster für verschiedene Grundtypen<br />
benutzen wir später in unserem Alltagsgeschäft, um unsere Ergebnisse zu verifizieren. Deshalb<br />
müssen wir hinsichtlich unserer Kenntnisse des Tragverhaltens von dünnwandigen<br />
Schalen auf das gleiche Niveau kommen.<br />
- Die nächste Ermahnung heißt: verifizieren, verifizieren und nochmals verifizieren.<br />
Es ist dem Verfasser schon bewusst, dass man die FE-Methode gerade dann braucht, wenn<br />
man eigentlich vorher nicht weiß, was herauskommt, weil die Geometrie oder die Belastung<br />
oder beides von den bekannten Grundformen abweicht. Dies erfordert nach Ansicht des<br />
Verfassers ein parametrisiertes Modell, an dem man testen kann, ob z.B. für gleichmäßigen<br />
Innendruck gleichmäßig verteilte Spannungen mit dem richtigen Betrag und den richtigen<br />
Umfangsdehnungen herauskommen.<br />
Im Bereich der Stabilität wird es noch sportlicher: warum sollte man seine eigenen Ergebnisse<br />
glauben, wenn man nicht vorher einen einfachen, leeren Zylinder <strong>unter</strong> Axiallast zur<br />
richtigen Beullast „geführt“ hat?<br />
- Die vorläufig letzte Ermahnung heißt: Gründliche Kenntnisse der Schalenstabilität sind erforderlich<br />
– woher weiß man sonst, was die „richtige“ Beullast ist?<br />
Warum kommen für den Zylinder <strong>unter</strong> Axiallast Ergebnisse heraus, die jeweils 15% <strong>unter</strong><br />
den klassischen liegen?<br />
Warum ist es so schwer, als rechnerisches Ergebnis ein Schachbrettbeulmuster zu erhalten?<br />
7.6 Nichtlineare Berechnungen mit begleitender Eigenwertanalyse<br />
Um rechnerisch zutreffende Stabilitätslasten zu erhalten, ist eine nichtlineare Berechnung – möglicherweise<br />
<strong>unter</strong> Einbeziehung geometrischer Imperfektionen – erforderlich, bei der zusätzlich begleitend<br />
(d.h. während des „Hochrechnens“) Eigenwerte bestimmt werden.<br />
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- Hinweis:<br />
Im ANSYS Handbuch steht im Kapitel Eigenwertermittlung quasi als Schlussempfehlung:<br />
Man solle sich doch diesen ganzen Stress nicht machen, sondern einfach Imperfektionen<br />
aufgeben und nichtlinear hochrechnen, dann würde man ebenso zuverlässig die Tragfähigkeit<br />
einer Struktur finden.<br />
Diese Aussage ist aus Sicht der Technischen Mechanik richtig und sie mag auch für Stabwerke<br />
in allen Fällen zutreffen. Bei Zylinderschalen <strong>unter</strong> Axiallast ist diese Aussage falsch,<br />
möglicherweise ist sie in einzelnen Spezialfällen zufällig richtig.<br />
7.7 Nachbeulverhalten<br />
Soll das Nachbeulverhalten <strong>unter</strong>sucht werden, sind in der Regel beträchtliche Anstrengungen erforderlich,<br />
um in der Rechnung vom Vorbeulpfad auf den Nachbeulpfad zu wechseln, da zu beiden<br />
Pfaden <strong>unter</strong>schiedliche Verformungsfiguren gehören. Mit dem gewünschten Wechsel des Pfades<br />
ist also ein Umsteigen von der <strong>unter</strong>kritischen auf die überkritische Verformungsfigur erforderlich<br />
(mode change).<br />
In manchen Fällen gelingt dies „versehentlich“, siehe nachfolgendes Last-Verformungsdiagramm.<br />
versehentlicher Pfadwechsel (Knoedel/Ummenhofer 2004)<br />
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Zylinder <strong>unter</strong> Windlast, vermeintlich <strong>unter</strong>kritische Verformungsfigur<br />
letzte Konvergenz aus dem vorigen Last-Verformungs-Diagramm<br />
(Knoedel/Ummenhofer 2004)<br />
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9. Quellen und Literaturhinweise<br />
9.1 Normen und Regelwerke<br />
Hinweis:<br />
Die nachfolgend angegebenen Normen dienen als Hintergrundinformation; bei Bedarf bitte<br />
selbst klären, ob diese noch aktuell sind, z.B. über www.beuth.de.<br />
[1] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung Z-30.3-6: Erzeugnisse, Verbindungsmittel und Bauteile<br />
aus nichtrostenden Stählen. Deutsches Institut für Bautechnik, Berlin, 20.04.09.<br />
Geltungsdauer bis 30.04.2014.<br />
Sonderdruck 862, Informationsstelle Edelstahl Rostfrei, Düsseldorf<br />
www.edelstahl-rostfrei.de<br />
[2] DASt Richtlinie 017: Beulsicherheitsnachweise für Schalen – spezielle Fälle – . Entwurf<br />
1992. Deutscher Ausschuß für Stahlbau, Stahlbau-Verlagsgesellschaft.<br />
[3] DIN EN 1991-1: Nationaler Anhang – National festgelegte Parameter – Eurocode 1: Einwirkungen<br />
auf Tragwerke.<br />
Teil 1-4: Allgemeine Einwirkungen – <strong>Windlasten</strong>. Entwurf September 2008.<br />
[4] DIN EN 1991 (EC1): Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke. Actions on structures.<br />
Teil 1-4:2005-07 Allgemeine Einwirkungen; <strong>Windlasten</strong>. Deutsche Fassung EN 1991-1-<br />
4:2005.<br />
Part 1-4: General actions; Wind actions; German version EN 1991-1-4:2005. Publication<br />
date: 2005-07.<br />
Teil 4: Einwirkungen auf Silos und Flüssigkeitsbehälter. Deutsche Fassung EN 1991-<br />
4:2006. Ausgabe Dezember 2006. Entwurf Nationaler Anhang Juli 2007.<br />
Part 4: Silos and tanks; German version EN 1991-4:2006. Publication date 2006-12. <strong>Dr</strong>aft<br />
National Annex July 2007.<br />
[5] DIN EN 1993/NA (EC3): Nationaler Anhang – National festgelegte Parameter – Eurocode<br />
3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten.<br />
Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Entwurf Oktober<br />
2007.<br />
Teil 4-2: Tankbauwerke. Entwurf Oktober 2009.<br />
Teil 4-3: Rohrleitungen. Entwurf Januar 2009.<br />
[6] DIN EN 1993 Eurocode 3 (EC3): Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten. Design of<br />
steel structures.<br />
Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Deutsche Fassung<br />
EN 1993-1-1:2005. Ausgabe Juli 2005. General rules and rules for buildings.<br />
Berichtigung 1 zu Teil 1-1. Berichtigungen zu DIN EN 1993-1-1:2005-07; Deutsche Fassung<br />
EN 1993-1-1:2005/AC:2006. Ausgabe Mai 2006.<br />
Teil 1-3: Allgemeine Regeln – Ergänzende Regeln für kaltgeformte dünnwandige Bauteile<br />
und Bleche; Deutsche Fassung EN 1993-1-3:2006. Ausgabe Februar 2007.<br />
Part 1-3: Supplementary rules for cold-formed members and sheeting; German version EN<br />
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1993-1-3:2006. Issued February 2007.<br />
Berichtigung 1 vom November 2009. Corrigendum 1 from November 2009.<br />
Teil 1-6: Festigkeit und Stabilität von Schalen; Deutsche Fassung EN 1993-1-6:2007. Ausgabe<br />
Juli 2007.<br />
Part 1-6: Strength and stability of shell structures; German version EN 1993-1-6:2007. Publication<br />
Date July 2007.<br />
Teil 4-1: Silos. Juli 2007. Deutsche Fassung EN 1993-4-1:2007.<br />
Berichtigung 1 September 2009.<br />
Part 4-1: Silos. German version EN 1993-4-1- :2007.<br />
Corrigendum 1 September 2009.<br />
Teil 4-2: Tankbauwerke; Deutsche Fassung EN 1993-4-2:2007. August 2007.<br />
Berichtigung 1 Mai 2010.<br />
Part 4-2: <strong>Tanks</strong>. German version EN 1993-4-2:2007. August 2007.<br />
Corrigendum 1 May 2010.<br />
Teil 4-3: Rohrleitungen. Deutsche Fassung EN 1993-4-3:2007. Juli 2007.<br />
Berichtigung 1 September 2009.<br />
Part 4-3: Pipelines. German version EN 1993-4-3:2007. July 2007.<br />
Corrigendum 1 September 2009.<br />
[7] DIN 4119: Oberirdische zylindrische Flachboden-Tankbauwerke aus metallischen Werkstoffen.<br />
Above ground cylindrical flat bottom-tanks, constructed of metallic materials.<br />
Teil 1: Grundlagen, Ausführung, Prüfungen. Juni 1979.<br />
Part 1: General regulations, construction, tests.<br />
Teil 2: Berechnung. Februar 1980.<br />
In LTB 2004 Baden-Württemberg aufgeführt Stand 30.12.04<br />
– Anlage 2.4/1 verweist auf die Anpassungsrichtlinie.<br />
Für Teil 1 verweist diese auf<br />
– DIN 18800 Teile 1, 2, 4, 7, DIN 18801, DIN EN 10025, DIN EN 287-1<br />
– enthält eine Tabelle mit Stahlsorten und Werkstoffbescheinigungen<br />
– Doppelboden für wassergefährdende Flüssigkeiten<br />
Für Teil 2 verweist diese auf<br />
– Lastannahmen sind charakteristisch, Unterscheidung von H und HZ entfällt<br />
– „Abs. 4.2.3.4 Die Festlegung p,us = 0,4 q0 gilt ungeachtet der Regeln in DIN 18800-4 Elm<br />
424.“<br />
– Teilsicherheitsbeiwerte mit 1,35 für kontrollierten Flüssigkeitspegel)<br />
[8] DIN 4133: Schornsteine aus Stahl. November 1991.<br />
(„altes“ Rechenverfahren für den Böenreaktionsfaktor!)<br />
[9] DIN EN ISO 9445 Kontinuierlich kaltgewalzter nichtrostender Stahl – Grenzabmaße und<br />
Formtoleranzen.<br />
Continuously cold-rolled stainless steel – Tolerances on dimensions and form.<br />
Teil 1: Kaltband und Kaltband in Stäben (ISO 9445-1:2009); Deutsche Fassung FprEN ISO<br />
9445-1:2009. Entwurf August 2009.<br />
Part 1: Narrow strip and cut lengths.<br />
Teil 2: Kaltbreitband und Blech (ISO 9445-2:2009); Deutsche Fassung FprEN ISO 9445-<br />
2:2009. Entwurf August 2009.<br />
Part 2: Wide strip and plate/sheet.<br />
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[10] DIN EN ISO 9445:2006-05 Kontinuierlich gewalztes Kaltband, Kaltbreitband, Blech und<br />
Kaltband in Stäben aus nicht rostenden Stählen – Grenzabmaße und Formtoleranzen (ISO<br />
9445: 2002); Deutsche Fassung EN ISO 9445:2006.<br />
[11] DIN EN 14015: Auslegung und Herstellung standortgefertigter, oberirdischer, stehender,<br />
zylindrischer, geschweißter Flachboden-Stahltanks für die Lagerung von Flüssigkeiten bei<br />
Umgebungstemperatur und höheren Temperaturen; Deutsche Fassung EN 14015:2004. Februar<br />
2005.<br />
Spezification for the design and manufacture of site built, vertical, cylindrical, flatbottomed,<br />
above ground, welded, steel tanks for the storage of liquids at ambient temperature<br />
and above.<br />
[12] DIN 18800: Stahlbauten. Steel structures.<br />
Teil 1:2008-11 Bemessung und Konstruktion. Design and construction.<br />
Teil 4:2008-11 Stabilitätsfälle – Schalenbeulen. Stability – Analysis of safety against buckling<br />
of shells.<br />
[13] Verband der Technischen Überwachungs-Vereine e.V. (Hrsg):<br />
AD-Merkblätter, Taschenbuch-Ausgabe 2002. Stand Mai 2002. Heymanns Verlag, Köln /<br />
Beuth Verlag, Berlin.<br />
[14] VdTÜV-Merkblatt Tankanlagen 960-2002/1: Richtlinie für die Herstellung von Flachbodentanks<br />
mit besonderen Anforderungen. Dezember 2002.<br />
9.2 Fachliteratur<br />
[15] Bär, A.: Zur Berechnung von Aussteifungsringen dünnwandiger Stahlbehälter mit schiefem,<br />
hängendem Kreiskegelboden. Bautechnik (1983), Heft 9, S. 321-327.<br />
hier steht die von Schwaigerer falsch abgeschriebene mittragende Breite von 1,85 * √RT (!)<br />
[16] Binder, B.: Stabilität einseitig offener, verankerter, außendruckbelasteter Kreiszylinderschalen<br />
<strong>unter</strong> besonderer Berücksichtigung des Nachbeulverhaltens. Diss. Essen 1996.<br />
Stability of onesided open, anchored circular cylindrical shells under external pressure with<br />
special consideration of the post-buckling behaviour.<br />
[17] Bronstein, I. N., Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik. 14. Auflage, Verlag<br />
Harry Deutsch, Frankfurt/Main, 1974. (neuere Auflage vorhanden)<br />
[18] Calladine, C.R.: Theory of Shell Structures. Cambridge University Press 1983.<br />
[19] Czerwenka, G.: Untersuchungen von dünnen kurzen Zylindern, die durch Ring-Kleinstprofil<br />
enger und mittlerer Teilung verstärkt sind und <strong>unter</strong> Manteldruck stehen. Z. Flugwiss. 9<br />
(1961), Heft 6, S. 163-190.<br />
[20] Dinkler, D., Pontow, J.: Imperfektionsempfindlichkeit und Grenzlasten von Schalentragwerken.<br />
Stahlbau 75 (2006), Heft 9, S. 694-700.<br />
[21] Esslinger, M.: Hochgeschwindigkeitsaufnahmen vom Beulvorgang dünnwandiger, axialbelasteter<br />
Zylinder. Stahlbau 39 (1970), 73-76.<br />
[22] Eßlinger, M., Ahmed, S.R., Schroeder, H.-H.: Stationäre Windbelastung offener und geschlossener<br />
kreiszylindrischer Silos. Stahlbau 40 (1971), Heft 12, S. 361-368.<br />
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[23] Feifel, E., Saal, H.: Tragverhalten axial belasteter Stutzen in Kreiszylinderschalen <strong>unter</strong> Berücksichtigung<br />
geometrischer und werkstofflicher Nichtlinearitäten. Stahlbau 75 (2006),<br />
Heft 9, S. 701-707.<br />
[24] Feifel, E.: Kreiszylinderschalen <strong>unter</strong> Einwirkung von Momenten und radialen Einzellasten.<br />
Diss. Karlsruhe 2007.<br />
[25] Flügge, W.: Die Stabilität der Kreiszylinderschale. Ingenieur-Archiv 3 (1932), 463-506.<br />
[26] Flügge, W.: Statik und Dynamik der Schalen. 3. Auflage, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg<br />
1982.<br />
[27] Gehrig, H.: Verankerungskräfte windbelasteter Kreiszylinderschalen. Stahlbau 71 (2002),<br />
Heft 1, S. 39–46.<br />
[28] Girkmann, K.: Flächentragwerke. <strong>Dr</strong>itte Auflage, Springer, Wien 1954.<br />
6. Aufl. 1963, unveränderter Nachdruck der 5. Aufl.<br />
[29] Greiner, R.: Zum Beulnachweis von Zylinderschalen <strong>unter</strong> Winddruck bei abgestuftem<br />
Wanddickenverlauf. Stahlbau 50 (1981), Heft 6, S. 176-179.<br />
[30] Greiner, R.: Cylindrical shells: wind loading. Chapter 17 in C.J. Brown, J. Nielsen (eds): Silos<br />
– Fundamentals of theory, behaviour and design. E&FN Spon, London 1998.<br />
[31] Hampe, E.: Rotationssymmetrische Flächentragwerke. Einführung in das Tragverhalten.<br />
Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin 1981.<br />
[32] Herber, K.-H.: Vorschlag von Berechnungsgrundlagen für Beul- und Traglasten von Schalen.<br />
Stahlbau 35 (1966), Heft 5, S. 142-151.<br />
[33] U. Hornung (2000), "Beulen von Tankbauwerken <strong>unter</strong> Außendruck", Diss. Universität<br />
Karlsruhe.<br />
[34] Ibach, D.: Untersuchungen zur Windbelastung turmartiger Bauwerke. Vertieferarbeit bei<br />
Prof. <strong>Dr</strong>.-Ing. F. Mang, Versuchsanstalt für Stahl, Holz und Steine, Universität Karlsruhe,<br />
1988. (Betreuer: Dipl.-Ing. Peter Knödel)<br />
[35] Knödel, P., Maierhöfer, D.: Zur Stabilität von Zylindern <strong>unter</strong> Axiallast und Randmomenten.<br />
Stahlbau 58 (1989), H. 3, S. 81-86.<br />
[36] Knödel, P.: Stabilitäts<strong>unter</strong>suchungen an kreiszylindrischen stählernen Siloschüssen. Dissertation,<br />
Universität Karlsruhe 1995.<br />
[37] Knoedel, P., Ummenhofer, T., Schulz, U.: On the Modelling of Different Types of Imperfections<br />
in Silo Shells. EUROMECH Colloquium 317, University of Liverpool, 21.-23. March<br />
1994. Thin-Walled Structures 23 (1995), pp. 283-293.<br />
[38] Knoedel, P., Ummenhofer, T.: Substitute Imperfections for the Prediction of Buckling Loads<br />
in Shell Design. Proceedings, Imperfections in Metal Silos - Measurement, Characterisation<br />
and Strength Analysis, pp. 87-101. BRITE/EURAM concerted action CA-Silo Working<br />
Group 3: Metal Silo Structures. International Workshop, INSA, Lyon, 19.04.96.<br />
[39] Knödel, P.: Lehrmaterialien zur Vorlesung Behälterbau an der Fachhochschule Karlsruhe,<br />
erreichbar <strong>unter</strong> www.peterknoedel.de/lehre/lehre.htm, von März 2003 bis Januar 2006 laufend<br />
aktualisiert.<br />
L_Wind_050925, Lasten aus Wind, 7 Seiten.<br />
FEM_05-09-25, Finite Elemente Methode (FEM); Bestimmung sinnvoller Elementgrößen,<br />
mit Übungsaufgaben.<br />
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Projekte P_Baurecht_NRW_05-04-02, Technisches Baurecht NRW am Beispiel eines Silos,<br />
15 Seiten.<br />
Projekte P_FEM_aussen_05-09-25, FEM-Beullasten, Zylinder <strong>unter</strong> Außendruck, 7 Seiten.<br />
Projekte P_FEM_axial_05-09-25, FEM-Beullasten, Zylinder <strong>unter</strong> Axiallast, 6 Seiten.<br />
Projekte P_Karman_11-03-15, Karmansche Wirbel, 4 Seiten.<br />
[40] Knoedel, P., Ummenhofer, Th.: Design of Squat Steel <strong>Tanks</strong> with R/T > 5000.<br />
TP056 in Motro, R. (ed.): Proc., IASS Symposium: Shell and Spatial Structures from Models<br />
to Realization, Montpellier, 20-24 September 2004.<br />
[41] Knödel, P., Ummenhofer, Th.: Ankerkräfte bei kurzen Zylinderschalen. Stahlbau 75 (2006),<br />
Heft 9, S. 723-728.<br />
[42] Knödel, P.: Schweißgerechtes Konstruieren an ausgewählten Beispielen. Vortrag an der SL-<br />
Eslohe am 26.10.2006, her<strong>unter</strong>ladbar <strong>unter</strong> www.peterknoedel.de.<br />
[43] Knoedel, P.: Recent Silo Codes – and still Structural Failure? pp 113-122 in:<br />
Chen, J.F., Ooi, J.Y., Teng, J.G. (eds): Structures and Granular Solids – From Scientific<br />
Principles to Engineering Applications. An international conference in celebration of the<br />
60 th birthday of Prof. J. Michael Rotter, The Royal Society of Edinburgh, Scotland, UK, 1-2<br />
July 2008. Taylor & Francis Group, London 2008. (invited lecture)<br />
[44] Knoedel, P.: Stability of a Thin-Walled Silo Hopper – Case Study. International Workshop<br />
on Thermal Forming and Welding Distortion, Bremen, April 06-07, 2011.<br />
[45] Kollár, L., Dulácska, E: Schalenbeulung. Theorie und Ergebnisse der Stabilität gekrümmter<br />
Flächentragwerke. Werner-Verlag, Düsseldorf 1975.<br />
[46] Kotan, E.: Auswirkungen unplanmäßiger Ovalisierungen bei zylindrischen Behältern. Diplomarbeit<br />
am Lehrstuhl für Stahl- und Leichtmetallbau, Universität Karlsruhe 1994.<br />
[47] Krupka, V. (ed): Proc., Int. Conf. Design, Inspection, Maintenance and Operation of Cylindrical<br />
Steel <strong>Tanks</strong> and Pipelines, Prague, Czech Republic, 8.-11. Oct. 2003.<br />
[48] Lorenz, R.: Achsensymmetrische Verzerrungen in dünnwandigen Hohlzylindern. Z-VDI 52<br />
(1908), 1706-1713.<br />
[49] Nölle, H.: Schwingungsverhalten abgespannter Maste in böigem Wind. Dissertation Karlsruhe<br />
1991.<br />
[50] Peil, U., Nölle, H.: Ermittlung der Lebensdauer hoher windbeanspruchter Bauwerke. Bauingenieur<br />
70 (1995).<br />
[51] Petersen, Chr.: Stahlbau, 3. überarbeitete und erweiterte Auflage, 2. durchgesehener Nachdruck.<br />
Vieweg, Braunschweig 1997.<br />
[52] Rotter, J.M.: Buckling of shallow conical shell roofs for small diameter tanks and silos.<br />
Proc., International conference on design, inspection and maintenance of cylindrical steel<br />
tanks and pipelines, Prague, Czech Republic, Oct 9-11 th 2003, pp 169-175.<br />
[53] Ruscheweyh, H.: Dynamische Windwirkung an Bauwerken. Bauverlag GmbH, Berlin 1982.<br />
Band 1: Grundlagen.<br />
Band 2: Praktische Anwendungen.<br />
[54] Saal, H.: Persönliche Mitteilung an P. Knödel. 03.06.2008.<br />
[55] H. Schmidt, B. Binder, H. Lange (1998), "Postbuckling strength design of open thin-walled<br />
cylindrical tanks under wind load", Thin-Walled Structures (1998) 203-220.<br />
Ingenieurbüro <strong>Dr</strong>. Knödel Vordersteig 52, D-76275 Ettlingen Peterhofstr. 3 b, D-86438 Kissing<br />
info@peterknoedel.de +49(0) 7243 – 32 40 913; Fax 76 54 16 +49(0) 8233 – 73 54 36 – 0; Fax – 3<br />
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HDT<br />
V0941<br />
Wind auf <strong>Tanks</strong><br />
E-H030-10-469-0<br />
22.03.2011 Essen Seite 42/42<br />
[56] Schmidt, H., Hautala, K.T.: Beulstabilität axialgedrückter Kreiszylinderschalen aus austenitischen<br />
nichtrostenden Stählen bei normalen und erhöhten Temperaturen. Bauingenieur<br />
Band 76 (2001), Heft 10, S. 464–473.<br />
[57] W. Schneider (2004), "Konsistente geometrische Ersatzimperfektionen für den numerisch<br />
gestützten Beulsicherheitsnachweis axial gedrückter Schalen", Stahlbau 73 (2004), Heft 4.<br />
[58] Schneider, W.: Die „ungünstigste“ Imperfektionsform bei stählernen Schalentragwerken –<br />
eine Fiktion? Submitted to Bauingenieur 79 (2004) - cited after [57].<br />
[59] Schneider, W.: Ersatzimperfektionen für den numerischen Beulsicherheitsnachweis stählerner<br />
Schalentragwerke – State of the Art. Stahlbau 75 (2006), Heft 9, S. 754-760.<br />
[60] Sockel, H.: Aerodynamik der Bauwerke. Vieweg, Braunschweig 1984.<br />
[61] Timoshenko, S.P.: Einige Stabilitätsprobleme der Elastizitätstheorie. Zeitschrift für Mathematik<br />
und Physik 58 (1910), S. 337-385.<br />
[62] Ummenhofer, T.: Stabilitätsverhalten imperfekter zylindrischer Stahlsiloschalen – experimentelle<br />
und theoretische Untersuchungen. Dissertation Universität Karlsruhe 1996.<br />
[63] Th. Ummenhofer, P. Knoedel (1996), "Typical Imperfections of Steel Silo Shells in Civil<br />
Engineering", Proc., Imperfections in Metal Silos – Measurement, Characterisation and<br />
Strength Analysis, pp. 103-118. BRITE/EURAM concerted action CA-Silo Working Group<br />
3: Metal Silo Structures. International Workshop, INSA, Lyon, 19.04.96.<br />
[64] Th. Ummenhofer, P. Knoedel (2000), "Modelling of Boundary Conditions for Cylindrical<br />
Steel Structures in Natural Wind", Paper No. 57 in M. Papadrakakis, A. Samartin, E. Onate<br />
(eds.): Proc., Fourth Int. Coll. on Computational Methods for Shell and Spatial Structures<br />
IASS-IACM, June 4-7, 2000, Chania-Crete, Greece.<br />
[65] Van Ommen, J.: Stand der Normung für Flachbodentanks für Lagerung bei Umgebungstemperatur.<br />
Technische Überwachung Band 46 (2005), Nr. 4 – April, S. 26-27.<br />
Anmerkung:<br />
Hinsichtlich der nicht-mehr-Gültigkeit von DIN 4119 irrt Herr van Ommen: in der LTB BW<br />
2009 ist DIN 4119 Teil 1 (1979) und Teil 2 (1980) immer noch uneingeschränkt aufgeführt.<br />
(aber das ist vielleicht ein Problem der <strong>unter</strong>schiedlichen Weltsicht von Bauingenieuren und<br />
Maschinenbauern)<br />
9.3 Sonstiges<br />
[66] N.N.: Strömungsmechanik in der Mathematischen Modellierung; Proseminar im WS<br />
2005/06, Universität Stuttgart. (ohne Verfasser)<br />
www.mathlab.de/mathematik/seminare/stroemungsmechanik/index.html (12.03.2011)<br />
[67] Windtechnologische Gesellschaft e.V., Aachen<br />
http://www.wtg-dach.org/index.php?id=205 (15.03.2011)<br />
[68] http://de.wikipedia.org<br />
(verschiedene Daten zu Personen))<br />
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