Anleitung WET

Praktikum Netzwerke und Schaltungen 

Wireless Energy Transfer 

WET 

März 2013 

V 1.3 UBA, JH

Einleitung 2

Einleitung 3 

Inhaltsverzeichnis 

Inhaltsverzeichnis .............................................................................. 3 

Einleitung ....................................................................................... 5 

Sicherheitsvorschriften ........................................................................ 6 

Nachmittag 1 ................................................................................... 7 

1 Netzfrequenztransformator ........................................................... 8 

1.1 Das Ersatzschaltbild des verlustbehafteten Transformators .............................. 8 

1.2 Identifikation der Wicklungsanschlüsse ...................................................... 8 

1.3 Magnetisierung des Einphasentransformators ............................................. 12 

1.4 Darstellung der Hystereseschleife .......................................................... 16 

1.5 Bestimmung der Komponenten des Ersatzschaltbilds .................................... 18 

1.6 Belastung des Transformators ............................................................... 20 

1.7 Betrieb des Transformators mit Gleichrichter ............................................ 22 

Nachmittag 2 .................................................................................. 24 

2 Pulstransformator ..................................................................... 25 

2.1 Bestimmung der Ersatzschaltbildparameter ............................................... 27 

2.2 Übertragungscharakteristik hochimpedanter Ausgang ................................... 28 

2.3 Übertragungsverhalten des belasteten Impulstransformators .......................... 30 

2.4 Bodeplot des Spannungsübersetzungsverhältnis .......................................... 32 

Nachmittag 3 .................................................................................. 35 

3 Induktive Kopplung .................................................................... 36 

3.1 Bestimmung der Induktivität ................................................................ 36 

3.2 Ersatzschaltbild der gekoppelten Spulen .................................................. 38 

3.3 Spannungs-Übersetzungsverhältnis ......................................................... 39 

3.4 Gekoppelte Spulen mit Belastung ........................................................... 43 

3.5 Berechnung einer idealen Strom- und Spannungsquelle ................................. 44 

3.6 Gekoppelte Spulen mit Serien-Resonanzkreis ............................................. 46 

3.7 Gekoppelte Spulen mit Parallel-Resonanzkreis ........................................... 48 

4 Der Tesla-Transformator ............................................................. 50 

4.1 Einleitung ....................................................................................... 50 

4.2 Aufbau .......................................................................................... 50 

4.3 Abschätzung der Ausgangsspannung ........................................................ 51 

4.4 Verhalten des Primärstromes ................................................................ 54 

5 Zusammenfassung ..................................................................... 56 

Anhang .......................................................................................... 58 

6 Übersicht der Laboreinrichtung ..................................................... 59 

6.1 Messequipment ................................................................................ 59 

6.2 Versorgungsgeräte ............................................................................. 60 

6.3 Versuchsaufbauten ............................................................................ 61 

7 Datenblätter und Schaltpläne ....................................................... 63 

7.1 Leistungsverstärker Velleman VM100 ....................................................... 63

Einleitung 4 

7.2 Schaltplan der Halbbrückenschaltung zur Ansteuerung des Teslatransformators .... 64 

7.3 Farbcodierung bedrahteter Festwiderstände.............................................. 65 

I. Quellenverzeichnis ............................................................................ 66

Einleitung 5 

Einleitung 

Kontaktlose Energieübertragung ist aus der heutigen elektronischen Welt nicht mehr wegzudenken 

– sei es wegen der Sicherheit, der Energietransformation oder der Mobilität. Die 

theoretischen Grundlagen dafür werden in den Lehrveranstaltungen des Grundstudiums wie 

„Netzwerke und Schaltungen“ unterrichtet. 

Im Rahmen dieses Praktikums können die Studenten die vermittelte Theorie praktisch im 

Labor erleben und festigen. Zu den vielen Versuchen zählen unter anderen die Messung der 

Ersatzschaltbild-Parameter eines Transformators, die Untersuchung von häufig vernachlässigten 

Effekten wie Streuflüsse und Magnetisierungsstrom, sowie die Bestimmung der Sättigungscharakteristik. 

Es wird anschaulich dargestellt, dass eine Erhöhung der 

Betriebsfrequenz des Transformators dessen Masse und Volumen bei gleichbleibender Leistung 

massiv reduziert, was ja die Grundlage des modernen Schaltnetzteil-Designs ist. Außerdem 

werden der Einsatz von Transformatoren in Pulsanwendungen und die induktive 

Erwärmung von metallischen Gegenständen illustrativ durchgeführt. Als Highlight soll ein 

funkensprühender Tesla-Transformator dimensioniert und aufgebaut werden. 

Liebe Teilnehmer, 

wir freuen uns über Ihr Interesse an diesem modernen und spannenden Thema der Elektrotechnik 

und begrüssen Sie recht herzlich zum Praktikumsteil „Wireless Energy Transfer“. 

Um einen möglichst breiten Kenntnisstand abzudecken finden Sie in dieser 

Versuchsanleitung eine Vielzahl an Experimenten. Es ist nicht zwingend notwendig, dass 

Sie jeden Versuch abarbeiten – wichtig ist, dass Sie sich beim Umgang mit den Messequipment 

und Versuchsaufbauten sicher fühlen und den ein oder anderen interessanten 

Aspekt der Experimente im Hinterkopf behalten. Zur Unterstützung stehen wir Ihnen jederzeit 

zur Verfügung – zögern Sie nicht, bei Unklarheiten zu fragen. Gern nehmen wir 

auch Ihr Feedback zu diesem Praktikum entgegen. 

Viel Spass und Erfolg wünschen Ihnen 

Christoph, Dardan, Enes, Frederik, Lukas, Mario, Martin, Miriam, Omid, Robin und Roman 

Jonas, Christoph, Florian und Toke 

Zürich, im Februar 2013 

http://www.pes.ee.ethz.ch 

Jonas Huber huber@lem.ee.ethz.ch, Tel. +41 44 63 29764 

Christoph Gammeter gammeter@lem.ee.ethz.ch, Tel. +41 44 63 28856

Sicherheitsvorschriften 6 

Sicherheitsvorschriften 

1. Wenn praktisch gearbeitet wird, sollen wenn immer möglich mindestens zwei Personen 

im gleichen Raum anwesend sein. 

2. Jeder Studierende/Mitarbeitende merkt sich den Standort und die Bedienung des 

nächsten Notschalters, der im Notfall möglichst rasch betätigt werden soll. 

3. Das Lichtnetz darf für Versuche nicht benützt werden. Es ist nicht über den Notschalter 

geführt. 

4. Die Versuche sind so aufzubauen, dass der Zugang zum Schaltpult frei bleibt. Dabei 

ist im Interesse der Sicherheit für Ordnung und Klarheit zu achten. 

5. Spannungsführende Teile sind nach Möglichkeit vor allfälliger Berührung zu schützen. 

Nicht benutzte Kabel sind beidseitig auszustecken und vollständig aus der 

Schaltung zu entfernen. 

6. Gehäuse von Geräten dürfen im Allgemeinen nicht auf Spannung gelegt werden. Ist 

dies in Ausnahmefällen trotzdem notwendig, so sind besondere Sicherheitsmassnahmen 

zu ergreifen. Gegebenenfalls sind bei KO Isoliergehäuse und Schutztransformatoren 

zu verwenden. 

7. Kabelquerschnitte sind so zu wählen, dass im Betrieb keine schädliche Erwärmung 

auftritt. 

8. Rotierende Teile sind gegen zufällige Berührung zu schützen. 

9. Vor dem Einschalten ist die Versuchseinrichtung zu kontrollieren. 

10. Es ist untersagt, an unter Spannung stehenden Starkstromeinrichtungen (Spannung ≥ 

50V) Schaltungsänderungen vorzunehmen. Als Starkstromeinrichtungen gelten auch 

solche mit Spannung unterhalb 50 V, sofern der max. Strom mehr als 2 A beträgt. 

11. Es ist verboten, Versuchseinrichtungen unnötigerweise (zum Beispiel in Arbeitspausen) 

unter Spannung zu halten. 

12. Defektes Material muss sofort gemeldet und umgetauscht werden. 

13. Man studiere die Anschläge über Massnahmen für erste Hilfe und bei Schadenereignissen. 

Bei Unfällen ist sofort zusätzlich das Sekretariat zu benachrichtigen (Tel. Intern 

2 28 33).

Sicherheitsvorschriften 7 

Nachmittag 1 

Zur praktischen Arbeit in einem Labor gehören immer auch der Austausch und 

die Diskussion mit anderen anwesenden Personen. Deshalb: wenn Sie Fragen 

haben oder wenn Sie etwas genauer wissen möchten, als es in der Anleitung 

beschrieben ist, zögern Sie nicht, die auf die Assistierenden zuzugehen und 

Ihre Fragen mit ihnen zu diskutieren!

Netzfrequenztransformator 8 

1 Netzfrequenztransformator 

Generell nutzt man die kontaktfreien Energieübertragung zum einem zur Übertragung von 

Leistung und zum anderen zur Übertragung von Signalen. Die Kopplung zwischen „Sender“ 

und „Empfänger“ der Energie hat dabei einen grossen Einfluss auf die Übertragungseffizienz 

und Signalabbildung. Bei eng-gekoppelten Systemen wird der magnetische Fluss in einem 

weichmagnetischen Material wie geblechte Kerne oder Ferrite konzentriert um den 

Streufluss möglichst gering zu halten. Bei bestimmten Anwendungen wie Funkübertragung 

und das kontaktfreie Laden eines Elektrofahrzeuges sind die Erreger- und Empfängerspule 

jedoch nur durch das magnetische Feld in der Luft gekoppelt. 

Im Praktikumsteil “Wireless Energy Transfer“ werden eng-gekoppelte Übertragung von 

Leistung und Signalen sowie die Leistungsübertragung mit geringer Kopplung experimentell 

untersucht. Als erster wichtiger Vertreter werden 50-Hz-Transformatoren näher betrachtet, 

die in unseren Verteilnetzen verwendet werden. Dabei werden unter anderen die Parameter 

eines Transformator-Ersatzschaltbildes messtechnisch bestimmt, die Hysterese der 

Magnetisierungskennlinie mit dem Oszilloskop gemessen, sowie der Einfluss verschiedener 

Lasten untersucht. 

1.1 Das Ersatzschaltbild des verlustbehafteten Transformators 

Die grundlegende Funktionsweise des Transformators wird in der Vorlesung „Netzwerke 

und Schaltungen II“ eingeführt und im Buch „Grundlagen der Elektrotechnik 1“ von M. Albach, 

S. 274ff. besprochen. Dort wird auch das in Abb. 1.1 gezeigte Ersatzschaltbild des 

verlustbehafteten Transformators eingeführt. Sie werden gebeten, die entsprechenden 

Seiten im Buch zu studieren bzw. zu repetieren, damit Sie von den folgenden Versuchen 

optimal profitieren können. 

Abb.1.1: Ersatzschaltbild des Verlustbehafteten Transformators. 

1.2 Identifikation der Wicklungsanschlüsse 

Der zu untersuchende Netztransformator beinhaltet drei Wicklungen mit einer Spannungsübersetzung 

von 50V/25V/25V.


• Bestimmen Sie die Wicklungswiderstände des Transformators mit der 

Messschaltung nach Abb.1.2. Es wird die spannungsrichtige Messmethode 

angewendet, da der Wicklungswiderstand des Trafos um Größenordnungen 

niedriger ist als der Innenwiderstand des Voltmeters. 

Beachten Sie, dass die Messung der Wicklungswiderstände mit Gleichspannung 

und –strom durchgeführt wird. Stellen Sie deshalb die Multimeter 

für die Strom- und Spannungsmessung auf „DC“ ein! 

• Warum wird die Messung mit Gleichstrom durchgeführt? 

• Tragen Sie die Messwerte für alle drei Wicklungen in Tab.1.1 ein und errechnen 

Sie den Wicklungswiderstand. 

• Vergleichen Sie das Messergebnis mit der Ohmmessung mit dem Multimeter 

und tragen Sie die Werte auch in Tab.1.1 ein. 

Informationen zu den Schaltplansymbolen befinden sich im Anhang dieser Anleitung. 

Bezeichner Wert Kommentar 

G1 1A Power Supply GW Instek GPS-3303 

P1 I1 Multimeter Fluke 175 

P2 U1 Multimeter Fluke 175 

T1 50V / 2x25V Transformator 50V / 2x25V / 50VA / 50/60Hz 

Abb.1.2: Messschaltung zur Messung der Wicklungswiderstände des 50Hz Transformators. 

Wicklung U I R R Ohmmeter 

(V) (A) (Ω) (Ω) 

1 

2 

3 

Tab.1.1: Messtabelle zur Bestimmung der Wicklungswiderstände. 

Die Messtabellen können im entsprechenden Excel-File ausgefüllt werden, was 

dem typischen Vorgehen im Labor entspricht: da jeder Messpunkt direkt im Plot 

erscheint, können z.B. Abweichungen vom erwarteten Verhalten rasch erkannt 

werden. Die Excel-Vorlagen finden Sie auf der Website zum Praktikum.


Ein Transformator besitzt neben der Eigenschaft der galvanischen Trennung auch die Möglichkeit 

der Phasenverschiebung der Sekundärspannung. 

• Bauen Sie die Messschaltung nach Abb.1.3 auf. Beachten Sie, dass nun 

der Stelltransformator als Wechselspannungsquelle (AC) verwendet wird, 

also mit einer 50Hz-Wechselspannung gearbeitet wird. 

• In der Messschaltung sind die Wicklungsenden nicht beschriftet. Versuchen 

Sie durch Messung mit dem Oszilloskop die Anschlüsse 1-6 des 

Transformators zu identifizieren und tragen Sie die Anschlussbezeichnungen 

in die Messschaltung ein. Sie sollten ein Oszillogramm nach 

Abb.1.4(a) erhalten, sodass alle Spannungen die gleiche Phasenverschiebung 

aufweisen. 

• Versuchen Sie nun, die Sekundärseite des Transformators so zu verschalten, 

dass Sie zwei um 180° phasenverschobene Spannungen auf der Sekundärseite 

erhalten. Sie sollten ein Oszillogramm nach Abb.1.4(b) 

erhalten. Diese Schaltungsvariante wird bei Mittelpunktschaltungen von 

Gleichrichtern angewendet. 

Unbedingt die 1:10-Tastköpfe, die zum Oszilloskop gehören, verwenden. Niemals 

eine Leitung verwenden, die auf einer Seite eine Koaxialbuchse und auf 

der anderen zwei Verbindungsstecker hat! Dadurch würden bis zu 50V an den 

Eingängen des Oszilloskops anliegen, was diese beschädigen könnte. 


G1 50V AC Source Rusa 0...60VAC 1A 

P1 Ch1-3 Oszilloskop Agilent DSO-X 2004A 

T1 50V/2x25V Transformator 50V / 2x25V / 50VA / 50/60Hz 

Abb.1.3: Messschaltung zur Identifikation der Wicklungsanschlüsse des 50Hz Transformators.


(a) 

ANALOG 

Ch 1 Scale 20.0V/, Pos 0.0V, Coup DC, BW Limit Off, Inv Off, Imp 1M Ohm 

Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 

Ch 2 Scale 20.0V/, Pos -1.0000V, Coup DC, BW Limit Off, Inv Off, Imp 1M Ohm 

Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 


Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 

TRIGGER 

Sweep Mode Normal, Coup DC, Noise Rej Off, HF Rej Off, Holdoff 40.0ns 

Mode Edge, Source Line Trigger, Slope Rising 

HORIZONTAL 

Mode Normal, Ref Center, Main Scale 5.000ms/, Main Delay -1.700000000ms 

ACQUISITION 

Mode Normal, Realtime On, Vectors On, Persistence Off 

MEASUREMENTS 

RMS - N cycles(1), Cur 50.0V, Mean 50.0V, Min 49.7V, Max 50.1V, Std Dev 100mV, Count 1.040k 



(c) 

Abb.1.4: Oszillogramm des 50Hz Trafos bei gleichphasigem (a) und gegenphasigem (b) 

Anschluss der Wicklungen sowie Oszilloskop-Einstellungen (c). 

(b)


1.3 Magnetisierung des Einphasentransformators 

In Folge der nichtlinearen Charakteristik der Magnetisierungskennlinie (Hystereseschleife) 

ist der Magnetisierungsstrom des Transformators selbst bei sinusförmiger Versorgungsspannung 

nichtsinusförmig. 

• Bauen Sie die Messschaltung nach Abb.1.5 auf. 

Sie sollten Oszillogramme nach Abb.1.6 erhalten. 

• Variieren Sie die Eingangsspannung (+/- 20%) und beobachten Sie den 

Magnetisierungsstrom. Bei Überspannung am Netz kann der Magnetisierungsstrom 

signifikant werden, beobachten Sie das Amperemeter der 

Versorgungseinheit. 




P2 100mV/A Stromzange Agilent 1146A 

S1 Schliesser Durch Laborstrippen herstellen 


Abb.1.5: Messschaltung zur Messung des Magnetisierungsstroms des 50Hz Transformators.


(a) 

(b) 

Abb.1.6: Oszillogramm des Magnetisierungsstroms des 50Hz Trafos bei Unterspannung 

(40V, (a)) Nennspannung (50V, (b)), Überspannung (60V, (c)). 

(c)


Das Einschalten eines Transformators führt wegen der Sättigung des Eisens je nach Einschaltzeitpunkt 

zu einem signifikanten Einschaltstrom. 

• Stellen Sie das Oszilloskop auf „Single“ Trigger auf Kanal 1 und versuchen 

Sie, die Oszillogramme nach Abb.1.7 nachzuvollziehen. Obwohl der 

Nennstrom des Transformators nur 1A ist, kann der Einschaltstromstoss 

selbst im Leerlauf mehr als 4A betragen. 

• Überlegen Sie sich, warum es günstige und ungünstige Fälle gibt und worin 

sich diese unterscheiden! Wo ist der optimale Einschaltzeitpunkt? 

Hinweis: überlegen Sie sich den Zusammenhang zwischen am Kern angelegter 

Spannungszeitfläche und dem magnetischen Fluss im Kern! 

(a) 

ANALOG 


Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 

Ch 2 Scale 2.00A/, Pos 0.0A, Coup DC, BW Limit Off, Inv Off, Imp 1M Ohm 

Probe 0.1V/A, Skew 0.0s 

TRIGGER 


Mode Edge, Source Ch 1, Slope Rising, Level 20.0000V 

HORIZONTAL 

Mode Normal, Ref Center, Main Scale 5.000ms/, Main Delay 15.000000000ms 

ACQUISITION 


MEASUREMENTS 

RMS - N cycles(1), Cur No edges, Mean 49.8V, Min 46.2V, Max 50.9V, Std Dev 1.3V, Count 24 

RMS - N cycles(2), Cur No edges, Mean 240mA, Min 196mA, Max 329mA, Std Dev 50mA, Count 8 

Maximum(2), Cur 4.26A, Mean 920mA, Min 120mA, Max 4.42A, Std Dev 1.29A, Count 29 

Minimum(2), Cur -240mA, Mean -1.26A, Min -4.50A, Max -200mA, Std Dev 1.32A, Count 29 

(b) 

(c) 

Abb.1.7: Oszillogramm des Einschaltstroms des Trafos in einem günstigen (a) und ungünstigen 

Zeitpunkt (b) und Oszilloskop-Einstellungen (c). 

Nähere Informationen zu Schaltvorgängen in Netzwerken mit Wechselspannungsquellen 

befinden sich beispielsweise in [4] (S.174 ff).

Netzfrequenztransformator 15


1.4 Darstellung der Hystereseschleife 

Im folgenden Versuch werden wir die Magnetisierungskennlinie (Hystereseschleife) des Eisenkerns 

sichtbar machen. Die Hystereseschleife beschreibt den Zusammenhang B = f(H). 

Die Flussdichte B ist bestimmt durch das Induktionsgesetz: 

dφ (1.1) 

u = N 

dt 

1 

B = ∫ udt 

NA 

d.h. die Flussdichte ist proportional zum Integral der Spannung. Wird ein Tiefpass über 

seiner Grenzfrequenz f g betrieben, so weist er integrales Verhalten auf. Diesen Umstand 

machen wir uns zu Nutze und dimensionieren ein Tiefpassfilter mit einer Grenzfrequenz 

von 5Hz: 

1 

f 

g 

= 

2πRC 

1 

R = = 

2πf 

C 

g 

1 

2π 

5Hz10µ 

F 

= 3.2kΩ 

gew.3k3 

(1.2) 

D.h. ein Tiefpassfilter integriert die Transformatorsekundärspannung und wir erhalten eine 

Spannung, die proportional zur Flussdichte des Eisenkerns ist. Die magnetische Feldstärke 

H ist proportional zum Strom i: 

H 

i ⋅ N 

= 

l 

(1.3) 

Damit kann die Hystereseschleife dargestellt werden: 

• Bauen Sie die Messschaltung nach Abb.1.8 auf, Sie sollten ein Oszillogramm 

nach Abb.1.9 erhalten. Das Oszilloskop befindet sich im X/Y Betrieb 

(„Horiz“-Button) und die Einstellung „Aquisition“ wurde auf Hi Res 

(hohe Auflösung) gestellt. 

• Variieren Sie die Eingangsspannung von 0…60V und beobachten Sie die 

Magnetisierungsschleife, Sie können die Hysterese und die Sättigung erkennen.



C1 10µF/100V 




R1 3k3 


Abb.1.8: Messschaltung zur Messung der Hystereseschleife des 50Hz Transformators. 

B ~ u 

ANALOG 

Ch 1 Scale 100mA/, Pos 0.0A, Coup DC, BW Limit Off, Inv Off, Imp 1M Ohm 

Probe 0.1V/A, Skew 0.0s 


Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 

TRIGGER 


Mode Off 

HORIZONTAL 

Mode XY 

ACQUISITION 

Mode High Res, Realtime On, Vectors Off, Persistence Variable 

H ~ NN 

(a) 

(b) 

Abb.1.9: Oszillogramm der Hystereseschleife des Trafos (a) und Oszilloskop- 

Einstellungen (b).


1.5 Bestimmung der Komponenten des Ersatzschaltbilds 

Der Transformator weist ein Ersatzschaltbild nach Abb.1.10 auf. Bei der Ersatzschaltung 

nicht berücksichtigt sind die Spannungsübersetzung und die galvanische Trennung. Der 

Längszweig (bestehend aus den Wicklungswiderständen R 1 und R 2 sowie den Streuinduktivitäten 

L 1s und L 2s ) ist niederohmig im Vergleich zum Querzweig (bestehend aus der Hauptinduktivität 

L h und dem Eisenverlustwiderstand R fe ). 

(a) 

(b) 

(c) 

Abb.1.10: Vollständige Ersatzschaltung eines Transformators (a), vereinfachte Ersatzschaltungen 

für den Leerlaufversuch (b) und Kurzschlussversuch (c) und (d). 

R 1 und R 2 sind bereits in Versuch 1.2 bestimmt worden. Die weiteren Komponenten des 

Ersatzschaltbildes des Transformators können daher mit zwei Versuchen (Leerlauf- und 

Kurzschlussversuch) experimentell bestimmt werden. Beim Leerlaufversuch wird der 

Längszweig vernachlässigt (Abb.1.10(b)) und damit die Komponenten im Querzweig be- 

(d)


stimmt, beim Kurzschlussversuch ist es genau umgekehrt (Abb.1.10(c)). Dabei werden die 

Wicklungswiderstände R 1 und R 2 zu R K und die Streuinduktivitäten L 1s und L 2s zu L K zusammengefasst 

(Abb.1.10(d)). 

• Bauen Sie die Messschaltung nach Abb.1.11(a) auf. Um die Eisenverluste 

(R fe ) bestimmen zu können, muss man die Eingangsleistung P1 messen können. 

Am Übungsplatz liegt kein Wattmeter auf, der Eisenverlustwiderstand 

wird daher vernachlässigt. 

• Bestimmen Sie L h aus den Messwerten. 

• Stellen Sie die AC-Quelle wieder auf 0V ein und schalten Sie das Messgerät 

auf der Sekundärseite als Amperemeter (P3 in Abb.1.11(b)). 

• Erhöhen Sie die Eingangsspannung vorsichtig bis der Nennstrom (1A) fliesst. 

• Bestimmen Sie L K aus den Messwerten und ermitteln Sie L 1s = L 2s . Die Wicklungswiderstände 

sind bereits aus Tab.1.1 bekannt. 

Nun ist der Transformator identifiziert, die Komponenten des Ersatzschaltbilds sind bekannt. 

Die AC-Spannungsquelle ist am Ausgang mit einer 1A-Sicherung abgesichert. D.h. 

wenn der Ausgangsstrom über 1A ansteigt, brennt diese Sicherung durch und 

schützt so die restlichen Komponenten im System. Fahren Sie also insbesondere 

beim Kurzschlussversuch die Spannung nur sehr langsam hoch und beobachten 

Sie dabei die Anzeige des Strommesswertes! 

(a) 

(b) 





P3 U2, I2 Multimeter Fluke 175 


Abb.1.11: Messschaltung zum Leerlauf- (a) und Kurzschlussversuch (b).


1.6 Belastung des Transformators 

• Belasten Sie den Transformator mit ohmscher Nennlast und erstellen Sie ein 

Zeigerdiagramm in Abb.1.14, wobei der Eisenwiderstand R Fe zu vernachlässigen 

ist. (Fakultativ – die Praktikumsbetreuung hilft gerne!) 

• Vergleichen Sie den unter Belastung gemessenen Magnetisierungsstrom 

(Abb.1.13) mit dem im Leerlauf gemessenen (Abb.1.6). 

Beachten Sie, dass auch die Lastwiderstände mit einer Sicherung vor Überlastung 

geschützt sind (1.25A für den 0-100Ω-Widerstand und 0.63A für den 100-600Ω- 

Widerstand). 

Erfahrungsgemäss ist im Falle eines „seltsamerweise“ nicht (mehr) funktionierenden 

Versuchsaufbaus das Problem häufig eine durchgebrannte Sicherung; es empfiehlt 

sich in einem solchen Fall also, kurz die Sicherung zu überprüfen. 








P5 Ch1 Oszilloskop Agilent DSO-X 2004A 

R1 100Ω Belastungswiderstand 


Abb.1.12: Messschaltung zur Messung des Magnetisierungsstroms bei Belastung.


Abb.1.13: Oszillogramm des Magnetisierungsstroms des 50Hz Trafos bei Nennspannung 

(50V) und Nennlast. 

Abb.1.14 Zeigerdiagramm des belasteten Transformators. Der Eisenwiderstand R fe soll 

vernachlässigt werden.


1.7 Betrieb des Transformators mit Gleichrichter 

Transformatoren werden sehr häufig in Elektronikschaltkreisen zur Erzeugung von Kleinspannungen 

verwendet. Dabei werden ein Brückengleichrichter zum Gleichrichten der 

Wechselspannung und ein Kondensator zur Glättung verwendet. 

• Realisieren Sie die Messschaltung nach Abb.1.15, belasten Sie die Schaltung 

mit Nennlast (50V, 1A). 

• Sie sollten ein Oszillogramm nach Abb.1.16(a) erhalten. 

• Schalten Sie nun einen Elektrolytkondensator (z.B. 220µF) mit ausreichender 

Spannungsfestigkeit parallel zum Lastwiderstand R1. 

• Beachten Sie den Primärstrom und achten Sie darauf, den Transformator 

nicht zu überlasten, siehe Abb.1.16(b). 

Beachten Sie, dass bei falschem Anschliessen der Diodenbrücke einzelne Dioden 

durch Überstrom zerstört werden können. Um die korrekte Polarität der Dioden 

zu überprüfen, kann z.B. das Multimeter im entsprechenden Modus verwendet 

werden. 

Beim Anschliessen des Elektrolytkondensators muss unbedingt auf die korrekte 

Polarität geachtet werden! Explosionsgefahr! Verwenden Sie die bereitgestellten 

Schutzbrillen! 


D1-D4 GBPC2506W Gleichrichterbrücke 25A 








R1 100Ω Belastungswiderstand



Abb.1.15: Messschaltung zur Untersuchung des Betriebs eines Brückengleichrichters 

an einem Transformator. 

(a) 

Abb.1.16: Oszillogramm des Transformatorprimärstroms, der Trafoprimärspannung 

und der Ausgangsspannung des 50Hz Trafos bei Betrieb mit einem Brückengleichrichter 

und ohmscher Last (a) und ohmsch-kapazitiver Last (b). 

Öffnen Sie nun die rückseitige Klappe und inspizieren Sie die Größe des 50VA Netzfrequenztransformators 

(50Hz). Schauen Sie sich auch die Größe des 50VA Transformators an, 

der für eine Frequenz von 5kHz dimensioniert wurde. Diskutieren Sie den Grund für den 

beobachteten Unterschied mit einem Assistenten! 

(b)


Nachmittag 2

Pulstransformator 25 

2 Pulstransformator 

Pulstransformatoren (auch Impulstransformator oder einfach Übertrager genannt) dienen 

primär zur galvanisch getrennten Informationsübertragung von digitalen und analogen Signalen, 

im Gegensatz zu den Transformatoren mit dem Ziel der Leistungsübertragung in 

Kapitel 1. Pulstransformatoren sind beispielsweise ein wichtiges Glied bei der Signalübertragung 

in lokalen Netzwerken wie Ethernet, um die angeschlossenen Geräte vom Potential 

des Netzwerkes zu trennen und auch noch einen Überspannungsschutz zu gewährleisten. In 

leistungselektronischen Schaltungen werden Pulstransformatoren zur potentialgetrennten 

Ansteuerung von Leistungsschaltern wie MOSFETs, IGBTs und Bipolar-Transistoren verwendet. 

(Zwingend notwendig beispielsweise bei der Ansteuerung der oberen Schalter in der 

Halbbrücke, die zur Ansteuerung des Teslatransformators in Kapitel 4 verwendet wird. 

Schauen Sie sich die Platine einmal an – können Sie den Pulstransformator finden?) 

Während bei der Leistungsübertragung die Energieeffizienz im Vordergrund steht, liegt der 

Fokus bei der Auslegung des Pulstransformators auf einer möglichst exakten Wiedergabe 

des Eingangssignals auf der Sekundärseite des Pulstransformators, d.h. der Einfluss der 

parasitären Elemente wie Streuinduktivität und Wicklungskapazität sollen möglichst gering 

sein. Um die Streuung zu verkleinern, werden die Wicklungen häufig bifilar oder ineinander 

verschachtelt ausgeführt. Im Zuge einer hohen Durchschlagsfestigkeit zwischen Primärund 

Sekundärseite werden die Wicklungen aber auch getrennt wie bei dem hier verwendeten 

Pulstransformator. Des Weiteren werden Kerne mit einer hohen Permeabilität µ r verwendet, 

um eine rasche Um-Magnetisierung mit einem geringen magnetischen Feld zu 

garantieren. 

Im Folgenden wird das Übertragungsverhalten eines Pulstransformators näher untersucht. 

Die bekannten Transformator-Ersatzschaltbilder sind auch beim Pulstransformator gültig, 

deren charakteristische Komponentenwerte sollen im Folgenden bestimmt werden. Die 

Herangehensweise ist analog zu den Leistungstransformatoren: Zunächst können die Wicklungswiderstände 

durch eine Spannungs- und Strommessung bestimmt werden. Durch den 

Kurzschluss- und Leerlaufversuch können die Induktivitäten bestimmt werden. Allerdings 

ist der Magnetisierungsstrom viel geringer als bei den Leistungstransformatoren und kann 

somit mit der zur Verfügung stehenden Strommesszange nicht aussagekräftig gemessen 

werden. Deshalb wurde ein Impedanzmessgerät (Precision Impedance Analyser Agilent 

4294A) eingesetzt um den Kurzschluss- und Leerlaufversuch durchzuführen. Die gemessenen 

Kurven sind in Abb.2.1 dargestellt. 

Pulstransformator 

Windungszahlverhältnis (N 1 :N 2 ) 25:25 

Drahtdurchmesser d Cu 0.34 mm 

Epcos Toroid Kern R16 

Innendurchmesser d i 9.6 mm 

Aussendurchmesser d a 16.0 mm 

Höhe h 6.3 mm


(a) Leerlaufversuch 

(b) Kurzschlussversuch 

Abb.2.1 Messung des Pulstransformators mit dem Impedanzmessgerät (Precision Impedance 

Analyser Agilent 4294A). (a) Leerlaufversuch (b) Kurzschlussversuch.


2.1 Bestimmung der Ersatzschaltbildparameter 

Aus den Impedanzkurven in Abb.2.1 kann die Magnetisierungs- und Streuinduktivität bestimmt 

werden. Der Marker in der Grafik ist auf 125kHz eingestellt, die Frequenz, bei welcher 

der Pulstransformator betrieben werden soll. Oben rechts in der Abbildung ist der 

entsprechende Wert des Markers eingeblendet. 

• Skizieren Sie das Ersatzschaltbild des Pulstransformators, dass Sie im Folgenden 

verwenden möchten. 

• Führen Sie eine Gleichspannungsmessung durch zur Bestimmung der Wicklungswiderstände 

und tragen Sie die Ergebnisse in Tab.2.1 ein. 

• Bestimmen Sie aus den Impedanzkurven in Abb.2.1 die Magnetisierungsund 

Streuinduktivität. 

Abb.2.2 Ersatzschaltbild des Pulstransformators. 

Wicklung U I R 

(V) (A) (Ω) 

1 

2 

L h = ……… mH 

L s = ……… µH 

Tab.2.1: Messtabelle zur Bestimmung der Wicklungswiderstände.


2.2 Übertragungscharakteristik hochimpedanter Ausgang 

Bei diesem Experiment wird das Übertragungsverhalten im Fall einer sekundärseitig angeschlossenen 

Schaltung mit einer hohen Eingangsimpedanz untersucht. 

• Bauen Sie die Messschaltung mit dem Pulstransformator nach Abb.2.3 auf. 

• Stellen Sie am Funktionsgenerator eine Rechteckspannung mit einer Frequenz 

von 125kHz und einer Amplitude von 10V ein. 

• Oszillographieren Sie die Ein- und Ausgangsspannung des Übertragers 

(vgl. Abb.2.4). 

• Bestimmen Sie näherungsweise die Wicklungskapazität basierend auf einer 

Schwingung der Sekundärspannung (vgl. Abb.2.5). Hinweis: beachten 

Sie, dass der Oszilloskoptastkopf eine parasitäre Kapazität von 15pF hat, 

die parallel zur Wicklungskapazität wirkt! 

• Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse mit einem Assistierenden! 

Beachten Sie, dass Sie keinen Offset am Funktionsgenerator einstellen dürfen, da 

dieser DC-Anteil zur Sättigung des Kerns führen würde. Einer Amplitude von 10V 

entspricht die Einstellung von 20Vpp, wobei „pp“ für „peak-to-peak“ steht. 


G1 Rechteck Funktionsgenerator Agilent 33210A 


T1 Spulen Pulstrafo 

Abb.2.3 Messschaltung zur Bestimmung der Charakteristika des Pulstransformators 

mit hochimpedanter Auskopplung.


ANALOG 


Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 


Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 

TRIGGER 

Sweep Mode Auto, Coup DC, Noise Rej Off, HF Rej Off, Holdoff 40.0ns 


HORIZONTAL 

Mode Normal, Ref Center, Main Scale 2.000us/, Main Delay 0.0s 

ACQUISITION 


Abb.2.4 Oszillogramm der Ein- und Ausgangsspannung am Pulstransformator.


ANALOG 


Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 

TRIGGER 


Mode Edge, Source Ch 2, Slope Rising, Level -20.0mV 

HORIZONTAL 

Mode Normal, Ref Center, Main Scale 100.0ns/, Main Delay 310.000ns 

ACQUISITION 


Abb.2.5 Oszillogramm (Zoom) der Ausgangsspannung am Pulstransformator. 

2.3 Übertragungsverhalten des belasteten Impulstransformators 

Nun wird der Pulstransformator sekundärseitig mit einen 47Ω-Widerstand abgeschlossen. 

• Ergänzen Sie die Schaltung mit einen möglichst niederinduktiv anzuschliessenden 

47Ω-Widerstand wie in Abb.2.6 gezeigt. 

• Oszillographieren Sie die Ein- und Ausgangsspannung des Übertragers 

(vgl. Abb. 2.7). 

• Wieso sinkt die Spannung im Vergleich zum unbelasteten Ausgang? 

• Warum verschwindet die Schwingung am Anfang des Pulses? 

• Wie erklären Sie sich die Überhöhung der Eingangsspannung? (Tipp: Benutzen 

Sie das verwendete Ersatzschaltbild von Abb.2.2). 

• Berechnen Sie basierend auf dem Ersatzschaltbild die Zeitkonstante τ des 

Einschwingvorganges und vergleichen Sie den Wert mit der Messung. (Beziehen 

Sie den Innenwiderstand des Funktionsgenerators mit ein.) 


G1 Rechteck Funktionsgenerator Agilent 33210A 



T1 Spulen Pulstrafo 

Abb.2.6 Messschaltung zur Bestimmung der Charakteristika des Pulstransformators 

mit einem 47-Ω Widerstand.


ANALOG 


Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 


Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 

TRIGGER 


Mode Edge, Source Ch 2, Slope Rising, Level -200.0mV 

HORIZONTAL 

Mode Normal, Ref Center, Main Scale 2.000us/, Main Delay 256.000ns 

ACQUISITION 


Abb. 2.7 Oszillogramm der Ein- und Ausgangsspannung am Pulstransformator mit 47Ω 

Abschlusswiderstand. 

ANALOG 


Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 


Probe 10.0000 : 1, Skew 0.0s 

TRIGGER 



HORIZONTAL 

Mode Normal, Ref Center, Main Scale 200.0ns/, Main Delay 256.000ns 

ACQUISITION 


Abb. 2.8 Oszillogramm der Ein- und Ausgangsspannung (Zoom) am Pulstransformator 

mit 47-Ω Abschlusswiderstand.


2.4 Bodeplot des Spannungsübersetzungsverhältnis 

Bei höheren Frequenzen treten die gemessenen Induktivitäten und die parasitären Kapazitäten 

in Resonanz, was aus der Messung der Impedanz in Abb.2.1 ersichtlich ist (die Resonanzfrequenz 

haben Sie bereits im Abschnitt 2.2 bestimmt). In diesem Abschnitt soll der 

Bodeplot berechnet und messtechnisch validiert werden. 

Ein vereinfachtes ESB, das für diese Betrachtungen gut geeignet ist, ist in Abb. 2.9 gezeigt. 

Primärseitig ist der Funktionsgenerator angeschlossen, der durch eine Spannungsquelle, 

v in (t), und einen Innenwiderstand von R FG = 50Ω beschrieben werden kann. Der Pulstransformator 

selbst ist unter Vernachlässigung der Hauptinduktivität als Reihenschaltung der 

gesamten Streuinduktivität, des gesamten Wicklungswiderstandes und der Wicklungskapazität 

modelliert, wobei die Spannung über der Wicklungskapazität der sekundärseitigen 

Ausgangsspannung entspricht. Diese Spannung liegt folglich über dem Lastwiderstand, R L , 

an. Parallel zu diesem kommt die Kapazität des Tastkopfes, C P , zu liegen, welche wie ja 

schon oben beschrieben parallel zum Lastwiderstand wirkt und somit die effektiv an der 

Schwingung beteiligte Kapazität vergrössert und die Resonanzfrequenz gegenüber dem 

Messwert des Impedance Analyzers absenkt. 

Abb.2.9 Oszillogramm (Zoom) der Ausgangsspannung am Pulstransformator. 

Ausgehend von diesem Ersatzschaltbild können nun im Laplace-Bereich die folgenden beiden 

Übertragungsfunktionen berechnet werden: 

G 1 (s) = V 1(s) 

V in (s) und G 2(s) = V 2(s) 

V in (s) 

Auf die einzelnen Schritte dieser Herleitung soll hier nicht eingegangen werden; die Assistierenden 

zeigen Ihnen diese bei Interesse aber gerne. Als Resultate dieser Rechnung erhält 

man die folgenden beiden Ausdrücke: 

R FG 

G 1 (s) = V 1(s) 

V in (s) = 1 − 

1 

R FG + R 1 + R 2 + s(L s1 + L s2 ) + 

1 

+ s(C 

R w + C p ) 

L


G 2 (s) = V 2(s) 

V in (s) = 1 

1 1 

+ s(C 

R w + C p ) R FG + R 1 + R 2 + s(L s1 + L s2 ) + 

L 1 

 

+ s(C 

R w + C p ) 

L 

Diese Übertragungsfunktionen können nun mit Hilfe von Software wie z.B. MATLAB als Bodediagramme 

dargestellt werden. Weiter können die Schrittantworten geplottet werden. 

• Ein entsprechend vorbereitetes Matlab-Skript finden Sie auf der Website 

zum Praktikum („bode.m“). In diesem Skript sind die obigen Übertragungsfunktionen 

bereits eingetragen. Beachten Sie die Hinweise im MAT- 

LAB-Skript und diskutieren Sie ihre Ergebnisse mit einem Assistierenden. 

Für die messtechnische Überprüfung können Sie den Aufbau von Abb.2.6 beibehalten. 

• Verwenden Sie das Matlab-Skript, um abzuschätzen, wie hoch der Lastwiderstand 

sein muss, damit Sie eine deutliche Überhöhung der Ausgangsspannung 

beobachten können, wenn Sie das System mit der 

Resonanzfrequenz anregen! 

• Ersetzen Sie den 47Ω Widerstand in Abb.2.6 mit einen 1kΩ Widerstand 

(möglichst niederinduktiv). Wenn die Resonanz mit dieser Last noch nicht 

deutlich zu sehen ist, können auch grössere Widerstände (10kΩ, 22Ω oder 

33kΩ) verwendet werden (vgl. oben!). 

Beachten Sie, dass im Resonanzfall bei hohem Lastwiderstand sehr 

hohe Spannungen auftreten können! 

• Stellen Sie den Funktionsgenerator auf Sinus (maximale Amplitude, kein 

Offset). 

• Variieren Sie die Frequenz am Funktionsgenerator und tragen Sie die 

Messwerte in Tab. 2.2 ein. 

• Stellen Sie die Werte im Bodeplot Abb. 2.9 dar. 

Vorsicht: beim Betrieb nahe der Resonanzfrequenz können an der Ausgangsseite 

des Pulstransformators hohe Spannungen auftreten! Dies gilt insbesondere 

für den Fall von grossen Lastwiderständen! 

Das verwendete Oszilloskop (Agilent DSOX2004A) kann auch die Phasenverschiebung 

sowie Amplituden und RMS-Werte direkt anzeigen.


Messpunkt 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

f U 1 U 2 φ 

(kHz) (V) (V) (deg) 

Tab. 2.2 Messtabelle zur Bestimmung des Bodeplots des Spannung- 

Übersetzungsverhältnisses U 2 /U 1 .


Nachmittag 3

Induktive Kopplung 36 

3 Induktive Kopplung 

In den vorangegangenen Abschnitten wurden die Leistung oder Signale mit Transformatoren 

übertragen, die einen weichmagnetischen Kern (Eisenbleche oder Ferrit) zur Führung 

des magnetischen Flusses aufweisen. Besonders für mobile Anwendungen ist die Verwendung 

weichmagnetischer Materialien in den meisten Fällen ausgeschlossen und die Spulen 

sind rein durch das Magnetfeld in der Luft gekoppelt. Viele dieser Anwendungen sind aus 

unserem alltäglichen Leben nicht mehr wegzudenken (z.B. Radio, Mobiltelefone, und 

WLAN zur Signalübertragung oder Induktionskochfelder zur Leistungsübertragung), aber 

auch sehr moderne Anwendungen wie das kontaktfreie Laden von Elektrofahrzeugen sind 

ein Thema der aktuellen Forschung. 

Ein System zur Leistungsübertragung soll in diesem Kapitel näher untersucht werden. Es 

werden zunächst die Ersatzschaltbild-Parameter berechnet und messtechnisch überprüft. 

Anschliessend wird die Spannungsübersetzung in Abhängigkeit des horizontalen und vertikalen 

Abstandes der Spulenanordnung bestimmt. Des Weiteren wird das Lastverhalten untersucht 

und die Strom-Spannungscharakteristik messtechnisch ermittelt. Durch den 

Einsatz einer Serien- und Parallel-Kompensation ist es möglich die Quelleneigenschaften 

gezielt zu verändern. Dieses Verhalten kann mit wenig Aufwand aus den ermittelten Parametern 

berechnet und anschliessend messtechnisch untersucht werden. 

3.1 Bestimmung der Induktivität 

Zunächst wird nur eine der beiden Spulen betrachtet. Die Bauteildaten einer Spule sind in 

der folgenden Info-Box zusammengefasst. 

Spulendurchmesser d 150 mm 

Höhe l 55 mm 

Windungszahl N 100 

Anzahl Lagen w 2 

Drahtdurchmesser d cu 1 mm 

El. Leitfähigkeit σ cu 56·10 6 1/(Ωm) 

Aus der Vorlesung „Netzwerke und Schaltungen“ kennen Sie die Formel zur Ermittlung der 

Induktivität unter der Voraussetzung einer homogenen Feldverteilung (lange Spulen) (vgl. 

Gleichung (5.80) in [3]): 

N ⋅Φ 

A 

N ⋅ µ 

0 

⋅ H ⋅ A 2 µ 

0 

⋅ A 

L = = 

= N 

(3.1) 

I I 

l 

mit der Querschnittsfläche A der Wicklung, der Höhe l, der magnetischen Feldkonstante μ 0 

(μ 0 =4π10 -7 Vs/Am) und der Windungszahl N. Wenn das Abmessungsverhältnis zwischen Wicklungslänge 

l und Wicklungsdurchmesser d eher klein ist (kurze Spulen, l/d


L = N 

2 

l / 

µ 

0 

⋅ A 

(3.2) 

w + d / 2.2 

mit der Lagenzahl w und dem mittleren Spulendurchmesser d. 

• Berechnen Sie den Wicklungswiderstand und tragen Sie den Wert in 

Tab.3.1 ein. 

• Bestimmen Sie den Widerstand messtechnisch (Spannungs-/Strommessung 

und mit dem Ohmmeter) und tragen sie die Werte ebenso in Tab.3.1 ein. 

• Berechnen Sie die Induktivität der Spule mit den beiden angegebenen 

Gleichungen und tragen Sie die Rechenergebnisse in Tab.3.1 ein. 

• Skizzieren Sie eine geeignete Messschaltung in Abb.3.1 und bestimmen Sie 

die Induktivität der Spule. 

• Vergleichen Sie die berechneten und gemessenen Werte. 

Abb.3.1 Ersatzschaltbild der Spulenanordnung. 

Berechnung 

Messung 

R rech L rech1 L rech2 U I R mess R Ohmmeter L mess 

(Ω) (mH) (mH) (V) (A) (Ω) (Ω) (mH) 

Tab.3.1: Charakteristische Werte der Luftspule (Messung/Berechnung).


3.2 Ersatzschaltbild der gekoppelten Spulen 

In diesem Abschnitt sollen nun wieder die charakteristischen Induktivitätswerte des Ersatzschaltbildes 

der Spulenanordnung ermittelt werden. 

• Skizzieren Sie das von Ihnen gewünschte Ersatzschaltbild (ESB) für die Anordnung 

der gekoppelten Spulen in Abb.3.2. 

• Skizzieren Sie eine geeignete Messschaltung zur Bestimmung der Ersatzschaltbildparameter 

in Abb.3.2. 

• Führen Sie die Messung durch und tragen Sie die Werte im ESB ein. 

Abb.3.2 Ersatzschaltbild und Messschaltung zur Bestimmung der Ersatzschaltbildparameter 

der Anordnung mit gekoppelten Spulen.


3.3 Spannungs-Übersetzungsverhältnis 

Je nach Anordnung der Spulen zueinander ändert sich die Gegeninduktivität und somit 

auch das Spannungsübersetzungsverhältnis der Anordnung. Die Theorie dazu können Sie 

beispielsweise in Ihren NuS-Vorlesungsunterlagen oder in [3] S.254 ff. nachlesen. In diesem 

Abschnitt wird das Spannungsübersetzungsverhältnis in Abhängigkeit der horizontalen und 

vertikalen Position untersucht, wie in Abb.3.4 illustriert. 

• Skizzieren Sie den Feldlinienverlauf der Erregerspule in Abb.3.4. 

• Bauen Sie die Messschaltung nach Abb.3.3 auf. 

• Stellen Sie am Funktionsgenerator eine sinusförmige Spannung ein 

(Amplitude maximal 0.8Vpp, da Leistungsverstärker sonst sättigt) mit einer 

Frequenz von 5kHz. 

• Verschieben Sie die Induktivität horizontal und nehmen Sie die Messwerte in 

Tab.3.2 auf. 

• Zeichnen Sie das Spannungs-Übersetzungsverhältnis in Abb.3.5 ein. 

• Verschieben Sie die Induktivität vertikal und tragen Sie die Messwerte in 

Tab.3.3 ein. 

• Zeichnen Sie das Spannungs-Übersetzungsverhältnis in Abb.3.6 ein. 

Achtung: auf korrekte Polarität beim Anschliessen der Spannungsquellen achten! 

Im Zweifelsfall vor dem Einschalten nachfragen! 


A1 Amplifier Power Amplifier 100W 

G1 30V Power Supply GW Instek GPS-3303 


G3 Sinus Funktionsgenerator Agilent 33210A 


T1 Spulen Gekoppelte Spulen 

Abb.3.3 Messschaltung zur Bestimmung des Spannungsübersetzungsverhältnisses.


Abb.3.4 Versuchsaufbau zur Bestimmung des ortsabhängigen Übersetzungsverhältnisses. 

(Skizzieren Sie den Feldlinienverlauf der Erregerspule.)


Messpunkt 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

16 

17 

18 

19 

20 

U 1 U 2 dx 

(V) (V) (cm) 

phase M= U 2 /U 1 

Tab.3.2 Messtabelle zur Bestimmung des Spannung-Übersetzungsverhältnisses 

U 2 /U 1 in Abhängigkeit der horizontalen Verschiebung. 

Abb.3.5 Diagramm Übersetzungsverhältnis in Abhängigkeit zur horizontalen Verschiebung 

M=f(dx).


Messpunkt 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

15 

16 

17 

18 

19 

20 

U 1 U 2 dy 

(V) (V) (cm) 

phase M= U 2 /U 1 

Tab.3.3 Messtabelle zur Bestimmung des Spannung-Übersetzungsverhältnisses 

U 2 /U 1 in Abhängigkeit der vertikalen Verschiebung. 

Abb.3.6 Diagramm Übersetzungsverhältnis in Abhängigkeit zur vertikalen Verschiebung 

M=f(dx).


3.4 Gekoppelte Spulen mit Belastung 

In diesem Abschnitt soll die Belastungskennlinie der Spulenanordnung näher untersucht und 

somit das Quellenverhalten bestimmt werden. 

• Realisieren Sie die Messschaltung nach Abb.3.7. 


(Amplitude maximal 0.8Vpp, da Leistungsverstärker sonst sättigt) mit einer 

Frequenz von 5kHz. 

• Variieren Sie die Last (Leerlauf bis Kurzschluss) und dokumentieren Sie die 

Messwerte in Tab. 3.4 und zeichnen Sie die Kennlinie in Abb.3.8. 



G1 30V Power Supply GW Instek GPS-3303 (CH1) 

G2 30V Power Supply GW Instek GPS-3303 (CH2) 






Abb.3.7 Messschaltung zur Bestimmung der Kennlinie U 2 =f(I 2 ) der gekoppelten Spulen.


Messpunkt 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

U 1 U 2 I 2 P 2 

(V) (V) (Α) (W) 

Tab. 3.4 Messtabelle zur Bestimmung der Kennlinie der gekoppelten Spulen ohne 

Resonanzkreis. 

Abb.3.8 Diagramm zur Bestimmung der Strom-Spannungskennlinie der Sekundärspule. 

3.5 Berechnung einer idealen Strom- und Spannungsquelle 

Aus den Messergebnissen in Abb.3.8 wird ersichtlich, dass die übertragene Leistung der 

Spulenanordnung aufgrund der geringen Kopplung klein ist. Das Quellenverhalten der gekoppelten 

Spulen kann wie gewohnt mit einer Ersatzspannungsquelle beschrieben werden, 

wie in Abb.3.9 (a) dargestellt. Die Innenimpedanz und die Ersatzquelle können aus den 

gemessenen Transformator-Ersatzschaltbildparametern (Abschnitt 3.2) und der Belastungscharakteristik 

(Abschnitt 3.4) bestimmt werden.


Durch die sekundärseitige Kompensation der Innenimpedanz (Z i ≈0) ändert sich die Quellencharakteristik 

hin zu einer idealen Spannungsquelle wie in Abb.3.9(b) gezeigt (Widerstände 

in der Anordnung vernachlässigt). D.h. im Fall einer Belastung ist die 

Ausgangsspannung idealerweise unabhängig vom Laststrom i L . 

Es ist des Weiteren möglich ein quasi-ideales Stromquellenverhalten zu erzielen. Dazu 

muss die Innenadmittanz der Stromquelle Null sein (Y i =1/Z i ≈0). Dies kann durch das Parallelschalten 

eines Resonanzkondensators an der Sekundärspule erzielt werden, wie in 

Abb.3.9 (c) abgebildet. Der Laststrom bleibt somit unter Vernachlässigung der zusätzlichen 

Widerstände im System konstant. 

Die Parameter der Ersatzspannungsquelle und die Serien- und Parallelkompensation sollen 

an dieser Stelle bestimmt werden. In den beiden nächsten Abschnitten werden beide Kompensationsschaltungen 

messtechnisch untersucht. 

• Bestimmen Sie eine Ersatzspannungsquelle mit der Innenimpedanz der in 

Abschnitt 3.2 ermittelten Ersatzschaltbild-Parametern und der in Abschnitt 

3.4 ermittelten Leerlaufspannung. 

• Berechnen Sie die Serien- und Parallelresonanz-Kapazität. 

• Wie hoch ist die einzustellende Signalfrequenz für einen 680nF- 

Kondensator? 

Abb.3.9 Ersatzspannungsquelle der Spulenanordnung (a). (b) Serien-Resonanz- 

Kompensation zur Erzeugung einer idealen Spannungsquelle mit Innenimpedanz Z i ≈0. 

(c) Parallel-Resonanz-Kompensation zur Erzeugung einer idealen Stromquelle mit Innenadmittanz 

Y i =1/Z i ≈0.


3.6 Gekoppelte Spulen mit Serien-Resonanzkreis 

Nun soll basierend auf den vorangegangen Überlegungen eine quasi-ideale Spannungsquelle 

erzeugt werden. 

• Erweitern Sie die Schaltung in Abb.3.7. durch einen Serien-Resonanz- 

Kondensator, sodass die Messschaltung in Abb.3.10 vorliegt. 

• Berechnen Sie die Resonanzfrequenz des Serien-Schwingkreises (die Induktivität 

ist ca. 1.7mH und die Kapazität ist 680nF). Stellen Sie die berechnete 

Frequenz am Funktionsgenerator ein. 

• Belasten Sie den Resonanzkreis und nehmen Sie die Schaltung in Betrieb. 

Versuchen Sie durch Variieren der Frequenz die tatsächliche Resonanzfrequenz 

zu finden. (Tipp: Im Fall einer Resonanz sind Primärspannung und Sekundärstrom 

in Phase.) 

• Variieren Sie die Last (Leerlauf bis Kurzschluss) und dokumentieren Sie die 

Messwerte in Tab.3.5 und zeichnen Sie die Kennlinie in Abb.3.8 ein. 

Beachten Sie die Stromfestigkeit des Lastwiderstandes von 1A. Die Ströme können 

durch die Serienkompensation erheblich höhere Werte annehmen.










C1 680nF Serien-Resonanz-Kondensator 


Abb.3.10 Messschaltung zur Bestimmung der Kennlinie U 2 =f(I 2 ) mit sekundärseitigem 

Serien-Resonanzkreis. 

Messpunt 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

U 1 U 2 I 2 P 2 

(V) (V) (Α) (W) 

Tab.3.5 Messtabelle zur Bestimmung der Kennlinie der gekoppelten Spulen mit Serien-Resonanzkreis.


3.7 Gekoppelte Spulen mit Parallel-Resonanzkreis 

Mit Hilfe der Parallel-Kompensation kann eine quasi-ideale Stromquelle erzeugt werden, 

basierend auf den berechneten Parametern in Abschnitt 3.5. 

• Verwenden Sie nun eine Parallel-Kapazität auf der Sekundärseite, sodass 

die Messschaltung in Abb.3.11 vorliegt. 


(Amplitude maximal 0.8Vpp) mit einer Frequenz von zunächst 5kHz. 

SCHALTEN SIE DEN AUSGANG NOCH NICHT EIN! 

• Belasten Sie den Resonanzkreis und nehmen Sie die Schaltung in Betrieb. 

Versuchen Sie durch Variieren der Frequenz die tatsächliche Resonanzfrequenz 

zu finden. (Tipp: Im Fall einer Resonanz sind Primärspannung und Sekundärstrom 

(vor dem Parallel-Kondensator) in Phase.) 

• Variieren Sie die Last und dokumentieren Sie die Messwerte in Tab. 3.6 und 

zeichnen Sie auch diese Kennlinie in Abb.3.8 ein. 

Bei grossem Lastwiderstand entstehen gemäss U = RI sehr hohe Spannungen am 

Ausgang des Parallel-Resonanzschwingkreises. Betreiben Sie den Parallel- 

Resonanzkreis daher nie unbelastet!










C1 680nF Parallel-Resonanz-Kondensator 


Abb.3.11 Messschaltung zur Bestimmung der Kennlinie U 2 =f(I 2 ) mit sekundär-seitigen 

Parallel-Resonanzkreis. 

Messpunkt 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

U 1 U 2 I 2 P 2 

(V) (V) (Α) (W) 

Tab. 3.6 Messtabelle zur Bestimmung der Kennlinie der gekoppelten Spulen mit Parallel-Resonanzkreis.

Der Tesla-Transformator 50 

4 Der Tesla-Transformator 

4.1 Einleitung 

Der Tesla-Transformator (oder auch Teslaspule) ist nach dem Physiker Nikola Tesla (1856- 

1943) benannt, einem Pionier der drahtlosen Energieübertragung. Mit einem Tesla- 

Transformator werden durch Resonanz hochfrequente Wechselfelder mit sehr hohen Spannungen 

erzeugt. Zur Energieübertragung eignet sich der Tesla-Transformator jedoch kaum, 

da der Abstand zum Empfängerkreis eher gering sein müsste. Dennoch wird der Tesla- 

Transformator aufgrund der eindrucksvollen Experimente zur Demonstration hoher Wechselspannungen 

häufig im Bereich der Bildung eingesetzt. 

4.2 Aufbau 

Es existieren verschiedene Topologien für den Aufbau des Tesla-Transformators. In unserem 

Fall wird die sogenannte „base-feed“-Methode verwendet. Dabei wird über einen kleinen 

Transformator mit guter magnetischer Kopplung, d.h. mit einem Ferritkern, die 

hochfrequente Ausgangswechselspannung einer Treiberschaltung hochtransformiert und zur 

Anregung eines Serienschwingkreises verwendet, welcher aus der Teslaspule selbst und 

dem aus dem auf ihr montierten Toroid und der geerdeten Grundplatte (sowie allgemein 

der geerdeten Umgebung) gebildeten Kondensator besteht. 

Abb. 1.1 zeigt den Schaltplan des Aufbaus des Tesla-Transformatorversuchs. Zur Erzeugung 

einer rechteckförmigen Wechselspannung wird eine Halbbrückenschaltung als Treiberstufe 

verwendet. Wenn Schalter S 1 eingeschaltet ist, liegen am Ausgang +30 V an, wenn S 2 eingeschaltet 

ist liegen -30 V am Ausgang. Es dürfen nie beide Schalter gleichzeitig eingeschaltet 

sein, da dies einem Kurzschluss des Gleichspannungszwischenkreises, der aus den 

beiden Kondensatoren C 1 und C 2 gebildet wird, entsprechen würde. 

Abb.1.1 Schaltbild des kompletten Tesla-Transformatorenaufbaus. 

Am Ausgang der Treiberstufe ist über einen Serienkondensator die Primärwicklung des an 

der Basis des Telsa-Transformatorenaufbaus vorhandenen Ringkerntransformators (vgl.


„base-feed“) angeschlossen. Durch das Wicklungszahlverhältnis von 62:5 erfolgt bereits 

eine erste Hochtransformierung der Wechselspannung von ±30 V auf ca. v in = ±370 V am 

Ausgang des Transformators. 

Dies ist die Eingangsspannung des Serienschwingkreises, welcher aus der Teslaspule (L r , R r ) 

sowie dem Kondensator zwischen Toroid und Erde (C r ) gebildet wird. Wird ein solcher Serienschwingkreis 

mit seiner Resonanzfrequenz angeregt, wird seine Impedanz minimal. 

Daher fliesst ein entsprechend hoher Strom und es treten sehr hohe Spannungen über L r 

und C r auf. Dies ist neben dem Spannungsübersetzungsverhältnis des bereits erwähnten 

„base-feed“-Transformators der zweite Mechanismus, der dazu verwendet wird, die 

Amplitude der von der Treiberstufe erzeugten Wechselspannung von 30 V auf mehrere Kilovolt 

anzuheben. 

4.3 Abschätzung der Ausgangsspannung 

Im Folgenden wird die Übertragungsfunktion G(jω) = V out (jω)/V in (jω) des Serienschwingkreises 

verwendet, um die erzeugte Ausgangsspannung abzuschätzen. 

Induktivität 

6.6 mH 

Widerstand 

50 Ω 

Resonanzfrequenz (mit 

Toroidkondensator) 

900 kHz 

Wicklung 

720 Windungen aus 

Lackdraht mit 0.25 mm 

Durchmesser 

Abb.1.2 Verwendete Teslaspule mit Toroidkondensator; Spezifikationen gemäss Hersteller. 

Abb. 1.2 zeigt die Spezifikationen der verwendeten Teslaspule. Aus der angegebenen Resonanzfrequenz 

kann die Kapazität zwischen Torus und Erde, C r , abgeschätzt werden: 

C r = 

1 

4π 2 f 0 2 ∙ L r 

= 4.74 pF 

Da diese Kapazität sehr empfindlich von den tatsächlichen geometrischen Gegebenheiten 

abhängt, ist zu erwarten, dass wir bei der Inbetriebnahme eine leicht abweichende Resonanzfrequenz 

feststellen werden. 

Nun soll also G(jω) berechnet und das entsprechende Bodediagramm gezeichnet werden. 

Für den Strom I r (jω) im Serienschwingkreis gemäss Abb. 1.3 gilt:


Abb.1.3 Serienschwingkreis zur Berechnung der Übertragungsfunktion G(jω) = V out (jω)/V in (jω). 

N r (jω) = V in(jω) 

Z(jω) 

Dabei kann die Impedanz aus der Serienschaltung von L r , R r und C r berechnet werden: 

Für die Ausgangsspannung ergibt sich dann: 

Z = jωL r + R r + 1 

jωC r 

1 V in (jω) 1 

1 

V out (jω) = N r (jω) ∙ = 

jωC r jωL r + R + 1 ∙ = V 

jωC in (jω) 

r (jω) 2 L r C r + jωR r C r + 1 

jωC r 

100 

Magnitude (dB) 

50 

0 

-50 

0 

Phase (deg) 

-45 

-90 

-135 

-180 

10 5 10 6 10 7 

Frequency (Hz) 

Abb.1.4 Bodediagramm der Übertragungsfunktion G(jω) = V out (jω)/V in (jω).


Daraus folgt die gesuchte Übertragungsfunktion als: 

G(jω) = V out(jω) 

V in (jω) = 1 

(jω) 2 L r C r + jωR r C r + 1 

Diese komplexe, frequenzabhängige (ω = 2πf) Übertragungsfunktion G(jω) kann nun nach 

Betrag und Phase getrennt in einem Bodediagramm dargestellt werden, welches in Abb. 

1.4 zu finden ist. 

Im Amplitudengang (oberer Plot von Abb. 1.4) ist klar ein Peak bei der Resonanzfrequenz 

von 900 kHz zu erkennen. Das heisst also, dass bei Anregung des Schwingkreises mit Resonanzfrequenz 

die Ausgangsspannung um mehr als 50 dB verstärkt wird. 50 dB entspricht 

etwa einem Faktor von 10 50/20 = 316 (!). Den genauen Wert kann man aus der Übertragungsfunktion 

berechnen: 

G(j ∙ 2πf 0 ) = 746.4 

Damit kann die Ausgangsspannung des Tesla-Transformators abgeschätzt werden: 

V Tesla,max = 30 V ∙ 62 ∙ 686.6 = 27. 8 kV 

5 

Durch die Ausnutzung von zwei Mechanismen, dem Spannungsübersetzungsverhältnis des 

Transformators und der Spannungsüberhöhung im Serienschwingkreis bei Resonanzfrequenz, 

wobei letzterer dominiert, können also sehr hohe hochfrequente Wechselspannungen 

erzeugt werden. 

Die erzeugten Spannungen (mehrere 10 kV) sind derart hoch, dass bei nicht sachgemässem 

oder unvorsichtigem Umgang schwere bis tödliche Unfälle möglich 

sind. 

Es ist daher nicht erlaubt, den Aufbau selbstständig in Betrieb zu nehmen! 

Wenn Sie diese Übersicht durchgearbeitet haben, melden Sie sich bei der Praktikumsbetreuung, 

welche den Teslatrafo mit Ihnen in Betrieb nehmen bzw. Ihnen 

vorführen wird. 

Aus dem Bodediagramm (Abb. 1.4) ist ebenfalls ersichtlich, dass bei einer Abweichung der 

Anregungsfrequenz von der Resonanzfrequenz der Betrag von G(jω) rasch abnimmt, d.h. 

die Ausgangsspannung rasch absinkt. Dies äussert sich im Versuch darin, dass die Entladungen 

nur in einem engen Frequenzbereich zünden – nämlich dann, wenn die Anregungsfrequenz 

mehr oder weniger exakt die Resonanzfrequenz der Anordnung trifft. Die exakte 

Resonanzfrequenz ist abhängig von der Kapazität zwischen Toroid und Erde, welche sehr 

sensitiv auf Änderungen der Geometrie (z.B. geerdete Gegenstände in der Nähe, etc.) ist.


4.4 Verhalten des Primärstromes 

Aus dem Bodeplot der Impedanz Z(jω) in Abb. 1.5 ist ersichtlich, dass die Impedanz bei der 

Resonanzfrequenz minimal wird, d.h. es wird dann neben der maximalen Spannung über 

dem Kondensator auch der maximale Strom im Schwingkreis auftreten, was per Strommessung 

(primärseitig!) und dem Oszilloskop im Versuch schön verfolgt werden kann. Es ist 

ausserdem zu sehen, dass die Impedanz für Frequenzen, die grösser sind als die Resonanzfrequenz, 

ansteigt. Dies führt dazu, dass die Harmonischen der angelegten Rechteckspannung 

mit zunehmender harmonischer Ordnung eine höhere Impedanz „sehen“, was zu 

entsprechend kleineren Amplituden der Stromkomponenten bei den entsprechenden harmonischen 

Frequenzen führt. Deshalb wird der Strom im Schwingkreis (und deshalb auch 

der Strom i p auf der Primärseite) von seiner Grundwelle, d.h. der Frequenzkomponente mit 

Anregungsfrequenz, dominiert, was auf einen weitgehend sinusförmigen Stromverlauf 

führt, obwohl die angelegte Spannung rechteckförmig ist. 

120 

Magnitude (dB) 

100 

80 

60 

40 

20 

90 

Phase (deg) 

45 

0 

-45 

-90 

10 5 10 6 10 7 

Frequency (Hz) 

Abb.1.5 Bodeplot der Impedanz Z(jω).


Allgemeine Sicherheitshinweise zum Teslatransformator (beachten Sie auch die Hinweise 

auf dem Sicherheitsinfoblatt an Ihrem Laborplatz!): 

Der Tesla-Transformator erzeugt sehr hohe Spannungen – Akute Gefahr eines 

elektrischen Schlages. 

Es entstehen sehr hohe Temperaturen im Bereich des Funkens – Verbrennungsgefahr! 

Sollten Sie einen Herzschrittmacher oder sonstige medizinische Geräte tragen, 

sollten Sie dies der Übungsleitung vorgängig mitteilen und sich nicht in die Nähe 

einer aktiven Teslaspule begeben! 

Die muss immer mit der Schutz-Erde verbunden sein! 

Die Entladungen erzeugen durch die Ionisation der Luft UV-Strahlung, die Ihre 

Augen schädigen kann. Blicken Sie nicht zu lange in die Entladungen und/oder 

tragen Sie eine der bereitgestellten Schutzbrillen. 

Da beim Betrieb Ozon und Stickoxide entstehen, sollte der Tesla- 

Transformator nicht zu lange am Stück in Betrieb gehalten werden. Es ist ausserdem 

auf ausreichende Lüftung zu achten. 

Tragen Sie keinen metallischen Schmuck!

Zusammenfassung 56 

5 Zusammenfassung 

Im Praktikumsteil „Wireless Energy Transfer“ wurden die Grundformen der Signal- und 

Leistungsübertragung behandelt, die in unseren alltäglichen Leben permanent präsent 

sind. Dabei wurde der Kreis zwischen der theoretischen Analyse idealer und nicht-idealer 

Komponenten aus der Vorlesung „Netzwerke und Schaltungen“ geschlossen mit der messtechnischen 

Untersuchung während dieser Praxisveranstaltung. 

Die Unterlage sollte Ihnen den elektrotechnischen Laborbetrieb vereinfachen und Sie bei 

der unerlässlichen Dokumentation der Messung, die neben der Auswertung der Messergebnisse 

unter anderem auch die Beschreibung der Messschaltung und der verwendete Messgeräte 

beinhaltet, unterstützen. Dabei sollten normgerechte Symbole und Bezeichnungen 

verwendet werden [2] um die Dokumentation oder Auszüge für Dritte verständlich zu machen. 

In dieser Laborübung haben Sie des Weiteren gelernt, mit sehr modernem Messequipment 

und Speisegeräten zu arbeiten um die Messungen durchzuführen. Dabei konnte das in der 

Verlesung „Netzwerke und Schaltungen“ vermittelte Grundwissen, wie zum Beispiel Ersatzschaltbilder 

der Signal- und Leistungsübertragung, die charakteristische Hysteresekurve 

von Transformatoren sowie Einschalt- und Ausgleichsvorgänge anschaulich nachvollzogen 

werden. Darüber hinaus haben Sie den Einfluss parasitärer Komponenten näher untersucht 

um ein Gefühl dafür zu bekommen, wann die Berücksichtigung dieser zweckmässig ist. 

Mit dem repetierten Wissen aus der Vorlesung, den Dimensionen der gemessenen Grössen 

und einigen Kurvenverläufen im Hinterkopf wünschen wir Ihnen weiterhin viel Erfolg!

Zusammenfassung 57

Zusammenfassung 58 

Anhang

Übersicht der Laboreinrichtung 59 

6 Übersicht der Laboreinrichtung 

An dieser Stelle werden die verwendeten Geräte im Labor zusammengefasst und die Verknüpfung 

zu den Symbolen in einem Schaltplan hergestellt. 

6.1 Messequipment 

Strommessgerät 

(Multimeter) 

Fluke 175 

Spannungsmessgerät 

(Multimeter) 

Fluke 175 

Oszilloskop 

Agilent DSOX2004A 

Strommesszange 

Agilent 1146A


Differentialtastkopf 

Beckmann S1-9000 

6.2 Versorgungsgeräte 

Gleichspannungsquelle 

GvW Instek GPS-3303S 

Signalgenerator 

Agilent 33210A 

Wechselspannungsquelle 

RUSA 

0..60V, 1A


Leistungsverstärker 

Vellemann VM100 

+/- 30V, 200W 

Halbbrücke 

m-pec 

6.3 Versuchsaufbauten 

Widerstandslast 

RUSA 

1.2..100Ω (max. 1A) 

100..500Ω (max. 0.5A) 

Transformator 

RUSA 

50V/2x25V, 1A, 50Hz


Transformator 

RUSA 

50V/2x25V, 1A, 5kHz 

Tesla Transformator 

RUSA 

Pulstransformator 

m-pec 

Induktive Kopplung 

RUSA

Datenblätter und Schaltpläne 63 

7 Datenblätter und Schaltpläne 

7.1 Leistungsverstärker Velleman VM100


7.2 Schaltplan der Halbbrückenschaltung zur Ansteuerung des Teslatransformators


7.3 Farbcodierung bedrahteter Festwiderstände

I. Quellenverzeichnis 

[1] Probst, U.: Leistungselektronik für Bachelors – Grundlagen und praktische Anwendungen. 

Carl Hanser Verlag München, 2008. 

[2] Lenze: Die große Lenze Formelsammlung, 2001. 

[3] Albach, M: Grundlagen der Elektrotechnik 2, Pearson Studium, 2008. 

[4] Albach, M: Grundlagen der Elektrotechnik 2, Pearson Studium, 2008. 

[5] Küpfmüller, K., Mathis und Reibiger, A.: Theoretische Elektrotechnik, 18. Auflage, 

Springer, 2008. 

[6] Prechtl, A.: Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik, Band 1, Springer 

Verlag, 1994.

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