Matheskript-BOS-2 Lernbaustein 6.pdf - von P. Merkelbach

BBS Gerolstein
Mathematik
Mathematik
für die
Berufsoberschule II
Lernbaustein 6
Modellieren von Realsituationen mit
Hilfe der Vektorrechnung
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Erstellt von: Herrn StD Percy Merkelbach
Stand: 14.08.2010
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Skript Mathematik BOS II
Inhaltsverzeichnis
Lernbaustein 6 ................................................................................................................................4
Analytische Geometrie (Vektorrechnung) ........................................................................................4
1. Grundlagen der Vektorrechnung..........................................................................................4
1.1 Definitionen..................................................................................................................4
1.2 Vektorräume, Basis, Dimension und Erzeugendensystem ...........................................5
1.3 Darstellung eines Vektors ............................................................................................5
2. Rechenregel für Vektoren ....................................................................................................6
2.1 Addition von Vektoren ..................................................................................................6
2.2 Subtraktion von Vektoren .............................................................................................6
2.3 Multiplikation mit einem Skalar.....................................................................................6
2.4 Der Betrag eines Vektors .............................................................................................7
2.5 Normierte Vektoren......................................................................................................7
2.6 Richtungswinkel von Vektoren .....................................................................................8
2.7 Beschreibung beliebiger Vektoren mit Hilfe von Ortsvektoren ......................................9
2.8 Übungen ....................................................................................................................10
3. Lineare Abhängigkeit und Lineare Unabhängigkeit von Vektoren ......................................12
3.1 Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren zueinander ......................................................12
3.2 Lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren zueinander ......................................................13
3.3 Übungen: ...................................................................................................................14
4. Vektorielle Darstellung von Geraden..................................................................................15
4.1 Geradengleichung in Parameterform..........................................................................15
4.2 Parameterfreie Punktrichtungsgleichung....................................................................16
4.3 Übungen ....................................................................................................................17
4.4 Gegenseitige Lage von Geraden................................................................................18
4.5 Übungen ....................................................................................................................21
5. Vektorielle Darstellung von Ebenen ...................................................................................22
5.1 Ebenengleichung in Parameterform ...........................................................................22
5.2 Übungen - Vektorielle Darstellung von Ebenen ..........................................................23
5.3 Koordinatengleichung von Ebenen.............................................................................24
5.4 Übungen - Koordinatengleichung von Ebenen ...........................................................25
5.5 Gegenseitige Lage einer Geraden zu einer Ebene.....................................................26
5.6 Übungen - Gegenseitige Lage einer Geraden zu einer Ebene ...................................28
5.7 Gegenseitige Lage einer Ebene zu einer Ebene ........................................................29
5.8 Übungen - Gegenseitige Lage einer Ebene zu einer Ebene.......................................31
6. Das Skalarprodukt (inneres Produkt) .................................................................................32
6.1 Definition....................................................................................................................32
6.2 Übungen - Skalarprodukt ...........................................................................................33
7. Normalenform der Ebenengleichung..................................................................................34
7.1 Von der Normalenform zur Koordinatengleichung......................................................34
7.2 Von der Koordinatengleichung zur Normalenform......................................................34
7.3 Von der Parameterform zur Normalenform.................................................................35
7.4 Von der Normalenform zur Parameterform.................................................................36
7.5 Übungen – Normalenform der Ebenengleichung........................................................36
8. Schnittwinkel und Orthogonalität........................................................................................37
8.1 Gerade zu Gerade .....................................................................................................37
8.2 Schnittwinkel Gerade zu Ebene .................................................................................37
8.3 Schnittwinkel Ebene zu Ebene...................................................................................37
8.4 Übungen – Schnittwinkel und Orthogonalität..............................................................38
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Skript Mathematik BOS II
9. Abstandsberechnungen .....................................................................................................39
9.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene....................................................................39
9.2 Abstand eines Punktes zu einer Geraden ..................................................................41
9.3 Abstand zweier windschiefer Geraden .......................................................................42
9.4 Übungen - Abstandsberechnungen............................................................................43
10. Das Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt).....................................................44
10.1 Definition....................................................................................................................44
10.2 Berechnung des Vektorproduktes ..............................................................................44
10.3 Berechnung des Vektorproduktes mit Hilfe der Determinantenrechnung....................44
10.4 Eigenschaften des Vektorproduktes:..........................................................................45
10.5 Anwendungsbeispiele aus der Physik: .......................................................................45
10.6 Übungen - Vektorprodukt ...........................................................................................47
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Skript Mathematik BOS II
Lernbaustein 6
Analytische Geometrie (Vektorrechnung)
1. Grundlagen der Vektorrechnung
In der Physik gibt es skalare Größen (Zeit, Masse, Temperatur, Energie, etc.) und vektorielle Größen
(Kraft, Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Drehmoment, etc.).
Bei den skalaren Größen gibt man Zahlenwert und Einheitszeichen an, während es zur eindeutigen Angabe
von vektoriellen Größen zusätzlich noch einer Richtung, einer Orientierung und eines Angriffspunktes
bedarf. Vektorielle Größen werden geometrisch durch einen Pfeil dargestellt, wobei die Länge des Pfeils den
Betrag angibt, die Gerade, auf der der Pfeil liegt, die Richtung und die Pfeilspitze die Orientierung.
1.1 Definitionen
Definition: Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gerichteter Strecken (Pfeile) mit gleicher
Länge, Richtung und Orientierung.
a
b
c
Jeder Pfeil eines Vektors heißt Repräsentant des Vektors.
Besondere Vektoren:
a
b
a a b a
b
b
a
b
a ↑↓ b und a = − b a ↑↑ b
a = b
Parallel entgegengerichtet (Gegenvektor) gleichgerichtet gleich
a a a
b
a
a = Betrag von a
a = b
beide Vektoren
der Nullvektor hat
Ist die Länge des Vektors sind gleichlang die Länge 0
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Skript Mathematik BOS II
1.2 Vektorräume, Basis, Dimension und Erzeugendensystem
Zur anschaulichen Darstellung müssen Vektoren im Raum oder in der Ebene gezeichnet werden.
Dazu benötigt man: - einen Ursprung (den Punkt 0)
- und 2 Basisvektoren (Ebene) oder
- 3 Basisvektoren (Raum)
Basisvektoren sind linear unabhängig voneinander.
Jeder beliebige Vektor kann dann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden.
Kartesische Koordinatensysteme
x 2
(y)
U
x 3
(z)
V
Rechte Handregel
e
e 2
1
x 1
e 1,
e
sind Basisvektoren 2
e , e , e
x 1 2 3
1
e1 = e2 = 1
e 1
= e 2
= e
3
= 1
e
1
⊥ e
(x)
(linear unabhängig) 2
e ⊥ e , e ⊥ e , e ⊥ e
1 2 1 3 2 3
sind Basisvektoren
Der Raum U ist eine Teilmenge des Vektorraumes V, d.h. U ist Unterraum zum Vektorraum V.
U kann eine beliebige Ebene aus dem Vektorraum V sein.
Weitere Unterräume von V:
Vektorraum der aus dem Nullvektor besteht
Alle Ortsvektoren, die Punkte einer Geraden g beschreiben
Alle Ortsvektoren, die Punkte einer Ebene E beschreiben.
Die Basisvektoren zur Bildung eines neuen Vektorraumes müssen linear unabhängig sein!
Ein Erzeugendensystem { a , a , a }
a , a , a
1 2 3
(x)
1 2 3
heißt genau dann Basis von dem Vektorraum U, wenn die Vektoren
linear unabhängig sind. Die Anzahl der Basisvektoren einer Basis von U nennt man die
Dimension von U.
Bei 3 Basisvektoren hat der Vektorraum die Dimension 3.
1.3 Darstellung eines Vektors
e 3
e 1 e
2
x 3
x 2
(y)
x 2
3
a P(4;3)
x 1
O
4
Allgemein:
OP
v
⎛ x ⎞
1
= ⎜ ⎟
x2
⎝
⎠
bzw.
⎛ 4⎞
OP = a = ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
v
⎛ x ⎞
1
⎜ ⎟
= ⎜
x2
⎟
⎜ x ⎟
⎝ 3 ⎠
und OQ
sind Ortsvektoren und gehen vom Ursprung O aus.
4
O
b
Q(3;5;4)
x 2
3 5
x 1
⎛ 3⎞
⎜ ⎟
OQ = b = 5
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
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Skript Mathematik BOS II
2. Rechenregel für Vektoren
2.1 Addition von Vektoren
a
+ b
1
O
x 2
1
x 1
⎛ ax
⎞
1 ⎛ 4⎞
a = =
⎜
a ⎟ ⎜
x
1
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
⎛ bx
⎞ 2
1 ⎛ ⎞
b = =
⎜
b ⎟ ⎜ ⎟
⎝ x
3
2 ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ax
+ b 4 2 6
1 x ⎞
1 ⎛ + ⎞ ⎛ ⎞
c = a + b = = =
⎜
ax
+ b ⎟ ⎜
1 3
⎟ ⎜
4
⎟
⎝ 2 x
+
2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2.2 Subtraktion von Vektoren
a
− b
1
O
x 2
1
x 1
⎛ ax
⎞ 4 2
1 ⎛ ⎞ ⎛ bx
⎞
1 ⎛ ⎞
a = = ⎜ ⎟ b = =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 ⎜ ⎟
⎝
ax
3
2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
bx
2 ⎠ ⎝ ⎠
a − b = a + −b
⎛ −2⎞
− b = ⎜ ⎟
⎝ −3⎠
c a b
( )
( )
( bx
)
( bx
)
⎛ a + − ⎞
⎛ 4 − 2⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a + − ⎟ ⎝ 1− 3 ⎠ ⎝ −2⎠
⎝
x2 2 ⎠
x1 1
= + − = ⎜ ⎟ = =
2.3 Multiplikation mit einem Skalar
x 2
1
⎛ ax
⎞ 4
1 ⎛ ⎞
a = =
⎜
a ⎟
⎜ ⎟
1
r ⋅ a
⎝ x2
⎠ ⎝ ⎠
r = 2
1
O
x 1
⎛ r ⋅ ax
⎞ 2 4 8
1 ⎛ ⋅ ⎞ ⎛ ⎞
c = r ⋅ a = = =
⎜
r a ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝
⋅
x
2⋅1 2
2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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Skript Mathematik BOS II
2.4 Der Betrag eines Vektors
Der Betrag des Vektors a entspricht der Länge des Pfeils von a .
Als Schreibweise verwendet man die Betragsstriche a .
a
x 1
x 3
4
O
a
v
Q(3;5;4)
a
x 3
x 2
3
a
x 2
x 1
a = a + a + a
2 2 2
Der Betrag eines Vektors: x1 x2 x3
5
⎛ a ⎞
x1
⎛ 3⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = ⎜ ax
⎟ = 5
2
⎜ a ⎟ ⎜ 4⎟
⎝ x3
⎠ ⎝ ⎠
2 2 2
v = ax
+ a
1 x2
v = a + a
2 2
x1 x2
a v a
2 2 2
= +
x3
a = v + a
2 2
x3
a = a + a + a = 3 + 5 + 4 = 50
2 2 2 2 2 2
x1 x2 x3
Dreiecksungleichung:
a
c
b
a + b ≤ a + b
2.5 Normierte Vektoren
Ein Vektor a heißt normierter Vektor
Beispiel:
⎛ 5⎞
⎜ ⎟
a = = + + =
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
2 2 2
3 a 5 3 2 38
0
a , wenn die Länge des Vektors
0 1
a = ⋅ a
a
0
a
1 beträgt.
0
a = 1
⎛ 5 ⎞
⎜ ⎟
5 ⎜
38
⎟
⎛ ⎞
2 2 2
0 1 ⎜ 3 ⎟
⎜ ⎟
0 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 25 9 4 38
a = ⋅ 3 a
1
38 = ⎜ ⎟ ⇒ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = + + = =
⎜ 38 ⎝ 38 ⎠ ⎝ 38 ⎠ ⎝ 38 ⎠ 38 38 38 38
2⎟ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 38 ⎠
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Skript Mathematik BOS II
2.6 Richtungswinkel von Vektoren
a
x 1
x 3
4
O
α
a
Q(3;5;4)
x 2
3
x 1
5
cos
cos
cos
α
( α )
( β )
( γ )
a
a
x 1
a
=
a
x1
a
=
a
x2
a
=
a
x3
2 2 2
cos ( α) + cos ( β ) + cos ( γ ) = 1
Beispiel:
Bestimmen Sie die Richtungswinkel des Vektors
⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟
a = −2
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠
2 2 2
a = 4 + − 2 + 5 = 45
( )
4 −2 5
cos ( α ) = cos( β ) = cos( γ ) =
45 45 45
−1 ⎛ 4 ⎞ −1 ⎛ −2 ⎞ −1
⎛ 5 ⎞
α = cos ⎜ ⎟ β = cos ⎜ ⎟ γ = cos ⎜ ⎟
⎝ 45 ⎠ ⎝ 45 ⎠ ⎝ 45 ⎠
α = 53,4° β = 107,3° γ = 41,8°
2 2 2
cos (53,4) + cos (107,3) + cos (41,8) = 0,99965
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Skript Mathematik BOS II
2.7 Beschreibung beliebiger Vektoren mit Hilfe von Ortsvektoren
im Vektorraum mit der Dimension 2:
x 2
1
B(4;4)
⎛ 6⎞
⎛ 4⎞
OA = ⎜ ⎟ OB = ⎜ ⎟
⎝1⎠
⎝ 4⎠
1 A(6;1)
O
x 1
im Vektorraum mit der Dimension 3:
B(-1;6;5)
x 3
1
1
A(2;6;3)
⎛ 2⎞ ⎛ −1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OA = 6 OB =
6
⎜ 3⎟ ⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
x 2
x 1
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Skript Mathematik BOS II
2.8 Übungen
1. Bestimmen Sie die Koordinaten aller Eckpunkte des Turmes.
2. Bestimmen Sie die Koordinaten folgender Punkte des
Hauses: A, B, C, D, F, H und M.
3. Bestimmen Sie die Vektoren DC
und HM des Hauses.
4. Bestimmen Sie die Länge der Dachkante HM .
5. Gegeben seien folgende Vektoren:
⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = 2 b = − 2 c =
0
⎜ 4⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ −2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Berechnen Sie:
a) 3 a +4 b b) -3 a +b -2 c c) 2 a +3 b -4 c
6. Bestimmen Sie die Konstanten a, b und c so, dass die Vektoren a und b gleich sind.
⎛ a + 2b
⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = 1
b = b + c
⎜ a − b + c ⎟ ⎜ −3
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. Bestimmen Sie λ, a1 und a2 in der folgenden Vektorgleichung:
⎛ 2 ⎞ ⎛ a1
⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
λ ⋅ − 1 + ⋅ 2 a2
2
=
⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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Skript Mathematik BOS II
8. Gegeben sind folgende Vektoren:
⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = − 3 b = − 5 c =
1
⎜ 5 ⎟ ⎜ −2⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a) Berechnen Sie die Beträge der Vektoren a , b
und c .
b) Geben Sie jeweils die normierten Vektoren an.
c) Bestimmen Sie jeweils die drei Richtungswinkel der drei Vektoren.
9. Bestimmen Sie λ so, dass die Vektoren die geforderte Länge L besitzen.
⎛λ
⎞
⎜ ⎟
a) a = 2 L = 3
⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
b)
⎛ 2⎞ ⎛ −1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
b = 1 + λ ⋅ 2 L = 14
⎜ 1⎟ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10. Gegeben seien die Punkte A, B und C in einem kartesischen Koordinatensystem ( O; e1 ; e2
)
( O; e ; e ; e
) . Bestimmen Sie mit Hilfe der Ortsvektoren a , b
1 2 3
AB,
BC
und AC .
bzw.
und c von A, B bzw C die Vektoren
a) A(5;1), B(7;3), C(-1;-5) b) A(4;1;2), B(0;-1;3), C(-2;-5;-7)
11. Die Punkte A(-1;0;5), B(0;2;3) und C(2;1;3) bilden ein Dreieck.
OA OB AB BC AC ?
a) Welche Komponenten haben folgende Vektoren: , , , ,
b) Das Dreieck ABC soll zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Gesucht ist der Vektor OD
12. Die Vektoren AB
und AC
.
und der Punkt A(1;0;-1) bestimmen ein Dreieck ABC. Geben Sie die
.
Koordinaten von B und C an und berechnen Sie dann den Vektor BC
0 2
⎛ ⎜ ⎞ ⎟
⎛ ⎜ ⎞
⎟
AB = − 1 AC =
1
⎜0,5⎟ ⎜ 3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
13. Eine Pyramide ABCDE (Grundfläche ABCD ist ein Parallelogramm) ist durch folgende Angaben
gegeben:
⎛ 2⎞ ⎛ −4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A( 2; −6; − 1)
AB = 6 , AD =
1 ,
⎜ 1⎟ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
und
⎛ −2⎞
⎜ ⎟
AE = 3
⎜ 6 ⎟
⎝ ⎠
a) Fertigen Sie eine Zeichnung in einem kartesischen Koordinatensystem an.
b) Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte B, C, D und E.
c) Es sei AB = a , AD = b und AE = c
durch die Vektoren a , b
und c aus.
. Drücken Sie die Vektoren BE, BC, CE,
DE
.
und BD
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Skript Mathematik BOS II
3. Lineare Abhängigkeit und Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
3.1 Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren zueinander
a ist linear abhängig zu
b
a ist linear unabhängig zu
b
Beispiele: Prüfen Sie, ob a und
a)
a
a
b
b
Der Vektor a ist kollinear zu dem Vektor b . Die beiden Vektoren sind
linear abhängig voneinander. D.h. es gibt ein r ≠ 0 , sodass r ⋅ a = b
ist.
Beispiel:
⎛ 2⎞ ⎛ 6 ⎞
a = ⎜ ⎟ b = ⎜ ⎟
⎝ 4⎠ ⎝12⎠
mit r = 3 gilt 3⋅ a = b
Allgemein gilt: Die Vektoren a und
r ⋅ a + r ⋅ b = 0
1 2
mit
b linear abhängig sind.
r , r ≠ 0
1 2
⎛ 4⎞ ⎛ −8⎞
a = ⎜
2
⎟ b = ⎜
4
⎟
⎝ ⎠ ⎝ − ⎠
I r ⋅4 − r ⋅ 8 = 0 ⇒ r ⋅ 4 = r ⋅8 ⇒ r = r ⋅ 2
1 2 1 2 1 2
II r ⋅ 2 − r ⋅ 4 = 0
1 2
in II eingesetzt :
r ⋅ 2⋅2 − r ⋅ 4 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ linear abhängig
2 2
wählt man z. B. für r = 3 dann ist r = 6.
2 1
b sind linear abhängig, wenn
b)
⎛3⎞
⎛1⎞
a = ⎜ ⎟ b = ⎜ ⎟
⎝5⎠
⎝1⎠
I r ⋅ 3 + r ⋅ 1 = 0 ⇒ r = −r
⋅3
1 2 2 1
II r ⋅ 5 + r ⋅ 1 = 0
1 2
in II eingesetzt :
r ⋅5 − r ⋅3⋅ 1 = 0 ⇒ 2⋅ r = 0 ⇒ r = 0 und r = 0 ⇒ linear unabhängig
1 1 1 1 2
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Skript Mathematik BOS II
3.2 Lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren zueinander
a
Allgemein gilt: Die Vektoren a ,
Der Vektor a
ist zu dem Vektor b linear unabhängig. Der Vektor a ist zu
dem Vektor c
linear unabhängig. Und der Vektor b ist zu dem Vektor c
linear unabhängig.
Der Vektor c kann als Linearkombination von den Vektoren a und
dargestellt werden. D.h. a
, b und c sind linear abhängig zueinander.
a
, b und c liegen in einer Ebene und sind komplanar.
Beispiel:
⎛ 2⎞ ⎛1⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = 1 b = 2 c =
3,5
⎜ 4⎟ ⎜1⎟ ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
mit r1 = 1, r2 = 4 und r3
= −2
gilt 1⋅ a + 4⋅b − 2⋅ c = 0
b und c sind linear abhängig, wenn
r ⋅ a + r ⋅ b + r ⋅ c = 0
1 2 3
mit
r , r , r ≠ 0
1 2 3
Für eine Ebene gilt:
Ein Vektor kann stets als Linearkombination zweier linear unabhängiger Vektoren dieser Ebene dargestellt
werden.
Für einenRaum:
Ein Vektor kann stets als Linearkombination dreier linear unabhängiger Vektoren dieses Raumes dargestellt
werden.
Beispiele: Prüfen Sie, ob a ,
a)
b
c
b und c linear abhängig sind.
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = − 2 b = 2 c =
0
⎜ 3 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
I r ⋅ 1+ r ⋅ 1+ r ⋅ 1 = 0 ⇒ r = −r − r
1 2 3 1 2 3
II − r ⋅ 2 + r ⋅ 2 + r ⋅ 0 = 0
1 2 3
III r ⋅ 3+ r ⋅ 1+ r ⋅ 1 = 0
1 2 3
I in II und III eingesetzt :
1
II − ( −r − r ) ⋅ 2 + r ⋅ 2 + r ⋅ 0 = 0 ⇒ 4⋅ r + 2⋅ r = 0 ⇒ r = − r
2
III ( −r − r ) ⋅ 3 + r ⋅ 1+ r ⋅1 = 0 ⇒ −2⋅r2 − 2⋅ r3
= 0
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 3
II in III eingesetzt :
⎛ 1 ⎞
−2⋅⎜
− r3 ⎟ − 2⋅ r3 = 0 ⇒ r3 = 0 , r2 = 0 und r1
= 0 ⇒ triviale Lösung
⎝ 2 ⎠
a, b und c sind linear unabhängig!
b
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Skript Mathematik BOS II
b)
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = 7 b = 2 c = −1
⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
I r ⋅ 1+ r ⋅ 1+ r ⋅ 2 = 0 ⇒ r = −r − 2⋅
r
1 2 3 1 2 3
II r ⋅ 7 + r ⋅ 2 − r ⋅ 1 = 0
1 2 3
III r ⋅ 2 + r ⋅ 1+ r ⋅ 1 = 0
1 2 3
I in II und III eingesetzt :
( )
( )
II −r − 2⋅ r ⋅ 7 + r ⋅ 2 − r ⋅ 1 = 0 ⇒ − 5⋅r −15⋅ r = 0 ⇒ r = −3⋅
r
2 3 2 3 2 3 2 3
III −r − 2⋅ r ⋅ 2 + r
( )
2 3 2
II in III eingesetzt :
⋅ 1+ r ⋅ 1 = 0 ⇒ −1⋅r − 3⋅ r = 0
3 3 3 3
3 2 3
−1⋅ −3⋅ r − 3⋅ r = 0 ⇒ 3⋅ r − 3⋅ r = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ unendlich viele Lösungen
z. B. r3 = 1 ⇒
2
= −3 ⇒
1
= 1
⇒ ,
r r
a b und c sind linear abhängig d. h. komplanar!
3.3 Übungen:
1. Bestimmen Sie die Komponenten b 1 und b 3 so, dass die Vektoren a und
⎛ 2⎞ ⎛ b1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = 1 b =
3
⎜ 5⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝b3
⎠
2. Untersuchen Sie, ob die drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen.
A (1/1/ 0) B (0 /1/ −1) C (3/1/ 2)
3. Zeigen Sie, dass die Vektoren a ,
Linearkombination von a
, b und c aus.
⎛ 2 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ 10 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = 0 b = 3 c = 1 und d =
4,5
⎜ −1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ −7
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b kollinear sind.
b und c linear unabhängig sind und drücken Sie den Vektor
d als
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Skript Mathematik BOS II
4. Vektorielle Darstellung von Geraden
4.1 Geradengleichung in Parameterform
p
O
Geradengleichung in Parameterform g : x = p + t ⋅u
(Punktrichtungsgleichung)
Beispiele:
P
PQ = u
P und Q sind Punkte auf der Geraden g.
X hat den Ortsvektor:
x = OP + PX
Der Vektor
Vektors
PX ist ein Vielfaches des
PQ .
x = OP + t ⋅ PQ
Den
Vektor
OP nennt man den
Stützvektor und den Vektor
Richtungsvektor.
a) Geben Sie die Parametergleichung für die Gerade g durch die Punkte A(1/-2/5) und B(4/6/-2) an.
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
a = −2
ist möglicher Stützvektor von g. AB ist möglicher Richtungsvektor von g.
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
AB = OB − OA = 6 − − 2 = 8 ⇒ g : x = − 2 + t ⋅
8
⎜ −2⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ −7⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b) Berechnen Sie einen Punkt der auf der Geraden aus der Aufgabe a) liegt.
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 7 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
für z. B. t = 2 ⇒ x = − 2 + 2⋅ 8 =
14
⎜ 5 ⎟ ⎜ −7⎟ ⎜ −9⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎛ 5 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = − 1 + t ⋅
2 liegt
⎜ 2 ⎟ ⎜ −3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ −7
⎞ I 3+ 5t = −7 ⇒ t = −2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x = − 1 + t ⋅ 2 = −5
II − 1+ 2t = −5 Probe : − 1+ 2⋅( − 2)
= −5
⇒ wahr
⎜ 2 ⎟ ⎜ −3⎟ ⎜ 8 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ III 2 − 3t = 8 Probe : 2 − 3⋅ − 2 = 8 ⇒ wahr
c) Prüfen Sie, ob der Punkt A(-7/-5/8) auf der Geraden
Q
x
Ergebnis: Der Punkt A liegt auf der Geraden g!
X
g
( )
PQ den
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Skript Mathematik BOS II
4.2 Parameterfreie Punktrichtungsgleichung
g : x = p + t ⋅u
x
x
⎛ x ⎞
⎛ ⎞ 0
x
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + t ⋅ ⎜ ⎟
y y u
0
y
⎛ ⎞ 0
x
⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = t ⋅ ⎜ ⎟
y y u
0
y
⎛ u ⎞
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ x ⎞
⎛ u ⎞
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x − x ⎛ t ⋅u ⎞
x − x = t ⋅u | ⋅u
| ( )
⎛ 0 ⎞ x 0 x y
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒
⎝ y − y ⋅ −
0 ⎠ ⎝t uy ⎠ y y0
= t ⋅uy ⋅ −ux
( 0 )
( )
u ⋅ x − x = t ⋅u ⋅u
y x y
⊕ − u ⋅ y − y = t ⋅u ⋅( −u
)
x 0 y x
( 0 ) ( 0 )
( ) ( )
u ⋅ x − x − u ⋅ y − y = t ⋅u ⋅u − t ⋅u ⋅u
y x x y x
u ⋅ x − x − u ⋅ y − y =
y
0 x
0
0
y
( ) ( )
u ⋅ x − x − u ⋅ y − y =
y
0 x
0
0
( ) ( )
u ⋅ y − y = u ⋅ x − x
x
0 y 0
u
y
( y − y ) = ⋅( x − x )
0 0
ux
( y − y ) = m⋅( x − x )
0 0
Beispiel:
⎛ −1⎞
P0
= ( − 1;3) u = ⎜
2 ⎟
⎝ − ⎠
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
x = ⎜ ⎟ + t ⋅⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ −2⎠
⎛ x ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ − 1⎞
x + 1 = −t
| ⋅( −2)
⎜ ⎟ − ⎜ = ⋅ ⇒ ⇒
3
⎟ t ⎜
−2 ⎟
⎝ y ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
y − 3 = −2t
− 2x
− 2 = 2 t | ⋅( −2)
⊕ y − 3 = −2t
− 2x
+ y − 5 = 0
y = 2x
+ 5
Parameterfreie Gleichung g : ax + by + d = 0 (Koordinatengleichung)
Den Richtungsvektor von g: kann man aus der Parameterfreien Gleichung ablesen.
Einfache Berechnung des Beispiels:
x = −1− t ⇒ t = −1−
x
1 1
( )
x = 3 − 2t ⇒ x = 3− 2⋅ −1−
x
x
2 2 1
= 5 + 2x
2 1
− 2x
+ x − 5 = 0
1 2
u
g
⎛ −b⎞
= ⎜ ⎟
⎝ a ⎠
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Skript Mathematik BOS II
4.3 Übungen
1. Stellen Sie die Geradengleichung für g auf:
a)
b)
A(2 / 0 / 5) ∈ g ∧
⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟
g || a = −1
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
B(3/ 4 / −1) ∈ g ∧
⎛ 2⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g || h : x = 0 + t ⋅
2
⎜ 3⎟
⎜ 4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
C( −5 / 0 /1) ∈ g ∧ g ⊥ x x − Ebene
c)
1 3
2. Untersuchen Sie, ob A(0/-2/-3), B(-2/-1/1) und C(-8/-2/13) auf einer Geraden liegen.
3. Bestimmen Sie die Koordinaten c 2 und c 3 von C(4/c 2 /c 3 ), sodass die Punkte A(3/4/-1), B(2/0/3) und C auf
einer Geraden liegen.
4. Welcher Punkt auf der Geraden
⎛ 1⎞ ⎛ −1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 4 + t ⋅
2 hat x 2 = 0?
⎜ 3⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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Skript Mathematik BOS II
4.4 Gegenseitige Lage von Geraden
Zwei in einer Ebenen liegende Geraden fallen entweder zusammen oder sie sind zueinander parallel und
verschieden oder sie schneiden sich in einem Punkt. Bei zwei Geraden im Raum kann auch der Fall
eintreten, dass sie werden zueinander parallel sind noch gemeinsame Punkte besitzen. Solche Geraden
heißen zueinander windschief.
Mögliche Lage zweier Geraden g : x = p + t ⋅u und h : x = q + r ⋅v im Raum.
Beachten Sie:
g und h schneiden sich genau dann, wenn in Fig. 4 die Pfeile von u und v nicht zueinander parallel sind
und die Pfeile von u , v und
q p in einer Ebene liegen.
−
g und h sind zueinander windschief genau dann, wenn in Fig. 5 die Pfeile von u und v nicht zueinander
parallel sind und die Pfeile von u , v und
q − p nicht in einer Ebene liegen.
Es gilt für die Geraden g : x = p + t ⋅u und h : x = q + r ⋅v :
a) g und h schneiden sich in einem Punkt, wenn die Vektorgleichung
p + t ⋅ u = q + r ⋅v genau eine Lösung (r,t) besitzt.
b) g und h sind identisch, wenn die Vektorgleichung
p + t ⋅ u = q + r ⋅v unendlich viele Lösungen hat.
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Skript Mathematik BOS II
c) g und h haben keine gemeinsamen Punkte, wenn die Vektorgleichung
p + t ⋅ u = q + r ⋅v keine Lösungen hat.
c1) g und h sind zueinander parallel, wenn u und v linear abhängig sind.
c2) g und h sind zueinander windschief, wenn u und v linear unabhängig sind.
Beispiele:
zu a)
⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 0 + t ⋅ 2 h : x = 2 + r ⋅
0
⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 9 ⎟ ⎜ 4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
I 1 + 3t = − 2 + 2r
II 0 + 2t = 2 + 0r
III 2 + t = − 9 + 4r
II
I
t = 1
3 3
r = t +
2 2
r = 3
III 2 + 1 = − 9 + 4⋅ 3 3 = 3
wahr
zu b)
⎛1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 0 + 1⋅ 2 x =
2
⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Es existiert genau eine Lösung. Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt (4;2;3).
⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 2 + t ⋅ 4 h : x = 6 + r ⋅
8
⎜ 3⎟ ⎜1⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
I 1 + 2t = 3 + 4r
II 2+ 4t = 6 + 8r
III 3 + t = 4 + 2r ⇒ t = 1+
2r
( )
( )
I 1 + 2⋅ 1+ 2r = 3+ 4r ⇒ 3 = 3 wahr
II 2 + 4⋅ 1+ 2r = 6 + 8r ⇒ 6 = 6 wahr
Es existieren unendlich viele Lösungen: t = 1+
2r für jedes beliebige r gibt es ein
entsprechendes t. Die Geraden sind identisch.
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Skript Mathematik BOS II
zu c1)
⎛ −1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ −1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 0 + t ⋅ 6 h : x = 5 + r ⋅ −2
⎜ 1 ⎟ ⎜0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
I − 1+ 3t = 2 −1r
II 0 + 6t = 5 −2r
III 1 + 0t = 1 + 0r
III 1 = 1 ⇒ wahr
I r = − 3t
+ 3
( )
II 6t = 5 − 2⋅ − 3t + 3 ⇒ 6t = 6t − 1 0 = −1
falsch
Es existiert keine Lösung.
Prüfung auf lineare Abhängigkeit:
⎛ 3⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
r1 ⋅ u + r2
⋅ v = 0 1⋅ 6 + 3⋅ − 2 =
0
⎜0⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Da die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, liegen die Geraden parallel
zueinander.
zu c2)
⎛ 0⎞ ⎛ −1⎞ ⎛1⎞ ⎛ −2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 4 + t ⋅ 2 h : x = 2 + r ⋅
3
⎜ 3⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
I 0 − 1t = 1 −2r
II 4+ 2t = 2 + 3r
III 3+ 2t = 3 + 3r
I t = 2r
−1
( )
( )
II 4 + 2⋅ 2r − 1 = 2 + 3r r = 0
III 3+ 2⋅ 2r − 1 = 3 + 3r r = 2 Widerspruch
Es existiert keine Lösung.
Prüfung auf lineare Abhängigkeit:
⎛ −1⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
r1 ⋅ u + r2
⋅ v = 0 − 2⋅ 2 + 1⋅ 3 = −1
⎜ 2 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Da die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind, liegen die Geraden windschief
zueinander.
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Skript Mathematik BOS II
4.5 Übungen
Stellen Sie sich vor, Sie arbeiten auf einem kleinen Flugplatz im Tower. Bei nebligem Wetter erhalten Sie
plötzlich einen Funkspruch mit folgendem Inhalt:
„Unser Flugzeug befindet sich im Moment am Punkt A und wir fliegen in Richtung u . Unsere Instrumente
signalisieren ein weiteres Flugzeug an Punkt B, welches sich in Richtung v bewegt. Überprüfen Sie bitte, ob
eine Kollisionsgefahr besteht und teilen Sie uns gegebenenfalls die Koordinaten des möglichen
Zusammenstoßpunktes mit.“
Die genauen Daten können Sie von ihren Instrumenten ablesen:
⎛ 1 ⎞ ⎛ 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Aufgabe 1: A( 3/ 7 / 2) u = 1,5 B( 5/10 / 6)
v =
6
⎜ 2 ⎟ ⎜ 8⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A 3/ 7 / 2 u = 1,5 B 9 /12 /13 v =
6
⎜ 2 ⎟ ⎜8⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Aufgabe 2: ( ) ( )
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A 3/ 7 / 2 u = 1,5 B 4 / 6 / 2 v = −1
⎜ 2 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Aufgabe 3: ( ) ( )
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A 3/ 7 / 2 u = 1,5 B 9 /12 /13 v = −1
⎜ 2 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Aufgabe 4: ( ) ( )
Aufgabe 5:
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Berechnen Sie
gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes.
a)
⎛ 5⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ −6⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 0 + t ⋅ 1 h : x = 1 + r ⋅ −3
⎜1⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b)
c)
d)
⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 2 + t ⋅ 0 h : x = 3 + r ⋅
1
⎜ 1⎟ ⎜1⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 1 + t ⋅ 0 h : x = 2 + r ⋅
1
⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜ 4⎟ ⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛5⎞ ⎛1⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎛ −0,5⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 5 + t ⋅ 2 h : x = − 15 + r ⋅
1
⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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Skript Mathematik BOS II
5. Vektorielle Darstellung von Ebenen
5.1 Ebenengleichung in Parameterform
R
P v
x = OP + PX
p
O
u
Q
x
Gegeben sind die Punkte P, Q und R.
Der Vektor PX kann durch die Addition eines Vielfaches
des Vektors PQ und eines Vielfaches des Vektors PR
gebildet werden.
x = OP + r ⋅ PQ + s ⋅ PR
Den Vektor
PQ
Vektoren
Spannvektoren.
Ebenengleichung in Parameterform E : x = p + r ⋅ u + s⋅v
Die Spannvektoren u und v müssen linear unabhängig sein.
X
OP nennt man den Stützvektor und die
und
PR nennt man auch
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Skript Mathematik BOS II
5.2 Übungen - Vektorielle Darstellung von Ebenen
⎛ 2⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1) Prüfen Sie, ob der Punkt A(7/5/-3) auf der Ebene E : x = 0 + r ⋅ 3 + s ⋅ −1
⎜ 1⎟ ⎜5⎟ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
liegt.
2) Prüfen Sie, ob die Punkte A(1/1/1), B(3/2/1), C(-1/-1/-1) und D(1/0/1) in einer Ebene liegen.
3) Geben Sie jeweils die Parametergleichung der Ebenen an, von denen folgende Punkte
gegeben sind:
a) A(2/0/3), B(1/-1/5), C(3/-2/0) b) A(2/5/7), B(7/5/2), C(1/2/3)
4) Eine Ebene ist durch den Punkt P und die Gerade g eindeutig bestimmt. geben Sie eine
Parametergleichung der Ebene an. (Hinweis: P darf nicht auf g liegen, sonst ist die Ebene
nicht eindeutig bestimmt!)
⎛1⎞
⎛ 2⎞
⎛1⎞
⎛ 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a) g : x = 0 + t ⋅ 1 P( 5/ − 5/ 3)
b) g : x = 0 + t ⋅ 1 P( 6 / 3/ −1)
⎜1⎟
⎜ 3⎟
⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5) Prüfen Sie, ob die beiden Geraden g 1 und g 2 sich schneiden. Geben Sie eine
Parametergleichung der Ebene an, die durch die Geraden g 1 und g 2 festgelegt ist.
⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
: = 1 + ⋅ 3 : = 4 + ⋅
0
⎜ 2⎟ ⎜1⎟ ⎜ 3⎟ ⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a) g1 x t1 g2 x t2
⎛ 2⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
: = 0 + ⋅ 1 : = − 2 + ⋅
2
⎜ 2⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b) g1 x t1 g2 x t2
6) a) Bestimmen Sie jeweils eine Ebenengleichung in Parameterform der Ebenen E 1 und E 2
von Bild 1.
b) Im Bild 2 ist in einem Raum mit hohen Decken zur Verschönerung ein Segeltuch gespannt.
Bilden Sie eine Ebenengleichung in Parameterform der Ebene E 3 in der das Segeltuch
liegt.
c) Bestimmen Sie die Geradengleichung für die Gerade die durch die Punkte A und B geht
und bestimmen Sie die Länge der Strecke von A nach B.
Bild 1 Bild 2
E 3
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Skript Mathematik BOS II
5.3 Koordinatengleichung von Ebenen
Beispiele:
E : a ⋅ x1 + b ⋅ x2 + c ⋅ x3
= d
a) Umformung von der Parametergleichung in die Koordinatengleichung
⎛ 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E : x = 2 + r ⋅ − 2 + s ⋅
5
⎜ 1⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 7⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
I x = 2 + r + 2s
1
II x = 2 − 2r + 5s
2
III x = 1 + 3r + 7s
3
I r = x − 2 − 2s
1
I in II und III einsetzen
II x = 2 − 2x + 4 + 4s + 5s
2 1
III x = 1 + 3x − 6 − 6s + 7s
3 1
II x = 6 − 2x + 9s
2 1
III x = − 5 + 3x + s
3 1
III s = x + 5 − 3x
3 1
III in II einsetzen
II x = 6 − 2x + 9x + 45 − 27x
2 1 3 1
E : 29x + x − 9x
= 51
1 2 3
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Skript Mathematik BOS II
b) Umformung von der Koordinatengleichung in die Parametergleichung
E : 3x − x + 7x
= 12
1 2 3
Umstellen nach einer Koordinate z. B.
x
x = − 12 + 3x + 7x
2 1 3
2
Gleichungen ergänzen
x
=
1x
1 1
x = − 12 + 3x + 7x
x
2 1 3
=
1x
3 3
x durch r und x durch s ersetzen
1 2
⎛ x1
⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x = − 12 + r ⋅ 3 + s ⋅ 7
2
⎜ ⎟ ⎜
3
0 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟
⎝ x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞
E : x =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− 12 + r ⋅ 3 + s ⋅
7
⎜ 0 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5.4 Übungen - Koordinatengleichung von Ebenen
1) Bestimmen Sie die Parametergleichung der Ebenen
a) E x1 x2 x3
: 2 − 3 + = 6
b) E : 5x1 − 3x2 + 6x3
= 1
2) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebenen:
a)
⎛ 4⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E : x = 9 + r ⋅ 2 + s ⋅
0
⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b)
⎛ 4 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E : x = 5 + r ⋅ 0 + s ⋅
0
⎜ −1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3) Gegeben sind die Punkte A(1/2/-1), B(6/-5/11) und C(3/2/0).
a) Bestimmen Sie erst die Parametergleichung der Ebene.
b) Bestimmen Sie daraus die Koordinatengleichung der Ebene.
4) Bestimmen Sie aus der Aufgabe 5.2 Nummer 6) die Koordinatengleichungen der Ebenen E 1 ,
E 2 und E 3 .
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Skript Mathematik BOS II
5.5 Gegenseitige Lage einer Geraden zu einer Ebene
g : x = p + t ⋅ u E : x = q + r ⋅ v + s ⋅ w
g
Ebenengleichung und Geradengleichung gleichsetzen:
xg
= xE
p + t ⋅ u = q + r ⋅ v + s ⋅ w
Folgende Fälle sind möglich:
E
a) Die Gerade g schneidet die Ebene E
Das Gleichungssystem ergibt genau eine Lösung für (t, r, s).
Hiermit kann man den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene (Durchstoßpunkt)
berechnen, indem man t in die Geradengleichung oder r und s in die
Ebenengleichung einsetzt.
b) Die Gerade g liegt parallel zu der Ebene E
Das Gleichungssystem ergibt keine Lösung.
c) Die Gerade g liegt in der Ebene E
Das Gleichungssystem ergibt unendlich viele Lösungen.
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Skript Mathematik BOS II
Beispiele:
⎛ 3⎞
⎛ 0⎞
⎛ 3⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
zu a) g : x = 4 + t ⋅
1
E : x = 2 + r ⋅ 1 + s ⋅
1
⎜1⎟
⎜ 2⎟
⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xg
= xE
p + t ⋅ u = p + r ⋅ u + s ⋅v
g g E E E
I 3 = 3 − 2r + 2s
II 4 + t = 2 + r + 1s
III 1 + 2t = 1 + 3r + 2s
⇒ t = − 2 + r + s
I 3 = 3 − 2r + 2s
III 1− 4 + 2r + 2s = 1+ 3r + 2s
⇒ t = −2 − 4 − 4 ⇒ t = −10
I 0 = − 2r + 2s
III − 4 = r
⇒ 0 = 8 + 2s ⇒ s = −4
Schnittpunkt
⎛ 3⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x = 4 −10 ⋅ 1 = −6
⎜1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −19⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
zu b)
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 2 + t ⋅
2
E : x = 0 + r ⋅ 2 + s ⋅
4
⎜1⎟
⎜1
⎟
⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xg
= xE
p + t ⋅ u = p + r ⋅ u + s ⋅v
g g E E E
I 1 + 1t = 3 + 3r
II 2 + 2t = 0 + 2r + 4s
III 1 + 1t = 1 + 3s ⇒ t = 3s
I 1+ 3s = 3 + 3r
II 2 + 6s = 2r + 4s
I 3s = 2 + 3r
II 2s = − 2 + 2r ⇒ s = − 1+
r
I − 3 + 3r = 2 + 3r ⇒ − 3 = 2 keine Lösung
Die Gerade g liegt parallel zur Ebene E.
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Skript Mathematik BOS II
zu c)
⎛ 4⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 5 + t ⋅
2
⎜ 2⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 2⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 3⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E : x = 1 + r ⋅ 2 + s ⋅
2
⎜ 2⎟ ⎜ −1⎟ ⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xg
= xE
p + t ⋅ u = p + r ⋅ u + s ⋅v
g g E E E
I 4 + 1t = 2 − r + 3s
II 5 + 2t = 1 + 2r + 2s
III 2 = 2 − r + 1s ⇒ s = r
I 4 + t = 2 − r + 3r
II 5 + 2t = 1+ 2r + 2r
I t = − 2 + 2r
II 2t = − 4 + 4r ⇒ − 4 + 4r = − 4 + 4r ⇒ 0 = 0
Es gibt unendlich viele Lösungen. (t und s ist abhängig von r)
Die Gerade g liegt in der Ebene E.
5.6 Übungen - Gegenseitige Lage einer Geraden zu einer Ebene
1) Bestimmen Sie den Durchstoßpunkt der Gerade mit der Ebene.
a)
⎛ 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ −1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 2 + t ⋅ − 1 E : x = 1 + r ⋅ 0 + s ⋅ −1
⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜5⎟ ⎜1⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 3⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
: = 4 + ⋅ 1 : 2 + 5 − = 49
⎜7⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b) g x t E x1 x2 x3
2) Die Ebene E ist durch die Punkte A(1/0/2), B(0/2/1) und C(1/3/0) gegeben. Die Gerade g soll
den Punkt P(4/4/4) haben und parallel zur Ebene E liegen.
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5.7 Gegenseitige Lage einer Ebene zu einer Ebene
E : x = p + r ⋅ u + s ⋅ v E : x = p + r ⋅ u + s ⋅v
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
Ebenengleichungen gleichsetzen:
xE
= x
1 E2
p + r ⋅ u + s ⋅ v = p + r ⋅ u + s ⋅v
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
Folgende Fälle sind möglich:
a) Die Ebenen E 1 und E 2 schneiden sich.
Das Gleichungssystem ergibt unendlich viele Lösungen die eine Schnittgerade
beschreiben. g : x = p + t ⋅u
b) Die Ebenen E 1 und E 2 liegen parallel zueinander.
Das Gleichungssystem ergibt keine Lösung.
Die Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte.
p 1
− p 2
, u
1
und v
1
oder p 1
− p 2
, u
2
und v
2
sind linear unabhängig.
c) Die Ebenen E 1 und E 2 sind identisch.
Das Gleichungssystem ergibt keine Lösung.
Die Ebenen haben unendlich viele gemeinsamen Punkte.
p 1
− p 2
, u
1
und v
1
oder p 1
− p 2
, u
2
und v
2
sind linear abhängig.
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Skript Mathematik BOS II
Beispiele:
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ −2
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
zu a) E : x = − 2 + r ⋅ 1 + s ⋅
3
F : x = − 4 + k ⋅ − 5 + m ⋅ −11
⎜ 4 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜1⎟
⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xE
= xF
p + r ⋅ u + s ⋅ v = p + k ⋅ u + m ⋅v
E E E F F F
I 1 + 2r + 2s = 1 − 2k − 2m
II − 2 + 1r + 3s = − 4 − 5k − 11m
III 4 + 2r + 1s = 4 + 1k + 5m ⇒ s = − 2r + k + 5m
I 1+ 2r − 4r + 2k + 10m = 1− 2k − 2m
II − 2 + r − 6r + 3k + 15m = −4 − 5k −11m
I − 2r = −4k −12m
II − 5r = −2 − 8k − 26m
⇒ r = 2k + 6m
II −10k − 30m = −2 −8k − 26m ⇒ − 2k = − 2 + 4m ⇒ k = 1−
2m
Einsetzen in die Ebenengleichung der Ebene F:
⎛ 1 ⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ −2
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
F : x = − 4 + (1 − 2 m) ⋅ − 5 + m ⋅ −11
⎜ 4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ 4m
⎞ ⎛ −2
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x = − 4 + − 5 + 10m + m ⋅ −11
⎜ 4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ m⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −2
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x = − 4 + − 5 + m ⋅ 10 + m ⋅ −11
⎜ 4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −2⎟ ⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Schnittgerade
⎛ −1⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = − 9 + m ⋅ −1
⎜ 5 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
zu b)
⎛ 1 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ −2⎞
⎛3⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ −8⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E : x = − 1 + r ⋅ 3 + s ⋅
1
F : x = 3 + k ⋅ 1 + m ⋅ −1
⎜ 2 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 3 ⎟
⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xE
= xF
p + r ⋅ u + s ⋅ v = p + k ⋅ u + m ⋅v
E E E F F F
I 1 + 4r − 2s = 3 + 3k − 8m
II − 1 + 3r + 1s = 3 + 1k − 1m
III 2 + 1r + 3s = 5 − 1k + 5m
⇒ s = 4 − 3r + k − m
I 1+ 4r − 8 + 6r − 2k + 2m = 3 + 3k −8m
III 2 + r + 12 − 9r + 3k − 3m = 5 − k + 5m
I 10r = 10 + 5k −10m
III − 8r = −9 − 4k + 8m
⇒ r = 1+ 0,5k − m
III − 8 − 4k + 8m = −9 − 4k + 8m ⇒ − 8 ≠ − 9 es existiert keine Lösung
Die Ebenen E und F liegen parallel zueinander.
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Skript Mathematik BOS II
zu c)
⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2⎞
⎛ 4 ⎞ ⎛ 5⎞ ⎛5⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E : x = 2 + r ⋅ 2 + s ⋅
1
F : x = 0 + k ⋅ 4 + m ⋅
1
⎜ −2⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 2⎟
⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−4⎟ ⎜7⎟ ⎜3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xE
= xF
p + r ⋅ u + s ⋅ v = p + k ⋅ u + m ⋅v
E E E F F F
I 2 + 1r + 2s = 4 + 5k + 5m
II 2 + 2r + 1s = 0 + 4k + 1m
III − 2 + 3r + 2s = − 4 + 7k + 3m
⇒ r = 2− 2s + 5k + 5m
II 2 + 4 − 4s + 10k + 10m + s = 4k + m
III − 2 + 6 − 6s + 15k + 15m + 2s = − 4 + 7k + 3m
II − 3s = −6 − 6k − 9m
III − 4s = −8 −8k −12m
⇒ s = 2 + 2k + 3m
III − 8 −8k − 12m = −8 −8k −12m ⇒ 0 = 0
Die Ebenen E und F sind identisch!
5.8 Übungen - Gegenseitige Lage einer Ebene zu einer Ebene
1) Bestimmen Sie die Schnittgerade g der 2 Ebenen E 1 und E 2 .
⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ −2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E : x = 3 + r ⋅ − 2 + s ⋅ 1 E : x = 5 + k ⋅ 1 + m⋅
1
⎜ 2⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a)
1 2
⎛ 5⎞ ⎛1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 6 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E : x = 0 + r ⋅ 2 + s ⋅ 1 E : x = − 2 + k ⋅ 1 + m ⋅ −1
⎜ 5⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ −2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b)
1 2
c) E1 x1 x3 E2 x1 x2 x3
: + 5 = 8 : + + = 1
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6. Das Skalarprodukt (inneres Produkt)
6.1 Definition
Anwendungsbeispiel:
F
ϕ
F
s
s
Bisher haben Sie wahrscheinlich kennengelernt,
dass man die Arbeit W wie folgt berechnet:
W = F ⋅ s
Dies gilt aber nur, wenn die Kraft F in Richtung des
Weges s zeigt.
Ist dies nicht der Fall, muss man die Komponente
F
s
der Kraft F bestimmten, die in die Richtung des
Weges s zeigt.
Dann kann man wieder mit: W = Fs
⋅ s rechnen.
Bildet man das Skalarprodukt aus 2 Vektoren, so erhält man als Ergebnis keine Vektor sondern ein
Skalar.
W = F ⋅ s
Fs
cos ϕ = ⇒ Fs
= F ⋅ cos ϕ
F
W = F ⋅ s = F ⋅ cos ϕ ⋅ s
Allgemein:
b
ϕ
b x
a
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ
⎛ ax
⎞ ⎛bx
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a ⋅ b = ay ⋅ b = a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ az
⎠ ⎝ bz
⎠
a ⋅ b
cos ϕ =
a ⋅ b
y x x y y z z
Besondere Eigenschaften:
1. Zwei Vektoren a und b stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt
gleich Null ist.
a ⋅ b = 0 ⇒ ϕ = 90° ⇒ a ⊥ b
2. Zwei Vektoren a und b sind kollinear, wenn der Betrag des Skalarproduktes gleich ist mit dem
Produkt der beiden Beträge der einzelnen Vektoren.
a ⋅ b = a ⋅ b ⇒ ϕ = 0° ⇒ a ↑↑ b oder a ↑↓ b
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Skript Mathematik BOS II
6.2 Übungen - Skalarprodukt
1) Bestimmen Sie den Schnittwinkel ϕ der zwischen den beiden Vektoren a und b liegt.
⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = 2 b = −1
⎜ −3⎟ ⎜ −5⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2) Bestimmen Sie den Schnittwinkel ϕ der zwischen den beiden Vektoren a und b liegt.
⎛ −2⎞ ⎛ 4⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = 3 b =
1
⎜ 1 ⎟ ⎜ 5⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3) Berechnen Sie für die Pyramide OABS
die Größe des Winkels ϕ.
4) Bestimmen Sie die fehlende Koordinate so, dass a ⊥ b
gilt.
⎛ −1⎞
⎛ 3 ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a
4 b = 0
⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝b3
⎠
5) Das Bild zeigt die Anordnung der Balken eines Daches. Zur Längsversteifung werden
schräg liegende Bretter angebracht, dir rot gezeichneten Windrispen.
a) Beschreiben Sie jeweils die Lage eines Sparren und einer Windrispe durch einen
passenden Vektor.
b) Berechnen Sie die Länge der Windrispe und die Größe des Winkels zwischen
Windrispe und Sparren.
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Skript Mathematik BOS II
7. Normalenform der Ebenengleichung
n
v
E
E : x − p ⋅ n = 0
( )
p
n
P
x
u
− p
x
X
Der Vektor n ist der Normalenvektor
der Ebene E.
Der Normalenvektor n steht senkrecht
auf dem Vektor x − p und auf den
Spannvektoren der Ebene u und v .
Daher muss das Skalarprodukt von
x − p und dem Normalenvektor n
Null sein.
O
7.1 Von der Normalenform zur Koordinatengleichung
Die Ebene E hat den Punkt P(4/1/3) und den Normalenvektor
⎛ ⎛ 4⎞⎞
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟
Normalenform ⎜ x − 1 ⎟ ⋅ − 1 = 0
⎜ ⎜ 3⎟⎟
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
⎝ ⎠
⎛⎛ x1
⎞ ⎛ 4⎞⎞
⎛ 2 ⎞
⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟
⎜
x2
− 1 ⎟ ⋅ − 1 = 0
⎜⎜
⎟ ⎜
3
3⎟⎟
⎜ 5 ⎟
⎝⎝
x ⎠ ⎝ ⎠⎠
⎝ ⎠
⎛ x1
− 4⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x2
−1 ⋅ − 1 = 0
⎜
3
3⎟
⎜ 5 ⎟
⎝ x − ⎠ ⎝ ⎠
− 4 ⋅ 2 + −1 ⋅ − 1 + − 3 ⋅ 5 = 0
( x ) ( x ) ( ) ( x )
1 2 3
2x − 8 − x + 1 + 5x
− 15 = 0
1 2 3
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
n = −1
.
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠
Koordinatengleichung 2x1 − x2 + 5x3
= 22
7.2 Von der Koordinatengleichung zur Normalenform
Koordinatengleichung 2x + 5x + 3x
= 12
1 2 3
Um den Stützvektor zu bestimmen wählt man 2 Koordinaten aus und setzt diese gleich
Null.
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Skript Mathematik BOS II
x
x
2
3
= 0
= 0
2⋅ x + 5⋅ 0 + 3⋅ 0 = 12
1
⎛ 6⎞
⎜ ⎟
x1
= 6 ⇒ p = 0
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
Der Normalenvektor n wird gebildet aus den drei Koeffizienten von x 1
, x 2
und x 3
.
2 ⋅ x1 + 5 ⋅ x2 + 3 ⋅ x3
= 12
ɺɺɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺɺɺ
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
⇒ n = 5
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎛6⎞⎞
⎛ 2⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟
⇒ Normalenform E : ⎜ x − 0 ⎟ ⋅ 5 = 0
⎜ ⎜0⎟⎟
⎜ 3⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
⎝ ⎠
7.3 Von der Parameterform zur Normalenform
⎛ 5⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Parameterform E : x = 2 + r ⋅ 0 + s ⋅ −5
⎜ 3⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 8 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
u v
Der Normalenvektor n muss senkrecht auf den Spannvektoren u und v stehen.
⎛ 5⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Parameterform E : x = 2 + r ⋅ 0 + s ⋅ −5
⎜ 3⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 8 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ n1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ n1
⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
u ⊥ n und v ⊥ n ⇒ n2 ⋅ 0 = 0 und n2
⋅ − 5 = 0 siehe Skalarprodukt
⎜ ⎟ ⎜
3
2⎟ ⎜ ⎟ ⎜
3
8 ⎟
⎝ n ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ ⎠
n + 2n
= 0
1 3
− 5n
+ 8n
= 0
2 3
n3
muss beliebig gewä
3
n + 10 = 0 ⇒ n = −10
1 1
− 5n
+ 40 = 0 ⇒ n = 8
2 2
hlt werden, zum Beispiel n = 5
⎛ −10⎞
⎜ ⎟
n = 8
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠
Als Stützvektor nimmt man den Stützvektor aus der Parametergleichung.
⎛ ⎛ 5⎞⎞ ⎛ −10⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟
⇒ Normalenform E : ⎜ x − 2 ⎟ ⋅ 8 = 0
⎜ ⎜ 3⎟⎟
⎜ 5 ⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
⎝ ⎠
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Skript Mathematik BOS II
7.4 Von der Normalenform zur Parameterform
⎛ ⎛ 1 ⎞⎞
⎛ 2⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟
Normalenform E : ⎜ x − −1 ⎟ ⋅ 3 = 0
⎜ ⎜ 2 ⎟⎟
⎜ 4⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
⎝ ⎠
Man nimmt den Vektor p als Stützvektor und benötigt noch 2 Spannvektoren u und v , die
von dem Normalenvektor n linear unabhängig sind.
⎛ n1 ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎛ n1 ⎞ ⎛ v1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
n ⊥ u und n ⊥ v ⇒ n2 ⋅ u2 = 0 und n2 ⋅ v2
= 0 siehe Skalarprodukt
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ n3 ⎠ ⎝ u3 ⎠ ⎝ n3 ⎠ ⎝ v3
⎠
⇒ 2u + 3u + 4u = 0 und 2v + 3v + 4v
= 0
1 2 3 1 2 3
man muss 2 Komponenten beliebig wählen
u = 0 und u = 1 ⇒ 2u + 3⋅ 0 + 4⋅ 1 = 0 ⇒ u = − 2
2 3 1 1
v 2
und v 3
u 1
u 1
= 2 = 0 ⇒ 2 + 3⋅ 2 + 4⋅ 0 = 0 ⇒ = − 3
⎛ 1 ⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ −3⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Parameterform E : x = − 1 + r ⋅ 0 + s ⋅
2
⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7.5 Übungen – Normalenform der Ebenengleichung
1) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene E.
⎡ ⎛ −1⎞ ⎤ ⎛ 4 ⎞
⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟
E : ⎢x
− 2 ⎥ ⋅ 5 = 0
⎢ ⎜ 5 ⎟ ⎥ ⎜ −1⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠
2) Bestimmen Sie die Normalenform der Ebene E.
E : 2x + 3x + 5x
= 10
1 2 3
3) Bestimmen Sie die Normalenform der Ebene E.
⎛ 2⎞ ⎛1⎞ ⎛ −2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E : x = 1 + r ⋅ 3 + s ⋅
1
⎜ 2⎟ ⎜0⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4) Bestimmen Sie die Ebenengleichung der Ebene E in der Parameterform.
⎡ ⎛ −1⎞ ⎤ ⎛ 3⎞
⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟
E : ⎢x
− −2 ⎥ ⋅ 5 = 0
⎢ ⎜ −3⎟ ⎥ ⎜ 0⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠
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Skript Mathematik BOS II
8. Schnittwinkel und Orthogonalität
8.1 Gerade zu Gerade
g : x = p + t ⋅ u h : x = q + t ⋅v
cosα =
u ⋅v
u ⋅ v
Orthogonalität: u ⊥v ⇒ u ⋅ v = 0
Zwei Geraden heißen zueinander orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren zueinander
orthogonal sind.
8.2 Schnittwinkel Gerade zu Ebene
E : ( x − p ) ⋅ n = 0 g : x = p + t ⋅u
E : x = pE + r ⋅ uE + s ⋅vE
nE
⋅ug
cos( 90° − α ) =
n ⋅ u
E E g g
E
g
90°- α ist der Winkel zwischen der Geraden und
dem Normalenvektor.
Gesucht ist aber eigentlich der Winkel α
zwischen der Ebene und der Geraden.
Über folgende Komplementbeziehung kann man den gesuchten Winkel α auch direkt
berechnen: cos ( 90° − α ) = sin ( α )
nE
⋅ug
sinϕ =
n ⋅ u
E
g
Orthogonalität:
ug ⊥uE ⇒ ug ⋅ uE
= 0
Mit der Parameterform der Ebene:
ug ⊥vE ⇒ ug ⋅ vE
= 0
Mit der Normalenform der Ebene: u || n ⇒ u ist linear abhängig von n
g
Eine Gerade und eine Ebene heißen zueinander orthogonal, wenn ein Richtungsvektor der
Geraden zu den Spannvektoren der Ebene orthogonal ist.
8.3 Schnittwinkel Ebene zu Ebene
E1 : ( x − p1 ) ⋅ n1 = 0 E2 : ( x − p2 ) ⋅ n
2
= 0
nE
⋅n
1 E2
cosα =
n ⋅ n
E1 E2
Orthogonalität:
Mit der Normalenform der Ebene: n ⊥ ⇒ ⋅
E
n = 0
1 E
n
2 E
n
1 E2
Zwei Ebenen heißen zueinander orthogonal, wenn ihre
Normalenvektoren zueinander orthogonal sind.
g
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Skript Mathematik BOS II
8.4 Übungen – Schnittwinkel und Orthogonalität
1) Sind die Ebenen E1 und E2 orthogonal zueinander?
E : 2x + x − 4x = 7 E : 3x − x + x = 4
1 1 2 3 2 1 2 3
2) Gesucht ist eine Gerade g, die orthogonal zur Ebene E liegt und durch den Punkt
P(6/9/4) geht.
⎛7⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E : x = 5 + r ⋅ 3 + s ⋅ −1
⎜ 2⎟ ⎜ −6⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3) Bestimmen Sie einen Punkt Q so, dass die Gerade h durch den Punkt P und Q geht
und orthogonal zur Gerade g liegt.
⎛ 5⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 4 + t ⋅ −1 P ( 2 / 3/ 2)
⎜ 6⎟ ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4) Bei der Figur in der Abbildung sind A, B,
C, D, E und F die Mittelpunkte der Flächen
des Quaders. Berechnen Sie die Winkel
zwischen den Kanten:
a) AB und BC
b) AE und EB
c) EC und CF
5) Eine sturmgefährdete Fichte an einem
gleichmäßig geneigten Hang soll mit Seilen
in den Punkten A und B befestigt werden.
Mit einem passenden Koordinatensystem
(1 Einheit = 1m) steht die Fichte im
Ursprung O und es ist A(3/-4/2) und
B(-5/-2/1).
Die Seile werden in einer Höhe von 5m an
der Fichte befestigt. Berechnen Sie die
Winkel, die die Seile mit der Hangebene
bilden.
6) Verbindet man die Mittelpunkte der Flächen eines
Würfels, so erhält man ein Oktaeder.
Berechnen Sie den Winkel zwischen den Ebenen
von zwei Flächen des Oktaeder
a) die eine gemeinsame Kante haben und
b) die einen gemeinsamen Punkt haben.
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Skript Mathematik BOS II
9. Abstandsberechnungen
9.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene
n ist ein Normalenvektor der Ebene E mit der Länge 1. n
0
= 1
0
d sei der Abstand des Punktes R von der Ebene E.
Man kann folgendes Skalarprodukt aufstellen:
cos
cos
cos
( α )
r − p ⋅ n r − p ⋅ n
0 0
= =
r − p ⋅ n r − p ⋅1
( )
( )
⋅ r − p = r − p ⋅ n
( α ) ( )
0
( )
( )
0
d
=
⋅ r − p = d ⇒ d = r − p ⋅ n
r − p
( α ) cos( α ) ( )
r − p ⋅ n entspricht dem Term in der Normalenform der Ebenengleichung
x p n , wenn man x durch r und n
durch n ersetzt. Dies führt zu einer speziellen
0
Der Term ( ) 0
( − ) ⋅ = 0
Form der Ebenengleichung in Normalenform:
Die Hesse’sche Normalenform ( x − p) ⋅ n
0
= 0
1. Satz: Ist ( − ) ⋅
0
= 0
x p n die Hesse’sche Normalenform der Ebene E, so gilt für den Abstand d
eines Punktes R mit dem Ortsvektor r von der Ebene E:
d = r − p ⋅ n
( ) 0
In der Koordinatengleichung a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 + a3 ⋅ x3
= b einer Ebene bilden die Koeffizienten a 1 , a 2
und a 3 die Koordinaten des Normalenvektors n . Dividiert man die Koordinatengleichung durch den
Betrag von n , so erhält man die
a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 + a3 ⋅ x3
− b
Koordinatendarstellung der Hesse’schen Normalenform
= 0
2 2 2
a + a + a
0
1 2 3
2. Satz: Ist a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 + a3 ⋅ x3
= b die Koordinatengleichung der Ebene E, so gilt für den
Abstand d eines Punktes ( | | )
R r r r von der Ebene E:
1 2 3
d =
a ⋅ r + a ⋅ r + a ⋅ r − b
1 1 2 2 3 3
a + a + a
2 2 2
1 2 3
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Skript Mathematik BOS II
Beispiel 1: Ebenengleichung in Normalenform
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes ( 9 / 4 / − 3)
R von der Ebene mit der Gleichung
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤
⎛ 1⎞
⎢ ⎜ ⎟⎥
⎜ ⎟
⎢
x − −3 ⎥
⋅ 2 = 0
⎢ ⎜ 1 ⎟⎥
⎜ 2⎟
⎣ ⎝ ⎠⎦
⎝ ⎠
1. Schritt: Umwandlung der Normalenform in die Hesse’sche Normalenform
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟ 2 2 2
1 ⎜ ⎟
n = 2 = 1 + 2 + 2 = 3 ⇒ n
0
= 2
3
⎜ 2⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Hesse’sche Normalenform
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤
⎛ 1⎞
⎢ ⎜ ⎟⎥
1 ⎜ ⎟
⎢
x − −3 ⎥
⋅ 2 = 0
3
⎢ ⎜ 1 ⎟⎥
⎜ 2⎟
⎣ ⎝ ⎠⎦
⎝ ⎠
2. Berechnung des Abstandes
⎡⎛ 9 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛1⎞ ⎡⎛ 8 ⎞ ⎛1⎞⎤
⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥
1 14
d =
⎢ 4 − −3 ⎥
⋅ 2 7 2 ( 8 1 7 2 ( 4)
2)
3 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ =
3 ⎢ ⎥ 3 3
⎢⎜ −3⎟ ⎜ 1 ⎟⎥ ⎜ 2⎟ ⎢⎜ −4⎟ ⎜ 2⎟
⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥
⎦
Beispiel 2: Ebenengleichung in Koordinatengleichung
Bestimmen Sie den Abstand des Punktes R ( 1/ 6 / 2)
von der Ebene mit der Gleichung
x − 2⋅ x + 4⋅ x = 1
1 2 3
1. Schritt: Umwandlung der Koordinatengleichung in die Hesse’sche Normalenform
( ) 2
x − 2⋅ x + 4⋅ x −1
2 2 1 2 3
1 + − 2 + 4 = 21 = 0
2. Berechnung des Abstandes
1 − 2⋅ 6 + 4⋅ 2 −1 −4 4
d = = = = 0,8729
21 21 21
21
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Skript Mathematik BOS II
9.2 Abstand eines Punktes zu einer Geraden
Den Abstand eines Punktes R von einer Geraden g im Raum
bestimmt man in 3 Schritten:
1. Aufstellen einer Gleichung der zur Geraden g
orthogonalen Ebene E durch R.
2. Berechnung des Fußpunktes F
3. Berechnung des Betrages von
RF
⎛ 2⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Beispiel: R ( 6 / 7 / − 3 ) g : x = 1 + t ⋅
0
⎜ 4⎟ ⎜ −2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1. Aufstellen einer Gleichung der zur Geraden g orthogonalen Ebene E durch R.
Da der Abstand des Punktes R zur Geraden die kürzeste Strecke ist, muss der Vektor vom
Fußpunkt F zum Punkt R senkrecht auf der Geraden stehen. Für die Ebene in der der Vektor RF
liegt kann man den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der Ebenen nehmen.
Mit diesem Normalenvektor kann man die Ebenengleichung in der Koordinatenform aufstellen.
E : 3x + 0x − 2x = b
1 2 3
Setzt man den Punkt R in die Ebenengleichung ein, kann man den Wert b berechnen.
( ) 1 3
R : 3⋅ 6 + 0⋅7 − 2⋅ − 3 = b ⇒ b = 24 ⇒ E : 3x − 2x
= 24
2. Berechnung des Fußpunktes F
x
1
2
3
= 2 + 3t
g : x = 1 + 0t
x
= 4 − 2t
( ) ( )
E : 3⋅ 2 + 3t − 2⋅ 4 − 2t = 24 ⇒ t = 2
⎛ 2⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛8⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
OF = 1 + 2⋅ 0 F =
1
⎜ 4⎟ ⎜ −2⎟ ⎜0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3. Berechnung des Betrages von
RF
⎛8⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
RF = OF − OR = 1 − 7 = −6
⎜0⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠
2 2
RF = 2 + − 6 + 3 = 49 = 7
( ) 2
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Skript Mathematik BOS II
9.3 Abstand zweier windschiefer Geraden
Den Abstand von zwei windschiefer Geraden g und h im Raum
bestimmt man in 2 Schritten:
1. Man bestimmt zwei parallele Ebenen E g und E h .
2. Der Abstand von der Ebenen E g zur Ebene E h .
entspricht dem Abstand der Geraden g zur Geraden h.
Laut Abstandsformel der Hesse’schen Normaleform gilt:
g : x = p + t ⋅u
h : x = q + t ⋅v
n ⊥ u n ⊥ v
0 0
⇒ d = q − p ⋅ n
( )
0
Beispiel:
⎛ 6 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 1 + t ⋅ 1 h : x = 0 + t ⋅ −1
⎜ −4⎟ ⎜ −6⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n ⊥ u ⇒ n ⋅ u = 0 ⇒ 4⋅ n + 1⋅ n − 6⋅ n = 0
1 2 3
n ⊥ v ⇒ n ⋅ v = 0 ⇒ −1⋅ n + 3⋅ n = 0 ⇒ n = 3⋅n
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
n = =
⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
+ + =
⎛ 3 ⎞
1 ⎜ ⎟
n =
0 12
13 ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
2 2 2
12 n 3 12 4 13
2 3 2 3
gewählt
⇒ n = 12
2
⇒ n = 3
⎛⎛ 6 ⎞ ⎛ 4⎞⎞
⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟
1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 1 10
d = ⎜
1 − 0 ⎟⋅ 12 1 12 6 12 28
13 = ⋅ ⋅ = ⋅ + − =
13 ⎜⎜ 13 13
−4⎟ ⎜ 3⎟⎟
⎜ 4 ⎟ ⎜ −7⎟ ⎜ 4 ⎟
⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
n = 4
3
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Skript Mathematik BOS II
9.4 Übungen - Abstandsberechnungen
1) Berechnen Sie die Abstände der Punkte A(1/1/2) und B(5/1/0) von der Ebene
E : 2x − 10x + 11x
= 0
1 2 3
2) Berechnen Sie den kürzesten Abstand des Punktes A(3/3/-4) von der Ebene die durch die
Punkte P(2/0/4), Q(6/7/1) und R(-2/3/7) bestimmt ist.
3) Berechnen Sie den kürzesten Abstand zwischen den beiden Geraden
⎛ 7⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛ −3⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 7 + t ⋅ −2
und h : x = 0 + t ⋅
0
⎜ 4⎟ ⎜ 6 ⎟
⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 ⎟ ⎜ −3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4) Das Bild zeigt eine Werkstatthalle mit einem
Pultdach. Die Koordinaten der angegebenen Ecken
entsprechen ihren Abständen im m. Die Abluft wird
durch ein lotrechtes Edelstahlrohr aus der Halle
geführt. Der Auslass des Edelstahlrohres liegt bei
R(10/10/8).
a. Berechnen Sie den Abstand des Luftauslasses
von der Dachfläche. Ist der Sicherheitsabstand
von 1,50m eingehalten?
b. Berechnen Sie die Länge des Edelstahlrohres,
das über die Dachfläche hinausragt.
5) Bezogen auf das eingezeichnete
Koordinatensystem befindet sich
ein Flugzeug im Steigflug längs
der Geraden:
⎛1⎞
⎛ 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 1 + t ⋅
3
⎜ 0⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(1 Koordinateneinheit = 1km)
In der Nähe befindet sich ein
Berg mit einer Kirche.
Berechnen Sie den minimalen
Abstand des Flugzeuges von der
Kirchturmspitze im Punkt S(1 / 2 / 0,08).
6) Bezogen auf ein Koordinatensystem mit einem Flughafen als
Ursprung verlaufen die Bahnen zweier Flugzeuge auf den
Geraden
⎛ 0⎞
⎛1⎞
⎛ 4⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
g : x = 5 + t ⋅
2
und h : x = 9 + t ⋅
1
⎜1⎟
⎜ 2⎟
⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(1 Koordinateneinheit = 1km)
Berechnen Sie, wie nah sich die beiden Flugzeuge im
ungünstigsten Fall kommen können.
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Skript Mathematik BOS II
10. Das Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt)
10.1 Definition
Unter dem Vektorprodukt (äußeres Produkt oder
Kreuzprodukt) zweier nichtlinearer Vektoren a und
b versteht man einen Vektor a × b
, für den
folgendes gilt:
1. a × b
ist orthogonal zu a und b , d.h. der Vektor
a
× b ist ein Normalenvektor der von a und b a
aufgespannten Ebene.
2. a , b
und a × b
bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel),
3. a × b = a ⋅ b ⋅sinα
(Der Betrag a × b
entspricht dem Flächeninhalt des von a und b
aufgespannten Parallelogramms.
a
× b
b
α
10.2 Berechnung des Vektorproduktes
⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a2b3 − a3b2
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a × b = a2 × b2 = a3b1 − a1b
3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ a3 ⎠ ⎝b3 ⎠ ⎝ a1b 2
− a2b1
⎠
Beispiel:
⎛1⎞ ⎛ −7 ⎞ ⎛ 2⋅9 − 3⋅8 ⎞ ⎛ −6
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
2 × 8 = ⎜ 3⋅( −7)
−1⋅ 9 ⎟ = −30
⎜ 3⎟ ⎜ 9 ⎟ ⎜ 1⋅8 − 2⋅( −7)
⎟ ⎜ 22 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠
10.3 Berechnung des Vektorproduktes mit Hilfe der Determinantenrechnung
Man kann das Vektorprodukt auch mit Hilfe der Determinante einer 3x3-Matrix berechnen. Dabei wendet
man die Regel von Sarrus an. Hierbei wird die Matrix um die beiden ersten Spalten erweitert. Auf diese
Weise erhält man 3 Hauptdiagonalen und drei Nebendiagonalen. Die Differenz aus Haupt- und
Nebendiagonalen ergibt den Wert der Determinante.
Matrix
⎛ a a a
A a a a
⎜
⎝ a a a
11 12 13
⎜
⎟
= ⎜ 21 22 23 ⎟
31 32 33
⎞
⎟
⎠
a a a a a
11 12 13 11 12
det A = a a a a a
21 22 23 21 22
a a a a a
31 32 33 31 32
a a a
11 12 13
( )
det A = a a a = a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a − a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12
a a a
31 32 33
Nebendiagonale Hauptdiagonale
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Skript Mathematik BOS II
Für das Vektorprodukt gilt dann:
⎛ e1 a1 b1
⎞
⎜ ⎟
a × b = det
e2 a2 b2
⎜ ⎟
⎝ e3 a3 b3
⎠
det
e a b e a
e a b e a
e a b e a
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
Nebendiagonale
= e ⋅ a
⋅ b + a ⋅b ⋅ e + b ⋅e ⋅ a −
e ⋅ a
⋅ b + a ⋅b ⋅ e + b ⋅e ⋅ a
( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1
Hauptdiagonale
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞
=
⎜
0
⎟ ⎜
0
⎟ ⎜
1
⎟ ⎜
0
⎟ ⎜
0
⎟ ⎜
1
⎟
⋅ a ⋅ b + a ⋅b ⋅ + b ⋅ ⋅ a − ⋅ a ⋅b − a ⋅b ⋅ − b ⋅ ⋅ a
⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 3 1
⎛ a2 ⋅b3 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ a3 ⋅b2
⎞ ⎛ 0 ⎞
=
⎜
0
⎟
+
⎜
0
⎟
+
⎜
b ⋅ a
⎟
−
⎜
0
⎟
−
⎜
0
⎟
−
⎜
b ⋅ a
⎟
1 3 3 1
⎜ 0 ⎟ ⎜
1
⋅ ⎟ ⎜
2
0 ⎟ ⎜
2
⋅ ⎟ ⎜
1
0 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ a b ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ a b ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ a2b3 − a3b2
⎞
⎜ ⎟
= a3b1 − a1b
3
⎜ ⎟
⎝ a1b
2
− a2b1
⎠
10.4 Eigenschaften des Vektorproduktes:
Antikommutativität: a × b = − ( b × a )
Distributivität: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Assoziativität: k ⋅ ( a × b ) = ( k ⋅ a) × b = a × ( k ⋅b
)
10.5 Anwendungsbeispiele aus der Physik:
a) Das Drehmoment
Greift an einem Hebel im Abstand r von der Drehachse eine Kraft F an, so bewirkt diese ein
Drehmoment M .
M = r × F
F
M
r
F
Schraube hineindrehen
F
Schraube herausdrehen
r
F
M
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Skript Mathematik BOS II
b) Die Lorentzkraft
Auf Leiter, die vom elektrischen Strom durchflossen werden, wirken Kräfte ein. Die Ursache ist im
Magnetfeld zu finden, das den Leiter umgibt. Die Kraftwirkung erfolgt auch auf Stromleiter im
Permanentmagnetfeld. Zur Vereinfachung soll der Leiter in einem homogenen Magnetfeld sein.
Der Leiter mit der Länge l wird vom Strom I durchflossen. Die Stromrichtung verläuft senkrecht zur
Magnetfeldrichtung. Beide Magnetfelder überlagern sich. Dabei wird das Feld auf der einen Seite
geschwächt und auf der anderen Seite verstärkt. Da das Magnetfeld bestrebt ist seinen kleinsten
Energieinhalt anzunehmen, wollen sich die Feldlinien verkürzen. Auf den Stromleiter wirkt eine
Kraft F ein, die den Leiter zur feldschwächeren Seite auslenkt. Diese Kraft ist direkt abhängig vom
Permanentmagnetfeld, vom Strom durch den Leiter und von der Leiterlänge im Magnetfeld.
Vor dem Strom einschalten:
Wenn ein Strom fließt:
F = l ⋅ I × B
( )
F = Lorentzkraft in N ( Newton )
l = Länge des Leiters in m ( Meter )
I = Stromstärke in A ( Ampere )
T
( Tesla) = Vs
m
B = magnetische Flussdichte in
2
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Skript Mathematik BOS II
10.6 Übungen - Vektorprodukt
1) Bestimmen Sie das Vektorprodukt a × b
.
⎛ 7 ⎞ ⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a = 3 b =
1
⎜ −2⎟ ⎜ −3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2) Bilden Sie die Hesse’sche Normalenform der Ebene E mit Hilfe des Vektorproduktes.
⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ −2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E : x = − 2 + r ⋅ 0 + s ⋅
2
⎜ 4 ⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ 5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3) Berechnen Sie das Drehmoment und bestimmen Sie die Drehrichtung.
4) Geben Sie Betrag, Richtung und Orientierung von F an, wenn in der nebenstehenden Skizze
B =4,5mT, l = 15 cm und I =2 A betragen.
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