Matheskript-BOS-2 Lernbaustein 6 - von P. Merkelbach

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Skript Mathematik BOS II Inhaltsverzeichnis Lernbaustein 6 ................................................................................................................................3 Lineare Algebra...............................................................................................................................3 1. Matrizen...............................................................................................................................3 1.1 Darstellung und Arten von Matrizen .............................................................................3 1.2 Matrizenaddition...........................................................................................................4 1.3 S-Multiplikation.............................................................................................................5 1.4 Matrizenmultiplikation (Skalarprodukt)..........................................................................5 1.5 Transponierte Matrix ....................................................................................................7 1.6 Übungen ......................................................................................................................8 2. Lineare Verflechtungen......................................................................................................11 2.1 Mehrstufige Produktionsprozesse ..............................................................................11 3. Lineare Gleichungssysteme...............................................................................................14 3.1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen.......................................14 3.2 Determinanten ...........................................................................................................14 3.3 Lösen von linearen Gleichungssystemen mit der Cramer’schen Regel ......................16 3.4 Inverse Matrix und Gauß-Algorithmus........................................................................18 www.p-merkelbach.de − 2 − © Merkelbach
Skript Mathematik BOS II Lernbaustein 6 Lineare Algebra Die lineare Algebra ist eine mathematische Disziplin, die sich mit Größen beschäftigt, welche in linearer Beziehung zueinander stehen. 1. Matrizen In den Wirtschaftswissenschaften fallen oft große Datenmengen an, die zu „Blöcken“ zusammengefasst werden können. Mit Hilfe der Matrizenrechnung lassen sich viele Beziehungen zwischen solchen Datenblöcken sehr übersichtlich darstellen und auswerten. In der Praxis liegen solche Datenblöcke schon oft in Form von Tabelle vor. 1.1 Darstellung und Arten von Matrizen Ein Unternehmen betreibt 4 Kiesgruben K 1 , K 2 , K 3 und K 4 und 3 Betonwerke B 1 , B 2 und B 3 , in denen der Kies aus den Kiesgruben zu Beton verarbeitet wird. Für den Monat Januar sind die Transporte (Einheit Tonnen) von den Kiesgruben zu den Betonwerken in einer Tabelle zusammengefasst. Tabelle: nach von B 1 B 2 B 3 K 1 100 200 50 K 2 150 150 200 K 3 0 200 250 K 4 150 0 0 Transportmatrix T In der nebenstehenden Tabelle werden die Transportkosten zusammengefasst (in € pro Tonne), die beim Transport des Kieses von den Kiesgruben K i (i = 1, 2, 3, 4) zu den Betonwerken B j (j = 1, 2, 3) anfallen. Kostenmatrix K T K ⎛100 200 50 ⎞ ⎜ ⎟ 150 150 200 = ⎜ ⎟ ⎜ 0 200 250 ⎟ ⎜ 150 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ nach von B 1 B 2 B 3 K 1 0,50 0,30 0,80 K 2 0,50 0,50 0,45 K 3 1,00 0,65 0,55 K 4 0,25 0,80 0,90 ⎛ 0,50 0,30 0,80 ⎞ ⎜ ⎟ 0,50 0,50 0, 45 = ⎜ ⎟ ⎜ 1,00 0,65 0,55 ⎟ ⎜ 0, 25 0,80 0,90⎟ ⎝ ⎠ Unter einer Matrix versteht man ein Schema von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Enthält eine Matrix z.B. 3 Zeilen und 5 Spalten, so spricht man von einer 3x5-Matrix. Die Zahlen innerhalb einer Matrix heißen Elemente der Matrix. Sind in einer Matrix die Zeilen- und Spaltenanzahl gleich, ist ihre Form also quadratisch, so nennt man eine solche Matrix eine quadratische Matrix. In einer quadratischen Matrix bezeichnet man die Diagonale „von links oben nach rechts unten“ als ihre Hauptdiagonale. ⎛ 2 3 4 ⎞ ⎜ ⎟ A = 5 −2 2 ⎜ 1 0 −1⎟ ⎝ ⎠ Hauptdiagonale www.p-merkelbach.de − 3 − © Merkelbach
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