Matheskript-BOS-2 Lernbaustein 6 - von P. Merkelbach

Skript Mathematik BOS II
3.3 Lösen von linearen Gleichungssystemen mit der Cramer’schen Regel
D
j
x
j
= j = 1, 2,..., n
D
( )
D
j
ist hierbei die Determinante der Matrix A, die entsteht, wenn in der j-ten Spalte von A die Elemente
durch die rechte Seite b
i
ersetzt werden.
Beispiel:
4⋅ x − 4⋅ x + 3⋅ x = 22
1 2 3
2⋅ x − 3⋅ x + 4⋅ x = 19
1 2 3
−6⋅ x − x + 5⋅ x = 7
1 2 3
⎛ 4 −4 3⎞ ⎛ 22⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = 2 − 3 4 b =
19
⎜ −6 −1 5⎟ ⎜ 7 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 −4 3 4 −4
( )
D = det A = 2 −3 4 2 − 3 = − 60 + 96 − 6 − 54 −16 − 40 = 32
1 1
−6 −1 5 −6 −1
22
−4 3 22 −4
( )
D = det A = 19 −3 4 19 − 3 = −330 −112 − 57 − −63 −88 − 380 = 32
D
2 2
7
−1 5 7 −1
4 22 3 4 22
( )
= det A = 2 19 4 2 19 = 380 − 528 + 42 − − 342 + 112 + 220 = − 96
3 3
−6 7 5 −6 7
4 −4 22 4 −4
( )
D = det A = 2 −3 19 2 − 3 = − 84 + 456 − 44 − 396 − 76 − 56 = 64
−6 −1 7 −6
−1
a
ij
,
x
D
D
32 1
32
= 1
= =
1
x
D
D
−96
32
2
2
= = = −
3
x
D
D
64
32
= 3
= =
3
2
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
x = −3
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
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