Matheskript-BOS-2 Lernbaustein 6 - von P. Merkelbach
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Skript Mathematik BOS II 3. Lineare Gleichungssysteme 3.1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten kann man folgendermaßen schreiben: a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b 11 1 12 2 13 3 1 a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b 21 1 22 2 13 3 2 a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b 31 1 32 2 33 3 3 Mit Hilfe von Matrizen erhält man folgende Darstellung: A ⋅ x = b ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a a a ⋅ x = b 21 22 23 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a31 a32 a33 ⎠ ⎝ x3 ⎠ ⎝ b3 ⎠ A ist die Koeffizientenmatrix, x der Spaltenvektor der Unbekannten und Werten der rechten Seite des Gleichungssystems. b der Spaltenvektor mit den Beispiel: 4⋅ x − 4⋅ x + 3⋅ x = 22 1 2 3 2⋅ x − 3⋅ x + 4⋅ x = 19 1 2 3 −6⋅ x − x + 5⋅ x = 7 1 2 3 ⎛ 4 −4 3⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 22⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ 2 −3 4 ⋅ x = 19 2 ⎜ −6 −1 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠ 3.2 Determinanten Eine Determinanten kann nur von einer quadratischen Matrix berechnet werden und ist im Ergebnis eine reelle Zahl. Schreibweisen D = det A = A = a ik Zweireihige Determinanten Bei einer 2x2-Matrix berechnet sich der Wert der Determinante aus dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Elemente der Nebendiagonale. A ⎛ a ⎞ 11 12 = ⎜ ⎟ a21 a22 ⎝ a a ⎠ a 11 12 det A = = a11 ⋅ a22 − a21 ⋅ a12 a21 a22 Nebendiagonale Hauptdiagonal e www.p-merkelbach.de − 14 − © Merkelbach
Skript Mathematik BOS II Beispiel: Übungen: 4 7 det A = = 4⋅8 − ( −3) ⋅ 7 = 53 −3 8 1. det 4 7 = = −3 8 A 2. 7 −5 det A = = 5 −7 Dreireihige Determinanten Bei einer 3x3-Matrix erfolgt die Berechnung der Determinante an der Regel von Sarrus. Hierbei wird die Matrix um die beiden ersten Spalten erweitert. Auf diese Weise erhält man 3 Hauptdiagonalen und drei Nebendiagonalen. Die Differenz aus Haupt- und Nebendiagonalen ergibt den Wert der Determinante. a a a 11 12 13 ⎛ a a a A a a a ⎜ ⎝ a a a 11 12 13 ⎜ ⎟ = ⎜ 21 22 23 ⎟ 31 32 33 ⎞ ⎟ ⎠ ( ) det A = a a a = a ⋅a ⋅ a + a ⋅a ⋅ a + a ⋅a ⋅a − a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12 a a a 31 32 33 a a a a a 11 12 13 11 12 det A = a a a a a 21 22 23 21 22 a a a a a 31 32 33 31 32 Nebendiagonale Hauptdiagonale Beispiel: Übungen: −2 0 1 −2 0 ( ) det A = 1 2 3 1 2 = − 2⋅ 2 ⋅( − 1) + 0⋅3⋅ 3+ 1⋅1⋅4 − 3⋅2⋅ 1+ 4⋅3 ⋅( − 2) + ( −1) ⋅1⋅0 3 4 −1 3 4 = − 4 + 0 + 4 − ( 6 − 24 + 0) = 0 − ( − 18) = 18 1. 3 −4 0 det = 0 7 6 = A 2. 2 −6 1 1 −2 −3 det A = 2 4 6 = 3 2 3 Hinweis: Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit Excel. =MDET(Matrix) www.p-merkelbach.de − 15 − © Merkelbach
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Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
Beispiel:<br />
Übungen:<br />
4 7<br />
det A = = 4⋅8 − ( −3)<br />
⋅ 7 = 53<br />
−3 8<br />
1.<br />
det<br />
4 7<br />
= =<br />
−3 8<br />
A 2.<br />
7 −5<br />
det A = =<br />
5 −7<br />
Dreireihige Determinanten<br />
Bei einer 3x3-Matrix erfolgt die Berechnung der Determinante an der Regel <strong>von</strong> Sarrus. Hierbei wird die<br />
Matrix um die beiden ersten Spalten erweitert. Auf diese Weise erhält man 3 Hauptdiagonalen und drei<br />
Nebendiagonalen. Die Differenz aus Haupt- und Nebendiagonalen ergibt den Wert der Determinante.<br />
a a a<br />
11 12 13<br />
⎛ a a a<br />
A a a a<br />
⎜<br />
⎝ a a a<br />
11 12 13<br />
⎜<br />
⎟<br />
= ⎜ 21 22 23 ⎟<br />
31 32 33<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
( )<br />
det A = a a a = a ⋅a ⋅ a + a ⋅a ⋅ a + a ⋅a ⋅a − a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a<br />
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12<br />
a a a<br />
31 32 33<br />
a a a a a<br />
11 12 13 11 12<br />
det A = a a a a a<br />
21 22 23 21 22<br />
a a a a a<br />
31 32 33 31 32<br />
Nebendiagonale<br />
Hauptdiagonale<br />
Beispiel:<br />
Übungen:<br />
−2 0 1 −2 0<br />
( )<br />
det A = 1 2 3 1 2 = − 2⋅ 2 ⋅( − 1) + 0⋅3⋅ 3+ 1⋅1⋅4 − 3⋅2⋅ 1+ 4⋅3 ⋅( − 2) + ( −1) ⋅1⋅0<br />
3 4 −1 3 4<br />
= − 4 + 0 + 4 − ( 6 − 24 + 0) = 0 − ( − 18)<br />
= 18<br />
1.<br />
3 −4 0<br />
det = 0 7 6 =<br />
A 2.<br />
2 −6 1<br />
1 −2 −3<br />
det A = 2 4 6 =<br />
3 2 3<br />
Hinweis:<br />
Überprüfen Sie Ihre<br />
Ergebnisse mit Excel.<br />
=MDET(Matrix)<br />
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