Matheskript-BOS-2 Lernbaustein 6 - von P. Merkelbach

Skript Mathematik BOS II
3. Lineare Gleichungssysteme
3.1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen
Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten kann man folgendermaßen schreiben:
a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b
11 1 12 2 13 3 1
a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b
21 1 22 2 13 3 2
a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b
31 1 32 2 33 3 3
Mit Hilfe von Matrizen erhält man folgende Darstellung:
A ⋅ x = b
⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a a a ⋅ x = b
21 22 23 2 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ a31 a32 a33 ⎠ ⎝ x3 ⎠ ⎝ b3
⎠
A ist die Koeffizientenmatrix, x der Spaltenvektor der Unbekannten und
Werten der rechten Seite des Gleichungssystems.
b der Spaltenvektor mit den
Beispiel:
4⋅ x − 4⋅ x + 3⋅ x = 22
1 2 3
2⋅ x − 3⋅ x + 4⋅ x = 19
1 2 3
−6⋅ x − x + 5⋅ x = 7
1 2 3
⎛ 4 −4 3⎞ ⎛ x1
⎞ ⎛ 22⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⇒ 2 −3 4 ⋅ x = 19
2
⎜ −6 −1 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜
3
7 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠
3.2 Determinanten
Eine Determinanten kann nur von einer quadratischen Matrix berechnet werden und ist im Ergebnis eine
reelle Zahl.
Schreibweisen
D = det A = A = a
ik
Zweireihige Determinanten
Bei einer 2x2-Matrix berechnet sich der Wert der Determinante aus dem Produkt der Elemente der
Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Elemente der Nebendiagonale.
A
⎛ a
⎞
11 12
= ⎜ ⎟
a21 a22
⎝
a
a
⎠
a
11 12
det A = = a11 ⋅ a22 − a21 ⋅ a12
a21 a22
Nebendiagonale
Hauptdiagonal
e
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