Matheskript-BOS-2 Lernbaustein 6 - von P. Merkelbach
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BBS Gerolstein<br />
Mathematik<br />
Mathematik<br />
für die<br />
Berufsoberschule II<br />
<strong>Lernbaustein</strong> 6<br />
Lineare Algebra<br />
www.p-merkelbach.de/bos2/mathe/<strong>Matheskript</strong>-<strong>BOS</strong>-2 <strong>Lernbaustein</strong> 6.pdf<br />
Erstellt <strong>von</strong>: Herrn StD Percy <strong>Merkelbach</strong><br />
Stand: 28.03.2011<br />
www.p-merkelbach.de − 1 − © <strong>Merkelbach</strong>
Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
<strong>Lernbaustein</strong> 6 ................................................................................................................................3<br />
Lineare Algebra...............................................................................................................................3<br />
1. Matrizen...............................................................................................................................3<br />
1.1 Darstellung und Arten <strong>von</strong> Matrizen .............................................................................3<br />
1.2 Matrizenaddition...........................................................................................................4<br />
1.3 S-Multiplikation.............................................................................................................5<br />
1.4 Matrizenmultiplikation (Skalarprodukt)..........................................................................5<br />
1.5 Transponierte Matrix ....................................................................................................7<br />
1.6 Übungen ......................................................................................................................8<br />
2. Lineare Verflechtungen......................................................................................................11<br />
2.1 Mehrstufige Produktionsprozesse ..............................................................................11<br />
3. Lineare Gleichungssysteme...............................................................................................14<br />
3.1 Darstellung <strong>von</strong> linearen Gleichungssystemen mit Matrizen.......................................14<br />
3.2 Determinanten ...........................................................................................................14<br />
3.3 Lösen <strong>von</strong> linearen Gleichungssystemen mit der Cramer’schen Regel ......................16<br />
3.4 Inverse Matrix und Gauß-Algorithmus........................................................................18<br />
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Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
<strong>Lernbaustein</strong> 6<br />
Lineare Algebra<br />
Die lineare Algebra ist eine mathematische Disziplin, die sich mit Größen beschäftigt, welche in linearer<br />
Beziehung zueinander stehen.<br />
1. Matrizen<br />
In den Wirtschaftswissenschaften fallen oft große Datenmengen an, die zu „Blöcken“ zusammengefasst<br />
werden können. Mit Hilfe der Matrizenrechnung lassen sich viele Beziehungen zwischen solchen<br />
Datenblöcken sehr übersichtlich darstellen und auswerten.<br />
In der Praxis liegen solche Datenblöcke schon oft in Form <strong>von</strong> Tabelle vor.<br />
1.1 Darstellung und Arten <strong>von</strong> Matrizen<br />
Ein Unternehmen betreibt 4 Kiesgruben K 1 , K 2 , K 3<br />
und K 4 und 3 Betonwerke B 1 , B 2 und B 3 , in denen<br />
der Kies aus den Kiesgruben zu Beton verarbeitet<br />
wird. Für den Monat Januar sind die Transporte<br />
(Einheit Tonnen) <strong>von</strong> den Kiesgruben zu den<br />
Betonwerken in einer Tabelle zusammengefasst.<br />
Tabelle:<br />
nach<br />
<strong>von</strong><br />
B 1 B 2 B 3<br />
K 1 100 200 50<br />
K 2 150 150 200<br />
K 3 0 200 250<br />
K 4 150 0 0<br />
Transportmatrix T<br />
In der nebenstehenden Tabelle werden die<br />
Transportkosten zusammengefasst (in € pro<br />
Tonne), die beim Transport des Kieses <strong>von</strong> den<br />
Kiesgruben K i (i = 1, 2, 3, 4) zu den Betonwerken B j<br />
(j = 1, 2, 3) anfallen.<br />
Kostenmatrix K<br />
T<br />
K<br />
⎛100 200 50 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
150 150 200<br />
= ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 0 200 250 ⎟<br />
⎜<br />
150 0 0<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
nach<br />
<strong>von</strong><br />
B 1 B 2 B 3<br />
K 1 0,50 0,30 0,80<br />
K 2 0,50 0,50 0,45<br />
K 3 1,00 0,65 0,55<br />
K 4 0,25 0,80 0,90<br />
⎛ 0,50 0,30 0,80 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
0,50 0,50 0, 45<br />
= ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 1,00 0,65 0,55 ⎟<br />
⎜<br />
0, 25 0,80 0,90⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
Unter einer Matrix versteht man ein Schema <strong>von</strong> Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind.<br />
Enthält eine Matrix z.B. 3 Zeilen und 5 Spalten, so spricht man <strong>von</strong> einer 3x5-Matrix.<br />
Die Zahlen innerhalb einer Matrix heißen Elemente der Matrix. Sind in einer Matrix die Zeilen- und<br />
Spaltenanzahl gleich, ist ihre Form also quadratisch, so nennt man eine solche Matrix eine quadratische<br />
Matrix. In einer quadratischen Matrix bezeichnet man die Diagonale „<strong>von</strong> links oben nach rechts unten“ als<br />
ihre Hauptdiagonale.<br />
⎛ 2 3 4 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
A = 5 −2 2<br />
⎜ 1 0 −1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Hauptdiagonale<br />
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Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
Die Aktienkurse der Unternehmen AEG, <strong>BOS</strong>S und<br />
VW sind für den Zeitraum einer Woche in Euro<br />
angegeben.<br />
Will man ein bestimmtes Element der Matrix A<br />
herausgreifen, dann muss angegeben werden, in<br />
welcher Zeile und in welcher Spalte dieses Element<br />
steht.<br />
Jedes Element einer Matrix wird deshalb mit<br />
Doppelindizes versehen. Der erste Index gibt an,<br />
aus welcher Zeile, und der zweite Index gibt an aus<br />
welcher Spalte der Matrix das Element kommt.<br />
a 24 ist das Element, das in der Matrix A in der 2.<br />
Zeile und in der 4. Spalte steht.<br />
Ein lineares Gleichungssystem (LGS), das aus 3<br />
Gleichungen mit 3 Variablen besteht, besitzt eine<br />
quadratische Koeffizientenmatrix.<br />
Die rechte Seite des LGS lässt sich als eine 1-<br />
spaltige Matrix darstellen.<br />
Eine Matrix, die nur aus einer Spalte besteht, wird<br />
auch Spaltenvektor genannt und eine Matrix, die<br />
nur aus einer Zeile besteht wird demnach<br />
Zeilenvektor genannt.<br />
Eine Matrix, die in der Hauptdiagonalen nur aus<br />
Einsen besteht und ansonsten nur Nullen aufweist,<br />
wird als Einheitsmatrix E bezeichnet.<br />
Mo Di Mi Do Fr<br />
AEG 128 128 131 136 140<br />
<strong>BOS</strong>S 1035 1030 1036 1040 1050<br />
VW 398 400 400 402 450<br />
⎛ 128 128 131 136 140 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
A = 1035 1030 1036 1040 1050<br />
⎜ 398 400 400 402 450 ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎛ a11 a12 a13 a14 a15<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
A = a21 a22 a23 a<br />
24<br />
a25<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ a31 a32 a33 a34 a35<br />
⎠<br />
5x + 3x + x = 0<br />
1 2 3<br />
2x − x + 4x<br />
= −3<br />
1 2 3<br />
−2x − 2x + 3x<br />
= 1<br />
1 2 3<br />
⎛ 5 3 1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
A = 2 −1 4<br />
⎜ −2 −2 3⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛1 0 0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
E = 0 1 0<br />
⎜ 0 0 1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ 0 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
b = −3<br />
⎜ 1 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1.2 Matrizenaddition<br />
Die Transportmatrix A gibt die <strong>von</strong> den Kieswerken<br />
K i zu den Betonwerken B j transportierten Mengen<br />
für den Monat Januar an.<br />
Die Transportmatrix B gibt die transportierten<br />
Mengen für den Monat Februar an.<br />
Möchte man nun die Summe der transportieren<br />
Mengen <strong>von</strong> den einzelnen Kieswerken zu den<br />
jeweiligen Betonwerken berechnen, muss man die<br />
einzelnen Koeffizienten komponentenweise<br />
addieren.<br />
C = A + B mit c = a + b<br />
ij ij ij<br />
Die Subtraktion erfolgt analog:<br />
C = A − B mit c = a − b<br />
ij ij ij<br />
⎛100 200 50 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
150 150 200<br />
A = ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 0 200 250 ⎟<br />
⎜<br />
150 0 0 ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎛ 250 400 150 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
250 350 350<br />
C = ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 50 300 450 ⎟<br />
⎜<br />
250 100 0 ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎛150 200 100 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
100 200 150<br />
B = ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 50 100 200 ⎟<br />
⎜<br />
100 100 0 ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
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Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
1.3 S-Multiplikation<br />
Das Betonunternehmen rechnet damit, dass sich alle Kosten für den Transport <strong>von</strong> den Kiesgruben zu den<br />
Betonwerken innerhalb der nächsten 5 Jahre verdoppeln werden.<br />
Da sich alle Kosten verdoppeln werden, muss man<br />
jedes Element <strong>von</strong> K mit 2 multiplizieren.<br />
K wird also mit der reellen Zahl 2 multipliziert<br />
*<br />
K = 2⋅<br />
K .<br />
Man nennt diese Rechenoperation S-Multiplikation<br />
oder Skalar-Multiplikation.<br />
Die S-Multiplikation ist an kein Matrixformat<br />
gebunden.<br />
⎛ 0,50 0,30 0,80 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
0,50 0,50 0, 45<br />
K = ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 1,00 0,65 0,55 ⎟<br />
⎜<br />
0, 25 0,80 0,90<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
K<br />
*<br />
= 2⋅<br />
K<br />
K<br />
*<br />
⎛ 1,00 0,60 1,60 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
1,00 1,00 0,90<br />
= ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 2,00 1,30 1,10 ⎟<br />
⎜<br />
0,50 1,60 1,80 ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
1.4 Matrizenmultiplikation (Skalarprodukt)<br />
Ein Aktienanleger kauft an einem Tag 30 AEG-, 50 <strong>BOS</strong>S- und 20 VW-Aktien. Die Aktienkurse an diesem<br />
Tag betragen für AEG 136, für <strong>BOS</strong>S 1040 und für VW 402 €.<br />
Wie hoch ist der Preis, den der Anleger für alle Aktien bezahlen muss?<br />
Das Produkt aus einem Zeilenvektor und einem<br />
Spaltenvektor bezeichnet man als Skalarprodukt.<br />
⎛ 136 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
30 50 20 ⋅ 1040<br />
⎜ 402 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ b1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
a a a ⋅ b = a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅b<br />
⎜ ⎟<br />
⎝b3<br />
⎠<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
1 2 3 2 1 1 2 2 3 3<br />
= ( 30⋅ 136 + 50⋅ 1040 + 20⋅ 402)<br />
= 64120<br />
Ein Aktienspekulant kauft an zwei verschiedenen Tagen jeweils 30 AEG-, 50 <strong>BOS</strong>S- und 20 VW-Aktien. Die<br />
Aktienkurse an diesen beiden Tagen betragen für AEG 136 und 140, für <strong>BOS</strong>S 1040 und 1050 und für VW<br />
402 und 450 €.<br />
Wie hoch ist der Gesamtkaufpreis an den beiden Tagen?<br />
Fasst man die gekauften Mengen in dieser<br />
Reihenfolge in einem 3-spaltigen Zeilenvektor und<br />
die Kurse in gleicher Reihenfolge in einer 3x2-<br />
Matrix zusammen, dann kann man mit Hilfe der<br />
Matrizenmultiplikation den Gesamtpreis für alle<br />
Aktien an den beiden Tagen berechnen, indem man<br />
den linksseitigen Zeilenvektor jeweils mit den<br />
Spaltenvektoren der 3x2-Matrix multipliziert. Das<br />
Ergebnis ist ein 2-spaltiger Zeilenvektor.<br />
⎛ 136 140 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
30 50 20 ⋅ 1040 1050<br />
⎜ 402 450 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
( )<br />
(<br />
= 30⋅ 136 + 50⋅ 1040 + 20⋅<br />
402<br />
30⋅ 140 + 50⋅ 1050 + 20⋅<br />
450<br />
)<br />
= ( 64120 65700)<br />
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Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
Ein Börsenmakler kauft an einem Tage für 4<br />
Kunden AEG-, <strong>BOS</strong>S- und VW-Aktien zu den<br />
Tageskursen 136,1040 und 402 €.<br />
Der 1. Kunde ordert 30 AEG-, 50 <strong>BOS</strong>S- und 20<br />
VW-Aktien, der 2. Kunde ordert 60 AEG- und 70<br />
<strong>BOS</strong>S-Aktien, der 3. Kunde ordert 15 AEG- und 25<br />
VW-Aktien und der 4. Kunde ordert 10 AEG- und<br />
jeweils 30 <strong>BOS</strong>S- und VW-Aktien. Berechnen Sie,<br />
welche Kaufpreise den 4 Kunden in Rechnung<br />
gestellt werden.<br />
Das Ergebnis dieser Multiplikation ist ein<br />
Spaltenvektor, der die Kaufpreise aller Aktien für<br />
jeden Kunden wiedergibt.<br />
Kunde / Aktie⋅ Aktie / Preis = Kunde / Preis<br />
⎛30 50 20⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 136 ⎞<br />
⎜<br />
60 70 0<br />
⎟ ⋅⎜ ⎜<br />
1040 ⎟<br />
⎜15 0 25⎟ ⎜ 402 ⎟<br />
⎜<br />
10 30 30⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎛30⋅ 136 + 50⋅ 1040 + 20⋅<br />
402⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
60⋅ 136 + 70⋅ 1040 + 0⋅<br />
402<br />
= ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 15⋅ 136 + 0⋅ 1040 + 25⋅<br />
402 ⎟<br />
⎜<br />
10⋅ 136 + 30⋅ 1040 + 30⋅402⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎛ 64120⎞<br />
⎜ ⎟<br />
80960<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜ 12090 ⎟<br />
⎜<br />
44620⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Ein Börsenmakler kauft an 2 verschiedenen Tagen für 4 Kunden jeweils immer die gleiche Anzahl an AEG-,<br />
<strong>BOS</strong>S- und VW-Aktien. Anzahl siehe vorherige Aufgabe. Die Aktienkurs steigen am 2.Tag auf AEG 140,<br />
<strong>BOS</strong>S 1050 und VW 450 €.<br />
Die Multiplikation des 1. Zeilenvektors <strong>von</strong> A mit<br />
dem 1. Spaltenvektor <strong>von</strong> B ergibt den Kaufpreis<br />
den der 1. Kunde für seine Käufe am 1. Tag zu<br />
zahlen hat.<br />
Multipliziert man nacheinander alle Zeilenvektoren<br />
der Matrix A mit allen Spaltenvektoren der Matrix B,<br />
dann erhält man eine Matrix, die die gesuchten<br />
Beträge für jeden Kunden an den beiden Tagen<br />
enthält.<br />
Kunde / Aktie⋅ Aktie / Tagespreis = Kunde / Tagespreis<br />
⎛30 50 20⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 136 140 ⎞<br />
60 70 0 ⎜ ⎟<br />
A⋅ B = ⎜<br />
⎟⋅ 1040 1050<br />
⎜15 0 25⎟ ⎜ 402 450 ⎟<br />
⎜<br />
10 30 30⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎛ 64120 65700⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
80960 81900<br />
= ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 12090 13350 ⎟<br />
⎜<br />
44620 46400⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
Da jeder Zeilenvektor der Matrix A mit jedem Spaltenvektor der Matrix B elementweise multipliziert wird,<br />
muss die Matrix A genauso viele Spalten haben wie die Matrix B Zeilen besitzt.<br />
Allgemein: Ist A eine m x n-Matrix und B eine r x s-Matrix, dann muss also n = r gelten, damit das Produkt<br />
A⋅<br />
B gebildet werden kann. Die Produktmatrix C hat dann das Format m x s, also genauso viele Zeilen wie<br />
die Matrix A und genauso viele Spalten wie die Matrix B.<br />
A ⋅ B = C<br />
⎛30 50 20⎞ ⎛ 64120 65700⎞<br />
⎜ ⎟ ⎛ 136 140 ⎞ ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
60 70 0<br />
⎟ ⎜ ⎟ 80960 81900<br />
⋅ 1040 1050 = ⎜ ⎟<br />
⎜15 0 25⎟ ⎜<br />
12090 13350<br />
402 450<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 10 30 30⎟ ⎝ ⎠<br />
⎜ 44620 46400⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
c = a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅b<br />
32 31 12 32 22 33 32<br />
= 15⋅ 140 + 0⋅ 1050 + 25⋅<br />
450<br />
= 13350<br />
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Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
Die nebenstehenden beiden Matrizen A und B<br />
können nur als A⋅<br />
B miteinander multipliziert<br />
werden. Als B ⋅ A können die Matrizen nicht<br />
multipliziert werden, da das Format beider Matrizen<br />
dann nicht übereinstimmt, da die Anzahl der<br />
Spalten <strong>von</strong> B nicht mit der Anzahl der Zeilen <strong>von</strong> A<br />
übereinstimmt.<br />
⎛ 4 −1 3 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
2 0,5 0 1 −4 8<br />
A = ⎜ ⎟ B = ⎜ ⎟<br />
⎜10 5 −7 −1⎟ ⎜ 0 −2⎟<br />
⎜ 0 0 0 −1⎟ ⎜ 6 9 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Bei 2 quadratischen Matrizen vom selben Format<br />
lässt sich stets das Produkt A⋅<br />
B als auch das<br />
Produkt B ⋅ A bilden.<br />
Die Ergebnismatrix C ist zwar in beiden Fälle eine<br />
3x3-Matrix aber die einzelnen Elemente stimmen<br />
nicht über ein.<br />
Daraus folgt:<br />
Eine Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.<br />
A⋅ B ≠ B ⋅ A<br />
⎛ 4 −2 3⎞ ⎛1 0 0 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A = 1 4 2 B = 0 2 −3<br />
⎜ 3 2 1⎟ ⎜6 −6 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ 22 −22 12 ⎞ ⎛ 4 −2 3⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A⋅ B = 13 −4 −8 B ⋅ A = −7 2 1<br />
⎜ 9 −2 −4⎟ ⎜ 24 −32 8⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Lässt sich für eine Matrix A das Produkt E ⋅ A bzw.<br />
A⋅<br />
E mit der Einheitsmatrix E bilden, so ist die<br />
Produktmatrix in beiden Fällen wieder A .<br />
Ist A eine quadratische Matrix so ist die<br />
Multiplikation mit der Einheitsmatrix E kommutativ.<br />
⎛ 2 1 3⎞ ⎛1 0 0⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A = 3 4 2 E =<br />
0 1 0<br />
⎜ 4 0 1⎟ ⎜ 0 0 1⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
A⋅ E = A und E ⋅ A = A<br />
1.5 Transponierte Matrix<br />
Vertauscht man in einer (m x n)-Matrix A die Zeilen<br />
mit den Spalten, erhält man die transponierte<br />
T<br />
Matrix A vom Format (n x m).<br />
Es gilt:<br />
T<br />
T<br />
( A ) =<br />
Folgende Matrizenmultiplikation gilt:<br />
( )<br />
A<br />
T T T<br />
A⋅ B = B ⋅ A<br />
⎛ 4 −2 3⎞ ⎛ 4 1 3⎞<br />
⎜ ⎟ T ⎜ ⎟<br />
A = 1 4 2 A = −2 4 2<br />
⎜ 3 2 1⎟ ⎜ 3 2 1⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ 2 3⎞<br />
⎛ 1 3 2⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 4 8 ⎞<br />
A = ⎜ 0 1<br />
4 1 2<br />
⎟ B = A⋅ B = ⎜<br />
10 15<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎜1 1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
⎛1 4⎞<br />
2 0 1 4 10<br />
T ⎜ ⎟ T ⎛ ⎞ T T ⎛ ⎞<br />
A = 3 1<br />
B = ⎜ ⋅ =<br />
3 1 1<br />
⎟ B A ⎜<br />
8 15<br />
⎟<br />
⎜ 2 2⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
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Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
1.6 Übungen<br />
1. Addieren Sie die Matrizen A und B. Welches Format haben die beiden Matrizen?<br />
⎛ 4 3 7 1 ⎞ ⎛ −5 −2 0 3,1 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A = 0 4 2 5 B = 4,5 3 −2 0,5<br />
⎜ 0 3 6 −1⎟ ⎜ 7 0 0 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
2. Berechnen Sie 4⋅ ( A + B ) und 4⋅ A + 4⋅<br />
A ⎛ 6 8 3⎞ ⎛ 0 2 −1⎞<br />
= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />
⎝ 4 −2 0⎠ B<br />
⎝ 3 2 2 ⎠<br />
B und vergleichen Sie die Ergebnisse.<br />
3. Berechen Sie die folgende Matrizenrechnungen:<br />
⎛ −3 0 1 ⎞ ⎛1 −2 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A = 4 2 − 5 B = 0 − 4 2 C =<br />
2<br />
⎜ −2 1 0 ⎟ ⎜ 3 0 −1⎟ ⎜ −1⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
a) ( A + B)<br />
⋅C b) ⋅<br />
A B c) 2⋅ B + 4⋅<br />
A<br />
4. Für die 100-Jahr-Feier eines Großunternehmens sind an den 4 Produktionsstätten Festbankette<br />
geplant, zu denen je 3 Menüs zur Auswahl stehen sollen. 3 Cateringgesellschaften (CG) haben<br />
Angebote für die Menüs abgegeben (in €).<br />
Entscheiden Sie welche Cateringgesellschaft an welchen Ort liefern soll, damit die Gesamtkosten so<br />
gering wie möglich sind.<br />
CG1 CG2 CG3 Dortmund Hamburg Mainz<br />
Menü 1 32 32,50 33,50 Menü 1 250 50 150<br />
Menü 2 31 27 28,50 Menü 2 150 50 140<br />
Menü 3 38,50 40 40 Menü 3 400 100 200<br />
5. Die Impex AG bezieht aus Amerika <strong>von</strong> 4 verschiedenen Lieferanten die Produkte I, II und III. Die<br />
Handelsgesellschaft tätigt ihre Käufe auf Dollarbasis. Die Kaufpreise werden für die Kalkulation des<br />
Verkaufspreises in Euro umgerechnet und sind in der unten aufgeführten Liste zusammengefasst.<br />
Lieferant Produkt I Produkt II Produkt III<br />
Brubeck Inc. 10,30 € 412,10 € 110,80 €<br />
American Globe 12,10 € 400,20 € 105,30 €<br />
Amex 10,80 € 398,40 € 108,10 €<br />
Trading Comp. 11,20 € 405,60 € 115,70 €<br />
a) Durch den Kurssturz des Dollars sind alle Euro-Preise um 10% gesunken. Berechnen Sie die<br />
neuen Preise in Euro<br />
b) Ermitteln Sie den günstigsten Lieferanten, wenn die Impex AG folgende Mengen <strong>von</strong> einem<br />
einzigen Lieferanten beziehen möchte.<br />
2400 Stück <strong>von</strong> Produkt I, 560 Stück <strong>von</strong> Produkt II und 1250 Stück <strong>von</strong> Produkt III.<br />
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Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
6. Ein kleiner Industriebetrieb stellt aus 4 Bauteilen zwei Fertigerzeugnisse her. In der Tabelle sind die<br />
ME der Bauteil zusammengefasst, die für je ein Fertigerzeugnis benötigt werden.<br />
a) Die Herstellungsmenge für einen Auftrag X beträgt 250 ME <strong>von</strong> F 1 und 200 ME <strong>von</strong> F 2 . Wie viel<br />
ME der Bauteile werden für diesen Auftrag benötigt?<br />
b) Wie hoch sind die Bauteilekosten für je ein Fertigerzeugnis wenn 1 ME <strong>von</strong> B 1 4,00 €, 1 ME <strong>von</strong><br />
B 2 6,00 €, 1 ME <strong>von</strong> B 3 14,00 € und 1 ME <strong>von</strong> B 4 8,00 € kostet?<br />
c) Wie viel € betragen die gesamten Bauteilekosten für Auftrag X?<br />
d) Die Fertigungskosten (FK), Verwaltungs- und Betriebskosten (VwVtK) betragen je ME 110,00 €<br />
für F 1 und 140,00 € für F 2 . Berechnen Sie die FK und VwVtK für Auftrag X. Wie hoch sind die<br />
gesamten Selbstkosten?<br />
e) Die Verkaufspreise (netto) je ME betragen 180,00 € für F 1 und 235,00 € für F 2 . Berechnen sie den<br />
Gesamterlös und den Gewinn aus Auftrag X.<br />
Bauteil ME der Bauteile je Fertigerzeugnis<br />
F 1 F 2<br />
B 1 3 2<br />
B 2 1 4<br />
B 3 0 3<br />
B 4 4 0<br />
7. Aus 3 Rohstoffen werden 3 elektronische Bauteile<br />
hergestellt. Die für ein Bauteil benötigten ME an<br />
Rohstoffen sind in der Tabelle zusammengefasst.<br />
a) Wie viel ME der Rohstoffe benötigt man zur<br />
Herstellung <strong>von</strong> 800 ME <strong>von</strong> B1, 500 ME <strong>von</strong><br />
B2 und 900 ME <strong>von</strong> B3?<br />
ME der Rohstoffe je Bauteil<br />
Rohstoff B 1 B 2 B 3<br />
R 1 2 4 3<br />
R 2 4 1 2<br />
R 3 3 2 3<br />
b) Wie hoch sind die Rohstoffkosten je Bauteil und für die in a) genannten Fertigungsmengen bei<br />
folgenden Rohstoffpreisen je ME: 3,00 € für R1, 7,00 € für R2 und 4,00 € für R3?<br />
c) Die Herstellung soll auf das Mengenverhältnis B1:B2:B3= 4:3:5 umgestellt werden. Wie viel ME<br />
der Bauteile kann man maximal herstellen wenn <strong>von</strong> R1 je Herstellungszeitraum nur 10500 ME<br />
zur Verfügung stehen?<br />
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8. Berechnen Sie folgende Matrizenmultiplikation A⋅<br />
B mit Hilfe <strong>von</strong> Excel.<br />
⎛ 4 −2 3⎞ ⎛1 0 0 ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A = 1 4 2 B = 0 2 −3<br />
⎜ 3 2 1⎟ ⎜6 −6 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Format der Ergebnismatrix<br />
markieren. Im Beispiel 3x3<br />
Matrix markieren.<br />
Formel: MMULT(B1:D3 ; G1:I3)<br />
Wichtig: Mann muss nach der Formeleingabe nicht ENTER drücken sondern<br />
STRG+Umschalt+ENTER.<br />
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2. Lineare Verflechtungen<br />
2.1 Mehrstufige Produktionsprozesse<br />
Produktionsprozesse in der Industrie bestehen normalerweise aus mehreren Verarbeitungsstufen. Aus<br />
Rohstoffen (Einzelteilen) werden zunächst Zwischenprodukte (Baugruppen) hergestellt, die dann in weiteren<br />
Produktionsstufen zu anderen Zwischenprodukten (komplexeren Baugruppen) und schließlich zu<br />
Endprodukten verarbeitet werden.<br />
Man nennt diese mehrstufigen Produktionsprozesse auch Materialverflechtungsprozesse.<br />
Häufig stellt man diese Produktionsprozesse in Grafiken dar, die Gozintographen genannt werden.<br />
Beispiel 1:<br />
Ein Betrieb stellt in zwei Produktionsstufen aus vier Einzelteilen drei Zwischenerzeugnisse und aus den<br />
Zwischenerzeugnissen zwei Fertigerzeugnisse.<br />
Gozintograph<br />
E1 E2 E3 E4<br />
1<br />
2<br />
4 1<br />
3<br />
2<br />
1 2<br />
3<br />
Z1 Z2 Z3<br />
1<br />
1<br />
2 1<br />
1<br />
3<br />
F1<br />
F2<br />
Als Tabelle dargestellt:<br />
WERK I<br />
WERK II<br />
Einzelteile<br />
Einzelteile je Zwischenerzeugnisse<br />
Zwischenerzeugnisse<br />
F1 F2<br />
Zwischenerzeug. je Fertigteile<br />
Z1 Z2 Z3<br />
E1 3 1 2 Z1 1 1<br />
E2 2 0 3 Z2 2 1<br />
E3 0 4 1 Z3 1 3<br />
E4 1 2 0<br />
a) Wie viel ME der Einzelteile werden jeweils für 1 ME der Fertigerzeugnisse benötigt?<br />
EZ ⋅ ZF =<br />
EF<br />
⎛ 3 1 2⎞ ⎛ 7 10⎞<br />
⎜ ⎟ ⎛1 1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
2 0 3<br />
⎟<br />
5 11<br />
⋅<br />
⎜<br />
2 1<br />
⎟<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜ 0 4 1⎟ ⎜ 9 7 ⎟<br />
⎜1 3⎟<br />
⎜ 1 2 0⎟ ⎝ ⎠<br />
⎜ 5 3 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
F1 F2<br />
E1 ⎛ 7 10⎞<br />
⎜ ⎟<br />
E2 ⎜<br />
5 11<br />
⎟<br />
E3⎜<br />
9 7 ⎟<br />
E4⎜<br />
5 3 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
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b) Wie viele ME der Einzelteile sind zur Herstellung <strong>von</strong> 60 ME <strong>von</strong> F1 und 80 ME <strong>von</strong> F2 erforderlich?<br />
EF ⋅ FA =<br />
EA<br />
⎛ 7 10⎞ ⎛1220⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
5 11<br />
⎟ ⎛ 60⎞<br />
1180<br />
⋅ = ⎜ ⎟<br />
⎜ 9 7 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝80⎠<br />
⎜1100⎟<br />
⎜ 5 3<br />
⎟ ⎜<br />
540<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
A = Anzahl<br />
c) Der Transport der Zwischenerzeugnisse <strong>von</strong> Werk I nach Werk II verursacht folgende Transportkosten:<br />
Z1 Z2 Z3<br />
Euro / ME 0,50 0,60 0,40<br />
Berechnen Sie die Transportkosten der Zwischenerzeugnisse, die zur Herstellung <strong>von</strong> 60 ME <strong>von</strong> F1 und<br />
80 ME <strong>von</strong> F2 benötigt werden.<br />
ZF ⋅ FA =<br />
ZA<br />
⎛ 1 1⎞ ⎛140<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎛60⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 1 ⋅ ⎜ = 200<br />
80<br />
⎟<br />
⎜ 1 3⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 300 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛140<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
KZ ⋅ ZA = KA ( 0,50 0,60 0,40) ⋅ 200 = ( 310)<br />
⎜300⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Die Transportkosten betragen 310,-€.<br />
K = Kosten<br />
d) Es sollen 200 ME <strong>von</strong> F1 und 250 ME <strong>von</strong> F2 und außerdem für den Verkauf <strong>von</strong> Zwischenerzeugnissen<br />
50 ME <strong>von</strong> Z1, 80 ME <strong>von</strong> Z2 und 40 ME <strong>von</strong> Z3 hergestellt werden. Wie viele ME der Einzelteile sind<br />
hierfür erforderlich?<br />
EF ⋅ FA =<br />
EZ ⋅ ZA =<br />
EA<br />
EA<br />
EA1 + EA2<br />
= EA<br />
Gesamt<br />
1<br />
2<br />
⎛ 7 10⎞ ⎛3900⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
5 11<br />
⎟ ⎛ 200⎞<br />
3750<br />
⋅ = ⎜ ⎟<br />
⎜ 9 7 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 250⎠<br />
⎜3550⎟<br />
⎜ 5 3<br />
⎟ ⎜<br />
1750<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛ 3 1 2⎞ ⎛310⎞<br />
⎜ ⎟ ⎛50⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
2 0 3<br />
⎟<br />
220<br />
⋅<br />
⎜<br />
80<br />
⎟<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜ 0 4 1⎟ ⎜360⎟<br />
⎜ 40⎟<br />
⎜ 1 2 0<br />
⎟ ⎝ ⎠ ⎜<br />
210<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
⎛3900⎞ ⎛310⎞ ⎛ 4210⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
3750<br />
⎟<br />
220 3970<br />
+ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />
⎜3550⎟ ⎜360⎟ ⎜3910⎟<br />
⎜ 1750 ⎟ ⎜ 210⎟ ⎜1960<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
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Beispiel 2:<br />
Ein Betrieb stellt in 2 Produktionsstufen drei Fertigerzeugnisse her.<br />
Abteilung I<br />
Abteilung II<br />
Rohstoffe<br />
Rohstoffe je Zwischenerzeugnisse<br />
Zwischenerzeugnisse<br />
F1 F2 F3<br />
Zwischenerzeugnisse je Fertigteil<br />
Z1 Z2 Z3<br />
R1 2 3 2 Z1 4 0 2<br />
R2 3 2 4 Z2 3 3 0<br />
R3 1 4 0 Z3 0 2 3<br />
R4 2 0 3<br />
a) Die Wochenproduktion beträgt 600 ME <strong>von</strong> F1, 500 ME <strong>von</strong> F2 und 700 ME <strong>von</strong> F3. Nachstehende<br />
Tabelle enthält die Rohstoffkosten je ME, die variablen Stückkosten der Zwischenerzeugnisse und die<br />
variablen Stückkosten der Fertigerzeugnisse.<br />
R1 R2 R3 R4 Z1 Z2 Z3 F1 F2 F3<br />
Euro / ME 1,00 1,50 0,50 1,00 7,00 4,00 5,00 36,00 27,00 30,00<br />
Die fixen Kosten betragen 54.000,- €.<br />
Berechnen Sie die Gesamtkosten der Wochenproduktion.<br />
b) Die Verkaufspreise je ME betragen 180,-€ für F1, 135,-€ für F2 und 153,-€ für F3.<br />
Wie hoch ist der Gewinn bei Absatz der Wochenproduktion?<br />
c) Die Verkaufspreise stehen im Verhältnis F1 : F2 : F3 = 1 : 0,75 : 0,85. Wie viel Euro müssten die<br />
Verkaufspreise mindestens betragen, damit der Betrieb bei den bisherigen Wochenproduktionsmengen<br />
keinen Verlust erleidet?<br />
Wie hoch sollten die Verkaufspreise sein, wenn ein Gewinn <strong>von</strong> 10% der Selbstkosten erzielt werden<br />
soll? Das Verhältnis der Verkaufspreise bleibt jeweils unverändert.<br />
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3. Lineare Gleichungssysteme<br />
3.1 Darstellung <strong>von</strong> linearen Gleichungssystemen mit Matrizen<br />
Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten kann man folgendermaßen schreiben:<br />
a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b<br />
11 1 12 2 13 3 1<br />
a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b<br />
21 1 22 2 13 3 2<br />
a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b<br />
31 1 32 2 33 3 3<br />
Mit Hilfe <strong>von</strong> Matrizen erhält man folgende Darstellung:<br />
<br />
A ⋅ x = b<br />
⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
a a a ⋅ x = b<br />
21 22 23 2 2<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ a31 a32 a33 ⎠ ⎝ x3 ⎠ ⎝ b3<br />
⎠<br />
A ist die Koeffizientenmatrix, x der Spaltenvektor der Unbekannten und<br />
Werten der rechten Seite des Gleichungssystems.<br />
<br />
b der Spaltenvektor mit den<br />
Beispiel:<br />
4⋅ x − 4⋅ x + 3⋅ x = 22<br />
1 2 3<br />
2⋅ x − 3⋅ x + 4⋅ x = 19<br />
1 2 3<br />
−6⋅ x − x + 5⋅ x = 7<br />
1 2 3<br />
⎛ 4 −4 3⎞ ⎛ x1<br />
⎞ ⎛ 22⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⇒ 2 −3 4 ⋅ x = 19<br />
2<br />
⎜ −6 −1 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
3<br />
7 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠<br />
3.2 Determinanten<br />
Eine Determinanten kann nur <strong>von</strong> einer quadratischen Matrix berechnet werden und ist im Ergebnis eine<br />
reelle Zahl.<br />
Schreibweisen<br />
D = det A = A = a<br />
ik<br />
Zweireihige Determinanten<br />
Bei einer 2x2-Matrix berechnet sich der Wert der Determinante aus dem Produkt der Elemente der<br />
Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Elemente der Nebendiagonale.<br />
A<br />
⎛ a<br />
⎞<br />
11 12<br />
= ⎜ ⎟<br />
a21 a22<br />
⎝<br />
a<br />
a<br />
⎠<br />
a<br />
11 12<br />
det A = = a11 ⋅ a22 − a21 ⋅ a12<br />
a21 a22<br />
Nebendiagonale<br />
Hauptdiagonal<br />
e<br />
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Beispiel:<br />
Übungen:<br />
4 7<br />
det A = = 4⋅8 − ( −3)<br />
⋅ 7 = 53<br />
−3 8<br />
1.<br />
det<br />
4 7<br />
= =<br />
−3 8<br />
A 2.<br />
7 −5<br />
det A = =<br />
5 −7<br />
Dreireihige Determinanten<br />
Bei einer 3x3-Matrix erfolgt die Berechnung der Determinante an der Regel <strong>von</strong> Sarrus. Hierbei wird die<br />
Matrix um die beiden ersten Spalten erweitert. Auf diese Weise erhält man 3 Hauptdiagonalen und drei<br />
Nebendiagonalen. Die Differenz aus Haupt- und Nebendiagonalen ergibt den Wert der Determinante.<br />
a a a<br />
11 12 13<br />
⎛ a a a<br />
A a a a<br />
⎜<br />
⎝ a a a<br />
11 12 13<br />
⎜<br />
⎟<br />
= ⎜ 21 22 23 ⎟<br />
31 32 33<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
( )<br />
det A = a a a = a ⋅a ⋅ a + a ⋅a ⋅ a + a ⋅a ⋅a − a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a<br />
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12<br />
a a a<br />
31 32 33<br />
a a a a a<br />
11 12 13 11 12<br />
det A = a a a a a<br />
21 22 23 21 22<br />
a a a a a<br />
31 32 33 31 32<br />
Nebendiagonale<br />
Hauptdiagonale<br />
Beispiel:<br />
Übungen:<br />
−2 0 1 −2 0<br />
( )<br />
det A = 1 2 3 1 2 = − 2⋅ 2 ⋅( − 1) + 0⋅3⋅ 3+ 1⋅1⋅4 − 3⋅2⋅ 1+ 4⋅3 ⋅( − 2) + ( −1) ⋅1⋅0<br />
3 4 −1 3 4<br />
= − 4 + 0 + 4 − ( 6 − 24 + 0) = 0 − ( − 18)<br />
= 18<br />
1.<br />
3 −4 0<br />
det = 0 7 6 =<br />
A 2.<br />
2 −6 1<br />
1 −2 −3<br />
det A = 2 4 6 =<br />
3 2 3<br />
Hinweis:<br />
Überprüfen Sie Ihre<br />
Ergebnisse mit Excel.<br />
=MDET(Matrix)<br />
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Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
3.3 Lösen <strong>von</strong> linearen Gleichungssystemen mit der Cramer’schen Regel<br />
D<br />
j<br />
x<br />
j<br />
= j = 1, 2,..., n<br />
D<br />
( )<br />
D<br />
j<br />
ist hierbei die Determinante der Matrix A, die entsteht, wenn in der j-ten Spalte <strong>von</strong> A die Elemente<br />
durch die rechte Seite b<br />
i<br />
ersetzt werden.<br />
Beispiel:<br />
4⋅ x − 4⋅ x + 3⋅ x = 22<br />
1 2 3<br />
2⋅ x − 3⋅ x + 4⋅ x = 19<br />
1 2 3<br />
−6⋅ x − x + 5⋅ x = 7<br />
1 2 3<br />
⎛ 4 −4 3⎞ ⎛ 22⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A = 2 − 3 4 b =<br />
19<br />
⎜ −6 −1 5⎟ ⎜ 7 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
4 −4 3 4 −4<br />
( )<br />
D = det A = 2 −3 4 2 − 3 = − 60 + 96 − 6 − 54 −16 − 40 = 32<br />
1 1<br />
−6 −1 5 −6 −1<br />
22<br />
−4 3 22 −4<br />
( )<br />
D = det A = 19 −3 4 19 − 3 = −330 −112 − 57 − −63 −88 − 380 = 32<br />
D<br />
2 2<br />
7<br />
−1 5 7 −1<br />
4 22 3 4 22<br />
( )<br />
= det A = 2 19 4 2 19 = 380 − 528 + 42 − − 342 + 112 + 220 = − 96<br />
3 3<br />
−6 7 5 −6 7<br />
4 −4 22 4 −4<br />
( )<br />
D = det A = 2 −3 19 2 − 3 = − 84 + 456 − 44 − 396 − 76 − 56 = 64<br />
−6 −1 7 −6<br />
−1<br />
a<br />
ij<br />
,<br />
x<br />
D<br />
D<br />
32 1<br />
32<br />
= 1<br />
= =<br />
1<br />
x<br />
D<br />
D<br />
−96<br />
32<br />
2<br />
2<br />
= = = −<br />
3<br />
x<br />
D<br />
D<br />
64<br />
32<br />
= 3<br />
= =<br />
3<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
x = −3<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
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Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
Übungen:<br />
1. Aus den drei Rohstoffen R1, R2 und R3 werden die drei Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 und daraus<br />
wiederum drei Endprodukte E1, E2 und E3 hergestellt. Die zur Herstellung je einer Einheit benötigten<br />
Mengeneinheiten sind in folgenden Tabellen dargestellt.<br />
Von den Rohstoffen stehen 130 ME <strong>von</strong> R1, 88 ME <strong>von</strong> R2 und 122 ME <strong>von</strong> R3 zur Verfügung. Wie viele<br />
Einheiten <strong>von</strong> den Endprodukten können damit hergestellt werden?<br />
Rohstoffe<br />
Rohstoffe je Zwischenprodukt<br />
Zwischenprodukte<br />
E1 E2 E3<br />
Zwischenprodukte je Endprodukt<br />
Z1 Z2 Z3<br />
R1 1 2 1 Z1 1 2 2<br />
R2 1 0 2 Z2 1 1 4<br />
R3 2 1 1 Z3 2 2 1<br />
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Skript Mathematik <strong>BOS</strong> II<br />
3.4 Inverse Matrix und Gauß-Algorithmus<br />
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