Ãbung 2
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Übungen zu Aktivitätsanalyse und Kostenbewertung im Sommer 2013<br />
Aufgabenblatt 2<br />
Aufgabe 1: Produktionsprogrammplanung/Lineare Optimierung<br />
(adaptiert aus Winston, Operations Research)<br />
Sailco Corporation muss entscheiden, wie viel Segelboote in jedem der nächsten vier<br />
Quartale produziert werden sollen (ein Quartal = drei Monate). Die Nachfrage während jedes<br />
der nächsten vier Quartale ist wie folgt:<br />
Quartal: 1 2 3 4<br />
Nachfrage: (Segelboote) 40 60 75 25<br />
Sailco muss die Nachfrage zeitgerecht erfüllen. Zu Beginn des ersten Quartals hat Sailco<br />
einen Bestand von zehn Booten. Zu Beginn eines jeden Quartals muss entschieden werden,<br />
wie viele Segelboote während dieses Quartals produziert werden sollen. Es sei unterstellt,<br />
dass die Segelboote, die während eines Quartals gefertigt werden, noch im selben Quartal<br />
abgesetzt werden können. In jedem Quartal kann Sailco bis zu 40 Segelboote für $400 in<br />
Normal-Arbeitszeit herstellen. Im Rahmen von Überstunden können zusätzliche Boote zu<br />
$450 je Boot hergestellt werden.<br />
Am Ende eines jeden Quartals (nach Produktion und Erfüllung der Nachfrage) entstehen<br />
Lagerkosten von $20 je Segelboot.<br />
Formulieren Sie ein lineares Programm, um ein Produktionsprogramm zu bestimmen,<br />
welches die Summe aus Produktions- und Lagerkosten minimiert!<br />
Aufgabe 2: Produktionsprogrammplanung/Lineare Optimierung<br />
Zwei Produkte werden auf drei Maschinen gefertigt. Der Deckungsbeitrag des ersten Produkts<br />
beträgt € 400, der des zweiten Produkts € 900. Je Einheit beansprucht Produkt 1 eine<br />
Maschinenstunde und Produkt 2 4 Maschinenstunden auf Maschine 1. Für Maschine 2 und<br />
Maschine 3 sind die entsprechenden Zeitbedarfe durch (2h/1h) bzw. (1.5h/3h) gegeben. Pro<br />
Monat steht die erste Maschine 40 h, die zweite Maschine 42 h und die dritte Maschine 36 h<br />
zur Verfügung.<br />
a) Formulieren Sie ein lineares Programm.<br />
b) Bestimmen Sie grafisch das optimale Produktionsprogramm<br />
c) Bestimmen Sie das optimale Produktionsprogramm mit Hilfe des Simplexalgorithmus.<br />
Aufgabe 3: Lineare Optimierung<br />
Die folgende Tabelle ist ein unvollständig ausgefülltes Endtableau zu dem LP:<br />
max G(<br />
x , x , x ) 15x<br />
10x<br />
10x<br />
u.<br />
d.<br />
N.<br />
2x<br />
x<br />
1<br />
4x<br />
1<br />
1<br />
x<br />
x<br />
4x<br />
x , x<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3x<br />
<br />
2x<br />
2<br />
2<br />
x<br />
, x<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
29<br />
<br />
74<br />
0<br />
9<br />
1<br />
2<br />
3<br />
x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3<br />
1 0 0 -0,6 1,4 0,2 10<br />
0 0 1 0,8 -1,2 -0,1 5<br />
0 1 0 0,2 -0,8 0,1 6<br />
0 0 0 1 1<br />
a) Bestimmen Sie bitte die optimale Lösung, den optimalen Zielfunktionswert G* und den<br />
Schattenpreis der dritten Nebenbedingung.<br />
b) Wie hoch wären die Opportunitätskosten je Aktivitätsniveaueinheit, wenn das Management<br />
dazu gezwungen würde, ohne Zielfunktionsbeitrag die Aktivität mit dem Vektor (3, 3, 1) (die<br />
Koeffizientenspalte hier als Zeile geschrieben) aufzunehmen?
Aufgabe 4: Lineare Optimierung<br />
Die folgende Tabelle<br />
x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 <br />
0,875 1 0 0,25 0 0,125 27<br />
-2,125 0 0 -0,75 1 0,125<br />
0,625 0 1 -0,25 0 0,375 21<br />
12,875 0 0 0 4,125<br />
ist ein unvollständig ausgefülltes Endtableau zu dem LP-Problem mit dem Ausgangstableau<br />
x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 b<br />
2 3 -1 1 0 0 60<br />
-1 2 -1 0 1 0 80<br />
3 2 2 0 0 1 96<br />
-4 -15 -6 0 0 0 0<br />
a) Wie groß ist der optimale Zielfunktionswert z*?<br />
b) Wie groß ist der Wert der Schlupfvariablen s 2 in der optimalen Lösung?<br />
c) Wie groß ist der optimale Schattenpreis u 1 der ersten Restriktion?<br />
Aufgabe 5: Dualität<br />
Betrachten Sie folgendes Programm:<br />
max z x x<br />
u.<br />
d.<br />
N.<br />
4x<br />
x<br />
1<br />
1<br />
x , x<br />
1<br />
1<br />
x x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x 40<br />
80<br />
0<br />
1<br />
100<br />
2<br />
a) Das optimale Simplextableau ist wie folgt:<br />
Basis b i x 1 x 2<br />
x 1 20/3 1 0 1/3 -1/3<br />
x 2 220/3 1 -1/3 4/3 0<br />
x 5 100/3 0 0 -1/3 1/3 1<br />
Z 0 0 0 1<br />
bezeichnen die Schlupfvariablen für die Nebenbedingungen 1, 2 und 3.<br />
Vervollständigen Sie die leeren Felder des Tableaus, ohne den Simplexalgorithmus selbst<br />
durchzurechnen!<br />
b) Formulieren Sie das duale Programm zu der primalen Aufgabe in a).<br />
c) Das optimale Tableau des dualen Programms ist gegeben durch<br />
Basis b i y 1 y 2 y 3<br />
y 1 0 1 0 1/3 -1/3 1/3<br />
y 2 1 0 1 -1/3 1/3 -4/3<br />
f’ -80 0 0 100/3 20/3 220/3<br />
Lesen Sie aus diesem Tableau die Opportunitätskostenwerte (Schattenpreise) für die<br />
beschränkt verfügbaren Güter des primalen Programms ab.<br />
Lesen Sie zudem ab, wie viel dem Entscheider eine (marginalen) Lockerung der Restriktionen<br />
des dualen Programms Wert ist.