Vorlesung Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen - 9 ...

Vorlesung
Numerische
Berechnung
von Leichtbaustrukturen
Dr.-Ing. H.
Köppe
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Vorlesung Numerische Berechnung von
Leichtbaustrukturen
9. Vorlesung
Dr.-Ing. H. Köppe
Institut für Mechanik
6. Januar 2013

Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete
Rotationsschalen
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Zylinderschalen
Nach einmaliger Integration erhält man für die Dierentialgleichung:
w ,ssss + Eh
KR 2 w = − 1
KR 2 ∫
IV ds − 1 R Iχ,s + w 0
Die Integrationskonstante w 0 ist proportional einer Starrkörperverschiebung
und kann ohne Einschränkung zu w 0 = 0 angenommen werden.
Die rechte Seite der Dierentialgleichung mit den konkreten geometrischen
Gröÿen für die Zylinderschale wird:
− 1
KR 2 ∫
IV ds − 1 R Iχ,s = − 1
KR 2 ∫
[−R(nϕm − νn sm) ,s − EhR(αt m) ,s]ds
− 1 R [(1 + ν) R h (α∆t),s],s
Da n sb = 0 und damit n sm = n s und n ϕm = −Rp n wird dann:
− 1
KR 2 ∫
IV ds − 1 R Iχ,s = − 1 K (pn + R h
ns) +
Eh
KR
1+ν
(αtm) −
h
(α∆t),ss
Damit ergibt sich für die Zylinderschale die Dierentialgleichung:
w ,ssss + Eh
KR 2 w = − 1 K (pn + R h
ns) +
Eh
KR
1+ν
(αtm) −
h
(α∆t),ss

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Zylinderschalen
Lösung der Dierentialgleichung:
Die Dierentialgleichung für die Verformung w der Schale weist den
gleichen prinzipiellen Aufbau wie für den elastisch gebetteten Biegebalken
auf.
Deshalb kann die Lösung, mit entsprechender Anpassung der Konstanten λ,
von dort übernommen werden. Es wird:
w = w p + w h
w = w p + e −λs (C 1 sin λs + C 2 cos λs) + e +λs (C 3 sin λs + C 4 cos λs)
mit λ = 4 √
√
Eh
4KR 2 = 4 3(1−ν 2 )
h 2 R 2
In der Lösung ist der partikuläre Lösungsanteil w p von der konkreten
Belastung der Schale (p n, n s = n sm, Temperaturbelastung t m und ∆t)
abhängig.
Der homogene Lösungsanteil w h enthält vier Integrationskonstanten, die aus
den Randbedingungen des konkreten Problems bestimmt werden müssen.

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Zylinderschalen
Spezielle partikuläre Lösungen:
Unter bestimmten Voraussetzungen (die fast immer erfüllt sind) stellt die
Membranlösung der Kreiszylinderschale eine partikuläre Lösung des
Biegespannungszustandes dar.
Beispiele für partikuläre Lösungen:
Längskraftbelastung n 0 :
w p = w m = − νR
Eh n 0
Innendruck p 0 : w p = w m = p 0R 2
Eh (1 − ν 2 )
Flüssigkeitsdruck (Dichte ρ Fl ) :
Eigengewicht (Dichte ρ) :
Konstante Temperaturbelastung :
w p = w m = ρ Fl gsR2
Eh
w p = w m = R E νρgs
w p = w m = Rαt m

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Zylinderschalen
Schnittgröÿen und Spannungen:
Längskraft n s :
Längskraft n ϕ :
Biegemoment m s :
Biegemoment m ϕ :
Querkraft q s :
Spannung σ s :
n s = n sm = − νR
Eh n 0
n ϕ = Eh[ w − αtm] + νns
R
m s = −K[w ,ss + (1 + ν) α h ∆t]
m ϕ = −K[νw ,ss + (1 + ν) α h ∆t]
q s = −K[νw ,sss + (1+ν) (α∆t)
h
,s]
σ s = ns
h
+ 12ms
h 3 γ
Spannung σ ϕ : σ ϕ = nϕ h + 12mϕ
h 3 γ
Spannung τ sγ :
τ sγ = 3qs
2h [1 − ( 2γ h )2 ]

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Zylinderschalen
Lange/Kurze Zylinderschale:
Die homogene Lösung der Kreiszylinderschale stellt die Summe zweier
gedämpfter Schwingungen dar.
Der eine Anteil der homogenen Lösung klingt vom Rand s = 0 und der
andere Anteil vom Rand s = l bzw. ¯s = 0 (mit ¯s = l − s ab.
Durch eine Koordinatentransformation entsteht aus :
w = w p + e −λs (C 1 sin λs + C 2 cos λs) + e +λs (C 3 sin λs + C 4 cos λs)
w = w p + e −λs (C 1 sin λs + C 2 cos λs) + e −λ¯s ( ¯C3 sin λ¯s + ¯C4 cos λ¯s)
Eine Zylinderschale wird als lang bezeichnet, wenn gilt:
l zyl > 2.5 √ Rh
Ist die Bedingung erfüllt, so gilt für:
s = 0 : der Anteil e −λ¯s ( ¯C3 sin λ¯s + ¯C4 cos λ¯s) wird vernachlässigt.
¯s = 0 : der Anteil e −λs (C 1 sin λs + C 2 cos λs) wird vernachlässigt.

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Kugelschalen
Für Kugelschalen gilt immer:
r 1 = r 2 = R; r = R sin ϑ; ds = Rdϑ
Die Aufösung der der beiden gekoppelten Dierentialgleichungen:
L(χ s) − ν χs − Vs
Vs
= Iχ und L(Vs) − ν
r1 K + r1
Ehχs = I V
nach V s ergibt :
LL(V s) + 12(1−ν2 )
h 2 V s − ν2
R 2 V s = −EhI χ + L(I V ) + ν r1 I V
Annahme : Für dünne Schalen wird vorausgesetzt R ≫ h
⇒ Vernachlässigung des dritten Gliedes gegenüber dem Zweiten.
Für die homogene Lösung der obigen Dierentialgleichung deniert man :
λ 4 = 3(1−ν2 )
h 2 R 2

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Kugelschalen
Daraus folgt für die homogene Dierentialgleichung:
LL(V s) + 4R 2 λ 4 V s = 0
Analog gilt mit χ s :
LL(χ s) + 4R 2 λ 4 χ s = 0
Weiterhin soll der Ansatz L(V s) = nV s die homogene Dierentialgleichung
für V s erfüllen
Mit LL(V s) = L(nV s) = nL(V s) = n 2 V s folgt aus der Dierentialgleichung:
n 2 V s + 4R 2 λ 4 V s = 0 ⇒ V s(n 2 + 4R 2 λ 4 ) = 0
Die Lösung der charakteristischen Gleichung lautet:
n = ±i2Rλ 2
Somit entstehen zwei homogene Dierentialgleichungen 2. Ordnung der
Form:
L(V s) ± i2Rλ 2 V s = 0

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Kugelschalen
Umformen des Meissnerschen Operators für Kugelschalen:
L(...) = 1
sin ϑ [r(...),s],s − cot2 ϑ
(...)
L(...) =
R
R 2 sin ϑ [sin ϑ(...) ,ϑ] ,ϑ − cot2 ϑ
R (...)
L(...) = 1
R sin ϑ [cos ϑ(...) ,ϑ + sin ϑ(...) ,ϑϑ ] − cot2 ϑ
R (...)
L(...) = 1 R [(...) ,ϑϑ + cot ϑ(...) ,ϑ − cot 2 ϑ(...) ]
Diesen Operator in die zwei homogenen Dierentialgleichungen für V s
engesetzt, ergibt:
V s,ϑϑ + cot ϑV s,ϑ − (cot 2 ϑ ± i2R 2 λ 2 )V s = 0
r2
Diese beiden entstandenen Dierentialgleichungen sind hypergeometrische
Dierentialgleichungen mit komplexen und veränderlichen Koezienten

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Kugelschalen
Die allgemeine Lösung der Dierentialgleichungen führt auf schlecht
konvergierende Reihen
Deshalb werden im Folgenden für verschiedene Kugelschalenbereiche
(Winkelbereiche für ϑ) geeignete Näherungslösungen entwickelt:
Näherungslösung nach Geckeler
Gültigkeitsbereich: Näherungslösung für ϑ ≈ π/2 (exakt für ϑ = π/2)
Richtwert für den Winkelbereich: 70 ◦ ≤ ϑ ≤ 110 ◦
Annahme: Für ϑ ≈ π/2 gilt cot ϑ ≈ 0
Somit vereinfacht sich der Meissnersche Operator
L(...) = 1 R [(...) ,ϑϑ + cot ϑ(...) ,ϑ − cot 2 ϑ(...) = 1 R (...) ,ϑϑ
und damit auch die beiden Dierentialgleichungen :
L(V s) ± i2Rλ 2 V s = 0 ⇒ V s ,ϑϑ ± i2Rλ 2 V s = 0

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Kugelschalen
Diese beiden Dierentialgleichungen sind gleichwertig mit der
Dierentialgleichung 4. Ordnung
V s,ϑϑϑϑ + 4R 2 λ 4 V s = 0
Mathematisch identisch ist die obige homogene Dierentialgleichung mit
der für die Zylinderschale.
Daraus ergibt sich die Näherungslösung nach Geckeler für V s zu:
V s = e −λRϑ (C 1 sin λRϑ + C 2 cos λRϑ) + e λRϑ (C 3 sin λRϑ + C 4 cos λRϑ)
bzw.
V s = Ce −λRϑ cos(λRϑ + γ) + De λRϑ cos(λRϑ + δ)
Es ist zu erkennen, dass die Lösung aus einem abklingenden und einem
anschwellenden Lösungsanteil besteht
Eine analoge Lösung kann für χ sb aufgeschrieben werden.

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Einfacher lässt sich die Winkeländerung χ sb aus der homogenisierten
Gleichung in Abhängigkeit von V s bestimmen.
χ sb = − 1
Eh [L(Vs) + ν R Vs]
In der Regel kann das zweite Glied gegenüber dem ersten Glied bei dünnen
Schalen vernachlässigt werden und es folgt dann mit cotϑ ≈ 0 im
Meissnerschen Operator:
χ sb = − 1
EhR V s,ϑϑ
Mit den obigen Gleichungen lassen sich nun alle Schnittgröÿen und
Verformungen des Biegespannungszustandes in Abhängigkeit von V s
angeben:
q s = Vs
R ; n sb ≈ 0; n ϕb = 1 R V s,ϑ; χ sb = − 1
EhR V s,ϑϑ
∆r b ≈ w b = 1
Eh V s,ϑ; κ sb = − 1
EhR 2 V s,ϑϑϑ ; κ ϕb ≈ 0
h 2
m s = −
12(1−ν 2 )R 2 [V s,ϑϑϑ + EhR 2 (1 + ν) α h ∆t]
h 2
m ϕ = −
12(1−ν 2 )R 2 [νV s,ϑϑϑ + EhR 2 (1 + ν) α h ∆t]

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Anmerkung
Da die Lösung aus einem abklingenden und einem anschwellenden Anteil
besteht, können analoge Betrachtungen über den Verlauf und das Verhalten
der Lösungsanteile wie bei der Zylinderschale gemacht werden.
Bei einer dünnen Kugelschale klingen Randstörungen relativ schnell von den
Rändern ab.
Um den Lösungsverlauf zu verdeutlichen kann man eine
Koordinatentransformation durchführen.
V s = e −λRϑ 1( ¯C1 sin λRϑ 1 + ¯C2 cos λRϑ 1 )+
+e −λRϑ 2( ¯C3 sin λRϑ 2 + ¯C4 cos λRϑ 2 )
V s = ¯Ce −λRϑ 1 cos(λRϑ1 + ¯γ)+
+ ¯De −λRϑ 2 cos(λRϑ2 + ¯δ)

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Anmerkung
Ist R(ϑ E − ϑ A ) ≥ 2.5 √ Rh beeinussen sich die Ränder nicht wesentlich.
Für ϑ = ϑ A gilt : e −λRϑ 2( ¯C3 sin λRϑ 2 + ¯C4 cos λRϑ 2 ) = 0
Für ϑ = ϑ E gilt : e −λRϑ 1( ¯C1 sin λRϑ 1 + ¯C2 cos λRϑ 1 ) = 0
Kugelschalen
Näherungslösung nach Blumenthal
Gültigkeitdbereich: Näherungslösung für ϑ ≠ 0 und ϑ ≠ π
Richtwert für den Winkelbereich: 20 ◦ ≤ ϑ ≤ 160 ◦
Schlieÿt Näherung nach Geckeler mit ein und ist im allgemeinen
genauer als Geckeler und für ϑ = π/2 mit Geckeler identisch.

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Kugelschalen
Ausgehend von der Dierentialgleichung:
V s,ϑϑ + cot ϑV s,ϑ − (cot 2 ϑ ± i2R 2 λ 2 )V s = 0
wird folgende Substitution ausgeführt:
V s = V ∗ s (ϑ) √
sin ϑ
Setzt man diese Substitution in die obige Dierentialgleichung ein erhält
man die Gleichung:
V ∗ s,ϑϑ + [ 1
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]V ∗ s ± i2Rλ2 V ∗ s = 0
Als Lösungsansatz wählt man:
V ∗ s
= eαϑ Vs
∗∗ (ϑ)
Nach Einsetzen des Ansatzes in die Dierentialgleichung erhält man: :
Vs,ϑϑ ∗∗ + 2αV ∗∗
s,ϑ + [ 1
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ + α 2 ± i2R 2 λ 2 ]Vs ∗∗ = 0

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Das α des Lösungsansatzes bestimmen wir so, das der folgende Ausdruck
der obigen Dierentialgleichung Null wird:
α 2 ± 2iR 2 λ 2 = 0
α = ± √ ±2iRλ = ±(1 ± i)Rλ
Setzt man den Wert für α in die Dierentialgleichung ein entsteht:
Vs,ϑϑ ∗∗ + 2αV ∗∗
s,ϑ + [ 1
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]Vs ∗∗ = 0
Zur Lösung der obigen Dierentialgleichung wählt man einen Ansatz in
Form einer asymptotischen Reihe:
Vs ∗∗ ∑
= k f n(ϑ)α −n
n=0
Setzt man den Lösungsanstz in die Dierentialgleichung ein, erhält man die
Gleichung:
k∑
{f n,ϑϑ α −n + +2f n,ϑ α (−n+1) 1
+ [
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f nα −n } = 0
n=0

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Nach Umsortieren der Gleichung nach Potenzen von α erhält man:
k∑
1
{f n−1,ϑϑ + 2f n,ϑ + [
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f n−1 }α (−n+1) = 0
n=0
Die gesamte Reihe wird Null, wenn für jede Potenz von α der
entsprechende Koezient verschwindet, also allgemein gilt:
1
f n−1,ϑϑ + 2f n,ϑ + [
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f n−1 = 0 für n = 1, 2, 3...
Speziell gilt:
n = 0; f −1,ϑϑ + 2f 0,ϑ + [
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f −1 = 0
Annahme: f −1 = 0 ⇒ 2f 0,ϑ = 0 ⇒ f 0 = C
1
1
n = 1; f 0,ϑϑ +2f 1,ϑ +[
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f 0 = 0 ⇒ f 1 = −C
1
n = 2; f 1,ϑϑ + 2f 2,ϑ + [
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f 1 = 0 ⇒ f 2 = ...
Es ist zu erkennen, dass f n zyklisch aus f n−1 berechenbar ist.
5ϑ+3 cot ϑ
8

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Kugelschalen
Als Lösung der Ausgangsdierentialgleichung
V s,ϑϑ + cot ϑV s,ϑ − (cot 2 ϑ ± i2R 2 λ 2 )V s = 0
gilt somit allgemein:
V s = V ∗ s (ϑ) √
sin ϑ
= 1 √
sin ϑ
e αϑ V ∗∗
s = 1 √
sin ϑ
e αϑ
mit α = ±(1 ± i)Rλ
k ∑
n=0
f n(ϑ)α −n
Für praktische Anwendungen kann die Reihenentwicklung nach dem 1.
Reihenglied abgebrochen werden, da die Faktoren α −n für n > 1 genügend
klein werden.
Nach Umformung der komplexen Lösung folgt für V s:
V s = 1 √
sin ϑ
e −λRϑ (C 1 sin λRϑ + C 2 cos λRϑ)+
+ 1 √
sin ϑ
e λRϑ (C 3 sin λRϑ + C 4 cos λRϑ)

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bzw. die Lösung für V s :
V s =
√ C e −λRϑ cos(λRϑ + γ) + √ D e λRϑ cos(λRϑ + δ)
sin ϑ sin ϑ
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Anmerkung
Diese Lösung nach Blumenthal versagt wegen der Funktion 1/ √ sin ϑ für
ϑ = 0 und ϑ = π.
Für ϑ = π/2ist die Näherungslösung nach Blumenthal mit der Näherung
nach Geckeler identisch und für den restlichen Winkelbereich genauer als
Geckeler.
Für Winkel in der näheren Umgebung von ϑ = 0 und ϑ = π konvergiert die
Reihenentwicklung schlecht und damit wird auch die Näherungslösung dort
ungenau.
Für den Winkelbereich in der näheren Umgebung von ϑ = 0 und ϑ = π
muss eine spezielle Lösung ermittelt werden.

Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete
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Numerische
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Anmerkung
Es ist zu erkennen, dass die Lösung aus einem abklingenden und einem
anschwellenden Lösungsanteil besteht
Eine analoge Lösung kann für χ sb aufgeschrieben werden.
Einfacher lässt sich die Winkeländerung χ sb aus der homogenisierten
Gleichung in Abhängigkeit von V s bestimmen.
Kugelschalen
χ sb = − 1
Eh [L(Vs) + ν R Vs] ≈ − 1
Eh L(Vs)
Für die Winkeländerung χ sb folgt :
χ sb =
2λ2 R
Eh √ sin ϑ e−λRϑ (C 1 sin λRϑ − C 2 cos λRϑ)+
+ 2λ2 R
Eh √ sin ϑ eλRϑ (−C 3 sin λRϑ + C 4 cos λRϑ)

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Kugelschalen
bzw.
V s = − 2λ2 RC
Eh √ sin ϑ e−λRϑ cos(λRϑ + γ) +
2λ2 RD
Eh √ sin ϑ eλRϑ cos(λRϑ + δ)
Mit den obigen Gleichungen kann man die Schnittgröÿen und Verformungen
des Biegespannungszustand in Abhängigkeit von V s und χ sb angeben:
q s = Vs
R ; n sb = q s cot ϑ; n ϕb = 1 R V s,ϑ; χ sb = − 1
Eh L(Vs)
∆r b = 1
Eh (V s,ϑ sin ϑ − νV s cos ϑ); κ sb = 1 R χ sb,ϑ; κ ϕb = 1 R χ sb cot ϑ
Eh3
m s = −
12(1−ν 2 [χ )R sb,ϑ + νχ sb cot ϑ − R(1 + ν) α h ∆t]
Eh3
m ϕ = −
12(1−ν 2 [χ )R sb cot ϑ + νχ sb,ϑ − R(1 + ν) α h ∆t]

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Anmerkung
Da die Lösung aus einem abklingenden und einem anschwellenden Anteil
besteht, können analoge Betrachtungen über den Verlauf und das Verhalten
der Lösungsanteile wie bei der Zylinderschale gemacht werden.
Bei einer dünnen Kugelschale klingen Randstörungen relativ schnell von den
Rändern ab.
Um den Lösungsverlauf zu verdeutlichen kann man eine
Koordinatentransformation durchführen.
V s = 1 √
sin ϑ
e −λRϑ 1( ¯C1 sin λRϑ 1 + ¯C2 cos λRϑ 1 )+
V s =
+ 1 √
sin ϑ
e −λRϑ 2( ¯C3 sin λRϑ 2 + ¯C4 cos λRϑ 2 )
¯C √
sin ϑ
e −λRϑ 1 cos(λRϑ 1 + ¯γ)+
+ ¯D √
sin ϑ
e −λRϑ 2 cos(λRϑ 2 + ¯δ)

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Anmerkung
Ist R(ϑ E − ϑ A ) ≥ 2.5 √ Rh beeinussen sich die Ränder nicht wesentlich.
Für ϑ = ϑ A gilt :
Für ϑ = ϑ E gilt :
Kugelschalen
Näherungslösung für die ache Kugelschale
1
√
sin ϑ
e −λRϑ 2( ¯C3 sin λRϑ 2 + ¯C4 cos λRϑ 2 ) = 0
1
√
sin ϑ
e −λRϑ 1( ¯C1 sin λRϑ 1 + ¯C2 cos λRϑ 1 ) = 0
Gültigkeitsbereich: Näherungslösung für ϑ ≈ 0 und ϑ ≈ π
Richtwert für den Winkelbereich: ϑ ≤ 20 ◦ und ϑ ≥ 160 ◦
Ausgangspunkt bilden wieder die Dierentialgleichungen :
V s,ϑϑ + cot ϑV s,ϑ − (cot 2 ϑ ± i2R 2 λ 2 )V s = 0

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Kugelschalen
Für Winkel 0 ◦ ≤ ϑ ≤ 20 ◦ und 160 ◦ ≤ ϑ ≤ 180 ◦ kann man die
Näherung :
annehmen.
cot ϑ ≈ 1/ϑ
Damit folgt aus den Dierentialgleichungen
bzw
V s,ϑϑ + 1 ϑ V s,ϑ − ( 1
ϑ 2 ± i2R 2 λ 2 )V s = 0
ϑ 2 V s,ϑϑ + ϑV s,ϑ − (1 ± i2R 2 λ 2 ϑ 2 )V s = 0
Die obige Gleichung ist eine Dierentialgleichung vom Besselschen Typ der
Form:
x 2 d2 y
dx 2 + ax dy
dx + (bx m + c)y = 0

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Kugelschalen
Die allgemeine Lösung der Besselschen Dierentialgleichung lautet:
y = x 1−a
2 Z ν( 2 m
√
bx
m
2 ) mit ν =
1
m
√
(1 − a)2 − 4c
Die Funktion Z ν ist die Besselfunktion mit dem Index ν
Für die Dierentialgleichung der achen Kugelschale gilt:
x ≡ ϑ; b = ±i2R 2 λ 2 ; y ≡ V s; m = 2; a = 1; c = −1
daraus folgt
ν = 1;
Z ν = Z 1 ( √ ±i √ 2Rλϑ) ⇒ V s = Z 1 ( √ ±i √ 2Rλϑ)
Die Lösung der Dierentialgleichngen für die ache Kugelschale lässt sich
mit den Abkürzungen
α = √ 2Rλϑ;
wie folgt aufschreiben:
(...) ′ = d(...)
dα
V s = C 1 f 1 (α) + C 2 f 2 (α) + C 3 f 3 (α) + C 4 f 4 (α)

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Kugelschalen
Die Funktionen f 1 , f 2 , f 3 und f 4 ergeben sich aus den Ableitungen der
Kelvin-Funktionen :
f 1 (α) = ber ′ (α); f 2 (α) = bei ′ (α); f 3 (α) = ker ′ (α); f 4 (α) = kei ′ (α)
Für die Winkeländerung χ sb lautet dann die Lösung:
Anmerkung
χ sb = 2λ2 R
Eh
[C 1f 2 (α) − C 2 f 1 (α) + C 3 f 4 (α) − C 4 f 3 (α)]
Die Funktionen ber(α), bei(α) und damit auch f 1 , f 2 sind anschwellende
Funktionen
Die Funktionen ker(α), kei(α) und damit auch f 3 , f 4 sind abklingende
Funktionen

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Anmerkung
Wenn die Bedingung:
R(ϑ E − ϑ A ) ≥ 2.5 √ Rh
erfüllt ist, kann man für
ϑ = ϑ A die Konstanten C 1 = C 2 = 0
und für
ϑ = ϑ E die Konstanten C 3 = C 4 = 0
setzen.

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Kegelschalen
Mit der Abkürzung:
LL(V s) + k 4 V s = 0
k = 4 √
12(1−ν 2 )
h 2
Für die Kegelschale gilt:
ϑ = ϑ 0 = konstant;
r 1 = ∞
r 2 = s cot ϑ 0 ; r = s cos ϑ 0
Die Ausgangsgleichung zum Aufstellen
der Dierentialgleichung der Kegschale:
LL(V s) + Eh
K
ν2
Vs −
r1
2 V s = 0
LL(V s) + 12(1−ν2 )
h 2 V s = 0
erhält man:
Diese Dierentialgleichung entspricht vom prinzipiellen Aufbau der
Dierentialgleichung der Kugelschale

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Kegelschalen
Diese Dierentialgleichung kann, wie bei der Kugelschale, in zwei
Dierentialgleichungen 2. Ordnung umgeformt werden
L(V s) ± ik 2 V s = 0
Der Meissnersche Operator
L(...) = 1
sin ϑ [r(...),s],s − cot2 ϑ
(...)
vereinfacht sich mit den geometrischen Annahmen für die Kegelschale zu
L(...) = cot ϑ 0 [(...) ,s + s(...) ,ss − (...)
s
]
r2
Damit erhält man für die beiden Dierentialgleichungen für die Kegelschale
V s,ss + 1 s Vs,s − ( 1
s 2 ±
ik2 )V
s cot ϑ s = 0
0
s 2 V s,ss + sV s,s − (1 ±
ik2
cot ϑ 0
s)V s = 0

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Kegelschalen
Diese Dierentialgleichung ist, wie für die ache Kugelschale, ein
Besselsche Dierentialgleichung:
Die Lösung der Dierentialgleichung für V s lautet:
V s(α) = C 1 f 1 (α) + C 2 f 2 (α) + C 3 f 3 (α) + C 4 f 4 (α)
√
α = 2k s
= 2 √ √
s 4 12(1−ν 2 )
cot ϑ 0 h 2 cot 2 ϑ 0
f 1 (α) = 2 α bei ′ (α) − ber(α);
f 3 (α) = 2 α kei ′ (α) − ker(α);
f 1 (α) = 2 α ber ′ (α) + bei(α);
f 4 (α) = 2 α ker ′ (α) + kei(α);
Die Konstanten C 1 , C 2 , C 3 und C 4 sind die Integrationskonstanten die für
die Gesamtlösung aus den Randbedingungen bestimmt werden müssen.
In Abhängigkeit von V s erhält man für die Schnittgröÿen und
Verformungsgröÿen:
q s = Vs
r2 = Vs
s cot ϑ 0
n sb = q s cot ϑ 0 = Vs
s ;
χ sb = − 1
Eh L(Vs) = − cot ϑ 0
Vs
[Vs,s + sVs,ss −
Eh
n ϕb = (q sr 2 ) s = V s,s
s ]

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In Abhängigkeit von V s erhält man für die Schnittgröÿen und
Verformungsgröÿen:
∆r b = 1
Eh (n ϕb − n sb ) = cos ϑ 0
(sVs,s − νVs)
Eh
κ sb = χ sb,s = − cot ϑ 0
Eh
[Vs,s + sVs,ss −
Vs
s ],s
κ ϕb = 1 r χ sb cot ϑ 0 = χ sb
= − cot ϑ 0
s Eh
[ 1 Vs
Vs,s + Vs,ss −
s s 2 ]
m s = K[κ sb + νκ ϕb ] − (1 + ν) α h ∆t]
m ϕ = K[κ ϕb + νκ sb ] − (1 + ν) α h ∆t]