Vorlesung Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen - 9 ...
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<strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Numerische</strong><br />
<strong>Berechnung</strong><br />
<strong>von</strong> <strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
Dr.-Ing. H.<br />
Köppe<br />
9. <strong>Vorlesung</strong><br />
Folie 1 - NM<br />
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Folie 2 - NM<br />
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<strong>Vorlesung</strong> <strong>Numerische</strong> <strong>Berechnung</strong> <strong>von</strong><br />
<strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
9. <strong>Vorlesung</strong><br />
Dr.-Ing. H. Köppe<br />
Institut für Mechanik<br />
6. Januar 2013
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
<strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Numerische</strong><br />
<strong>Berechnung</strong><br />
<strong>von</strong> <strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
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Zylinderschalen<br />
Nach einmaliger Integration erhält man für die Dierentialgleichung:<br />
w ,ssss + Eh<br />
KR 2 w = − 1<br />
KR 2 ∫<br />
IV ds − 1 R Iχ,s + w 0<br />
Die Integrationskonstante w 0 ist proportional einer Starrkörperverschiebung<br />
und kann ohne Einschränkung zu w 0 = 0 angenommen werden.<br />
Die rechte Seite der Dierentialgleichung mit den konkreten geometrischen<br />
Gröÿen für die Zylinderschale wird:<br />
− 1<br />
KR 2 ∫<br />
IV ds − 1 R Iχ,s = − 1<br />
KR 2 ∫<br />
[−R(nϕm − νn sm) ,s − EhR(αt m) ,s]ds<br />
− 1 R [(1 + ν) R h (α∆t),s],s<br />
Da n sb = 0 und damit n sm = n s und n ϕm = −Rp n wird dann:<br />
− 1<br />
KR 2 ∫<br />
IV ds − 1 R Iχ,s = − 1 K (pn + R h<br />
ns) +<br />
Eh<br />
KR<br />
1+ν<br />
(αtm) −<br />
h<br />
(α∆t),ss<br />
Damit ergibt sich für die Zylinderschale die Dierentialgleichung:<br />
w ,ssss + Eh<br />
KR 2 w = − 1 K (pn + R h<br />
ns) +<br />
Eh<br />
KR<br />
1+ν<br />
(αtm) −<br />
h<br />
(α∆t),ss
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Rotationsschalen<br />
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Zylinderschalen<br />
Lösung der Dierentialgleichung:<br />
Die Dierentialgleichung für die Verformung w der Schale weist den<br />
gleichen prinzipiellen Aufbau wie für den elastisch gebetteten Biegebalken<br />
auf.<br />
Deshalb kann die Lösung, mit entsprechender Anpassung der Konstanten λ,<br />
<strong>von</strong> dort übernommen werden. Es wird:<br />
w = w p + w h<br />
w = w p + e −λs (C 1 sin λs + C 2 cos λs) + e +λs (C 3 sin λs + C 4 cos λs)<br />
mit λ = 4 √<br />
√<br />
Eh<br />
4KR 2 = 4 3(1−ν 2 )<br />
h 2 R 2<br />
In der Lösung ist der partikuläre Lösungsanteil w p <strong>von</strong> der konkreten<br />
Belastung der Schale (p n, n s = n sm, Temperaturbelastung t m und ∆t)<br />
abhängig.<br />
Der homogene Lösungsanteil w h enthält vier Integrationskonstanten, die aus<br />
den Randbedingungen des konkreten Problems bestimmt werden müssen.
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Zylinderschalen<br />
Spezielle partikuläre Lösungen:<br />
Unter bestimmten Voraussetzungen (die fast immer erfüllt sind) stellt die<br />
Membranlösung der Kreiszylinderschale eine partikuläre Lösung des<br />
Biegespannungszustandes dar.<br />
Beispiele für partikuläre Lösungen:<br />
Längskraftbelastung n 0 :<br />
w p = w m = − νR<br />
Eh n 0<br />
Innendruck p 0 : w p = w m = p 0R 2<br />
Eh (1 − ν 2 )<br />
Flüssigkeitsdruck (Dichte ρ Fl ) :<br />
Eigengewicht (Dichte ρ) :<br />
Konstante Temperaturbelastung :<br />
w p = w m = ρ Fl gsR2<br />
Eh<br />
w p = w m = R E νρgs<br />
w p = w m = Rαt m
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Zylinderschalen<br />
Schnittgröÿen und Spannungen:<br />
Längskraft n s :<br />
Längskraft n ϕ :<br />
Biegemoment m s :<br />
Biegemoment m ϕ :<br />
Querkraft q s :<br />
Spannung σ s :<br />
n s = n sm = − νR<br />
Eh n 0<br />
n ϕ = Eh[ w − αtm] + νns<br />
R<br />
m s = −K[w ,ss + (1 + ν) α h ∆t]<br />
m ϕ = −K[νw ,ss + (1 + ν) α h ∆t]<br />
q s = −K[νw ,sss + (1+ν) (α∆t)<br />
h<br />
,s]<br />
σ s = ns<br />
h<br />
+ 12ms<br />
h 3 γ<br />
Spannung σ ϕ : σ ϕ = nϕ h + 12mϕ<br />
h 3 γ<br />
Spannung τ sγ :<br />
τ sγ = 3qs<br />
2h [1 − ( 2γ h )2 ]
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Zylinderschalen<br />
Lange/Kurze Zylinderschale:<br />
Die homogene Lösung der Kreiszylinderschale stellt die Summe zweier<br />
gedämpfter Schwingungen dar.<br />
Der eine Anteil der homogenen Lösung klingt vom Rand s = 0 und der<br />
andere Anteil vom Rand s = l bzw. ¯s = 0 (mit ¯s = l − s ab.<br />
Durch eine Koordinatentransformation entsteht aus :<br />
w = w p + e −λs (C 1 sin λs + C 2 cos λs) + e +λs (C 3 sin λs + C 4 cos λs)<br />
w = w p + e −λs (C 1 sin λs + C 2 cos λs) + e −λ¯s ( ¯C3 sin λ¯s + ¯C4 cos λ¯s)<br />
Eine Zylinderschale wird als lang bezeichnet, wenn gilt:<br />
l zyl > 2.5 √ Rh<br />
Ist die Bedingung erfüllt, so gilt für:<br />
s = 0 : der Anteil e −λ¯s ( ¯C3 sin λ¯s + ¯C4 cos λ¯s) wird vernachlässigt.<br />
¯s = 0 : der Anteil e −λs (C 1 sin λs + C 2 cos λs) wird vernachlässigt.
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Kugelschalen<br />
Für Kugelschalen gilt immer:<br />
r 1 = r 2 = R; r = R sin ϑ; ds = Rdϑ<br />
Die Aufösung der der beiden gekoppelten Dierentialgleichungen:<br />
L(χ s) − ν χs − Vs<br />
Vs<br />
= Iχ und L(Vs) − ν<br />
r1 K + r1<br />
Ehχs = I V<br />
nach V s ergibt :<br />
LL(V s) + 12(1−ν2 )<br />
h 2 V s − ν2<br />
R 2 V s = −EhI χ + L(I V ) + ν r1 I V<br />
Annahme : Für dünne Schalen wird vorausgesetzt R ≫ h<br />
⇒ Vernachlässigung des dritten Gliedes gegenüber dem Zweiten.<br />
Für die homogene Lösung der obigen Dierentialgleichung deniert man :<br />
λ 4 = 3(1−ν2 )<br />
h 2 R 2
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Kugelschalen<br />
Daraus folgt für die homogene Dierentialgleichung:<br />
LL(V s) + 4R 2 λ 4 V s = 0<br />
Analog gilt mit χ s :<br />
LL(χ s) + 4R 2 λ 4 χ s = 0<br />
Weiterhin soll der Ansatz L(V s) = nV s die homogene Dierentialgleichung<br />
für V s erfüllen<br />
Mit LL(V s) = L(nV s) = nL(V s) = n 2 V s folgt aus der Dierentialgleichung:<br />
n 2 V s + 4R 2 λ 4 V s = 0 ⇒ V s(n 2 + 4R 2 λ 4 ) = 0<br />
Die Lösung der charakteristischen Gleichung lautet:<br />
n = ±i2Rλ 2<br />
Somit entstehen zwei homogene Dierentialgleichungen 2. Ordnung der<br />
Form:<br />
L(V s) ± i2Rλ 2 V s = 0
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Kugelschalen<br />
Umformen des Meissnerschen Operators für Kugelschalen:<br />
L(...) = 1<br />
sin ϑ [r(...),s],s − cot2 ϑ<br />
(...)<br />
L(...) =<br />
R<br />
R 2 sin ϑ [sin ϑ(...) ,ϑ] ,ϑ − cot2 ϑ<br />
R (...)<br />
L(...) = 1<br />
R sin ϑ [cos ϑ(...) ,ϑ + sin ϑ(...) ,ϑϑ ] − cot2 ϑ<br />
R (...)<br />
L(...) = 1 R [(...) ,ϑϑ + cot ϑ(...) ,ϑ − cot 2 ϑ(...) ]<br />
Diesen Operator in die zwei homogenen Dierentialgleichungen für V s<br />
engesetzt, ergibt:<br />
V s,ϑϑ + cot ϑV s,ϑ − (cot 2 ϑ ± i2R 2 λ 2 )V s = 0<br />
r2<br />
Diese beiden entstandenen Dierentialgleichungen sind hypergeometrische<br />
Dierentialgleichungen mit komplexen und veränderlichen Koezienten
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Kugelschalen<br />
Die allgemeine Lösung der Dierentialgleichungen führt auf schlecht<br />
konvergierende Reihen<br />
Deshalb werden im Folgenden für verschiedene Kugelschalenbereiche<br />
(Winkelbereiche für ϑ) geeignete Näherungslösungen entwickelt:<br />
Näherungslösung nach Geckeler<br />
Gültigkeitsbereich: Näherungslösung für ϑ ≈ π/2 (exakt für ϑ = π/2)<br />
Richtwert für den Winkelbereich: 70 ◦ ≤ ϑ ≤ 110 ◦<br />
Annahme: Für ϑ ≈ π/2 gilt cot ϑ ≈ 0<br />
Somit vereinfacht sich der Meissnersche Operator<br />
L(...) = 1 R [(...) ,ϑϑ + cot ϑ(...) ,ϑ − cot 2 ϑ(...) = 1 R (...) ,ϑϑ<br />
und damit auch die beiden Dierentialgleichungen :<br />
L(V s) ± i2Rλ 2 V s = 0 ⇒ V s ,ϑϑ ± i2Rλ 2 V s = 0
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Kugelschalen<br />
Diese beiden Dierentialgleichungen sind gleichwertig mit der<br />
Dierentialgleichung 4. Ordnung<br />
V s,ϑϑϑϑ + 4R 2 λ 4 V s = 0<br />
Mathematisch identisch ist die obige homogene Dierentialgleichung mit<br />
der für die Zylinderschale.<br />
Daraus ergibt sich die Näherungslösung nach Geckeler für V s zu:<br />
V s = e −λRϑ (C 1 sin λRϑ + C 2 cos λRϑ) + e λRϑ (C 3 sin λRϑ + C 4 cos λRϑ)<br />
bzw.<br />
V s = Ce −λRϑ cos(λRϑ + γ) + De λRϑ cos(λRϑ + δ)<br />
Es ist zu erkennen, dass die Lösung aus einem abklingenden und einem<br />
anschwellenden Lösungsanteil besteht<br />
Eine analoge Lösung kann für χ sb aufgeschrieben werden.
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Kugelschalen<br />
Einfacher lässt sich die Winkeländerung χ sb aus der homogenisierten<br />
Gleichung in Abhängigkeit <strong>von</strong> V s bestimmen.<br />
χ sb = − 1<br />
Eh [L(Vs) + ν R Vs]<br />
In der Regel kann das zweite Glied gegenüber dem ersten Glied bei dünnen<br />
Schalen vernachlässigt werden und es folgt dann mit cotϑ ≈ 0 im<br />
Meissnerschen Operator:<br />
χ sb = − 1<br />
EhR V s,ϑϑ<br />
Mit den obigen Gleichungen lassen sich nun alle Schnittgröÿen und<br />
Verformungen des Biegespannungszustandes in Abhängigkeit <strong>von</strong> V s<br />
angeben:<br />
q s = Vs<br />
R ; n sb ≈ 0; n ϕb = 1 R V s,ϑ; χ sb = − 1<br />
EhR V s,ϑϑ<br />
∆r b ≈ w b = 1<br />
Eh V s,ϑ; κ sb = − 1<br />
EhR 2 V s,ϑϑϑ ; κ ϕb ≈ 0<br />
h 2<br />
m s = −<br />
12(1−ν 2 )R 2 [V s,ϑϑϑ + EhR 2 (1 + ν) α h ∆t]<br />
h 2<br />
m ϕ = −<br />
12(1−ν 2 )R 2 [νV s,ϑϑϑ + EhR 2 (1 + ν) α h ∆t]
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Anmerkung<br />
Da die Lösung aus einem abklingenden und einem anschwellenden Anteil<br />
besteht, können analoge Betrachtungen über den Verlauf und das Verhalten<br />
der Lösungsanteile wie bei der Zylinderschale gemacht werden.<br />
Bei einer dünnen Kugelschale klingen Randstörungen relativ schnell <strong>von</strong> den<br />
Rändern ab.<br />
Um den Lösungsverlauf zu verdeutlichen kann man eine<br />
Koordinatentransformation durchführen.<br />
V s = e −λRϑ 1( ¯C1 sin λRϑ 1 + ¯C2 cos λRϑ 1 )+<br />
+e −λRϑ 2( ¯C3 sin λRϑ 2 + ¯C4 cos λRϑ 2 )<br />
V s = ¯Ce −λRϑ 1 cos(λRϑ1 + ¯γ)+<br />
+ ¯De −λRϑ 2 cos(λRϑ2 + ¯δ)
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Anmerkung<br />
Ist R(ϑ E − ϑ A ) ≥ 2.5 √ Rh beeinussen sich die Ränder nicht wesentlich.<br />
Für ϑ = ϑ A gilt : e −λRϑ 2( ¯C3 sin λRϑ 2 + ¯C4 cos λRϑ 2 ) = 0<br />
Für ϑ = ϑ E gilt : e −λRϑ 1( ¯C1 sin λRϑ 1 + ¯C2 cos λRϑ 1 ) = 0<br />
Kugelschalen<br />
Näherungslösung nach Blumenthal<br />
Gültigkeitdbereich: Näherungslösung für ϑ ≠ 0 und ϑ ≠ π<br />
Richtwert für den Winkelbereich: 20 ◦ ≤ ϑ ≤ 160 ◦<br />
Schlieÿt Näherung nach Geckeler mit ein und ist im allgemeinen<br />
genauer als Geckeler und für ϑ = π/2 mit Geckeler identisch.
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
<strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Numerische</strong><br />
<strong>Berechnung</strong><br />
<strong>von</strong> <strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
Dr.-Ing. H.<br />
Köppe<br />
9. <strong>Vorlesung</strong><br />
Folie 1 - NM<br />
LB<br />
Folie 2 - NM<br />
LB<br />
Folie 3 - NM<br />
LB<br />
Folie 4 - NM<br />
LB<br />
Folie 5 - NM<br />
LB<br />
Folie 6 - NM<br />
LB<br />
Folie 7 - NM<br />
LB<br />
Folie 8 - NM<br />
LB<br />
Folie 9 - NM<br />
LB<br />
Folie 10 - NM<br />
LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Kugelschalen<br />
Ausgehend <strong>von</strong> der Dierentialgleichung:<br />
V s,ϑϑ + cot ϑV s,ϑ − (cot 2 ϑ ± i2R 2 λ 2 )V s = 0<br />
wird folgende Substitution ausgeführt:<br />
V s = V ∗ s (ϑ) √<br />
sin ϑ<br />
Setzt man diese Substitution in die obige Dierentialgleichung ein erhält<br />
man die Gleichung:<br />
V ∗ s,ϑϑ + [ 1<br />
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]V ∗ s ± i2Rλ2 V ∗ s = 0<br />
Als Lösungsansatz wählt man:<br />
V ∗ s<br />
= eαϑ Vs<br />
∗∗ (ϑ)<br />
Nach Einsetzen des Ansatzes in die Dierentialgleichung erhält man: :<br />
Vs,ϑϑ ∗∗ + 2αV ∗∗<br />
s,ϑ + [ 1<br />
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ + α 2 ± i2R 2 λ 2 ]Vs ∗∗ = 0
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
<strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Numerische</strong><br />
<strong>Berechnung</strong><br />
<strong>von</strong> <strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
Dr.-Ing. H.<br />
Köppe<br />
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LB<br />
Folie 10 - NM<br />
LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Kugelschalen<br />
Das α des Lösungsansatzes bestimmen wir so, das der folgende Ausdruck<br />
der obigen Dierentialgleichung Null wird:<br />
α 2 ± 2iR 2 λ 2 = 0<br />
α = ± √ ±2iRλ = ±(1 ± i)Rλ<br />
Setzt man den Wert für α in die Dierentialgleichung ein entsteht:<br />
Vs,ϑϑ ∗∗ + 2αV ∗∗<br />
s,ϑ + [ 1<br />
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]Vs ∗∗ = 0<br />
Zur Lösung der obigen Dierentialgleichung wählt man einen Ansatz in<br />
Form einer asymptotischen Reihe:<br />
Vs ∗∗ ∑<br />
= k f n(ϑ)α −n<br />
n=0<br />
Setzt man den Lösungsanstz in die Dierentialgleichung ein, erhält man die<br />
Gleichung:<br />
k∑<br />
{f n,ϑϑ α −n + +2f n,ϑ α (−n+1) 1<br />
+ [<br />
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f nα −n } = 0<br />
n=0
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
<strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Numerische</strong><br />
<strong>Berechnung</strong><br />
<strong>von</strong> <strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
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Folie 12 - NM<br />
Kugelschalen<br />
Nach Umsortieren der Gleichung nach Potenzen <strong>von</strong> α erhält man:<br />
k∑<br />
1<br />
{f n−1,ϑϑ + 2f n,ϑ + [<br />
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f n−1 }α (−n+1) = 0<br />
n=0<br />
Die gesamte Reihe wird Null, wenn für jede Potenz <strong>von</strong> α der<br />
entsprechende Koezient verschwindet, also allgemein gilt:<br />
1<br />
f n−1,ϑϑ + 2f n,ϑ + [<br />
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f n−1 = 0 für n = 1, 2, 3...<br />
Speziell gilt:<br />
n = 0; f −1,ϑϑ + 2f 0,ϑ + [<br />
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f −1 = 0<br />
Annahme: f −1 = 0 ⇒ 2f 0,ϑ = 0 ⇒ f 0 = C<br />
1<br />
1<br />
n = 1; f 0,ϑϑ +2f 1,ϑ +[<br />
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f 0 = 0 ⇒ f 1 = −C<br />
1<br />
n = 2; f 1,ϑϑ + 2f 2,ϑ + [<br />
2 sin 2 ϑ − 5 4 cot2 ϑ]f 1 = 0 ⇒ f 2 = ...<br />
Es ist zu erkennen, dass f n zyklisch aus f n−1 berechenbar ist.<br />
5ϑ+3 cot ϑ<br />
8
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
<strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Numerische</strong><br />
<strong>Berechnung</strong><br />
<strong>von</strong> <strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
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LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Kugelschalen<br />
Als Lösung der Ausgangsdierentialgleichung<br />
V s,ϑϑ + cot ϑV s,ϑ − (cot 2 ϑ ± i2R 2 λ 2 )V s = 0<br />
gilt somit allgemein:<br />
V s = V ∗ s (ϑ) √<br />
sin ϑ<br />
= 1 √<br />
sin ϑ<br />
e αϑ V ∗∗<br />
s = 1 √<br />
sin ϑ<br />
e αϑ<br />
mit α = ±(1 ± i)Rλ<br />
k ∑<br />
n=0<br />
f n(ϑ)α −n<br />
Für praktische Anwendungen kann die Reihenentwicklung nach dem 1.<br />
Reihenglied abgebrochen werden, da die Faktoren α −n für n > 1 genügend<br />
klein werden.<br />
Nach Umformung der komplexen Lösung folgt für V s:<br />
V s = 1 √<br />
sin ϑ<br />
e −λRϑ (C 1 sin λRϑ + C 2 cos λRϑ)+<br />
+ 1 √<br />
sin ϑ<br />
e λRϑ (C 3 sin λRϑ + C 4 cos λRϑ)
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
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Kugelschalen<br />
bzw. die Lösung für V s :<br />
V s =<br />
√ C e −λRϑ cos(λRϑ + γ) + √ D e λRϑ cos(λRϑ + δ)<br />
sin ϑ sin ϑ<br />
9. <strong>Vorlesung</strong><br />
Folie 1 - NM<br />
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Folie 2 - NM<br />
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LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Anmerkung<br />
Diese Lösung nach Blumenthal versagt wegen der Funktion 1/ √ sin ϑ für<br />
ϑ = 0 und ϑ = π.<br />
Für ϑ = π/2ist die Näherungslösung nach Blumenthal mit der Näherung<br />
nach Geckeler identisch und für den restlichen Winkelbereich genauer als<br />
Geckeler.<br />
Für Winkel in der näheren Umgebung <strong>von</strong> ϑ = 0 und ϑ = π konvergiert die<br />
Reihenentwicklung schlecht und damit wird auch die Näherungslösung dort<br />
ungenau.<br />
Für den Winkelbereich in der näheren Umgebung <strong>von</strong> ϑ = 0 und ϑ = π<br />
muss eine spezielle Lösung ermittelt werden.
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
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<strong>Numerische</strong><br />
<strong>Berechnung</strong><br />
<strong>von</strong> <strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
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Folie 5 - NM<br />
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LB<br />
Folie 10 - NM<br />
LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Anmerkung<br />
Es ist zu erkennen, dass die Lösung aus einem abklingenden und einem<br />
anschwellenden Lösungsanteil besteht<br />
Eine analoge Lösung kann für χ sb aufgeschrieben werden.<br />
Einfacher lässt sich die Winkeländerung χ sb aus der homogenisierten<br />
Gleichung in Abhängigkeit <strong>von</strong> V s bestimmen.<br />
Kugelschalen<br />
χ sb = − 1<br />
Eh [L(Vs) + ν R Vs] ≈ − 1<br />
Eh L(Vs)<br />
Für die Winkeländerung χ sb folgt :<br />
χ sb =<br />
2λ2 R<br />
Eh √ sin ϑ e−λRϑ (C 1 sin λRϑ − C 2 cos λRϑ)+<br />
+ 2λ2 R<br />
Eh √ sin ϑ eλRϑ (−C 3 sin λRϑ + C 4 cos λRϑ)
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
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<strong>Numerische</strong><br />
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Folie 6 - NM<br />
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Folie 7 - NM<br />
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Folie 8 - NM<br />
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Folie 9 - NM<br />
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Folie 10 - NM<br />
LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Kugelschalen<br />
bzw.<br />
V s = − 2λ2 RC<br />
Eh √ sin ϑ e−λRϑ cos(λRϑ + γ) +<br />
2λ2 RD<br />
Eh √ sin ϑ eλRϑ cos(λRϑ + δ)<br />
Mit den obigen Gleichungen kann man die Schnittgröÿen und Verformungen<br />
des Biegespannungszustand in Abhängigkeit <strong>von</strong> V s und χ sb angeben:<br />
q s = Vs<br />
R ; n sb = q s cot ϑ; n ϕb = 1 R V s,ϑ; χ sb = − 1<br />
Eh L(Vs)<br />
∆r b = 1<br />
Eh (V s,ϑ sin ϑ − νV s cos ϑ); κ sb = 1 R χ sb,ϑ; κ ϕb = 1 R χ sb cot ϑ<br />
Eh3<br />
m s = −<br />
12(1−ν 2 [χ )R sb,ϑ + νχ sb cot ϑ − R(1 + ν) α h ∆t]<br />
Eh3<br />
m ϕ = −<br />
12(1−ν 2 [χ )R sb cot ϑ + νχ sb,ϑ − R(1 + ν) α h ∆t]
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
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<strong>Numerische</strong><br />
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<strong>von</strong> <strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
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Folie 6 - NM<br />
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Folie 7 - NM<br />
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Folie 8 - NM<br />
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Folie 9 - NM<br />
LB<br />
Folie 10 - NM<br />
LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Anmerkung<br />
Da die Lösung aus einem abklingenden und einem anschwellenden Anteil<br />
besteht, können analoge Betrachtungen über den Verlauf und das Verhalten<br />
der Lösungsanteile wie bei der Zylinderschale gemacht werden.<br />
Bei einer dünnen Kugelschale klingen Randstörungen relativ schnell <strong>von</strong> den<br />
Rändern ab.<br />
Um den Lösungsverlauf zu verdeutlichen kann man eine<br />
Koordinatentransformation durchführen.<br />
V s = 1 √<br />
sin ϑ<br />
e −λRϑ 1( ¯C1 sin λRϑ 1 + ¯C2 cos λRϑ 1 )+<br />
V s =<br />
+ 1 √<br />
sin ϑ<br />
e −λRϑ 2( ¯C3 sin λRϑ 2 + ¯C4 cos λRϑ 2 )<br />
¯C √<br />
sin ϑ<br />
e −λRϑ 1 cos(λRϑ 1 + ¯γ)+<br />
+ ¯D √<br />
sin ϑ<br />
e −λRϑ 2 cos(λRϑ 2 + ¯δ)
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
<strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Numerische</strong><br />
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Folie 9 - NM<br />
LB<br />
Folie 10 - NM<br />
LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Anmerkung<br />
Ist R(ϑ E − ϑ A ) ≥ 2.5 √ Rh beeinussen sich die Ränder nicht wesentlich.<br />
Für ϑ = ϑ A gilt :<br />
Für ϑ = ϑ E gilt :<br />
Kugelschalen<br />
Näherungslösung für die ache Kugelschale<br />
1<br />
√<br />
sin ϑ<br />
e −λRϑ 2( ¯C3 sin λRϑ 2 + ¯C4 cos λRϑ 2 ) = 0<br />
1<br />
√<br />
sin ϑ<br />
e −λRϑ 1( ¯C1 sin λRϑ 1 + ¯C2 cos λRϑ 1 ) = 0<br />
Gültigkeitsbereich: Näherungslösung für ϑ ≈ 0 und ϑ ≈ π<br />
Richtwert für den Winkelbereich: ϑ ≤ 20 ◦ und ϑ ≥ 160 ◦<br />
Ausgangspunkt bilden wieder die Dierentialgleichungen :<br />
V s,ϑϑ + cot ϑV s,ϑ − (cot 2 ϑ ± i2R 2 λ 2 )V s = 0
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
<strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Numerische</strong><br />
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Folie 8 - NM<br />
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LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Kugelschalen<br />
Für Winkel 0 ◦ ≤ ϑ ≤ 20 ◦ und 160 ◦ ≤ ϑ ≤ 180 ◦ kann man die<br />
Näherung :<br />
annehmen.<br />
cot ϑ ≈ 1/ϑ<br />
Damit folgt aus den Dierentialgleichungen<br />
bzw<br />
V s,ϑϑ + 1 ϑ V s,ϑ − ( 1<br />
ϑ 2 ± i2R 2 λ 2 )V s = 0<br />
ϑ 2 V s,ϑϑ + ϑV s,ϑ − (1 ± i2R 2 λ 2 ϑ 2 )V s = 0<br />
Die obige Gleichung ist eine Dierentialgleichung vom Besselschen Typ der<br />
Form:<br />
x 2 d2 y<br />
dx 2 + ax dy<br />
dx + (bx m + c)y = 0
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
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<strong>Numerische</strong><br />
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LB<br />
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LB<br />
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LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Kugelschalen<br />
Die allgemeine Lösung der Besselschen Dierentialgleichung lautet:<br />
y = x 1−a<br />
2 Z ν( 2 m<br />
√<br />
bx<br />
m<br />
2 ) mit ν =<br />
1<br />
m<br />
√<br />
(1 − a)2 − 4c<br />
Die Funktion Z ν ist die Besselfunktion mit dem Index ν <br />
Für die Dierentialgleichung der achen Kugelschale gilt:<br />
x ≡ ϑ; b = ±i2R 2 λ 2 ; y ≡ V s; m = 2; a = 1; c = −1<br />
daraus folgt<br />
ν = 1;<br />
Z ν = Z 1 ( √ ±i √ 2Rλϑ) ⇒ V s = Z 1 ( √ ±i √ 2Rλϑ)<br />
Die Lösung der Dierentialgleichngen für die ache Kugelschale lässt sich<br />
mit den Abkürzungen<br />
α = √ 2Rλϑ;<br />
wie folgt aufschreiben:<br />
(...) ′ = d(...)<br />
dα<br />
V s = C 1 f 1 (α) + C 2 f 2 (α) + C 3 f 3 (α) + C 4 f 4 (α)
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
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Folie 8 - NM<br />
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Folie 10 - NM<br />
LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Kugelschalen<br />
Die Funktionen f 1 , f 2 , f 3 und f 4 ergeben sich aus den Ableitungen der<br />
Kelvin-Funktionen :<br />
f 1 (α) = ber ′ (α); f 2 (α) = bei ′ (α); f 3 (α) = ker ′ (α); f 4 (α) = kei ′ (α)<br />
Für die Winkeländerung χ sb lautet dann die Lösung:<br />
Anmerkung<br />
χ sb = 2λ2 R<br />
Eh<br />
[C 1f 2 (α) − C 2 f 1 (α) + C 3 f 4 (α) − C 4 f 3 (α)]<br />
Die Funktionen ber(α), bei(α) und damit auch f 1 , f 2 sind anschwellende<br />
Funktionen<br />
Die Funktionen ker(α), kei(α) und damit auch f 3 , f 4 sind abklingende<br />
Funktionen
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
<strong>Vorlesung</strong><br />
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Anmerkung<br />
Wenn die Bedingung:<br />
R(ϑ E − ϑ A ) ≥ 2.5 √ Rh<br />
erfüllt ist, kann man für<br />
ϑ = ϑ A die Konstanten C 1 = C 2 = 0<br />
und für<br />
ϑ = ϑ E die Konstanten C 3 = C 4 = 0<br />
setzen.
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
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LB<br />
Folie 7 - NM<br />
LB<br />
Folie 8 - NM<br />
LB<br />
Folie 9 - NM<br />
LB<br />
Folie 10 - NM<br />
LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Kegelschalen<br />
Mit der Abkürzung:<br />
LL(V s) + k 4 V s = 0<br />
k = 4 √<br />
12(1−ν 2 )<br />
h 2<br />
Für die Kegelschale gilt:<br />
ϑ = ϑ 0 = konstant;<br />
r 1 = ∞<br />
r 2 = s cot ϑ 0 ; r = s cos ϑ 0<br />
Die Ausgangsgleichung zum Aufstellen<br />
der Dierentialgleichung der Kegschale:<br />
LL(V s) + Eh<br />
K<br />
ν2<br />
Vs −<br />
r1<br />
2 V s = 0<br />
LL(V s) + 12(1−ν2 )<br />
h 2 V s = 0<br />
erhält man:<br />
Diese Dierentialgleichung entspricht vom prinzipiellen Aufbau der<br />
Dierentialgleichung der Kugelschale
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
<strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Numerische</strong><br />
<strong>Berechnung</strong><br />
<strong>von</strong> <strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
Dr.-Ing. H.<br />
Köppe<br />
9. <strong>Vorlesung</strong><br />
Folie 1 - NM<br />
LB<br />
Folie 2 - NM<br />
LB<br />
Folie 3 - NM<br />
LB<br />
Folie 4 - NM<br />
LB<br />
Folie 5 - NM<br />
LB<br />
Folie 6 - NM<br />
LB<br />
Folie 7 - NM<br />
LB<br />
Folie 8 - NM<br />
LB<br />
Folie 9 - NM<br />
LB<br />
Folie 10 - NM<br />
LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Kegelschalen<br />
Diese Dierentialgleichung kann, wie bei der Kugelschale, in zwei<br />
Dierentialgleichungen 2. Ordnung umgeformt werden<br />
L(V s) ± ik 2 V s = 0<br />
Der Meissnersche Operator<br />
L(...) = 1<br />
sin ϑ [r(...),s],s − cot2 ϑ<br />
(...)<br />
vereinfacht sich mit den geometrischen Annahmen für die Kegelschale zu<br />
L(...) = cot ϑ 0 [(...) ,s + s(...) ,ss − (...)<br />
s<br />
]<br />
r2<br />
Damit erhält man für die beiden Dierentialgleichungen für die Kegelschale<br />
V s,ss + 1 s Vs,s − ( 1<br />
s 2 ±<br />
ik2 )V<br />
s cot ϑ s = 0<br />
0<br />
s 2 V s,ss + sV s,s − (1 ±<br />
ik2<br />
cot ϑ 0<br />
s)V s = 0
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
<strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Numerische</strong><br />
<strong>Berechnung</strong><br />
<strong>von</strong> <strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
Dr.-Ing. H.<br />
Köppe<br />
9. <strong>Vorlesung</strong><br />
Folie 1 - NM<br />
LB<br />
Folie 2 - NM<br />
LB<br />
Folie 3 - NM<br />
LB<br />
Folie 4 - NM<br />
LB<br />
Folie 5 - NM<br />
LB<br />
Folie 6 - NM<br />
LB<br />
Folie 7 - NM<br />
LB<br />
Folie 8 - NM<br />
LB<br />
Folie 9 - NM<br />
LB<br />
Folie 10 - NM<br />
LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Kegelschalen<br />
Diese Dierentialgleichung ist, wie für die ache Kugelschale, ein<br />
Besselsche Dierentialgleichung:<br />
Die Lösung der Dierentialgleichung für V s lautet:<br />
V s(α) = C 1 f 1 (α) + C 2 f 2 (α) + C 3 f 3 (α) + C 4 f 4 (α)<br />
√<br />
α = 2k s<br />
= 2 √ √<br />
s 4 12(1−ν 2 )<br />
cot ϑ 0 h 2 cot 2 ϑ 0<br />
f 1 (α) = 2 α bei ′ (α) − ber(α);<br />
f 3 (α) = 2 α kei ′ (α) − ker(α);<br />
f 1 (α) = 2 α ber ′ (α) + bei(α);<br />
f 4 (α) = 2 α ker ′ (α) + kei(α);<br />
Die Konstanten C 1 , C 2 , C 3 und C 4 sind die Integrationskonstanten die für<br />
die Gesamtlösung aus den Randbedingungen bestimmt werden müssen.<br />
In Abhängigkeit <strong>von</strong> V s erhält man für die Schnittgröÿen und<br />
Verformungsgröÿen:<br />
q s = Vs<br />
r2 = Vs<br />
s cot ϑ 0<br />
n sb = q s cot ϑ 0 = Vs<br />
s ;<br />
χ sb = − 1<br />
Eh L(Vs) = − cot ϑ 0<br />
Vs<br />
[Vs,s + sVs,ss −<br />
Eh<br />
n ϕb = (q sr 2 ) s = V s,s<br />
s ]
Biegetheorie für rotationssymmetrisch belastete<br />
Rotationsschalen<br />
<strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Numerische</strong><br />
<strong>Berechnung</strong><br />
<strong>von</strong> <strong>Leichtbaustrukturen</strong><br />
Dr.-Ing. H.<br />
Köppe<br />
9. <strong>Vorlesung</strong><br />
Folie 1 - NM<br />
LB<br />
Folie 2 - NM<br />
LB<br />
Folie 3 - NM<br />
LB<br />
Folie 4 - NM<br />
LB<br />
Folie 5 - NM<br />
LB<br />
Folie 6 - NM<br />
LB<br />
Folie 7 - NM<br />
LB<br />
Folie 8 - NM<br />
LB<br />
Folie 9 - NM<br />
LB<br />
Folie 10 - NM<br />
LB<br />
Folie 11 - NM<br />
LB<br />
Folie 12 - NM<br />
Kegelschalen<br />
In Abhängigkeit <strong>von</strong> V s erhält man für die Schnittgröÿen und<br />
Verformungsgröÿen:<br />
∆r b = 1<br />
Eh (n ϕb − n sb ) = cos ϑ 0<br />
(sVs,s − νVs)<br />
Eh<br />
κ sb = χ sb,s = − cot ϑ 0<br />
Eh<br />
[Vs,s + sVs,ss −<br />
Vs<br />
s ],s<br />
κ ϕb = 1 r χ sb cot ϑ 0 = χ sb<br />
= − cot ϑ 0<br />
s Eh<br />
[ 1 Vs<br />
Vs,s + Vs,ss −<br />
s s 2 ]<br />
m s = K[κ sb + νκ ϕb ] − (1 + ν) α h ∆t]<br />
m ϕ = K[κ ϕb + νκ sb ] − (1 + ν) α h ∆t]