Vorlesung Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen - 2 ...

Vorlesung 

Numerische 

Berechnung 

von Leichtbaustrukturen 

Dr.-Ing. H. 

Köppe 

2. Vorlesung 

Folie 1 - 

Flächentragwerke 

Folie 2 - 


Folie 3 - 

Elastische 

Platten 

Folie 4 - 

Klassische 

Plattentheorie 

Folie 5 - 

Klassische 


Folie 6 - 

Klassische 


Folie 7 - 

Klassische 


Vorlesung Numerische Berechnung von 

Leichtbaustrukturen 


Dr.-Ing. H. Köppe 

Institut für Mechanik 

9. November 2012






Dr.-Ing. H. 

Köppe 


Folie 1 - 


Folie 2 - 


Folie 3 - 

Elastische 

Platten 

Folie 4 - 

Klassische 


Folie 5 - 

Klassische 


Folie 6 - 

Klassische 


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Klassische 


Definition 

Dies ist eine Sammelbezeichnung für Tragwerke deren 

Konstruktionselemente Flächen sind. Eine geometrische 

Ausdehnung einer Vorzugsrichtung ist klein gegenüber den 

beiden anderen Richtungen. Es wird unterschieden in ebene und 

gekrümmte Flächentragwerke bzw. in Faltwerke und Schalen. 

Scheiben






Platten 

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Folie 1 - 


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Folie 3 - 

Elastische 

Platten 

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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


Schalen

Elastische Platten 





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Definition 

Eine Platte ist ein ebenes Flächentragwerk, bei dem die zunächst 

ebene Mittelfläche durch eine Belastung senkrecht zu ihr 

bzw. durch Biegemomente eine Krümmung erfährt. 


Folie 1 - 


Folie 2 - 


Folie 3 - 

Elastische 

Platten 

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Klassische 


Folie 5 - 

Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


Rechteckplatte 

Kreisplatte

Klassische oder Kirchhoffsche Plattentheorie 





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Elastische 

Platten 

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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


Annahmen 

Belastungen 

- p(x, y), q(x, y), F – Senkrecht (normal) zur Plattenmittelfläche 

- M x , M y – Biegemomentenbelastungen 

- T (x, y, z) – Temperaturbelastungen (Die Temperaturbelastung 

muss eine lineare Funktion in z sein (linear über 

die Plattendicke h )) 

Plattendicke 

- Die Plattendicke h






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Elastische 

Platten 

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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


Annahmen 

Bernoulli Hypothese 

- Punkte auf einer Normalen zur unverformten Mittelfläche 

liegen auch nach der Verformung auf einer Normalen zur 

verformten Mittelfläche - Querschnitte bleiben eben 

Materialverhalten 

- Linearelastisches, homogenes, isotropes Material 

(Hookesche Gesetz) 

Die Materialkonstanten (E, G, ν, α) sind unabhängig von 

den Koordinaten 

Spannungszustand 

- Für die Kirchhoffsche Platte ergibt sich ein ebener 

Spannungszustand mit den Spannungen σ x , σ y , τ xy






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Platten 

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Anmerkung 

Verzerrungen und Dehnungen in der Plattenmittelfläche infolge von 

w(x, y) werden vernachlässigt 

Gleichgewichtbedingungen am unverformten differentiellen Element 

(Theorie 1. Ordnung). 

Die Annahmen γ xz = γ yz = 0 und ɛ z = 0 und der daraus folgende 

ebene Spannungszustand (σ z = 0 , τ xz = τ zx = 0, 

τ yz = τ zy = 0) in der Platte bedeutet nicht, dass diese Spannungen 

nicht auftreten. 

Die Voraussetzungen lassen lediglich die Berechnung dieser 

Spannungen nicht mehr aus dem Hookeschen Gesetz zu 

Sie müssen aus gesonderten Gleichgewichtsbedingungen ermittelt 

werden. 

Die Spannung σ z nimmt Werte zwischen der Belastung p(x, y) und 

Null.






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Elastische 

Platten 

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Klassische 


Anmerkung 

Werden bestimmte Voraussetzungen weggelassen, so erhalten wir 

eine verschärfte Plattentheorie: 

- Plattentheorie für große Verformungen 

- Plattentheorie für dicke Platten 

- Reißnersche Plattentheorie (Wegfall der Bernoullischen 

Hypothese)

Grundgleichungen in kartesischen Koordinaten 





Scheibenschnittgrößen 

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Differentielles Plattenelement 


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Platten 

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=⇒ 

+ 

Plattenschnittgrößen

Schnittgrößen 





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Platten 

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Definition 

Scheibenschnittgrößen 

F Rx = ∫ h 2 

− h σ x dydz =⇒ n x = F Rx 

dy =∫ h 2 

2 

− h σ x dz 

2 

F Ry = ∫ h 2 

− h σ y dxdz =⇒ n y = F Ry 

dx =∫ h 2 

2 

− h σ y dz 

2 

n xy = ∫ h 2 

− h τ xy dz 

2 

n yx = ∫ h 2 

− h τ yx dz 

2

Schnittgrößen 





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Elastische 

Platten 

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Definition 

Plattenschnittgrößen 

F Rx = ∫ h 2 

− h σ x dydz =⇒ m x = F Rx 

dy z=∫ h 2 

2 

− h σ x z dz 

2 

F Ry = ∫ h 2 

− h σ y dxdz =⇒ m y = F Ry 

dx z=∫ h 2 

2 

− h σ y z dz 

2 

m xy = ∫ h 2 

− h τ xy z dz m yx = ∫ h 2 

2 

− h τ yx z dz 

2 

q x = ∫ h 2 

− h τ xz dz q y = ∫ h 2 

2 

− h τ yz dz 

2

Gleichgewichtsbedingungen 





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Elastische 

Platten 

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≪ x M: 

−(q y +q y,y dy)dx dy 2 −qy dx dy +(my +my,y dy)dx 

2 

−m y dx+(m xy +m xy,x dx)dy−m xy dy=0 

m y,y +m xy,x −q y =0 

m x,x +m yx,y −q x =0 

q x,x +q y,y +p n(x,y)=0






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Elastische 

Platten 

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Klassische 


Anmerkungen 

Scheiben- und Plattengleichgewichtsbedingungen sind 

nicht miteinander gekoppelt 

⇒ Scheiben- und Plattenproblem sind für kleine 

Verformungen unabhängig voneinander. 

Plattenschnittgrößen treten nur dann auf, wenn die 

Belastung senkrecht zur Mittelfläche wirkt und 

Scheibenschnittgrößen sind nur vorhanden, wenn eine 

Belastung parallel zur Mittelfläche erfolgt. 

Trennung von Scheiben- und Plattenproblem ist nur 

möglich, weil das Flächentragwerk eben ist, die 

Gleichgewichtsbedingungen aufgrund kleiner Verformungen 

am unverformten System ( Theorie 1.Ordnung) ermittelt 

werden.






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Elastische 

Platten 

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Anmerkungen 

Diese Trennung tritt nicht auf bei großen Verformungen 

(Gleichgewicht am verformten System) und bei 

gekrümmten Flächentragwerken (Schalen). 

Bei Betrachtung des reinen Plattenproblems erkennt man 

an den Gleichungen für die Plattenschnittgrößen , dass in 

den 3 Gleichgewichtsbedingungen 5 unbekannte 

Schnittgrößen auftreten. 

⇒ das Plattenproblem ist innerlich statisch 

unbestimmt (2-fach). 

⇒ Verformungsbetrachtungen sind notwendig.

Verzerrungs - Verformungsbeziehungen 





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Elastische 

Platten 

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Annahmen 

Bernoullische Hypothese (Normalenhypothese) - 

Querschnitte bleiben bei der Verformung eben. 

Verformungen sind klein. 

Verzerrungen der Schalenmittelfläche können 

vernachlässigt werden. 

Keine Änderung der Plattendicke h während der 

Verformung ( ɛ(z) = 0). 

⇒ Somit ist die Plattenverformung w nur von den 

Koordinaten x und y der Plattenmittelfläche 

abhängig.

Verzerrungs - Verformungsbeziehungen 





Annahmen 

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Folie 1 - 


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Elastische 

Platten 

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Klassische 


v x (z)=−zw ,x 

v y (z)=−zw ,y 

ɛ x = dvx (dx+vx +vx,x dx−vx )−dx 

= dx dx 

ɛ x =v x,x =−zw ,xx 

ɛ y = dvy (dy+vy +vy,y dy−vy )−dy 

= dy dy 

ɛ y =v y,y =−zw ,yy 

γ xy =γ yx =v x,y +v y,x =−2zw ,xy

Stoffgesetz 





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Elastische 

Platten 

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Klassische 


Annahmen 

Das Stoffgesetz stellt einen Zusammenhang zwischen den 

Verzerrungen, Temperaturdehnungen und Spannungen her. 

Laut Voraussetzungen gilt das Hookesche Gesetz für den 

ebenen Spannungszustand. 

Auflösung nach den Dehnungen 

ɛ x = 1 [σx −νσy ]+αT 

E 

ɛ y = 1 [σy −νσx ]+αT 

E 

γ xy =γ yx = 2(1+ν) τ E xy = τxy 

G 

Auflösung nach den Spannungen 

σ x = 

E 

E 

1−ν2 [ɛx +νɛy ]− 1−ν αT 

σ y = 

E 

E 

1−ν2 [ɛy +νɛx ]− 1−ν αT 

τ xy =τ yx = E) γxy =Gγxy 

2(1+ν

Temperaturdehnugen 





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Platten 

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Annahmen 

Das Temperaturglied αT darf auf Grund der Voraussetzungen 

(Normalenhypothese, d. h. die Querschnitte 

bleiben eben) maximal eine lineare Funktion von z sein. 

Liegt ein davon abweichender Verlauf vor, so bleibt der 

Querschnitt nicht mehr eben, da ɛ x und ɛ y einen 

nichtlinearen Verlauf annehmen 

Beschreibung der linearen Temperaturverteilung über die Plattendicke h 

⇒ T (x, y, z) = n + mz 

T (x,y,z) = t m(x,y)+∆t(x,y) z h 

T (x,y,z) = t 1 +t 2 

2 +(t 2 −t 1 ) z h

Temperaturdehnugen 





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Platten 

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Anmerkung 

Die lineare Verteilung der Temperaturerhöhung über h ist in einen 

konstanten Anteil und einen linear verlaufenden Anteil aufgeteilt 

Der konstante Anteil t m(x, y) ruft nur Scheibenschnittgrößen (n x , n y , , nxy) 

hervor. 

Der lineare Temperaturanteil ∆t(x, y) z beansprucht somit allein die Platte 

h 

und geht deshalb in das Temperaturglied ein 

Auch im Temperaturmoment m T fällt der Anteil t m(x, y) automatisch 

heraus, wenn dort über T (x, y, z) = t m (x, y) + ∆t(x, y)∆ z h integriert 

wird. 

m T = Eh2 α∆t 

12(1−ν) 

Für dünne Platten können mit dieser Funktion T (x, y, z) fast alle 

praktischen Temperaturbelastungen behandelt werden. 

In vielen Fällen sind nur t 1 und t 2 bekannt. 

Über den Verlauf im Inneren der Platte sind oft keine Werte bekannt. 

Messungen schwierig oder unmöglich; Berechnung aufwendig und zum Teil 

nur näherungsweise möglich. In den Fällen bleibt nur die Annahme einer 

linearen Temperaturverteilung übrig.

Plattendifferentialgleichung 





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Elastische 

Platten 

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Ableitung einer Gleichung für die Plattenverschiebung w(x, y) durch 

Eliminierung aller Unbekannten aus den obigen Gleichungen. 

1 Ersetzen der Dehnungen im Hookeschen Gesetz 

z. B. 

σ x = E 

1−ν2 [ɛx +νɛy ]− 

1−ν E αT 

ɛ x = v x,x =−zw ,xx 

ɛ y = v y,y =−zw ,yy 

T (x,y,z) = ∆t(x,y) z h 

σ x = − Ez 

1−ν2 [w,xx +νw,yy ]− 

1−ν E α∆t z h 

σ y = − Ez 

1−ν2 [w,yy +νw,xx ]− 

1−ν E α∆t z h 

τ xy = τ yx =− 

1+ν Ez w,xy =−2Gw,xy






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Elastische 

Platten 

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Klassische 


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Klassische 


2 Berechnen der Schnittmomente 

z. B. 

m x = 

∫ h 2 

− h σ x z dz = ∫ h 2 

− 

2 

h (− Ez 

1−ν2 [w,xx +νw,yy ]− 

1−ν E α∆t z )z dz 

h 

2 

m x = − E 

1−ν 2 [w,xx +νw,yy ] ∫ h 2 

− h z 2 dz− Eα∆t ∫ h 2 

(1−ν)h 

− 

2 

h z 2 dz 

2 

m x = − Eh3 

12(1−ν 2 ) [w,xx +νw,yy ]− Eh2 α∆t 

12(1−ν) 

mit 

K = Eh 3 

12(1−ν 2 ) 

= −K[w ,xx +νw ,yy ]−m T 

Biegesteifigkeit der Platte [Nmm] 

m T = Eh 2 α∆t 

12(1−ν) 

Temperaturmoment der Platte [N] 

m T = K(1+ν) α h) (t 2−t 1 ) 

m y = − Eh3 

12(1−ν 2 ) [w,yy +νw,xx ]− Eh2 α∆t 

12(1−ν) 

m xy = m yx = −(1−ν)Kw ,xy 

= −K[w ,yy +νw ,xx ]−m T






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Elastische 

Platten 

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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


3 Ersetzen der Querkräfte 

Gleichgewichtsbedingungen : 

m y,y + m xy,x − q y = 0 

m x,x + m yx,y − q x = 0 

q x,x + q y,y + p n(x, y) = 0 

q y = +m y,y + m xy,x 

q x = +m x,x + m yx,y 

q y,y = +m y,yy + m xy,xy 

q x,x = +m x,xx + m yx,yx 

+m x,xx + m yx,yx + m y,yy + m xy,xy + p n(x, y) = 0 

+m x,xx + m y,yy + 2m xy,xy + p n(x, y) = 0






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Elastische 

Platten 

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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


3 Ersetzen der Querkräfte 

m y,yy = −K[w ,yyyy + νw ,xxyy ] − m T ,yy 

m x,xx = −K[w ,xxxx + νw ,yyxx ] − m T ,xx 

m xy,xy = −(1 − ν)Kw ,xxyy 

+m x,xx + m yx,yx + m y,yy + m xy,xy + p n(x, y) = 0 

− K[w ,xxxx + νw ,yyxx ] − m T ,xx − K[w ,yyyy + νw ,xxyy ] − m T ,yy − 

2((1 − ν)Kw ,xxyy ) + p n(x, y) = 0 

K(w ,xxxx + 2w ,xxyy + w ,yyyy ) = p n(x, y) − m T ,xx − m T ,yy






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Elastische 

Platten 

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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


4 Plattendifferentialgleichung in kartesischen Koordinaten 

Anmerkung 

Laplace (Delta)-Operator : ∆(...) = (...) ,xx + (...) ,yy 

Plattendifferentialgleichung : K∆∆w(x, y) = p n(x, y) − ∆m T (x, y) 

Die Plattendifferentialgleichung ist eine lineare, inhomogene, partielle 

Differentialgleichung 4. Ordnung (inhomogene Bipotentialgleichung). 

Die Lösungsfunktion , die die Differentialgleichung erfüllt enthält maximal 8 

Integrationskonstanten. 

Die Bestimmung der Integrationskonstanten erfolgt über die Auswertung 

der Randbedingungen des jeweiligen Problems. 

Ist die Lösung w(x, y) bekannt, so sind die Schnittgrößen und die 

Spannungen σ x , σ y und τ xy berechenbar.






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Elastische 

Platten 

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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


Randbedingungen 

Die Lösung der Plattendifferentialgleichung kann 8 Integrationskonstanten 

enthalten. Diese müssen so bestimmt werden, dass die Randbedingungen 

des jeweils vorliegenden Plattenproblems erfüllt werden. 

Mit drei Randschnittgrößen (Biegemoment, Drillmoment und Querkraft) an 

jedem Rand ist z. B. bei einer Rechteckplatte die vollständige Erfüllung der 

Randbedingungen für die Randschnittgrößen an allen vier Rändern im 

Allgemeinen nicht möglich (8 Integrationskonstanten ≠ 12 Schnittgrößen 

an den vier Rändern) . 

Ausnahmen: spez. Randbedingungen, vgl. z. B. eingespannten Rand und 

rotationssymmetrisch belastete und gelagerte Kreisplatte. 

Diese Tatsache hängt mit den getroffenen Vereinfachungen bzw. Annahmen 

(Vernachlässigung der Querkraftschubverzerrungen) zusammen. 

Die Lösung des Problems erfolgt über die Zusammenfassung zweier 

Schnittgrößen zu einer Ersatzschnittgröße (Drillmoment und Querkraft 

werden zu einer Ersatzquerkraft zusammengefasst). 

Anmerkung






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Folie 1 - 


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Elastische 

Platten 

Folie 4 - 

Klassische 


Folie 5 - 

Klassische 


Folie 6 - 

Klassische 


Folie 7 - 

Klassische 



Die Lösung der Plattendifferentialgleichung kann 8 Integrationskonstanten 

enthalten. Diese müssen so bestimmt werden, dass die Randbedingungen 

des jeweils vorliegenden Plattenproblems erfüllt werden. 

Mit drei Randschnittgrößen (Biegemoment, Drillmoment und Querkraft) an 

jedem Rand ist z. B. bei einer Rechteckplatte die vollständige Erfüllung der 

Randbedingungen für die Randschnittgrößen an allen vier Rändern im 

Allgemeinen nicht möglich (8 Integrationskonstanten ≠ 12 Schnittgrößen 

an den vier Rändern) . 



Diese Tatsache hängt mit den getroffenen Vereinfachungen bzw. Annahmen 

(Vernachlässigung der Querkraftschubverzerrungen) zusammen. 

Die Lösung des Problems erfolgt über die Zusammenfassung zweier 

Schnittgrößen zu einer Ersatzschnittgröße (Drillmoment und Querkraft 

werden zu einer Ersatzquerkraft zusammengefasst).







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⇒ 


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Elastische 

Platten 

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Klassische 


Folie 5 - 

Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


Ersatzquerkraft q x : 

q x = q x + m xy,y = −K[w ,xxx + (2 − ν)w, xyy] − m T ,x 

Ersatzquerkraft q x : 

q y = q y + m xy,x = −K[w ,yyy + (2 − ν)w, xxy] − m T ,y 



Diese Tatsache hängt mit den getroffenen Vereinfachungen bzw. Annahmen






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Folie 1 - 


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Platten 

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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


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Klassische 


Anmerkung 

Die geschlossene Integration der Plattendifferentialgleichung unter 

Berücksichtigung der Randbedingungen ist nur für Sonderfälle möglich. 

Die inhomogene Differentialgleichungen wird durch Überlagerung einer 

partikulären Lösung w p und einer homogenen Lösung w h gelöst. 

Die partikuläre Lösung w p ist eine spezielle Lösung der inhomogenen 

Differentialgleichung (Erfassung des Einflusses der kontinuierlichen 

Belastungen p n(x, y) und m T (x, y), muss aber keine Randbedingungen 

erfüllen). 

Die homogene Lösung w h ist eine Lösung der homogenen 

Differentialgleichung mit entsprechenden Integrationskonstanten. 

Die Integrationskonstanten müssen dann so bestimmt werden, dass die 

Gesamtlösung alle Randbedingungen erfüllt. 

Aufgrund der Gleichheit der homogenen Plattendifferentialgleichung 

(∆∆w = 0) und der Scheibengleichung (∆∆F = 0), lassen sich die 

Lösungen dieser Scheibengleichung als homogene Lösung des 

Plattenproblems verwenden.

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