Prof. Daniel Hägele, Ruhr-Universität Bochum WS 2010/11

Physik I für Studierende der Biochemie, Chemie und Geowissenschaften
(Prof. Daniel Hägele, Ruhr-Universität Bochum WS 2010/11)
Aufgabenblatt 08 (09.12.2010)
Abgabe: Bis Freitag 17. Dezember 11.00 Uhr in den Kästen vor dem Fahrstuhl NB3 Süd (Studierende der
Biochemie und Chemie, Gruppen Buss, Markman, Gorewoda, Tillack, Starosielec, Afzalsada, Alexeew und Rudolph)
Bitte Name, Matrikelnummer, Studienfach und Gruppenleiter angeben.
Aufgabe 8.1 Rollwagen
(4 Punkte)
Ein Rollwagen führt horizontale sinusförmige Schwingungen der Periodendauer T = 5 s aus (d. h. der Wagen fährt
vor und zurück). Eine Masse, die auf dem Wagen liegt, beginnt zu rutschen, wenn die Schwingungsamplitude
den Wert A = 0, 6 m erreicht. Berechne die Haftreibungszahl µ h zwischen Wagen und Masse. (Hinweis: Bevor
die Masse rutscht, muss die Haftreibung dafür sorgen, dass die Masse vom schwingenden Wagen mitbeschleunigt wird.)
Lösung:
Die Kraft muss größer als die Haftreibungskraft sein, also:
Es gilt daher:
mẍ max. ≥ µ h · mg
µ h = ẍmax.
g
(ẍ max. =Aω 2 )
=
Aω 2
g
(T = 2π ω )
= 4π2 A
T 2 g ≈ 0, 1
Aufgabe 8.2 Resonanz
(4 Punkte)
Unter Resonanzüberhöhung versteht man das Verhältnis der Resonanzamplitude x mR eines Oszillators zur Amplitude
ξ m bei ω=0. Ein Federschwinger mir der Eigenkreisfrequenz ω 0 wird durch äußere Erregung zu erzwungenen
Schwingungen veranlasst. Unterhalb welchen Wertes muss die Abklingkonstante δ liegen, wenn es Erregerfrequenzen
ω geben soll, für die
gilt.
Lösung:
x mR
ξ m
> 1
Für die Amplitude einer erzwungenen Schwingung ergibt sich:
x m (ω) =
F 0 /m
√
(ω
2
0 − ω 2 ) 2 + 4δ 2 ω 2
Im Resonanzfall (ω = ω R ) liegt das Maximum der Kurve x m vor. Es ergibt sich aus dem Minimum des Radikanden
in der Gleichung:
Damit ergibt sich:
d [
(ω
2
dω 0 − ω 2 ) 2 + 4δ 2 ω 2] = 2(ω0 2 − ω 2 )(−1)2ω + 4δ 2 2ω = 0
⇒ ω R =
√
ω 2 0 − 2δ2

2
x m (ω R )
ω0
2 = √
ξ m (ω
2
0 − ωR 2 )2 + 4δ 2 ωR
2
> 1
⇒ ω 4 0 > (ω 2 0 − ω 2 R) 2 + 4δ 2 ω 2 R
⇔ ω 4 0 > (ω 2 0 − ω 2 + 2δ 2 ) 2 + 4δ 2 (ω 2 0 − 2δ 2 )
⇔ 0 < ω 4 0 − 4ω 2 0δ 2 + 4δ 4
⇔ 0 < (ω 2 0 − 2δ 2 ) 2
⇔ δ < ω 0
√
2
Aufgabe 8.3 Last an Kran
(2;2;2;1 Punkte)
Eine Last hängt an einem Kran und führt gedämpfte Schwingungen aus. Nach 10 Schwingungen ist die Amplitude
x 10 = 46, 0 cm. Nach weiteren fünf Schwingungen ist sie auf x 15 = 37, 6 cm abgeklungen. Der Abstand des
Lastschwerpunktes vom Aufhängepunkt am Kran ist l = 5, 00 m.
(a) Mit welcher Anfangsamplitude x 0 hat die Schwingung begonnen?
(b) Nach insgesamt wieviel Schwingungen n ist die Amplitude kleiner als x n = 10 cm geworden?
(c) Man schätze die Zeit t n ab, die es insgesamt dauert, bis die Amplitude x n erreicht wird! (Hinweis: ω ≈ ω 0 )
(d) Man berechne die Abklingkonstante δ für ω ≈ ω 0 !
Lösung:
Für die gedämpfte harmonische Schwingung gilt
x(t) = x 0 e −δt cos(ωt − ϕ) .
Das Verhältnis zweier beliebiger, im Zeitabstand T voneinander auftretender Elongationen ist konstant:
Für den Zeitabstand nT gilt entsprechend
(a) Daraus ergibt sich
x(t + T )
x(t)
x(t + nT )
x(t)
= e −δT .
= x i+n
x i
= e −nδT .
und
x 10
x 0
= e−10δT
e −0δT
= e−10δT
x 15
= e−15δT
x 10 e −10δT
= e−5δT
⇒
(
x15
x 10
) 2
= ( e −5δT ) 2
= e
−10δT
Damit folgt
(b) Aus einem Zwischenergebnis aus (a) folgt
x 0 = x3 10 (46 cm)3
x 2 = = 68, 8 cm .
15 (37, 6 cm)
2
δT = 1 5 ln x 10
x 15
.

3
Damit folgt
x n
x 10
= e −(n−10)δT
⇒ (n − 10) = 1
δT ln x 10
x n
=
1
1
ln x 10
x10
5
ln
x 15
= 5 ln x 10
x n
x n ln x 10
x 15
(c) Für das mathematische Pendel gilt
⇒ n = 5 ln x 10
x n
ln x10
x 15
+ 10 = 5
ln
46 cm
ln
10 cm
46 cm
37,6 cm
+ 10 = 47, 8
√ g
ω =
l
(d) Nach (b) gilt
√
l
⇒ t = 2π
g
√
√
l
⇒ t n = nt = n2π
g = 47, 8 · 2π 5 m
9, 81 m/s 2 = 215 s
δT = 1 5 ln x 10
x 15
⇒ δ = 1
5T ln x 10
x 15
=
1
√
5 · 2π
l
g
ln x 10
= 1 √ g
x 15 10π l ln x 10
= 1
√
9, 81 m/s
2
ln
x 15 10π 5 m
46 cm
37, 6 cm = 9 · 10−3 s −1