5.2 Brechung und Totalreflexion Beim Übergang in ein ... - Orell Füssli

Physik anwenden und verstehen: Lösungen 5.2 Brechung und Totalreflexion 1
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5.2 Brechung und Totalreflexion
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Beim Übergang in ein Medium gilt obige Aussage nicht mehr. Würde das Licht die
kürzeste Strecke wählen, müsste es sich stets gerade ausbreiten. Jeder «Knick», wie er
bei der Brechung auftritt, würde eine Verlängerung des Weges zur Folge haben.
Versucht das Licht jedoch die Zeit zu minimieren, wählt es in einem optisch dünneren
Medium die längere Strecke aus als in einem optisch dichteren. Es kommt zur Brechung
des Lichts.
22
23
a)
Aussenluft
Fensterglas
Plastikfolie
Innenluft
b) Der eintretende und der austretende Lichtstrahl sind parallel. Es tritt keine
Verzerrung auf.
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a) Der Fischer trifft den Fisch nicht (siehe Skizze).

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b) Der Winkel muss genau dem Brechungswinkel entsprechen:
sin α1
sin α
2
= ; 32°
n
12
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a) Im Glas werden die Strahlen gebrochen, was zu der betrachteten Erscheinung führt.
b) Aus der Skizze folgt:
a = d und s = a ⋅sin( α1 −α
2)
;
cosα
2
a
2
errechnet sich mittels Brechungsgesetz:
sinα1
sinα 2
= ; 19.5°
n12
oben eingesetzt:
sin( α −α
)
s a d
1 2
= ⋅sin( α1− α2)
= ; 2.9 mm
cosα2
α 1
α 2 a d
s
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Die Hauptbrechung entsteht beim ersten Übergang in die Hornhaut. Beim Eintritt ins
Kammerwasser wird der Strahl wieder leicht nach oben gebrochen.
n Luft ~ 1
n Hornhaut = 1.37
n Kammerwasser = 1.33
sinα1
α
1
= 15° α
2
= arcsin( ); 11°
nHornhaut
nHornhaut ⋅sinα3
α
3
= 23° α
4
= arcsin( ); 24°
n
Kammerwasser

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3
n 1 n 2
n 3
α 5
α 4 α 4
α
α 1
α 2 α2
α 3
Es gilt für den ersten Übergang zwischen den Stoffen 1 und 2:
sin α1
n2
=
sin α n
2
1
Für jeden weiteren Übergang kann gezeigt werden, dass Folgendes gilt:
sin α1
ni
sin α = n
i
1
Beim letzten Übergang zurück in Luft gilt:
sin α1
n i
sin α
= mit n i
= n1
, da wieder Luft: 1
= 1 oder α i
= α1, w.z.b.w.
sin α n
sin
i
1
α i
28
a) Bei parallelen Schichten gilt:
n
sin α = α ; 86.69°
1
5
sin
n5
1
sin α1
n
=
sin α n
5
5
1
(siehe Lösung zu Aufgabe 27);
b) 0.31°; Das ist gut der halbe Sonnendurchmesser.
(Wichtiger Zusatzeffekt: Da das Licht gut 8 min braucht, um die Erde zu erreichen,
ist die Sonne in dieser Zeit bereits 2° tiefer gesunken.)
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Da α + = 90°
gilt, folgt:
1
α 2
α 1
α 2

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n
sinα sinα sinα
sinα sin(90 °−α ) cosα
1 1 1
= = = =
2 1 2
tanα
1
Die Höhe über dem Horizont beträgt:
90° − arctan n ; 36.9°
30
sinα
sin β
a) Aus = 1.51 = und β' = ϕ − α ' folgt β = 79.7°
(rot).
sin α ' sin β '
Analog β = 83.3°
(grün)
b) γ = α + β − ϕ = 49.7 (rot); 53.3 ° (grün)
c) α
min
= 28.7°
Wenn α < α
min
tritt an der Fläche B Totalreflexion auf.
ϕ
ϕ
d) Wenn α = β, so auch α' = β' = = 30° und αs
= arcsin( n⋅ sin ) = 49.0 ° .
2 2
Diesen Spezialfall nennt man symmetrischen Strahlengang.
e)
⎛
⎛sinα
⎞⎞
γ = α+ β− ϕ = α − ϕ+ arcsin ⎜n⋅sin( ϕ−arcsin
⎜ n ⎟
⎝
⎝ ⎠⎟
⎠
Etwa bei α = 50° wird der Winkel γ minimal. Der symmetrische Strahlengang ist
auch derjenige, bei dem der Ablenkungswinkel γ minimal wird! Diese
Vermutung lässt sich mit Hilfe der Differentialrechnung auch streng beweisen.
31
sin β sin β
α = α' = 0 ⇒ β ' = ϕ ; n = =
sin β ' sinϕ
32
Der erste Brechungswinkel β
1
lässt sich mit dem Brechungsgesetz ausdrücken:
⎛sinα1
⎞
β1
= arcsin ⎜
⎝
⎟
n ⎠ . Aus der Geometrie des Prismas folgt: α2 = ϕ − β1
⎛ ⎛ ⎛sinα1
⎞⎞⎞
Somit ist β2 = arcsin ( nsinα2) = arcsin ⎜nsin ⎜ϕ
−arcsin
⎜ ⎟⎟⎟
und der gesamte
⎝ ⎝ ⎝ n ⎠⎠⎠
Ablenkungswinkel ist:

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⎛ ⎛ ⎛sinα1
⎞⎞⎞
γ = α1− ϕ + β2 = α1− ϕ + arcsin ⎜n
⋅sin ⎜ϕ
−arcsin
⎜ ⎟⎟⎟
⎝ ⎝ ⎝ n ⎠⎠⎠
γ
rot
= 41.2° und γ
violett
= 42.2°
Der Winkel zwischen den beiden Strahlen ist 1.0°.
33
sin β ≥1 β ' ≥ arcsin
⎛1
⎞
⎜ ⎟= 36 °
⎝n
⎠
α' ≤ϕ − β ' = 24° α ≤arcsin( n ⋅ sin α ') = 44°
34
A
B
C
sinα
= n ⇒ α ' = arcsin
⎛sin 45°
⎞
⎜ ⎟= 27.3°
; β ' = ϕ − α ' = 62.7°
sin α ' ⎝ 1.54 ⎠
sin β
= n ⇒ sin β > 1
sin β '
An der Fläche B wird der Lichtstrahl ins Prismeninnere reflektiert.
Der Winkel δ ist auf Grund des Reflexionsgesetzes: δ = 90 °− β ' = 27.3°
γ ' = 45°− δ = 17.7°
sinγ
= n ⇒ γ = 27.9°
sin γ '
Der Lichtstrahl verlässt also die Fläche C unter dem Winkel 27.9° gegenüber der
Flächennormalen.

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a)
A
B
C
sinα
= n ⇒ α ' = arcsin
⎛sin 45°
⎞
⎜ ⎟= 27.3°
;
sin α ' ⎝ 1.54 ⎠
!
90 + γ ' = 135 °+ α' ⇒ γ ' = 45 °+ α ' = 72.3°
sin γ
= n ⇒ sin γ > 1: an der Fläche C wird der Lichtstrahl ins Prismeninnere
sin γ '
reflektiert.
Der Winkel δ ist auf Grund des Reflexionsgesetzes: δ = 90 °− γ ' = 17.7°
β ' = 45°− δ = 27.3 °= α '
sin β
= n ⇒ β = 45.0°=
α
sin β '
Der Lichtstrahl verlässt die Fläche B parallel zum einfallenden Lichtstrahl. Der
austretende Lichtstrahl ist umso stärker nach oben versetzt, je weiter unten der
einfallende Strahl auf die Fläche A trifft. Es kommt zu einer Bildumkehr. Man
könnte also Prismen auch zur Bildumkehr verwenden.
b) Eine Bildumkehr erhält man auch, wenn das Licht senkrecht auf die Fläche C fällt.
Damit Totalreflexion an den Flächen A und B auftritt, muss die Brechzahl grösser
als 2 = 1. 414 sein.
A
B
C
c) Prismen, die wie in b) als Spiegel verwendet werden, befinden sich in Feldstechern.
Dort wird auf diese Weise der Weg des Lichtes zweimal «gefaltet», damit die
Baulänge im Vergleich zu einem Fernrohr kürzer wird. Auch bei «Katzenaugen» am
Fahrrad kommt der Strahlengang aus b) vor.

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a) Nach der Reflexion an der verspiegelten Rückseite können die Strahlen an der
Glasoberfläche noch einmal reflektiert werden. Diese gelangen wieder auf die
Rückseite, wo sie erneut gespiegelt werde und den Spiegel durch erneute Brechung
an der Oberfläche verlassen. Da diese Strahlen parallel zu den anderen reflektierten
Strahlen verlaufen, ist dieses Spiegelbild ebenfalls scharf.
b) Die Skizze zeigt, weshalb
die schwächeren Spiegelbilder
denselben Abstand vom Hauptspiegelbild
haben:
37
Bei der Beobachtung eines Regenbogens schliessen die von der Sonne her kommenden
Lichtstrahlen mit der Blickrichtung des Beobachters einen Winkel von 42° ein. Da um
die Mittagszeit im Sommer die Sonne in der Schweiz deutlich höher als 42° über dem
Horizont steht, müsste die entsprechende Blickrichtung nach unten, d.h. gegen den
Boden, verlaufen.
38
a) Durch die Wasseroberfläche treten nur die Strahlen in mein Auge, deren
Brechungswinkel kleiner ist als der Grenzwinkel. All diese Strahlen bilden einen
Lichtkegel mit meinem Auge als Spitze und der besagten Kreisfläche als
Grundfläche.
n1
b) Der Grenzwinkel beträgt: sin α = ; 48.6°
n2
Der Kreisradius ergibt sich aus der Trigonometrie (siehe Skizze):
r sin α n1
1
tan α = = = ⋅
s cos α n2
cos α
Luft
n 1
r
2
mit: cos α = 1−
sin α
folgt:
n
r =
n
1
2
s
⎛ n1
⎞
1−
⎜
⎟
⎝n2
⎠
2
; 1.1 m
s
Wasser
n 2
39
a) Totalreflexion kann nur an einem Übergang von einem optisch dichteren zu einem
optisch dünneren Medium auftreten. Die Luftschicht unmittelbar über dem Asphalt
muss also optisch dünner sein.
b) Der Grenzwinkel ist anscheinend sehr gross. Grund: der Grenzwinkel ist von den
Brechzahlen abhängig. Je näher das Verhältnis der Brechzahlen bei 1 liegt, desto
grösser wird dieser. Die beteiligten Luftschichten haben demnach nur geringfügig
unterschiedliche Brechzahlen.