Stromklassierung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

180
4 Stromklassierung 181
4.1 Relativbewegung der Partikel in einem Fluid .............................. 182
4.1.1 Wirkende Strömungs- und Feldkräfte .................................. 183
4.1.1.1 Umströmungsbedingungen und Widerstand einer Kugel. 184
4.1.1.2 KNUDSEN-Diffusion und Widerstand ultrafeiner Partikel186
4.1.1.3 Turbulente Anströmung und Widerstand einer Kugel ..... 187
4.1.1.4 Dynamischer Auftrieb einer Kugel ................................... 188
4.1.2 Bewegung steifer Partikel in einer stationären Strömung .... 191
4.1.2.1 Stationäre Partikelbewegung ............................................ 191
4.1.2.1.1 Stationäre Sinkgeschwindigkeit glatter Kugeln ......... 191
4.1.2.1.2 BROWN’sche Molekularbewegung und Sedimentation
ultrafeiner Partikel ...................................................... 195
4.1.2.1.3 Partikelform und stationäre Sinkgeschwindigkeit ...... 196
4.1.2.2 Gleichmäßig beschleunigte Partikelbewegung ................. 197
4.1.2.2.1 Freier Fall und senkrechter Wurf eines Partikels ....... 197
4.1.2.2.2 Kräftegleichgewicht für homogene Umströmung ...... 201
4.1.2.2.3 Analytische Lösungen für laminare Umströmung ...... 202
4.1.2.2.4 Näherungslösungen für turbulente Umströmung ....... 205
4.1.3 Bewegung deformierbarer Partikel in stationärer Strömung 214
4.1.4 Bewegung von Partikelschwärmen ...................................... 214
4.1.5 Homogene Durchströmung von Partikelschichten ............... 218
4.1.5.1 Stationäre Durchströmung von Partikelschichten ............ 218
4.1.5.2 Sedimentation einer gleichmäßig beschleunigten und durchströmten
Partikelschicht ................................................... 218
4.1.5.2.1 Analytische Lösungen für laminare Durchströmung .. 221
4.1.5.2.2 Näherungslösungen für turbulente Durchströmung ... 228
4.1.5.3 Beschleunigtes Auslaufverhalten und Durchströmung .... 233
4.1.6 Partikelbewegung im Fliehkraftfeld einer Wirbelströmung . 235
4.2 Turbulente Transportvorgänge ..................................................... 239
4.2.1 Kennzeichnung von turbulenten Strömungen ...................... 239
4.2.2 Transportvorgänge in turbulenten Strömungen .................... 251
4.2.2.1 Turbulenter Transport in Einphasenströmungen .............. 252
4.2.2.2 Mischkinetik der Mikro- und Makroturbulenz ................. 253
4.2.2.3 Turbulenter Partikeltransport............................................ 254
4.3 Trennmodelle und Trennerfolg des Stromklassierens .................. 259
4.3.1 Allgemeines Bilanzmodell - FOKKER-PLANCK-Gleichung259
4.3.2 Querstromklassierung ........................................................... 263
4.3.2.1 laminare Querstromhydroklassierung ............................... 263
4.3.2.2 turbulente Querstromklassierung...................................... 265
4.3.3 Turbulente Gegenstromklassierung ...................................... 268
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181
4.3.4 Kennzeichnung des Trennerfolges des Stromklassierprozesses .
.............................................................................................. 278
4.4 Hydroklassierung .......................................................................... 279
4.4.1 Schwerkraft-Hydroklassierer ................................................ 279
4.4.2 Zentrifugalkraft-Hydroklassierer .......................................... 282
4.5 Windsichten .................................................................................. 288
4.5.1 Prozessziele des Windsichtens ............................................. 288
4.5.2 Partikeltrennung in einer Wirbelsenke ................................. 288
4.5.2.1 Modell der Spiralwindsichtung und Trennkorngröße ...... 288
4.5.2.2 Turbulenzmodell der Trennkorngröße .............................. 290
4.5.3 Wirkprinzipien der Windsichtung ........................................ 294
4.5.4 Windsichter ........................................................................... 296
4.5.4.1 Schwerkraft-Windsichter .................................................. 298
4.5.4.2 Zentrifugalkraft-Windsichter ............................................ 299
4.6 Mehrstufige turbulente Querstrom-Aerotrennung im Zick-Zack-Kanal
...................................................................................................... 302
4.6.1 Stationäre Partikelanzahlkonzentrationsverteilung .............. 302
4.6.2 Trennfunktion für die mehrstufige Trennung ....................... 302
4.6.2.1 Trennfunktion, Trennmerkmale und Trennschärfe ........... 302
4.6.2.2 Wirksame Trennstufenzahl und Trennstufen-Ausnutzungsgrad.
.......................................................................................... 302
4.6.2.3 Prozessbewertung mehrstufiger Querstromtrennungen .... 302
4.7 Staubabscheiden ........................................................................... 304
4.7.1 Entstauben ............................................................................ 304
4.7.2 Staubabsaugung .................................................................... 306
4.7.3 Staubabscheidung ................................................................. 307
4.7.3.1 Schwerkraftabscheider ...................................................... 308
4.7.3.2 Zentrifugalkraftabscheider ................................................ 309
4.7.3.3 Elektrische Abscheider ..................................................... 314
4.7.3.4 Filtrationsabscheider ......................................................... 317
4.7.3.5 Nassabscheider ................................................................. 323
4.7.3.6 Tropfenabscheider ............................................................ 326
4.8 Schwerpunkte und Kompetenzen ................................................. 327
4 Stromklassierung
Bei der Stromklassierung ist es notwendig, von vornherein zwischen der
- Hydroklassierung (nasse Stromklassierung) und der
- Aeroklassierung zu unterscheiden, wobei man letztere im deutschen Fachschriftentum
überwiegend als Windsichtung bezeichnet, siehe Folie 4.1. Das
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einem Stromklassierer aufgegebene Partikelkollektiv nennt man Klassiergut.
Die Produkte der Klassierung heißen
- Klassierergrobgut, Klassiererunterlauf oder Sande und
- Klassiererfeingut, Klassiererüberlauf oder Schlämme.
4.1 Relativbewegung der Partikel in einem Fluid
Die Bewegung einzelner Partikel in einem Fluid ist der wesentliche Mikroprozess
bei den Trennprozessen, z.B. Stromklassieren, Sedimentieren, Staubabscheiden,
Magnetscheiden, Separieren von Emulsionen aber auch bei anderen
mechanischen Prozessen, z. B. Prallzerkleinerung, Begasen von Flüssigkeiten.
Bei der nachfolgenden Darlegung wird davon ausgegangen, dass die
Grundlagen der Mehrphasenströmungen bereits im Teil "Strömungsmechanik"
des Lehrwerkes Verfahrenstechnik dargestellt worden sind.
Ein in einem Fluid suspendiertes Partikel kann einer Translation und einer
Rotation unterworfen sein. Im Folgenden soll vor allem die Translation verfolgt
werden. Man hat die Geschwindigkeit u des Fluids und die Geschwindigkeit
v des Partikels relativ zur Strömung infolge des Einwirkens einer
äußeren Feldkraft F F
zu unterscheiden.
In einem ortsfestem Koordinatensystem, z. B. für das Trennergebnis in einem
Gegenstromtrennapparat ist die Partikelabsolutgeschwindigkeit v entscheidend,
die sich aus der vektoriellen Überlagerung von v und u ergibt:
= u + v . (4.1)
v a
s
Die Partikelabsolutgeschwindigkeit bezieht sich auf ein festes Apparatehöhenniveau
(sog. EULER-Koordinaten in der Strömungsmechanik). Zählt man die
Strömungsrichtung von u nach oben positiv wie die Höhen- oder y-Koordinate
↑ , so ist die Partikelgeschwindigkeit v in Richtung des Kraftfeldes F
F
↓ dem
entgegengerichtet und negativ anzusetzen, siehe Folie 4.2:
v a
= u − v . (4.2)
Für den Fall eines ruhenden Fluides u = 0 wird folglich die Partikelabsolutgeschwindigkeit
ebenfalls negativ
v a
= −v
. (4.3)
Man bezeichnet − v= −v
dann als die Sinkgeschwindigkeit (Fallgeschwindigkeit)
des Partikels im ruhenden Fluid. Ist demgegenüber die Partikelabsolutgeschwindigkeit
v a
= 0 , d.h.
v = u , (4.4)
a
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183
so nennt man u im stationären Fall die Schwebegeschwindigkeit. Feine Partikeln
mit v s < u werden mit der Strömung mitgeschleppt (Feingut), grobe Partikeln
mit v s > u sedimentieren entgegen der Fluidströmung aus.
Wirkt die Fluidgeschwindigkeit u ↓ in die gleiche Richtung wie das Kraftfeld
F ↓ F
(Gleichstrom) werden die Vektoren wiederum addiert (Folie 4.2):
= −v
− u . (4.5)
v a
Ist das Partikel klein gegenüber der räumlichen Ausdehnung des umgebenden
Strömungsfeldes, kann man die Anströmung als gleichförmig ansehen und die
momentane Anströmgeschwindigkeit der Relativgeschwindigkeit u
r
zwischen
Fluid und Partikel gleichsetzen:
= u − v . (4.6)
u r
Die Beschleunigungen
, v und u , die die Gleichung
u r
= u − v
(4.7)
u r
ebenfalls erfüllen müssen, können beliebige andere Richtungen besitzen als die
entsprechenden Geschwindigkeiten.
4.1.1 Wirkende Strömungs- und Feldkräfte
Auf ein in einem Fluid suspendiertes Partikel können folgende Kräften einwirken
(Folie 4.2 unten):
Für eine auf ein Partikel wirkende Feldkraft F F
(Schwerkraft, Zentrifugalkraft
u.a.) gilt:
F = V ⋅ρ ⋅a
, (4.8)
F
P
s
wobei V P das Partikelvolumen, ρ s die Partikeldichte und a die durch das Kraftfeld
bewirkte Beschleunigung bedeuten.
Als Folge einer Anströmung wirken auf ein Partikel weiterhin im allgemeinsten
Fall ein Drehmoment und eine Kraft F R
. Letztere kann man in eine Komponente
in Richtung der Relativgeschwindigkeit u r
, die Widerstandkraft
oder Schleppkraft F W
, und eine Komponente senkrecht zu u r
, den dynamischen
Auftrieb F D
, siehe auch Folie 4.3, zerlegen.
Für den Widerstand F W
, eines umströmten Körpers gilt allgemein:
u
r
⋅ u
r
FW
= cW
⋅ A
P
⋅ ρf
⋅
(4.9)
2
wobei A P die angeströmte Querschnittsfläche des Partikels, c W den Widerstandsbeiwert
und ρ f die Fluiddichte bedeuten.
In einer dimensionslosen Darstellung ließe sich in Skalardarstellung schreiben:
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184
= 2FW
/ A
P
∆p
Druckkraft
≡ =
2
ρ ⋅ u ρ ⋅ u Trägheitskraft
Eu
(4.10)
cW =
2
f r f r
mit Eu = EULER-Zahl als dimensionlose Kennzahl.
Die speziellen Widerstandsgesetze gelten entsprechend der Ähnlichkeitstheorie
nur für genau zu beachtende Prozessbedingungen. Unter der Voraussetzung
‣ einer geradlinigen stationären, laminaren bzw. schwach turbulenten
Anströmung,
‣ Vorliegen geometrisch ähnlicher Partikeln
‣ und festgelegtem Anströmprofil
‣ sowie Vorliegen eines Fluids mit NEWTONschem Verhalten
das unter den gegebenen Umströmbedingungen als
• inkompressibel und
• unendlich ausgedehnt betrachtet werden kann,
τ = η⋅γ ,
ist der Widerstandsbeiwert nur noch eine Funktion der REYNOLDS-Zahl Re
als einer weiteren wesentlichen dimensionslosen Kennzahl,
Eu = c = W
f (Re)
(4.11)
Eine laminare bzw. schwach turbulente Anströmung ist gegeben, wenn es sich
um die Partikelbewegung in einem ruhenden Fluid handelt.
Strömt das Fluid demgegenüber selbst, so beeinflusst dessen Turbulenzgrad
den Widerstand.
Die Widerstandskraft F W
, setzt sich aus einem
• Zähigkeits- (bzw. Reibungs-) FW
∝ η⋅
u
r
und einem
2
• Trägheits- (bzw. Druckwiderstands-) anteil F ∝ ρ ⋅ u
zusammen (η dynamische Fluidviskosität). Das Verhältnis beider Kräfte
Trägheitskraft
Re ibungskraft
2
ρf ⋅ u
r
⋅ d ρf
⋅ u
r
⋅ d
= = = Re
(4.12)
η⋅ u η
r
ergibt die REYNOLDS-Zahl Re. Bei niedrigen Re-Zahlen Re < 1 sind die
Trägheitskräfte gegenüber den Zähigkeitskräften, die an der Partikeloberfläche
angreifen, vernachlässigbar. Mit wachsender Re-Zahl werden die Trägheitskräfte
in Form des auf die angeströmte Partikelfläche wirkenden Staudrucks
zunehmend für den Gesamtwiderstand bestimmend.
W
f
r
4.1.1.1 Umströmungsbedingungen und Widerstand einer Kugel
Der Widerstand der glatten Kugel war Gegenstand besonders intensiver Untersuchungen,
siehe Folie 4.4.2. Im Bereich der schleichenden Strömung (Re
< 0,25 ... 1) gilt das Gesetz von STOKES
c W
= 24 / Re
(4.13)
und für die Widerstandskraft gilt F ∝ u (η dynamische Fluidviskosität):
W
r
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F
185
= 3⋅
π ⋅η⋅ d ⋅ . (4.14)
W
u r
• Für den Übergangsbereich (0,25 < Re < 10 3 ), in dem mit wachsender Re-
Zahl der Widerstandsbeiwert weiter abnimmt, ist eine Reihe von Näherungsformeln
entwickelt worden. Einige dieser Näherungsformeln, die zum
Teil auch für die Nachbarbereiche gelten, sind in der Tabelle 3.1 des Handbuches
der Mechanischen Verfahrenstechnik 1 zusammengestellt.
• Während im STOKES-Bereich das Strömungsfeld auf der An- und Abströmseite
das gleiche Bild bietet, bildet sich bei 24 < Re < 130 auf der Abströmseite
ein laminar fließender Wirbel aus.
• Bei 130 < Re < 1000 wird das Wirbelsystem instationär. Es lösen sich
einzelne Wirbel ab, die eine Wirbelschleppe hinter der Kugel bilden.
• Im Bereich 10 3 < Re < 2⋅10 5 , dem NEWTON-Bereich oder „quadratischer
Bereich“ wegen F ∝ , ist c W nahezu konstant, und es kann angenähert
2
W
u r
c W = 0,44 (4.15)
gesetzt werden.
• Bei Re > 2⋅10 4 liegt eine turbulente Nachlaufströmung vor, während sich
auf der Vorderseite eine laminare Grenzschicht ausgebildet hat.
• Im Bereich Re c = (2 bis 4)⋅10 5 schlägt die laminare Grenzschicht in den
turbulenten Zustand um (Bereich des Umschlagpunktes mit der kritischen
REYNOLDS-Zahl Re c . Der Widerstandsbeiwert c W fällt auf etwa 0,07 ab
und steigt infolge zunehmender Turbulenz der Grenzschicht anschließend
wieder auf etwa 0,3 an.
Der Bereich 0 < Re < Re c = 2⋅10 5 lässt sich befriedigend durch mehrtermige
Formeln für c W erfassen, z.B. KASKAS (1970) /3.7./:
24 4
c W
= + + 0,4 , (4.16)
Re Re
oder KÜRTEN, RAASCH und RUMPF 2 (1966) mit Abweichungen kleiner als
4% für 0,1 < Re < 4 . 10 3
21 6
c W
= + + 0,28 , (4.17)
Re Re
oder diese etwas modifiziert von MARTIN
c
2
1 ⎛ 72 ⎞ 24 4 ⋅ 2 1
= ⋅ ⎜ 1⎟
= +
3
+
Re
(4.18)
⎝ ⎠ Re Re 3
W
+
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
1 Schubert, H., Mechanische Grundvorgänge und Mikroprozesse, S. 105, in Schubert, H. (Ed.)
Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, WILEY-VCH Weinheim 2003
2 Kürten, H., Raasch, J. und H. Rumpf, Beschleunigung eines kugelförmigen Feststoffteilchens
im Strömungsfeld konstanter Geschwindigkeit, Chem.-Ing.-Techn. 38 (1966) 941-948
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186
oder BRAUER (1973) /3.8./
24 3,73
+
0,5
Re Re
4,83⋅10
−
1+
3⋅10
⋅ Re
⋅ Re
−3
0,5
cW = +
−6
1, 5
oder HAIDER und LEVENSPIEL (1989) 3
c
W
0,6459 0,4251
( 1+
0,1806 ⋅ Re ) +
−1
0,49 , (4.19)
24
= ⋅
, (4.20)
Re
1+
6880,95⋅
Re
wobei die numerischen Koeffizienten jeweils von der Partikelform abhängen.
• Zur Sinkgschwindigkeit glatter Kugeln in einem ruhenden Fluid, siehe
Folie 4.5.
• Der Widerstandsbeiwert glatter Kugeln ist in Folie 4.6.3 in Abhängigkeit
von der Partikel-REYNOLDS-Zahl Re grafisch dargestellt.
4.1.1.2 KNUDSEN-Diffusion und Widerstand ultrafeiner Partikel
Bei partikelbeladenen Fluidströmungen nimmt man an, dass das Fluid ein Kontinuum
ist. Diese Voraussetzung ist nicht mehr erfüllt, wenn die mittlere freie
Weglänge der Fluidmoleküle λ f groß gegenüber der charakteristischen Abmessung
des Strömungsfeldes, hier der Partikelgröße d, wird.
Diese Molekularbewegung (KNUDSEN-Diffusion) wird mittels der so genannten
KNUDSEN-Zahl beschrieben
λf Kn = > 0,1 , (4.21)
d
mit der mittlere freie Weglänge von Luftmolekülen im Referenzzustand (Index
0) bei 20°C und Normaldruck λ ≈ 0,05 m , wenn
k
⋅ T
R⋅
T
= λ
f ,0
µ
p
⋅ ⋅
B
0
λ
f
= =
f ,0
. (4.22)
2⋅
A
p T
M⋅
p 2⋅
A
M⋅
N
A⋅
p
0
k B = 1,38 . 10 -23 J/K BOLTZMANN-Konstante (= R/N A mit AVOGADRO-
Zahl N A )
π
A ( ) 2
M
= ⋅ 2⋅
d M
Flächenbedarf des „Wirkungsquerschnittes“ (doppelter
4
Moleküldurchmesser) der oszillierenden Gasmoleküle
d M = 0,2...0,5 nm Moleküldurchmesser von Gasen ( d 3
M
∝ M g
Molmasse)
Bei λ
f
> 0,1⋅
d bzw. d < 10⋅
λf
≈ 0,5 µ m wird dann die KNUDSEN-Diffusion
maßgeblich für den Widerstand. Mit der CUNNINGHAM-Korrektur in {...}-
Klammern gilt damit für den verminderten Widerstandsbeiwert
T
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
3 Haider, A. and O. Levenspiel, (1989). Drag coefficient and terminal settling velocity of spherical
and nonspherical particles, Powder Technology, 58, 63-70
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c
W
24 ⎧ ⎡
⎛ 0,435⎞⎤⎫
= ⋅ ⎨1
+ Kn ⋅ 2,492 0,84 exp ⎬
Re
⎢ + ⋅ ⎜ − ⎟
⎩
Kn
⎥ , (4.23)
⎣
⎝ ⎠ ⎦⎭
oder nach DAVIES (Zusammenfassung verschiedener Gleichungen) für
0,1 < Kn < 1000 und Re < 0,25:
c
W
24 ⎧ ⎡
⎛ 0,55⎞⎤⎫
= ⋅ ⎨1
+ Kn ⋅ 2,514 0,8 exp ⎬
Re
⎢ + ⋅ ⎜ − ⎟
⎩
Kn
⎥ . (4.24)
⎣
⎝ ⎠⎦⎭
−1
−1
187
Mit zunehmender KNUDSEN-Zahl, d.h., mit Erhöhung der mittleren freien
Weglänge der Gasmoleküle (wenn Temperatur ⇑ und Druck ⇓, ⇒ zunehmender
Schlupf zwischen Partikeln und Gasmolekülen) und abnehmender Partikelgröße
nimmt der Strömungswiderstand ab.
4.1.1.3 Turbulente Anströmung und Widerstand einer Kugel
Den bisherigen Betrachtungen war laminare bzw. schwach turbulente Anströmung
zugrunde gelegt worden. Dies entspricht vielfach jedoch nicht den
gegebenen verfahrenstechnischen Bedingungen, weil ausgesprochen turbulente
Anströmung vorliegt. In einer turbulenten Strömung überlagern sich der
Hauptströmung die zufälligen räumlichen Schwankungsbewegungen von
Fluidelementen (Fluidballen) verschiedener Größe und Geschwindigkeit (siehe
hierzu 4.2.1).
Suspendierte Partikeln folgen diesen Schwankungsbewegungen nach Maßgabe
ihrer Frequenzen f = 2 Hz ... 20 kHz. Sind jedoch die Partikel genügend groß
f ⋅ vs / g >> 1, (4.25)
v s stationäre Sinkgeschwindigkeit des Partikels, Gl. (4.47),
g Schwerebeschleunigung
so werden sie zwar nicht von der Schwankungsbewegung erfasst, aber ihr
Strömungswiderstand kann erheblich durch die Schwankungsbewegung beeinflusst
werden, siehe Folie 4.6.4 /3.9//3.10//3.11/.
Zunächst hängt dies damit zusammen, dass die kritische REYNOLDS-Zahl
Re c herabgesetzt wird. Mit steigendem Turbulenzgrad Tu, siehe 4.2.1,
Tu = u′
(4.26)
2 2
/ ur
2
u′ effektive bzw. mittlere turbulente Schwankungsgeschwindigkeit
tritt der Umschlag von laminarer zu turbulenter Grenzschichtströmung früher
45
ein: Re
c
= . (4.27)
2
Tu
Weiterhin zeigen sich im überkritischen Bereich deutliche Maxima, die sich
mit wachsendem Tu nach kleineren Re verschieben. Auch Messungen im unterkritischen
Bereich ergaben, dass die freie Strömungsturbulenz keine prinzipiell
neuen Strömungszustände verursacht, sondern bekannte Erscheinungen zu
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188
kleineren Re verschoben werden. Der Widerstandsbeiwert für turbulente Anströmung
c W,t wird mit dem Widerstandsbeiwert für laminare Anströmung ausgedrückt
( l = ( ν / ε KOLMOGOROFF’scher Längenmaßstab der
3 1/ 4
Mikro-
D
)
turbulenz gemäß Gl.(4.262)):
3
⎡
⎤
−4
⎛ d ⎞
c
W,t
= cW
⋅ ⎢1
+ 1,8 ⋅10
⋅ ⎜ ⎟ ⎥
(4.28)
⎢⎣
⎝ lD
⎠ ⎥⎦
Auch mit Zunahme der relativen Rauhigkeit der Kugeloberfläche h R /d (h R
absolute Höhe der Rauhigkeiten) wird die kritische REYNOLDS-Zahl Re c
etwas herabgesetzt /3.9./. Unterhalb Re c ist der Einfluss der Oberflächenrauhigkeit
für verfahrenstechnische Zwecke meist belanglos.
4.1.1.4 Dynamischer Auftrieb einer Kugel
Rotiert die angeströmte Kugel um eine Achse, die senkrecht zur Strömungsrichtung
liegt, so wirkt ein dynamischer Auftrieb (lift force) F
D
senkrecht zur
Anströmrichtung und zur Rotationsachse. Zusätzlich tritt eine Vergrößerung
der Widerstandskraft F → W
auf (Magnus-Effekt), siehe Folie 4.3.1a).
Rotation und dynamischer Auftrieb treten auch bei der unsymmetrischen Anströmung
eines symmetrischen Körpers auf, siehe Folie 4.3.1b).
Im Allgemeinen liegen unregelmäßig geformte Partikel vor. Hierbei ergibt
sich ebenfalls ein dynamischer Auftrieb (lift force) F
D
als Folge eines Druckunterschiedes
zwischen der Ober- und Unterseite des umströmten Körpers,
siehe Folie 4.3.1c). Gemäß der BERNOULLI-Gleichung ist die Bilanz aus statischem
p stat , hydrostatischem ρ f . g . y und dynamischen Drücken (Staudruck)
ρ f . u r 2 /2 konstant 4 :
1 2
p
stat
+ ⋅ρf
⋅ u
r
+ ρf
⋅g
⋅ y = const. = pges
(4.29)
2
Wegen der höheren Umströmungsgeschwindigkeit an der Oberseite u r,o > u r,u
ist dort der statische Druck jedoch geringer p stat,o < p stat,u = Umgebungsdruck p 0
und es ergibt sich aus Gl.(4.29) eine nach oben gerichtete Druckkraft (y u ≈ y o ):
1 2 1 2
pstat,o
+ ⋅ρf
⋅ u
r,o
≈ pstat,u
+ ⋅ρf
⋅ u
r,u
2
2
2 2
( u − u )
1
∆ pres
= pstat,u
− pstat,o
= ⋅ρf
⋅
r,o r,u
(4.30)
2
2
Die resultierende dynamische Auftriebskraft F ∝ A ⋅ρ ⋅ u / 2 wirkt somit
senkrecht zur Anströmrichtung und lt. Gl.(4.9) lässt sich analog schreiben:
D
P
f
r
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
4 Czichos, H. (Ed.), Hütte - Die Grundlagen d. Ingenieurwissenschaften, B 86, Springer 1991
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189
2
u
r
FD
= cD
⋅ AP
⋅ρf
⋅ . (4.31)
2
Der Auftriebsbeiwert c D hängt außer
- von der Reynoldszahl c D = f(Re) auch
- von der Körperform und
- vom Anströmprofil ab
und ist deshalb im Allgemeinen nicht bekannt.
Demgegenüber ergibt sich in laminaren oder viskosen Grenzschichtströmungen
auch für symmetrische Partikel eine asymmetrische Anströmung, wobei
2
F
D,y
γ =
( du / dy) 2
∝ (4.32)
x
von der Wand weg gerichtet ist 5 , siehe Folie 4.3b). RUBIN 6 gibt dafür folgende
Beziehung an ( τ = η⋅ γ
W
Wandschubspannung):
F
D,y
3
ρ ⋅ τW
3
= ( 0,761...0,808) ⋅ ⋅ d
(4.33)
η
In Wandnähe erhöht sich außerdem die Widerstandskraft (Schleppkraft) in
Anströmrichtung nach STOKES, siehe Gl.(4.14):
F
W,x
= (5,1... 6,325) ⋅π⋅η⋅ d ⋅u
= (1,7 ... 2,11) ⋅ F
(4.34)
r
W,x,St
Befindet sich eine Kugel in einem geringen Abstand zur Wand a < d, so ergeben
sich folgende abstandsabhängigen Auftriebsbeiwerte, Tabelle 4.1:
Tabelle 4.1: Auftriebsbeiwerte c D in Abhängigkeit vom Abstand a zwischen
einer glatten Kugel und einer ebenen glatten Platte und in Abhängigkeit von
den Partikel-Reynolds-Zahlen im Bereich einer laminaren Grenzschicht 5 und in
der Nähe der kritischen Reynolds-Zahl 7 Re > Re c = 2 . 10 5 :
a/d 0 0,03 0,12 0,21 0,62
Re 0,1 1 20 3 . 3,8 . 4,5 . 3 . 3,8 . 4,5 . 3 . 3,8 . 4,5 . 3 . 3,8 . 4,5 .
10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5
c D 100 25 1,2 0,1 0,18 0,14 0,1 0,22 0,15 0,1 0,2 0,1 0,03 0,13 0,02
Im Bereich laminarer Grenzschichten Re < 20 ist etwa c D ≈ c W /(2 bis 5). Auffällig
sind jedoch die vergleichsweise hohen Auftriebsbeiwerte und damit Auftriebskräfte
bei etwa Re krit ≈ 3,8 . 10 5 . Diese Maxima von c D korrespondieren
mit dem Minimum des Widerstandsbeiwertes von etwa c W ≈ 0,07, Folie 4.6.3.
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
5 Rubin, G. u. F. Löffler, Chem.-Ing.-Techn. 48 (1976) 563
6 Rubin, G., Widerstands- und Auftriebsbeiwerte von ruhenden kugelförmigen Partikeln in
stationären wandnahen laminaren Grenzschichten, Diss. TU Karlsruhe 1977
7 Thomschke, H., Dissertation, U Karlsruhe 1971
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Bei freier und gleichmäßiger Anströmung, d.h. a > d, verschwindet F
D
für Partikel
mit zur Anströmrichtung symmetrischen Formen.
Außer der resultierenden Kraft
→ → →
R
= FW
+ FD
190
F wirkt aber auch an unregelmäßig
geformten Partikeln noch ein Drehmoment, bzw. es ist bei der Rotation ein
Rollwiderstand zu überwinden.
Insgesamt betrachtet ergeben sich also für die Partikelbewegung sehr komplizierte
Verhältnisse. Eine allgemeine Theorie existiert dafür bisher nur für den
STOKES-Bereich /3.9.//3.16./. Diese führt für die Beschreibung der Kräfte und
Momente zu linearen Tensorgleichungen mit im allgemeinsten Fall insgesamt
21 von Größe und Form der Partikel abhängigen Komponenten. Deshalb
ist sie für verfahrenstechnische Belange nicht handhabbar. Allerdings ist
daraus die Schlussfolgerung zu ziehen, dass es problematisch ist, für die Ableitung
der Bewegung von unregelmäßig geformten Partikeln deren Geometrie
lediglich durch einen Größen- und einen Formparameter zu beschreiben, wie
das verbreitet üblich ist, falls man die Partikelform überhaupt berücksichtigt.
Trotz dieser Feststellung soll mangels einer anderen handhabbaren Methode
auch im nachfolgenden davon Gebrauch gemacht werden (s. Abschnitt 1.2.5
MVT_e_1neu.doc bzw. MVT_e_1neu.pdf).
Weiterhin sind Druckkräfte F p
zu berücksichtigen, für die allgemein gilt:
F = V ⋅gradp
. (4.35)
p
P
Dazu gehört der statische Auftrieb F A
, der stets antiparallel zur Feldkraft gerichtet
ist, weil in einem Fluid mit der Dichte ρ f gilt:
gradp
= ρf
⋅a
(4.36)
und somit für F
A
F = V ⋅ ρ ⋅ a . (4.37)
A
P
f
Im Erdschwerefeld lässt sich dies wie folgt verdeutlichen:
Der hydrostatische Druckunterschied zwischen den Höhen y u und y o der Unterund
Oberseite eines in einer ruhenden Flüssigkeit (u = 0) eintauchenden Körpers
ist, siehe auch BERNOULLI-Gl.(4.29):
stat
f
( y − y )
∆ p = gradp⋅dy
= ρ ⋅g
⋅
(4.38)
Damit folgt für die statische Auftriebskraft:
F
A
o
u
( y − y ) = V ⋅ρ ⋅g
= A ⋅ ∆p
= A ⋅ρ ⋅g
⋅
(4.39)
P
stat
P
f
o
u
Vollzieht sich die Partikelbewegung in einer beschleunigten Strömung, so ist
zusätzlich die Trägheitskraft des Fluids entgegen der positiven Hauptströmungsrichtung
zu berücksichtigen:
gradp = −ρ ⋅
und somit (4.40)
f
u r
P
f
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191
Fu
= −VP
⋅ρf
⋅ u
r
. (4.41)
Für die Trägheitskraft F
T
des Partikels gilt:
F = V ⋅ ρ ⋅ v . (4.42)
T
P
s
Die bei instationärer Anströmung oder bei einem beschleunigten Partikel
zusätzlich auf das Partikel wirkende Trägheitskraft der Fluidströmung F T, f
erfasst man im Allgemeinen durch einen Näherungsansatz. Dabei geht man
davon aus, dass nicht nur die Partikelmasse zu beschleunigen ist, sondern zusätzlich
eine um das Partikel angeordnete Fluidmasse (auf der Abströmseite
des Partikels mitbewegtes Fluid), die man als Anteil des Partikelvolumens (Volumenanteil
ϕ f = V f /V P = Fluidvolumen/Partikelvolumen = 0 … 1) erfasst:
FT
,f
= ϕf
⋅ρf
⋅ VP
⋅ u
r
(4.43)
Dabei ist ϕ f = 0,5 für Kugeln und ϕ f = 1 für quer angeströmte Zylinder. F
T, f
ist
nur dann wesentlich, wenn das Fluid eine Flüssigkeit ist. F T
und F
T, f
sind
gleichgerichtet und werden oft wie folgt zusammengefasst, wenn v = − u ist:
F + F
= F
⎛
⋅
⎜
⎝
T T,f T
1
+ ϕ
f
ρ ⎞
f
⋅
⎟ . (4.44)
ρs
⎠
Der Widerstand von umströmten Partikeln hängt von vielen Einflussgrößen ab.
So ist es selbst für Kugeln mit glatter Oberfläche noch nicht gelungen, ein allgemeingültiges
Widerstandsgesetz aufzustellen. Deshalb gelten die jeweiligen
Gesetze nur für bestimmte, genau zu beachtende Bedingungen:
‣ Bei der Voraussetzung einer geradlinigen, stationären und laminaren
bzw. schwach turbulenten Anströmung,
‣ Vorliegen geometrisch ähnlicher Partikel mit festgelegtem Anströmprofil
sowie
‣ Vorliegen eines Fluids mit Newtonschem Scherverhalten.
‣ Das Fluid kann unter den gegebenen freien Umströmungsbedingungen,
als inkompressibel und unendlich ausgedehnt betrachtet werden.
r
4.1.2 Bewegung steifer Partikel in einer stationären Strömung
4.1.2.1 Stationäre Partikelbewegung
4.1.2.1.1 Stationäre Sinkgeschwindigkeit glatter Kugeln
Für eine stationäre Strömung ist u = 0,
somit auch Fu
= 0. Weiterhin soll F D
=
0 vorausgesetzt werden. Von besonderem Interesse ist der Mikroprozess der
Partikelbewegung in einem ruhenden Fluid, und dabei vor allem die stationäre
Sinkgeschwindigkeit v als kennzeichnender Stoffwert und Stoffeigen-
s
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192
schaftsfunktion. Im Falle der geradlinigen, stationären bzw. gleichförmigen
Bewegung ist v = 0 . Daraus folgen FT = 0 und Fϕ
f
= 0. Deshalb gilt:
∑ F ↑ = 0 = −F
+ F + F = −F
+ F + F . (4.45)
F
A
W
F
A
W
Die weiteren Betrachtungen sollen auf Sinkbewegungen von steifen Kugeln
im Schwerkraftfeld eingeschränkt werden, wobei im ruhenden Fluid u = 0 die
relative Anströmgeschwindigkeit u
r
= u −vs
= −vs
ist. Da im Falle der stationären
Sinkbewegung F , F und F parallel bzw. antiparallel gerichtet sind,
so
F
A
W
kann zur skalaren Schreibweise übergegangen werden. Man erhält:
2 2
1 3
πd
vs
− πd
⋅ ( ρs−ρf
)g + cW
ρf
= 0. (4.46)
6
4 2
Daraus ergibt sich die stationäre Sinkgeschwindigkeit v s zu, siehe Folie 4.5:
v
4 ( ρ
−ρ ) ⋅ d ⋅ g
2 s f
s
= (4.47)
3 cW
ρf
bzw. der äquivalente Kugeldurchmesser d, der einer bekannten stationären
Sinkgeschwindigkeit zuzuordnen ist:
2
3 cW
ρf
vs
d = . (4.48)
4 ( ρ −ρ ) ⋅ g
s
f
Mit Hilfe der Gln.(4.47) bzw. (4.48) können v s bzw. d unmittelbar nur im
STOKES-Bereich (Re < 0,25 ...1) und im NEWTON-Bereich (10 3 < Re <
2⋅10 5 ) bestimmt werden.
Für die allgemeine Lösung im Rahmen eines für Ingenieure einfach handhabbaren,
dimensionsanalytischen Modelles werden zwei dimensionslose Kennzahlen
eingeführt, siehe Folie 4.7, und zwar:
- ARCHIMEDES-Zahl Ar:
Ar
d ⋅g
ρ −ρ
d ⋅g
3
3
s f
= ⋅ = ⋅ρf
( ρs−ρf
)
(4.49)
2
2
ν ρf
η
ν = η/ ρ f
kinematische Viskosität des Fluids
- LJAŜĈENKO
− Zahl Lj oder Ω-Zahl:
Lj
v
ρ
v
ρ
3
3 2
s f
s f
= Ω = ⋅ = ⋅
(4.50)
ν ⋅ g ρs−ρf
η⋅ g ρs−ρf
- Eine Übersicht über weitere, bedeutsame dimensionslose Kennzahlen liefern
die Folie 4.8, Folie 4.9 und Folie 4.10.
Wenn man die Gl.(4.47) mit
d
2 2 2
⋅ ρf
/ η multipliziert
v
4 ( ρ −ρ ) ⋅d
⋅g
2 2
2 s f
f
s
=
2
3 cWρf
η
d ⋅ρ
⋅ , (4.47)
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ergibt sich mit der Partikel-Reynoldszahl
2
2 d ⋅ρ
vs⋅
2
η
2
f
3 2
⋅ Re ⋅ c
4
W
= Re
2
3
d ⋅ g
= ⋅ρ
2
η
4 ( ρs−ρ
=
3 c
f
f
W
⋅ ( ρ −ρ
s
2
) ⋅ d ⋅ g d ⋅ρ
⋅
2
ρ η
f
f
) ≡ Ar
2
f
Re = v ⋅ d ⋅ρ / η
s f
:
Damit erhält man wiederum die Gl.(4.49) für die ARCHIMEDES-Zahl:
193
3
Ar = Re
⋅ cW(Re)
.
4
(4.51)
Nochmaliges Multiplizieren der Gl.(4.47) mit
vs
⋅ρf
ρf
⋅
g ⋅ η ρ − ρ
liefert die
LJAŜĈENKO
− Zahl Lj oder Ω-Zahl:
2 4 ( ρs−ρf
) ⋅ d ⋅ g
vs
= ⋅
3 c ⋅ρ
W
2 vs
⋅ρf
ρf
vs
⋅ ⋅
g ⋅ η ρ − ρ
3 2
vs
ρf
⋅
g ⋅ η ρ − ρ
s
c W
f
s
f
f
4
≡ Lj = ⋅
3
4 ( ρs− ρf
) ⋅ d ⋅ g vs
⋅ρf
= ⋅
⋅
3 c ⋅ρ g ⋅ η
1
c
W
W
vs
⋅ d ⋅ρf
⋅
η
f
v ⋅ρ
g ⋅ η
ρ
ρ − ρ
s f f
⋅ ⋅
(4.47)
W
ρf
⋅
ρ − ρ
4 Re
= ⋅
3 c (Re)
4 Re
Lj = . (4.52)
3
Da für steife Kugeln unter Voraussetzung der früher genannten Bedingungen
c W gemäß Folie 4.4.2 nur eine Funktion von Re ist, so hängen dann auch Ar
bzw. Lj nur von Re ab. Somit kann unmittelbar
Lj = f (Ar)
(4.53)
gebildet werden, wie dies in Folie 4.7.5 dargestellt ist /3.17./. Sind der Kugeldurchmesser
und die Stoffwerte ν oder η, ρ f, ρ s bekannt, so lässt sich Ar berechnen
und auf der Ordinate Lj ablesen, woraus v s berechnet werden kann.
Umgekehrt ist vorzugehen, wenn v s bekannt und d zu berechnen ist.
Da das Diagramm nach Folie 4.7.5 nur eine begrenzte Ablesegenauigkeit besitzt,
ist im Übergangsbereich (0,25 < Re < 10 3 ) der Verlauf von Lj = f(Ar)
auch abschnittsweise durch einfache Näherungsformeln erfasst worden. Dazu
wurde c W = f(Re) durch Gleichungen der Form
c
a
W
= k ⋅ Re
(4.54)
approximiert. Unter Beachtung der angegebenen Grenzen bleibt der Fehler für
diese Approximation < 10 %. Führt man die Widerstandsgesetze nach Gl.(4.13)
c W
= 24/ Re und Gl.(4.15) c W = 0,44 ein, so erhält man für die stationäre
Sinkgeschwindigkeit von glatten Kugeln:
a) im STOKES-Bereich (Re < 0,25 ... 1 bzw. Ar < 4,5 ... 18; bei Re = 1 weicht
der c W -Wert nur um etwa 1% vom tatsächlichen ab):
s
f
s
f
s
f
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194
2
( ρs− ρf
) ⋅ d ⋅ g
vs ,St
=
(4.55)
18η
b) im NEWTON-Bereich (10 3

195
a Z
andererseits die Erdbeschleunigung g näherungsweise durch die jeweils wirkende
Beschleunigung = z ⋅ g ersetzt - man beachte jedoch die
Radienabhängigkeit
der Zentrifugalbeschleunigung a Z = r . ω 2 bei Drehbewegungen.
4.1.2.1.2 BROWN’sche Molekularbewegung und Sedimentation ultrafeiner Partikel
Nanoskalige bis ultrafeine Partikel, die nahezu homogen in einer Flüssigkeit
dispergiert sind, sedimentieren nicht mehr unter der alleinigen Wirkung der
Schwerkraft - allerdings sedimentieren deren Agglomerate oder Aggregate im
µm-Bereich. Wenn man diese unerwünschte Agglomeration verhindert (z.B.
durch oberflächliche Tensidebeladung oder elektrochemische Repulsion), kann
man folglich die Sedimentation gezielt vermeiden. Im Falle von Nanopartikeldispersionen
(-suspensionen) spricht man dann von deren „Stabilisierung“.
Aufgrund der Brownschen Molekularbewegung der Fluidmoleküle findet ein
ständiger Impulsaustausch mit den Partikeln statt, der letztere zu einer zufälligen
ungeordneten Bewegung anhält, die gegenüber der gerichteten Sedimentation
(Konvektion) dominant wird. Dieser physikalische Zusammenhang läßt
sich mit Hilfe der PECLET-Zahl Pe P , hier für Partikel definiert, abschätzen:
Pe
P
( ρ − ρ )
Feldkraftenergie
s f
⋅ VP
⋅ d ⋅ g
= =
(4.61)
kinetische Energie k ⋅ T
B
Mit der EINSTEIN-Gleichung (4.62) für den Partikel-Diffusionskoeffizienten
D p (siehe auch MVT_e_1neu.doc#Einstein_Gl, MVT_e_1neu.pdf):
D
P
kB
⋅T
= (4.62)
3⋅π⋅η⋅d
und der stationären Sinkgeschwindigkeit nach STOKES, Gl.(4.55), folgt auch:
Pe
( ρ − ρ ) ⋅ V ⋅d
⋅g
( ρ − ρ )
⋅d
v ⋅d
2
s f P
s f
s
P
= =
⋅ =
(4.63)
3⋅π⋅η⋅d
⋅ Dp
6⋅3⋅η
Dp
Dp
⋅g
Ist Pe P > 1 überwiegt die gerichtete (konvektive) Sedimentation; für Pe P < 1 ist
dagegen die ungerichtete Diffusion dominant. Einen Grenzwert gewinnt man
wiederum durch Umstellen der Gl.(4.61):
d
d
Diff
⎛ 6 ⋅ k
⎜
⎝ π ⋅
( ρ − ρ )
s
⋅ T ⋅ Pe
f
g ⎟ ⎞
⋅ ⎠
1/ 4
B P
≤ (4.64)
Diese Grenzwerte sind für Quarzpartikel (ρ s = 2650 kg/m 3 ) in Wasser (ρ f =
1000 kg/m 3 ), k B = 1,38 . 10 -23 J/K BOLTZMANN-Konstante, T = 298 K
• d Diff < 0,84 µm
und in ruhender Luft (ρ f = 1,2 kg/m 3 )
• d Diff < 0,74 µm
also etwa d Diff < 1 µm.
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196
Darüberhinaus läßt sich die Verteilung der Schwankungsgeschwindigkeiten
ultrafeiner Partikel mittels kinetischer Gastheorie abschätzen: Die Anzahlverteilungsdichte
der Schwankungsgeschwindigkeiten der Fluidmoleküle, die als
diskrete Teilchen mit einer Masse m betrachtet werden, wird mit der
MAXWELL’schen-Geschwindigkeitsverteilung beschrieben 8 :
3/ 2
2
⎛ m ⎞ 2 ⎛ m ⋅ v' ⎞
q0 (v')
= 4π⋅
⎜
⎟ ⋅ v' ⋅exp
⎜−
⎟
(4.65)
⎝ 2π⋅
kBT
⎠ ⎝ 2⋅
k
BT
⎠
Die wahrscheinlichste oder häufigste Schwankungsgeschwindigkeit v’ h wird
im Maximum der Verteilungsdichte gefunden, also bei dq 0 (v’)/dv’=0:
v'
h
2⋅
k
B
⋅T
= (4.66)
m
Die mittlere Schwankungsgeschwindigkeit v’ m berechnet man mit Hilfe des
ersten Anfangsmomentes dieser Geschwindigkeitsverteilung, vergleiche dazu
auch die Definition statistischer Momente MVT_e_1neu.doc#kte_Moment :
v'
m
∞
= ∫ q
0
0
(v')
v' dv'
=
4⋅
k
B
⋅T
π⋅ m
=
2
⋅ v'
h
, (4.67)
π
Die mittlere quadratische Abweichung wird mit Hilfe des zweiten Anfangsmomentes
der Geschwindigkeitsverteilung ermittelt:
v'
2
∞
2 3⋅
k
B
⋅T
3 2
= ∫ q0(v')
v' dv' = = ⋅ v'
h
m 2
0
(4.68)
Damit lässt sich der mittlere Effektivwert der Schwankungsgeschwindigkeit
aus der mittleren kinetischen Energie ultrafeiner Partikel m
für m ≡ m P berechnen:
v'
3⋅
k ⋅T
ρ ⋅ V
s
P
v'
/ 2
2
P
=
(3/ 2)k
2
B
= (4.69)
Für ultrafeine bis nanoskalige Quarzpartikel (ρ s = 2650 kg/m 3 , k B = 1,38 . 10 -23
J/K, T = 298 K) für d = 1 µm beträgt v'
2 = 3 mm/ s , 100 nm → 9,4 cm/s; 10
nm → 3 m/s und 1 nm → 94 m/s.
B
T
4.1.2.1.3 Partikelform und stationäre Sinkgeschwindigkeit
Um den Einfluss der Partikelform bei der Berechnung der stationären Sinkgeschwindigkeit
zu berücksichtigen, ist der für Kugeln ermittelte Betrag zu korrigieren.
Wie schon unter 4.1.1 zum Ausdruck gebracht, existiert dafür bis heute
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
8 Niedrig, H., Physik, S.B 54 in: Czichos, H. (Ed.) Hütte Springer Berlin 1991
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197
trotz zahlreicher Ansätze keine befriedigende Methode. In Tabelle (4.149).6
sind Korrekturkoeffizienten k ψ zusammengestellt:
d
6 ⋅ V
π
3 P
V
= und
( 6⋅
V / π)
2
2/3
AS,K
π⋅d
V
π⋅
P
ψ
A
= = =
≤1, (4.70)
A A A
S
S
die mit isometrischen Partikeln bestimmt worden sind /3.18./.
Für laminare Umströmung Re < 1 kann ein Formfaktor mit dem Quadrat des
Verhältnisses des volumenäquivalenten Partikeldurchmessers zum STOKES-
Durchmesser der Kugel gebildet werden:
S
a)
k
v
⎛
⎜
⎝
d
⎟ ⎞
⎠
2
s
V
ψ ,St
= =
v ⎜
. (4.71)
s,St
dSt,K
Davon ausgehend schlug KIZEVAL'TER auf Grundlage seiner Untersuchungen
mit isometrischen Partikeln und Mineralkörnern folgende Formkorrekturkoeffizienten
< 1 vor /3.19./:
b) kψ ,St
= ψA
(4.72)
gültig vom STOKES-Bereich bis zu einer von der Form abhängigen kritischen
Partikel-Re-Zahl Re(d V ) < 20
c)
k
=
1,55⋅ψ
A
ψ ,N
(4.73)
8,95−7,4
⋅ ψ
A
gültig für Re(d V ) > 500.
ψ A Sphärizität (Gl.(1.111) in MVT Abschn. 1.2.5 MVT_e_1neu.doc#PsiA)
Und damit ist:
vs,P(
ψ)
k ψ= . (4.74)
v
s,K
Die Formkorrekturkoeffizienten Folie 4.7.6 gelten für stationäre Sinkgeschwindigkeiten,
die für volumengleiche Kugeln berechnet worden sind. Für nichtkugeligen
Partikel ergeben sich die stationären Sinkgeschwindigkeiten:
a) im STOKES-Bereich (Re < 0,25 ...1):
2
( ρs−ρf
) ⋅d
V
⋅ g
vs , ψ
= k ψ ,St
⋅
(4.75)
18η
b) im NEWTON-Bereich (10 3 < Re < 2⋅10 5 ):
v
k
4 ⋅ ( ρ
−ρ ) ⋅ d
⋅ g
s f V
s, ψ
= ψ ,N
⋅
. (4.76)
3⋅
cW
⋅ρf
4.1.2.2 Gleichmäßig beschleunigte Partikelbewegung
4.1.2.2.1 Freier Fall und senkrechter Wurf eines Partikels
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198
Zunächst werden die mechanischen Grundlagen der Dynamik des freien (senkrechten)
Falls eines starren Partikels ohne Umströmung wiederholt:
a) Für die Gewichtskraft und Trägheitskraft gilt beim senkrechter Fall mit
dem Fallweg y ohne Fluidwiderstand
∑ F ↑= 0 = −F G
+ F T
bzw. (4.77)
m ⋅ y
= m ⋅ g , (4.78)
da beide Kräfte antiparallel wirken. Daraus folgt die Differentialgleichung
2-ter Ordnung mit der konstanten Beschleunigung g:
dy dv
y = = = g = const.
(4.79)
dt dt
b) Die erste Integration liefert mit der Anfangsbedingung v(t=0) = 0
v
∫
0
t
∫
dv = g ⋅ dt
v(t)
= g ⋅ t
(4.80)
0
das lineare Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des freien Falls.
c) Die erneute Integration liefert mit der Anfangsbedingung y(t=0) = 0
v(t)
dy
= = g ⋅ t
dt
∫ dy = g ⋅∫
t dt
y
0
2
y(t) = g ⋅ t / 2
(4.81)
das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls. Mit dieser Gl.(4.81) lässt sich die
Position y des Partikels nach einer bestimmten Fallzeit t berechnen.
d) Umstellen ergibt die Umkehrfunktion des Weg-Zeit-Gesetzes:
2 ⋅ y
t = (4.82)
g
e) Einsetzen in das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.(4.80), ergibt das
Geschwindigkeits-Weg-Gesetz der Fallbewegung:
v(y)
2 ⋅ y
= g ⋅ = 2 ⋅ g ⋅ y
(4.83)
g
Damit lässt sich die maximal mögliche höhenabhängige Fallgeschwindigkeit
errechnen, wenn man den Fluidwiderstand vernachlässigt.
f) Das gleiche Ergebnis, Gl.(4.83), wird auch aus der Energiebilanz der
Umwandlung der potentiellen Energie der Position (Höhe) y des Partikels
in die kinetische Energie der Fallbewegung erhalten:
m ⋅ v 2 (y) = m ⋅ g ⋅ y
(4.84)
2
Für den entgegengesetzen Fall des senkrechten Wurfes eines starren Partikels
nach oben mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 lässt sich schreiben:
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t
0

199
a) Für die Gewichtskraft und Trägheitskraft gilt beim senkrechten Wurf
mit der Wurfhöhe y ohne Fluidwiderstand
∑ F ↑= 0 = −F G
− F T
bzw. (4.85)
m ⋅ y
= −m
⋅ g
(4.86)
da beide Kräfte parallel entgegen der Gravitation wirken. Daraus folgt
die Differentialgleichung 2-ter Ordnung mit der Beschleunigung g:
dy dv
y
= = = −g
dt dt
(4.87)
b) Die erste Integration liefert mit der Anfangsbedingung v(t=0) = v 0
v
∫
v0
dv = −g
⋅
t
∫
0
dt
v(t)
− v0 = −g
⋅ t
v(t)
= v0 − g ⋅ t
(4.88)
das lineare Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des senkrechten Wurfes.
c) Die erneute Integration liefert mit der Anfangsbedingung y(t=0) = 0
dy
v(t)
= = v0 − g ⋅ t
dt
∫ dy = v ⋅∫
− ⋅ ∫
0
dt g t dt
y
0
2
y(t) = v ⋅ t − g t / 2
(4.89)
0
⋅
das Weg-Zeit-Gesetz des senkrechten Wurfes. Mit dieser Gl.(4.89) lässt
sich die Position y oder Wurfhöhe des Partikels nach einer bestimmten
Wurfzeit t berechnen.
d) Das Umstellen der Gl.(4.89) ergibt eine quadratische Gleichung
2
2 2 ⋅ v0
2 ⋅ y
g ⋅ t / 2 − v0
⋅ t + y = 0 t − ⋅ t + = 0
g g
und deren Lösung (nur die negative Wurzel ist sinnvoll) die Umkehrfunktion
des Weg-Zeit-Gesetzes:
2
v0 v0
2 ⋅ y
= − −
(4.90)
g g g
t
2
e) Einsetzen in das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.(4.88),
⎛
2 ⎞
⎜ v0
v0
2 ⋅ y
= − ⋅ − − ⎟
v
v(y)
v0
g
(y) = v
⎜
2
0
− v0
+ g ⋅
⎟
⎝
g g g
⎠
g
t
0
2
0
v
2
t
0
2 ⋅ y
−
g
ergibt das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz des senkrechten Wurfes:
2
v(y) = v − 2 ⋅ y g
(4.91)
0
⋅
Damit lässt sich die maximal mögliche Wurfhöhe errechnen, bei der die
Wurfgeschwindigkeit gleich Null wird h max = y(v = 0):
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h
max
200
2
v0
= (4.92)
2 ⋅ g
f) Das gleiche Ergebnis, Gl.(4.92), wird wiederum aus der Energiebilanz
der Umwandlung der kinetische Anfangsenergie des Partikels in die zugehörige
potentiellen Energie der maximalen Wurfhöhe erhalten:
m 2
m ⋅ g ⋅ h
max
= ⋅ v 0
(4.93)
2
Im Prinzip wird die hier vorgestellte Methodik benutzt, um die Dynamik einer
Vielzahl (⇒ Kompliziertheit) komplex miteinander gekoppelter Elemente (⇒
Komplexität) eines Mehrkörpersystems zu berechnen:
Entsprechend der bewährten Methodik der Mechanik 9 ist es üblich, die Trägheitskraft
mi
⋅ x
i
und das Trägheitsmoment Ji
⋅ ϕ i
eines betreffenden Elementes
oder Partikels i jeweils auf die linken Seite zu setzen und alle anderen
eingeprägten (einwirkenden) Kräfte und Drehomente auf der rechten Seite beider
Bilanzgleichungen zu summieren. Das sind beispielsweise repulsive Kontakt-
und attraktive Haftkräfte zwischen Partikel i und einem benachbarten Partikel
j F ij, K
und F ij, H
, die Widerstandkraft infolge Anströmung eines Fluids F i, W
oder eine externe Feldkraft F
und die Schwerkraft des Partikels ⋅ g :
m ⋅ x
=
i
i
n
k
∑
k=
1
F
i,k
= F
ij,K
+ F
ij,H
i, F
+ F
i,W
+ F
i,F
+ ... + m ⋅ g
i
m i
(4.94)
Die betreffenden Kräfte bewirken entsprechende Roll- und Torsionsmomente
M ij,K
, M ij, H
, M i, W
, M i, F
und M
i, mg
des Partikels mit einer Winkelbeschleuni-
gung ϕ = ω und seinem Massenträgheitsmoment Ji :
i
i
i
k=
1
i
nk
J ⋅ ϕ
= M = M + M + M + M + ... + M
∑
i,k
ij,K
ij,H
i,W
i,F
i,mg
(4.95)
Durch erste und zweite numerische Integration werden jeweils die Beschleunigungen
x i
, Geschwindigkeiten x
i
und örtlichen Positionen x
i
der Translation
und Rotation ( ϕ ϕ = ω , ϕ) aller Elemente i = 1…N ermittelt → sog. Diskre-
i ,
i i
te-Elemente-Methode (DEM).
Deshalb sollen im Folgenden die analogen mechanischen Modelle und Gesetze
der gleichmäßig beschleunigten Sinkbewegung starrer Partikel unter zusätzlicher
Berücksichtigung eines geschwindigkeitsabhängigen Widerstandes des
umgebenden Fluids ermittelt werden:
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
9 Siehe auch: Müller, W. H. und Ferber, F., Technische Mechanik für Ingenieure, S. 208 und S.
212, Fachbuchverlag Leipzig, 2003
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4.1.2.2.2 Kräftegleichgewicht für homogene Umströmung
201
Nunmehr soll auf die gleichmäßig beschleunigte oder instationäre Partikelbewegung
eingegangen werden, d.h. a = dv/dt = const ≠ f(t, y). Im Zusammenhang
mit verfahrenstechnischen Problemstellungen interessiert vor allem
die Frage, über welche Wegstrecken bzw. Zeiten sich die Beschleunigungsvorgänge
der Partikeln bis zum Erreichen der stationären Sinkgeschwindigkeit
vollziehen. Sind diese genügend klein, so würde dies die Möglichkeit eröffnen,
bei verfahrenstechnischen Berechnungen gegebenenfalls die Beschleunigungsperiode
zu vernachlässigen.
Für die Feldkraft (Gewicht F G ), Auftrieb F A , Widerstandskraft F W , Trägheitskraft
des Partikels F T und Trägheitskraft des mitbeschleunigten Fluids F T,f ,
Gln.(4.97) bis (4.101), gilt bei gleichmäßig beschleunigter Partikelbewegung
und gleichmäßiger (stationärer) Anströmung und homogener Umströmung
unter den eingangs getroffenen Voraussetzungen, wenn die Kräfte parallel
bzw. antiparallel wirken, Bild 4.1 und Folie 4.17:
∑ F ↑= 0 = −F
+ F + F + F + F = −F
+ F + F + F + F
F
A
W
T
T,f
G
A
W
T
T,f
Kräfte am Kugelschwerpunkt:
F
G
, (4.96)
= ρ ⋅ V ⋅ g
(4.97)
s
p
y
F F
F W
F T,f
F T
F A
F G
F
F
F
A
W
T
= ρ ⋅ V ⋅ g
(4.98)
f
p
2
ur
(t)
= cW(Re(ur
)) ⋅ρf
⋅ Ap
⋅ (4.99)
2
= ρ ⋅ V ⋅ v(t)
(4.100)
s
p
x
F
T,f
= ρ ⋅ V ⋅ v(t)
(4.101)
f
f
Bild 4.1: Kräftegleichgewicht an einer glatten Kugel bei der Sedimentation in
einem ruhenden Fluid bei gleichmäßiger (stationärer) Anströmung und homogener
Umströmung
Die Trägheitskraft F T des Partikels wird mit einem zusätzlichen Anteil mitbeschleunigter
Fluidmasse m = ρ ⋅ ϕ ⋅ V , Gl.(4.44), berechnet:
f
f
f
2
⎛ ρ ⎞
f
v
VP
⋅ρs
⋅
⎜1+ ϕf
⋅
⎟ ⋅ v = VP
⋅( ρs
− ρf
) ⋅g
− cW
⋅ AP
⋅ρf
⋅ . (4.102)
⎝ ρs
⎠
2
Für dv/dt = 0 folgt ebenfalls die stationäre Sinkgeschwindigkeit, Gl.(4.47),
v
( ρ −ρ
) ⋅ V ⋅ g
4 ( ρ −ρ
) ⋅ d ⋅ g
2
s f P
s f
s
= 2 ⋅
=
(4.47)
cW⋅
AP
⋅ρf
3 cW⋅ρf
P
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202
die alle bedeutsamen Stoffkennwerte (Partikelgröße, -dichte, und -form) enthält.
Umformen der Gl.(4.102):
⎛ ρ ⎞
f
VP
⋅( ρs
− ρf
) ⋅g
⎜1+ ϕf
⋅
⎟ ⋅ v
=
− c
⎝ ρs
⎠ VP
⋅ρs
⎛ ρ ⎞
f
⎜1+ ϕf
⋅
⎟ ⋅ v
=
⎝ ρs
⎠
⎛
⎜1
⎝
ρ
⎞
f
+ ϕf
⋅
⎟ ⋅ v
ρs
⎛
⎜1+ ϕ
⎝
dv
dt
⎠
=
ρ ⎞
f
⋅
⎟ ⋅ v =
ρs
⎠
f
( ρ − ρ )
W
AP
⋅ρf
⋅ v
⋅
2⋅
V ⋅ρ
2
( ρs
− ρf
) ⋅g
AP
⋅ρf
⋅ v ( ρs
− ρf
) ⋅g
− cW
⋅ ⋅
ρs
2⋅
VP
⋅ρs
( ρs
− ρf
) ⋅g
2
( ρs
− ρf
) ⋅g
AP
⋅ρf
⋅ v ( ρs
− ρf
) ⋅
− cW
⋅
⋅
ρs
2⋅
VP
⋅( ρs
− ρf
) ⋅g
ρs
2
( ρ ) ⎡
⎤
s
− ρf
⋅g
AP
⋅ρf
⋅ v
⋅ ⎢1
− cW
( Re(v) ) ⋅
ρ
2⋅
V ⋅( ρ − ρ ) ⋅g
⎥ ⎦
s
⎣
2
⎡
⎤
s f
AP
⋅ρf
⋅ v
= ⋅g
⋅ ⎢1
− cW
( Re(v) ) ⋅
ρ + ϕ ⋅ρ
( )
⎥ (4.103)
s f f ⎣
2⋅
VP
⋅ ρs
− ρf
⋅g
⎦
Einsetzen von Gl.(4.47) in Gl.(4.103) und es ergibt sich eine nichtlineare Differentialgleichung
erster Ordnung:
2
dv ρ ⎡ ⎤
s
− ρf
v (t)
= ⋅ g ⋅ ⎢1
−
2
dt ρ + ϕ ⋅ρ
⎥
s f f ⎣ vs
⎦
oder
P
s
2
P
s
f
g
dv
dt
⎛ v −
2
= D
2
(t) ⎞
( ρ ) ⋅ ⋅
⎜
⎟ f
g 1
vs
⎠
⎝
(4.104)
mit der Fluiddichtefunktion D(ρ f ):
D
( )
ρ
− ρ
s f
ρ
f
= . (4.105)
ρs
+ ϕf
⋅ρf
Für Luft ist D(ρ f ) = 1 wegen ρ s >>ρ f . Für ρ s = ρ f ist D = 0 (keine Beschleunigung)
und für Leichtgut ρ s < ρ f ergibt sie negative Werte, das ein Aufschwimmen
der Partikel kennzeichnet.
Gl.(4.104) ist wegen c W = f(Re(v)), siehe allgemeine Formel nach KASKAS
24 4
c W
= + + 0,4 , (4.16)
Re Re
nicht geschlossen, sondern nur numerisch integrierbar.
4.1.2.2.3 Analytische Lösungen für laminare Umströmung
Eine analytische Lösung kann man jedoch für die Differentialgleichung der
Partikelsedimentation, Gl.(4.103), bei laminarer Kugelumströmung im
STOKES-Bereich, d.h. c W
= 24 / Re , gewinnen, siehe auch 10 :
dv
dt
=
ρ
( ρ − ρ )
s
s
+ ϕ
f
f
⋅ρ
f
⎡ 24⋅η
⋅g
⋅ ⎢1
−
⎣ v ⋅d
⋅ρ
f
2
6⋅π⋅d
⋅
3
2⋅4⋅π⋅d
⋅
2
⋅ρ ⎤
f
⋅ v
( ρ − ρ ) ⋅g
⎥ ⎦
s
f
10 Schubert, H., S. 123, in 1
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013

dv
dt
⎡
= D( ρf
) ⋅ g ⋅ ⎢1
−
v
⎣ s f
18⋅
η ⎤
⋅
2
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ g
⎥ ⎦
203
dv(t)
dt
D
⎛ v(t) ⎞ − . (4.106)
( ρ ) ⎜ ⎟ f ⋅ g ⋅ 1
⎝ v ⎠
= s
Die Integration der nunmehr linearen Differentialgleichung liefert nach Trennung
der Variablen für die Anfangsbedingung v(t = 0) = 0
v
∫
v = 0
dv
1−
v / v
s
= D ⋅ g ⋅
mit der Substitution
t
∫
t = 0
dt
x = 1−
v / vs
→ dx = −dv / vs
→ − vs
⋅∫
− v ⋅ ln( 1 − v / v ) = D ⋅ g ⋅ t 1 − v / v = exp( − D ⋅ g ⋅ t / )
s
s
s
v s
dx
x
=− v
s
⋅ ln x
die Zeitabhängigkeit der Sinkgeschwindigkeit, d.h. die Geschwindigkeits-
Zeit-Funktion der beschleunigten Partikelsedimentation bei laminarer Umströmung
⎡ ⎛ g ⋅ t ⎞⎤
⎡ ⎛ ⎞⎤
( )
⎢ ⎜
t
v (t) = v ⎢
⎥ = ⋅ − − ⎟
s
⋅ 1−
exp
⎜−
D ρf
⋅
⎟ vs
1 exp
⎥ (4.107)
⎣ ⎝ vs
⎠⎦
⎢⎣
⎝
t63,v s ⎠⎥⎦
mit einer charakteristischen Sinkzeit (svw. Kinetikparameter) t 63,vs
( ρ )
( ρ + ϕ ⋅ρ )
2
vs
s f f
⋅ d
t63 ,v s
= =
. (4.108)
D ⋅ g 18⋅
η
f
Da die Dichtefunktion für Wasser D(ρ f ) < 1 ist, werden die Beschleunigungszeiten
gegenüber D = 1 (für Luft) etwas verlängert.
Die erneute Integration der Differentialgleichung der Zeitfunktion der instationären
Sinkgeschwindigkeit, Gl.(4.107),
ds(t) ⎡ ⎛ ⎞⎤
⎢ ⎜
t
v (t) = = v
⎟
s ⋅ 1 − exp − ⎥
⎢
(4.109)
dt
⎣ ⎝
t
63,vs
⎠⎥⎦
liefert für die Anfangsbedingung s(t = 0) = 0
s(t)
t ⎡
⎤
t
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
∫ ∫ ⎢ ⎜
t
⎟
t
ds = vs
⋅ 1 − exp − ⎥ dt = v ⋅ − ⋅ ∫ −
=
= ⎣⎢
s
t vs
exp dt
s 0
t 0 ⎝
t
63, v ⎠⎦⎥
t=
0 ⎝
t
s
63, vs
⎠
dt
x = −t
/ t
,v
→ dx = − → v t exp(x) dx v t
s
s
⋅
63,v
⋅ =
s
s
⋅
t
∫
63 63, v
⋅
s
63,vs
exp(x)
⎛ ⎞
⎜
t
s(t) = v ⋅ + ⋅ ⋅ − ⎟
s
t vs
t
63,v
exp
s
⎝
t
63,vs
⎠ =
t
t
0
= v
s
⋅ t + v
s
⋅ t
63,vs
⎡
⎢
⎢
⎜ ⎛ t ⋅ exp −
⎣ ⎝
t
63,vs
⎞
⎥ ⎥ ⎤
⎟ −1
⎠ ⎦
s (t)
⎡ ⎛
⎢ ⎜
t
= vs
⋅ t − vs
⋅ t
63,vs
⋅ 1 − exp −
⎢
⎣ ⎝
t
63,vs
⎞
⎥ ⎥ ⎤
⎟
⎠⎦
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204
die Weg-Zeit-Funktion der Partikelsedimentation im STOKES-Bereich 11 :
⎪
⎧ ⎡ ⎛ ⎞⎤⎪ ⎫
⎨ ⎢ ⎜
t
s (t) = v
⎟
s ⋅ t − t
63,v ⋅ 1 − exp − ⎥ ⎬ (4.110)
s
⎪⎩ ⎢
⎣ ⎝
t
63,vs
⎠⎥⎦
⎪ ⎭
Bei genügend großen Zeiten t > 4 . t 63,vs nimmt der Sinkweg linear zu s(t) = v . s t.
Die Umkehrfunktion für eine gesuchte Sinkzeit t s bei gegebener Behälterhöhe
oder Sinkweg s* ergibt sich durch Umstellen dieser Gl. (4.110):
*
s
⎡ ⎛ ⎞⎤
⎢ ⎜
t
= − ⋅ − −
s
t
⎟
s
t
63,v
1 exp ⎥
s
v
⎢
s
⎣ ⎝
t
63,vs
⎠⎥⎦
Es lässt sich keine analytisch darstellbare Umkehrfunktion finden. Sie ist jedoch
numerisch mittels Iterationen lösbar (der Index (0) kennzeichnet den Anfangs-
oder Vorgängerwert):
*
s ⎡ ⎛ t ⎞⎤
s,(0)
t ⎢ ⎜ ⎟
s = + t
63,v ⋅ 1 − exp − ⎥
(4.111)
s
v ⎢
s
⎣ ⎝
t
63,vs
⎠⎥⎦
Anhand der Gl.(4.111) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich die Sinkzeit
aus einem Anteil der stationären Sedimentation und einem instationären
oder beschleunigten Anteil des Sinkprozesses infolge des Anlaufvorganges
zusammensetzt.
Für große Sinkzeiten t s , große Wege s*, schnelle Kinetik (kleiner Zeitparameter)
t 63,vs und geringe stationäre Sinkgeschwindigkeit v s kann der letzte Term in
der Gl. (4.111) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung
ts > 4 , (4.112)
t
63,v s
die auch in vielen Fällen erfüllt sein dürfte, 1− exp( −4)
= 0,98 ≈ 1 und damit
*
s
t
s
≈ + t63,v v
s
(4.113)
s
Der Term s*/v s entspricht einer mittleren Verweilzeit t V,s während der stationären
Partikelsedimentation:
s
v
s
*
s
= t
(4.114)
V,s
V,s
t ≈ t + t
(4.115)
63,v s
Dies kann auch als Nachweis der Plausibilität dieser Herleitungen dienen.
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
11 Siehe auch: Müller, W. H. und Ferber, F., Technische Mechanik für Ingenieure, S. 216,
Fachbuchverlag Leipzig, 2003
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013

205
Da sich keine analytische Umkehrfunktion für die Sinkweg-Zeit-Funktion finden
lässt, kann man beide Gln. (4.107) und (4.110) numerisch koppeln. Darüber
hinaus kann man unter der Bedingung ts / t63,v
> 4 die Sinkzeit
*
s
t
s
≈ + t63,v v
s
(4.113)
s
in die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion, Gl.(4.107), einsetzen:
⎡ ⎛ ⎞⎤
⎢ ⎜
t
v (t) = v
⎟
s ⋅ 1 − exp −
⎥
(4.107)
⎢⎣
⎝
t63,v
s ⎠⎥⎦
Das ergibt eine Näherung der Geschwindigkeits-Weg-Funktion der Partikelsedimentation
im STOKES-Bereich:
⎡ ⎛
⎞⎤
⎢ ⎜
s
v(s) ≈ v
⎟
s
⋅ 1−
exp − −1
⎥
(4.116)
⎢⎣
⎝
vs
⋅ t63,v s ⎠⎥⎦
Die Lösungen (4.107) und (4.110) für den STOKES-Bereich ergeben, dass
zwar die stationäre Sinkgeschwindigkeit erst erreicht wird, wenn t → ∞ bzw.
der Weg s → ∞ geht. Praktisch interessiert aber, nach welcher Sinkzeit t die
instationäre Geschwindigkeit v(t) sich v s genügend genähert hat bzw. die stationäre
Sinkgeschwindigkeit praktisch erreicht worden ist:
[ 1−
exp( −1)
] = 0,63
s
v(t
= t
⋅
(4.117)
s
63,v
) = vs
⋅
v
[ 1−
exp( −3)
] = 0,95
s
95
3⋅
t63,v
) = vs
⋅
v
v(t
= ⋅
(4.118)
s
geworden ist. Für diese Sinkzeiten t = t 63,vs und t = 3 . t 63,vs ergeben sich somit
folgende charakteristische Sinkwege (mit Gl.(4.108) für t 63,vs ):
⎪
⎧
⎡ ⎛ t ⎞⎤
63,vs
⎪
⎫
s(t
= t
,v
) v t t 1 exp
v t 1 1
s
=
s ⋅ ⎨ 63,vs
−
63,v
⎬ =
s
⋅ ⎢ − ⎜ − ⎟⎥
s
⋅
63, v
−
s
t
63,v
⎪⎩
⎢
⎣ ⎝
s ⎠⎥⎦
⎪⎭
s
{ [ 0,37]
}
63
−
( D⋅g)
2
s(t = t ) = 0,37⋅
v ⋅ t = 0,37⋅
v /
(4.119)
s(t
s(t
63,vs
s 63,vs
s
⎪⎧
⎡ 3t ⎞⎤
63 ⎪⎫
95
3t
63,v
) v 3t t 1 exp
v t
s s ⎨ 63,vs
63,v ⎢ =
s ⎜ ⎥⎬
s
⋅
63, v
−
s
⎪⎩
⎛ = = − − −
⎣ t
⎟
⎝ 63 ⎠⎦⎪⎭
( D⋅g)
{ 3 − [ 1 0,05]
}
2
= 3⋅
t ) = 2,05⋅
v ⋅ t = 2,05⋅
v /
(4.120)
95 63,vs
s 63,vs
s
Bei laminarer Partikelumströmung in Flüssigkeiten (ρ f ≈ 1000 kg/m 3 ) sind diese
Übergangszeiten und Beschleunigungswege für verfahrenstechnische Auslegungsrechnungen
gewöhnlich vernachlässigbar, siehe Tabelle 4.3. Es kann
näherungsweise mit stationären Prozessen gerechnet werden 10 .
4.1.2.2.4 Näherungslösungen für turbulente Umströmung
Analytische Näherungslösungen kann man für die turbulente Umströmung
glatter Kugeln im NEWTON-Bereich c W = 0,44 ≠ f(v(t)) nur gewinnen, wenn
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013

206
man während der Partikelbeschleunigung - also beim zeitlichen Durchlaufen
des Bereiches der geringen Sinkgeschwindigkeiten des laminaren und des
Übergangsbereiches der Partikelumströmung, siehe Tabelle 4.2 - voraussetzt,
dass der Widerstandsbeiwert abschnittsweise c W = const. sei 10 . Der Bereich
beginnender laminarer Sinkbewegung ist im Vergleich zur stationären Sinkgeschwindigkeit
bei turbulenter Partikelumströmung vernachlässigbar klein. Das
zeigt das Verhältnis beider kritischen Reynoldszahlen (für d = const.):
v
Re
1
krit,lam
s,lam
≤ ⋅ vs,turb
= ⋅ vs,turb
= 0,1% ⋅ vs,turb
(4.121)
Rekrit,turb
1000
Das Verhältnis der Beschleunigungen, d.h. Gl.(4.104)/Gl.(4.106) beispielsweise
für v = 0,5 . v s , zeigt wegen des geringeren Widerstandsbeiwertes c W,turb <
c W,Über den um 50% schnelleren Zeitverlauf (Anstieg) bei turbulenter Umströmung
und damit die Plausibilität obiger Annahme:
⎛ dv ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
⎛ dv
⎜
⎞ ⎟
⎝ dt ⎠
turb
lam
v=
0,5⋅vs
=
D
( ρ )
D
f
( ρ )
f
2
⎛ v (t)
g 1
2
v ⎟ ⎞
⋅ ⋅ ⎜ −
⎝ s ⎠
⎛ v(t) ⎞
⋅ g ⋅ ⎜1
−
v
⎟
⎝ s ⎠
v=
0,5⋅vs
2
1−
0,5
=
1−
0,5
= 1,5
(4.122)
dv(t)
dt
ρs
− ρf
ρ + ϕ ⋅ρ
2
⎛ v (t) ⎞
⋅ g ⋅ ⎜1
−
⎟
2 = D
⎝ vs
⎠
⎛
( ρ ) ⋅ ⎜
⎟ f ⋅ g 1 −
⎝ vs
⎠
=
2
s
f
f
2
v (t) ⎞
. (4.104)
Die Integration der nichtlinearen Differentialgleichung liefert nach Trennung
der Variablen mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 für übliche v(t) ≤ v s
v
∫
v=
0
dv
2
v − v
s
2
D⋅g
= ⋅
2
v
s
t
∫
t=
0
dt
(4.123)
folgende Lösung 12 :
v
∫
v=
0
dv
2
v − v
s
2
1
=
2⋅
v
s
⎛ vs
+ v ⎞
⋅ln
⎜ ⎟
vs
v
⎝ − ⎠
v
0
1
=
2⋅
v
s
⎡ ⎛ vs
+ v ⎞ ⎛ v ⎞⎤
s
D⋅g
⋅ ⎢ln
⎜ ln ⎥ = ⋅ t
2
⎣ vs
v
⎟ −
⎜
v
⎟
⎝ − ⎠ ⎝ s ⎠⎦
vs
⎛ vs
+ v ⎞ 2⋅
D⋅g
v + v ⎛ 2⋅
D⋅g
ln
⎜ = ⋅ t
vs
v
⎟ ,
⎝ − ⎠ v
⎟ ⎞
= exp
⎜ ⋅ t
s
vs
− v ⎝ vs
⎠
⎛ 2⋅
D⋅g
⎞
v + v =
t
s
( v ) ⎜
⎟ s
− v ⋅exp
⋅
⎝ vs
⎠
s
,
⎡ ⎛ 2⋅
D⋅g
⎞⎤
⎡ ⎛ 2⋅
D⋅g
⎞ ⎤
v ⋅ ⎢1
+ exp
⎜ ⋅ t⎟
⎥ = v ⋅ ⎢ ⎜
⋅ t
⎟ −
s
exp
1⎥
,
⎣ ⎝ vs
⎠⎦
⎣ ⎝ vs
⎠ ⎦
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
12 Siehe Ruge, P., Mathematik, S. A 47, in Czichos, H., Hütte, Springer Berlin 1991.
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⎛ 2⋅
D⋅g
⎞
exp⎜
⋅ t
⎟ − 1
⎝ vs
⎠
⎛ D⋅g
⎞
v(t) = vs ⋅
= vs
⋅ tanh
⎜ ⋅ t
⎟ mit
⎛ 2⋅
D⋅g
⎞
⎝ ⎠
⎜ ⋅
⎟ +
vs
exp t 1
⎝ vs
⎠
exp
exp
( 2x)
( 2x)
−1
=
+ 1
207
tanh( x)
Das ergibt die Zeitabhängigkeit der instationären Sinkgeschwindigkeit, d.h.
die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der beschleunigten Partikelsedimentation
bei turbulenter Umströmung
⎛ t ⎞
v (t) = v ⋅ ⎜ ⎟
s
tanh
(4.124)
⎝ t76,vs
⎠
mit der für diesen Mikroprozess typischen tanh-Funktion und einer charakteristischen
Sinkzeit t 76,vs der turbulenten Partikelumströmung:
vs
1 4 ( ρs−ρf
) ⋅d
⋅g
ρs
+ ϕf
⋅ρf
4⋅(
ρs−ρf
) ⋅d
t76,vs
= = ⋅
= ⋅
D⋅g
D⋅g
3 c ⋅ρ ρ − ρ 3⋅c
⋅ρ ⋅g
t
76,vs
W
f
= vs
ρs
+ ϕf
⋅ρf
4 ⋅ ( ρs−ρf
) ⋅ d
= ⋅
D( ρ ) ⋅ g ρ − ρ 3⋅
c ⋅ρ ⋅ g
(4.125)
f
s
f
W
Der Index 76 der charakteristischen Sinkzeit wurde gewählt, weil für t = t 76 die
Funktion
v(t
= t ) = v ⋅ tanh 1 = 0,76 ⋅
(4.126)
( )
s
76,vs
s
v
ergibt. Die stationäre Sinkgeschwindigkeit wird für
v(t
v(t
( 2) = 0,964 ⋅
s
96
2 ⋅ t76,vs)
= vs
⋅ tanh v
= (4.127)
( 3) = 0,995⋅
s
99
3⋅
t76,vs)
= vs
⋅ tanh v
= (4.128)
mit weniger als 4%-iger bzw. 0,5%-iger Abweichung erreicht.
Die erneute Integration der Differentialgleichung der Zeitfunktion der instationären
Sinkgeschwindigkeit, Gl.(4.124),
ds(t) ⎛ ⎞
⎜
t
v (t) = = v ⋅ ⎟
s
tanh
(4.129)
dt
⎝ t
76,vs ⎠
liefert mit der Anfangsbedingung s(t = 0) = 0:
s(t)
∫
s=
0
t
⎛ ⎞
⎜
t
ds = s(t) = v ⋅
⎟
s ∫ tanh
dt
(4.130)
t=
0 ⎝ t
76, vs ⎠
Das rechte Integral wird mit Hilfe folgender Substitutionen analytisch gelöst:
x = t / t 76,vs
abgeleitet: dx = dt / t 76, vs
d.h.: dt = t
76,
vs
⋅ dx
∫
⎛
⎜
t
tanh
⎝ t
76,vs
⎞
⎟
dt = t
⎠
76,vs
⋅
∫
tanh
( x)
f
s
f
dx = t
76, vs
⋅
∫
W
sinh
cosh
f
( x)
( x)
dx
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∫
sinh
cosh
( x)
( x)
dx
208
f
entspricht dem Integralkern 13 f’(x)/f(x), also: ∫ ′ (x)
dx
f (x)
Die Substitution u = cosh( x)
ergibt abgeleitet:
( x) ⋅ dx
du = sinh d.h.:
Das unbestimmte Integral wird umgeformt zu:
t ⎞
sinh( x)
du
tanh ⎟
∫ ⎜ ⎛
dt t
76,vs
t
t
= ⋅∫
⋅ =
⎝ 76,vs ⎠
u sinh( x)
Das rückwärtige Einsetzen liefert:
t
∫
t=
0
t
∫
t=
0
t
∫
⎛ t
tanh⎜
⎝ t
⎛
⎜
t
tanh
⎝ t
76,
⎛
⎜
t
tanh
⎝ t
⎞
⎟
dt = t
⎠
⋅ ln cosh(x)
du
dx =
sinh( x)
76,vs
⋅
∫
du
u
= t
76,vs
u=
1 76,vs
76,
vs
t
76,vs
vs
⎞
⎟
dt = t
⎠
⎞
⎟
dt = t
⎠
76,vs
u
⎡ ⎛
⎢ ⎜
t
⋅ ln cosh
⎢
⎣ ⎝ t
⎛
⋅ ln cosh⎜
⎝
76,vs
76,vs
t= 0 76,
vs
t
76, vs
t
= t
⎞
⎟
⎠
⎛
⋅ ln cosh⎜
⎝
⎞
⎟
− ln cosh
⎠
⎤
( 0) ⎥
⎥
⎦
t
76, vs
⎞
⎟
⎠
t
⋅ln u
Die Weg-Zeit-Funktion der Partikelsedimentation im NEWTON-Bereich ist:
⎞
⎟
⎜ ⎛ t
s (t) = vs
⋅ t
76,vs
⋅ ln cosh
(4.131)
⎝ t
76,vs ⎠
Mit dieser Weg-Zeit-Funktion lassen sich folgende charakteristische Sinkwege
ermitteln:
s(t
2
( ) = 0,433⋅
v ⋅ t = 0,433⋅
v /(D g)
) = v ⋅ t ⋅ln cosh 1
(4.132)
76 s 76,vs
s 76,vs
s
⋅
t=
0
t
2
= 2 ⋅ , d.h. s(t ) = 1,33⋅
v ⋅ t = 1,33⋅
v /(D g)
(4.133)
96
t 76,vs
96 s 76,vs
s
⋅
t
2
= 3⋅
, d.h. s(t ) = 2,31⋅
v ⋅ t = 2,31⋅
v /(D g)
(4.134)
99
t 76,vs
99 s 76,vs
s
⋅
Die Umkehrfunktion für eine gesuchte Sinkzeit t s bei gegebener Behälterhöhe
(Weg) s* ergibt sich durch Umstellen dieser Gl. (4.131):
*
s
v ⋅ t
s
76,vs
⎛
⎜
t
= ln cosh
⎝ t
s
76, vs
⎞
⎟
⎠
⎛
*
⎞ ⎛ ⎞
⎜
s
⎟ = ⎜
t
s
exp ⎟
cosh
(4.135)
⎝ vs
⋅ t
76,vs ⎠ ⎝ t
76, vs ⎠
Dazu wird die cosh-Funktion in exp-Funktionen umgewandelt 14 :
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
13 Leupolt, W. u.a., Analysis, S. 254 und 256, Fachbchverlag Leipzig 1968.
14 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 88 und 91, 7. Aufl.,
Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.
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⎛ t
s
cosh⎜
⎝ t
exp t / t
exp⎜
⎝ v
76,vs
⎞ exp
⎟
=
⎠
⋅ exp t
( t / t )
s
76,vs
+ exp( −t
2
s
/ t
76,vs
)
exp(t
⋅
exp(t
(
s 76,vs
) (
s
/ t
76,vs
) + exp( −t
s
/ t
76,vs)
⋅ exp( t
s
/ t
76,vs
)
2 ⋅ exp( t
s
/ t
76,vs
)
⎛
*
⎞ exp( 2t / t ) + 1
s
s
⋅ t
76,vs
⎟
=
⎠
s
2 ⋅ exp(t
s
76,vs
/ t
76,vs
Das wird in eine quadratische Gleichung bezüglich ( t / )
exp
*
( 2t / t ) 2 ⋅ exp⎜
⋅ exp(t / t ) + 1 0
und gelöst:
exp
)
s
s
/ t
/ t
76,vs
76,vs
)
)
209
( 2t / t )
exp
s
=
2 ⋅ exp(t
s
t 76,vs
s
76,vs
/ t
76,vs
+ 1
exp umgewandelt
⎛ s
s 76, vs
vs
t ⎟ ⎞
− (4.136)
⎜
⎝ ⋅
76,vs ⎠
s 76,vs
=
⎛ s ⎞ 2 s ⎞
v t
⎜ ⎛ ⋅
=
⎜ ⎟
s 76,vs
vs
t ⎟
(4.137)
⎝ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅
76,vs ⎠
*
*
( t / t ) exp⎜
⎟ + exp ⎟ −1
s
76,vs
Diese Formulierung wird nun umgewandelt und vereinfacht:
⎡ ⎛
*
⎞ ⎤
⎜
2 ⋅ s
exp ⎟ ⎥
−1
⎛
*
⎞
⎥
( )
⎝ ⋅
⎜
s
vs
t
76,vs
exp t
⎟ ⋅ +
⎠
s
/ t
76,vs
= exp
1
⎥
⎝ v ⋅ ⎠
⎥
⎢ ⎢⎢⎢⎢ ⎛
*
s
t
76,vs
⎞
⎜
2 ⋅ s
exp ⎟
⎥
⎣ ⎝ vs
⋅ t
76,vs ⎠ ⎦
⎛
*
⎞ ⎡ ⎛
*
⎞⎤
( ) ⎜
s
⎟ ⎢ ⎜
2 ⋅ s
exp t
⋅ + −
⎟⎥
s
/ t
76,vs
= exp
1 1 exp
⎢
−
⎝ vs
⋅ t
76,vs ⎠
⎥
⎣ ⎝ vs
⋅ t
76,vs ⎠⎦
⎧
⎫
⎪ ⎛
*
⎞ ⎡ ⎛
*
⎞⎤
⎪
⎨ ⎜
s
⎟ ⎢ ⎜
2 ⋅ s
t
⎟⎥
s
= t
76,vs
⋅ ln exp
⋅ 1+
1−
exp
⎬
⎢
−
⎥
⎪⎩ ⎝ vs
⋅ t
76,vs ⎠ ⎣ ⎝ vs
⋅ t
76,vs ⎠⎦⎪⎭
*
⎡ ⎛
*
s
⎞⎤
⎢ ⎜
2 ⋅ s
t
⎟⎥
s
= t
76,vs
⋅ + t
76,vs
⋅ ln 1+
1−
exp
⎢
−
v ⋅
s
t
76,vs
⎥
⎣ ⎝ vs
⋅ t
76,vs ⎠⎦
Daraus ergibt sich eine übersichtliche Umkehrfunktion der Sinkzeit t s = f(s*):
* ⎡ ⎛
*
s
⎞⎤
⎢ ⎜
2 ⋅ s
t ⎟⎥
s
= + t
76,vs
⋅ ln 1+
1−
exp
⎢
−
(4.138)
vs
⎥
⎣ ⎝ vs
⋅ t
76,vs ⎠⎦
mit der stationären Sinkgeschwindigkeit im NEWTON-Bereich
v
4 ⋅ ( ρ
−ρ ) ⋅ d ⋅ g
s f
s,N
= (4.56)
3⋅
cW
⋅ ρf
)
der charakteristischen Sinkzeit t 76,vs
t
76,vs
vs
ρs
+ ϕf
⋅ρf
4⋅(
ρs−ρf
) ⋅d
= = ⋅
(4.125)
D⋅g
ρ − ρ 3⋅c
⋅ρ ⋅g
s
f
W
und mit dem charakteristischen Produkt im Argument der exp-Funktion:
f
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v ⋅ t
s
v ⋅ t
s
76,vs
76,vs
2
vs
ρs
+ ϕf
⋅ρ
= =
D ⋅ g ρ − ρ
ρs
+ ϕf
⋅ρ
=
ρ − ρ
s
f
f
s
f
f
⋅
W
4 ⋅(
ρs
−ρf
) ⋅d
⋅ g
⋅
3⋅c
⋅ρ
4 ⋅ ( ρs
−ρf
) ⋅ d 4 ⋅ ( ρs
+ ϕf
⋅ρ
⋅
=
3⋅
c ⋅ρ 3⋅
c ⋅ρ
f
W
f
W
4 ⋅(
ρs−ρ
3⋅c
⋅ρ
f
f
W
) ⋅d
f
f
) ⋅d
⋅ g
210
v
v
4 ⋅ ( ρ + ϕ
⋅ρ ) ⋅d
2
s
s f f
s
⋅ t76,vs
= =
(4.139)
D ⋅ g 3⋅cW
⋅ρf
Anhand der obigen Gl.(4.138) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich
die gesamte Sinkzeit aus der stationären Sinkzeit und einer Anlaufzeit des
beschleunigten Sinkprozesses zusammensetzt.
Für große Wege s * , schnelle Kinetik (kleine charakteristische Sinkzeit) t 76,vs
und geringe stationäre Sinkgeschwindigkeit v s kann der letzte Term in der Gl.
(4.138) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung
v
s
*
s
⋅ t
76,vs
> 2 , (4.140)
die auch in vielen Fällen erfüllt wird, 1− exp( −4)
= 0,98 ≈ 1 und damit
t
s
*
s
≈ + t
76, vs
⋅ ln 2
(4.141)
v
s
Der Term s*/v s entspricht der mittleren Verweilzeit t V,s während der stationären
Partikelsedimentation in einem Klassierer oder Absetzbehälter:
s
v
*
s
= t
(4.142)
V,s
t
s
≈ t + t ⋅ ln 2
(4.143)
V,s
76, vs
Diese einfache Abschätzung lässt sich auch als Plausibilitätsbeweis der rechnerisch
recht aufwändigen Herleitungen der instationären Modelle auffassen:
Gesucht wird nun die Geschwindigkeits-Weg-Funktion der Partikelsedimentation
im NEWTON-Bereich. Dazu muß die Zeit in der Geschwindigkeits-Zeit-
Funktion, Gl.(4.124),
⎛ t ⎞
v (t) = v ⋅ ⎜ ⎟
s
tanh
(4.124)
⎝ t76,vs
⎠
durch eine Zeit-Weg-Funktion ersetzt werden. Um sich die aufwändigen Umrechnungen
zu sparen, wird statt der abschließenden Formulierung, Gl.(4.138),
die Zwischenlösung, Gl. (4.135), bevorzugt:
*
⎛ t ⎞ ⎛ ⎞
⎜
s
s
cosh ⎟ = ⎜ ⎟
exp
, (4.135)
⎝ t76,vs
⎠ ⎝ vs
⋅ t76,vs
⎠
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211
Denn die tanh-Funktion in der Gl. (4.124) lässt sich auch mit der cosh-
Funktion ausdrücken 14 :
v (t)
= v
s
⎛ t
⋅ tanh⎜
⎝ t
76,vs
⎞
⎟
= v
⎠
s
⋅
⎜ ⎛
2 t
cosh
⎝ t
⎛ t
cosh⎜
⎝ t
76,vs
76,vs
⎞
⎟
−1
⎠
⎞
⎟
⎠
= v
s
⋅
1−
cosh
−2
⎜ ⎛ t
⎝ t
Einsetzen der Gl. (4.135) liefert die Geschwindigkeits-Weg-Funktion während
der beschleunigten Partikelsedimentation im NEWTON-Bereich:
⎛ 2⋅s
⎞
v (s) = v ⋅ − ⎜ ⎟
s
1 exp
−
(4.144)
⎝ vs
⋅ t76,vs
⎠
Folgendes Rechenbeispiel soll die Zusammenhänge nochmals verdeutlichen:
a) Für die Sedimentation grober Qarzpartikel (d = 10 mm, ρ s = 2650 kg/m 3 )
in Flüssigkeiten (η = 10 -3 Pa⋅s, ρl = 1000 kg/m 3 , φ f = 0,5 →D(ρ f ) = 0,524)
sind diese Beschleunigungszeiten t sink (v/v s =0,96) = 0,27 s und Beschleunigungswege
s(t 96 = 2 . t 76,vs ) = 126 mm ebenfalls noch verhältnismäßig klein
bei einer stationären Sinkgeschwindigkeit v s = 0,7 m/s und Re = 7000 >
Re krit = 10 3 .
b) Für die Sedimentation grober Partikel (d = 10 mm, ρ s = 2650 kg/m 3 ) in
einem Gas (Luft η = 18⋅10 -6 Pa⋅s, ρg = 1,2 kg/m 3 ) dauern diese Übergangszeiten
im NEWTON-Bereich jedoch um Größenordnungen länger
t sink (v/v s =0,96) = 5,7 s, bzw. die Beschleunigungswege sind ebenfalls
deutlich länger s(t 96 = 2 . t 76,vs ) = 106 m und zwar für v s = 28 m/s und Re =
1,87 . 10 4 .
c) Beim Fallen großer biologischer Körper (d äqu ≈ 0,5 m, ρ s ≈ 1100 kg/m 3 ) in
der atmosphärischen Luft η = 18⋅10 -6 Pa⋅s, ρg = 1,2 kg/m 3 dauern diese
Beschleunigungszeiten noch länger t sink (v/v s =0,96) = 23,8 s. Die Beschleunigungswege
sind ebenfalls um einige Größenordnungen länger s(t 96 =
2 . t 76,vs ) = 1,86 km und zwar für die Endfallgeschwindigkeit von v s = 117
m/s bzw. 421 km/h und Re = 3,9 . 10 6 .
Folglich lassen sich die Beschleunigungszeiten und -wege für die letzten beiden
Fälle b) und c) der Sedimentation grober Partikel in Luft nicht mehr vernachlässigen,
siehe auch der gelb markierte Bereich in der Tabelle 4.3:
76,vs
⎞
⎟
⎠
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013

212
Tabelle 4.3: Übersicht über wesentliche Kennwerte der gleichmäßig beschleunigten
Partikelsedimentation (Quarzpartikel ρ s = 2650 kg/m 3 ) in Wasser (η =
10 -3 Pa⋅s, ρl = 1000 kg/m 3 , φ f =0,5 → D(ρ f ) = 0,524) und Luft (η = 18⋅10 -6 Pa⋅s,
ρ g = 1,2 kg/m 3 ). Die Zahlenwerte wurden mit den Modellen berechnet, die in
der folgenden Tabelle 4.4 zur besseren Übersicht noch einmal zusammengefasst
wurden.
Mikroprozessgrößen
Laminare Partikelumströmung
Turbulente Partikelumströmung
Reynolds-Zahlbereich Re < Re St = 0,25…1 10 3 < Re N < Re c = 2⋅10 5
Widerstandsbeiwert c W 24/Re 0,44
Partikelgröße d in µm 40 10 mm
Dispersionsmittel Wasser Luft Wasser Luft
Partikel-Reynolds-Zahl Re 0,06 0,34 7000 1,87 . 10 4
Partikelgrößenbereich d in µm < 100 < 57 > 2,7 mm > 1,5 mm
Stationäre Sinkgeschwindigkeit v s in m/s 1,44 . 10 -3 0,13 0,7 28
Charakteristische Sinkgeschwindigkeiten
in m/s
Charakteristische Beschleunigungswege
in mm
Charakteristische Sinkzeiten
in s
v(t 63 o. t 76 ) 0,91 . 10 -3 0,08 0,53 21,3
v(t 95 o. t 96 ) 1,37 . 10 -3 0,124 0,67 27
s(t 63 o. t 76 ) 0,15 µm 6 40 34 m
s(t 95 o. t 96 ) 0,82 µm 34 126 106 m
t 63,vs , t 76,vs 0,28 ms 0,013 0,13 2,8
t 95,vs , t 96,vs 0,84 ms 0,039 0,27 5,7
Wegparameter t s /t 63,vs > 4, s * /(v s . t 76,vs ) > 2 2,4 . 10 5 59 1,07 1,3 . 10 -3
Sinkzeiten t s (s * = 0,1 m) in s 69 0,78 0,19 0,01
Diese teilweise neu entwickelten Modelle 15 - vergleiche dazu 10 - zur Beschreibung
der wesentlichen Mikroprozessgrößen der beschleunigten Partikelsedimentation
bei stationärer Anströmung und homogener Umströmung wurden in
der Tabelle 4.4, der Folie 4.11 und Folie 4.12 zusammengefasst:
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
15 Tomas, J., Vorlesungsmanuskript MVT, Kapitel 4, Magdeburg 2011
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213
Tabelle 4.4: Übersicht über die Modelle der gleichmäßig beschleunigten Partikelsedimentation für laminare und turbulente Umströmung (TOMAS 2011)
Mikroprozessgrößen Laminare Partikelumströmung Turbulente Partikelumströmung
2
2 2
Partikelgrößenbereich 18⋅
η ⋅ Re
3
St
(4.57) 3⋅
c
dSt
≤ 3
W
η ⋅ ReN
d
N
≥ ⋅
(4.59)
ρ ⋅ ( ρ −ρ ) ⋅ g
4 ⋅ρ ⋅ ( ρ −ρ ) ⋅ g
Differentialgleichung
Reynolds-Zahl, c W Re < Re St = 0,25 ... 1, c W = 24/Re (4.13) 10 3 < Re N < Re c = 2⋅10 5 , c W = 0,44 (4.15)
2
Stationäre Sinkgeschwindigkeit
18η
3⋅c
( ρs−ρf
) ⋅d
⋅ g
v =
(4.55) 4 ⋅(
ρs
−ρf
) ⋅d
⋅ g
(4.56)
s ,St
vs,N
=
⋅ρ
Geschwindigkeits-Zeit-
Gesetz
Charakteristische Sinkzeit
Charakteristische Sinkgeschwindigkeiten
Differentialgleichung
Weg-Zeit-Gesetz
Sinkzeit
Charakteristische Beschleunigungswege
Geschwindigkeits-Weg-
Gesetz
f
s
f
dv (t)
⎛ v(t) ⎞
= D( ρ
f
) ⋅ g ⋅ ⎜1
−
⎟
(4.106) ( ) 2
dv (t) ⎛ v (t)
dt
⎝ v
s ⎠
⎟ ⎞
= D ρ
f ⋅ g ⋅
⎜1
−
(4.104)
2
dt
⎝ vs
⎠
⎡ ⎛ ⎞⎤
⎢ ⎜
t
⎟
⎢
⎥ ⎥ (4.107)
v (t) = v
s ⋅ 1 − exp −
⎣ ⎝
t
63,vs
⎠⎦
( ρ )
( ρ + ϕ ⋅ρ )
2
vs
s f f
⋅ d
t = =
(4.108)
63,v
s
D ⋅ g 18⋅
η
f
[ 1 − exp( −1)
] = 0,63
s
vs
⋅[ 1 − exp( −3)
] = 0,95
s
v(t
= t ) = v ⋅
⋅
s
63,v
s
v
95
= 3⋅
t63,v
) =
v
v(t
⋅
s
(t) ⎡ ⎛ ⎞⎤
⎢ ⎜
t
= v
⎟
s ⋅ 1 − exp − ⎥
dt ⎢
⎣ ⎝
t
63,vs
⎠⎥⎦
⎪
⎧ ⎡ ⎛ ⎞⎤⎪
⎫
⎨ ⎢ ⎜
t
(t) = v
⎟
s ⋅ t − t
63,v ⋅ 1 − exp − ⎥⎬
s
⎪⎩ ⎢
⎣ ⎝
t
63,vs
⎠⎥⎦
⎪⎭
2
s(t = t63,v
) = 0,37⋅
vs
⋅ t63,v
= 0,37⋅
vs
/( D ⋅ g)
s
s
2
s(t = 3⋅
t ) = 2,05⋅
v ⋅ t = 2,05⋅
v / D ⋅ g
(4.117)
(4.118)
ds (4.109)
s
(4.110)
95 63,vs
s 63,vs
*
s ⎡ ⎛ t ⎞⎤
s,(0)
t
⎢ ⎜ ⎟
s = + t
63,v ⋅ 1 − exp − ⎥
s
v ⎢
s
⎣ ⎝
t
63,vs
⎠⎥⎦
⎡ ⎛
⎞
⎥ ⎥ ⎤
⎢ ⎜
s
v(s) ≈ v
⎟
s
⋅ 1−
exp − −1
⎢⎣
⎝
vs
⋅ t63,v s ⎠⎦
s
( )
(4.119)
(4.120)
(4.111)
(4.116)
v (t)
t
v(t
= v
s
f
s
W
⎛ t
⋅ tanh⎜
⎝ t
f
f
76,vs
⎞
⎟
⎠
(4.124)
= vs
ρs
+ ϕf
⋅ ρf
4 ⋅ ( ρs−ρf
) ⋅ d
= ⋅
(4.125)
D( ρ ) ⋅ g ρ − ρ 3⋅
c ⋅ ρ ⋅ g
76,vs
f
s f
W f
= t
76,vs)
= vs
⋅ tanh 1 v
96
= 2 ⋅ t76,vs)
= vs
⋅
v
v(t
(t)
dt
= v
s
⎛ t
⋅ tanh⎜
⎝ t
76,vs
⎞
⎟
⎠
( ) = 0,76 ⋅
s
tanh( 2) = 0,964 ⋅
s
(4.126)
(4.127)
ds (4.129)
⎛ ⎞
⎜
t
⎟
(4.131)
s (t) = vs
⋅ t
76,vs
⋅ ln cosh
⎝ t
76,vs ⎠
2
s(t76 ) = 0,433⋅
vs
⋅ t76,vs
= 0,433⋅
vs
/(D ⋅ g)
(4.132)
2
s(t96 ) = 1,33⋅
vs
⋅ t76,vs
= 1,33⋅
vs
/(D ⋅ g)
(4.133)
* ⎡ ⎛
*
s
⎞⎤
⎢ ⎜
2⋅s
(4.138)
t ⎟⎥
s
= + t
76,vs
⋅ln
1+
1−
exp
⎢
−
v
s
⎥
⎣ ⎝ vs
⋅ t
76,vs ⎠⎦
⎛ 2⋅s
⎞
(4.144)
v (s) = v ⋅ − ⎜ ⎟
s
1 exp
−
⎝ vs
⋅ t76,vs
⎠
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4.1.3 Bewegung deformierbarer Partikel in stationärer Strömung
214
Siehe dazu die Lehrbücher MVT 16 oder Strömungsmechanik, sowie ⇒ VO
Mechanische Trennprozesse/Mechanische Flüssigkeitsabtrennung im Abschnitt
4.1 „Grundlagen und Auslegung der Leichtstofftrennung“ ..\VO_MTP\MFA-
_4.doc z.B. ../VO_MTP/MFA_4.doc#cw_korr
4.1.4 Bewegung von Partikelschwärmen
Bei verfahrenstechnischen Prozessen bewegen sich im Allgemeinen nicht Einzelpartikel,
sondern Partikelschwärme. Infolgedessen sind zusätzliche Einflüsse
auf die Partikelbewegung vorhanden, die einen komplexen Charakter besitzen
und nur schwierig erfassbar sind.
1) Falls keine flockende Wirkung vorhanden ist, kann man bei mittleren Partikelabständen
a > 5⋅d, siehe MVT_e_1neu.doc#phis_a
a ϕs,max
k 3
a
= = −1
(4.145)
d ϕ
s
und dem Festoffvolumenanteil
3
Vs
π ⋅ d π
ϕs = = =
= 1 − ε, (4.146)
3
V 6 ⋅
3
( d + a) 6 ⋅ ( 1 + a / d)
d.h. ϕ s etwa < 0,25 % (hier ϕ s,max = π/6 = 0,5326), die gegenseitige Beeinflussung
völlig vernachlässigen.
2) Im Bereich von etwa 0,1 % < ϕ s < 5 % wurden verschiedentlich Geschwindigkeitserhöhungen
gegenüber der für Einzelpartikel berechneten
STOKES-Geschwindigkeit festgestellt (siehe z.B. /3.22./ bis /3.25/). Solche
Geschwindigkeitserhöhungen sind auf die Bildung von Partikelschwärmen
(Cluster) zurückzuführen, d.h. die Bildung von Anordnungen nahe beieinander
gelegener Partikeln, die sich gegenseitig hydrodynamisch beeinflussen.
Diese sich nicht berührenden Partikelschwärme haben einen geringeren
Widerstandsbeiwert als die Einzelpartikel, wenn das Strömungsfeld
groß genug gegenüber den Abmessungen der Partikelschwärme ist – d.h.
freie unbehinderte Umströmung, z.B. Radfahrerpulk bei Gegenwind, siehe
Folie 4.13.7a.
3) Diese Geschwindigkeitserhöhung bleibt offensichtlich aus, wenn die Fluidströmung
sich durch die Partikelkomplexe "hindurchzwängen" muss - behinderte
Um- bzw. Durchströmung, z.B. bei Begrenzung durch Apparatewände
oder durch weitere Partikelschwärme, siehe Folie 4.13.7b.
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
16 Schubert, H., Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, S. 124 ff, WILEY-VCH,
Weinheim 2003
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013

215
Für verfahrenstechnische Prozesse interessiert vor allem der Feststoff-Konzentrationsbereich,
in dem die Bewegungsbehinderung bereits ausgeprägt ist,
Relativbewegungen aber noch möglich sind, d.h. der Bereich von etwa ϕ s = 2
% (a/d < 2 s. Gl.(4.145)) bis zu einer oberen Grenze, die von der
‣ Partikelgrößen- und -formverteilung,
‣ der Partikelabstandsverteilung und den resultierenden Wechselwirkungskräften,
‣ den Strömungsverhältnissen (laminar oder turbulent) und
‣ der Feldkraft abhängt.
Für die Berechnung der sog. "Schwarmbehinderung" existiert eine Reihe von
Modellansätzen. Die verfahrenstechnisch interessanten Ansätze lassen sich bei
Fest-Flüssig-Stoffsystemen (Trüben) wie folgt einteilen:
a) Die Suspension (= Trübe Index Tr) wird als Kontinuum (homogenes Fluid)
aufgefasst, dessen Dichte ρ Tr und Viskosität η Tr von der Feststoffkonzentration
mitbestimmt wird. Infolgedessen lässt sich die Partikelgeschwindigkeit
mit den bekannten Beziehungen für ein Kontinuum mit im Vergleich zum
reinen Fluid höheren Dichte und Viskosität berechnen (siehe z.B. /3.26/
bis /3.28/). Z.B. für Dünntrüben nach der EINSTEIN-Gleichung für ϕ s < 3%
(NEWTON’sches Verhalten, T = const.)
Tr
l
( 1+
k ⋅ ϕ )
η = η ⋅
(4.147)
η l
k P < 2,5
k P = 2,5
k P = 4,5
P
s
dynamische Viskosität der reinen Flüssigkeit
kugelförmige deformierbare Partikel
Partikelformfaktor für starre Kugeln
Formfaktor für zerkleinerte Partikel
sowie der Trübedichte
ms
+ ml
ρs
⋅ Vs
+ ρ
ρ = =
V
V
⋅ V
= ρ ⋅ ϕ
+ ρ
l l
Tr s s l
1
Tr
l
( ρs
− ρl
) ⋅ ϕs
⋅
( − ϕs
) = ρl
+ ( ρs− ρl
) ⋅ ϕs
ρ = ρ + . (4.148)
b) Der Feststoff der Suspension wird als durchströmte Partikelschicht aufgefasst,
siehe Folie 4.13.8 – siehe auch Zonensedimentation bei der Abwasserreinigung.
Die Geschwindigkeitsberechnung geschieht in diesem Fall auf
Grundlage eines geeigneten Durchströmungsmodells (siehe z.B. /3.26/
/3.28//3.29//3.35/ und auch Abschn. 8.1.2.4.1 MVT_e_8.doc).
c) Die Suspension wird als Zwei-Phasen-System mit unveränderlichen Eigenschaften
der Einzelphasen betrachtet. Dies verlangt in abgeschlossenen Behältern
sowie bei kontinuierlichen Querstromtrennungen zunächst die Berücksichtigung
der Gegenströmung, weil der Partikelvolumenstrom aus
Kontinuitätsgründen einen gleich großen, aber entgegen gerichteten Fluidstrom
hervorruft, siehe auch Folie 4.14.9b. Weiterhin ist in jedem Falle der
Einfluss des stark veränderten Geschwindigkeitsfeldes in der Umgebung der
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216
sich bewegenden Partikeln zu berücksichtigen, wodurch ein verstärkter Impulsaustausch
bewirkt wird (Schwarmturbulenz). Die Größe des Impulsaustausches
hängt von den Partikelgrößen und Partikelabständen ab. Der Einfluss
von Gegenströmung und verändertem Geschwindigkeitsfeld in der
Umgebung der Partikeln auf deren Bewegung wird hierbei ermittelt (siehe
z.B. /3.7.//3.30.//3.31./).
Die meisten dieser Modell gelten für monodispersen bzw. eng klassierten Feststoff.
Weiterhin werden im allgemeinen Zufallsanordnungen der Partikeln vorausgesetzt
und Wechselwirkungen zwischen den Partikeln - mit Ausnahme
hydrodynamischer Effekte - ausgeschlossen. Schließlich existieren auch einige
rein empirischen Ansätze zur Berücksichtigung der Schwarmbehinderung (siehe
z.B. /3.28.//3.32./).
Folie 4.14.9a liefert den Vergleich einiger Beziehungen, die zur Vorausberechnung
der Schwarmbehinderung von monodispersem Gut benutzt werden,
und zwar (v s,ϕ stationäre Schwarmsinkgeschwindigkeit eines Partikels):
a) nach RICHARDSON und ZAKI /3.32/:
v
v
s, ϕ
s
= k ϕ
= (1−ϕ
s
)
n
, (4.149)
Tabelle 4.5: Exponent der RICHARDSON- und ZAKI-Gleichung
n
Re p -Bereich
n = 4,65 < 0,2
−0,03
n = 4,35 ⋅ Re P
0,2 ... 1
−0,1
n = 4,45⋅
Re P
1 ... 500
n = 2,39 > 500
wobei die Partikel-Re-Zahl Re = d ⋅ v ⋅ρ η ist.
P s f
/
Meist wird jedoch n ≈ 3 verwendet !
b) nach STEINOUR /3.33/ (gültig für den STOKES-Bereich):
v
v
s, ϕ
s
2 −1,82
ϕs
= (1 − ϕs
) ⋅10
⋅
(4.150)
c) nach BRAUER und Mitarbeiter /3.7.//3.31/ (gültig für den STOKES-
Bereich):
vs,
v
s
ϕ
1
=
ϕs
1+
(1 − ϕ )
s
2
⋅
1+
1− ϕs
1,05
⎛ π ⎞
1+
⎜
12
⎟
⎝ ⋅ ϕs
⎠
2
−
1
2
f
(4.151)
= Gegenstromfaktor k G ⋅ Schwarmturbulenzfaktor k T
In die Folie 4.14.10 ist auch eine Ausgleichskurve von experimentellen Ergebnissen
mit aufgenommen worden, die verschiedene Autoren mit mono-
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217
dispersem Feststoff bzw. engen Partikelgrößenklassen unter STOKES-Bedingungen
ermittelten /3.28/. Eine Analyse von Gl.(4.151) ergibt auch noch, dass
sich der Einfluss der Schwarmturbulenz stärker als der der Gegenströmung auswirkt.
Es ist noch zu bemerken, dass die im vorstehenden dargestellten Modelle der
Schwarmbehinderung nur für nicht geflockte Suspensionen die realen Verhältnisse
im Bereich etwa ϕ s ≤ 30 % angenähert widerspiegeln können.
Bei Partikelvolumenanteilen ϕ s > 30 % bewegen sich auch in nicht geflockten
Suspensionen die Partikeln unabhängig von ihrer Größe mit der gleichen Geschwindigkeit
⇒ Zonensedimentation (Eindickung) /3.34./:
v
ϕ
= f ( ϕ ) ≠ f (d) . (4.152)
s,
s
Dies ist eine Folge einer rein mechanischen Verhinderung von Relativbewegungen
(Sperrwirkung) aufgrund der zunehmend hohen Packungsdichte. Der
Umströmungswiderstand wird zu einem Durchströmungswiderstand. Zusätzliche
Flockenbildung setzt diese kritische Konzentration auf ϕ s

218
Die je nach Fließverhalten der Suspension scheinbare Viskosität - pseudo-
NEWTON’sches Verhalten vorausgesetzt - lässt sich wie folgt abschätzen (siehe
z.B. /3.26/ bis /3.28/):
für ϕ s < 30% und T = const.
⎛
⎜
⎝
1,25 ⋅ ϕ
⎞
⎟
⎠
2
s
η
Tr
= ηl
⋅ 1+
(4.153)
⎜ 1− ϕs
/ ϕ ⎟
s,max
mit ϕ s, max = 0,35 ... 0,84, siehe Gl.(4.145) in Abhängigkeit von
‣ den Partikelabständen einer möglichen Packungsart und –dichte,
‣ der Partikelgrößenverteilung und von
‣ strukturbeeinflussenden gelösten Ionen, die Wasserstoffbrückenbindungen
und Clusterbildung des Wassers 2 H 2 O ⇔ [H 2 O + H + ] + OH - hervorrufen:
* strukturbrechende Ionen, zähigkeitssenkend
Br - , Cl - , J - , K + , Rb + , Cs + u. a.
* strukturbildenden Ionen, zähigkeitserhöhend
Ca 2+ , Mg 2+ , Li + , Na + , SO 2- 2 u. a.
4.1.5 Homogene Durchströmung von Partikelschichten
Gewöhnlich kann man bei der Modellierung der (angenommen) statistisch homogenen
Durchströmung statistisch homogener Partikelschichten in erster
Näherung von einem stationären Prozess ausgehen:
4.1.5.1 Stationäre Durchströmung von Partikelschichten
- Wirbelschichten ⇒ 8.1.2.4 pneumatische Mischer/Wirbelschichtmischer,
siehe Abschnitt 8.1.2.4.1 „Durchströmungsverhalten von Partikelschichten“
S. 396 in MVT_e_8neu.doc
- Zonensedimentation:
⇒ VO Mechanische Flüssigkeitsabtrennung siehe Abschnitt 2.2 „Durchströmung
von Partikelschichten“ S. 36, ..\VO_MTP\MFA_2.doc
- Filtration u.ä.:
⇒ VO Mechanische Flüssigkeitsabtrennung siehe Abschnitt 5.1.2 „Modellierung
der Kuchendurchströmung“ S. 185, ..\VO_MTP\MFA_5.doc
4.1.5.2 Sedimentation einer gleichmäßig beschleunigten und durchströmten
Partikelschicht
Für die Gewichtskraft pro Querschnittsfläche (svw. Normalspannung σ yy ) der
Partikelschichtmasse m s = ρ . s φ . s dV mit dem Partikelvolumenanteil φ s = V s /V
FG
= ρs
⋅ϕs
⋅g
⋅dy
, (4.154)
A
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219
statische Auftriebskraft der verdrängten Flüssigkeit in der Partikelschicht m f =
ρ . f φ . s dV des Volumens eines inkrementellen Scheibenelementes dV = A . dy
FA
= ρf
⋅ϕs
⋅g
⋅dy
, (4.155)
A
Widerstandskraft (Druckverlust über der Schichthöhe dy) der durchströmten
Partikelschicht, siehe Bild 4.2,
2
FW
ur
(t)
∆ p = = Eu(Re(ur
)) ⋅ρf
⋅ , (4.156)
A
2
Trägheitskraft der Partikelschichtmasse m s = ρ . s φ . s dV
FT
= ρs
⋅ϕs
⋅ v(t) ⋅dy
, (4.157)
A
und der Trägheitskraft der mitbeschleunigten Fluidschichtmasse m s = ρ . f φ . f,B dV
eines Fluidanteiles φ f,B innerhalb der durchströmten Poren des Scheibenelementes
dV = A . dy (der Index B steht für Partikelschicht oder -bett)
F
T,f
A
= ρ ⋅ϕ ⋅ v(t) ⋅dy
, (4.158)
f
f ,B
y
x
F F
A
F W
F T,f
F T
F A
F G
Kräfte am Scheibenelement:
FG
= ρs
⋅ϕs
⋅g
⋅dy
A
FA
= ρf
⋅ϕs
⋅g
⋅dy
A
FT
= ρs
⋅ϕs
⋅ v
⋅dy
A
FT,f
= ρf
⋅ϕf
,B
⋅ v
⋅dy
A
2
FW
u
r
∆p
= = Eu(Re(u
r
)) ⋅ρf
⋅
A
2
Bild 4.2: Kräftegleichgewicht an einem Scheibenelement bei der Sedimentation
einer statistisch homogenen Partikelschicht in einem ruhenden Fluid bei
gleichmäßiger (stationärer) Anströmung und statistisch homogener Durchströmung,
siehe auch die Zonensedimentation in der Folie 4.13.8.
ergibt sich für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung der Partikelschicht bei
gleichmäßiger (stationärer) Anströmung und statistisch homogener Durchströmung
unter den im Abschnitt 4.1.2.2 getroffenen Voraussetzungen
∑ F ↑= 0 = −F
+ F + F + F + F = −F
+ F + F + F + F , (4.159)
G
A
W
T
T,f
wenn die Kräfte parallel bzw. antiparallel wirken, siehe auch Folie 4.17. Nach
Einsetzen der Kräftegleichungen (4.154) bis (4.156) ergibt sich:
G
A
W
T
T,f
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220
ρ ⋅ϕ + ρ ⋅ϕ ⋅ A ⋅dy
⋅ v = ρ ⋅ϕ − ρ ⋅ϕ ⋅ A ⋅g
⋅dy
− ∆p(u
) ⋅ (4.160)
( ) ( ) A
s
dv
dt
s
f
f ,B
( ρ − ρ )
s f
⋅ϕs
=
ρ ⋅ϕ + ρ ⋅ϕ
s
s
f
f ,B
⋅g
−
ρ
s
s
1
⋅ϕ + ρ ⋅ϕ
s
s
f
f
f ,B
s
dp(u
r
)
⋅
dy
Dabei gilt auch mit der Trübedichte, Gl.(4.148),
( − ρ ) ⋅ϕ = ρ + ( ρ − ρ ) ⋅ϕ − ρ = ρ − ρf
ρ (4.161)
s
dv
dt
f
s
f
( ρ − ρ )
s
f
s
f
Tr
⎡
⎤
s f
⋅ϕs
1 dp(u
r
)
=
⋅g
⋅ ⎢1
−
⋅
ρ ⋅ϕ + ρ ⋅ϕ ( )
⎥ (4.162)
s s f f ,B ⎣ ρs
− ρf
⋅ϕs
⋅g
dy ⎦
Wenn sich die Partikelschicht beim Sedimentieren durch ein umgebendes ruhendes
Fluid u = 0 hindurchbewegt und kein Schlupf vorhanden ist, wird der
Betrag der Relativgeschwindigkeit zwischen Fluid und Schicht u r , siehe
Gl.(4.6), der Sinkgeschwindigkeit der Partikelschicht v entsprechen:
u r
= u − v ≅ v = v , ( 4.163)
Der Zusammenhang zwischen der sog. Anströmgeschwindigkeit (Leerrohrgeschwindigkeit)
u r und der mittleren Geschwindigkeit u der durchströmten
Kanäle des Durchmessers d ε , ist wie folgt darstellbar:
ur ,
= ur
ε
( 4.164)
ε
/
Die mittlere Porengröße (= sog. hydraulischer Durchmesser charakteristischer
zylindrischer Strömungskanäle d h ), Gl.(1.136) MVT_e_1neu.doc#hydraulischerDurchmesser
einer Porengrößenverteilung innerhalb der Schicht ist:
2 ⋅ ε ⋅ dST
dε =
( 4.165)
3⋅
(1 − ε)
Dabei ist d ST die gemittelte oberflächengleichwertige Partikelgröße oder der
sog. SAUTER-Durchmesser der durchströmten polydispersen Partikelschicht,
Gl.(1.70) MVT_e_1neu.doc#SAUTER_Durchmesser_M:
1 1
d
ST
= =
( 4.166)
M
−1,3
do
∫ − 1
d
du
q
3
(d)d(d)
Es ist nun zweckmäßig, den Druckverlust mit Hilfe der EULER-Zahl (=
Druckkraft/Trägheitskraft) als dimensionslose Kennzahl für das Durchströmungsproblem
der Partikelschicht auszudrücken 17 :
Eu
ε
2⋅
F / A
= ( 4.167)
ρ
W, ε
2
f⋅
ur,
ε
r, ε
r
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
17 MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, S. 10, Chapman & Hall, 1993
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F W,ε
ρ f
Widerstandskraft innerhalb der Poren (Kanäle) der Packung
Fluiddichte
221
Mit der statistisch homogen durchströmten Querschnitts- bzw. Porenfläche
Aε = ε⋅
A und der charakteristischen Abmessung des Strömungsprofils in Form
eines statistisch gleichwertigen (hydraulischen) Porendurchmessers d ε = V ε /A ε
folgt mit dem Druckverlust der Partikelschicht (Index B für Festbett)
( dp / dy)
⋅ d
2
⋅ ( u / ε) ⋅ ε
2 ⋅
ε
Eu
B
= (4.168)
ρ
f
und mit der Gl.( 4.165):
r
( dp / dy)
2
4 ⋅ ⋅ ε ⋅ dST
EuB
=
2
( 4.169)
3⋅ρ
⋅ u ⋅ (1 − ε)
f
r
Der Druckverlust der Partikelschicht ist somit:
dp
dy
3⋅ρ
⋅ u ⋅(1
− ε)
2
f r
= ⋅ Eu
2
B
( 4.170)
4 ⋅ ε ⋅dST
Die EULER-Zahl hängt von der Partikel-REYNOLDS-Zahl 18 Re = f(u r (t), d ST )
und damit auch vom mittleren Porendurchmesser d ε ab, Gl. ( 4.165):
(u
Re =
η f
r
/ ε)
⋅ d
η
f
ST
⋅ ρ
f
3⋅
u
=
r
⋅ d
ε f
2
2 ⋅ ε
⋅ ρ
dynamische Fluidviskosität
⋅ η
⋅ (1 − ε)
f
( 4.171)
Der Durchströmungswiderstand der Partikelschicht Eu = f(Re(u r , d), ε)
wird nun nach folgendem methodischen Grundprinzip quantifiziert:
Makroskopischer Durchströmungswiderstand des Kontinuums = mikroskopischer
Umströmungswiderstand des Partikels + charakteristischer
Widerstand der Partikelpackung ( 4.172)
4.1.5.2.1 Analytische Lösungen für laminare Durchströmung
Gemäß der obigen Mikro-Makro-Beziehung des Durchströmungswiderstandes
einer statistisch homogenen Partikelschicht, Gl.( 4.172), lässt sich schreiben:
Dimensionsloser Druckverlust = Partikel-Umströmungswiderstand + Schichtwiderstand
als f(Porosität). ( 4.173)
Die EULER-Zahl einer laminar durchströmten Partikelschicht 18 ist
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
18 MOLERUS, O.: Principles of Flow in Disperse Systems, S. 17 & 27, Chapman & Hall 1993
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Eu
2
3
3
24 ⎪
1− ε 1 ⎛ 1− ε ⎞ ⎪ 24
B
= ⋅ ⎨1
+ 0,692⋅
⎢
+ ⋅ ⎜
≡ ⋅ B( ε)
3
3 ⎬
B
Re
⎧
⎪⎩
⎡
⎢0,95
−
⎣
1− ε
2
⎜
⎝ 0,95 −
1− ε ⎟ ⎠
⎤⎫
⎥ ⎥ ⎦⎪⎭
Re
222
( 4.174)
mit dem Porositätsterm B(ε) in der EULER-Zahl für laminare Durchströmung,
der gegenüber der Umströmung einzelner Partikel eine deutliche Zunahme
des Widerstandes um mehr als eine Größenordnung bewirkt (für die
Grenzporosität ε = 0,143 ist 3 1 − 0,143 = 0, 95 und es geht B(ε) → ∞):
2
⎡ 3
3
1 − ε 1 ⎛ 1 − ε ⎞ ⎤
B ( ε)
⎢
+ ⋅ ⎜
⎟ ⎥
B
= 1 + 0,692⋅
3
⎢ − − ε
3
( 4.175)
0,95 1 2
⎣
⎝ 0,95 − 1 − ε ⎠ ⎥
⎦
Mit der Partikel-REYNOLDS-Zahl, Gl.( 4.171),
(ur / ε)
⋅ d ST
⋅ρf
Re = ( 4.171)
η
f
und Gl.( 4.175) erhält man für den Druckverlust des Festbettes, Gl.( 4.170):
dp
dy
dp
dy
dp
dy
3⋅ρ
⋅ u ⋅ (1−ε
)
2
f r
= ⋅ Eu
2
B
( 4.170)
4 ⋅ ε ⋅ dST
2
3⋅ρf⋅
ur
⋅ (1−ε
) 24 ⋅ B( ε)
=
⋅ =
2
4 ⋅ ε ⋅ d Re
2
ST
ST
3 24 ⋅ ε ⋅ η
⋅
4 d ⋅ u ⋅ρ
ST
r
f
ρ
⋅
d
f
ST
1 − ε
⋅ ⋅ u
2
ε
18⋅η⋅
B( ε)
⋅(1
− ε)
= ⋅ u
r
. ( 4.176)
d ⋅ε
Für den Druckverlustterm in der Gl.(4.162) gilt mit der Gl.( 4.163) u r = v und
ϕ s = 1 - ε:
dp
dy
⋅ 1 18η⋅
B( ε)
⋅(1
− ε)
18⋅η⋅
B( ε)
=
⋅ u =
⋅ v(t)
2
⋅d
⋅ε⋅g
( 4.177)
2 r
( ρ − ρ ) ⋅ϕ ⋅g
( ρ − ρ ) ϕ g ⋅d
ε ( ρ − ρ )
s
f
s
s
f
s
ST
Aus dem Kräftegleichgewicht Gl.(4.162) und Gl.( 4.177) folgt die Differentialgleichung:
dv
dt
dv
dt
( ρ − ρ )
s f
⋅ϕs
=
ρ ⋅ϕ + ρ ⋅ϕ
s
s
f
( ρ − ρ )
B,f
⎡
⋅g
⋅ ⎢1
−
⎣
1 dp(u ⎤
r
)
⋅
( ρ − ρ ) ⋅ϕ ⋅g
dy
⎥ ⎦
⎡
⎤
f
⋅ϕs
18⋅η⋅
B( ε)
⋅g
⋅
( )
⎢1
−
⋅ v(t
2
ρ ⋅ϕ + ρ ⋅ϕ ( ρ − ρ ) ⋅d
⋅ε⋅g
⎥ ⎦
s
f
s
= )
(4.178)
s s f f ,B ⎣ s f ST
Mit dv/dt = 0 ergibt sich die stationäre Sinkgeschwindigkeit v s,B,St der Partikelschicht
(makroskopisches Kontinuum) bei laminarer Durchströmung:
v
s,B,St
( ρ − ρ )
2
s f
⋅ ε ⋅ dST
⋅ g
= ( 4.179)
18⋅
η⋅ B( ε)
s
s
f
ST
2
r
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223
Diese stationäre Sinkgeschwindigkeit v s,B,St = dh/dt = const. entspricht dem
Geradenanstieg (Tangente) der Zonensedimentation im Höhen-Zeit-Diagramm
h(t) der Folie 4.13.8 rechts.
Als Nachweis der physikalischen Plausibilität des Modells Gl.( 4.179) wird
ein Grenzübergang durchgeführt, d.h. ε = 1 und gemäß Gl.( 4.175) B(ε=1) = 1:
2
( ρ − ρ ) ⋅ ε ⋅ d ⋅ g ( ρ − ρ )
⋅ d
⋅ g
2
s f ST
s f ST
lim =
= vs,St
ε →
B(
)
1 18 ⋅ η ⋅ B( ε)
18 ⋅ η
ε →1
(4.180)
Für diesen inversen Mikro-Makro-Übergang (Makro-Mikro-Übergang) wird
die STOKES-Gleichung (4.55) der Partikel-Sedimentation, also das Mikroverhalten,
erhalten – q.e.d.
Nach diesem Plausibilitätsbeweis kann man somit problemlos weiterrechnen.
Mit den Gln. (4.178) und ( 4.179) folgt die lineare Differentialgleichung der
Sedimentation einer Partikelschicht bei laminarer Durchströmung im
STOKES-Bereich
dv ( ρ ) ⎡
⎤
s
− ρf
⋅ϕs
18⋅η⋅
B( ε)
= ⋅g
⋅
( )
⎢1
−
⋅ v(t)
2
dt ρ ⋅ϕ + ρ ⋅ϕ ( )
⎥
s s f f ,B ⎣ ρs
− ρf
⋅dST⋅ε⋅g
⎦
dv
dt
( ρ − ρ )
s f
⋅ϕs
=
ρ ⋅ϕ + ρ ⋅ϕ
s
s
f
f ,B
⎛ ⎞
⎜
v(t) ⋅ g ⋅ ⎟
1 −
= D
⎝ vs,B
⎠
mit der neuen Fluiddichtefunktion:
ρs
− ρf
⋅ϕs
ρ
DB(
ρ
f
) =
=
ρ ⋅ϕ + ρ ⋅ϕ ρ + ρ
D
( ) ( − ρ )
s
s
ρ
f
− ρ
f ,B
s
B
f
⎛ ⎞
⎜
v(t)
( ρ ⋅ ⎟
f
) ⋅ g
1 −
, ( 4.181)
⎝ vs,B
⎠
⋅ϕ
s
(
s f
⋅ϕf
,B
/ ϕs
) ⋅ϕs
ρs
+ ρf
⋅ϕf
,B
/ ϕs
s f
B(
ρ
f
) =
. (4.182)
ρs
+ ρf
⋅ϕf
,B
/ ϕs
Zur Abschätzung von φ f,B /φ s wird angenommen, dass das mitbeschleunigte
Fluidvolumen einer zylindrisch geformten Flüssigkeitsbrücke in einem Partikelkontakt
entspricht. Das Flüssigkeitsvolumen einer zylindrischen Brücke ist
somit, siehe MVT_e_6neu.doc#Vl_Brücke und Folie 6.14:
π
3 4
V
l
≈ ⋅0,264
⋅d
⋅sin
α
(4.183)
4
In einer Partikelschicht ist mit dem Benetzungs- oder Brückenwinkel α und
einer mittleren Koordinationszahl k = π / ε ≈ 6 (Kontaktanzahl pro Partikel):
Vl
Vl
= k ⋅
V 2⋅π
/ 6⋅d
s
3
3
36⋅0,264
⋅d
⋅sin
≈
3
8⋅d
4
=
α
≈1,2
⋅sin
4
α
ρ
s
− ρ
f
(4.184)
Für das obige Verhältnis des mitbeschleunigtem Flüssigkeitsvolumenanteils
zum Partikelvolumenanteil in der Partikelschicht kann man schreiben:
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ϕf
,B ,B
4
ϕ
s
Vf
=
V
s
≈1,2
⋅sin
α
(4.185)
224
Der Brückenwinkel kann α ≤ 45° nicht übersteigen. Somit folgen Flüssigkeitsvolumenanteile
φ f,B /φ s ≤ 0,3, Gl.(4.187), in einer homogenen Packung.Diese
Formulierung, Gl.( 4.181), entspricht der Differentialgleichung der Partikelsedimentation
bei laminarer Kugelumströmung im STOKES-Bereich:
dv(t)
dt
⎛ v(t) ⎞
D( ρ
f
) ⋅ g ⋅ ⎜1
−
⎟
⎝ v ⎠
= s
(4.106)
Diese Differentialgleichung ( 4.181) kann mit dem gleichen Algorithmus analytisch
integriert werden, der im Abschnitt 4.1.2.2.3 beschrieben wurde:
Nach Trennung der Variablen erhält man für die Anfangsbedingung v(t=0) = 0
v
∫
v=
0
dv
1−
v / v
s, B
= D
B
⋅g
⋅
t
∫
t=
0
dt
Die wiederum Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der beschleunigten
Schichtsedimentation bei laminarer Durchströmung
⎡
⎞⎤
⎡ ⎛ ⎞⎤
⎢
⎟ ⎢ ⎜ ⎟
⎜ ⎛ DB
⋅g
⋅ t
t
v (t) = vs,B
⋅ 1−
exp −
⎥ = vs,B
⋅ 1 − exp
−
⎥ (4.186)
⎢⎣
⎝ vs,B
⎠⎥⎦
⎢⎣
⎝ t63,B
⎠⎥⎦
mit einer charakteristischen Sinkzeit t 63,B
vs,B
ρs
+ ρf
⋅ϕf
,B
/ ϕs
ρs
− ρf
⋅ε⋅d
t63,B
= =
⋅
D ⋅g
ρ − ρ 18⋅η⋅
B( ε)
t
63,B
B
s
f
( ρ + ρ ⋅ ϕ / ϕ )
2
( ) ( ρ + ρ ⋅ϕ / ϕ )
ST
=
s
f
f ,B
18⋅η⋅
B( ε)
s
⋅ε⋅d
2
= vs,B
s f f ,B s
⋅ ε ⋅ dST
=
D ( ρ ) ⋅ g 18⋅
η⋅ B( ε)
(4.187)
B
f
2
ST
Die erneute Integration der Differentialgleichung der Zeitfunktion der instationären
Sinkgeschwindigkeit, Gl.(4.186),
ds(t) ⎡ ⎛ t ⎞⎤
v (t) = = v ⎢ ⎜ ⎟
s,B ⋅ 1 − exp
−
⎥
(4.188)
dt ⎢⎣
⎝ t63,
B ⎠⎥⎦
liefert für die Anfangsbedingung s(t = 0) = 0 die Weg-Zeit-Funktion der
Schichtsedimentation bei laminarer Durchströmung:
⎪⎧
⎡ ⎛ t ⎞⎤⎪⎫
s (t) = v ⎨ ⎢ ⎜ ⎟
s,B ⋅ t − t63,B
⋅ 1 − exp
−
⎥⎬
(4.189)
⎪⎩ ⎢⎣
⎝ t63,
B ⎠⎥⎦
⎪⎭
Diese Schichtsedimentation wird auch als Zonensedimentation bezeichnet.
Mit Hilfe von Absetzversuchen in Standzylindern lässt sich die Höhen-Zeit-
Funktion der erkennbaren Grenzlinie zwischen Klarwasser und Suspension
messen, Folie 4.13.8 links. Wenn man die zeitliche Zunahme des Feststoffvo-
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225
lumenanteiles bzw. der Packungsdichte im Sediment venachlässigt, also ϕ s ≈
const. und dϕ s /dt → 0 annimmt, lässt sich der beschleunigte und stationäre
Verlauf dieser Höhen-Zeit-Funktion näherungsweise beschreiben:
⎪ ⎧ ⎡ ⎛ t ⎞ ⎪⎫
⎨
⎬
⎪⎩
⎥ ⎥ ⎤
h (t) = h
⎢ ⎜ ⎟
0 − s(t) = h0
− vs,B
⋅ t − t63,B
⋅ 1 − exp
−
(4.190)
⎢⎣
⎝ t63,
B ⎠⎦⎪⎭
Die reale Zonensedimentation im geschlosssen Gefäß, Folie 4.13.8 rechts, wird
jedoch durch den steigenden Feststoffvolumenanteil und den steigenden Dickschlammspiegel
h DS (t) abgebremst.
Für gegebenem Sinkweg s* lässt sich auch hier keine analytisch darstellbare
Umkehrfunktion der Gl. (4.189) finden. Sie ist jedoch numerisch mittels Iterationen
lösbar (der Index (0) kennzeichnet den Anfangs- oder Vorgängerwert):
*
s ⎡ ⎛ t
⎥ ⎥ ⎤
⎢
⎟ ⎞
= + ⋅ − ⎜
−
s,(0)
t
s
t63,B
1 exp
(4.191)
vs;B
⎢⎣
⎝ t63,
B ⎠⎦
Anhand der Gl.(4.191) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich die Sinkzeit
wiederum aus einem Anteil der stationären Sedimentation und einem
instationären oder beschleunigten Anteil zusammensetzt. Für große Sinkzeiten
t s , große Wege s*, schnelle Kinetik (kleiner Zeitparameter) t 63,B und geringe
stationäre Sinkgeschwindigkeit v s,B kann der letzte Term in der Gl. (4.191)
vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung
ts > 4 , (4.192)
t
63,B
1− exp( −4)
= 0,98 ≈ 1 und damit
*
s
t
s
≈ + t63,B
(4.193)
v
s,B
Der Term s*/v s,B entspricht einer Verweilzeit t V,s während der stationären Sedimentation
der Partikelschicht:
t ≈ t + t
(4.194)
s
V,s
63,B
Dies ist der Nachweis der Plausibilität dieser vorstehenden Herleitungen.
Da sich keine analytisch darstellbare Umkehrfunktion für die Sinkweg-Zeit-
Funktion finden lässt, kann man beide Gln.(4.186) und (4.191) numerisch koppeln.
Darüber hinaus kann man unter der Bedingung ts / t63,
B
> 4 die Sinkzeit
*
s
t
s
≈ + t63,B
(4.193)
v
s,B
in die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion, Gl. (4.186), einsetzen:
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226
⎡ ⎛ t ⎞⎤
v (t) = v ⎢ ⎜ ⎟
s,B ⋅ 1 − exp
−
⎥
(4.186)
⎢⎣
⎝ t63,
B ⎠⎥⎦
Das ergibt eine Näherung der Geschwindigkeits-Weg-Funktion der
Schichtsedimentation im STOKES-Bereich:
⎡ ⎛ s ⎞
⎥ ⎥ ⎤
v(s) ≈ v ⎢ ⎜
⎟
s ,B
⋅ 1−
exp
− −1
(4.195)
⎢⎣
⎝ vs,B
⋅ t63,B
⎠⎦
In der Tabelle 4.6 können die neu entwickelten Modelle der laminaren Umströmung
und Durchströmung noch einmal verglichen werden, s. Folie 4.18.
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227
Tabelle 4.6: Modelle der gleichmäßig beschleunigten Sedimentation einer Partikelschicht für laminare Umströmung und Durchströmung (TOMAS 2011)
Mikroprozessgrößen Laminare Partikelumströmung Laminare Durchströmung einer Partikelschicht
2
Kräftegleichgewicht VP
⋅ ρs
( 1 + ϕfρf
/ ρs
) ⋅ v = VP
⋅ ( ρs
− ρf
) ⋅ g − cW
⋅ A
P
⋅ ρf
v / 2 (4.102) ( ρs
⋅ ϕs
+ ρf
⋅ ϕf
,B
) ⋅ A ⋅dy
⋅ v = ( ρs
⋅ ϕs
− ρf
⋅ ϕs
) ⋅ A ⋅ g ⋅dy
− ∆p(u
r
) ⋅ A (4.160)
Gesetz
v (t)
⎡
⎥ ⎥ ⎤
⎢
⎢
⎟ ⎞
⎜ ⎛ t
= v
s ⋅ 1 − exp −
⎣ ⎝
t
63,vs
⎠⎦
vs
ρs
+ ϕf
⋅ρf
⋅d
= =
D( ρ ) ⋅g
18⋅η
Charakteristische Sinkzeit ( )
Differentialgleichung
Weg-Zeit-Gesetz
Sinkzeit
24
Widerstandsbeiwert c W , Eu Re < Re St = 0,25 ... 1, c W = 24/Re (4.13) EuB = ⋅ B( ε)
B
( 4.174)
Re
2
Porositätsfunktion ε = 1 und B(ε) B = 1 ( 4.175)
⎡ 3
3
1 − ε 1 ⎛ 1 − ε ⎞ ⎤ ( 4.175)
B ( ε)
⎢
+ ⋅ ⎜
⎟ ⎥
B
= 1 + 0,692⋅
3
⎢ − − ε
3
0,95 1 2
⎣
⎝ 0,95 − 1 − ε ⎠ ⎥
⎦
2
2
Stationäre Sinkgeschwindigkeit
18η
18⋅
η⋅ B( ε)
Differentialgleichung dv(t) ⎛ v(t) ⎞
= D( ρ
( ρs−ρf
) ⋅d
⋅ g
v =
(4.55) ( ρs
− ρf
) ⋅ ε ⋅ dST
⋅ g
s ,St
vs,B,St
=
( 4.179)
f
) ⋅ g ⋅ ⎜1
−
⎟
ρs
− ρ
( )
(4.106) dv
⎛ ⎞
f
D ρ
f
=
⎜
v(t)
= DB
ρ
f ⋅ g ⋅
dt
⎝ v
s ⎠ ρs
+ ϕf
⋅ρf
(4.105)
1 −
ρs
− ρ ( 4.181)
f
DB(
ρ
f
) =
dt
⎝ vs,
B
ρs
+ ρf
⋅ϕf
,B
/ ϕs
(4.182)
Geschwindigkeits-Zeit-
Geschwindigkeits-Weg-
Gesetz
t
(4.107)
v (t)
( )
⎟ ⎟ ⎠
⎡ ⎛ t
⋅ ⎢1
− exp⎜
−
⎢⎣
⎝ t63,
= vs,B
B
2
(4.108) vs,B
( ρs
+ ρf
⋅ ϕf
,B
/ ϕs
)
63,v
s
t63,B
= =
f
DB(
ρf
) ⋅ g 18⋅
η⋅ B( ε)
ds (t)
dt
s (t)
t
s
⎡ ⎛
⎢ ⎜
t
⋅ 1 − exp −
⎢
⎣ ⎝
t
= v
s
63,vs
⎪
⎧
⋅ ⎨t
− t
⎪⎩
⎤
⎟ ⎞
⎥
⎠⎥⎦
⎡ ⎛
⎢ ⎜
t
⋅ 1 − exp −
⎢
⎣ ⎝
t
= vs
63,vs
63,vs
*
s ⎡ ⎛ t
s,(0)
= + t ⋅ ⎢ − ⎜
63,v
1 exp
s
−
v ⎢
s
⎣ ⎝
t
63,vs
⎞
⎥ ⎥ ⎤
⎟
⎠⎦
⎞⎤⎪ ⎫
⎟⎥
⎬
⎠⎥⎦
⎪ ⎭
⎡ ⎛
⎥ ⎥ ⎤
⎢
⎟ ⎞
⎜
s
v(s) ≈ vs
⋅ 1 − exp − −1
⎢⎣
⎝
vs
⋅ t63,v s ⎠⎦
(4.109)
(4.110)
(4.111)
(4.116)
⎞⎤
⎟
⎥
⎠⎥⎦
⋅ ε ⋅ d
2
ST
(4.186)
(4.187)
ds (t)
⎤
⎥
⎢ ⎢ ⎡ ⎛ t ⎞
= v ⎜ ⎟
s,B ⋅ 1 − exp
(4.188)
−
dt
⎣ ⎝ t63,
B ⎠⎥⎦
s (t)
t
s
⎪⎧
⋅ ⎨t
− t
⎪⎩
⎡ ⎛ t
⋅ ⎢1
− exp⎜
−
⎢⎣
⎝ t63,
= vs,B
63,B
B
*
s ⎡ ⎛ t
= + ⋅ ⎢ − ⎜
−
s,(0)
t63,B
1 exp
vs;B
⎢⎣
⎝ t63,
B
⎞⎤
⎟
⎥
⎠⎥⎦
⎡ ⎛ s ⎞⎤
v(s) ≈ v ⎢ ⎜
⎟
s ,B
⋅ 1−
exp
− −1
⎥
⎢⎣
⎝ vs,B
⋅ t63,B
⎠⎥⎦
⎞⎤⎪⎫
⎟
⎥⎬
⎠⎥⎦
⎪⎭
(4.189)
(4.191)
(4.195)
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228
4.1.5.2.2 Näherungslösungen für turbulente Durchströmung
Analytische Näherungslösungen kann man für die turbulente Schichtdurchströmung
im NEWTON-Bereich c W = 0,44 und Eu(Re) ≈ const. ≠ f(v(t)) nur
dann gewinnen, wenn man während der Beschleunigungsphase - also beim
zeitlichen Durchlaufen der Bereiche niedriger Sinkgeschwindigkeiten des laminaren
und des Übergangsbereiches der Durchströmung - voraussetzt, dass
der Durchströmungwiderstand, ausgedrückt durch die EULER-Zahl, abschnittsweise
Eu B = const sei. Für die Mikro-Makro-Beziehung des Durchströmungswiderstandes,
Gl.( 4.172), lässt sich wiederum schreiben:
Dimensionsloser Druckverlust = Partikel-Umströmungswiderstand + Schichtwiderstand
als f(Porosität). ( 4.173)
Allerdings muss hier Re < 10 4 erfüllt sein (bei der Umströmung Re < 2⋅10 5 ).
Nach MOLERUS 18 ist:
Eu
B
2
3
3
24
⎧
1 1 1
⎫
⎪
⎡ − ε ⎛ − ε ⎞ ⎤
⎪ 4
= ⋅ ⎨1
+ 0,692⋅
⎢
+ ⋅⎜
⎟ ⎥
3
3 ⎬ + ⋅
Re
⎢0,95
− 1− ε 2
0,95 1
Re
⎪⎩ ⎣
⎝ − − ε ⎠ ⎦
⎥⎪⎭
1,5
3
3
⎪
⎧ ⎛ 1− ε ⎞ ⎪
⎫ ⎛ 1− ε ⎞ 0,891
⋅ ⎨1
+ 0,12⋅⎜
⎟ + 0,4 + ⎜
⎟
⋅
3 ⎬ 3
0,1
0,95 1
0,95 1
⎪ ⎝ − − ε ⎠ Re
⎪⎩ ⎝ − − ε ⎠ ⎭
( 4.196)
Mit dem Kräftegleichgewicht Gl.(4.162)
dv
dt
( ρ − ρ )
⎡
⎤
s f
⋅ϕs
1 dp(u
r
)
=
⋅g
⋅ ⎢1
−
⋅
ρ ⋅ϕ + ρ ⋅ϕ ( )
⎥ , (4.162)
s s f f ,B ⎣ ρs
− ρf
⋅ϕs
⋅g
dy ⎦
dem Druckverlust Gl.( 4.170) und mit der Gl.( 4.163) u r = v und ϕ s = 1 - ε
dp
dy
1
3⋅ρ
⋅ v
2
⋅ f
=
⋅ Eu
2
B
( ρs
− ρf
) ⋅ϕs
⋅g
4⋅( ρs
− ρf
) ⋅ε ⋅dST
⋅g
(4.197)
folgt die Differentialgleichung:
dv
dt
( ρ − ρ )
s f
⋅ϕs
ρ ⋅ϕ + ρ ⋅ϕ
⎡
⋅g
⋅ ⎢1
−
⎣ 4⋅
2
3⋅ρ
⎤
f
⋅ v (t)
⋅ Eu
2
( ρ − ρ ) ⋅ε ⋅d
⋅g
⎥ ⎦
=
B
s s f f ,B
s f ST
( 4.198)
Mit dv/dt = 0 ergibt sich die stationäre Sinkgeschwindigkeit v s,B,N der Partikelschicht
(makroskopisches Kontinuum) für den NEWTON-Bereich der turbulenten
Durchströmung:
v
4 ⋅
( ρ − ρ )
⋅ ε
⋅ d
⋅ g
2
s,B,N
=
s f
ST
3⋅ρf⋅
EuB
( 4.199)
Diese stationäre Sinkgeschwindigkeit v s,B,N = dh/dt = const. entspricht wiederum
dem Geradenanstieg (Tangente) der Zonensedimentation im Höhen-
Zeit-Diagramm h(t) der Folie 4.13.8 rechts.
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229
Als Nachweis der physikalischen Plausibilität des Modells Gl.( 4.199) wird
ebenfalls ein Grenzübergang durchgeführt, d.h. ε = 1 und gemäß Gl.( 4.196)
Eu B (ε=1) = c W ≈ 0,44:
lim
ε→1
4
Re→10
4 ⋅
2
( ρ − ρ ) ⋅ ε ⋅ d ⋅ g 4 ⋅ ( ρ − ρ )
s
f
3⋅ρ
⋅ Eu
f
B
ST
=
s f
⋅ d
3⋅ρ
⋅ c
f
W
ST
⋅ g
= v
s,N
(4.200)
Für diesen inversen Mikro-Makro-Übergang (Makro-Mikro-Übergang) wird
die Sinkgeschwindigkeit Gl.(4.56) im NEWTON-Bereich der Partikel-Sedimentation,
also das Mikroverhalten, erhalten – q.e.d.
Nach diesem Plausibilitätsbeweis kann man somit problemlos weiterrechnen.
Mit den Gln.( 4.198) und ( 4.199) folgt
2
dv ( ρ ) ⎡ ⎤
s
− ρf
⋅ϕs
v (t)
= ⋅ g ⋅ ⎢1
−
2 ⎥
dt ρs
⋅ϕs
+ ρf
⋅ϕf
,B ⎣ vs,B,N
⎦
die nichtlineare Differentialgleichung der Sedimentation einer Partikelschicht
bei turbulenter Durchströmung im NEWTON-Bereich:
dv(t)
dt
2
⎡ v (t) ⎤
( ρ ) ⋅ g ⋅ 1 − ⎥
⎦
= DB
f
2
vs,B
⎢
⎣
mit der bekannten Fluiddichtefunktion des Partikelbettes:
D
ρ
− ρ
( 4.201)
s f
B(
ρ
f
) =
(4.182)
ρs
+ ρf
⋅ϕf
,B
/ ϕs
Diese Formulierung entspricht der Differentialgleichung der Partikelsedimentation
bei laminarer Kugelumströmung im NEWTON-Bereich:
dv(t)
dt
2
⎛ v (t) ⎞
D( ρ
f
) ⋅ g ⋅ ⎜1
−
⎟
⎝ vs
⎠
=
2
(4.104)
Diese Differentialgleichung ( 4.201) kann mit dem gleichen Algorithmus analytisch
integriert werden, der im Abschnitt 4.1.2.2.4 beschrieben wurde:
Die Integration der nichtlinearen Differentialgleichung liefert nach Trennung
der Variablen mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 für übliche v(t) ≤ v s die
die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der beschleunigten Partikelsedimentation
bei turbulenter Umströmung
⎛ t ⎞
v (t) = v ⋅ ⎜ ⎟
s,B
tanh
(4.202)
⎝ t76,B
⎠
mit der für diesen Teilprozess typischen tanh-Funktion und einer charakteristischen
Sinkzeit t 76,B der turbulenten Schichtdurchströmung:
t
76,B
( ρ − ρ )
2
= vs,B
ρs
+ ρf
⋅ϕf
,B
/ ϕs
4⋅
s f
⋅ε ⋅dST
=
D ( ρ ) ⋅g
ρ − ρ 3⋅ρ
⋅ Eu ⋅g
(4.203)
B
f
s
f
f
B
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230
Die erneute Integration der Differentialgleichung der Zeitfunktion der instationären
Sinkgeschwindigkeit, Gl.(4.202),
ds(t) ⎛ t ⎞
v (t) = = v ⋅ ⎜ ⎟
s,B
tanh
(4.204)
dt
⎝ t76,B
⎠
liefert für die Anfangsbedingung s(t = 0) = 0 die Weg-Zeit-Funktion der
Schichtsedimentation bei turbulenter Durchströmung:
⎛ t ⎞
s (t) = v ⋅ ⋅ ⎜ ⎟
s,B
t76,B
ln cosh
(4.205)
⎝ t76,B
⎠
Für diese Zonensedimentation lässt sich diese Weg-Zeit-Funktion mit Hilfe
von Absetzversuchen in Standzylindern als Höhen-Zeit-Funktion der Grenzlinie
zwischen Klarwasser und Suspension messen, Folie 4.13.8 links. Wenn
man die zeitliche Zunahme des Feststoffvolumenanteiles im Sediment venachlässigt,
lässt sich wiederum der beschleunigte und stationäre Verlauf dieser
Höhen-Zeit-Funktion näherungsweise angeben, Folie 4.13.8 rechts:
⎛ t
⎟ ⎞
h (t) = h − = − ⋅ ⋅ ⎜
0
s(t) h0
vs,B
t76,B
ln cosh
(4.206)
⎝ t76,B
⎠
Durch Umstellen dieser Gl.(4.205) für eine gesuchte Sinkzeit t s bei gegebener
*
⎛ s ⎞ ⎛ t ⎞
exp ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
cosh
(4.207)
⎝ vs,B
⋅ t76,B
⎠ ⎝ t76,
B ⎠
Apparatehöhe (Sinkweg) s* ergibt sich, wie bei der Herleitung der Gl.(4.138),
eine übersichtliche Umkehrfunktion für die Sinkzeit t s = f(s*):
* ⎡
*
s
⎛ 2 ⋅ s ⎞⎤
t ⎢ ⎜ ⎟⎥
s
= + t76,B
⋅ ln 1+
1−
exp
⎢
−
(4.208)
vs,B
⎥
⎣ ⎝ vs,B
⋅ t76,B
⎠⎦
Anhand der obigen Gl.(4.208) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich
die gesamte Sinkzeit aus der stationären Sinkzeit und einer Anlaufzeit des
beschleunigten Sinkprozesses zusammensetzt. Für große Wege s * , schnelle
Kinetik (kleine charakteristische Sinkzeit) t 76,B und geringe stationäre Sinkgeschwindigkeit
v s,B kann der letzte Term in der Gl.(4.208) vernachlässigt werden.
D.h. es gilt unter der Bedingung
v
s,B
*
s
⋅ t
76,B
> 2 , (4.209)
1− exp( −4)
= 0,98 ≈ 1 und damit
*
s
ts
≈ + t76,
B
⋅ ln2
(4.210)
v
s,B
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013

231
Der Term s*/v s,B entspricht der Verweilzeit t V,s während der stationären Zonensedimentation
einer Partikelschicht in einem Absetzbehälter:
s
v
*
s
= t
(4.211)
V,s
t
s
≈ t + t ⋅ ln2
(4.212)
V,s
76, B
Diese einfache Abschätzung lässt sich auch als Plausibilitätsbeweis der rechnerisch
recht aufwändigen Herleitungen der instationären Modelle auffassen.
Um wiederum die Geschwindigkeits-Weg-Funktion der Schicht- oder Zonensedimentation
im NEWTON-Bereich zu erhalten, muß in der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion,
Gl.(4.202),
⎛ t ⎞
v (t) = v ⋅ ⎜ ⎟
s,B
tanh
(4.202)
⎝ t76,B
⎠
die Zeit durch eine Weg-Funktion ersetzt werden, Gl.(4.207):
*
⎛ t ⎞ ⎛ s
⎟ ⎞
cosh ⎜ ⎟ = ⎜
exp
(4.207)
⎝ t76,B
⎠ ⎝ vs,B
⋅ t76,B
⎠
Die tanh-Funktion in der Gl.(4.202) lässt sich wiederum mit der cosh-Funktion
ausdrücken 14 :
⎛
⎟ ⎞
2 t
cosh ⎜
−1
⎛ t ⎞
⎝ t76,B
⎠
⎛ ⎞
−2
t
v (t) = v ⎜ ⎟ = ⋅
= ⋅ − ⎜ ⎟
s,B
⋅ tanh
vs,B
vs,B
1 cosh
⎛ ⎞
⎝ t76,B
⎠
t
⎜ ⎟
⎝ t76,B
cosh
⎠
⎝ t76,B
⎠
Einsetzen der Gl.(4.207) liefert die Geschwindigkeits-Weg-Funktion während
der beschleunigten Schichtsedimentation im NEWTON-Bereich:
⎛ 2⋅s
⎞
v (s) = v ⋅ − ⎜ ⎟
s,B
1 exp
−
(4.213)
⎝ vs,B
⋅ t76,B
⎠
In der Tabelle 4.7 können die neu entwickelten Modelle der turbulenten Umströmung
und Durchströmung noch einmal miteinander verglichen werden,
siehe auch Folie 4.19:
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232
Tabelle 4.7: Modelle der gleichmäßig beschleunigten Sedimentation einer Partikelschicht für turbulente Umströmung & Durchströmung (TOMAS 2011)
Mikroprozessgrößen Turbulente Partikelumströmung Turbulente Durchströmung einer Partikelschicht
2
Kräftegleichgewicht VP
⋅ ρs
( 1 + ϕfρf
/ ρs
) ⋅ v
= VP
⋅ ( ρs
− ρf
) ⋅ g − cW
⋅ A
P
⋅ ρf
v / 2 (4.102) ( ρs
⋅ ϕs
+ ρf
⋅ ϕ
,B
) ⋅ A ⋅ dy ⋅ v = ( ρs
⋅ ϕs
− ρf
⋅ ϕs
) ⋅ A ⋅ g ⋅ dy − ∆p(u
r
) ⋅ A
f
(4.160)
3
5
4
Reynolds-Zahl 10 < Re = ur
⋅d
⋅ρf
/ η < Rec
= 2 ⋅10
Re = (ur / ε)
⋅ d ⋅ρf
/ η < Rec,B
= 10
2
Porositätsfunktion 3
3
ε = 1 und Eu B (ε=1) = c W ≈ 0,44 ( 4.196) 24
⎧
1 1 1
⎫
⎪
⎡ − ε ⎛ − ε ⎞ ⎤
⎪ 4 ( 4.196)
Eu
B
= ⋅ ⎨1
+ 0,692⋅
⎢
+ ⋅⎜
⎟ ⎥ + ⋅
3
3
⎬
Re
⎢0,95
− 1− ε 2
0,95 1
⎥ Re
⎪⎩ ⎣
⎝ − − ε ⎠ ⎦⎪⎭
Differentialgleichung
Stationäre Sinkgeschwindigkeit
Geschwindigkeits-Zeit-
Gesetz
Charakteristische Sinkzeit
Differentialgleichung
Weg-Zeit-Gesetz
Sinkzeit
Geschwindigkeits-Weg-
Gesetz
v
s,N
=
4 ⋅(
ρs
−ρf
) ⋅d
⋅ g
3⋅c
⋅ρ
W
f
dv 2
(t)
⎛ v (t) ⎞
= D( ρ
f
) ⋅ g ⋅
⎜1
−
⎟
(4.104)
2
dt
⎝ vs
⎠
⎛ t
⎟ ⎞
⎜
(4.124)
v (t) = vs
⋅ tanh
⎝ t76,vs
⎠
t
3
⎪
⎧ ⎛ 1− ε ⎞
⋅ ⎨1
+ 0,12⋅⎜
⎟
3
0,95 1
⎪⎩ ⎝ − − ε ⎠
(4.56) 4 ⋅ ( ρ − ρ )
v
s,B,N
=
s
2
f
⋅ ε ⋅ d
3⋅ρ
⋅ Eu
f
B
ST
1,5
3
⎪
⎫ ⎛ 1− ε ⎞ 0,891
⎬ + 0,4 + ⎜
⎟
⋅
3
0,1
0,95 1
⎝ − − ε ⎠ Re
⎪⎭
⋅ g
( 4.199)
dv 2
(t)
⎛ ⎞
⎜
v (t)
= D ρ ⋅ ⋅ ⎟
B(
f
) g
1
( 4.201)
−
2
dt
⎝ vs,B
⎠
⎛ t ⎞
⎜ ⎟
(4.202)
v (t) = vs,B
⋅ tanh
⎝ t76,B
⎠
= vs
ρs
+ ϕfρf
4( ρs−ρf
) ⋅d
76,vs
=
(4.125) ( ) 2
vs,B
ρs
+ ρf
⋅ϕ
,B
/ ϕs
4⋅
ρs
− ρf
⋅ε
t
f
D( ρf
) ⋅g
ρs
− ρf
3⋅cW⋅ρf
⋅g
76,B
= =
DB(
ρf
) ⋅g
ρs
− ρf
3⋅ρf
⋅ Eu
B
⋅
ds (t) ⎛ t ⎞
= v ⋅ ⎜ ⎟
s
tanh
(4.129)
dt
⎝ t
76,vs ⎠
s (t)
= v
s
⋅ t
76,vs
⎛
⎜
t
⋅ ln cosh
⎝ t
⎡
⋅ln⎢1
+
⎢
⎣
76,vs
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
2⋅s
1−
exp
−
⎝ vs
⋅ t
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎥
⎦
(4.131)
*
*
s
(4.138)
t
s
= + t
76,vs
vs
76,vs
v (s)
= v
s
⋅
⎛ 2⋅s
1−
exp⎜
−
⎝ vs
⋅ t
76,vs
⎟ ⎞
⎠
(4.144)
⋅d
g
ST
(4.203)
ds (t) ⎛ t ⎞
= v ⋅ ⎜ ⎟
s,B
tanh
(4.204)
dt
⎝ t76,B
⎠
s (t)
= v
s,B
⋅ t
76,B
⎛ t
⋅ ln cosh⎜
⎝ t
76,B
⎞
⎟
⎠
(4.205)
* ⎡
*
s
⎛ 2 ⋅ s ⎞⎤
(4.208)
t ⎢ ⎜ ⎟⎥
s
= + t76,B
⋅ ln 1+
1−
exp
⎢
−
v
s,B
⎥
⎣ ⎝ vs,B
⋅ t76,B
⎠⎦
⎛ 2⋅s
⎞
v (s) = v ⋅ − ⎜ ⎟
s,B
1 exp
−
⎝ vs,B
⋅ t76,B
⎠
(4.213)
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4.1.5.3 Beschleunigtes Auslaufverhalten und Durchströmung
233
Die allgemeine Differentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit eines
homogen durchströmten kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter
lautet gemäß ../VO_PM_SGT/Schüttec_4.doc#Diffgl_vt_lam_allg:
dv
dt
⎛
⎜
⎝
b
dp / dH ⎞
⎟
⎠
2(m+
1)tan θ
dp / dh
min a
2
B
= g⎜1−
− −
⋅ v −
b ρbg
⎟
(4.214)
b
ρb
Mit dem Druckverlustterm der laminaren Durchströmung einer kohäsiven
Schüttgutbrücke (Partikelschicht oder Festbett)
dp
dh
B
18 ⋅ η⋅ B( ε)
⋅ (1 − ε)
=
⋅ u
d ⋅ ε
2
ST
r
1
. ρ
( 4.215)
b
dp
dh
B
1
⋅
ρ
b
18 ⋅ η⋅ B( ε)
⋅ (1 − ε)
=
⋅ u
ρ ⋅ d ⋅ ε
b
2
ST
r
und mit der Packungsdichtefunktion der Partikelschicht (Festbett)
1 − ε
=
ρ
b
ρ
b
=
1
( ρs
− ρf
) ⋅ρb
ρs
− ρf
(4.216)
folgen, einschließlich der Sinkgeschwindigkeit nach Stokes (d ST = d),
2
( ρs−ρf
) ⋅ d ⋅ g
vs ,St
=
(4.55)
18⋅
η
dp
dh
B
1 18 ⋅ η ⋅ B( ε)
18 ⋅ η ⋅ B( ε)
g g ⋅ B( ε)
⋅ =
⋅ u =
⋅ u = ⋅ u (4.217)
ρ
b
2 r
2
r
r
( ρ − ρ ) d ε ( ρ − ρ ) d ε g v ⋅ ε
s
f
ST
s
f
ST
s,St
dv ⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞ 2(m+
1)tan θ 2 g ⋅ B( ε)
= g 1
v ⋅ ur
dt
⎜ − − −
⋅ −
b
bg
⎟
∗
⎝ ρ ⎠ b
vs,St⋅
ε
Vorausgesetzt die Leerrohrrelativgeschwindigkeit der Fluides u r und die Auslaufgeschwindigkeit
v des Schüttgutes u r
= v sind betragsmäßig gleich, folgt
die Differentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit eines kohäsiven
Pulvers aus einem konvergenten Trichter für laminare Durchströmung
eines Festbettes 19 , siehe auch ../VO_PM_SGT/Schüttec_4.doc#Diffgl_vt_lam:
dv
dt
⎛ bmin
dpa
/ dH 2(m+
1)tan θ 2 g ⋅ B( ε)
g 1
v ⋅ v
b
bg
⎟ ⎞
= ⎜ − − −
⋅ −
(4.218)
∗
⎝ ρ ⎠ b vs,St⋅
ε
Für die Sedimentation einer laminar durchströmten, kohäsiven Pulverschicht
in einem Behälter mit vertikale Wänden θ = 0 und tanθ = 0 mit b min
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
19 Tomas, J., Modellierung des Fließverhaltens von Schüttgütern auf der Grundlage der Wechselwirkungskräfte
zwischen den Partikeln und Anwendung bei der Auslegung von Bunkeranlagen,
S. 127, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991
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234
→ D min und b* → D sowie ohne äußerem Überdruck dp a = 0 folgt aus der allgemeinden
Differentialgleichung (4.218) die Differentialgleichung:
dv
dt
⎛ Dmin
⎞ g ⋅ B( ε)
=
B
g⎜1
− ⎟ − ⋅ v
( 4.219)
⎝ D ⎠ vs,St⋅
ε
Für ein freifließendes Schüttgut ist näherungsweise D min ≈ 0. Damit wird die
lineare Differentialgleichung (4.178) der Sedimentation einer Partikelschicht
bei laminarer Durchströmung erhalten
dv
dt
g ⋅ B( ε)
= g −
B
⋅ v
(4.178)
v ⋅ ε
s,St
mit der Porositäsfunktion B(ε) B für die laminare Durchströmung des - gegenüber
einer homogen aufgelockerten Wirbelschicht - mehr oder weniger ruhenden
Festbettes Gl.( 4.175):
2
⎡ 3
⎛
3
1− ε 1 1− ε ⎞ ⎤
B ( ε)
⎢
+ ⋅ ⎜
⎟ ⎥
B
= 1+
0,692 ⋅
3
⎢ − − ε
3
( 4.175)
0,95 1 2
⎥
⎣
⎝ 0,95 − 1− ε ⎠ ⎦
Die Sedimentation einzelner, laminar umströmter Partikel folgt für eine
große Auflockerung ε → 1 und deshalb B(ε) B = 1
dv
dt
g
⎜ ⎛ v
= g − ⋅ v = g ⋅ 1 −
vs,St
⎝ vs,
St
⎟ ⎞
⎠
Das entspricht wiederum der Differentialgleichung der beschleunigten Sedimentation
feiner, laminar umströmter Partikel in einem ruhenden Fluid, siehe
dazu Gl.(4.106):
dv(t)
dt
⎛
g ⋅ ⎜
1 −
⎝
v
=
v s, St
⎞
⎟
⎠
(4.106)
Damit lassen sich die Differentialgleichungen des Ausfließens und der simultanen
Durchströmung kohäsiver Pulver (makroskopische Kontinua) mit der
Sedimentation von Partikelschichten und mikroskopisch kleiner Partikel
vergleichen und umrechnen. Der Plausibilitätstest ist somit gelungen – q.e.d.
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4.1.6 Partikelbewegung im Fliehkraftfeld einer Wirbelströmung
235
Ein Fliehkaftfeld in einem Fluid kann auf zweierlei Weise erzeugt werden:
Entweder, indem der Behälter mit dem Fluid in Drehung versetzt wird, oder
indem die Strömung zwangsweise in eine gekrümmte Bahn umgelenkt wird.
Modellhaft unterscheiden wir dann den erzwungenen
• Potentialwirbel bzw. die
• Wirbelsenke.
Bei letzterer ist der rein tangentialen Strömung noch eine nach innen gerichtete
Komponente überlagert.
Starrkörperwirbel
Hierbei bewegt sich das Fluid wie ein fester Körper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω um die Drehachse (Folie 4.20a):
u
r
ϕ
r/
⋅ ω
= = ω = const. . (4.220)
r/
Realisiert findet man solche erzwungene Wirbelströmung außer in Becherzentrifugen
auch in anderen Absetzzentrifugen (s. VO Mechanische Trennprozesse),
im Kern einer ausgebildeten Rührertrombe und im Kern der Gaszyklonströmung
(s. Abschnitt 4.7.3.2).
Potentialwirbel
Der Potentialwirbel (Folie 4.20b) ist eine freie Wirbelströmung in konzentrischen
Kreisen, bei der die Umfangsgeschwindigkeit u ϕ (= Tangentialgeschwindigkeit
u t ) umgekehrt proportional zum Radius r ist:
u
ϕ
⋅ r = c1 = const. . (4.221)
Er dient zur Erzeugung des Fliehkraftfeldes mit seiner radial nach außen gerichteten
Beschleunigung
a
r
2 2
= r ⋅ω = u / r . (4.222)
ϕ
Man nennt die Konstante c 1 die Wirbel- oder Zirkulationsstärke. Der Potentialwirbel
ist reibungsfrei und hat an jedem Punkt im gesamten Strömungsfeld
die gleiche Energie (= isoenergetisch), was den entgegengesetzten Verlauf der
Geschwindigkeitskurve (hyperbolischer Abfall) und Druckkurve (parabolische
Zunahme) charakterisiert. Aus der Kräfte- bzw. Druckbilanz (BERNOULLI-
Gleichung für stationäre Strömungen)
ρ 2
⋅ u
ϕ
(r) + p(r) + ρ ⋅ g ⋅ h = const.
(4.223)
2
folgt für h = 0 mit Gl.(4.221) die Radienabhängigkeit des Druckes:
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236
2
2
ρ c ⎛ ⎞
1
ρ ⋅
2 r
= − ⋅ = ⋅
⎜ −
0
p (r) const.
u
⎟
2
0
1 . (4.224)
2
2 r 2 ⎝ r ⎠
u 0 , r 0 beliebige Bezugsgrößen
Verallgemeinert gilt für die reibungsbehaftete Wirbelströmung:
u r
n ϕ
⋅ = const. . (4.225)
n = 1 reibungsfreie Wirbelströmung
0 < n < 1 reibungsbehaftete Wirbelströmung, für u ϕ < u ϕ,max z.B.
0,5 ≤ n ≤ 0,85 Spiralwindsichter; 0,4 ≤ n ≤ 0,9 Hydrozyklon
n = -1 Starrkörperwirbel
Die Anwesenheit von Partikeln in der Wirbelströmung ändert die Reibung in
der Strömung und damit den Exponenten n, d.h. den Verlauf der Spiralströmung.
Deren Verlauf hängt demnach nicht nur von der Gutbeladung µ s,g , sondern
auch von der Partikelgrößenverteilung ab.
Potentialsenke
Bei der Potentialsenke oder Senkenströmung (Folie 4.20c) werden die Stromlinien
radial nach innen mit der Radialgeschwindigkeit u r durchlaufen:
ur 2
=
⋅ r = −c
const. . (4.226)
Diese Geschwindigkeit nach innen dient zur Mitnahme von Partikeln durch die
Fluidwiderstandskraft entgegen zur nach außen gerichteten Feldkraft (Zentrifugalkraft).
Der Wert von c 2 gibt die Senkenstärke an.
Wirbelsenke
Bei der Wirbelsenke handelt es sich um eine Potentialströmung, d.h. sie ist
reibungsfrei und hat an jedem Punkt im gesamten Strömungsfeld die gleiche
Energie. Sie kommt durch die Überlagerung des Potentialwirbels mit der Senkenströmung
zustande. Die Geschwindigkeit u der Wirbelsenke (Folie 4.20d)
hat also u r als Radial- und u ϕ als Umfangskomponente. Die Stromlinien der
Wirbelsenke sind logarithmische Spiralen; sie schneiden alle konzentrischen
Kreise um das Wirbelzentrum unter dem gleichen Winkel β. Die Steilheit dieser
Spirale
u
u
c
= tan β =
c
r 2
=
ϕ
1
const.
(4.227)
gibt als Verhältnis von Senkenstärken c 2 zu Wirbelstärke c 1 auch das Verhältnis
von Radial- zu Tangentialgeschwindigkeiten an. Es ist demnach in jedem
Punkt des Strömungsfeldes gleich.
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237
Durch die gedankliche Auftrennung der Strömung in eine radiale und eine tangentiale
Komponente kann eine Analogie zur Klassierung in senkrechter Aufwärtsströmung
im Schwerefeld hergestellt werden:
• Radial „nach außen“ entspricht im Schwerefeld der Richtung „nach unten“,
• während die trennende Widerstandskraft hier „nach innen“ und im Schwerefeld
„nach oben“ gerichtet ist, siehe Tabelle 4.8:
Tabelle 4.8: Partikeltrennung in einer Strömung unter der Wirkung eines
Schwerkraft- oder Fliehkraftfeldes
Richtung des Massenkraftfeldeden
Richtung der trennen-
Strömungskraft
Schwerkraftfeld nach unten nach oben
Fliehkraftfeld nach außen nach innen
Trennprodukt Grob- oder Schwergut Fein- oder Leichtgut
Das für den Trenn- bzw. Klassiereffekt maßgebliche Kriterium ist nun, ob ein
Partikel in diesem Strömungsfeld unter dem Einfluss der konkurrierenden
Kräfte als Grob- bzw. Schwergut nach außen, oder als Fein- bzw. Leichtgut
nach innen transportiert wird.
Ein Partikel - wir betrachten es wieder als Kugel - ist unter den gleichen vereinfachenden
Voraussetzungen wie in Abschnitt 4.1.1 (quasistationäre Bewegung,
d.h. verschwindend kleine Trägheits- und Corioliskraft; Vernachlässigung der
Schwerkraft) den folgenden Kräften unterworfen:
1) der Zentrifugalkraft F Z radial nach außen und dem statischen Auftrieb F A
radial nach innen
π 3 2
FZ
= ρs
⋅ d ⋅ r ⋅ ω und (4.228)
6
F
A
Mit
=ρ
f
π
⋅ d
6
3
2
⋅ r ⋅ω
. (4.229)
2 2
r ⋅ ω = u / r ergibt das in positiver r-Richtung
ϕ
π 3 2
FZ
− FA
= ( ρs
− ρf
) ⋅ d ⋅ u
ϕ
/ r ; (4.230)
6
2) der Widerstandskraft F
W
in Richtung der Relativgeschwindigkeit zwischen
Partikeln und Fluid - davon ist die Partikelabsolutgeschwindigkeit v
a
in einem
auf einer festen Kreisbahn rotierenden Koordinatensystem abzugrenzen
(siehe Gl.(4.236) und auch Abschnitt 4.3.3). Teilen wir diese Kraft in
eine Radial- und eine Tangentialkomponente F W,r und F W,ϕ auf, dann ist
F W,ϕ die einzige tangential wirkende Kraft, so dass das Partikel die Umfangsgeschwindigkeit
der Strömung annimmt v r,ϕ = u ϕ . In Radialrichtung
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238
steht die Widerstandskraft F W,r gebildet mit der radialen Relativgeschwindigkeit
zwischen Partikeln und Fluid (Index r,r)
F
W,r
π 2 ρf
2
= cW
( ReP
) ⋅ d ⋅ ⋅ vr,r
(4.231)
4 2
im Gleichgewicht mit den oben angegebenen Kräften F − F − F 0 , so
Z A W, r
=
dass sich zunächst für die radiale Relativgeschwindigkeit des Partikels
v r,r gegenüber dem strömenden Fluid
v
( ρ − ρ )
d ⋅ u
/ r
2
4
s f
ϕ
r,r
= ⋅ ⋅
(4.232)
3 ρf
cW
( ReP
)
ergibt. Im Rahmen der getroffenen Vereinfachungen gilt das nur für kleine
Partikeln, die der Umfangsgeschwindigkeit der Strömung praktisch trägheitslos
folgen, so dass wir einerseits die Reynoldszahl mit v r,r bilden und
uns andererseits auch hier auf den Stokes-Bereich beschränken können:
vr,r
⋅ d ⋅ρf
Re
P
= , c
W
(ReP
) = 24 / ReP
. (4.233)
η
Damit entspricht dieser Partikelrelativgeschwindigkeit v r,r (r) die Partikelsinkgeschwindigkeit
v s,r (r)
v
r,r
( ρ − ρ )
2 2
d u (r)
s f
⋅ ϕ
(r) = vs,r
(r) =
⋅ , (4.234)
18⋅
η r
übrigens - wie bei den Voraussetzungen nicht anders zu erwarten - ganz analog
zur Sedimentation im Starrkörperwirbel eines Zentrifugalkraftfeldes, siehe dazu
die Sinkgeschwindigkeit nach STOKES, Gl.(4.55), allerdings ausgedrück
mit der Zentrifugalbeschleunigung u 2 ϕ
(r) / r :
v s,r (r) = v s,z (r). (4.235)
Unter der Bedingung, dass die die radiale Strömungsgeschwindigkeit u r (r)
(nach innen gerichtet) und die radiale Sinkgeschwindigkeit v s,r (r) (nach außen
gerichtet) der Partikeln relativ zur Strömung gleich sind, verbleiben diese Partikel,
absolut gesehen, auf einem bestimmten Radius in Schwebe, rotieren also
auf einer Gleichgewichtskreisbahn. Das entspricht in einem Trennprozess der
sog. Trennkorngröße (bei 50% Trennwahrscheinlichkeit) mit der radialen Partikelabsolutgeschwindigkeit
v a,r (r) = 0, siehe Gl.(4.2),
v
(r) = u (r) − v (r) 0 . (4.236)
a ,r r s, r
=
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4.2 Turbulente Transportvorgänge
239
In vielen Ausrüstungen, in denen niedrig- bis mittelviskose Substanzen verarbeitet
werden, laufen die Strömungsvorgänge turbulent ab. Bedingung hierfür
ist, dass die REYNOLDS-Zahl einen bestimmten kritischen Wert überschreitet.
In vielen Fällen sind dann Intensität und Struktur der Turbulenz entscheidende
Einflussgrößen für die Erfolgs- oder Gütekenngrößen der Mikro- und Makroprozesse
(Folie 4.21).
4.2.1 Kennzeichnung von turbulenten Strömungen
Für die Probleme der Verfahrenstechnik sind insbesondere drei Wirkungen der
Turbulenz bedeutsam:
(1) Die turbulenten Transportvorgänge bestimmen einerseits sowohl die
Geschwindigkeit des Mischens von Flüssigkeiten oder Gasen ineinander als
auch das Verteilen einer dispersen Phase im Dispersionsmittel. Letzterer
Effekt ist die Voraussetzung für
* den pneumatischen und hydraulischen Transport in Rohrleitungen,
* die Herstellung von Suspensionen und
* für das Aufwirbeln von Feststoffen z. B. für Löse- oder Kristallisationsvorgänge.
Andererseits beeinflussen die turbulenten Transportvorgänge die Trennung
in Sichtern, Zyklonen und anderen Stromklassierern.
(2) Die Partikelgröße und damit die volumenbezogene Oberfläche fluider disperser
Phasen wird vielfach durch turbulente Zerteilvorgänge bestimmt.
Dies betrifft z. B. die Herstellung von Dispersionen ineinander unlöslicher
Flüssigkeiten (Emulsionen) und das Begasen von Flüssigkeiten. Agglomerate
geringer Festigkeit, wie z.B. Flocken, können ebenfalls durch die Wirkung
der Turbulenz in ihrer Größe beeinflusst werden.
(3) In Turbulenzfeldern treten, durch die Schwankungsbewegungen bedingt,
zusätzliche Beschleunigungen und demzufolge außer den in Abschn.
4.1 behandelten Bewegungsvorgängen zusätzliche Relativbewegungen der
Partikeln gegenüber dem Fluid auf. Diese sind die Ursache für Stoßvorgänge
(Kollisionen) zwischen Partikeln, die beispielsweise eine der Voraussetzungen
für die Koaleszenz fluider Partikeln und die Flockung von
Feststoffpartikeln darstellen.
Die Modellierung der Makro- und Mikroprozesse des Mischens, des Trennens,
des Zerteilens und des Transportes erfordert daher die Anwendung der Ergebnisse
der Turbulenztheorie. Spezifisch für die Verfahrenstechnik sind die
weitgehenden Vereinfachungen der komplizierten Gesetze der Turbulenztheorie,
solange damit eine Interpretation und Modellierung der experimentell ge-
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240
fundenen Zusammenhänge möglich bleibt. Für eine betont ingenieurwissenschaftliche
Betrachtungsweise reichen zuerst einmal Ähnlichkeitsmodelle aus,
die man aus einer einfach zu handhabenden Dimensionsanalyse der physikalisch
begründbaren, wesentlichen Einflussgrößen gewinnt.
In der Strömungsmechanik unterscheidet man zwischen wandnahen turbulenten
Strömungen (turbulenten Grenzschichten) und der freien Turbulenz.
Durch die Grenzschichtturbulenz wird der Stoff- und Wärmeübergang an
Wänden und Phasengrenzflächen beeinflusst. Sie bewirkt auch das Aufwirbeln
abgesetzter Feststoffe.
Bedeutsamer für die mechanischen Grundvorgänge, Mikro- und Makroprozesse
sind die Wirkungen der freien Turbulenz. Diese umfasst die Vorgänge in
Strahlen und im Nachlauf von turbulenzerzeugenden Einbauten wie z.B.
Blenden, Lochplatten, Stabgitter und Rührern. Ein wesentliches Merkmal der
freien Turbulenz besteht darin, dass sie in wandfernen Bereichen durch örtliche
Geschwindigkeitsgradienten und damit ohne Wandeinfluss entsteht.
Anschaulich lässt sich eine turbulente Strömung als die Überlagerung von
Grundströmung und einer großen Anzahl von Wirbeln bzw. Wirbelfeldern (Folie
4.22.2) unterschiedlicher Abmessungen deuten. Aufgrund dieser Überlagerung
ändert sich auch bei im Mittel stationären Strömungen der Geschwindigkeitsvektor
zeitlich nach Betrag und Richtung (Folie 4.22.1).
Für die Charakterisierung turbulenter Strömungen werden folgende Größen
benötigt, deren Bedeutung und Messung bereits in der VO „Strömungslehre"
/3.3./ behandelt worden sind:
‣ die nach Betrag und Richtung zeitlich gemittelte Bewegungs- und Zustandsgrößen,
z.B. Druck (wirksame Größen werden durch den `-Strich gekennzeichnet)
p (t) = p + p ′(t)
(4.237)
und Strömungsgeschwindigkeit u , wie sie durch eine träge Meßmethode
ermittelt wird (Folie 4.22.1a)
u (t) = u + u′
(t) , (4.238)
‣ die dieser zeitlich gemittelten Geschwindigkeit überlagerten Schwankungsbewegungen
in Strömungsrichtung u x '(t) und senkrecht dazu u y '(t),
u z '(t) (Folie 4.22.1a). Diese Zusatzbewegungen sind aufgrund des Charakters
der Turbulenz zufallsbedingt und somit nur durch ihre statistischen Mittelwerte
quantitativ beschreibbar.
‣ Definitionsgemäß ist der integrale zeitliche Mittelwert der Beträge aller
Schwankungsbewegungen gleich Null, da nach Gl.(4.238) u(t) = u erhalten
werden muss:
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t*
1
u′ = lim ⋅ u′
(t) dt = 0
t* →∞ t *
∫ . (4.239)
0
‣ Deshalb werden die mittleren Effektivwerte
2
x
2
y
2
z
241
u ' , u' , u'
oder quadratischen
Mittelwerte benutzt (Folie 4.22.1b), siehe auch Gl.(4.69):
t*
2 1 2
u ' = lim
t* →∞ ∫ u' dt . (4.240)
t *
0
Diese durch die Hitzedrahtmesstechnik /3.22./ messbaren Effektivwerte sind
in stationären turbulenten Strömungen zeitlich konstant.
‣ Von isotroper Turbulenz spricht man, wenn weitestgehende Richtungsunabhängigkeit
der mittleren Effektivwerte gilt:
u'
2 2 2
= u' = u' u' / 3 . (4.241)
2
x y z
=
2 2 2 2
u'
x
+ u'
y+
u'
z
u'
‣ Der Turbulenzgrad ist Tu = ≈ . (4.242)
2
2
3⋅u
u
Für eine Rohrströmung liegt er im Bereich von 0,04 ≤ Tu ≤ 0,06.
‣ Die Abmessungen von Wirbeln können durch ihre Wellenlänge λ oder
einen Wirbelradius r W = λ/4 charakterisiert werden (Folie 4.22.2a).
‣ Dabei entspricht der Makromaßstab Λ der Turbulenz der Wellenlänge
zweier großer Wirbel (Folie 4.22.2c).
‣ Außerdem lässt sich ein sog. Mischungsweg l M als zeitlicher Mittelwert
einer Korrelationsfunktion R(y) zwischen zwei benachbarten Punkten i und
i+1 als charakteristische Wirbelgröße einführen (s. BURKE, KECKE,
RICHTER Strömungsförderer, F. Vieweg, Braunschweig, 1989, S. 48):
′
′
∞
∞
u
i
⋅ u
i+
1
l
M
= ∫ R(y) dy = ∫ dy . (4.243)
2 2
0
0 u′
⋅ ′
i
u
i+
1
Die Turbulenztheorie unterscheidet je nach Meßmethode und der räumlichen
Orientierung der Messsonde zwischen verschiedenen Makromaßstäben, die
jedoch alle in der gleichen Größenordnung liegen.
Die Wirbel der Makroturbulenz, auch energietragende Wirbel genannt, entstehen
durch Geschwindigkeitsgradienten in der Grundströmung. Ihre Größe
und damit auch der Makromaßstab der Turbulenz sind somit proportional
einer Länge, die normal zur Strömungsrichtung charakteristisch für die Strecke
ist, über der der Geschwindigkeitsgradient auftritt. Wenn reibungsbehaftete
Starrkörperwirbel (Nulldurchgang im Wirbelkern, siehe Gln.(4.220) und
(4.225)) als Modell für die turbulenten Zusatzbewegungen dienen sind die Umfangsgeschwindigkeiten
u ϕ in den Wirbeln
u*
= ′ 2
u ∝ ϕ
u
(4.244)
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242
ebenfalls proportional dem in der Grundströmung auftretenden Geschwindigkeitsgradienten
∆ u / l (siehe Gl.(4.249)).
M
Zahlreiche Untersuchungen (siehe z.B. /3.53/ bis /3.56/ ergaben und auch die in
Folie 4.22.3 zusammengestellten Ergebnisse belegen, dass bei voll ausgebildeter
Turbulenz der Makromaßsab Λ in der Größenordnung der Abmessungen
der turbulenzerzeugenden Systeme normal zur Strömungsrichtung liegt -
für eine Rohrströmung ist 0,125 ≤ Λ/D 0 ≤ 0,4 - und dass der Effektivwert der
Geschwindigkeitsschwankungen proportional der mittleren Strömungsgeschwindigkeit
ist.
Struktur und Intensität der Makroturbulenz, charakterisiert durch den Makromaßstab
und durch den Effektivwert der Schwankungsbewegungen nach
Gl.(4.245), werden also durch die turbulenzerzeugenden Systeme bestimmt.
Bei voll ausgebildeter Turbulenz gilt im Nachlauf von turbulenzerzeugenden
Systemen:
2
Λ ~ D 0 und u'
∝ u
0
. (4.245)
Hierbei sind D 0 und u 0 im Sinne der Ähnlichkeitstheorie charakteristische
Bezugsgrößen des Turbulenzerzeugers. Für die in Folie 4.22.3 dargestellten
Beispiele werden zweckmäßigerweise der Düsendurchmesser D 0 bzw. die
Schaufelhöhe h 1 sowie die Düsenaustrittsgeschwindigkeit
u
2
= 4V /( D )
(4.246)
0
π
0
bzw. die Rührerumfangsgeschwindigkeit
v u,R = π n D 2 (4.247)
verwendet.
In Freistrahlen sowie im Rührerstrom vergrößert sich Λ stromab etwa proportional
zur Lauflänge, während u und
das Produkt
2
u ' abnehmen, so dass in diesem Bereich
2
Λ ⋅ u'
= const. ∝ u
0
⋅ D0
(4.248)
angenähert konstant bleibt, siehe auch analog dazu Potentialwirbelverhalten
Gl.(4.221). Die Energie, die zur Erzeugung dieser Makroturbulenz erforderlich
ist, wird der Grundströmung entnommen.
Da bei freier Turbulenz keine Druckgradienten vorhanden sind, verringert sich
die kinetische Energie der Grundströmung längs des Strömungsweges. Es findet
ein Impulsaustausch zwischen den Turbulenzballen statt, der aus der
PRANDTLschen Mischungswegtheorie ableitbar ist. Für den Geschwindigkeitsgradienten
du
∆u
≈ (4.249)
dy
l M
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τ = ρ ⋅ u′
⋅ u′
>> τ im Wirbelman-
und die turbulenten Schubspannungen
tel gilt somit (s. KECKE S. 49):
t
f
x
y
lam
243
2 du du du
τ
t
= ρf
⋅ lM
⋅ ⋅ ≡ ρf
⋅ ν
t
⋅ . (4.250)
dy dy dy
ν t
scheinbare kinematische Wirbelviskosität (kein Stoffwert!) (siehe auch
Gl.(4.276))
Die Wirbel der Makroturbulenz sind in sich ebenfalls turbulent; innen sind
Wirbel unterschiedlicher Größe überlagert, die jeweils die zu ihrem Aufbau
benötigte Energie der kinetischen Energie der nächst größeren Wirbel entnehmen.
Hierdurch entsteht ein Impulsaustausch der Turbulenzelemente, bei
dem laufend Energie der Grundströmung entzogen und zu immer kleineren
Turbulenzelementen übertragen wird.
Die Mechanik dieses Impulstransportes zwischen den Wirbeln lässt sich am
einfachsten so verdeutlichen:
Der Zusammenhang zwischen Kraft und Trägheitswirkung einer Teilmasse
m 1 ist:
du
1
d( m1
⋅ u1)
m1
⋅ = F1
= . (4.251)
dt dt
Für eine unendlich große Kraft in infinitesimal kurzer Zeitdauer dt → 0
folgt ein endlicher Kraftstoß F = F(t) dt . Eine einfache Kräftebilanz
∑
k
d( m1
⋅ u1
+ m2
⋅ u
2
)
Fk = 0 = F1
+ F2
≡
=
dt
∫
0
(4.252)
ergibt damit das Gesetz zur Impulserhaltung von zwei trägen, zeit- und geschwindigkeitsabhängigen
Teilmassen, die zusammenstoßen:
m ⋅ u + m ⋅ u = const. = m ⋅ c + m ⋅ . (4.253)
1 1 2 2
1 1 2
c2
Die Geschwindigkeiten nach einem zentralen Stoß (sog. Restitutionsphase)
betragen für die vorangegangene ideale elastische oder plastische Kompressionsphase
der beiden Stoßpartner k el = 1 bzw. k pl = 0 mit dem sog. Restitutionskoeffizienten
e oder Stoßzahl k (k = e; h Fallhöhe) (vgl. Gl.(4.490)):
k
2 = h / h
(4.254)
c
c
Rückprall
m ⋅ u
+ m
⋅ u
− k ⋅ m
⋅
( u − u )
1 1 2 2
2 1 2
1
= (4.255)
m1
+ m2
m ⋅ u
+ m
⋅ u
+ k ⋅ m ⋅
( u − u )
1 1 2 2
1 1 2
2
= . (4.256)
m1
+ m2
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244
Allgemein kann nun die Bilanzgleichung einer volumenbezogenen Bewegungs-
oder Impulsgröße ρ ⋅ u eines fluiden Stoffelementes k (Wirbels
oder Fluidballens) wie folgt aufgeschrieben werden:
∂( ρ ⋅ u
k
)
= − div ρk
⋅ u
k
u
k
+ div ν ⋅ grad ρk
⋅ u
k
∂t
t
u
ν
k
k
[ ] [ ( )] gradp
k
+
zeitliche
Änderung
k
der Transportgröße
Transport durch
Strömung (Konvektion)
Zeit
Geschwindigkeitsvektor
kinematische Zähigkeit
Transport durch Leitung
(Konduktion)
ρ k Dichte oder Massekonzentration im Volumenelement
p
Druck
Impuls-
energie-
quelle
(4.257)
Dieser durch die Turbulenz bewirkte Transport kinetischer Impulsenergie
erfolgt bis zu den kleinsten in der Strömung vorhandenen Turbulenzelementen
(Wirbel), die in sich selbst laminar fließen. Die kleinsten Elemente werden
durch laminare Schubspannungen - ein viskoser Reibungswiderstand des
Fluides muss überwunden werden - abgebremst, und ihre kinetische Energie
dissipiert in die Wärmebewegung der Moleküle – svw. molekularer Impulstransport.
Der genannte Impulstransport bewirkt, dass Intensität und Struktur der
Mikroturbulenz, d.h. von Wirbeln, die hinreichend klein gegenüber den Wirbeln
der Makroturbulenz sind, nur durch die Größe des Energieeintrages sowie
die Viskosität des Fluids bestimmt werden.
Die Größe des Energieflusses ist gleich der so genannten Dissipationsrate ε =
dE kin /(dt⋅dm), d.h. der kinetischen Energie, die der Hauptströmung je Masse-
und Zeiteinheit entzogen und die letztendlich durch die laminaren Schubspannungen
in den kleinsten Wirbeln in Wärme umgesetzt wird. Sie ist wie alle
anderen Turbulenzgrößen im Prozessraum ortsabhängig. Nach BRODKEY [3-
138] gilt zwischen der Dissipationsrate ε, dem Makromaßstab Λ und dem Effektivwert
der Schwankungsbewegungen u eff ‘ der Zusammenhang:
ε =
dP
dm
= 1,65 ⋅
2
( u' )
Λ
3/ 2
3
u'
= 1,65 ⋅
Λ
eff
. (4.258)
Daraus folgt für die mittlere Dissipationsrate (= mittlerer spezifischer Leistungseintrag)
ε in einem abgeschlossenen Behälter, in den beispielsweise
durch einen Rührer die Wellenleistung P eingetragen wird (D B Behälterdurchmesser,
D R Rührerdurchmesser):
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3 2
P 1 u
R
⋅ DR
ε = = ε dm ∝
m m
∫ . (4.259)
D
m
3
B
245
Diese Dissipationsrate ist jedoch nicht im gesamten Prozessraum gleich groß.
Sie erreicht Maximalwerte ε max im Nachlauf der Turbulenzerzeuger (u R =
π . D . R n Rührerumfangsgeschwindigkeit, c D ≈ 0,5 Dissipationsbeiwert für einen
Scheibenrührer 20 ),
( u ⋅ Tu)
3
⎡
max
ε
max
∝
bzw.
⎢
⎣
Λ
⎥ ⎦
⎤
3
u
R
ε
max
= cD
, (4.260)
D
die etwa das 5- bis 200-fache des Mittelwertes betragen:
ε
ε
max
∝
⎡
⎢
⎣
( u ⋅ Tu)
u
R
max
D
⋅
D
B
R
3
⎤
⎥
⎦
D
⋅
Λ
R
R
. (4.261)
Die Abmessung der kleinsten Turbulenzelemente ergibt sich aufgrund der
Wechselwirkung zwischen der Größe des Energietransports und der laminaren
Schubspannung, d.h. aus den Größen Dissipationsrate ε und der kinematische
Viskosität ν. Von KOLMOGOROFF /3.57/ wurde der Maßstab der Mikroturbulenz,
der sog. KOLMOGOROFF’sche Längenmaßstab (auch Mikroskala
von Kolmogoroff genannt 21 ) eingeführt, der dieses Verhältnis aus molekularer
Dissipation, ausgedrückt durch die kinematische Viskosität ν = η/ρ, zu dem
gesamten eingetragenen Energiefluss ε enthält:
l
= ν ε . (4.262)
3 1/ 4
D
( / )
Messungen zeigten, dass Turbulenzelemente mit Abmessungen
r
W
≥ r = (10 ... 15) ⋅l
bzw . λ ≥ λ = (40 ... 60) ⋅l
(4.263)
k
D
in sich turbulent sind. Kleinere Wirbel fließen laminar.
Hierbei sind Turbulenzelemente mit einem Wirbelradius
r
W
W,min
D
W
k
< r = (4 ... 6) ⋅l
(4.264)
nicht existenzfähig, da sie durch die laminare Schubspannung zu schnell abgebremst
werden.
Darüberhinaus findet man durch Dimensionsanalyse, Tabelle 4.9:
D
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
20 siehe H. Schubert, Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, S. 173
21 siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Mikroskala_von_Kolmogorow
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246
Tabelle 4.9: Mikroprozessgrößen nach Kolmogoroff im Dissipationsbereich
(Index D) der Mikroturbulenz mit ε in m²/s³ und ν in m²/s
Mikroprozessgröße Formel Gl.
3 1/ 4
Kolmogoroff-Länge
lD = ( ν / ε)
(4.262)
1/ 2
Kolmogoroff-Zeit
t = D
( ν / ε )
(4.265)
4
Kolmogoroff-Geschwindigkeit u = ( ν ⋅ε )
1/
D (4.266)
Die Gesetze der Mikroturbulenz dürfen aber nur für Turbulenzelemente angewendet
werden, die hinreichend klein im Vergleich zum Makromaßstab sind.
Nach Messungen von Möckel /3.54/ gilt als obere Grenze für die Abmessungen
der Turbulenzelemente der Mikroturbulenz:
rmax ≅ 0,12 ⋅ Λ bzw. λ
max
≅ 0, 5 ⋅ Λ . (4.267)
Die Struktur der Mikroturbulenz wird folglich einerseits durch den Makromaßstab,
andererseits durch die kleinsten Wirbel, deren Größe mit wachsender
Dissipationsrate abnimmt, bestimmt.
Die Makroturbulenz wird bei freier Turbulenz nicht durch die Viskosität beeinflusst,
wenn die Turbulenzelemente der Makroturbulenz hinreichend groß gegenüber
den kleinsten Turbulenzelementen sind, d.h., wenn ein hinreichend
breites Spektrum unterschiedlich großer Turbulenzelemente vorhanden ist. Als
Kriterium für die voll ausgebildete freie Turbulenz gilt entsprechend den
Gln.(4.263) und (4.267)
r max >> r k ≈ 12 l D (4.268)
und nach Messungen von MÖCKEL
Λ
λ
≥ 150 ... 200
4 / 3
bzw. Λ 2
⎛ Λ ⎞
⋅ u
′ = 0,85 ⋅
⎜ > 675 ... 995
l
⎟
. (4.269)
ν
⎝ D ⎠
Ist diese Bedingung erfüllt, so sind bei freier Turbulenz die Viskosität und damit
auch die Reynolds-Zahl nicht relevant für
• die Grundströmung,
• die Makroturbulenz und
• den Betrag der Dissipationsrate.
Es wird später noch gezeigt, dass damit auch viele verfahrenstechnische
Kennwerte unabhängig von der Reynolds-Zahl werden.
Bei der Anwendung der Ergebnisse der Turbulenztheorie auf die Probleme der
Verfahrenstechnik ist es gegenwärtig meist üblich, die Turbulenz in erster Näherung
als isotrop, d.h. richtungsunabhängig Gl.(4.241), zu betrachten. Die
Turbulenzparameter sind damit für stationäre Prozesse eine skalare Ortsfunktion.
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247
Von KOLMOGOROFF /3.57/ wurde vorgeschlagen, die Intensität der Mikroturbulenz
durch den Effektivwert der Differenzgeschwindigkeit zu charakterisieren,
die zwischen zwei in Abstand ∆r voneinander liegenden Punkten auftritt
(Folie 4.22.4). Diese Größe kann durch zwei Hitzdrahtsonden /3.3/ ermittelt
werden, die im Abstand ∆r voneinander angeordnet sind, wobei die Geschwindigkeitsdifferenz
durch das Differenzsignal dieser Sonden bestimmt wird. Der
Vektor der Differenzgeschwindigkeit ändert sich ständig nach Betrag und
Richtung. Untersuchungen von KOLMOGOROFF /3.57/ und weitere Arbeiten
zeigten, dass der Effektivwert für ∆r < 0,1⋅Λ
[ u'(r) − u' (r+
∆r
] 2
∆ u'
=
(4.270)
2 )
unabhängig von der Orientierung im Raum ist. Dies bedeutet, dass die Mikroturbulenz
mit sehr guter Näherung als isotrop angesehen werden kann.
Durch diese Art der Messungen werden Geschwindigkeitsdifferenzen erfasst,
die in Wirbeln der Abmessungen r W = ∆r auftreten. Die Schwankungsbewegungen
der Makroturbulenz r W >> ∆r, wie sie mit der Meßmethode entsprechend
Folie 4.22.1b ermittelt werden, wirken dabei in näherungsweise
gleicher Größe auf beide Sonden. Sie werden damit bei der Ermittlung von ∆u'
herausgefiltert.
Die Abhängigkeit des Effektivwertes der Differenzgeschwindigkeit vom Abstand
∆r ist in Folie 4.22.4 in dimensionsloser Form dargestellt. Dabei sind der
KOLMOGOROFF‘sche Mikromaßstab der Turbulenz l D und eine charakteristische
Geschwindigkeit der Mikroturbulenz als Bezugsgrößen verwendet worden.
Allerdings ist zu beachten, dass die Dissipationsrate und damit die beiden
genannten Bezugsgrößen in technischen Ausrüstungen ortsabhängig sind. Für
viele technische Belange genügt es, entweder mit einem Mittelwert ε der Dissipationsrate
gemäß Gl.(4.259) oder mit einem Maximalwert ε max zu rechnen,
der meist in unmittelbarer Nähe der Turbulenzerzeuger auftritt.
Aus Folie 4.22.4 ist zu erkennen, dass für die Modellierung der Mikroturbulenz
in mehrere Bereiche unterteilt werden kann:
(1) Bei Werten ∆ r / lD≤
5
(4.271)
steigt der Effektivwert der Differenzgeschwindigkeit linear mit dem Abstand
∆r an:
∆ u'
2 = 0,26 ε / ν ⋅∆r
bzw. mit Gl.(4.262) (4.272)
∆u'
2
∆r
= 0,26 ⋅ . (4.273)
4
( ε ⋅ ν) 1/ lD
Abstände ∆r < 5⋅l D sind kleiner als die Abmessungen der kleinsten existenzfähigen
Wirbel, siehe Gl.(4.264). Damit beschreibt Gl.(4.273) Geschwindigkeitsdifferenzen,
wie sie in den kleinen laminar fließenden Wir-
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248
beln (Folie 4.22.2) auftreten. Durch die entstehenden laminaren Schubspannungen
werden diese Wirbel abgebremst. Dadurch dissipiert die Wirbelenergie
in Wärme. Andererseits werden laufend Wirbel dieser Größe durch
größere Wirbel erzeugt.
(2) Da die lineare Abhängigkeit bei ∆r ≤ 10 l D noch näherungsweise gegeben
ist und Wirbel r W ≤ (10 ... 12) l D laminar fließen, wird der Bereich
∆r/l D < 5 ... 10 (4.274)
als Dissipationsbereich der Mikroturbulenz bezeichnet. Wird entsprechend
den Bemerkungen zu Gl.(4.270) und nach Folie 4.22.2 eine näherungsweise
Zuordnung der Wirbelgeschwindigkeit
u ≈
2
ϕ
u' zu den Wirbelabmessungen
r W ≈ ∆r vorgenommen, so kann eine Reynolds-Zahl der Wirbel
Re' =
2
∆u'
⋅r
ν
W
=
∆u'
2
( ∆r)
ν
⋅∆r
(4.275)
gebildet werden. Von ALBRING /3.52/ wurde für Einzelwirbel eine kritische
Reynolds-Zahl Re' krit ≈ 32 ... 36 ermittelt. Folie 4.22.4 zeigt, dass
Re' krit bei ∆r/l D = 12,2 liegt (siehe Bedingung (4.263)).
Bei der Anwendung der Gl.(4.273) ist zu beachten, dass in den Wirbelkernen
das Fluid wie ein starrer Körper deformationslos rotiert (s. Gl.(4.220)).
Eine Beanspruchung von Partikeln erfolgt deshalb nur, falls sie sich außerhalb
der Wirbelkerne befinden. Nur hier geschieht eine Deformation des
Fluids und treten Schubspannungen auf. Normal zu den Stromlinien, die einen
Krümmungsradius r besitzen, gilt für die Schubspannung τ bei einem
Schergeschwindigkeitsgradienten γ (siehe Gl.(4.250)):
τ = η⋅γ mit
∂(uϕ
/ r)
γ = r ⋅ . (4.276)
∂r
Wird die Geschwindigkeitsverteilung eines OSEEN-Wirbels (Folie 4.22.4)
zugrunde gelegt, so tritt der Maximalwert von γ bei r/r W = 1,2 auf und beträgt:
τmax = η⋅γ max
mit γ
max
= 0,6
⋅ ω = 1,06 ⋅ u
ϕ
/ rW
, (4.277)
wobei
ω = 0 ,26 ⋅ ε / ν
(4.278)
die mittlere Winkelgeschwindigkeit der Wirbelkerne bedeutet. Davon ausgehend
führte CAMP die Berechnung eines mittleren Schergradienten der
Turbulenz ein (kinematische Viskosität ν = η/ρ f ):
γ = ε / ν . (4.279)
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249
Die hierdurch bewirkten Schubspannungen τ sind relativ klein. Sie betragen
bei Berücksichtigung der Gl.(4.279)
τ = η⋅ γ ∝ ρ ⋅ ν ⋅ ε ν = ρ ⋅ ε ⋅ ν
(4.280)
turb f
/
für eine Dissipationsrate von ε = 1 W/kg = 1 m 2 /s 3 , sowie
ρ l = 1000 kg/m 3 , η l = 10 -3 Pa⋅s; ν l = 10 -6 m 2 /s
f
für Wasser und
ρ g = 1,2 kg/m 3 , η g = 18⋅10 -6 Pa⋅s; ν g = 15⋅10 -6 m 2 /s für Luft:
τ = η⋅ γ ≅ 0,156
⋅ρ
f
⋅ ε ⋅ν ≈ 0,156Pa
für Wasser und nur
τ = η⋅ γ ≅ 0,156
⋅ρ
f
⋅ ε ⋅ν ≈ 0,73 mPa wegen ρ g ν l
W D
µ
W
(6 ... 10) ⋅ lD
= 1,45 ...
r
= 2,41 mm für Luft.
(3) Wird der Abstand ∆r zwischen den betrachteten bzw. den der Messung zugrunde
liegenden Punkten (Folie 4.22.4) vergrößert, so wird einerseits die
Wirkung größerer Wirbel erfasst. Andererseits können aber diese Punkte
auch verschiedenen Wirbeln zugeordnet sein. Infolgedessen wird der Anstieg
geringer. Im Wertebereich (20 ... 25) < ∆r/l D < 0,12⋅Λ gilt:
∆u'
( ε ⋅ ν)
2
1/ 4
⎛ ∆r
1,38
l ⎟ ⎞
= ⋅
⎜
⎝ D ⎠
1/ 3
bzw. mit Gl.(4.262) (4.281)
( ε ⋅ ∆ ) 1/ 3
∆ u'
2 = 1,38 ⋅ r . (4.282)
Dieser Effektivwert der Differenzgeschwindigkeiten ist von der Viskosität
unabhängig. Energietransport und Spannungszustand werden hier durch
den Austausch makroskopischer Substanzgebiete, d.h. durch Massenkräfte,
bestimmt. Dieser Größenbereich wird daher als der Trägheitsbereich der
Mikroturbulenz bezeichnet. Die mit den charakteristischen Größen der
Mikroturbulenz gebildete Reynolds-Zahl (Folie 4.22.4) beträgt bei ∆r/l D >
20:
4 / 3
⎛ ∆r
⎞
Re' = 1,38 ⋅
⎜ > 75
l
⎟ . (4.283)
⎝ D ⎠
Sie ist damit größer als der oben angegebene Wert Re' krit ≈ 32 bis 36. Nach
Folie 4.22.4 entspricht das diesem Wert zuzuordnende ∆r/l D = 12,2 dem
Schnittpunkt der beiden Gesetze für den Dissipations- und Trägheitsbereich,
siehe Gln.(4.273) und (4.281). Wirbel mit Abmessungen
r W ≥ (15 ... 20)⋅l D (4.284)
sind somit turbulent.
Messungen zeigten, dass in diesem turbulenten Bereich vor allem Schwankungen
der Normalspannungen, d.h. Druckschwankungen, entstehen
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250
/3.105). Diese betragen in Rührbehältern nach Messungen mit Piezosonden
/3.106//3.107/:
2
2
2 / 3
∆ p' ≈ (1 ... 1,2) ⋅ρ
f
⋅ u' ≈ 2 ⋅ρ
f
⋅ ( ε ⋅∆r)
. (4.285)
Demgegenüber sind die turbulenten Schubspannungen, die in Fluidgebieten
mit Abmessungen ∆r ≈ 12⋅l D ... 0,1⋅Λ auftreten, etwa um den Faktor
1/4...1/5 kleiner /3.105/. Für den Effektivwert der Druckschwankungen
ergibt sich wiederum bei ε = 1 W/kg, ρ l = 1000 kg/m 3 und ∆r = 1 mm:
∆ p' 2 ≈ 20 Pa .
Somit beträgt die maximale Druckdifferenz
2
∆ p ≈ 4⋅
∆p'
≈ 80 Pa.
(4.286)
max
Die Schubspannungen, die im Bereich der Makroturbulenz, z.B. in turbulenten
Scherströmungen /3.3/ auftreten, dürfen allerdings nicht für die Berechnung
der Beanspruchungen angewendet werden, denen Fluidelemente und
Partikeln mit Abmessungen des Mikroturbulenzbereiches ausgesetzt sind.
Diese Schubspannungen entstehen durch die Bewegung der Makrowirbel,
die nur einen Transport bewirken, aber keine Beanspruchungen im Mikrobereich.
(4) Da viele Mikroprozesse im Bereich
∆r/l D ≈ 5 ... 20 (4.287)
ablaufen, ist es zweckmäßig, dafür die Kurve in Folie 4.22.4 durch ein Gesetz
des so genannten Übergangsbereiches anzunähern:
∆u'
( ε ⋅ ν)
2
1/ 4
⎛ ∆r
⎞
= 0,45 ⋅
⎜
l
⎟
⎝ D ⎠
2 / 3
bzw. mit Gl.(4.262) (4.288)
∆u'
2
= 0,45 ⋅ ε
5/12
⋅ ν
−1/
4
⋅ ∆r
2 / 3
. (4.289)
Zusammenfassend lassen sich folgende stark vereinfachten Modellaussagen
für den Mikroturbulenzbereich gewinnen:
• Turbulenzelemente mit einem Wirbelradius rW
< rW,min
= (4 ... 6) ⋅l
D
sind
nicht existenzfähig, da sie durch die laminare Schubspannung zu schnell
abgebremst werden.
• Wirbel mit Abmessungen r W ≤ 12⋅l D sind laminar; in ihnen treten laminare
Schubspannungen mit Maximalwerten nach Gl.(4.277) auf.
• Die Grenze zwischen laminarem und turbulentem Bereich liegt bei r W =
(12 ... 15)⋅l D . Die zugeordneten Reynolds-Zahlen nach Gl.(4.275) betragen
Re' = 28 ... 41, d.h., sie entsprechen der kritischen Reynolds-Zahl für Einzelwirbel
Re' krit = 30 ... 36. In diesen Wirbeln treten bezogene Geschwindig-
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∆u'
keitsdifferenzen von = 2,1 ... 2, 7
( )
ergibt sich
ε ⋅ ν
2
1/ 4
∆ u'
2 ≈ 0,07 ... 0,09 m / s .
251
auf. Für ε = 1 W/kg, ν = 10 -6 m 2 /s
• Wirbel mit Abmessungen r W = (12 ... 15)⋅l D sind turbulent. In ihnen überwiegen
die Druckdifferenzen (siehe Gl.(4.285)).
• Im Bereich der Mikroturbulenz sind die Struktur und Intensität von Turbulenzelementen
6⋅l D ≤ r W ≤ 0,1⋅Λ durch die örtliche
⇒ Dissipationsrate ε und die
⇒ Viskosität ν
bestimmt. Sie sind unabhängig von der Art und den Abmessungen des turbulenzerzeugenden
Systems, falls zusätzlich die Bedingung für freie Turbulenz
gemäß Gl.(4.269) erfüllt ist.
• Für Mikroprozesse, die durch die Mikroturbulenz gesteuert werden, gelten
somit die Maßstabsübertragungskriterien:
⇒ P / m = ε = const.
und (4.290)
⇒ ν = const. (4.291)
Dabei muss für Partikeln bzw. entsprechende Abmessungen die Bedingung
⇒ d < (0,05 ... 0,1)⋅Λ (4.292)
eingehalten sein. Die Modelle der Mikroturbulenz sind damit auch unabhängig
vom Apparatetyp.
4.2.2 Transportvorgänge in turbulenten Strömungen
Zunächst wird der Partikeltransport im ruhenden Fluid betrachtet, siehe Folie
4.23. Bei ausreichend kleinen Partikeln (etwa d < 10 µm) lässt sich diese zufällige
Partikelbewegung in Analogie zur molekularen Diffusion beschreiben…
In der Strömungsmechanik /3.3./ ist gezeigt worden, dass in turbulenten Strömungen
ein Austausch von Wirbelballen zwischen benachbarten Schichten
erfolgt (Folie 4.24a). Bestehen zwischen diesen Schichten
1) Konzentrations-,
2) Geschwindigkeits- oder
3) Temperaturunterschiede,
so tritt aufgrund dieser treibenden Zustandsgradienten ein Austausch von
(1) Masse-,
(2) Impuls- oder
(3) Energietransport (Wärmetransport)
normal zur Strömungsrichtung ein. Dessen Größe hängt vom Mischungsweg
l M (Gl.(4.243), Folie 4.24a), d.h. von der Strecke, über den diese makroskopi-
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252
schen Substanzgebiete normal zur Strömungsrichtung transportiert werden, und
weiterhin vom Effektivwert der Schwankungsbewegung
'2
u
y
normal zur
Strömungsrichtung ab. Beide Größen besitzen Maximalwerte für die größten
auftretenden Wirbel. Das Ausmaß dieser Transportphänomene wird daher
durch Intensität und Struktur der Makroturbulenz gesteuert.
4.2.2.1 Turbulenter Transport in Einphasenströmungen
Existiert in einer Strömung quer zur Strömungsrichtung ein Konzentrationsgradient
einer molekulardispersen Komponente i (Folie 4.24a), so ist zwischen
zwei im Abstand l M voneinander liegenden Schichten eine Konzentrationsdifferenz
∆ c = ( ∂c
/ ∂y)
⋅ l vorhanden. In einer turbulenten Strömung erfolgt im
i
i
M
Mittel eine Querbewegung der Wirbelballen um den Mischungsweg, der näherungsweise
gleich dem Makromaßstab l M ≈ Λ der Turbulenz ist. Somit entsteht
i,A
aufgrund des turbulenten Austausches ein flächenbezogener Massenstrom
m der betrachteten Partikelgrößenfraktion i oder Stoffkomponente k entsprechend
einer Komponentenbilanz:
dm
dt
i
= m −m
m
= c ⋅ V
= c ⋅ A ⋅ v
(4.293)
i,Ein
i,Aus
i
i
d(mi
/ A)
= m i,A=
m
i,A,Ein−m
i,A,Aus=
ci,Ein
⋅ vEin
− ci,Aus
⋅ vAus
(4.294)
dt
2 ∂ci
2
2 ∂ci
m i,A
= u'
y
⋅(ci
+ ⋅l)
− u'
y
⋅ci
≈ u' ⋅ Λ ⋅ . (4.295)
∂y
∂y
Dieser turbulente Austausch ist dem molekularen Stofftransport (molekulare
Diffusion) überlagert, wobei letzterer im Allgemeinen sehr klein gegenüber
dem turbulenten ist. Für die Modellierung wird in Analogie zur molekularen
Diffusion ein turbulenter Diffusionskoeffizient D t eingeführt. Es gilt dann
für den Transport in y-Richtung:
∂ci
m i,A
= (Dt
+ D) ⋅ . (4.296)
∂y
Kann Isotropie der Turbulenz zugrunde gelegt werden, so ist auch der turbulente
Diffusionskoeffizient richtungsunabhängig, und für den Transport kann
allgemein und in Vektorschreibweise geschrieben werden:
m = (D + D) ⋅gradc
. (4.297)
i,A
t
i
Hierbei ist D t + D = D eff der effektive Diffusionskoeffizient, wobei jedoch
D t
t
>> D ist. Aus dem Vergleich der Gln.(4.297) und (4.245) folgt
D ≈ u' Λ ∝ u ⋅ D , (4.298)
2
y
0
0
i
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253
bzw. unter Einbeziehung des Turbulenzgrades nach Gl.(4.242)
D Tu ⋅ u ⋅ Λ
(4.299)
t
≈
0
oder mit der turbulenten BODENSTEIN-Zahl als Verhältnis von konvektivem
zu diffusivem Fluidteilchentransport
u
0
⋅ D0
1
Bot
= ∝ . (4.300)
D Tu
t
Für die fluide Phase einer turbulenten Rohrströmung betragen nun
• Turbulenzgrad 0,04 ≤ Tu ≤ 0,06
• Makromaßstab 0,125 ≤ Λ/D Rohr ≤ 0,4
• BODENSTEIN-Zahl 42 ≤ Bo t ≤ 200
• Diffusionskoeffizient 0,005 ≤ D t /(u 0 ⋅D R ) ≤ 0,024
Aufgrund der oben erwähnten Analogie zwischen Impuls- und Stofftransport
kann auch eine turbulente SCHMIDT-Zahl
Sc
ν
t
t
= (4.301)
Dt
eingeführt werden. Deren Größe beträgt bei freier Turbulenz im allgemeinen
Sc t ≈ 0,7 oder bei ebenen Freistrahlen und Strahlgrenzen Sc t ≈ 0,5 /3.59./.
Die Proportionalitätskonstante in Gl.(4.298) ist für viele Anordnungen experimentell
bestimmt worden /3.22.//3.52/. Für den runden Freistahl ergab sich:
D = 0,02 ⋅u
⋅ D
(4.302)
t
0
oder ggf. auch
t
0
0
ν = 0,014
⋅ u ⋅ D . (4.303)
0
Diese Beziehungen beschreiben das Grobvermischen. Aufgrund der überlagerten
kleineren Wirbel der Mikroturbulenz vollzieht sich ein Feinvermischen.
Infolge der Scherung, die auch in den Wirbeln des Dissipationsbereiches auftritt,
verdünnen sich Schlieren unterschiedlicher Konzentration bis zu Abmessungen,
die kleiner sind als der Mikromaßstab nach Gl.(4.259). Der Konzentrationsausgleich
zwischen diesen Schlieren geschieht schließlich durch die thermisch
getriebene molekulare Diffusion.
4.2.2.2 Mischkinetik der Mikro- und Makroturbulenz
Gewöhnlich ist bei Problemen der Mischkinetik in turbulenten Strömungen
das Grobvermischen aufgrund der Makroturbulenz der geschwindigkeitsbestimmende
Schritt. Deshalb lässt sich mittels des turbulenten Diffusionskoeffizienten
D t eine charakteristische Mischzeit des Makromischens t MM in
einem Apparat/Maschine mit einer charakteristischen makroskopischen Länge
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254
der Mischzone L M abschätzen (gewöhnlich ist L M ∼ Λ Makromaßstab der Turbulenz):
t
MM
2
LM
= k
M
⋅
(4.304)
D
t
Der Mischparameter k M ≈ 0,517 hängt unter anderem von der Form des Mischraumes
und dem Aufgabeort ab 22 . Dagegen wird der charakterische Zeitparameter
des Feinmischens t FM , dass zeitlich dem Makromischen überlagert ist,
von der örtlichen Dissipationsrate ε bestimmt:
t
FM
1/ 3
2
⎛ LM
2 ⎟ ⎞
= ⋅
⎜
(4.305)
⎝ ε ⎠
Beim Mikromischen kommt es zwischen den Mikrowirbeln und Schlieren
zusätzlich zu einem Konzentrationsausgleich infolge molekularer Diffusion.
Dieser Mikroprozess wird in dem kennzeichnenden Zeitparameter mit einem
zusätzlichen Term berücksichtigt, der die molekulare Schmidt-Zahl Sc = ν/D
und damit den molekularen Diffusionskoeffizienten D enthält:
1 ν
t MikroM
= ⋅ ⋅ ( 0,88 + ln Sc)
(4.306)
2 ε
Gewöhnlich sind in großtechnischen Apparaten und Maschinen die kennzeichnenden
Mischzeiten des Fein- und Mikromischens in turbulenten Strömungen
klein gegenüber der Mischzeit des Makromischens. Das Makromischen und
damit die Makroturbulenz bestimmt daher im Wesentlichen die Mischkinetik.
4.2.2.3 Turbulenter Partikeltransport
Liegt in einer Ausrüstung eine turbulente Strömung eines Mehrphasensystems
vor, z. B. einer Suspension oder Emulsion, so erfolgt durch die Makroturbulenz
auch ein turbulenter Transport der grobdispersen Partikelphase. Voraussetzung
dafür ist, dass die Abmessungen d der Partikeln (auch Blasen oder Tropfen)
klein gegenüber dem Makromaßstab der Turbulenz, d.h. klein gegenüber den
Apparatehauptabmessungen, sind
d

255
schleunigung a Z = z⋅g) klein, so ist auch die stationäre Sinkgeschwindigkeit v s
(Abschnitt 4.2.2.1) klein. Die Partikeln werden durch die Makroturbulenz wie
kleine Substanzgebiete der fluiden Phase bewegt. Wird die Massekonzentration
c i Gl.(4.297) im Abschnitt 4.2.2.1
dm
dt
i
dmi
dV ⋅ ds ds d(mi
/ V) dci
= m i
≡ ⋅ = dV ⋅ ⋅ = A ⋅ ds ⋅ v ⋅ (4.308)
dt dV ⋅ ds dt ds
ds
durch die Partikelanzahlkonzentration c n,i (Anzahl je Volumeneinheit) ersetzt,
so ergibt sich entsprechend Gl.(4.297) der flächenbezogene Partikelanzahlstrom
(s Wegkoordinate, m P,i Partikelmasse):
[ m /(m ⋅ A) ]
d
i P,i dn
d(c
i
i
/ mP,i
)
= = n i
≡ v ⋅ ds ⋅ = v ⋅ ds ⋅ gradcn,i
bzw.
dt dt
ds
n = D ⋅gradc
. (4.309)
n
i
D t
t
n,i
die Anzahl der Partikel, die je Zeit- und Flächeneinheit entgegen der
Richtung von grad c n transportiert werden, und
der turbulente Diffusionskoeffizient der dispersen Phase, der sich von
dem des Dispersionsmittels unterscheiden kann.
Im Allgemeinen kann die Sinkgeschwindigkeit v s nicht vernachlässigt werden.
Es kommt hierdurch zu einem Partikelstrom in Richtung des äußeren Kraftfeldes,
der das betrachtete Volumenelement verlässt (- Vorzeichen):
n = −v s
⋅ c n
. (4.310)
In einer Mengenbilanz für das räumliche Problem sind zu berücksichtigen (in
Folie 4.24b ist ein ebenes Problem dargestellt):
‣ der Feststofftransport durch die gerichtete (konvektive) Strömung:
n = −v
⋅ c , n
= −v
⋅ c , n
= −v
⋅ c , (4.311)
x
x
n
y
y
n
‣ der Feststofftransport durch die turbulente Diffusion:
z
z
∂cn
∂cn
∂cn
n x
= Dt
⋅ , n
y
= Dt
⋅ , n
z
= Dt
⋅ , (4.312)
∂x
∂y
∂z
wobei der turbulente Diffusionskoeffizient als richtungs- und ortsunabhängig
betrachtet wird,
‣ der Feststofftransport durch die Sinkgeschwindigkeit
n = −(
−v
) ⋅ c . (4.313)
z
s
n
Wenn die Feldkraft entgegen der z-Richtung wirkt, muss dies nun durch
ein zusätzliches –Vorzeichen berücksichtigt werden.
Beim Grenzübergang V/A → d(V/A) erhält man aus dem flächenbezogenen
Partikelanzahlstrom n = m /(mP ⋅ A)
die aktuelle zeitliche Änderung der Partikelanzahlkonzentration
dc n /dt im Volumenelement dV.
n
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n / d(V / A) ≡ dc / dt . (4.314)
Damit ist allgemein
dcn
∂c
n
∂c
n
= −v
x
⋅ − v
y
⋅ − v
dt ∂x
∂y
n
z
2
∂c
⎛
n
∂ cn
⋅ + D
t
⋅
2
z
⎜
∂ ⎝ ∂x
2
∂ c
+
∂y
n
2
2
∂ c
+
2
∂z
bzw.
2 2 2
dc
∂ ⎛
n
∂cn
∂cn
c ∂ c ∂ c ∂ c
= −v
x
⋅ − v
y
⋅ −
2
dt ∂x
∂y
n
⎞ ∂c
n
⎟ − ( −vs
) ⋅
⎠ ∂z
n
n n n
( v − ) ⋅ + ⋅
⎜ + +
∂
⎟ z
vs
Dt
2 2
z ⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
256
⎞
. (4.315)
Aus der Bedingung, dass die zeitliche Änderung der Partikelanzahlkonzentration
im betrachteten Bilanzgebiet gleich der Differenz zwischen dem ein- und
austretenden Partikelstrom ist, folgt für ein stationäres Problem (Folie 4.24b):
dc
dt
n
2 2 2
∂c
∂ ⎛
n
∂c
n
c ∂ c ∂ c ∂ c
= 0 = −v
x
⋅ − v
y
⋅ −
2
∂x
∂y
⎝
n
n n n
( v − ) ⋅ + ⋅
⎜ + +
∂ ∂ ∂ ∂
⎟ z
vs
D
t 2 2
z x y z
⎠
⎞
(4.316)
Liegt eine Partikelgrößenverteilung vor und ist die Konzentration der dispersen
Phase ϕ s < 0,1, so dass eine freie Beweglichkeit der Partikeln gegeben ist, so
kann die Bilanz (4.315) getrennt für jede Größenklasse i angesetzt werden.
Für technische Anwendungen in einem horizontalen Strom mit kleinen Gradienten
∂ / ∂...
≈ 0 oder in einem gut durchmischten Behälter
c n,
i
∂ / ∂x
≈ 0 und ∂ / ∂y
≈ 0
(4.317)
c n,
i
c n,
i
vereinfacht sich Gl.(4.315) zu einer eindimensionalen Bilanz:
dc
dt
n,i
∂c
2
n,i
= −
. (4.318)
n,i
( vz,i
− vs,i
) ⋅ + Dt
⋅
2
∂z
∂
c
∂z
Analytische Lösung für den stationären Trennprozess
Wir suchen eine analytische Lösung für den stationären Trennprozess. Das
bedeutet die zeitliche Konzentrationsänderung (Akkumulation) ist dc n,i /dt = 0.
Multiplizieren der gesamten Differentialgleichung mit dz und Integration der
linken Seite liefert für die Integrationskonstante zunächst die konstante Differenz
n − n
der flächenbezogenen Partikelanzahlströme von Eingang E und
E,i
A, i
Ausgang A durch das Volumenelement dV = x . y . dz =A . dz:
∫
dc
dt
n,i
⋅dz
=
∫
d(mi
/ m
P
)
⋅dz
=
dt ⋅ A ⋅dz
∫
dn
i
⋅dz
=
dt ⋅dz
∫
dn
i
= const = n
Kann man die Geschwindigkeiten v z,i , v s,i und D t als konstant ansetzen, so
bleibt auf der rechten Seite nur ein Differentialquotient erster Ordnung übrig:
2
∂cn,i
∂ cn,i
n
− n
E,i
A,i
= −∫( vz,i
− vs,i
) ⋅ dz + ∫ D
t
⋅ dz
2
∂z
∂z
dcn,i
n E,i
− n
A,i
= −( vz,i
− vs,i
) ⋅cn,i
+ D
t
⋅
(4.319)
dz
E,i
− n
A,i
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257
Im stationären Betrieb (Gleichgewichtszustand) sind die beiden ein- und ausgehenden
Konvektionsströme gleich n = n
/3.60.//3.61./:
E,i
∂cn,i
0 = ( vz,i
− vs,i
) ⋅ cn,i
+ Dt
⋅ . (4.320)
∂z
Nach Trennung der Variablen und Integration von z = 0 (Boden c n,i = c n,i,0 ) bis
z = H ist
cn ,i
∫
cn ,i ,0
c
c
n,i
n,i,0
dc
c
n,i
n, i
v
= −
⎛
= exp
⎜−
⎝
z,i
− v
D
t
H
s,i
∫
0
dz
( v − v )
z,i
D
t
s,i
A, i
c
d.h. ln
c
n,i
n,i,0
= −
( v − v )
z,i
D
t
s,i
⋅ H
⋅ H ⎞
⎟ . (4.321)
⎠
c n,i,0
Partikelanzahlkonzentration der Klasse i am Boden
Diese eindimensionale relative Partikelanzahlkonzentrationsverteilung wird
auf die Bodenkonzentration c n,i,0 bezogen (Folie 4.24).
Ohne ausgeprägte Gegenströmungen, d.h.
v

258
Die mittlere relative Partikelanzahlkonzentration ist
c
n,HG
,i
c
n,i,0
=
Dt
v ⋅ H
s,i
G
⎡ ⎛ vs,i
⋅ H
⋅ ⎢1
− exp
⎜−
⎣ ⎝ Dt
G
⎞⎤
⎟⎥
. (4.326)
⎠⎦
Das Verhältnis aus aktueller Partikelanzahlkonzentration in der Höhe z zur
mittleren Partikelanzahlkonzentration über die Höhen 0 ... H G ist somit:
c
c
n,z,i
n,H
G
,i
=
v
s,i
⋅ H
D
t
G
⎛ vs,i
⋅ z ⎞
exp
⎜−
⎟
⎝ Dt
⋅
⎠
⎛ vs,i
⋅ H
1−
exp
⎜−
⎝ Dt
G
. (4.327)
⎞
⎟
⎠
s
t
In den Gln.(4.326) und (4.327) fällt ein charakteristisches dimensionsloses
Verhältnis v ⋅ H / D auf, das wesentlich die Partikelanzahlkonzentrationsverteilung
beeinflusst. Diesen Term kann man analog zur PECLET-Zahl Pe beim
molekularen Stofftransport in einer hier so definierten BODENSTEIN-Zahl
Bo als Verhältnis von gerichtetem konvektiven zu zufälligem diffusiven Partikeltransport
zusammenfassen. Folie 4.24.7 zeigt, dass je nach der Größe dieser
BODENSTEIN-Zahl (Auf die Angabe des Partikelgrößenklassenindex i wird
hier verzichtet!)
Bo
v ⋅ H
D
s
= (4.328)
t
unterschiedliche Konzentrationsverteilungen über der Apparatehöhe H entstehen:
vs ⋅ H
a) = Bo > 100
Dt
vs ⋅ H
b) = Bo < 0, 1
Dt
vs ⋅ H
c) = Bo = 0,5 ... 50
D
t
⇒ Sedimentation
⇒ homogene Partikelkonzentrationsverteilung,
⇒ Partikelkonzentrations-Höhenverteilung
Der turbulente Diffusionskoeffizient der dispersen Phase kann nur in erster
Näherung gleich dem der fluiden Phase gesetzt werden. Eine relativ gute Übereinstimmung
ergibt sich, falls nicht durch eine zu große Feststoffkonzentration
die Turbulenz zu stark beeinflusst ist und falls die Feststoffpartikeln klein gegenüber
dem Makrobereich der Turbulenz sind.
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259
4.3 Trennmodelle und Trennerfolg des Stromklassierens
Bei der Stromklassierung sind auf Grundlage der in Folie 4.25, Folie 4.26 und
Folie 4.27.1 dargestellten Wirkprinzipien mehrere Trennmodelle zu unterscheiden.
Zunächst ist kennzeichnend, ob sich das Grobgut im Klassierraum im
Wesentlichen quer oder entgegen zu der für die Trennung maßgeblichen Fluidströmung
bzw. Strömungskomponente bewegt. Demgemäß spricht man entweder
von Querstromklassierung oder Gegenstromklassierung. Findet die
Klassierung im Schwerkraftfeld statt, so sind auch die entsprechenden Begriffe
Horizontalstromklassierung und Aufstromklassierung eingeführt.
Bei der Querstromklassierung kann die Turbulenz im Klassierraum prozessbestimmend
sein. Deshalb ist es dort zweckmäßig, weiter in laminare und turbulente
Querstromklassierung zu gliedern.
4.3.1 Allgemeines Bilanzmodell - FOKKER-PLANCK-Gleichung
Zweckmäßig kann man es aus einer integralen Modellgleichung für den Transport
oder die „Verschiebung“ von Partikeln ableiten 23 :
q
+∞
( x,t t *) = q( x − x*,t) ⋅f
( x − x*, x*, t *) ⋅ dx *
+ ∫
( x,t t *)
−∞
. (4.329)
q + Wahrscheinlichkeitsdichte des Antreffens eines Partikels
an einer beliebigen Ortsebene x = const. zum späteren
Zeitpunkt t + t*
f ( x − x*,x*, t *) ⋅ dx * Wahrscheinlichkeit für das Antreffen eines Partikels an
einer um x* rückwärts verschobenen Ortsebene x - x*
zum späteren Zeitpunkt t + t*
Die linke Seite der Integralgleichung (4.329) wird in einer Reihe nach t* entwickelt
und gleich nach dem ersten Glied abgebrochen. Die rechte Seite wird
nach der Verschiebung x* in der Zeit t* entwickelt
( x,t)
( x,t)
∂q
+
∂t
⋅ t* = q
( x,t)
⋅ I
1 ∂
− ⋅
1!
2
3
[ q( x,t)
⋅ I ] 1 ∂ [ q( x,t)
⋅ I ] 1 ∂ [ q( x,t)
⋅ I ]
∂x
+ ⋅
2!
∂x
− ⋅
3!
3
...
∂x
(4.330)
1
2
q
0
+
2
3
mit der Normierungsbedingung des Integrales (≡ Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion)
I 0 = 1:
+∞
∫
−∞
( x,x*,t *)
n
In (x,t*) = (x*) ⋅ f ⋅ dx * n = 0, 1, 2, 3, ... (4.331)
In
(x,t*)
vn
(x) = lim . (4.332)
t* →0
t *
23 siehe auch MOLERUS, O.: CIT 38 (1966) 2, S. 137 ff
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013

260
Beispielsweise stellt das erste Moment v 1 einer Partikelgeschwindigkeitsverteilung
durch den Prozessraum die mittlere Geschwindigkeit v = const. an
der Stelle x = const. als Schätzung des Erwartungswertes derselben dar:
+∞
x *
1
v (x) = lim ⋅f
t* →0∫
t *
t *
∫
( x,x*,t *) ⋅dx * = x * ⋅dF( x,x*,t *) v
1
=
−∞
+∞
−∞
. (4.333)
Das zweite Moment v 2 entspricht einer Geschwindigkeitsverteilung oder
Streuung der Partikelkonzentration um die Ortslage x = const. herum im
Vergleich zur geordneten Partikelbewegung mit der mittlere Geschwindigkeit
v . Es ist ein Maß des mittleren Verschiebungsquadrates der ungeordneten
Bewegung der Partikeln und wird basierend auf EINSTEIN 24 als Diffusionskoeffizient
definiert D*
= v2 (x) / 2 = const.
:
+∞
1
2
v (x) = lim ⋅ (x*) ⋅ f
2 t* 02
⋅ t *
∫
=
→
−∞
( x,x*,t *) ⋅ dx * ≡2
⋅ D* const.
(4.334)
Wegen der Konstanz der beiden Momente v 1 (x) und v 2 (x) lassen sich diese aus
den beiden Differentialquotienten herauslösen. Aus der Reihenentwicklung
Gl.(4.335) der Integralbeziehung (4.329) und den Gln.(4.333), (4.334) lässt
sich nunmehr die sog. FOKKER-PLANCK-Gleichung der Statistischen
Physik 25, 26 gewinnen:
∂q(x,t)
v (x) ∂q(x,t)
v2(x)
∂
= − ⋅ + ⋅
∂t
1! ∂x
2!
q(x,t) 1 ∂
− ⋅
2
∂x
3!
[ q(x,t) ⋅ v (x)]
2
3
1 3
+
3
(4.335)
Dabei wird vorausgesetzt, dass sich der dem Partikeltransport zugrunde liegende
physikalische Grundvorgang bei jedem Schritt δx nicht ändert und nur
vom Zustand des Stoffsystems zum Zeitpunkt t abhängt. Ein derartiger
stochastischer Prozess wird in der Statistischen Physik stetiger MARKOFF-
Prozess genannt. Höhere Ordnungen werden gewöhnlich v
> 2
(x) ≈ 0 gesetzt
und man erhält die sog. zweite KOLMOGOROFF-Differentialgleichung für
die Wahrscheinlichkeit q(x,t)
⋅ dx dafür
∂q(x,t)
∂
= −
∂t
2
[ v (x) ⋅ q(x,t) ] 1 ∂ [ D(x) ⋅ q(x,t) ]
1
∂x
+ ⋅
2
∂x
2
∂x
n
...
, (4.336)
dass sich das betrachtete Partikel zum Zeitpunkt t im Intervall x bis x + dx
befindet (D(x) ≡ 2 . D*).
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
24 Einstein, A., Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung
von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Ann. d. Physik 19 (1906) 549-560.
25 Planck, M., Über einen Satz der statistischen Dynamik und seine Erweiterung in der Quantentheorie,
Ann. d. Physik 53 (1917) 324 – 341.
26 siehe auch Risken, H.: The Fokker-Planck Equation, Methods of Solution and Applications,
Springer Verlag, Berlin 1996.
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261
Nunmehr soll an Stelle des allgemeinen Diffusions- oder Dispersionskoeffizienten
der turbulente Diffusionskoeffizient D t,s = v a,2 (y)/2 = const. der Partikelbewegung
mit der Absolutgeschwindigkeit v a einer ortsfesten Höhenkoordinate
y im Apparat eingeführt werden. Er ist ebenfalls ein Maß des mittleren
Verschiebungsquadrates der ungeordneten Bewegung der Partikel infolge
turbulenter Schwankungen der Fluidgeschwindigkeit u und stochastischer Partikelsinkgeschwindigkeitsverteilung
v s . Er entspricht dem zweiten Moment v a,2
einer Geschwindigkeitsverteilung oder Streuung der Partikelkonzentration
um die Ortslage y = const. herum - im Vergleich zur geordneten Partikelbewegung
mit der mittleren Absolutgeschwindigkeit v
a
+∞
1
2
va ,2(y)
= lim ⋅ (y*) ⋅ f
t
=
t* →02
⋅ t *
∫
−∞
( y,y*,t *) ⋅ dy * ≡ 2 ⋅ D const.
. (4.337)
Wenn man bei isotroper Turbulenz voraussetzt, siehe Folie 4.28, dass
• d < 0,1⋅Λ < D 0 die Partikelgröße klein gegenüber dem Makromaßstab der
Turbulenz, d.h. klein gegenüber der Apparatehauptabmessung (Durchmesser
oder Breite) ist,
• ϕ s < 0,05 keine Turbulenzdämpfung durch zu hohe Partikelkonzentration im
Fluid auftritt,
• dadurch die Turbulenz durch die disperse Phase nur geringfügig beeinflusst
wird,
• der Dichteunterschied zwischen Partikel und Fluid ( − ρ ) ρ 1
groß ist,
ρ nicht zu
s f
/
f
<
• d

∂q(t)
= 1−
∂t
y2
∫
−y1
∂q(y,t)
dy ≡−
∂t
( n + n
)
F
G
(4.338)
262
und folglich für die rechte Seite unter Einbeziehung des negativen Vorzeichens
für den ausgetragenen Partikelstrom zum Zeitpunkt t = const. (der Faktor ½ ist
im turbulenten Partikeldiffusionskoeffizienten D t,s enthalten):
y2
2
∂q(t)
⎧ ∂[ q(y,t) ] ∂ [(q(y,t)]
⎫
= − ⎨−
va
⋅ + Dt
⋅
⋅ dy
2 ⎬
∂t
∫
y
y
y ⎩ ∂
∂
−
⎭
∂q(t)
⎧
= ⎨v
∂t
⎩
1
a
⋅ q(y,t) − D
t
∂
⋅
[(q(y,t)] ⎫ ⎧
∂[ (q(y,t)]
∂y
⎬
⎭
− ⎨v
⋅ q(y,t) −D
⋅
a
t
y
y= y ⎩
∂
⎬⎫
⎭
y=−
2 y 1
(4.339)
Für verfahrenstechnische Anwendungen ist es zweckmäßig, die Wahrscheinlichkeitsdichte
der Gl.(4.336) q(t, y) ≡ c n,i (t, y) durch die Partikelanzahlkonzentration
der diskreten Partikelgrößenklasse i zu ersetzen. Man erhält wiederum
die Bilanzgleichung (4.318) für den eindimensionalen Transport entlang
der Höhenkoordinate y eines Trennapparates (modifizierte Fokker-Planck-
Gleichung):
.
∂c
n,i
∂t
= −(
−v
s,i
∂cn,i
) ⋅
∂y
+ D
t,s
∂ c
⋅
∂y
2
n,i
2
. (4.340)
Mit dieser eindimensionalen Gleichung wird die Speicherung (Akkumulation)
der Partikel im Trennraum ∂c n,i /∂t in Abhängigkeit vom gerichteten (kraftfeldabhängigen)
Partikeltransport v . s,i ∂c n,i /∂y und vom ungerichteten (zufälligen,
turbulenten) Partikeltransport D . t,s ∂ 2 c n,i /∂y 2 bilanziert.
Allgemeines Bilanzmodell mechanischer Prozesse
Die Verallgemeinerung dieses obigen eindimensionalen Partikeldispersionsmodelles
ergibt das allgemeine Bilanzmodell mechanischer Prozesse, siehe
Gl.(2.94) im Abschnitt 2.4, MVT_e_2neu.doc#allg_MVT_Prozeßmodell:
∂
[ c ⋅ µ ]
s
∂t
i
= −div c
[ ⋅ µ ⋅ vi
] + div[ Di
⋅ grad( cs
⋅ µ
i
)] ± G
i
s
i
. (4.341)
∂
[ c ⋅µ ]
s
∂t
i
c s = dm s /dV Partikelmassenkonzentration im betrachteten Volumenelement
dV = dx ⋅ dy ⋅ dz
µ i Massenanteil, Wahrscheinlichkeit des Auftretens der i-ten Klasse
im betrachteten Volumenelement dV (Inkrement der Verteilungssumme
dQ (d) = q (d) ⋅ d(d = µ )
3 3
)
Akkumulation (Speicherung) der Partikelgrößenklasse i im betrachteten
Volumenelement dV
i
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263
v
i
Geschwindigkeit der Partikeln der i-ten Klasse
c s
µ v konvektiver (gerichteter) Massenstrom der i-ten Klasse
D i
i
i
Diffusionskoeffizient der i-ten Klasse
Di grad(csµ i)
diffusiver (ungerichteter) Massenstrom der i-ten Klasse
G i
Partikelwechselwirkungsterm ≡ Änderung des Masseanteiles
der i-ten Klasse im betrachteten Volumenelement dV durch
Aufbau von Partikelwechselwirkungen (Agglomerieren, +
Vorzeichen) oder Zerstörung von Partikelwechselwirkungen (-
Zerteilen, Dispergieren oder Deglomerieren)
Diese allgemeine Komponentenbilanzgleichung stellt ein gekoppeltes Gleichungssystem
für i = 1...N Partikelgrößenklassen dar.
4.3.2 Querstromklassierung
Bei der Querstromklassierung (Folie 4.27.1a) tritt das Grenzpartikel der Größe
d T mit der Sinkgschwindigkeit v sϕT tritt an der Oberkante der Aufgabeöffnung
in den Klassierraum ein und sinkt gerade bis zur Wehrhöhe H*. Um erfolgreich
im Grobgut abgetrennt zu werden, muss die notwendige mittlere Verweilzeit
im Klassierraum t V,m größer oder gleich der Sinkzeit t Sink sein:
tV ≥ t sin k . (4.342)
Somit gilt für die Sinkgeschwindigkeit v sϕT eines Grenzpartikels mit der Partikelgröße
d T :
L
u
H
v
*
= bzw.vs
ϕT
sϕT
*
H
= ⋅ u . (4.343)
L
u mittlere Fluidgeschwindigkeit
Aus v sϕT lässt sich mit Hilfe der im Abschnitt 4.1.2 angegebenen Gln.(4.55)
oder (4.56) unter Beachtung des Re-Bereiches der Umströmung die Trennkorngröße
d T berechnen, wobei wegen der im Allgemeinen niedrigen Feststoffkonzentration
im Prozessraum gewöhnlich die Schwarmbehinderung vernachlässigt
wird, also v sϕT = v sT .
Im Falle der Querstrom-Strahlwindsichtung (Folie 4.48.1b) bedarf das Modell
entsprechender Anpassungen.
4.3.2.1 laminare Querstromhydroklassierung
Von einer ähnlichen Relation, wie sie Gl.(4.342) darstellt, kann man für das
Trennmodell der laminaren Querstromhydroklassierung (Folie 4.27.2) ausgehen.
Die Suspension strömt in den Klassierraum ein, die Partikeln sedimen-
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264
tieren gemäß ihren Sinkgeschwindigkeiten. In den Überlauf können deshalb
nur jene Partikeln gelangen, deren Sinkgeschwindigkeiten so klein sind, dass
sie sich während ihrer Verweilzeit im Klassierraum nicht dem Horizontalstrom
bis zum Oberlaufwehr der Höhe (Tiefe) H* entziehen können.
Für die mittlere Fluidgeschwindigkeit u (angenähert laminare Pfropfenströmung
im Prozessraum!) läßt sich eine Fluidstrombilanz schreiben:
V
( 1−ϕs ) 1
u = = [ V
F( 1−ϕs,F
) + V
G
( 1−ϕs,G
)]. (4.344)
BH BH
B Breite des Klassierraumes
Mit der Relation der beiden Fluidvolumenströme entsprechend der Wehrhöhe
H* des Oberlaufes und Tiefe H des Klassierraumes
*
V
F(1−ϕ
s,F)
V
G(1−ϕ
s,g
) H H (1
s,F)
bzw.V
− −ϕ
=
*
*
G
= ⋅ ⋅ V
*
F
H H−H
H (1−ϕ
)
und da oftmals ϕ s,F ≈ ϕ s,G

4.3.2.2 turbulente Querstromklassierung
265
In einigen Querstromklassierern herrschen ausgeprägt turbulente Strömungsverhältnisse
(z. B. mechanische Klassierer, Hydrozyklone /5.2.//5.3./. Der Modellierung
der turbulenten Querstromklassierung werden folgende vereinfachenden
Annahmen zugrunde gelegt:
- Es werden im Klassierraum sowohl ein homogenes Turbulenzfeld als auch
ein homogenes Kraftfeld vorausgesetzt.
- Die Partikeln bewegen sich in Richtung des Kraftfeldes mit der Sinkgeschwindigkeit
v s,i entgegen der positiven y-Richtung.
- Es wird angenommen, dass sich in der Nähe der Produktausträge aus dem
Klassierraum die Konzentrationsverteilung über eine Höhe y gemäß
Gl.(4.321) für jede Partikelgrößenklasse i unabhängig von den anderen einstellen
konnte. Mit der modifizierten Fokker-Planck-Gleichung (4.340) bzw.
Partikelanzahlbilanz, Gl.(4.318), folgt für stationäre Prozessbedingungen:
dcn,i
dc
i
= 0 =− ( −v
) c D
n,
s,i
⋅
n,i
+
t,s
⋅
(4.315)
dt
dy
cn ,i
y
dcn,i
vs,i
cn,i
vs,i
∫ = − ⋅ ∫ dy ln = − ⋅ y
c D
c D
c
n ,0,i
n
t,s
y=
0
n,0,i
c ⎡ ⎤
n,i
v = ⎢ −
s,i
exp y ⎥ . (4.321)
cn,0,i
⎣ Dt,s
⎦
c n,i Partikelanzahl/Volumeneinheit
c n,0,i Partikelkonzentration am Boden, y = 0
D t,s turbulenter Diffusionskoffizient der Partikeln
Hinsichtlich der Gestaltung der Produktausträge lassen sich das
- Suspensionsteilungsmodell und das
- Suspensionsanzapfmodell
unterscheiden (Folie 4.29.4).
Beim Teilungsmodell wird die im Prozessraum der Höhe H aus einer räumlichen
Partikelanzahlkonzentrationsverteilung gebildete mittlere Konzentration
c
n,H,i
des Aufgabestromes V A, i
nach Gl.(4.326) durch einen Höhenschnitt bei
der Wehrhöhe H G in den Grobgutstrom V G, i
mit der mittleren Anzahlkonzentration
c und in den Feingutstrom V F, i
aufgeteilt (Folie 4.29.4).
m
Ti
=
m
n,HG
, i
G,i
A,i
ρ
=
ρ
s,G
s,A
⋅ V
⋅ V
G,i
A,i
c
≈
c
n,H
G
n,H,i
,i
⋅ V
⋅ V
G
A
c
=
c
n,H
G
,i
n,H,i
t,s
⋅ A ⋅ H
⋅ A ⋅ H
G
c
=
c
n,H
G
,i
n,H,i
⋅ H
⋅ H
G
. (4.349)
Mit den beiden mittleren relativen Partikelkonzentrationen
cn,H
,i D ⎡
⎞⎤
⎢ ⎜ ⎛ vs,i
⋅ H
G t
G
= ⋅ 1−
exp −
⎟⎥ und (4.326)
cn,0,i
vs,i
⋅ HG
⎣ ⎝ Dt
⎠ ⎦
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266
c
c
n,H,i
n,0,i
=
D ⎡ ⎛ v ⎤
s,i
⋅ H ⎞
t
⋅ ⎢1
− exp
⎜−
⎟⎥
vs,i
⋅ H ⎣ ⎝ Dt
⎠⎦
(4.350)
folgt schließlich für die Trennfunktion des Teilungsmodelles:
⎛ vs,i
⋅ HG
⎞
1−
exp
⎜−
⎟
⎝ Dt
T
⎠
i
=
. (4.351)
⎛ vs,i
⋅ H ⎞
1−
exp
⎜−
⎟
⎝ Dt
⎠
In einigen technischen Klassierapparaten (mechanische Klassierer) kommt man
der Realisierung des Anzapfmodells nahe. Hierbei werden die Suspensionsströme
mit den jeweiligen Partikelanzahlkonzentrationen der Größenklassen i
am unteren y = 0 (Boden) und oberen Ende y = h angezapft (großer Abstand
notwendig!) und die Grobgutsuspension mit der Bodenkonzentration c n,0,i und
die Feingutsuspension mit c n,i ausgetragen. Dadurch gelingen trotz der Turbulenz
im Vergleich zur Suspensionsteilung mit einer Wehrhöhe H G Gl.(4.351)
relativ scharfe Trennungen.
Für die Trennfunktion einer diskreten Partikelgrößenklasse i nach dem Anzapfmodell
folgt mit ρ s,G ≈ ρ s,F aus Folie 4.29.4:
T
m
ρ
⋅ V
⋅ V
G,i
s,G G,i
n,0,i G
i
= =
≈
(4.352)
m
A,i
ρs,G
⋅ V
G,i
+ρs,F
⋅ V
F,i
cn,0,i
⋅ V
G
+ cn,i
⋅ V
F
V ,V
, V
Suspensionsvolumenströme Grobgut, Feingut und Aufgabe
G
F
A
1
Ti
=
cn,i
1+
c
n,0,i
V
⋅
V
F
G
=
V
1 +
V
F
G
1
⎡ v ⋅ exp⎢
−
⎣ D
s,i
t,s,i
c
(4.353)
⎥ ⎤
h
⎦
bzw.
T(d) =
V
1 +
V
F
G
1
⎡ v ⎤
⋅ ⎢ −
s
(d)
exp h⎥
⎣ Dt,s
⎦
. (4.354)
Daraus erhält man die stationäre Sinkgeschwindigkeit v s der Partikelgröße d,
1 1−
T
der der Trennfunktionswert T(d) zuzuordnen ist: T = und x =
1+
x T
D ⎛ V
t,s
⎞
F
T(d)
v =
⎜ ⋅
⎟
s
ln
, (4.355)
h ⎝ V
G
1−T(d)
⎠
sowie für die stationäre Sinkgeschwindigkeit der Trennkorngröße d T , weil
T(d T ) = 0,5 ist:
Dt,s
⎛ V
v =
⎜
sT
ln
h ⎝ V
F
G
Die Gl.(4.354) ist mit Hilfe von
⎞
⎟ . (4.356)
⎠
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267
- ARCHIMEDES-Zahl Ar und LJASCENKO-Zahl Lj (s. Gln.(4.49) und
Gl.(4.50)) oder mit Hilfe
24 4
- des Widerstandsbeiwertes c W
= + + 0, 4
(4.16)
Re Re
für beliebige Re-Bereiche anwendbar /5.3./. Lässt sich die stationäre Sinkgeschwindigkeit
durch Gl.(4.55) erfassen, so erhält man:
⎡
d = ⎢
⎢⎣
k
ψ
1
⋅ k
ϕ
18 ⋅η D
⋅ ⋅
( ρ −ρ ) ⋅ a h
s
f
t,s
⎛ T(d) V
⋅ln
⎜
⎝1−T(d)
V
F
G
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦⎥
1/ 2
(4.357)
und für die Trennkorngröße d T (d.h. T(d) = 0,5):
d
T
⎡
= ⎢
⎢⎣
k
ψ
1
⋅ k
ϕ
18⋅η
D
⋅ ⋅
( ρ −ρ ) ⋅a
h
s
f
t,s
⎛ V
⋅ln
⎜
⎝ V
F
G
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎥⎦
1/ 2
, (4.358)
Für die Trennschärfe κ (reziproke Partikelstreuung) lässt sich schreiben:
d
κ =
d
25
75
⎡
⎢
⎢k
=
⎣
⎡
⎢
⎢⎣
k
ψ
ψ
1
⋅ k
1
⋅ k
⎡ln(V
F
/(3 ⋅ V
G
)) ⎤
κ = ⎢
⎥
⎣ ln(3 ⋅ V
F
/ V
G
) ⎦
ϕ
ϕ
18 ⋅η D
⋅ ⋅
( ρ −ρ ) ⋅ a h
s
s
f
f
t,s
18 ⋅η D
⋅ ⋅
( ρ −ρ ) ⋅ a h
1/ 2
⎡ln(V
= ⎢
⎣ln(V
F
F
t,s
⎛ 0,25 V
⋅ln
⎜ ⋅
⎝ 0,75 V
F
G
⎛ 0,75 V
⋅ln
⎜ ⋅
⎝ 0,25 V
/ V
G
) − ln 3⎤
/ V
⎥
G
) + ln 3⎦
F
G
1/ 2
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎥⎦
⎞
⎥ ⎥ ⎤
⎟
⎠⎦
Dies bedeutet, dass nur das Volumenstromverhältnis
1/ 2
1/ 2
. (4.359)
V / V die Trennschärfe
κ beeinflusst. Das sollte im Interesse einer hohen Trennschärfe so groß wie
möglich sein, bzw. durch den Grobgutaustrag sollte so wenig wie möglich
Suspension ausgetragen werden V = V
+ V
→ min .
G
G,l
Dies verdeutlicht anschaulich Folie 4.29.5a, in dem die normierte Trennfunktion
T(d/d T ), die sich aus den Gln.(4.357) und (4.358) ableiten lässt,
1 18⋅η
Dt,s
⎛ T(d / d ⎞ ⎛
⎞
T
) V
F T(d / d
⎜
⎟
T
) V
F
2 ⋅ ⋅ ⋅ln
ln
⎜
⎟
⎛ d ⎞ kψ
⋅ kϕ
( ρs−ρf
) ⋅a
h ⎝1−T(d / dT
) V
G ⎠ ⎝1−T(d / dT
) V
G
=
=
⎠
⎜
⎟
⎝ dT
⎠ 1 18⋅η
Dt,s
⎛ V
⎞
⎞
⎜ ⎛
F
V
F
⋅ ⋅ ⋅ln
⎜
⎟
ln
⎟
kψ
⋅ kϕ
( ρs−ρf
) ⋅a
h ⎝ V
G ⎠
⎝ V
G ⎠
2
⎛ T(d / d ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
T
) d V
F
⎜
⎟ =
⎜
⎟ ⋅
⎜
⎟ − V
F
ln
ln ln
⎜
⎟
⎝1−T(d / dT
) ⎠ ⎝ dT
⎠ ⎝ V
G ⎠ ⎝ V
G ⎠
⎛ T(d / dT
) ⎞ ⎡⎛
ln
⎜
⎢
1 T(d / dT
)
⎟ =
⎜
⎝ − ⎠ ⎢⎣
⎝
d
d
T
⎞
⎟
⎠
2
2
⎛ d ⎞
⎜ −1
d
⎟
⎝ T ⎠
⎤ ⎛ V
−1⎥
⋅ ln⎜
⎥ ⎝ V
⎦
F
G
G, s
⎞ ⎛ V
⎟ = ln⎜
⎠ ⎝ V
F
G
⎞
⎟
⎠
F
2
⎛ d ⎞
⎜ −1
d
⎟
⎝ T ⎠
T(d / dT
) ⎛ V
⎞
F
=
1 T(d / dT
)
⎜
V
⎟
−
⎝ G ⎠
T
x 1
umstellen = x → T + x ⋅ T = x → T = = ,
−1
1−
T
1+
x 1+
x
G
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013

T(d / d
T
) =
1+
( V
/ V
)
F
1
G
1−
( d / d ) 2
T
(4.360)
268
für verschiedene Verhältnisse der Volumenströme V F
/ V
G
dargestellt ist. Das
Volumenstromverhältnis des Oberlaufes zum Unterlauf V / V bestimmt außerdem
den Schnittpunkt der Kurven mit der Ordinate T(d/d T = 0),
T(d
=
0 / d
T
1 V
G
) = =
1+
(V
/ V
) V
+ V
F
G
G
F
V
=
V
G
A
≡ R
m,G
F
, (4.361)
d.h., es werden bestimmte Feinanteile immer im Grobgut ausgetragen, sondern
auch deren Neigung, d.h. die Trennschärfe.
Aufgrund der eingangs der Ableitung zugrunde gelegten Voraussetzungen gilt
Gl.(4.55) für den STOKES-Bereich der Partikelumströmung. Mit dem Exponenten
α = 0,5 bis 2 erhält man daraus die Gleichung für die Trennfunktion,
die für beliebige Re-Bereiche anwendbar ist:
- α = 1/2 NEWTON-Bereich;
- 1/2 < α < 2 Übergangsbereich;
- α = 2 STOKES-Bereich;
T(d / d
T
) =
1+
(V
α
1−(d / dT
)
(4.362)
F
1
/ V )
G
Folie 4.29.5b verdeutlicht den Einfluss von α, das zur Vereinfachung für den
Gesamtbereich 0 ≤ d/d T ≤ (d/d T ) max als konstant angenommen wurde, für
V
/ V
4. Man erkennt deutlich, dass im STOKES-Bereich die Trennschärfe
F G=
am höchsten ist. In genügend verdünnten Suspensionen kann D t,s ≈ D t , d.h. der
turbulente Diffusionskoeffizient der Partikeln näherungsweise gleich dem des
Fluides gesetzt werden.
G
4.3.3 Turbulente Gegenstromklassierung
Bei der Gegenstromklassierung ist das Kraftfeld entgegen der Fluidströmung
bzw. entgegen ihrer für die Trennung wesentlichen Grobgutkomponente gerichtet
(Folie 4.30). Dieses Wirkprinzip wird sowohl für die Hydroklassierung
als auch für die Windsichtung technisch genutzt.
Im Allgemeinen werden bei der Gegenstromklassierung feiner Partikeln
Re
u
r
⋅ d ⋅ ρf
vs
⋅ d ⋅ ρf
= ≈ 1, (4.363)
η η
P
<
f
f
u ≈ v (d) turbulente Strömungsverhältnisse im Prozessraum vorherrschen
s
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Re
D 0
u ⋅ ⋅ρ
η
D 0 f
= , (4.364)
f
269
charakteristische Prozessraumabmessung (Durchmesser oder Breite)
u mittlere charakteristische Fluidgeschwindigkeit
D0
4 6
Re = ReP ⋅ = 10 ...10 > 2300
(4.365)
d
z.B.
1⋅1m
Re = 10
6
100 ⋅10
m
4
= , so dass nur die turbulente Gegenstromklassierung
−
behandelt wird. Deshalb ist bei der Modellierung dieser Klassierprozesse
ebenfalls davon auszugehen, dass sich dem konvektiven Partikeltransport ein
diffusiver überlagert /5.1//5.2//5.4./ bis /5.7/. Letzterer hat seine Ursache in der
Strömungsturbulenz und insbesondere bei Windsichtprozessen auch in Stößen
der Partikeln untereinander sowie gegen die Klassiererwände.
Im Nachfolgenden soll ein verallgemeinertes Modell für die turbulente Gegenstromklassierung
kurz vorgestellt werden (Folie 4.31) /5.1//5.2/5.19/.
Gemäß Folie 4.30 strömt das Fluid mit der Geschwindigkeit u durch den Klassierraum
aufwärts nach oben (positive Koordinatenrichtung). Anstelle der stationären
Sinkgeschwindigkeit v s (d) in Richtung des Kraftfeldes nach unten (negative
Koordinatenrichtung) muss jetzt die Partikelabsolutgeschwindigkeit
v a (d) im ortsfesten Koordinatensystem des Apparates betrachtet werden:
v (d) = u − v (d) . (4.2)
a
s
• Für Grobgut ist v s (d) > u; die Partikel werden mit einer negativen Absolutgeschwindigkeit
nach unten ausgetragen - Unterlauf (Index 1).
• Für Feingut ist v s (d) < u; die Partikeln werden mit einer positiven aber geringeren
Absolutgeschwindigkeit im Vergleich zu u (Schlupf) nach oben
ausgetragen - Oberlauf (Index 2).
a s
=
• Das Trennkorn schwebt im Raum; Die Partikelabsolutgeschwindigkeit ist
gleich Null v (d) = u − v (d) 0 oder vsT (d
T
) = u . Der ständige Aufgabestrom
führt zu einer 50%-igen Trennwahrscheinlichkeit in Ober- und Unterlauf.
Die Gesamtlänge L oder H der Klassierzone setzt sich aus den beiden Teillängen
unterhalb H 1 und oberhalb H 2 des Aufgabeniveaus zusammen.
Es wird die modifizierte Fokker-Planck-Gleichung (4.340) herangezogen (sie
bilanziert die Verteilungsdichte eines stetigen MARKOFF-Prozesses):
∂c
n,i
∂t
= −v
a,i
∂cn,i
⋅
∂y
+ D
t,s
∂ c
⋅
∂y
2
n,i
2
(4.340)
Die Lösung von Gl. (4.340) und die damit verbundene mathematische Erfassung
von Aufstromtrennungen ist von der Aufstellung geeigneter Randbedingungen
abhängig:
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013

270
Als erster Lösungsschritt wird der zeitliche Zuwachs der Wahrscheinlichkeit
für das Verlassen der Partikel aus den Trennraumgrenzen -y 1 und y 2 betrachtet:
∂c
∂t
n,i
= ⎨ ⎧ va⋅
c
⎩
n,i
− D
t,s
∂cn,i
⎫
⋅ ⎬
∂y
⎭
⎧
− v ⋅ c
− D
∂c
⋅
n,i
⎨ a n,i t,s
y
y= y ⎩
∂ ⎭ ⎬⎫
2 y=−y 1
(4.366)
Die Randbedingungen für den flächenbezogenen Partikelanzahlstrom lassen
sich nun in Anlehnung an SENDEN 27 , BÖHME 28 , SCHUBERT 29 und
RUMPF 30 wie folgt formulieren 31 , Bild Folie 4.30:
0. Aufgabe:
Die Partikelanzahlkonzentrationen sind hier miteinander verknüpft:
c (y = 0) = c (y = 0) = c . (4.367)
n,I,i
n,II,i
n,0,i
I. Grobgutaustrag (Unterlaufaustrag):
Am Grobgutaustrag wird angenommen, dass die Partikeln ohne Rückvermischung
D ⋅ ∂c
/ ∂y
0 entgegen der positiven y-Richtung ausgetragen
t ,s n,G, i
=
werden (- Vorzeichen).
• Aufstromhydrotrennung:
Austrag mit einer mittleren Fluidgeschwindigkeit u G zur Gewährleistung
der Fließfähigkeit der Grobgutsuspension:
⎛
∂c
⎞
n,G,i
n G,i
= − ⎜va,G,i
⋅cn,G,i
− Dt,s
⋅ ⎟ ≈ −va,G,i
⋅cn,G,i
≡ −kl,i⋅
uG
⋅c
n,l,i
.
⎝
∂y
⎠ y=−y
1
(4.368)
• Gegenstromwindsichtung
Austrag mit der Partikelsinkgeschwindigkeit v s (ruhendes Fluid) des jeweiligen
Schwere- oder Zentrifugalkraftfeldes F G
, F
Z
⎛
∂c
⎞
n,G,i
n G,i
= − ⎜va,G,i
⋅cn,G,i
− Dt,s
⋅ ⎟ ≈ −va,G,i
⋅cn,G,i
≡ −kl,i⋅
vs,G,i⋅
cn,l,
i
.
⎝
∂y
⎠ y=−y
1
(4.369)
Der Parameter k 1 ist für jeden Sichter und jedes Sichtgut experimentell
zu bestimmen und entspricht bei einer Partikelanreicherung an der Pro-
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
27 Senden, Diss. TU Delft 1979
28 Böhme, St., Freiberger Forschungsheft A 785 (1989) S. 1 - 69
29 Schubert, H., Chemische Technik 38 (1986) 7, S. 290 - 293
30 Rumpf, H., Sommer, K. u. M. Stieß, Berechnung von Trennkurven für Gleichgewichtssichter,
Manuskript 1974
31 ⇒ -Vorzeichen für -D . t,s ∂cn/∂y und für den Grobgutstrom im Unterlauf?, deshalb wurde aus
physikalischen und didaktischen Gründen die Wahl der -Vorzeichen bei den Bilanzen korrigiert
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271
zessraumgrenze des Grobgutaustrages c n,1 ≥ c n,G dem Verhältnis
= u − v (d ) / v (d ) 1 der oberen Partikelgröße des Grobgutes 32 .
k1 s 95 s 95
<
II. Feingutaustrag (Oberlaufaustrag):
Am Feingutaustrag wird angenommen, dass insbesondere die feinen Partikeln
schlupflos mit der Fluidgeschwindigkeit u ohne Rückvermischung
D ⋅ ∂c
/ ∂y
0 ausgetragen werden (siehe Gl.(4.366))
t ,s n,F, i
=
⎛
∂c
n,F,i
n F,i
= ⎜ va,F,i
⋅ cn,F,i
− Dt,s
⋅ ⎟ ≈ va,F,i
⋅ cn,F,i≡
k
2,i⋅
u ⋅c
n,2,i
. (4.370)
⎝
∂y
⎞
⎠
y=
y
2
Der Parameter k 2 ist ebenfalls für jeden Sichtertyp und jedes Sichtgut experimentell
zu bestimmen und entspricht bei einer Partikelanreicherung an der
[ ] 1
2 s i s i
<
Prozessraumgrenze gegenüber dem Feingutaustrag c n,2 ≥ c n,F dem Verhältnis
k = u − v (d ) / v (d ) für eine charakteristische untere Partikelgrößenklasse
i des Feingutes.
Die Proportionalitätsfaktoren k 1 und k 2 kennzeichnen die Austrittsbedingungen
der Partikel am Grobgut- bzw. Feingutaustrag, Bild Folie 4.30.
• So bedeuten k 1 = ∞ bzw. k 2 = ∞, dass alle Partikel, die den Grobgut- bzw.
Feingutaustrag erreichen, sofort und ohne Rückvermischung mit unendlich
hoher Geschwindigkeit ausgetragen werden. Daraus folgt für die Partikelkonzentrationen
am Austrag c n,G = c n,F = 0.
• Andererseits würde k 1 = 0 und k 2 = 0 bedeuten, dass weder am Grobgutnoch
am Feingutaustrag Partikel ausgetragen werden - sog. „reflektierende
Grenze“. Das würde aber der Voraussetzung widersprechen, dass ein stationärer
Prozess modelliert wird.
• Folglich gelten für die Austragskoeffizienten die Wertebereiche:
0 < k 1 < ∞
0 < k 2 < ∞
Berechnung der absoluten Partikelkonzentration:
Durch Integrieren der Randbedingungen gemäß Gln.(4.369) und (4.370) lässt
sich für die unterschiedlichen Bereiche des Prozessraumes der Verlauf der absoluten
Partikelkonzentration berechnen (Folie 4.30):
I. Unterlaufbereich, -y 1 ≤ y ≤ 0, negative Partikelabsolutgeschwindigkeit
v a,I,i , Grobgutaustrag yI≥ − y1
bis Aufgabeebene y I = 0, - wegen der besseren
Übersichtlichkeit werden die Indizes I,i weggelassen:
32 Husemann, K., Aufbereitungstechnik 31 (1990) 7, S. 359 - 366
© Dr .- Ing.habil. J. Tomas 1992
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272
⎛
dcn
⎞
k
l
⋅ u
G
⋅c
n,1
= −⎜
va
⋅ cn
− Dt,s
⋅ ⎟ . (4.371)
⎝
dy ⎠
Nach Umstellung und Trennung der Variablen ergibt die Integration:
k
l
⋅ u
G
⋅c
n,l
c
y c
n
n
+
dcn
va
va
va
∫
= ⋅
⋅ ⋅ ∫ dy ln = ⋅ y + y
k
c
l
u
G
cn,l
D
k
n ,1
t,s
c +
−y
l
⋅ u
G
⋅c
n,l D
1
t,s
n
cn,1
+
v
v
c
k
−
⋅ u
a
⋅c
⎜ ⎛
+ c
⎝
k
+
⋅ u
⋅c
⎞ ⎡
⋅ v
⎟ exp⎢ ⎠
⎣ D
⋅
a
⎤
( y + y ) ⎥ ⎦
l G n,l
l G n,l
a
n
=
n,1
1
va
va
t,s
( )
c ⎪⎧
⎡
⎤⎪⎫
n,1
va
c
n
= ⋅ ⎨−
k
l
⋅ u
G
+ ( va
+ k
l
⋅ u
G
) ⋅ exp⎢
⋅ ( y + y1) ⎥ ⎬ (4.372)
va
⎪⎩
⎣Dt,s
⎦ ⎪⎭
oder mit Gl.(4.369) bzw.
c
n,1
n
G
=
k ⋅ u
1
G
und man beachte, dass v a < 0 ist:
1
c
n
n
⎪⎧
⎛ ⎞ ⎡
G
va
= ⋅ ⎨ − +
⎜ +
⎟ ⎢ ⋅
⎪⎩
⋅ va
1 1 exp
1
va
⎝ k
l
⋅ u
G ⎠
⎣Dt,s
⎤⎪⎫
( y + y ) ⎬ ⎪⎭
⎥
⎦
. (4.373)
Der Verlauf der relativen Partikelkonzentration wird durch Normierung
auf die Konzentration in der Aufgabeebene y = 0 bestimmt:
c
c
n
n,0
⎛ v ⎞ ⎡
a
⋅ va
−1+
⎜1+
⎟ exp⎢
⋅
⎝ k
l
⋅ u
G ⎠
⎣Dt,s
=
⎛ v ⎞ ⎡
a
− +
⎜ +
⎟ ⋅ va
1 1 exp⎢
⎝ k
l
⋅ u
G ⎠
⎣D
( y + y )
t,s
⋅ y
1
1
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
. (4.374)
II. Oberlaufbereich, y 2 ≥ y ≥ 0, positive Partikelabsolutgeschwindigkeit v a,II,i ,
Aufgabeebene y II = 0 bis Feingutaustrag yII
≤ y2
, wegen der besseren Übersichtlichkeit
wurden die Indizes II,i weggelassen:
k
dcn
⋅ u ⋅c
n,2
= va
⋅ cn
− Dt,s
. (4.375)
dy
2
⋅
Damit ergibt sich:
cn , 2
∫
cn
c
n
dcn
k
2
⋅ u ⋅c
−
v
a
n,2
v
=
D
a
t,s
⋅
y2
∫
y
dy
k
2
⋅ u ⋅c
n,2
cn,2
−
va
va
ln = ⋅
2
k
2
⋅ u ⋅c
n,2 Dt,s
cn
−
v
k
⎡
2
⋅ u ⋅c
n,2 ⎛ k
2
⋅ u ⋅c
n,2 ⎞
= +
⎜ −
⎟ ⋅ va
cn,2
exp⎢−
⋅ y
va
⎝ va
⎠
⎣ Dt,s
cn
2
a
⎤
( y − ) ⎥ ⎦
( y − y)
c ⎪⎧
⎡
⎤⎫
n,2
va
⎪
n
= ⋅ ⎨k
2
⋅ u + ( va
− k
2
⋅ u) ⋅ exp⎢−
⋅ ( y − y) ⎥ ⎬ (4.376)
va
⎪⎩
⎣
Dt,s
⎦
⎪⎭
c
2
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oder mit Gl.(4.336) bzw.
c
n,2
n
F
k ⋅ u
= 2
⎪⎫
( ) ⎬ ⎪⎭
273
n
⎪⎧
⎛ ⎞ ⎡
⎤
F
va
⎨
⎜
⎟ ⎢−
⋅ − ⎥
⎪⎩
⋅ va
= ⋅ 1+
−1
exp y y
va
⎝ k
2
⋅ u ⎠
⎣ Dt,s
⎦
cn
2
(4.377)
mit der relativen Partikelkonzentration
c
c
n
n,0
⎛ v ⎞ ⎡
a
⋅ va
1+
⎜ −1⎟
exp⎢−
⋅
⎝ k
2
⋅ u ⎠ ⎣
Dt,s
=
⎛ v ⎞ ⎡
a
+
⎜ − ⎟
⋅ va
1 1 exp⎢−
⎝ k
2
⋅ u ⎠
⎣ D
( y − y)
t,s
2
⋅ y
2
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
. (4.378)
Berechnung der Trennfunktion:
Als Trennfunktion wird das Verhältnis von Grobgutmengenstrom zu Aufgabemengenstrom
der Partikelgrößenklasse i bei konstanter Fluidgeschwindigkeit
u definiert - mit der Komponentenbilanz n = n
+ n
.
T
n
1
G,i
i
= = für u = const. (4.379)
n
n
A,i F,i
1+
n
G,i
Da die absoluten Partikelkonzentrationen beider Bereiche I und II in der Aufgabeebene
identisch sein müssen, d.h. sowohl
c (y = 0) = c (y = 0) = c
(4.380)
n,I,i
als auch
a,I,i
n,II,i
a,II, i
n,0,i
A,i
v ≈ v , ergibt sich aus den Gln.(4.373), (4.377) und (4.379); man
beachte, dass im Unterlaufbereich I wegen v s,I > u die Partikelabsolutgeschwindigkeit
der festen Apparatekoordinaten v = u − v negativ ist:
G,i
a,I
F, i
s, I
n
n
F
G
c
=
c
n,II
n,I
⋅ v
⋅ v
a,II
a,I
⎛ v ⎡
a,I ⎞
⋅ v
−1+
⎜1+
⎟ exp⎢
⎝ k
l
⋅ u
G ⎠ ⎣
D
⋅
⎛ v ⎞ ⎡
a,II
+
⎜ −
⎟ ⋅ v
1 1 exp⎢−
⎝ k
2
⋅ u ⎠
⎣ D
a;I
t,s
a,II
t,s
⎤
⋅ y1⎥
⎦
. (4.381)
⎤
⋅ y2
⎥ ⎦
Damit ist die Trennfunktion:
1
T (va
(d)) =
. (4.382)
⎛ v ⎡ ⎤
a,I ⎞
⋅ va,I
−1+
⎜1+
⎟ exp⎢
⋅ y1⎥
⎝ k
l
⋅ u
G ⎠
⎣Dt,s
1+
⎦
⎛ v ⎞ ⎡ ⎤
a,II
+
⎜ −
⎟ ⋅ va,II
1 1 exp⎢−
⋅ y2
⎥
⎝ k
2
⋅ u ⎠
⎣ Dt,s
⎦
Mit den Austragskoeffizienten lässt sich die Trennfunktion den gemessenen
Verläufen anpassen (Folie 4.30):
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274
• Für k 1 = k 2 ergeben sich um das Trennkorn herum symmetrische Verläufe
mit zunehmender Steilheit und damit Trennschärfe bei abnehmenden Austragskoeffizienten.
• Für k 1 ≠ k 2 folgt eine unsymmetrische Trennfunktion.
Berechnungen der mittleren Verweilzeit:
Definitionsgemäß ergibt sich die mittlere Verweilzeit der Partikeln der Klasse i
im Prozessraum
τ
m
=
1
n
A
⋅
y2
∫
c (y) dy
n
−y1
bzw. (4.383)
⎡
0
y2
1
τm
= ⋅ ⎢ ∫ cn,I
(yI
)dyI
+ ∫ c
n
A ⎢⎣
−y1
0
n,ll
⎥ ⎥ ⎤
(yll)dyll
. ( 4.384)
⎦
Die Integration der absoluten Partikelkonzentration in den jeweiligen Bereichen
führt zu (siehe BÖHME, Folie 4.30):
1 ⎡ ⎛ Dt,s
⎞
τ ⎢
⎜
⎟ +
m
= ⋅ T ⋅ y1
−
⎜ 2 ⎟ . (4.385)
va
⎣ ⎝ k
l
⋅ u
G ⎠ ⎝ k
2
⋅ u ⎠
⎛ D ⎤
t,s ⎞
( 1−
T) ⋅⎜
y + ⎟⎥ ⎦
Unstetigkeitsstelle für das Trennkorn:
a ,T T
s,T T
=
Für das Trennkorn v s,T (d T ) = u (Schwebegeschwindigkeit) ist die Partikelabsolutgeschwindigkeit
v (d ) = u − v (d ) 0 . Damit sind alle bisher abgeleiteten
Beziehungen nicht definiert. Um auch für diesen Wert zu Aussagen zu
gelangen, ist entweder eine Grenzwertbetrachtung notwendig, wozu eine Reihenentwicklung
der Exponentialfunktion mit Abbruch nach dem linearen Glied
vorgenommen werden muss (siehe BÖHME),
2 3
n
x x x x x
e = 1+
+ + + ... +
1! 2! 3! n!
oder man integriert die Randbedingungen (4.373) und (4.377) für v a = 0. Beides
führt zu linearen Verläufen der
a) absoluten Partikelkonzentration im
I. Unterlaufbereich, -y 1 ≤ y ≤ 0:
n
⎪⎧
⎛
G
va
lim c = ⋅ ⎨−
+
⎜
n
1 1+
va
→0
va
⎪⎩ ⎝ k
l
⋅ u
G
⎞ ⎡
⋅ v
⎟ ⎢1
+
⎠
⎣ D
a
t,s
⋅
⎤⎪⎫
( y + y ) ⎬ ⎪⎭
1
⎥
⎦
lim c
va
→0
n
n
=
v/
G
a
⎪⎧
v/
⋅ ⎨− 1/
+ 1/
+
⎪⎩ D
a
t,s
⋅
v/
⎪⎫
a
va
→ 0 v/
a
( y + y ) + + ⋅ ( y + y ) ⎬ ⎪⎭
1
k ⋅ u
l
G
k ⋅ u
l
G
D
t,s
1
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limc
n
va
→0
und mit
⎛ ⎞
⎜
1 y + y1
= n ⎟
G
+
(4.386)
⎝ k
l
⋅ u
G
Dt,s
⎠
c
n,1
n
G
=
k ⋅ u
folgt die Geradengleichung:
limc
n
va
→0
= c
n,1
1
G
⎡ k
l
⋅ u
⋅ ⎢1
+
⎣ Dt,s
G
⋅
⎤
( y + y ) ⎥ ⎦
1
(4.387)
(4.388)
275
Oder mit der Bilanzgleichung (4.373) für v a = 0 (auf die Angabe lim...
v a → 0
wurde nachfolgend verzichtet):
n
dcn
k
l
⋅ u
G
k
l
⋅ u
G
⋅c
n,1
= Dt,s
⋅
dy
∫ dc
n
= ⋅c
n,1
⋅ ∫ dy
D
c
cn ,1
⎡ k
⎤
l
⋅ u
G
c
n
= cn,1
⋅ ⎢1
+ ⋅ ( y + y1) ⎥ (4.389)
⎣ Dt,s
⎦
welche der Gl.(4.388) entspricht.
II. Oberlaufbereich, y 2 ≥ y ≥ 0:
n
⎪⎧
⎛ ⎞ ⎡
⎤
F
va
⎨ ⎜
⎟ ⎢ − ⋅ − ⎥
⎪ ⋅ va
lim cn
= ⋅ 1+
−1
1 y2
y
v a →0
va
⎩ ⎝ k
2
⋅ u ⎠ ⎣
Dt,s
⎦
t,s
( )
⎪⎭
⎪ ⎬
⎫
n
⎪⎧
F
v/
a
v/
a
lim cn
= ⋅ ⎨ + ⋅
2
2
v a →0
v/
a ⎪⎩ k
2
⋅ u Dt,s
k
2
⋅ u Dt,s
⎛
⎞
⎜
1 y2
− y
lim c = ⋅
⎟
n
n F
+
v →0
(4.390)
a
⎝ k
2
⋅ u Dt,s
⎠
und mit
c
n,2
y
−y1
v
⎪⎫
a
→ 0 v/
a
( y − y) − ⋅ ⋅ ( y − y) ⎬ ⎪⎭
n
F
= (4.391)
k ⋅ u
2
folgt die Geradengleichung:
⎡ k
⎤
2
⋅ u
lim cn
= cn,2
⋅ ⎢1
+ ⋅ ( y2
− y) ⎥ (4.392)
v a →0
⎣ Dt,s
⎦
Oder mit der Bilanzgleichung (4.377), d.h. für v a = 0 ist
k
n , 2
2
dcn
k
2
⋅ u
⋅ u ⋅c
n,2
= −Dt,s
−
dy
∫ dc
n
= ⋅c
n,2
⋅ ∫ dy
D
2
⋅
c
cn
⎡ k
⎤
2
⋅ u
n
= cn,2
⋅ ⎢1
+ ⋅ ( y − y) ⎥ (4.393)
⎣ Dt,s
⎦
c
2
welches wiederum Gl.(4.392) entspricht.
t,s
y
y
b) absolute Partikelkonzentration in der Aufgabeebene, y = 0:
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I. Unterlaufbereich, y ≤ 0:
276
⎡ k ⎤
l
⋅ u
G
c
n,0
= cn,1
⋅ ⎢1
+ ⋅ y1⎥
(4.394)
⎣
Dt,s
⎦
Das bedeutet eine Anreicherung an Trennkorn in der Nähe der Aufgabe
gegenüber dem Unterlaufrand bei y 1 .
II. Oberlaufbereich, y ≥ 0:
⎤
⎥
⎢ ⎡ k
2
⋅ u
c
n,0
= cn,2
⋅ 1+
⋅ y2
(4.395)
⎣ Dt,s
⎦
Das bedeutet eine Anreicherung an Trennkorn in der Aufgabe.
c) Verlauf der relativen Partikelkonzentration
I. Unterlaufbereich, y ≤ 0:
k ⋅ u
1+
( y + y )
l G
1
D
n
t,s
y
= = 1+
(4.396)
k
n,0
l
⋅ u
G
Dt,s
1+
⋅ y1
+ y1
Dt,s
k
l
⋅ u
G
c
c
⋅
II. Oberlaufbereich, y ≥ 0:
k
1+
⋅ u
⋅
( y − y)
2
2
D
n
t,s
y
= = 1−
(4.397)
k
n,0
2
⋅ u
Dt,s
1+
⋅ y2
+ y2
Dt,s
k
2
⋅ u
c
c
d) Trennfunktion
Mit den Gln.(4.388) und (4.393) folgt für y = 0 das Verhältnis
Dt,s
+ y1
n
c
F n,0 k1
⋅ u
G
= ⋅
n
D
G
cn,0
t,s
+ ⋅y2
k ⋅ u
1
T =
n
1+
n
F
G
2
1
=
Dt,s
+ y
k
l
⋅ u
G
1+
Dt,s
+ y2
k ⋅ u
2
1
(4.398)
e) Trennschärfe
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277
Die Trennfunktion Gl.(4.382) lässt sich analytisch nicht nach der Partikelsinkgeschwindigkeit
umstellen. Deshalb kann eine Trennschärfe nur als Anstieg
der Trennfunktion für das Trennkorn bei v a = 0, u = u G für einen symmetrischen
Trennapparat (-y 1 = y 2 = H und k 1 = k 2 = k) angegeben werden.
Die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion liefert bei Abbruch nach
dem quadratischen Glied den Grenzwert (siehe BÖHME):
⎛
⎞
⎜
⎟
d[ T( d / dT
)]
α u ⋅ H ⎜ 1
κ( d → d =
= ⋅ ⋅ +
⎟
T
)
1
. (4.399)
d( d / d )
⎜ u ⋅ H ⎟
T
4 Dt,s
⎜ 1+
k ⋅ ⎟
⎝ Dt,s
⎠
α
Exponent des Widerstandsgesetzes der Partikelumströmung
α = ½, NEWTON-Bereich,
½< α< 2 Übergangsbereich,
α = 2 STOKES-Bereich;
Für große BODENSTEIN-Zahlen (überwiegend konvektiver Transport)
u ⋅ H
Bo = >> 1
(4.400)
D
t,s
folgt damit näherungsweise eine direkte Proportionalität von der abgeleiteten
Trennschärfe:
[ T( d / dT
)]
d( d / d )
d
α ⎛ 1 ⎞ α
κ (d → dT
) =
= ⋅ Bo ⋅ ⎜1+
⎟ ≈ ⋅ Bo. (4.401)
4 ⎝ 1+
k ⋅ Bo ⎠ 4
T
Lt. letztem Term würden kleinere Austragskoeffizienten k eine Zunahme der
Trennschärfe und steilere Trennfunktionen bewirken.
f) mittlere Verweilzeit
1 ⎡ ⎛ D
⎛ ⎞ ⎤
t,s y ⎞
⎢
⎜ ⎟
⋅
D
1
y2
t,s
τ
⎜ ⎟
m
= ⋅ y1
⋅ + T + y2
⋅
+
⋅ ( 1−
T)
⎥ (4.402)
Dt,s
⎢⎣
⎝ k
l
⋅ u
G
2 ⎠ ⎝ 2 k
2,
⋅ u ⎠ ⎥⎦
Schlussfolgerungen für die Apparategestaltung:
Eine Bewertung dieses Modells der turbulenten Gegenstromklassierung liefert
folgende wichtigen, im allgemeinen auch mit der Praxis übereinstimmenden
Aussagen /5.1//5.2//5.19/ (Folie 4.32):
a) Für trennscharfe Klassierungen sind kleine Diffusionskoeffizienten D t (Folie
4.32.1b) und somit wegen
D
2
*
t≈ Λ ⋅ u ∝u
0
⋅ D0
(4.298)
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kleine Klassierraumdurchmesser anzustreben.
278
b) Mit zunehmender Höhe oder Länge des Klassierraumes wird die Trennschärfe
verbessert (Molerus /5.4/) (Folie 4.32.2a).
1
T(d) =
u ⎡⎛ v ⎞
+ ⋅ ⎢⎜
−
s
(d)
1 exp 1 ⎟⋅
vs
(d) ⎣⎝
u ⎠
1
=
u ⋅ H⎤
u ⎡
⎥ 1+
⋅ exp⎢−
D ⎦ v (d) ⎣
D ax ≈ D t,s axialer Diffusionskoeffizient bei Rückströmung
H
Klassierraumhöhe oder -länge L
ax
s
( v (d) − u)
s
D
ax
⋅
H⎤
⎥
⎦
(4.403)
c) Hohe BODENSTEIN-Zahlen bedeuten wegen der Proportionalität des turbulenten
Diffusionskoeffizienten zum Prozessraumdurchmesser D 0 nach
Beziehung (4.298) auch hohe Schlankheitsgrade des Trennapparates
u ⋅ H u ⋅ H H
Bo = ∝ = >> 1
(4.404)
D u ⋅ D D
t,s
0
0
und wegen Gl.(4.401) somit auch hohe Trennschärfen (Folie 4.32.1a).
d) Ungleiche Austragskoeffizienten, d.h. k 1 ≠ k 2 , bewirken genauso wie unsymmetrische
Anordnungen der Produktausträge, d.h. H 1 ≠ H 2 , dass die Lage
des Trennschnittes mehr oder weniger von der Lage abweicht, die durch
u = v s (d T ) gegeben ist (Folie 4.32.2b und c).
e) Um einer Partikelanreicherung im Klassierraum - insbesondere auch der der
Trennkorngröße benachbarten Klassen - entgegen zu wirken, sollten die
Austragkoeffizienten groß sein.
4.3.4 Kennzeichnung des Trennerfolges des Stromklassierprozesses
Zur Kennzeichnung des Trennerfolges von Stromklassierprozessen werden
ebenfalls die im Abschnitt 3.1 MVT_e_3neu.doc#Trennfunktion besprochenen
Methoden benutzt. Dabei ist allerdings folgendes zu beachten:
Bei den Stromklassierprozessen ist das Trennmerkmal die stationäre Sinkgeschwindigkeit.
Folglich muss der Trennerfolg auch auf Grundlage dieses
Trennmerkmals beurteilt werden. Dies ist mit Hilfe der entsprechenden Methoden
der Partikelgrößenanalyse (Sichtmethoden, Sedimentationsmethoden)
möglich. Deren Anwendung ist jedoch auf die Partikelgrößenklassen von etwa
d < 40 bis 80 µm beschränkt, so dass - abgesehen von der Feinstkornklassierung
- auf Sieb- oder andere geeignete Methoden der Partikelgrößenanalyse
zurückgegriffen werden muss.
Weiterhin sind die Besonderheiten des Verlaufes der Trennkurven von Stromklassierprozessen
zu beachten, die sich aus dem Wirkprinzip bzw. Trennmodell
ergeben (siehe hierzu 4.3.2).
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279
Schließlich können sich Anomalien im Verlauf der Trennkurven daraus ergeben,
dass insbesondere das Fein- und Feinstkorn während des Prozesses agglomeriert
vorgelegen hat, aber bei der Partikelgrößenanalyse von Proben der
Trennprodukte die Agglomerate bewusst gestört worden sind, denn für agglomerierte
Partikeln ist die Sinkgeschwindigkeit der Agglomerate für das
Trennverhalten bestimmend. Beispielsweise weist der Verlauf der Trennkurven
von Hydrozylonklassierungen daraufhin, dass das Feinstkorn im Mikrometerbereich
teilweise geflockt oder als Anhaftung an gröberem Partikel (alime
coatings) vorgelegen haben muss und die im Hydrozyklon auftretenden turbulenten
Beanspruchungen offensichtlich nicht ausgereicht haben, um diese Agglomerate
zu zerstören.
Ähnliche Anomalien können im Verlauf der Trennkurven von Windsichtprozessen
auftreten, wobei insbesondere unter Feuchteeinfluss die Agglomerationseffekte
auch größere Partikeln erfassen (Flüssigkeitsbrücken-Bindungen,
siehe Abschnitt 6.1 MVT_e_6neu.doc#FH_FlBr).
(Folie 4.33)
4.4 Hydroklassierung
4.4.1 Schwerkraft-Hydroklassierer
Unter Beachtung der besprochenen Grundmodelle und der apparativen Gestaltung
ist es zweckmäßig, die Schwerkraft-Hydroklassierer wie folgt zu untergliedern:
a) Horizontalstromklassierer, auf die sich im Wesentlichen das Trennmodell
der laminaren Querstromhydroklassierung anwenden lässt,
b) mechanische Klassierer, in denen das Klassiergrobgut mittels einer mechanischen
Austrag- bzw. Transportvorrichtung (Rechen, Schraube, Schnecke),
u.a.) ausgetragen und dadurch auch eine mehr oder weniger intensive
Trübeagitation bewirkt wird, so dass überwiegend das Trennmodell der turbulenten
Querstromhydroklassierung anzuwenden ist.
c) Aufstromklassierer, deren Trennwirkung dem Modell der Gegenstromklassierung
entspricht.
Für die apparative Gestaltung und die Betriebsweise von Horizontalstromklassierern
lassen sich auf der Grundlage des Trennmodells die Forderungen
ableiten, dass
- der Suspensionsstrom möglichst wirbelfrei durch den Klassierraum zu leiten,
- über Wehre das Feingut mit dem größeren Anteil der Flüssigkeit abzuziehen
und schließlich dafür Sorge zu tragen ist, dass
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280
- das Grobgut mit einem Minimum an Flüssigkeit so fließfähig gemacht, dass
dieses allein durch die Wirkung der Schwerkraft am Boden ausgetragen
wird, ohne diesen zu verstopfen.
Die Oberfläche derartiger Klassierer weist
- rechteckige bzw.
- trapezförmige oder
- runde Formen auf.
Im ersten Fall erfolgt die Aufgabe an einer Seite, der Überlauf an der gegenüberliegenden.
Runden Klassierern wird die Trübe in der Mitte zugeführt, und
der gesamte Umfang ist als Überlaufwehr ausgebildet.
Zur Erzeugung von Produkten verschiedener Feinheit lassen sich mehrere
Klassierräume hintereinander schalten.
Die Wirkungsweise eines Klassierkegels ist aus Folie 4.34.1 zu erkennen. Die
Suspension wird einem zentralen Aufgaberohr zugeführt, das in den Klassierraum
eintaucht. Derartige Apparate setzt man vorzugsweise für Klassiergut mit
- maximal 3 mm oberer Partikelgröße,
- bei Trennkorngrößen zwischen 0,25 und 0,1 mm
ein. Der für die Prozessführung wichtige kontinuierliche Grobgutaustrag lässt
sich durch geeignete Austragregler (z. B. mit Schwimmern gesteuerte Ventile
Folie 4.34.2) wesentlich verbessern /5.1./.
Zur Verbesserung der Trennschärfe von Horizontalstromklassierern ist mit
beachtlichem Erfolg von mehrstufigen Anordnungen Gebrauch gemacht
worden (Folie 4.35.5). Diese Klassierer setzt man z. B. für die Erzeugung von
Beton- und Gießereisanden ein, an die hohe Qualitätsforderungen zu stellen
sind. Es lassen sich Trennkorngrößen zwischen d T = 0,05 und 0,15 mm bei κ
= 0,33 bis 0,77 (bzw. 1,3 bis 3,0) erreichen, wobei die Phalanx-Schaltung (=
Gegenstrom-Reihenschaltung zur Feingutnachreinigung!) für die feineren
Trennkorngrößen vorzuziehen ist.
Die wichtigsten mechanischen Klassierer bestehen aus einem flach geneigten
Klassiertrog, in dem eine mechanische Austragvorrichtung das Grobgut auf
dem Trogboden zum Austrag fördert (Folie 4.35.3). Diese Förderelemente
geben der jeweiligen Bauart den Namen. Die Klassiertrübe wird etwa in der
Mitte des Trübespiegels aufgegeben. Der Feingutüberlauf befindet sich am
unteren Trogende, der Grobgutaustrag am oberen.
Beim Rechenklassierer (Folie 4.35.3a) übernimmt ein gitterähnlicher Rechen
die Grobgutförderung. Dieser bewegt sich in vertikaler Ebene auf einer nahezu
rechteckigen Bewegungsbahn. Der Trogquerschnitt ist rechteckig ausgebildet.
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281
Beim Schraubenklassierer (Folie 4.35.3b und Folie 4.36) wird das Grobgut
von einer Schnecke am muldenförmigen Trogboden aufwärts bewegt. Bei größeren
Klassierern arbeiten mehrere Rechen bzw. zwei Schrauben parallel. Derartige
Trogklassierer werden vor allem für Trennkorngrößen zwischen d T = 75
und 500 µm in Mahlkreisläufen von Nasskugelmühlen und teilweise auch zur
Vorentwässerung von Sanden eingesetzt. Untersuchungen ergaben, dass Modelle
der turbulenten Querstromklassierung die Trennwirkung dieser Klassierer
in den meisten Fällen widerzuspiegeln vermögen /5.1.//5.3./.
Die Rechenhubzahlen liegen bei den in der Praxis eingesetzten Klassierern
zwischen etwa
- n = 10 und 30 min -1 ,
- die Umfangsgeschwindigkeiten der Schrauben betragen etwa v u = 15 bis 40
m/min.
Da die turbulenten Diffusionskoeffizienten der Rechenklassierer
D t = etwa 0,004 bis 0,01 m 2 /s
wesentlich höher als die von Schraubenklassierern
D t = etwa zwischen 0,0005 bis 0,0025 m 2 /s
liegen, werden mit letzterem entsprechend niedrigere Trennkorngrößen erreicht.
Aufstromhydroklassierer haben in neuerer Zeit eine beachtliche Entwicklung
durchlaufen, die wesentlich von den Anforderungen der Baustoffindustrie mitbestimmt
worden ist /5.1.//5.17./.
Der in Folie 4.37.1a dargestellte Klassierer, Bauart RHEAX, vermeidet durch
die Formgestaltung eine Feststoffanreicherung im Prozessraum und ermöglicht
hohe Trennschärfen (κ > 0,45 (< 2,2)) bei Trennkorngrößen zwischen d T = 0,4
und 2,5 mm.
Der rotationssymmetrische Aufstromklassierer, Bauart SOGREAH (Folie
4.37.1b), kombiniert eine Dünnstromtrennung im oberen Teil des Klassierraumes,
wo das Grobkorn relativ schnell auf den Konus aussedimentiert und
eine abwärts gleitende Schicht bildet, mit deren Nachklassierung im unteren
Ringraum bei hoher Feststoffkonzentration (Dichtstromtrennung). Für
Trennkorngrößen zwischen 0,1 und 1 mm werden κ-Werte > 0,67 (< 1,5) angegeben.
Eine weitere Variante ähnlicher Art stellt der in Folie 4.37.1d dargestellte Aufstromklassierer,
Bauart HYDROFORS dar.
Bei Mehrkammer-Aufstromklassierern sind mehrere Klassierräume unmittelbar
hintereinander geschaltet, so dass sich entsprechend mehrere Trennschnitte
realisieren lassen.
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282
(Folie 4.38, Folie 4.39)
4.4.2 Zentrifugalkraft-Hydroklassierer
Die Hydroklassierung in Zentrifugalkraftfeldern ist für Fein- bis Feinstkornabtrennungen
wichtig. Zur Charakterisierung der im Vergleich zum Schwerkraftfeld
eintretenden Prozessintensivierung bzw. Erhöhung der Triebkraft eignet
sich das auf die Schwerebeschleunigung bezogene Beschleunigungsvielfache
(Froude-Zahl):
2
a r ⋅ω u
tg
z = = = . (4.405)
g g r ⋅g
u tg
Tangentialgeschwindigkeit
r Drehradius
Es lassen sich zwei Gruppen von Zentrifugalkraftklassierern unterscheiden:
- Die erste Gruppe (Hydrozyklone) besitzt einen feststehenden, vorwiegend
zylindrisch-konischen Behälter, dem die Suspension unter Druck durch eine
am Umfang angeordnete tangentiale oder evolutenartig ausgebildete Einlaufdüse
zugeführt und im Inneren zu Umlaufströmungen gezwungen wird.
- Die Apparate der zweiten Gruppe verfügen über einen rotierenden zylindrisch-konischen
Behälter, in dem die Drehbewegung durch Wand- und Flüssigkeitsreibung
auf die Suspension übertragen wird. Dieses Prinzip wird in
Vollmantelzentrifugen realisiert, die aber in erster Linie für die mechanische
Flüssigkeitsabtrennung (Sedimentation im Zentrifugalkraftfeld) und
nur selten als Klassierer für Trennkorngrößen im Bereich weniger µm eingesetzt
werden.
Andererseits benutzt man aber auch Hydrozyklone zum Eindicken sowie Klären.
Diese Prozesse der mechanischen Flüssigkeitsabtrennung kann man als
Grenzfälle der Stromklassierung auffassen, bei denen die Trennkorngröße d T
= 0 angestrebt wird, die sich jedoch praktisch nur näherungsweise erreichen
lässt.
Ein Hydrozyklon normaler Ausführung ist in Folie 4.40.1 dargestellt, die
Hauptströmungen verdeutlicht Folie 4.40.2. Die Einlaufströmung wird aufgrund
der Zyklongeometrie zu einer äußeren, abwärts gerichteten Umlaufströmung
(Außenwirbel) gezwungen.
Infolge der Drosselwirkung des unteren konischen Teils mit der Unterlaufdüse
(2) werden vom abwärts gerichteten Außenwirbel laufend Teile zu einer inneren,
aufwärts gerichteten Wirbelströmung (Innenwirbel) umgelenkt (Folie
4.40.5). Die Teile des Außenwirbels, die weit in den Hydrozyklonunterteil vor-
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283
dringen, werden weitgehend durch die Unterlaufdüse ausgetragen, während
die aufsteigenden Teile des Innenwirbels vor allem durch die Überlaufdüse (3)
(Wirbelsucher) den Hydrozyklon verlassen.
Da die REYNOLDS-Zahlen der Hydrozyklonströmungen
Re = 10 5 bis 10 6
betragen, so liegen hochturbulente Strömungsverhältnisse vor. Infolgedessen
lässt sich die Trennwirkung nur mit Hilfe entsprechend angepasster Modelle
der turbulenten Querstromklassierung widerspiegeln /5.1./ bis 5.3./ /5.18./
/5.20/. Gemäß dem Modell der turbulenten Querstromhydroklassierung ist davon
auszugehen, dass sich für jede Partikelgrößenklasse mehr oder weniger
unabhängig voneinander eine radiale Konzentrationsverteilung unter der
Wirkung von Sedimentationsstrom im Zentrifugalkraftfeld und turbulente Diffusionsstrom
einstellt (Folie 4.40.5, beachte hierzu auch Abschn. 4.2.2.3). Somit
kommt die Klassierwirkung dadurch zustande, dass sich die gröberen Partikelklassen
durch die Feldkraft vor allem im Außenwirbel anreichern und
durch die Unterlaufdüse ausgetragen werden.
Da der Überlaufstrom den Unterlaufstrom im Allgemeinen bedeutend überwiegt
V >> V
, so gelangen die sich in der Hydrozyklonströmung gleichmäßi-
F
G
ger verteilenden feineren Anteile (weitestgehend unabhängig von der zu Zentrifugen
vergleichsweise geringen Beschleunigung) vor allem in den Überlauf
(Folie 4.40.4).
Charakteristisch für die Arbeitsweise der Hydrozyklone ist weiterhin, dass sich
um die Zyklonachse ein "Luftkern" ausbildet (Folie 4.40.4). Die Flüssigkeitsoberfläche
am Luftkern ist somit eine freie Flüssigkeitsoberfläche im Zentrifugalkraftfeld,
und man kann infolgedessen den Abfluss der Trübe aus dem Zykloninnern
als Strömung über Wehre auffassen, die von Unter- und Überlaufdüse
gebildet werden. Eine gute Trennwirkung des Hydrozyklons setzt eine stabile
Wirbelströmung voraus. Dies ist dann gewährleistet, wenn die Zyklonströmung
durch genügend hohe REYNOLDS- und FROUDE-Zahlen charakterisiert
ist /5.21./.
Ist die kinetische Energie der als Unterlauf austretenden Wirbelströmung noch
ausreichend groß, so hat dieser Austrag das Aussehen eines Sprühkegels. Ist
die kinetische Energie der Wirbelströmung im Unterteil mehr oder weniger
aufgezehrt, so tritt der Unterlauf strangförmig aus.
Die Art des Unterlaufaustrages wird wesentlich von den Fließeigenschaften
und damit auch vom Feststoffvolumenanteil in der Unterlaufsuspension mitbestimmt
ϕ s < 0,35.
Weiterhin sollte die Aufgabesuspension möglichst stoßfrei durch die Aufgabedüse
in den Hydrozyklon einströmen. Dies begünstigen eine entsprechende
ausgebildete Einlauf-Evolute und die Abstimmung Zyklondurchmesser D, Ein-
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284
laufdüsendurchmesser D i und Überlaufdüsendurchmesser D o . Folgende Bereiche
der Abmessungsverhältnisse sind empfehlenswert:
- D o = (0,2 bis 0,4)⋅D,
- D i = (0,15 bis 0,25) ⋅D,
- D a = (0,2 bis 0,8) ⋅D o . (4.406)
D a
Unterlaufdüsendurchmesser
Wichtig für die Trennwirkung des Hydrozyklons ist das Verhältnis der Suspensionsvolumenströme
V / V
= V
/ V
.
o
a
F
Dies wird in erster Linie vom Düsenverhältnis, aber auch noch von anderen
Einflussgrößen mitbestimmt. Dafür ist kein allgemeingültiger Zusammenhang
angebbar (siehe z.B. /5.22./ /5.23./). Von den einfachen empirisch gewonnenen
Zusammenhängen, die offensichtlich vor allem für Dünnstromtrennungen befriedigen
(ϕ s = 5 bis 10%), sind zu nennen:
a) nach PLITT /5.23./:
V
V
o
a
V
=
V
F
G
⎛ D
≈
⎜
⎝ D
o
a
⎞
⎟
⎠
3...4
G
, (4.407)
b) nach TARJAN /5.24./
3
V
o
V
⎛
F
D ⎞
o
= ≈ 0,91⋅
Va
V
⎜
G
D
⎟ . (4.408)
⎝ a ⎠
Zur Berechnung der theoretischen Trennschärfe (reziproke Partikelstreuung)
einer Hydrozyklontrennung erhält man unmittelbar aus den Gln.(4.359)
und (4.408):
d
d
75
3
[ ⋅( Do
/ Da
) ]
3
⋅( D / D )
⎡ln 0,303
⎢
⎣ ln 2,73
[ ]
o
a
⎤
⎥
⎦
1/ 2
25
κ = =
. (4.409)
Demgegenüber ist zur Berechnung der Trennkorngröße d T eine entsprechende
Anpassung der Gl.(4.358) unter Beachtung der Folie 4.40.5 notwendig /5.1./
bis /5.3./ /5.18./ /5.20/. Diese liefert unter der Voraussetzung, dass sich die
Sinkgeschwindigkeit im Zentrifugalkraftfeld durch die Gln.(4.234) und (4.356)
beschreiben lässt, zunächst:
d
T
= k
theor
⎪⎧
1
⋅⎨
⎪⎩
k
ψ⋅
k
ϕ
18 ⋅η D
⋅ ⋅
( ρ −ρ ) a
s
l
t,s
1 ⎛ V
⋅ ⋅ ln
h
⎜
⎝ V
F
G
⎞⎪⎫
⎟
⎬
⎠⎪⎭
1/ 2
. (4.410)
k theor
Konstante zur Anpassung an die Hydrozyklongeometrie
Für die weitere Modellentwicklung sind Substitutionen erforderlich, die teilweise
auch wesentliche Vereinfachungen darstellen. Es soll gelten:
k ψ ≈ 1 kugelförmige Partikeln
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k
( ) n
ϕ
= 1−
ϕs
, d.h. v ( ) n
s
/ vs
= 1−
ϕs
ϕ
, (4.411)
285
n = 4,65 für Re < 1
wobei gemäß Gl.(4.149) n = 4,65 zu setzen wäre, da der Ableitung zugrunde
gelegt wurde, dass sich die Sinkgeschwindigkeit im Zentrifugalkraftfeld durch
Gl.(4.55) erfassen lässt. Mit den folgenden Ähnlichkeitsbeziehungen:
D
t,s
≈ D
t
≈ 8 ⋅10
−4
⋅ u
tg
⋅ D
(4.412)
2 2
u u
tg,max
a ≈ tg
∝
(4.413)
r D
u
tg,max
∆p
≈ u
max
∝ 2 ⋅ da auch
ρ
Tr
p
i
2
u
≈ ρTr
⋅
(4.414)
2
h ∝ D
(4.415)
∆p
wirksames Druckgefälle der Hydrozyklonströmung; im Allgemeinen
p i
ρ Tr
gilt: ∆p = p i
Einlaufdruck
Suspensions- oder Trübedichte
und Gl.(4.408) folgt aus Gl.(4.410):
d
T
= k
theor
⎪⎧
⋅ ⎨
⎪⎩
3
η ⋅ D ⋅ ln[ 0,91⋅
( Do
/ Da
) ]
n
( 1−
ϕ ) ⋅ ( ρ − ρ ) ⋅ p /
s
s
l
i
ρ
Tr
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
1/ 2
. (4.416)
Auf Grundlage der für die Ableitung getroffenen Voraussetzungen gilt diese
Beziehung (4.416) mit n = 4,65 für Dünnstromtrennungen, d. h.
- etwa ϕ s = 5...10 % in der Aufgabe;
- sehr feine Aufgabepartikelgrößenverteilungen, Zentralwert d 50 ≤ 20 µm;
- Hydrozyklondurchmesser etwa D ≤ 50 mm.
Weiterhin bedarf Gl.(4.416) auf Grundlage des Vergleiches von berechneten
und praktisch erzielten Werten entsprechender Anpassungskorrekturen, die
jedoch die grundsätzliche Leistungsfähigkeit des Modells nicht in Frage stellen.
Die empirische Anpassung wird mittels der Konstanten k exp vorgenommen,
die k theor ersetzt und durch den erwähnten Modellvergleich zu gewinnen ist. Da
Hydrozyklone hinsichtlich der speziellen Prozessraumgestaltung
- zylindrisch-konische Ausführung,
- Form der Düsen,
- Oberflächenrauhigkeit der Wandungen usw.,
nicht genormt sind und vielfältig variiert werden können, ist bei höheren Anforderungen
an die Genauigkeit eine spezielle Anpassung der Konstanten an
den jeweiligen Hydrozyklontyp vorzunehmen. Erfahrungsgemäß kann die Partikelgrößenverteilung
des Aufgabegutes einen ausgeprägten Einfluss auf die
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Trennkorngröße ( )
286
dT = f Q3,
A
(d) ausüben. Dies lässt sich vom Standpunkt des
Modells der turbulenten Querstromhydroklassierung wie folgt erklären.
Bei höheren Feststoffkonzentrationen in der Aufgabesuspension wird die Turbulenz
hinter dem Hydrozykloneinlauf wesentlich gedämpft. Diese Dämpfung
ist bei gleichem Feststoffvolumenanteil um so ausgeprägter, je feinkörniger der
Feststoff ist (Beeinflussung der Fließfähigkeit der Trübe!) /5.25./. Infolgedessen
kann es auch zu einer Feststoffabscheidung an der Hydrozyklonwandung
kommen, und der eigentliche Trennvorgang im Sinne einer Dünnstromklassierung
vollzieht sich nur noch mit dem Feststoffanteil, der im Suspensionszustand
verbleibt. Die Berücksichtigung dieses Einflusses auf d T ist gegenwärtig
nur empirisch möglich, wofür ein Korrekturfaktor k d eingeführt wird. Um
Gl.(4.416) für die überschlägliche Berechnung der Trennkorngröße in einem
breiteren Bereich der Hydrozyklonanwendung weiterzuentwickeln, sind mit
- n = 3 als angenommener mittlerer Wert
- für etwa 300 Hydrozyklonanwendungsfälle mit D = 15 ...1400 mm,
- ϕ s = 0,01...0,4 in der Aufgabe sowie
- Zentralwerte d 50 ≤ 200 µm der Aufgabekorngrößenverteilungen
die Anpassungskonstanten mittels Regressionsanalyse bestimmt worden. Danach
ergibt sich d T wie folgt:
d
T
3
η⋅ D ⋅ ln[ 0,91⋅
( Do
/ Da
) ]
3
( 1− ϕ ) ⋅ ( ρ − ρ ) ⋅ p / ρ
⎪⎧
⎪⎫
= 0,284 ⋅ k
d
⋅ ⎨
⎬ , (4.417)
⎪⎩ s s l i Tr ⎪⎭
wobei gilt (d 50 und D in m; ρ s , ρ l in kg/m 3 ):
1/ 2
k
d
⎡
= ⎢220⋅
d
⎣
50
⋅
ρs
− ρ ⎤
l
⎥
D ⎦
m
⎧5⋅
D für D < 0,1m
m = ⎨
. (4.418)
⎩0,5
für D ≥ 0,1m
Mit Hilfe Gl.(4.417) kann ein breiter Bereich der Hydrozyklonklassierung
überschläglich erfasst werden. Für ausgesprochene Dünnstromtrennungen
- ϕ s < 0,1
- feiner Körnungen (d 50 ≤ 20 µm;
- D ≤ 50 mm) geht
- k d → 1.
Überhaupt können trennscharfe Klassierprozesse feiner und feinster Körnungen
wegen der intensiven Rückwirkung der Partikeln auf die Fluidströmung nur als
Dünnstromtrennungen verwirklicht werden. Andererseits zeigen die Ergebnisse,
dass bei Trennungen gröberer Körnungen in
- größeren Hydrozyklonen (D ≥ 100 mm) und
- bei höheren Aufgabefeststoffgehalten
- der Faktor k d Werte im Bereich 0,2 ≤ k d ≤ 5 annehmen kann.
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287
Für derartige Fälle wird demnach der Partikelgrößeneinfluss dominierend. Offensichtlich
bedürfen die bisher ausgearbeiteten Trennmodelle für derartige
Dichtstromtrennungen einer Erweiterung (siehe hierzu /5.18./).
Gegebenenfalls lässt sich der Einfluss des Feststoffvolumenanteiles auf die
Viskosität in Gl.(4.417) berücksichtigen:
⎛
⎜
⎝
1,25⋅
ϕ
⎞
⎟
⎠
2
s
η
Tr
= ηl
⋅ 1+
(4.153)
⎜ 1− ϕs
/ ϕ ⎟
s,max
für ϕ s < 0,30; mit ϕ s,max = 0,63 ...0,84 (lt. Stieß MVT II S. 169); besser aber
etwa ϕ s,max = 0,35 ... 0,5, da dies die Fließfähigkeitsgrenze des Unterlaufes ist!
Der Suspensionsdurchsatz V Zykl
eines Hydrozyklons lässt sich befriedigend mit
folgender Formel vorausberechnen /5.22./:
p
i
Zykl
= kα
⋅ Di
⋅ Do
⋅
ρ
mit (4.419)
Tr
V
k α = 1/3,6 für α = 20°,
0,2
k
α
= 0,225 / α mit α := α⋅π/180 in Bogenmaß.
Nach den Gln.(4.416) bzw. (4.417) sind niedrige Trennkorngrößen mittels
- kleinem Hydrozyklondurchmesser D und/oder
- kleinen V F / V
G - bzw.
- D o /D a - Verhältnisses realisierbar.
Letzteres wirkt sich aber gemäß Gl.(4.409) nachteilig auf die Trennschärfe aus.
Deshalb ist es üblich, für niedrige Trennkorngrößen kleine Hydrozyklone, für
höhere entsprechend größere einzusetzen.
Der Konuswinkel α ist von Einfluss auf die Verweilzeit und wahrscheinlich
auch für die Turbulenzintensität des Fluids.
Klassierhydrozyklone weisen gewöhnlich Konuswinkel von 20° auf.
Zum Eindicken und Klären werden Konuswinkel 10° vorgezogen.
Die Ausbildung einer stabilen Wirbelströmung erfordert einen Mindestaufgabedruck
p i . Zu hohe Aufgabedrücke sind vom Standpunkt des Verschleißes
abzulehnen. Praktisch kommt etwa der Bereich von p i = 30 bis 400 kPa in Betracht,
und zwar die untere Grenze für relativ grobe, die obere für relativ feine
Klassierung.
Am meisten verbreitet sind zylindrisch-konische Einzelhydrozyklone. Größere
Zyklone (D = 150 bis 1600 mm) werden gewöhnlich aus Stahlblech oder Spezialgusseisen
gefertigt. Zur Verschleißminderung werden zunehmend die Innenflächen
gummiert oder auf andere Weise geschützt. Für kleinere Hydrozyklone
kommt neben der Blech- oder Gussausführung die Herstellung aus Hartporzellan
oder Kunststoff in Betracht.
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288
Mehrere Einzelzyklone können zu Gruppenanordnungen zusammengestellt
werden. Für sehr niedrige Trennkorngrößen setzt man Multizyklone ein, die in
einem Block untergebracht sind. Zylindrisch-konische Hydrozyklone werden
verbreitet für die Hydroklassierung bei Trennkorngrößen zwischen etwa d T = 3
... 250 µm eingesetzt (Folie 4.41).
Es zeichnet sich neuerdings ab, dass durch vollzylindrische Hydrozyklone das
Anwendungsgebiet bis zu etwa d T = 500 µm erweiterbar ist /5.27, 5.28/.
(Folie 4.42, Folie 4.43, Folie 4.44)
4.5 Windsichten
4.5.1 Prozessziele des Windsichtens
Für die Trockenklassierung bei Trennkorngrößen von wenigen µm bis zu etwa
0,5 mm und evtl. darüber wird verbreitet die Windsichtung (Aeroklassierung)
eingesetzt.
Als Trennmerkmal ergibt sich aus den auf die Partikeln wirkenden konkurrierenden
Kräften die Sinkgeschwindigkeit v s . Da sie Größe, Form und Dichte der
Partikeln enthält, kann durch Windsichten sowohl klassiert als auch sortiert
werden. Produkte mit nahezu einheitlicher Phasenzusammensetzung (z.B. Zement)
werden nach ihrer Feinheit (Partikelgröße) klassiert, während Produkte
mit etwa einheitlicher Partikelgröße, aber verschiedener Form und Dichte nach
diesen beiden Kriterien sortiert werden. Das schon sprichwörtliche klassische
Beispiel für den letztgenannten Prozess ist die „Trennung von Spreu und Weizen“
im Wind.
Großtechnisch angewandt wird die Windsichtung sehr häufig im Zusammenwirken
mit Mühlen. Im Mühle-Sichter-Kreislauf wird das gemahlene Produkt
einem Sichter aufgegeben, der das ausreichend Feingemahlene (Feingut) als
Produkt austrägt, während das Grobgut zurück in die Mühle geführt wird (s.
hierzu auch Abschn. 5.3 MVT_e_5.doc). Mühlen, bei denen der Sichter im
gleichen Gehäuse integriert ist, heißen „Sichtermühlen“.
Auch in der Landwirtschaft, in der holzverarbeitenden und in der Ernährungs-
Industrie findet die Windsichtung zur Reinigung von Getreide und Hülsenfrüchten,
zur Trennung von Spänen u.ä. verbreitet Anwendung.
4.5.2 Partikeltrennung in einer Wirbelsenke
4.5.2.1 Modell der Spiralwindsichtung und Trennkorngröße
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289
Durch die gedankliche Auftrennung der Strömung in eine radiale und eine tangentiale
Komponente kann eine Analogie zur Klasssierung in senkrechter
Aufwärtsströmung im Schwerefeld hergestellt werden:
• Radial „nach außen“ entspricht im Schwerefeld der Richtung „nach unten“,
während die trennende Widerstandskraft hier „nach innen“ und im Schwerefeld
„nach oben“ gerichtet ist (siehe Tabelle 4.8 und Folie 4.45.1a).
Das für den Trenn- bzw. Klassiereffekt maßgebliche Kriterium ist nun, ob ein
Partikel in diesem Strömungsfeld unter dem Einfluss der konkurrierenden
Kräfte als Grob- bzw. Schwergut nach außen, oder als Fein- bzw. Leichtgut
nach innen transportiert wird:
Tabelle 4.8: Partikeltrennung in einer Strömung unter der Wirkung eines
Schwerkraft- oder Fliehkraftfeldes
Richtung des Massenkraftfeldeden
Strömungskraft
Richtung der trennen-
Schwerkraftfeld nach unten nach oben
Fliehkraftfeld nach außen nach innen
Trennprodukt Grob- oder Schwergut Fein- oder Leichtgut
Entsprechend der Schwerkraft-Sedimentation gibt es auch hier ein Gleichgewichtskorn.
Unter der Bedingung, dass die radiale Strömungsgeschwindigkeit
u r (r) (nach innen) und die radiale Sinkgeschwindigkeit v s,r (r) des Partikels relativ
zur Strömung (nach außen) gleich sind, bleibt dieses Partikel, absolut gesehen,
auf einem bestimmten Radius in der Schwebe, rotiert also auf einer Kreisbahn.
Indizieren wir die Größe dieses Gleichgewichtspartikels wieder mit “T“
(für Trennkorngröße), so erhalten wir aus der Gleichgewichtsbedingung
vs ,r,T
(r) = u
r
(r)
(4.420)
und mit den Gln.(4.55) und (4.222)
( r)
18⋅
η⋅ r ⋅ u
(r) = . (4.421)
dT
2
s g ϕ
r
( ρ − ρ ) ⋅ u ( r)
Mit den Beziehungen Gl.(4.221) und (4.226) für eine logarithmische Spiralenströmung
(Folie 4.20d) folgt daraus:
18⋅η⋅c2
(r) = ⋅ r=
const.r ⋅
(4.422)
c
dT
2
( ρs
− ρg
) ⋅
1
Die Trennkorngröße ist also an jeder Stelle eine andere und wird mit dem Radius
linear größer. Die Trennzone in einem Apparat mit einer solchen Spiralenströmung
(Folie 4.45.1a und b) liegt zwischen einem Innenradius r i und einem
Außenradius r a . Zum Grob- oder Schwergut werden nur diejenigen Partikeln
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290
verwiesen, die den Außenradius r a erreichen, deren Partikelgröße d T also mindestens
d
T
18 ⋅ η⋅ c
(r ) = ⋅ r = const. ⋅r
(4.423)
a
2
2 a
a
( ρ − ρ ) ⋅ c
s
g
1
beträgt. Und als Fein- oder Leichtgut werden die Partikeln nach innen ausgetragen,
die mit der Strömung den Innenradius r i passieren können. Ihre Partikelgröße
kann höchstens den Wert
d
T
18⋅η⋅c
(r ) = ⋅ r = const. ⋅r
(4.424)
i
2
2 i
i
( ρ − ρ ) ⋅c
s
g
1
annehmen. Dazwischen liegt ein Bereich prinzipieller Unschärfe der Trennung.
Die Partikeln bleiben theoretisch auf dem ihrer Größe entsprechenden Radius
„in Schwebe“ - Gleichgewichtssichtung. In Wirklichkeit werden sie wegen der
Turbulenz der Strömung einerseits und wegen ihrer Anreicherung bei kontinuierlicher
Gutzugabe auf einen solchen Trennapparat andererseits zufallsbedingt
nach außen oder nach innen gelangen.
Reale Spiralströmungen sind reibungsbehaftet. Dadurch weicht die Spiralenform
von der logarithmischen ab. Die Radiusabhängigkeit wird schwächer -
siehe Gl.(4.225), aber die weiteren Aussagen bleiben qualitativ gleich.
Die Beziehungen (4.422) und (4.424) zeigen noch drei Tatsachen auf, die für
die Gestaltung und Bewertung von Zentrifugalströmungs-Trennapparaten prinzipielle
Bedeutung haben:
− der Unschärfebereich ist um so kleiner, je näher die beiden Radien r a und r i
bei einander liegen, je schmaler also die Trennzone ist;
− die Trennkorngröße wird mit zunehmendem Durchmesser 2⋅r a des Trennapparates
größer, kleine Trennkorngrößen erzielt man daher mit kleinen
Durchmessern;
− die Trennkorngröße ist proportional zur Wurzel aus der Spiralensteilheit
tanβ = c 2 /c 1 und bei konstanter Steilheit umgekehrt proportional zur Wurzel
aus der Wirbelstärke c 1 :
d
T
18⋅
η⋅ tanβ
(r ) = ⋅ r = const. ⋅r
; (4.425)
a
a
a
( ρ − ρ ) ⋅ c
s
g
1
− kleine Trennkorngrößen erfordern also große Umfangs- und kleine Radialgeschwindigkeiten,
siehe Gl.(4.421).
4.5.2.2 Turbulenzmodell der Trennkorngröße
Das Trennmodell der turbulenten Querstromklassierung soll hier für einen
Abweiseradsichter - tangentiales Abweisen des Grobgutes aus dem radial in
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291
das Sichtrad eintretenden Luft- und Feingutstrom - Verwendung finden. Für
das Trennpartikel gilt mit der Modellgleichung (4.356):
v
h R
sT
(d
T
D
) =
h
t,s
R
⎛ V
⋅ ln
⎜
⎝ V
F
G
Rotorsteghöhe
⎟ ⎞
⎠
(4.426)
und mit der BODENSTEIN-Zahl als Maß für das Verhältnis des konvektiven
zum diffusiven Partikeltransport:
vs
T
⋅ h ⎡V
,
Bo = = ln⎢
Dt
s ⎣V
,
F
G
⎤
⎥
⎦
. (4.427)
Da im Überlauf die gesamte Luft - der Feingutvolumenstrom
V >> V
kann
vernachlässigt werden - und im Unterlauf nur die groben Partikeln ohne Luft
(Leckluft vermeiden!) austreten, ist mit der mittleren Sichtluftbeladung
µ = m
/ m
s,g
V
V
G
V
V
s
V
V
G,g
g
+ V
+ V
G,s
V
+ m
/ ρ ⋅
V
+ m
/ ρ
G,g
s
( 1−
R )
F F,g F,s F,g s s
m,G s F,g
s g
= =
≈ =
.
F
G
≈
ρ
g
ρ
⋅ R
s
m,G
⋅µ
s,g
s
⋅ R
m,G
ρ ⋅ V
m
⋅ R
s
m,G
ρ
g
⋅ R
F,g
ρ ⋅ m
m,G
⋅ m
s
F, s
(4.428)
Mit Hilfe der BODENSTEIN-Zahl lassen sich somit folgende Aussagen zu den
Trennbereichen der turbulenten Querstromwindsichtung gewinnen:
1) für Bo < 1 oder V / V
< e 2, 718 , (ρ s ≈ ρ g , d → 0, sehr geringes v sT → 0,
F G
=
hohe Turbulenzintensität D t,s >> 0) beobachtet man eine homogene Konzentrationsverteilung
der Partikeln im Prozessraum (im Falle der Hydroklassierung
ist diese Grenze verschoben, d.h. Bo hydro < 0,1);
6
2) für 1 < Bo < 15 oder e < V F
/ V
G
< 3⋅10
tritt eine ausgeprägte exponentielle
Konzentrationsverteilung der Partikeln im Prozessraum auf, (oder auch
0,5 < Bo hydro < 50);
6
3) und bei Bo > 15 oder V F
/ V
G
> 3⋅10
, (ρ s >> ρ g , d >> 0, sehr hohes v sT >> 0,
geringe oder nahezu keine Turbulenzintensität D t,s → 0) sedimentieren
die schweren und groben Stücke aus, (d.h. Bo hydro > 100).
Der turbulente Diffusionskoeffizient kann bei isotroper Turbulenz (ungefähre
Gleichheit der mittleren Effektivwerte der Geschwindigkeitschwankungen)
durch das Produkt einer charakteristischen Geschwindigkeit mal einer charakteristischen
Länge ausgedrückt werden; und zwar entweder durch die Radialgeschwindigkeit
u r
, Umfangsgeschwindigkeit u
ϕ
oder Tangentialgeschwindigkeit,
wobei die Vektoraddition (Folie 4.45.1b) u = u ϕ
+ u gilt:
t
r
D
t,s
≈ D
t
≈ D
t,r
∝ u
r
⋅ r
a
≈ D
t, ϕ
∝ u
ϕ
⋅ ra
≈ Dt,t
∝ u
t
⋅ ra
. (4.429)
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292
Die für den Grobkornabscheidung charakteristische Umfangsgeschwindigkeit
wird von der Ausbildung der mit dem Rotor mitlaufenden Wirbelwalze
bestimmt. Damit gilt für den Diffusionskoeffizienten der Hauptströmung (jeweilige
Tangentialrichtung) D t,t ≈ D t,ϕ :
D ϕ
∝ u ϕ
⋅ r ≈ D ∝ u ⋅ r ≈ u ⋅ r
(4.430)
D
t,
a
t,t
t
a
t,max
a
t, t
= kt,
t
⋅ut,
max
⋅ ra
. (4.431)
Die Zentrifugalbeschleunigung
a
Z
(r)
2
= r ⋅ω
ist:
a
2 2 2
Z
= u ϕ
/ r ≈ u
t
/ r ≈ u
t,max
/ ra
. (4.432)
Die Rotorsteghöhe h R sei für die radiale Feinkorndiffusion maßgebend:
h = h = r − r . (4.433)
R
a
i
Aus der Sinkgeschwindigkeit folgt die Trennkorngröße:
d
T
=
18
⋅ η⋅ Dt,t
⋅ ln( V
F
/ V
G
)
( ρs
− ρg
) ⋅ a
Z
⋅ h
R
(4.434)
sowie mit den Gln. (4.431) und (4.432)
2
18⋅
k
t,t
⋅η⋅ u/
t,max
(r) ⋅ ra
⋅ln
V
F
/ V
dT
=
2/
ρ − ρ ⋅ u (r) ⋅ h
( )
s
g
t,max
( )
R
G
=
9 ⋅ k
t,t
π⋅
⋅η⋅
ra
⋅ln( V
F
/ V
G
)
( ρs
− ρg
) ⋅ n ⋅ h
R
Im Vergleich mit dem Wirbelmodell Gl.(4.422) geht hier beim Turbulenzmodell
für die Grobkornabscheidung der Rotorradius nicht so stark ein - für
r i
→ 0 würde sich sogar d T
≠ f (r)
ergeben:
d
T
= k
AWRS
⋅
η⋅ ra
⋅ ln( V
F
/ V
G
)
( ρ − ρ ) ⋅ n ⋅ ( r − r )
s
g
a
i
Dimensionsvergleich:
. (4.435)
kg / / ⋅ m ⋅s/
⋅ m
2/
2/
s/
⋅ m/
⋅ kg / /
3/
m/
⋅s/
⋅
m/
.
= m
Die Maschinenkonstante des Abweiseradsichters k AWRS sollte aus Trennversuchen
mit einem Laborsichter ermittelt werden.
Die Beziehung (4.435) lässt prinzipielle Schlüsse für die Gestaltung und Bewertung
von Zentrifugalradsichtern zu:
− die Trennkorngröße wird mit zunehmendem Durchmesser 2⋅r a der Trennmaschine
größer, kleine Trennkorngrößen erzielt man daher mit kleinen
Durchmessern; Diese Aussage entspricht qualitativ dem Wirbelsenkenmodell
nach Gl. (4.422);
− die Trennkorngröße hängt von der Rotordrehzahl und vom Durchsatzverhältnis
ab;
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293
− kleine Trennkorngrößen erfordern also große Drehzahlen und Umfangsgeschwindigkeiten
sowie kleine Luftdurchsätze und damit Radialgeschwindigkeiten.
Für eine überschlägige Auslegung kann darüber hinaus auch wie folgt vorgegangen
werden:
Die für die Feinkornabscheidung und -transport charakteristische Radialgeschwindigkeit
wird vom Durchsatz der Luft,
V
g
⋅ρg
m
F,s
V
g
⋅ρg
⎛ (1 − R
m,G
) ⋅µ
s,g
⋅ρg
⎞
V = + = + ⋅ = + ⋅ = ⋅
⎜ +
⎟
F
V
g
V
F,s
V
g
V
F,s
V
g
V
g
1
,
m
g
ρs
m
g ⎝ ρs
⎠
d.h. V ≈ V
, durch die freie Rotormantelfläche bestimmt:
u
r
g
V
=
A
AM
g
RM,f
F
RM,f
=
k
AM
RM
V
F
⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ l
a
R
(4.436)
k = A / A Flächenanteil des freien Rotordurchtrittsquerschnittes
l R
Schaufel- bzw. Rotorlänge
d
d
T
T
=
=
2 ⋅ π ⋅
9 ⋅ k
3
4 ⋅ π
18⋅
k
t,r
⋅ η⋅ V
F
⋅ ln( V
F
/ V
G
)
2
( ρs
− ρg
) ⋅ ra
⋅ ω ⋅ k
AM
⋅ lR
⋅ ( ra
− ri
)
t,r η V
F
⋅ ln( V
F
/ V
G
)
⋅ ⋅
2
⋅ k ( ρ − ρ ) n ⋅ r ⋅ l ⋅ r − r
AM
s
g
a
R
( )
a
i
Dimensionsvergleich:
d
T
= k
WS
⋅
( ρ − ρ )
s
η
g
V
⋅
n
kg / / ⋅ m ⋅ s/
⋅ m
2/
2
s/
⋅ m/
⋅ kg / /
F
2
⋅ r a
⋅ ln
⋅ l
3/
( V
/ V
)
R
⋅
F
( r − r )
a
G
3/
2
m/
⋅ s/
⋅
= m
s/
⋅ m/
⋅ m/
⋅ m/
i
. (4.437)
Die maschinentypische Windsichterkonstante k WS eines Laborsichters muss
durch Bewertung der Klassierversuche mittels Trennfunktion experimentell
angepasst werden:
k
WS
3
k
t,r
= k
exp
⋅ ⋅ . (4.438)
2 ⋅ π π ⋅ k
AM
Das Turbulenzmodell für die Feinkornabscheidung Gl.(4.437) lässt sich
ebenfalls für die Gestaltung und Bewertung von Zentrifugalradsichtern nutzen:
− die Trennkorngröße wird mit zunehmendem Durchmesser 2⋅r a der Trennmaschine
kleiner, kleine Trennkorngrößen erzielt man daher mit großen
Durchmessern; Dies steht allerdings im Widerspruch zur Gl.(4.435), die besagt,
dass man kleine Trennkorngrößen mit kleinen Durchmessern erzielt;
− die Trennkorngröße ist indirekt proportional zur Rotordrehzahl;
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294
− die Trennkorngröße hängt sowohl direkt vom Luftdurchsatz als auch vom
Durchsatzverhältnis ab;
− kleine Trennkorngrößen erfordern also große Drehzahlen und Umfangsgeschwindigkeiten
sowie kleine Luftdurchsätze und damit Radialgeschwindigkeiten.
Letztere Maßnahme würde allerdings die Trennschärfe beeinträchtigen:
1/ 2
d ⎡
25
ln(V
F
/ V
G
) − ln 3⎤
κ = = ⎢
⎥ . (4.359)
d75
⎣ln(V
F
/ V
G
) + ln 3⎦
Deshalb ist ein Kompromiss zwischen kleiner Trennkorngröße und angemessener
Trennschärfe experimentell zu finden. Praktisch sind
• 0,3 < κ < 0,6 als befriedigend (übliche technische Klassierung),
• 0,6 < κ < 0,8 als gut (scharfe technische Klassierung) und solche von
• 0,8 < κ < 0,9 als sehr gut (scharfe Analysenklasssierung) anzusehen.
4.5.3 Wirkprinzipien der Windsichtung
Wie bei jeder Strömungstrennung werden die Partikeln zwei konkurrierenden
Kräften ausgesetzt, dem Strömungswiderstand und einer Feldkraft (Schwerkraft,
Fliehkraft). Wirken die Kräfte in verschiedene Richtungen, werden Partikeln
unterschiedlicher Sinkgeschwindigkeit zu verschiedenen Stellen des Sichters
transportiert und dort ausgetragen. Einer von LESCHONSKI [6.8] gegebenen
Einteilung folgend unterscheiden wir je nach
‣ der Anströmung relativ zur Partikelbahn
• Gegenstrom-Sichtung (Folie 4.45.1a) und
• Querstrom-Sichtung (Folie 4.45.2)
‣ nach der Art der trennwirksamen Feldkraft
• Schwerkraft-Sichtung (Folie 4.45.1a) und
• Fliehkraft-Sichtung (Folie 4.45.1b).
Bei der Fliehkraft-Sichtung muss noch unterschieden werden, ob es sich
um ein
freies Drehströmungsfeld handelt (Wirbelsenke, Spiralwindsichter),
oder um eine
von einem Rotor erzwungene Drehströmung (Abweiseradsichter).
Als einen Spezialfall des Fliehkraft-Sichtens kann man das Prinzip der Umlenk-Sichtung
ansehen (Folie 4.45.2b und e): Hier werden durch eine möglichst
scharfe Umlenkung der Strömung - i.d.R. weniger als eine Umdrehung -
die in der strömenden Luft enthaltenen Partikeln durch ihre je nach Masse verschiedene
Trägheit aufgefächert und separat entnommen.
Die vor allem großtechnisch weit verbreiteten Umluftsichter kombinieren
mehrere dieser Sichtprinzipien in einem Apparat.
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295
In Folie 4.45 und Folie 4.46 sind diese Möglichkeiten zusammenfassend schematisch
dargestellt.
Die fluidmechanischen Grundlagen zur Berechnung der theoretischen Trennkorngöße
d T sind für die Gleichgewichts-Sichtung im Schwerkraftfeld und im
Fliehkraftfeld (Spiralwindsichter) im Abschnitt 4.5.2 ausführlich dargestellt.
Effektive Trenngrenzen und Trennschärfen werden durch stoffliche und betriebliche
Größen, die in der Theorie nicht erfasst sind, jedoch stark beeinflusst,
so dass sie in der Regel aus gemessenen Trenngradkurven bestimmt werden
müssen.
So soll hier nur qualitativ auf die wichtigsten Eigenschaften dieser Klassierung
hingewiesen werden (Folie 4.46):
− Sichtungen im Schwerefeld eignen sich wegen der kleinen und - zumindest
im STOKESbereich - mit dem Quadrat der Partikelgröße abnehmenden
Sinkgeschwindigkeit nur für relativ grobe zu klassierende Stoffe. Als Untergrenze
lässt sich eine Partikel-Reynold-Zahl von etwa 1 ... 2 nennen. Dem
entspräche bei einer Feststoffdichte von 2500 kg/m³ (viele mineralische
Stoffe) in Luft bei ca. 20°C eine untere Grenzkorngröße von ca. 60 ... 65
µm. Für leichtere Produkte gelten höhere Werte der Untergrenze.
− Sichtungen von sehr feinkörnigen Produkten (1 ... 60 µm bei den genannten
Stoffwerten) müssen daher im Fliehkraftfeld (Folie 4.46) erfolgen.
− Gegenstromsichtungen führen prinzipiell zu einer Anreicherung des
Trennkorns in der Sichtzone, weil für die Trennkorngröße ein Gleichgewicht
der konkurrierenden Kräfte besteht (Gleichgewichts-Sichtung). Im
Schwerefeld kann die Einstellung der Trennkorngröße hier nur durch die
Veränderung der Strömungsgeschwindigkeit erfolgen. Unscharf wird die
Klassierung durch die
• Strömungstubulenz,
• das Geschwindigkeitsprofil über den Querschnitt des Trennrohres und
• die Dispersion (zufallsbedingte Bewegungen aufgrund gegenseitiger Stöße)
insbesondere der Partikeln, die sich in der Trennzone anreichern.
• Im Fliehkraftfeld ist - wie in Abschnitt 4.5.2.2, Gl.(4.422) bereits gezeigt
wurde - die Trennkorngröße d T radienabhängig, so dass hierdurch ein
weiterer Grund für eine systematische Trennungsschärfe vorliegt.
− Die Querstromsichtung (Folie 4.46) vermeidet die Trennkornanreicherung.
Hier kann die Trenngrenze unabhängig von Strömungsgrößen durch die Lage
einer Trennschneide (svw. Wehr) eingestellt werden. Außerdem sind bei
Anwendung mehrerer Schneiden auch mehrere Partikelklassen gleichzeitig
abzutrennen. Beim Querstromprinzip lassen sich die Trennbedingungen für
die einzelnen Partikeln leichter als beim Gleichgewichtsprinzip auf engem
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Raum und damit für alle Partikeln etwa gleich gestalten, so dass es in technischen
Sichtern häufig und in vielerlei Gestalt realisiert wurde.
− Im Abweiseradsichter ist die Trenngrenze durch die Kombination von
Luftvolumenstrom und Drehzahl des Rotors einstellbar. Der Rotor ist ähnlich
wie ein Ventilatoraufrad mit Leitschaufeln oder auch nur mit Stäben bestückt
und erzeugt in seiner Umgebung eine Drehströmung mit hoher Umfangsgeschwindigkeit.
Nur solche Partikeln, die der von außen durch den
Rotor strömenden Luft folgen können, werden innen als Feingut mit der
Luft ausgetragen. Die anderen werden durch die Zentrifugalkraft abgewiesen
und nach außen geschleudert.
4.5.4 Windsichter
In technischen Sichtern werden häufig Mischformen der beschriebenen Sichtprinzipien
verwirklicht.
Allgemein arbeitet ein Windsichter umso besser, je gleichmäßiger die Trennbedingungen
für jedes einzelne Partikel eingehalten werden können. Das heißt:
Sowohl Strömungs- wie Kraftfeld sollten zeitlich gleich bleibend (stationär)
und möglichst einfach und übersichtlich sein. Beim Windsichten sind dem eigentlichen
Trennen weitere Teilprozesse vor- und nachgeschaltet, deren optimale
Durchführung den Trennerfolg des gesamten Makroprozesses wesentlich
mitbestimmt. Diese sind nach LESCHONSKI (Folie 4.47):
a) die gleichmäßige und desagglomerierte Aufgabe des Gutes in den
Prozessraum, die entsprechende Dosier-, Dispergier- und Aufgabevorrichtungen
voraussetzt. Mit zunehmender Feinheit des Aufgabegutes gewinnt
das Dispergieren an erheblichem Gewicht für den Gesamtprozess.
b) das Trennen im Sichtraum;
c) das Abscheiden der Sichtprodukte aus dem Sichtluftstrom.
Zuerst ist die für den Trennprozess erforderliche Luftströmung zu erzeugen, zu
regeln und zu messen. Das Aufgabegut muss kontrolliert aufgegeben - dosiert -
werden, evtl. unter Zuhilfenahme der Sichtluft dispergiert und der Trennzone
zugeführt werden. Nach erfolgter Klassierung wird das Grobgut ohne Luft
entnommen, z.B. über eine Zellenradschleuse, während das Feingut von der
Sichtluft mitgenommen wird, mit einem Abscheider von ihr getrennt und ebenfalls
aus dem Prozess ausgetragen werden muss. Die Sichtluft kann abgeführt
oder als Umluft im Sichter verbleiben. Große Industrie-Sichter vereinigen alle
diese Teilprozesse in einer Maschine (z.B. Zyklon-Umluftsichter).
Der Durchsatz eines Windsichters lässt sich wie folgt abschätzen /5.32./:
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297
m = A ⋅u⋅ρ
⋅µ = A⋅
δ⋅ v ⋅ρ ⋅µ
. (4.439)
A
u
v sT
g
s,g
sT
Sichtraumquerschnitt
g
mittlere Strömungsgeschwindigkeit der Luft
s,g
stationäre Sinkgeschwindigkeit des Trennkorns im Schwerkraftfeld
m
s
µ
s,g
= Feststoffbeladung der Sichtluft (4.440)
m
g
u
δ = Geschwindigkeitsverhältnis (4.441)
v sT
Nur mit entsprechend hohen δ-Werten sind auch bei niedrigen Trennkorngrößen
befriedigende Durchsätze erzielbar. Mögliche Wege hierzu bestehen in
der Anwendung von Zentrifugalkraftfeldern oder im Einbringen des Klassiergutes
in Form eines Gutstrahls mit hoher Geschwindigkeit quer zum Sichtluftstrom
/5.29./.
Die Querschnittsfläche A eines Windsichters lässt sich im Hinblick auf die
Trennwirkung (Beherrschung der Strömungsverhältnisse einschließlich der
Makroturbulenz, gleichmäßige Gutverteilung u.a.) nicht beliebig vergrößern.
Die Feststoffbeladung µ s,g der Sichtluft sollte unter der Grenzbeladung liegen.
Letztere ist durch eine ausreichende Umströmbarkeit der Partikeln und die
Suspendierfähigkeit des Sichtluftstromes gegeben. Die zulässigen maximalen
Beladungen liegen etwa im Bereich von µ s,g = 200 bis 5000 g/kg - vorwiegend
um etwa 500 g/kg -, hängen von den Strömungsverhältnissen und damit auch
von der Sichterbauart ab und steigen mit der Trennkorngröße. Mit ρ g = 1,2
kg/m 3 für Luft und ρ s ≈ 2400 kg/m 3
µ
s,
g
m
=
m
s
g
ρsV
=
ρ V
g
s
g
ρsϕ
=
ρ
g
s,
g
V
=
( V
−V
) ρ ( 1−ϕ
)
s
ρ ϕ
g
s
s,
g
s,
g
(4.442)
erhält man gegenüber der Hydroklassierung vergleichsweise sehr geringe Feststoffvolumenanteile
µ
⋅ρ
/ ρ
s,g g s
ϕ
s,g=
= (0,01...0,025...0,25)%, (4.443)
1+µ
s,g⋅ρg
/ ρs
die sinnvoll der Dünnstromförderung ϕ s,g < 5,8% (s. BURKE u.a. S.290) zuzuordnen
sind.
Die Wirkungsweise eines Horizontalstromsichters entspricht dem in .2a dargestellten
Schema. Der horizontale Luftstrom lenkt die Partikeln entsprechend
ihrer Größe verschieden weit aus. Das Verhältnis δ = u/v sT gemäß Gl.(4.441)
beträgt bei diesen Sichtern etwa 0,5.
Die Sichtraumhöhe. der Abwurfwinkel und die Abwurfgeschwindigkeit sind
aufeinander abzustimmen.
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4.5.4.1 Schwerkraft-Windsichter
Schwerkraft-Windsichter finden wegen der erwähnten Beschränkung der
Trenngrenze nach unten vor allem für Reinigungsaufgaben (Getreide, Flocken,
Kunststoffgranulate) oder bei der Sortierung grobkörniger Stoffe Anwendung
(Kabelfälle, vorzerkleinerter Müll).
Folie 4.47.2 zeigt einen Steigsichter zur Reinigung von Getreide und Befreiung
von Kunststoffgranulaten von anhaftenden Stäuben und Fasern. In der Guteintragszone
bewegt sich der Feststoff zunächst quer zur senkrechten Aufwärtsströmung,
in den Sichtzonen darüber liegt Gegenstromsichtung vor.
Durch den ringförmigen Lufteintritt erfolgt eine Querstrom-Nachsichtung des
herabrieselnden Grobguts.
Horizontalstromsichter sind vor allem für Trennkorngrößen zwischen etwa
0,2 und 0,6 mm geeignet. Die Sichtluftbeladung darf bis zu etwa 1,5 kg/m 3
betragen.
Weiterentwicklungen des Prinzips der Querstromsichtung sind in Folie 4.48.1
dargestellt.
Beim Querstrom-Strahlwindsichter (Folie 4.48.1b) wird das Aufgabegut als
gerichteter Gutstrahl mit einer Geschwindigkeit zwischen etwa 10 und 200
m/s) zugeführt /5.29.//5.30.//5.33./. Infolgedessen ist der Schwerkrafteinfluss
vernachlässigbar, und die Klassierung erfolgt vor allem unter der Wirkung von
Widerstands- und Trägheitskraft. Sichter dieser Art sollen sich für Trennkorngrößen
zwischen d T = 10 bis 300 µm eignen, gute Trennschärfen und relativ
hohe Durchsätze erreichen.
Den Zickzacksichter (Folie 4.48.1c und 4.50) kann man als eine Kaskade von
Querstromsichtern auffassen. In jedem Glied des zickzackförmigen Trennkanales
bildet sich eine "Wirbelwalze" aus trennkornnahem Gut aus, in der das
nicht im Luftstrom suspendierte Gut herabrutscht und schließlich den Luftstrom
durchquert, wobei feinere Anteile ausgesichtet werden, die sich an der
"hängenden" Seite wieder aufwärts bewegen und erneut den Luftstrom durchqueren.
Das Feinkorn steigt mit der Luft nach oben, das Grobkorn rieselt weiter
nach unten. Nach unten hin reichert sich an jeder Innenkante das Grobgut an,
auf dem Wege nach oben das Feinkorn. Jeder Knick eines Zickzack-Kanals
bildet auf dieses Weise eine Trennstufe. Trotz der geringen Trennschärfe in
einer einzelnen Stufe ist wegen der Reihenschaltung (Kaskadenanordnung)
mehrerer Stufen eine hohe Trennschärfe gewährleistet (κ etwa 0,6 bis 0,8
(1/1,25 bis 1/1,7)). Schwerkraft-Zickzacksichter sind für Trennkorngrößen von
0,1 bis 10 mm geeignet.
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299
Durch die Parallelschaltung zahlreicher Zickzack-Kanäle lassen sich auch
hohe Durchsätze erreichen. Anwendung finden dieses Sichter z.B. in der Spanplattenindustrie
und beim Trennen von Kabelabfällen (Kupfer und Isolierung).
4.5.4.2 Zentrifugalkraft-Windsichter
Für die Partikelgrößenanalyse zwischen etwa 1,5 und 100 µm sind Zentrifugalkraft-Zickzacksichter
entwickelt worden, bei denen eine größere Anzahl
radialer Trennkanäle auf einem Rotor angeordnet ist und die Sichtluft vom
Umfang des Rotors angesaugt wird.
Auch die Streuwindsichter lassen sich zu den Querstromsichtern im weiteren
Sinne zählen. Sie sind weit verbreitet industriell eingesetzte Sichter. Sehr große
Produktmengen (mehrere Hundert t/h) z.B. in der Zementindustrie werden in
Kombination mit Mühlen in Umluftsichtern durchgesetzt. Folie 4.47.3 zeigt ein
Beispiel:
Das bei 12 über eine pneumatische Rinne 13 aufgegebene Gut wird vom rotierenden
Streuteller 1 gleichmäßig nach außen geschleudert und dabei dispergiert.
Der vom Ventilator 3 erzeugte Umluftstrom kreuzt diesen fast horizontal
fliegenden Gutschleier (Querstromsichtung) und nimmt dabei das Feingut mit
nach oben. Das Grobe gelangt nach außen zum Grobguttrichter 4 und rieselt
abwärts. Beim Leitschaufelkranz 11 wird das Grobgut von der wieder eintretenden
Umluft ein weiteres Mal im Querstrom nachgesichtet, bevor es über
den Grobgutauslauf 6 den Sichter verlässt. Das Feingut muss auf seinem Weg
durch die Trennzone noch eine weitere „Sichthürde“ passieren, das Gegenflügel-System
8. Hier wird durch die Art der Beschaufelung und durch die Drehzahl
im Wesentlichen die Trenngrenze des Sichters eingestellt. Das endgültige
Feingut gelangt dann mit dem Umluftstrom durch den Ventilator 3 in den äußersten
Sichtraum 9, wo es abgeschieden wird und über den Feinguttrichter 10
zum Austrag kommt.
Die in Folie 4.47.3 dargestellte konventionelle Bauart eines Streuwindsichters
arbeitet ebenfalls als reiner Umlaufsichter:
Das Gut wird von einem Streuteller in eine vertikale, meist schraubenförmig
verlaufende Luftströmung abgeworfen und dabei im Querstrom gesichtet. Die
Sichtluft strömt durch den Ventilator und wird zwischen Innen- und Außenzylinder
abwärts gedrückt. Schließlich gelangt sie durch das Leitschaufelsystem
wieder in den Sichtraum zurück. Der größere Teil des Feingutes scheidet sich
zwischen Innen- und Außenzylinder an der äußeren Wand beim Umlenken des
Luftstromes ab. Beim Passieren der Leitschaufeln wird das Grobgut nachgereinigt.
Die Luftströmung im Sichtraum und damit die Trennkorngröße können
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300
mittels der Ventilatordrehzahl sowie durch Drehzahl, Neigung und Zahl der
Flügel des Zentrifugalsystems verändert werden. Sichter dieser Art werden
bevorzugt für Trennkorngrößen zwischen 0,05 und 0,6 mm bei κ-Werten zwischen
0,33 bis 0,67 (1/1,5 und 1/3) eingesetzt.
Neuere Entwicklungen hatten zum Ziel, das Zentrifugalsystem getrennt vom
Ventilator anzutreiben sowie die Bauhöhe zu vermindern. Streusichter mit
äußerem Luftkreislauf (Folie 4.48.4) vermeiden die ungenügende Feingutabscheidung
bei den Umluftsichtern, in dem außer dem Ventilator auch die
Feinstaubabscheider (Aerozyklone) außerhalb des eigentlichen Sichtergehäuses
untergebracht sind. Die Trennkorngröße kann während des Betriebes mit Hilfe
von Drosselklappen in der Luftleitung und über die Drehzahl des Zentrifugalsystems
verändert werden. Sichter dieser Art werden vor allem in Kreisläufen
zur Mahlung von Zementklinkern eingesetzt.
In der Absicht, bei der Zementsichtung die Strömungsverhältnisse und die
Gutbeladung im Sichtraum weiter zu stabilisieren, entstand in neuerer Zeit der
O-SEPA-Sichter (Folie 4.48.5) /5.34./. Das Aufgabegut gelangt durch die
Aufgaberohre (1) auf den Streuteller (2), der es radial abwirft und mit Hilfe des
Pufferringes (3) in den Ringraum zwischen den Schaufelsystemen (4) und (5)
verteilt. Die primäre Sichtluft, die mittels Ventilators erzeugt wird, tritt tangential
durch den Kanal (6) und das Leitschaufelsystem (4) in den Ringraum ein.
Mit Hilfe eines sekundären Sichtlufteintrittes (7) wird die Umlaufströmung
weiter stabilisiert. Die im Sichtluftstrom suspendierten feinen Partikeln werden
von diesem nach innen und aufwärts zum Feingutaustrag transportiert, wobei
beim Passieren des den Aufstrom erzeugenden Schaufelsystems (5) eine Nachsichtung
erfolgt. Die groben Partikeln fallen in den unteren Konus (7), wobei
diese ebenfalls mit tertiärer Sichtluft nachklassiert werden.
Auch bei den Abweiseradsichtern wird das Ziel verfolgt, durch beschaufelte
Rotoren stabilere Sichtbedingungen zu erzielen. Einer der bekanntesten Windsichter
dieser Art ist der HOSOKAWA MICRON SEPARATOR (Folie 4.47.4
und Folie 4.49.6). Die zu sichtende Aerosuspension wird mittels nachgeschaltetem
Ventilator in den Sichtraum (1) eingesaugt. Dort befindet sich der
beschaufelte, stufenlos regelbare Rotor (2). Das Sichtgut prallt gegen die
Schaufel, wodurch das Zerstören von Agglomeraten gefördert wird. Das im
Luftstrom suspendierte Feingut gelangt durch den Rotor zum Feingutaustrag.
Das Grobgut fällt nach unten aus, wobei auch hier wieder eine Nachsichtung
mittels sekundärer Sichtluft geschieht. Erzielbar sind Trennkorngrößen zwischen
etwa 5 und 150 µm.
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301
Von den Gegenstromsichtern (Folie 4.49.7) ist ebenfalls eine größere Zahl
von Bauarten eingeführt. Charakteristisch für Schwerkraft-Gegenstromsichter
(Aufstromsichter Folie 4.49.8) ist ein senkrechter oder zumindest steil geneigter
Sichtkanal, in dem die Luft aufströmt und dem das Sichtgut etwa in halber
Höhe von der Seite zugeführt wird. δ = u/v sT beträgt bei diesen Klassierern 1
bis 2. Relativ hohe Trennschärfen sind für Trennkorngrößen 0,3 bis 0,6 mm
erzielbar, wobei die Luftbeladung 0,5 kg/m 3 nicht übersteigen sollte.
In Spiralwindsichtern wird die Gegenstromsichtung im Zentrifugalkraftfeld
verwirklicht. In Folie 4.49.9 ist die Bauart MICROPLEX der ALPINE AG dargestellt
/5.35/. Das Sichtgut gelangt aus dem Fallschacht (1) auf die Leitschaufeln
(3). Die tangential von außen zugeführte Luft tritt durch die Leitschaufeln
in den Sichtraum (2) ein und strömt auf Spiralbahnen in den flachen, zylindrischen
Klassierraum nach innen. Gröbere Partikeln gleiten über die Leitschaufeln
zur Schneide (4) und werden von der Schnecke (5) zum Grobgutaustrag
gefördert. Um Wandreibungen weitgehend auszuschalten, rotieren die Sichtraumwände
mit der mittleren Tangentialgeschwindigkeit der Luftströmung. Die
Trennkorngröße eines Spiralwindsichters lässt sich aus dem Gleichgewicht der
an einem Partikeln angreifenden Zentrifugalkraft und der radial nach innen
gerichteten Komponente der Widerstandskraft der Strömung berechnen. Die
Trennkorngröße hängt von der Anstellung der Leitschaufeln, dem Sichtraumdurchmesser
und der Ventilatordrehzahl ab. Mit Sichtern dieser Bauart lassen
sich Trennkorngrößen von 2 bis 50 µm realisieren.
Auch bei den Zentrifugalkraft-Gegenstromsichtern ist in neuerer Zeit der
Stabilisierung der Strömung mittels Rotoren im Prozessraum erhöhte Aufmerksamkeit
beigemessen worden. Dies kommt z. B. bei dem in Folie 4.49.10 dargestellten
Turbosichter (NISSHIN ENGINEERING Co., Ltd., Tokio) zum
Ausdruck. Er arbeitet unter Saugstrombedingungen, wobei etwa 90 % der Luft
durch den Sichtlufteintritt (1) und 10 % durch den Sichtguteintritt (2) angesaugt
werden. Der Gutaufgabe lässt sich eine Dispergierdüse vorschalten. Das
Gut gelangt dann auf der als Streuteller (4) ausgebildeten Oberseite des Rotors
(3) nach außen und wird in den Sichtraum abgeworfen. Mittels der Schaufelsysteme
(5) und (6) erhält die eintretende Luftströmung die für die Trennung
erforderliche tangentiale Geschwindigkeitskomponente. Die Trennung vollzieht
sich wie beim Spiralwindsichter unter der Wirkung von Zentrifugalkraft
und nach innen gerichteter Komponente der Widerstandskraft. Mit Sichtern
dieser Art sollen Trennkorngrößen bis zu etwa 1 µm herab realisierbar sein.
Zwei Zusatzkapitel:
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302
4.6 Mehrstufige turbulente Querstrom-Aerotrennung im Zick-Zack-
Kanal
Den gesamten Manuskripttext mit zusätzlichen Bildern findet man in den gesonderten
Dateien: MVT_e_4_6neu.doc bzw. MVT_e_4_6neu.pdf.
• Stömungssimulation ohne Partikel siehe Folie 4.50,
• RI-Fließbild der Versuchsanlage siehe Folie 4.51,
• Aufstellungsplan der Versuchsanlage siehe Folie 4.52.
4.6.1 Stationäre Partikelanzahlkonzentrationsverteilung
• Übersicht über Voraussetzungen der Lösung der Fokker-Planck-
Gleichung für das mehrstufige turbulente Querstromtrennmodell siehe
siehe Folie 4.53,
4.6.2 Trennfunktion für die mehrstufige Trennung
4.6.2.1 Trennfunktion, Trennmerkmale und Trennschärfe
• Herleitung der Mehrstufen-Trennfunktion siehe Folie 4.54.
• Darstellung der Mehrstufen-Trennfunktion siehe Folie 4.55.
4.6.2.2 Wirksame Trennstufenzahl und Trennstufen-Ausnutzungsgrad
• Wirksame Trennstufenzahl und Trennstufen-Ausnutzungsgrad siehe
Folie 4.55,
• Trennschärfe in Abhängigkeit von der Stufenzahl siehe Folie 4.56
4.6.2.3 Prozessbewertung mehrstufiger Querstromtrennungen
• Allgemeine Übersicht über die wesentlichen Prozessbewertungsgrößen
mehrstufiger Querstromtrennungen siehe Folie 4.57,
• Modellvergleich mit Klassierversuchen für die mehrstufige turbulente
Querstrom-Windsichtung siehe Folie 4.58,
• Energetische Bewertung einer mehrstufigen turbulenten Trennung im
Zick-Zack-Kanal siehe ebenfalls Folie 4.58,
• Mehrstufige Aerosortierung von Beton-Ziegel-Bruch siehe Folie 4.59,
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303
• Mehrstufige Aerosortierung einer Beton – Ziegel - Gummigranulat –
Mischung siehe Folie 4.60,
• Zusammenfassung und Ausblick des Kapitels 4.6 siehe Folie 4.61.
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4.7 Staubabscheiden
304
4.7.1 Entstauben
Bei verfahrenstechnischen Prozessen, an denen trockene Stoffe beteiligt sind -
einschließlich des Förderns und Lagerns -, lässt sich das Aufwirbeln von Staub
unterschiedlicher Feinheit und damit das Entstehen von Staub-Luft-Gemischen
(Aerosuspensionen) praktisch nicht vermeiden, wobei vor allem Partikelgrößen
von 0,1 µm bis etwa 1000 µm anfallen. Ohne entsprechende Maßnahmen würden
sich deshalb meist unzumutbare Arbeitsplatzbedingungen ergeben. Darüber
hinaus kann eine ungenügende Entstaubung auch nachteilige Folgen für
die technische Ausrüstung haben (z.B. Erhöhen des Verschleißes). Der Gesichtspunkt
der Rückgewinnung von Wertstoff mittels Entstaubung kann ebenfalls
bedeutsam sein (Folie 4.62).
Die Entstaubungstechnik befasst sich mit den Prozessen und Ausrüstungen, die
eine Phasentrennung fest-gasförmig bewirken.
Hinsichtlich der räumlichen Zuordnung von Entstaubungsanlagen gibt es zwei
Möglichkeiten:
a) die an den Stauberzeugern entstehende Aerosuspension wird abgesaugt und
einem zentral angeordneten Abscheider bzw. System von Abscheidern zugeführt;
b) die Phasentrennung der Aerosuspension erfolgt dezentral unmittelbar am
Stauberzeuger, wobei die abgeschiedenen Staubteilchen wieder in den
stauberzeugenden Gutstrom ausgeschieden werden.
In Folie 4.63.1 ist das Blockfließbild einer Entstaubungsanlage entsprechend
Variante a) dargestellt: Die Staubabsaugung am Stauberzeuger erfolgt mit entsprechenden
Trägerluftmengen. Durch eine Rohgasleitung wird die Aerosuspension
der Staubabscheidung zugeleitet. Die Staubabscheidung kann in einem
oder in mehreren hintereinander geschalteten Apparaten vorgenommen werden.
Im ersten so genannten Grob- oder Vorabscheider wird eine Teilabscheidung
der Partikel realisiert. Im nachgeschalteten Feinabscheider wird dann die so
genannte Endreinigung der Gase auf die gewünschte Staubkonzentration
durchgeführt. Die maximal zulässigen Konzentrationen nichttoxischer Stäube
in der Luft am Arbeitsplatz und die Bedingungen für deren Bestimmung waren
durch die TGL 22 311/01 und 32 601/01 festgelegt, Tabelle 4.10.
Im Anschluss an den Entstauber wird das gereinigte Gas im allgemeinen durch
die Reingasleitung zu einem Gebläse geleitet und von dort entweder ins Freie
oder zu einer Verwendungsstelle geführt.
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305
Entstaubungsanlagen dieser herkömmlichen Art sind technisch aufwendig und
stellen in vielen Fällen einen erheblichen Kostenfaktor bei der trockenen Verarbeitung
körniger Stoffe dar. Sie sind jedoch technisch ausgereift und beherrschen
heute weitgehend die Entstaubungstechnik.
Tabelle 4.10: Maximal zulässige Konzentration nichttoxischer Stäube in der
Luft am Arbeitsplatz
a) Nach TGL 22 311/01 (gültig ab 01.06.1978 für nichttoxische Stäube in bestehenden
Betrieben (nicht gültig für asbesthaltige Stäube)):
MAK D maximal zulässige Arbeitsplatz-Dauerkonzentration während 8 ¾ h;
MAK K maximal zulässige Arbeitsplatz-Kurzzeitkonzentration über 30 min während
der höchsten Konzentration innerhalb der täglichen Arbeitszeit.
Staubgrupptallinem
Beispiele
Gehalt an kris-
MAK D MAK K
SiO 2 in cm -3 cm -3
Ma %
I Quarz, Sandstein, Grauwacke
> 50 100 300
II Granit, Quarzporphyr, 20 ... 50 250 500
Tonschiefer
III Diorit, Syenit, Steinkohle
5 ... 20 500 1000
Kaolin, Tone
IV Basalt, Kalkstein, Gips < 5 800 1500
Zement, Braunkohle
V Eisen, Messing, Kunststoffe
- 800 1500
Als Staubmessgerät ist hierfür das Konimeter anzuwenden
b) Nach TGL 32 601/01 (gültig ab 1.1.1978 für die maximal zulässige Konzentration
von Aerosolen mit vorwiegend fibrogener Wirkung in unter Projektierung
oder Rekonstruktion stehenden Betrieben):
Aerosole MAK K in mg/m 3
Aerosole mit > 70 % kristallinem SiO 2 1
Aerosole mit 10 bis 70 % kristallinem SiO 2 2
Aerosole mit 2 bis 10 % kristallinem SiO 2 4
Aerosole mit < 2 % kristallinem SiO 2 10
MAK D in mg/m 3
a) für fibrogene Substanzen (Quarz, Cristobalit, Tridymit) 0,1
b) für inerte Substanzen ohne spezifische Wirkung 0,5
Zur Probenahme dient ein zweistufiges Gravimeter (Zyklon mit nachgeschaltetem
Filter)
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306
In neuerer Zeit werden aber verstärkte Anstrengungen unternommen, um billigere
dezentrale Entstaubungsanlagen entsprechend obiger Variante b) zu erstellen.
Zum Beispiel kann bei geringer Zahl weit voneinander entfernter Stauberzeuger
eine Absaughaube mit unmittelbar aufgesetztem Entstauber vorteilhaft
sein. Besonders effektiv ist bei offenen Stauberzeugern die Abscheidung durch
Besprühen der Aerosuspension mit Wasser (Heterokoagulationstrennung).
Hierbei gelingt es, durch Verwendung spezieller Sprühdüsen sowie durch hydrophilierende
Zusätze mit sehr geringen Wassermengen (< 0,5 Masse-%
bezogen auf den zu entstaubenden Gutstrom) auszukommen.
4.7.2 Staubabsaugung
Bei der Gestaltung der Absaugung und Förderung des Staub-Luft-Gemisches
ist davon auszugehen, die Stäube am Ort der Entstehung möglichst vollständig
zu erfassen und mit niedrigem Energiebedarf, d.h. geringem Druckverlust, zu
fördern. Für die Stauberfassung dienen Absaughauben, die an den stauberzeugenden
Ausrüstungen angebracht werden. Die Luftgeschwindigkeit an der Saugöffnung
des Absaugstutzens soll etwa 0,5 bis 3 m/s betragen. Entsprechende
Saugquerschnitte lassen sich durch eine geeignete Ausbildung der Hauben anpassen.
Lösungsmöglichkeiten bei der Gurtbandförderung gibt Folie 4.63.2
wieder. In Abhängigkeit vom Durchsatz der zu entstaubenden Ausrüstungen
sind etwa die in Tabelle 4.11 angegebenen Absaugeluftmengen vorzusehen.
Die Volumenströme für das Staub-Luft-Gemisch sind so auszulegen, dass kein
Absetzen der Partikeln erfolgt. In horizontalen Leitungen sollte die Strömungsgeschwindigkeit
etwa 15 bis 20 m/s betragen. Ist die Staubabsaugung
an den einzelnen Ausrüstungen nicht ausreichend wirksam, so ist eine
Raumentstaubung zu erwägen.
Tabelle 4.11: Abzusaugende Luftmengen für die Entstaubung
Absaugort
Luftvolumenstrom
V in m³/min
Übergabestellen von Gurtförderern 10 ... 40
Becherwerke 10 ... 40
Bunker 10 ... 30
Zerkleinerungsmaschinen 15 ... 150
Magnetscheider 30 ... 40
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013

4.7.3 Staubabscheidung
307
In Folie 4.64.4 sind schematisch die Wirkprinzipien für die Abscheidung von
Staubteilchen aus einer Aerosuspension dargestellt:
- Querstrom- und Gegenstromtrennungen in Schwerkraft-, Zentrifugalkraftund
elektrischen Feldern,
- Ausnutzen der Massenträgheit der Partikeln (Umlenk- und Pralleffekte),
- Filtern der Aerosuspension,
- Heterokoagulationstrennung, wobei die Staubteilchen an Flüssigkeitstropfen
gebunden werden.
Die Grundlagen für die Modellierung der entsprechenden Prozesse der Staubabscheidung
wurden für die Querstrom- und Gegenstromtrennung im Abschnitt
4.3 behandelt. Zu ergänzen ist jedoch noch, dass bei Staubabscheidungsprozessen
auch die Bewegung sehr feiner Partikeln (etwa d < 1 µm) zu
betrachten ist. Sobald die mittlere freie Weglänge λ g der Gasmoleküle von der
Größenordnung der Partikelndurchmesser d oder größer ist, darf das Gas im
Vergleich zu den Partikeln nicht mehr als Kontinuum betrachtet werden. Die
hierfür maßgebende Kennzahl ist die KNUDSEN-Zahl Kn:
λ g
Kn = . (4.444)
d
Für λ g gilt nach der kinetischen Gastheorie:
k T η
λ = g
π 0,499u
ρ
. (4.21)
d M
B
=
2d
2 M
p
M
Moleküldurchmesser
g
k B = 1,38*10 -23 J/K BOLTZMANN-Konstante (= R/N A s. auch Gl.(1.34))
p, T Druck bzw. absolute Temperatur des Gases
u mittlere Schwankungsgeschwindigkeit der Gasmoleküle (= 485 m/s für
M
Luft bei θ = 0°C)
Theoretische und experimentelle Untersuchungen haben gezeigt, dass der
Strömungswiderstand mit zunehmender KNUDSEN-Zahl kleiner wird. Im Bereich
0,1 < Kn < 1000 und Re < 0,25 lassen sich die bekannt gewordenen Messergebnisse
der Widerstandszahl c W durch folgende Gleichung approximieren (
d < 0,5 µm):
cW,St
cW =
. (4.24)
⎡
⎛ 0,55 ⎞⎤
1 + Kn ⋅ ⎢2,514
+ 0,8 ⋅ exp⎜
− ⎟⎥
⎣
⎝ Kn ⎠⎦
Die Beurteilung der Prozessgüte des Trennergebnisses erfolgt wie bei der
Stromklassierung durch die Trennfunktion des Grobgutes (Fraktions- oder Stu-
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fenentstaubungsgrad). In vielen Fällen genügt die Angabe des sog. (Gesamt-
)Abscheidegrades R m , der als Feststoffmasseausbringen des Staubabscheiders
definiert ist:
R
m
cs,g,roh
− cs,g,rein
µ
s,g,roh
− µ
s,g,rein
= =
. (4.445)
c
µ
s,g,roh
s,g,roh
c s,g,roh , c s,g,rein Staubkonzentrationen im Roh- bzw. Reingas in g/m 3
µ s,g,roh , µ s,g,rein Staubbeladungen im Roh- bzw. Reingas in g/kg
Die Ausrüstung zur Staubabscheidung werden üblicherweise unterteilt in
Schwerkraft-, Zentrifugalkraft- und elektrische Abscheider, in denen vor allem
Querstromtrennungen durchgeführt werden, sowie Filtrationsabscheider und
Nassscheider nach dem Prinzip der Heterokoagulationstrennung. Orientierungswerte
zu den Einsatzbereichen der wichtigsten Abscheider sind aus Tabelle
4.12 zu ersehen:
Tabelle 4.12: Einsatzbereiche von Staubabscheidern
Prozessdaten
Zentrifugal- elektrische Filtrationsabscheidescheider
Nassab-
abscheider Abscheider
hohe Fraktionsabscheidegrade
T i → 1 für Partikelgrößen
> 10 > 1 > 0,5 > 0,1
d i in µm
Rohgasstaubbeladung
c s,g,roh in g/m³
< 1000 < 50 < 100 < 10
erzielbare Reingasstaubbeladung
c s,g,rein in 100 ... 200 < 50 < 30 50 ... 100
mg/m 3
Druckverlust ∆p in Pa 300... 2500 50 ... 150 500...1500 100...1000
max. Gastemperatur θ g
in °C
Rohgasdurchsatzbereich
V in m³/h
450 450 (1000) 140 (350) 300
3000... 10 000... 1000... 3000...
200 000 300 000 100 000 100 000
4.7.3.1 Schwerkraftabscheider
Das Trennprinzip der Schwerkraftabscheider ist den Darstellungen auf Folie
4.64.4a bis d zu entnehmen. Die Gasgeschwindigkeit wird durch Querschnittserweiterung
in den Absetzkammern stark herabgesetzt. Der Abscheidevorgang
- vornehmlich gröberer Partikeln - wird durch die Schwerkraft bewirkt als
Querstromtrennung in einer Staubabsetzkammer oder als Staubbunker, aus
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denen sie periodisch oder kontinuierlich entnommen werden. Wird die Aerosuspension
im Abscheider zu einer oder mehreren Richtungsänderungen gezwungen,
so zeigt sich ein besserer Abscheideeffekt als bei der alleinigen
Schwerkraftabscheidung. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Partikeln
beim Umlenken der Strömung infolge ihrer Trägheit in wandnahe Bereiche
dringen und dadurch der Hauptströmung entzogen werden.
4.7.3.2 Zentrifugalkraftabscheider
Die wichtigsten Zentrifugalkraftabscheider sind die Aerozyklone, die hinsichtlich
des prinzipiellen Aufbaues und der Arbeitsweise den Hydrozyklonen entsprechen
Folie 4.65.5. In Folie 4.65.6 sind verschiedene Bauarten von Aerozyklonen
dargestellt, die entweder einen tangentialen oder einen axialen Gaseintritt
besitzen. Das erstere ist bei Einzelzyklonen üblich, während vom letzteren
vielfach bei Multizyklonanordnungen Gebrauch gemacht wird.
Unabhängig vom Gaseintritt entsteht im Zykloninnern - wie beim Hydrozyklon
- eine äußere abwärts gerichtete Wirbelströmung. Davon werden infolge der
Drosselwirkung des unteren konischen Teiles laufend Volumenelemente zu
einer inneren, aufwärts gerichteten Wirbelströmung umgelenkt. Wie beim Hydrozyklon
sind die Strömungsverhältnisse kompliziert und die mathematische
Erfassung nur nach entsprechenden Vereinfachungen möglich.
Es ist zweckmäßig, die um die Zyklonachse symmetrische räumliche Strömung
in die Tangential- oder Umfangskomponente u tg = u ϕ , die Radialkomponente u r
und die Axialkomponente u ax zu zerlegen. u tg nimmt von außen nach innen zu
u
n
⋅ r const.
mit n = 0,5 bis 0,7 (4.225)
tg
=
und fällt dann im Wirbelkern wieder ab. Die Radialkomponente u r ist im Außenteil
nach innen gerichtet, die Axialkomponente u ax , im äußeren Teil nach
unten und im inneren nach oben.
Die Turbulenz der Aerozyklonströmung beeinflusst in hohem Maß die Staubabscheidung.
Hierbei muss beachtet werden, dass der Turbulenzgrad in der
Einlaufdüse bzw. der Zuführungsrohrleitung höher liegt als im Zykloninnern.
Dies erklärt sich aus der Erscheinung der Turbulenzdämpfung in Zentrifugalströmungen.
Im Vergleich mit dem Hydrozyklon ist zu vermerken, dass wegen
der höheren Dichtedifferenz (ρ s - ρ g ) entsprechend niedrigere Feststoffbeladungen
µ = m
/ m
der turbulenten Strömung möglich sind. Mit wachsender
s,g
s
g
Staubbeladung wird die Turbulenz der Transportströmung durch den Staub
gedämpft, bis oberhalb der so genannten Grenzbeladung die gesamte über-
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schüssige Masse des Staubes ausfällt. Für die Grenzbeladung im Aerozyklon
gilt die empirische Beziehung:
s,g,G
( d / d ) 1, 5
µ ≈ 0,1
⋅ . (4.446)
d T
d m,3
T
m,3
Trennkorngröße des Aerozyklons
mittlere Partikelgröße des Staubes
Beziehungen, die mehr Einflussgrößen berücksichtigen, können der Fachliteratur
entnommen werden [s. LÖFFLER Staubabscheiden], z.B.:
λ
D
D
W
o
µ
s,g,G
=
(4.447)
2 ⎛ Do
⎞ u
tg,ou
tg
2 ρ
sd50,3⎜1
− ⎟ ⎠
⎝
η
D
D Zyklondurchmesser
D o
u tg,o
u tg
Tauchrohrdurchmesser
Tangentialgeschwindigkeit am Tauchrohr
Tangentialgeschwindigkeit am Zyklonmantel
mit dem Wandreibungsbeiwert (= 0,005 für feststofffreie Gasströmung)
W=
,0051 2
( + )
λ 0 µ für µ s,g < 1 kg/kg bzw. (4.448)
W
3
s,g
( + )
λ = 0 ,0051 µ für µ s,g > 1 kg/kg. (4.449)
s,g
Bei niedrigen Staubbeladungen des Rohgases (etwa < 10 g/m³ bzw. < ≈10
g/kg), wie sie bei vielen Entstaubungsproblemen vorliegen, werden die Staubpartikeln
von der Zyklonenströmung getragen. Für die Beschreibung dieses
Trennvorganges geht man im allgemeinen vom Modell der Gegenstromklassierung
aus, d.h., für die Partikeln mit der Trennkorngröße d T wird die Sinkgeschwindigkeit
v sT im Zentrifugalkraftfeld gleich der Radialkomponente u r des
Fluids im Aerozyklon gesetzt. Partikeln mit v s > v sT sollten an der Zyklonwand
ausgeschieden, die mit der Sinkgeschwindigkeit v s < v sT vom Gasstrom ausgetragen
werden. Das reale Trennverhalten wird aber auch hierbei durch Trennkurven
T(d) (Fraktionsabscheidegrad-Kurven) beschrieben.
Vielfach geht man von dem vereinfachten Trennmodell v sϕT = u r aus und weiterhin
davon, dass das Grenzkorn auf der Oberfläche eines gedachten Trenn-
Zylinders rotiert, der vom Tauchrohr bis zum unteren Zyklonenende reicht
[nach BARTH]. Alle Partikeln, die größer als das Grenzkorn d T sind, werden
abgeschieden. Kleinere gelangen mit dem Gasstrom ins Feingut zum Überlauf
hinaus. Somit ergeben sich die Tangentialgeschwindigkeit (≈ 10 .. 30 m/s)
a
z
2
2
u
tg,o
2 ⋅ u
tg,o
= z ⋅g
= =
(4.450)
R D
o
o
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mit der den Gasdurchsatz bestimmenden mittleren Radialgeschwindigkeit -
gewöhnlich nur einige cm/s
u
r,o
V
=
πD
h
u tg,o ; u r,o
D o
D
h o ≈ 3 D
V
o
o
. (4.451)
Tangential-/Radialgeschwindigkeit auf der gedachten Trenn-
Zylindermantelfläche von Tauchrohr bis Zyklonunterlauf
Durchmesser des Tauchrohres
Zyklondurchmesser
Abstand des Tauchrohres vom Zyklonunterlauf
Gasvolumendurchsatz
Für das Verhältnis aus Tangential- oder Umfangsgeschwindigkeit zur mittleren
Axialgeschwindigkeit im Tauchrohr erhält man mit:
4V
uo= (4.452)
πD
u
u
tg,o
o
2
o
⎛
⎜ ⎜ = α
⎜
⎜
⎝
i
4D h
πD
i i
2
o
⋅
Do
4Di
h
i
+ λ
2(D + h )
i
i
W
⎞
⎟
2h ⎟
D ⎟
o
⎟
⎠
−1
⎛
=
⎜α
⎝
i
2(Di
+ h
i
)
+ λ
πD
α i Einlaufbeiwert (4.453)
D i
h i
Einlaufbreite bei Schlitzeinlauf
Einlaufhöhe
E int rittsdrehimpuls u
iDiρ
V
g
α =
=
Hauptströmungsdrehimpuls u Dρ
V
u tg
i
=
tg
g
u
u
i
tg
o
W
2h
D
o
⎞
⎟
⎠
−1
Di
. (4.454)
D
Tangential- bzw. Umfangsgeschwindigkeit im Zyklonzylinder bei D
Aus Gründen der Drehimpulserhaltung bei reibungsfreier Rotationsströmung
müsste α i = 1 sein. Dieser wird jedoch durch die Wandreibungsverluste modifiziert
(hier für den Schlitzeinlauf):
0,5 0,45
⎛ 4Di
h ⎞
i ⎛ 2Di
⎞
1−
0,36 ⋅
⎜
2
⎜ ⎟
D
⎟
π
o ⎝ D ⎠
α
i=
. (4.455)
⎝ ⎠
Setzt man in das vereinfachte Trennmodell die STOKES-Formel für die stationäre
Sinkgeschwindigkeit ein und berücksichtigt die Gln.(4.450) und (4.451)
sowie einen Anpassungsfaktor von 1,3 [nach MUSCHELKNAUTZ], so erhält
man:
d
T
= 1,3 ⋅
9 ⋅η
⋅D
r,
o
2
( ρ − ρ ) ⋅u
s
g
o
⋅u
tg , o
(4.456)
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mit Gl. (4.225), D/D o ≈ 3, h o /D o ≈ 5, h/D o ≈ 6, D i /D ≈ 0,14, A i /A o ≈ 0,9 (Folie
n
u
,
= D / D ⋅u
folgt die Auslegungsgleichung
4.65.7) sowie n ≈ 0,5 und
tg o
(
o
)
tg
für die Trennkorngröße eines Aerozyklons
d
T
2n
2
9 ⋅η Ai
⎛ Do
⎞ 1
= 1,3 ⋅
⋅ ⋅⎜
⎟ ⋅
π ⋅( ρ − ρ ) h ⎝ D ⎠ V
. (4.457)
s
g
o
A = D ⋅ h Querschnittsfläche der Zyklonaufgabe (Einlaufkanal, i = input)
i
i
i
Mit dieser Auslegungsgleichung kann einfach die Berücksichtigung von
d 2 ,2⋅
T =
η
( ρ −ρ ) ⋅
s
g
A
h
2
i
o
2n
⎛ Do
⎞
⋅⎜
⎟
⎝ D ⎠
⋅
1
V
Prozesszielgröße
Konstante
Stoffeinflussgrößen
Apparategeometriegrößen
Prozessgrößen
dargestellt werden. Damit lassen sich nun beispielhaft folgende Abschätzungen
zur Prozessverbesserung vornehmen:
n
1
Wegen dT ∝ D o
und d T
∝ lässt sich wie beim Hydrozyklon eine bessere
V
Abscheidung bei geringerer Trennkorngröße durch kleinere Zyklone - hier
durch kleinerem Tauchrohrdurchmesser D o und/oder höherem Gasdurchsatz
bewerkstelligen.
Dem stehen jedoch weitere wesentliche Prozesszielgrößen wie ein erhöhter
Druckverlust
∆p
= ξ
ges
ρg
u
2
2
o
= 8ξ
ges
ρ
g
2
V
2
π D
u o mittlere Gasgeschwindigkeit im Tauchrohr
ξ ges gesamter Druckverlustbeiwert
und ein erhöhter Leistungsbedarf entgegen:
4
o
4
o
(4.458)
3
V
P = ∆pV
= 8ξ
gesρg
2
π D
. (4.459)
3
Wegen P ∝ V
6
folgt mit Gl.(4.457) P ∝ 1/ d T
, d.h. die Absenkung der Trennkorngröße
d T um die Hälfte durch Vervierfachung des Gasdurchsatzes V bedeuten
das 16-fache des Druckverlustes ∆p und eine 2 6 = 64-fache Steigerung
des notwendigen Leistungsbedarfes P eines Lüfters.
Der gesamte Druckverlustbeiwert setzt sich aus der Summe der Beiwerte für
Verluste in der Einlauf-, Zyklonhaupt- und Tauchrohrströmung (mit den
Gln.(4.448), (4.449), (4.453) und (4.455)) zusammen:
ξ =ξ +ξ + ξ mit (4.460)
ges
i
Z
o
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- Schlitzeinlauf ξ i≈0
2
⎛ u
tg,o ⎞ D ⎡ u
o
tg,o 2h ⎤
- Zyklonhauptströmung ξ
Z=
⎜ ⎢1
W ⎥
u
⎟ ⋅ ⋅ −λ
(4.461)
⎝ o ⎠ D ⎣ u
o
Do
⎦
−1
313
- Tauchrohrströmung
o
4 / 3
⎛ u ⎞ ⎛ u ⎞
ξ = + ⋅⎜
⎟ + ⎜ . (4.462)
2
tg,o
tg,o
3 ⎜ u ⎟ ⎜
o
u ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ o ⎠
2
Die Tauchrohrströmung liefert gewöhnlich den größten Anteil am Gesamtdruckverlust.
Der Gesamtabscheidegrad R m lässt sich dann mit Hilfe der Trennkurve T(d)
für gewöhnlich tangentialen Einlauf
−1,235
−3,564
d ⎤
T(d) 1 2
⎥
⎢ ⎢ ⎡ ⎛ ⎞
= + ⋅
⎜
1,3 d ⎟
(4.463)
⎣ ⎝ ⋅ T ⎠ ⎥⎦
sowie der Partikelgrößenverteilung Q 3 (d) des Staubes wie folgt berechnen:
N
∑
i=
1
( 1,3d
)
R = T ⋅ ∆Q
≈ 1−
Q . (4.464)
m
i
3,i
3
T
Q 3 (1,3 d T )
Quantil der Partikelgrößenverteilungsfunktion des Staubes bei
der Partikelgröße 1,3 d T .
Bei höheren Staubgehalten kommt es beim Eintreten des Rohgases in den Zyklon
infolge Turbulenzdämpfung zu einem plötzlichen Überschreiten der Grenzbeladung
und damit zu einer Teilabscheidung des Feststoffes. Es tritt eine ausgeprägte
Bildung von Strähnen ein, die in großen Spiralen an der Wand herunterlaufen.
Für diese Teilabscheidung lässt sich setzen:
µ
s,g,G
R
m1
= 1−
für µ
s,g,roh
> µ
s,g,G
. (4.465)
µ
s,g,roh
Das in den eigentlichen Trennraum eintretende, mit µ s,g,,G beladene Gas ist dort
den gleichen Trennvorgängen ausgesetzt wie ein von Anfang an gering beladenes,
d.h., für diese Teilabscheidung lassen sich die Gln. sinngemäß anwenden.
Dann folgt für den Gesamtabscheidegrad R m unter der Voraussetzung, dass
an der Abscheidung gemäß Gl. (4.465) alle Partikelgrößenklassen proportional
ihrer Massenanteile beteiligt sind:
⎛ µ ⎞ µ
N
µ
N
s,g,G s,g,G
s,g,G ⎛
⎞
R
⎜ ⎟
m
= R
m1
+ R
m2
= 1−
+ ∆ = − ⎜ ∆ −
∑ Ti
Q3,i
1 ∑ Ti
Q3,i
1⎟
⎝ µ
s,g,roh ⎠ µ
s,g,roh i=
1
µ
s,g,roh ⎝ i=
1 ⎠
R
m
µ
s,g,G
≈ 1−
⋅ Q3( 1,3 ⋅ dT
). (4.466)
µ
s,g,roh
Wegen µ s,g,roh > µ s,g,G steigt folglich der Gesamtabscheidegrad und damit die
Prozessgüte.
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314
Die Reststaubbeladung des Reingases µ s,g,rein folgt dann aus dem Gesamtabscheidegrad
R m nach Gl. (4.445) und der Grenzbeladung nach Gl. (4.447):
s,g,rein
s,g,roh
( 1−
R ) = µ ⋅ Q ( 1,3 ⋅ d )
µ = µ ⋅
. (4.467)
m
s,g,G
3
Größere Aerozyklone werden meist als Tangentialzyklone ausgeführt. Folie
4.65.7 vermittelt Erfahrungen für die Gestaltung. Mängel bei der geometrischen
Gestaltung können die Trennwirkung erheblich beeinträchtigen.
Größere Zyklone werden einzeln, aber auch parallel oder hintereinander geschaltet
zur Gasreinigung eingesetzt. Bei Reihenschaltung des feinguthaltigen
Gasstromes zweier Zyklone zur Verbesserung des gesamten Trennergebnisses
werden die beiden Teil-Trennfunktionen multipliziert (siehe auch Gl. (5.10)
MVT_e_5.doc):
[ 1−
T (d)] ⋅ [ 1−
T (d)] = T (d) + T (d) −T (d) ⋅ T (d)
(d) = 1−
(4.468)
Tges
1
2
1 2 1 2
und entsprechend gilt auch für den Gesamtabscheidegrad
R
m,ges
[ 1−
R
m,1] ⋅ [ 1−
R
m,2
] = R
m,1+
( 1−R
m,1
) ⋅ R
m, 2
= 1−
. (4.469)
Unter Multizyklonen versteht man Anordnungen einer größeren Anzahl parallel
geschalteter kleinerer Zyklone, die den Staub in einen gemeinsamen Raum
austragen. Bei Parallelschaltung zu n Zykl Multizyklonen mit V = V / n
gilt für geometrische Ähnlichkeit bei Verkleinerung aller Abmessungen (=
„scale-down“) um den Faktor
n
Zykl
T
Multi
Zykl
D
o,Multi
1
= ⋅ Do
(4.470)
n
Zykl
d
T,Multi
d
T
1
= . (4.471)
4 n
Zykl
4.7.3.3 Elektrische Abscheider
In elektrischen Abscheidern (Elektrofiltern) findet eine Querstromtrennung
statt. Die Partikeln werden in einem Koronafeld aufgeladen und wandern unter
der Wirkung eines elektrischen Feldes zur Niederschlagelektrode, wo sie entweder
mechanisch, z.B. durch Klopfen (Trockenelektrofilter), oder durch eine
Flüssigkeit (Nasselektrofilter) entfernt werden.
In einem elektrischen Abscheider laufen folgende Teilprozesse ab:
a) Aufladen der Staubpartikeln,
b) Transport der Partikeln zur Niederschlagelektrode,
c) Haften der Partikeln an der Niederschlagelektrode und ihre Abführung in
den Staubsammelbunker.
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315
Bezüglich der Aufladung von Partikeln in einem Koronafeld kann auf die Ausführung
in Abschnitt 5.3.3. [LB MVT] verwiesen werden. Für die maximale
elektrische Ladung von Partikeln d > 1 µm, die vom Ionenstrom des Koronafeldes
aufgeladen werden, gilt
Q
r E
E
max
2
= 4⋅
π ⋅ε ⋅r
⋅k
⋅ E
(4.472)
0
E
r / r
c
E
Radius des elektrisch äquivalenten Rotationsellipsoides
elektrische Feldstärke (= U/a im homogenen Feld eines Plattenkondensators
des Abstandes a)
ε 0 elektrische Feld- oder Influenzkonstante (= 8,8542 10 -12 As/Vm)
k Faktor, abhängig von Achsenverhältnis r c /r E des Rotationsellipsoides
rc / r E
und der Permittivität (relativen Dielektrizitäskonstante) ε r
k für
rc / r E
r c /r E ε r = ∞ ε r = 5
0 0,666 0,532
1 3,01 2,15
5 36,2 27,15
Die COULOMB’sche Anziehungskraft ist dann:
= Q⋅
E . (4.473)
F C
Die Aufladung von Partikeln d < 0,5 µm erfolgt vor allem durch Kollision, die
auf die Wärmebewegung von ionisierten Gasmolekülen und feinste Partikeln
zurückzuführen sind (Ionendiffusion). Dieser Mechanismus gewinnt mit abnehmender
Partikelngröße im Vergleich zur Aufladung durch den Koronastrom
immer mehr an Bedeutung.
Die für die Abscheidung wesentliche Transportgeschwindigkeit v s,E im elektrischen
Feld folgt für den stationären Fall aus dem Gleichgewicht von
COULOMB-Kraft F C = Q⋅E und dem Luftwiderstand F w :
v s,
E
= QE
3πηd
. (4.474)
Für Partikeln < 1 µm wäre dann noch zusätzlich die durch Gl. (4.24) gegebenen
Korrektur zu berücksichtigen. Jedoch beeinflussen auch die unvermeidbare
Strömungsturbulenz, der elektrische Wind und Agglomerationseffekte die Partikelnwanderung.
Die praktisch ermittelten Wanderungsgeschwindigkeiten
liegen für Partikeln d > 5 µm etwa zwischen 0,02 und 0,3 m/s.
Aus Gl.(4.474) wäre zu folgern, dass sich in einem elektrischen Abscheider mit
genügend großer Feldstärke, genügend hoher Partikelnaufladung und/oder ausreichender
Verweilzeit alle Staubteilchen zu den Niederschlagelektroden trans-
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316
portieren lassen. Dies spiegelt im Prinzip auch die Trennfunktion T(d) wider,
deren Ableitung das Modell einer Querstromtrennung mit turbulenter Kernströmung
zugrunde liegt (Folie 4.66):
T
( d)
⎡ A −
v
=
T s,E
1 − exp⎢
V
g
⎢⎣
⎤
⎥
⎥⎦
k
. (4.475)
A T
V
k
g
Abscheidefläche
Rohgas-Volumendurchsatz
Exponent, für den theoretisch k = 1 gilt, k = 0,4 bis 0,6 aber eine bessere
Beschreibung gewährleistet soll.
- mehrstufige Querstromtrennung: Folie 4.67, Folie 4.68, Folie 4.69,
Folie 4.70, Folie 4.71, Folie 4.72,
Folie 4.73, Folie 4.74
Für die Arbeitsweise eines elektrischen Abscheiders sind auch die Vorgänge an
der Niederschlagselektrode mitbestimmend (Folie 4.75.8). Die abgeschiedenen
Partikeln werden bei Trockenelektrofiltern von Zeit zu Zeit abgeklopft oder
abgerüttelt, wobei sie dann möglichst unbehindert vom Gasstrom in den Staubsammelbehälter
fallen sollen. Bei neueren Bauarten wird auch von einer kontinuierlichen
Abreinigung Gebrauch gemacht, wobei der Staubniederschlag an
rotierenden Abscheideelektroden geschieht. Der Vorteil einer trockenen Reinigung
besteht in der Verwertungsmöglichkeit der Stäube. Bei Nasselektrofiltern
geschieht die Abreinigung durch aus Spüldüsen in den Filterraum eingesprühtes
Waschwasser. Der Staub läuft dann als Suspension von den Elektroden ab.
Bei dieser Art der Abreinigung treten keine Probleme auf. Demgegenüber muss
bei Trockenelektrofiltern der von den Sprühelektroden ausgehende Strom
durch die an der Niederschlagelektrode befindliche Staubschicht abgeleitet
werden (etwa 0,1 bis 0,4 mA/m²). Ist der elektrische Widerstand des Staubes zu
gering, so kann beim Kontakt eine Umladung eintreten. Die Partikeln werden
dann der Elektrode zurückgeworfen. Ein spezifischer elektrischer Staubwiderstand
von ca. 10 4 bis 10 10 Ω⋅cm ist für die Abscheidung günstig. Schwierigkeiten
treten vor allem bei Stäuben mit extrem hohen elektrischem Widerstand
auf. Hierbei entstehen Isolierschichten auf den Niederschlagelektroden, die wie
ein Dielektrikum eines Kondensators wirken, an dessen Oberfläche die Aufladung
immer weiter steigt, bis es zum Durchschlag kommt. Dabei bilden sich
positive Ionen, die einen Teil der negativ geladenen Staubteilchen neutralisieren,
so dass diese nicht weiter zur Niederschlagelektrode wandern können. Au-
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317
ßerdem beeinträchtigt diese Neutralisierung die Raumladung, und die Durchschlagspannung
zwischen den Elektroden sinkt. Insgesamt wirkt sich dieses
Rücksprühen ungünstig aus. Zu seiner Verhinderung leitet man entweder Wasserdampf
in den Gasstrom ein, oder es werden besonders ausgebildete Niederschlagselektroden
verwendet.
Hinsichtlich der Bauart unterscheidet man Röhren- und Plattenfilter. Röhrenfilter
(Folie 4.75.8a und b) haben vertikale Rohre als Niederschlagselektroden,
in deren Achsen die Drähte der Sprühelektroden gespannt sind.
Plattenfilter (Folie 4.75.8c und d) besitzen senkrechte, ebene Niederschlagselektroden
mit dazwischen angeordneten Sprühdrähten. Horizontalelektrofilter
werden vom Gas horizontal durchströmt, Vertikalfilter vertikal. Die
mittleren Strömungsgeschwindigkeiten der Gase liegen etwa zwischen 1,0 und
4,0 m/s. Die Sprühelektroden sind als dünne Drähte ausgebildet. Es hat sich
gezeigt, dass die Gasentladung gleichmäßiger über die gesamte Länge verteilt
ist, wenn glatte Drähte durch Stacheldraht oder scharfkantige Drähte ersetzt
werden. Der Koronastrom und damit die Abscheideleistung sind umso höher,
je größer die Differenz zwischen angelegter Spannung und Korona-
Anfangsspannung ist. Letztere hängt von der Geometrie der Elektrodenanordnung,
der Drahtdicke und Drahtausbildung sowie vom Zustand des Gases
(Druck, Temperatur) ab. Elektrofilter werden je nach Staubart und Elektrodenabstand
mit 20 bis 80 kV und 0,05 bis etwa 0,7 mA/m² betrieben. Die Gleichstromspannungen
erzeugt man durch Umspannen und Gleichrichten von Netzwechselspannungen.
Während früher die dem Netz entnommene Spannung
über mit motorischen Antrieben versehene Dreh- oder Schiebetransformatoren
als Regelgeräte an den Hochspannungstransformator als Primärspannung angelegt
wurde, geschieht die Regelung heute meist kontaktlos über Transduktoren
(Magnetverstärker) oder Thyristoren. Die Gleichrichtung erfolgt durch Selenoder
neuerdings durch Siliziumgleichrichter.
Elektrische Abscheider sind geeignet zur Abscheidung feiner und feinster
(auch flüssiger) Partikeln bei einem hohen Abscheidegrad bis 99,9 %. Vorteile
sind der geringe Druckverlust, die Eignung für heiße Gase sowie der geringe
Bedienungs- und Wartungsaufwand. Dem stehen allerdings die hohen Investitionskosten
sowie die Abhängigkeit des Abscheidegrades von den Staub- und
Gaseigenschaften als Nachteile gegenüber. Die Haupteinsatzgebiete liegen in
der metallurgischen, chemischen und Zementindustrie sowie den Kohlekraftwerken
(Rauchgasentstaubung).
4.7.3.4 Filtrationsabscheider
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318
Bei der Abscheidung in Staubfiltern durchströmt das staubhaltige Gas ein Filtermittel,
das die Staubteilchen zurückhält (Folie 4.75.9). Als Filtermittel werden
vor allem Faserfilter (Gewebe, Faserschichten), aber auch Schüttschichten
eingesetzt. Das Abscheiden erfolgt (ähnlich wie bei der Flüssigkeitsabtrennung
durch Innenfiltration (Prall- und Hafteffekte) und durch Oberflächenfiltration
(Sperrwirkung, Siebeffekt). Bildet sich bei der Abscheidung an der
Oberfläche des eigentlichen Filtermittels eine Staubschicht (Filterkuchen), so
wirkt diese als hochwirksame Filterschicht.
Bei der Modellierung der Innenfiltration erhält man aus Mengenbilanzen unter
Voraussetzungen einer gleichmäßigen Verteilung der Filterelemente sowie
einer vollständigen Durchmischung der Aerosuspension quer zur Hauptströmungsrichtung
eine exponentielle Abnahme der Partikelkonzentration in Strömungsrichtung
und somit für die Trennfunktion.
T ( d)
= 1−
exp( −kF ⋅ϕ(
d))
. (4.476)
Hierbei charakterisiert k F die geometrische Anordnung der Fasern. Für monodisperse
Fasern gilt:
k
F
4 1−ε
F
h
= ⋅
π ε d
F
F
F
bzw.
k
4
1
m
F , A
F
= ⋅ ⋅ . (4.477)
π ε
F
d
F
⋅ρ
s,
F
ε F
h F
d F
m F,A
ρ s,F
Porosität der Filtermittelschicht
Filtermittelschichtdicke
Faserdurchmesser
flächenbezogene Masse der Filtermittelschicht
Feststoffdichte der Fasern
k F stellt anschaulich das Verhältnis von Faserprojektionsfläche aller Fasern zur
gesamten Filteranströmfläche dar. Für Grobfilter liegen typische Werte von k F
im Bereich 5 bis 10, für Schwebstofffilter bei 100 bis 200.
ϕ(d) repräsentiert den sog. Einzelfaser-Abscheidegrad, d.h. den Abscheidegrad
eines Faserelements in der Faserschicht. Er hängt außer von der Partikelgröße
d, von Stoff-, Geometrie- und Betriebsdaten ab und lässt sich zurückführen
auf
ϕ = W A W H . (4.478)
W A
W H
Auftreffwahrscheinlichkeit eines Staubpartikels
Haftwahrscheinlichkeit eines Staubpartikels
Die Auftreffwahrscheinlichkeit der Staubpartikeln wird durch die Transportvorgänge
der Strömung in der Filtermittelschicht bestimmt.
2y
0
W
A= . (4.479)
dF
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y 0
Koordinate der Grenzpartikelbahn
319
Der Anteil der Partikeldiffusion (Term mit Pe-Zahl) ist bei
- d < 0,1 ... 0,5 µm und Filteranströmgeschwindigkeit u 0 < 10 m/s bedeutsam
und
- ein Sperreffekt bringt für größere Partikeln in Größenordnung der Faserdurchmesser
d/d F > 1 zunehmende Auftreffwahrscheinlichkeiten
⎛
WA
1,6 ⎜
ε
= ⋅
⎝ Φ
u
d
F
ε,Ku
⎞
⎟
⎠
1/ 3
⋅ Pe
−2 / 3
P
ε
+ 0,6
Φ
F
ε,Ku
( d / d )
F
⋅
1+
d / d
2
F
mit (4.480)
0
Pe
P= Partikel-PECLET-Zahl (4.481)
DP
k
BTCu
DP= Partikeldiffusionskoeffizient (4.482)
3πηd
CUNNINGHAM-Korrektur, da
c
W
= c ⋅ Cu entsprechend Gl.(4.24)
W, St
⎧ ⎡
⎛ 0,435 ⎞⎤⎫
Cu = ⎨1
+ Kn ⋅ ⎢2,492
+ 0,84 ⋅ exp⎜
− ⎟ ⎬
⎩
Kn
⎥ , (4.483)
⎣
⎝ ⎠ ⎦ ⎭
und einer Packungsdichtefunktion (sog. „hydrodynamischer Faktor“) des Filtermittels
nach KUWABARA:
1 1 1 2
Φ ε , Ku=−
ln(1−ε
F)
+ ( −εF)
− (1−ε
F)
. (4.484)
2 4 4
Darüber hinaus lassen sich auch noch Auftreffwahrscheinlichkeitsanteile durch
- Widerstandskraft
- Trägheitskraft
- elektrostatische Kraft
mittels dimensionsloser Kennzahlen beschreiben:
W = f ( ψ,
Re , Fr , ρ / ρ , K ) . (4.485)
A
F
P
s
g
el
−1
ρ d u
18ηd
2
s 0
ψ =
Trägheitszahl (4.486)
F
u
0d
Fρg
Re
F=
Filtermittel-REYNOLDS-Zahl (4.487)
η
Fr
P
u
ρ
2
=
0 g
Partikel-FROUDE-Zahl (4.488)
gdρ
s
Partikelhaftung an den Faser tritt ein, wenn
- keine Partikelzerkleinerung auftritt;
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320
- durch den Aufprall energiereicher Partikeln nicht schon abgeschiedene Partikeln
wegschlagen;
- die Widerstandskraft, die bei der Anströmung auf die schon abgeschiedenen
Partikeln einwirkt, kleiner ist als die Haftkraft, die sie festhält;
- die Ablöseenergie, die am Ende der Stoßphase zur Verfügung steht, nicht
größer sein darf als die Haftenergie, die die Partikeln festhält.
Die vorletzte Bedingung ist gewöhnlich erfüllt, da Geschwindigkeiten über 5
m/s notwendig sind, um selbst größere Agglomerate abzublasen [s. LÖF-
FLER]. Unter Annahme plastischer Deformation der Kontaktstellen beim Partikel-Faser-Stoß
lässt sich für die letztere Bedingung die Geschwindigkeit nach
HILLER abschätzen, ab der mit dem Beginn des Abprallens der Partikeln zu
rechnen ist:
2 1/ 2
( 1−
k
pl
) 1 CH
vkrit
= ⋅ ⋅
2
2
k d π ⋅ a ⋅ 6 ⋅ ρ ⋅ p
(4.489)
pl
mit der plastischen Stoßzahl (siehe Gl.(4.254) und Tabelle 4.13)
s
f
k
2
pl
E
kin,0−E
pl
= . (4.490)
E
kin,0
E
E pl
kin,0
p f ≈ 3⋅σ F
C H = 3...45⋅10 -20 J
a
P
0
2
≈ m ⋅ v / 2 kinetische Energie der Partikeln vor dem Stoß, Partikelgeschwindigkeit
v 0 ≈ u 0 Anströmgeschwindigkeit
plastische Deformationsenergie der Partikeln
plastischer Fließdruck (≈3⋅Fließgrenze bei Zugbeanspr.),
Mikrohärte, bei sehr steifen Glasfasern p f ≈ 5 GPa
HAMAKER-Konstante
Partikel-Faser-Mindestabstand (= a 0 ≈ 0,3...0,4 nm
Abstand des molekularen Kräftegleichgewichtes von
Anziehung und Abstoßung, siehe auch Abschnitt 6.1
MVT_e_6.doc)
Mit dem „plastischen Repulsionskoeffizienten“ κ p des plastischen Deformationsanteiles
bei Wirkung von VAN-DER-WALS-Kräften (Platte-Platte-Modell
der Kontaktflächen, siehe Abschnitt 6.1 MVT_e_6.doc - kappap):
C
κ
p
=
(4.491)
6 ⋅ π ⋅ ⋅p
H
3
a
0
f
folgt einfach
2 1/ 2
( 1−
k
pl
) a 6 ⋅ pf
vkrit
= ⋅ ⋅ κ
2
p
⋅
k d ρ
. (4.492)
pl
s
Bem.: Dieser dimensionslose Kennwert κ p lässt sich auch aus dem inneren
Reibungswinkel ϕ i und dem stationären (inneren) Reibungswinkel ϕ st über den,
mittels Scherversuchen bestimmbaren, elastisch-plastischen Kontaktverfesti-
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013

321
gungskoeffizienten κ = tan ϕ / tan ϕ −1
(MVT_e_6.doc - kappa) herausrechnen.
Tabelle 4.13: Stoßzahlklassen nach HILLER
k pl
< 0,4
st
i
Deformationsverhalten
Oberflächenverhalten
Beispiele
sehr leicht plastisch deformierbar, viskoplastisch,
Agglomerate mit Primärpartikelgrößen
ausgeprägte Feinstruktur
Rußflocken
d 0,1
auch folgend abgeschätzt werden, 1 < ψ < 10 und 0,01 < Re F < 1:
Ψ+ 0,5
= 1,03+
(0,5ReF−1,5)
⋅ 0,
(4.493)
WA 85
und die Haftwahrscheinlichkeit für W H > 0,1; 1 < ψ < 20 u. 0,01 < Re F < 1:
W
H
−1,09
−0,37
= 1,368⋅
ψ ⋅ ReF
. (4.494)
Im Allgemeinen wird man zur Bestimmung des Abscheidegrades noch weitgehend
auf experimentelle Arbeiten angewiesen sein, wobei als Haupteinflussgrößen
die Anströmgeschwindigkeit u 0 , die Temperatur sowie experimentell
ermittelte Kenngrößen des Filtermediums und des Staubes eingehen.
Wesentlich für eine minimale Gebläseleistung und damit Betriebskosten sind
eine gute Durchströmbarkeit und ein geringer Druckverlust. Bei laminarer Umströmung
der zylindrischer Fasern gilt mit Re F < 1
∆p
16 1−ε
= ⋅
s 2 − ln Re ε
F
( u / ε )
F
F
F
η
⋅ ⋅ u
d
2
F
0
(4.495)
0 F
d
Fρg
Re
F
=
Filtermittel-Re-Zahl (hier mit u ε !) (4.496)
η
s F
Dicke der Filtermittelschicht
und im verfahrenstechnisch bedeutsamen Übergangsbereich 1 < Re F < 50 mit
der Summe der Teilwiderstände
c
const
= c
sowie const = 10 und c = 1,5 (4.497)
Re
W
+
F
∆p
s
F
=
20 1−ε
⋅
π ε
F
F
η
⋅
d
2
F
⋅ u
0
3 1−ε
+ ⋅
π ε
F
2
F
ρ
⋅
d
g
⋅ u . (4.498)
F
2
0
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322
Beispielsweise beträgt er für d F = 50 µm Fasern der Schichtdicke s F = 15 mm,
ε F ≈ 0,98, u 0 = 0,5 ... 2 m/s ∆p ≈ 5 ... 50 Pa, wobei mit zunehmender Anströmgeschwindigkeit
der Trägheitseinfluss des hinteren Terms ρ ⋅ immer
2
bedeutsamer
wird.
g
u 0
Nach dem Anwendungsbereich und dem daraus resultierenden Aufbau lassen
sich Faserfilter in zwei große Gruppen einteilen: Speicherfilter und Abreinigungsfilter.
Speicherfilter werden im Bereich geringer Staubgehalte (c s,g in mg/m³) eingesetzt,
wie sie vornehmlich in der Klima- und Entlüftungstechnik vorliegen. Es
handelt sich dabei meist um lockere Fasermatten mit Porositäten ε F > 90 bis 99
%. Die Partikelabscheidung geschieht im Inneren der Filterschicht, und die im
Vorstehenden nur kurz erörterten physikalisch begründeten Abscheidemodelle
gelten entsprechend. Nach Staubsättigung werden diese Filtermedien verworfen,
seltener gereinigt. Charakteristische Anströmgeschwindigkeiten betragen
u 0 = 0,1 bis 3 m/s.
Abreinigungsfilter dienen zur Abscheidung bei höheren Staubgehalten. Die
Faserschichten werden hierbei als Tücher eingesetzt, und zwar früher fast ausschließlich
als Gewebe, heute überwiegend als Vliese und Filze. Die Porosität
dieser Filtermedien beträgt 70 bis 90 %. Die Abscheidung geschieht nur in der
Anfangsphase innerhalb der Faserschicht und verlagert sich rasch an die Filteroberfläche.
Die dort gebildete Staubschicht führt zu einem laufenden Ansteigen
des Durchströmungswiderstandes. Deshalb werden diese Filter periodisch abgereinigt
(unter Umständen im Abstand von wenigen Minuten). Die Anströmgeschwindigkeiten
typischer Abreinigungsfilter liegen in der Regel zwischen u 0
= 5 und 50 mm/s. Auch hinsichtlich ihrer Temperaturbeständigkeit haben Abreinigungsfilter
eine bedeutende Entwicklung durchlaufen. Für den Temperaturbereich
bis 150 °C steht eine Reihe von Fasermaterialien zur Verfügung. Mit
Glas- und Mineralfasern lassen sich bis zu 300 °C und mit speziellen Stahlfasern
sogar 600 °C erreichen. Einfluss auf die Auswahl eines Faserfilters hat
auch dessen chemische Widerstandsfähigkeit.
Die Bauarten von Abreinigungsfiltern lassen sich zu zwei Hauptgruppen zusammenfassen:
Schlauchfilter und Taschenfilter.
Bei den erstgenannten hat das Filtermedium zylindrische Schlauchform (Folie
4.75.9a). Die Schläuche werden in Abhängigkeit von der Abreinigungsmethode
entweder von außen nach innen oder umgekehrt durchströmt. Weiterhin sind
Saugschlauchfilter und Druckschlauchfilter zu unterscheiden, je nachdem, ob
sich der Ventilator in Strömungsrichtung hinter oder vor dem Filter befindet.
Bei Taschenfiltern (Folie 4.75.9b) wird das Filtermedium über Rahmen gespannt,
die an einer Seite für den Reingasaustritt offen Sind. Die Filtertaschen
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323
werden immer von außen nach innen durchströmt und dabei der Staub außen
abgelagert.
Eine wichtige Rolle spielt die Abreinigung der Filter. Hierbei sind Arbeitsschritte
Unterbrechen des Rohgasstromes, Ablösen des Staubkuchens und Spülen
des Filtermediums in zur Filterströmung entgegengesetzter Richtung abzugrenzen.
Das Ablösen des Filterkuchens wird bei mechanisch abgereinigten
Filtern durch Rütteln, Klopfen o.ä. bewirkt. Druckluftabgereinigte Filter erfordern
die gleichen Arbeitsschritte, bewerkstelligen das Ablösen aber durch periodische
Druckluftstöße.
Verbreitet sind Schlauchfilter in Mehrkammerbauweise. Hierbei wird der Staub
von innen an die Schläuche anfiltriert. Für die Abreinigung wird jeweils eine
Kammer aus dem Gasstrom geschaltet.
Die Vorteile von Faserfiltern, die als Abreinigungsfilter arbeiten, liegen im
hohen Gesamtabscheidegrad R m bis 99 %, wobei Partikeln d > 0,1 µm erfassbar
sind, der Anpassungsfähigkeit an Schwankungen der Gasmenge und des
Staubgehaltes sowie dem breiten Einsatzbereich hinsichtlich der abscheidbaren
Partikelngrößen. Von Nachteil sind die geringste Lebensdauer des Filtermediums
und der daraus resultierende Wartungsbedarf.
Schüttschichtfilter besitzen gegenüber den Faserfiltern eine geringere Bedeutung.
Als Filtermedium verwendet man Kies, Sand u.ä. Anwendungsgebiete
sind die Heiß- und Rauchgasentstaubung (z.B. in Kalk- und Sand u.ä. Anwendungsgebiete
sind Heiß- und Rauchgasentstaubung (z.B. in Kalk- und Zementwerken,
Kokereien). Die Abreinigung geschieht durch Rütteln der Filterkästen.
Die hohe Trennwirkung der Faserfilter lässt sich mit ihnen nicht erreichen.
4.7.3.5 Nassabscheider
Der Entwicklung dieser Apparate liegt die Überlegung zugrunde, die Abscheidung
feiner Partikeln aus dem Rohgasen dadurch zu erleichtern, dass man sie
zunächst an Flüssigkeitstropfen ankoppelt (Heterokoagulation) und somit das
Abscheideverhalten im Trennraum von der wesentlich höheren Masse der Partikeln-Flüssigkeits-Aggregate
bestimmt wird. Auch Dampfkondensationseffekte
können dazu herangezogen werden.
Für die Trennfunktion T(d) eines Nassabschneiders lässt sich analog Gl.(4.476)
ebenfalls schreiben:
T(d)
= 1 − exp( − k ⋅ ϕ (d)) . (4.499)
W
N
Für den Parameter k F ist hier der bezogene Wasserverbrauch zu setzen:
k = V
/ V
W
W
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;V
Volumenstrom an Waschflüssigkeit bzw. Rohgas
V W
324
ϕ N (d) stellt das sog. spezifische Reinigungsvolumen dar, das als das Verhältnis
des von einem Tropfen längs seines Flugweges im Abscheider gereinigten
Gasvolumens zum Tropfenvolumen definiert ist. Analog zum Faserabscheidegrad
Gl.(4.478) ist also
ϕ N = W A W H . (4.500)
W A
W H
Auftreffwahrscheinlichkeit eines Staubpartikels
Haftwahrscheinlichkeit eines Staubpartikels
Die Auftreffwahrscheinlichkeit der Staubpartikeln wird durch den Wirkungsquerschnitt
d w der Partikelbahn und die Tropfengröße d l bestimmt.
W
⎛ d
⎜
⎝
⎟ ⎞
⎠
2
w
A= ⎜ . (4.501)
dl
Die Trägheitszahl und die REYNOLDS-Zahl werden mit der Tropfengröße d l
gebildet
ρ ⋅ d ⋅ u
18 ⋅ η⋅ d
2
s 0
ψ =
(4.502)
l
u0dlρg
Re
l=
Tropfen-REYNOLDS-Zahl (4.503)
η
und die Auftreffwahrscheinlichkeit ist dann
b
⎛ ψ
WA
a
⎟ ⎞
= ⎜
mit (4.504)
⎝ +ψ ⎠
Re l a b
< 1 0,65 3,7
10 ... 20 1,24 1,95
40 1,03 2,07
60 ... 80 0,506 1,84
>> 1 0,25 2
Bei dieser Betrachtungsweise kann die Haftwahrscheinlichkeit für üblicherweise
benetzende Waschflüssigkeiten W H = 1 gesetzt und Kondensationseffekte
vernachlässigt worden.
Um die Staubpartikeln mit der Flüssigkeit (Waschwasser) in Kontakt zu bringen,
ist eine große Anzahl apparativer Varianten ausgearbeitet worden. Die
sich auf wenige Grundtypen zurückführen lassen:
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325
In Düsenwäschern (Waschtürme, Folie 4.75.10a) wird das Wasser durch Zerstäubungsdüsen
in das von unten nach oben mit etwa 1 bis 2 m/s strömende
Gas versprüht. Der Abscheideraum ist entweder frei von Einbauten oder mit
solchen ausgestattet. Da die Trennkorngröße d T im Bereich d T = 0,7 bis 1,5 µm
liegt, ist die Abscheidung für die Partikelgrößen d < 5 µm unbefriedigend. Der
Druckverlust liegt im Bereich ∆p = 0,2 bis 2,5 kPa und der bezogene Wasserverbrauch
bei / V
= 0,05 bis 5 l/m³.
V W
Wirbelwäscher (Folie 4.75.10b) werden in einer Reihe von Ausführungsformen
angeboten. Der Rohrgasstrom prallt zunächst auf einen Wasserspiegel,
wobei eine gewisse Vorabscheidung stattfindet, und wird dann durch einen
strömungsgünstig geformten Kanal geführt. Dabei reißt das beschleunigte Gas
aus dem Rohgasraum Flüssigkeit mit, die an den Umlenkkanten zerstäubt wird.
In dieser Zone erfolgt die Heterokoagulation und geschieht vor allem die Staubabscheidung.
Die Gasgeschwindigkeiten in der Wirbelzone betragen u 0 = 10
bis 20 m/s. Daraus folgen Druckverluste von ∆p = 1,5 bis 3 kPa. Die Trennwirkung
dieser Abscheider ist empfindlich gegenüber Durchsatzschwankungen.
Sinkt der Gasdurchsatz, so wird die Waschflüssigkeit nur ungenügend zerstäubt,
und der Abscheidegrad verschlechtert sich deutlich. Bei zu hohem Gasdurchsatz
wird dagegen der Rohgas-Wasserspiegel so weit abgesenkt, dass die
Beflutung der Wirbelzone abreißt und sich deshalb auch bei Überlast eine
schlechtere Abscheidung ergibt. Weiterhin ist die Neigung zur Schaumbildung
ausgeprägt. Vorteile sind der relativ niedrige Preis, die geringere Verstopfungsneigung
und der geringere Wartungsaufwand. Die Trennkorngröße liegt
bei d T = 0,6 bis 0,9 µm.
In Rotationswäschern (Folie 4.75.10c) wird die Waschflüssigkeit mittels rotierender
Einbauten verdüst. Das Rohgas tritt tangential ein und strömt in einer
Umlaufströmung aufwärts, wobei es eine oder zwei Waschzonen passiert, in
denen durch die mit 60 bis 70 m/s Umfangsgeschwindigkeit rotierende Zerstäuber
ein dichter Schleier feiner Tröpfchen erzeugt wird. Die Tropfen werden
an die Gehäusewand geschleudert, wo sie als Film ablaufen. Zur Abscheidung
der feinen Tröpfchen ist der Gehäuseoberteil meist zyklonenartig ausgebildet.
Die Waschflüssigkeit ( / V
= 1 bis 3 l/m³) wird im Kreislauf geführt. Der
V W
Druckverlust liegt unter 1 kPa, die Trennkorngröße im Bereich d T = 0,1 bis 0,5
µm. Wäscher dieser Art sind unempfindlich gegenüber Durchsatzschwankungen
und besonders für hohe Staubeingangskonzentrationen (c s,g bis zu 300
g/m³) sowie für schäumende Materialien geeignet. Nachteilig ist die aufwendige
Konstruktion mit relativ großen bewegten Teilen.
VENTURI-Wäscher (Folie 4.75.10d) sind weit verbreitete Hochleistungswäscher.
Von ihnen existieren zahlreiche Ausführungsformen. In einem konvergenten
Einlaufteil wird das Gas auf Geschwindigkeiten zwischen 50 und 150
m/s beschleunigt. In der sog. Kehle, d.h. der Zone der höchsten Gasgeschwin-
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326
digkeit, wird durch Bohrungen am Umfang senkrecht zum Gasstrom Wasser
eingespritzt, das durch die Scherkräfte des Gases in feine Tröpfchen zerrissen
wird. Der anschließende Diffuser bewirkt durch die Verzögerung der Strömung
einen teilweisen Druckrückgewinn. Der Wasserverbrauch liegt im Bereich
/ V
= 1 bis 5 l/m³. Der Druckverlust beträgt 3 bis 20 kPa und wird sowohl
V W
von der Gasgeschwindigkeit als auch der zu zerteilenden und zu beschleunigenden
Wassermenge bestimmt. Die Trennkorngröße kann 0,05 µm und darunter
erreichen. Auch Venturi-Wäscher sind verständlicherweise empfindlich
gegenüber Durchsatzschwankungen.
Nassentstauber besitzen heute ein weites industrielles Anwendungsfeld, weil
sie an unterschiedliche Bedingungen anpassungsfähig sind. Allerdings darf das
mit dem Wäscherbetrieb gekoppelte Problem der Wasserklärung nicht übersehen
werden.
4.7.3.6 Tropfenabscheider
Wesentlich für den Einsatz der dargestellten Tropfenabscheider ist die Tropfengrößenverteilung.
Im Allgemeinen ist damit zu rechnen, dass durch Kondensation
entstehende Tropfen kleiner als 3 µm sind. Aus Flüssigkeitsoberflächen
mitgerissene Tropfen sind normalerweise größer als 5 µm. Allerdings
erfolgt in Rohrkrümmern und in Gebläsen bereits ein Abscheiden des Grobanteils.
Die erforderliche Tropfengrößenanalyse ist mit den meisten für Feststoffteilchen
geeigneten Methoden wegen der Koaleszenz nicht möglich.
Für das Abscheiden von Tropfen aus Gasströmen werden hauptsächlich Trägheitseffekte
und elektrische Feldwirkungen genutzt. Beim Tropfenabscheiden
spielen vergleichbare Wirkprinzipien wie bei der Staubabscheidung eine Rolle,
wobei die Koaleszenz der Tropfen u.U. Vorteile bezüglich der abgeschiedenen
Stoffe bringt. Die wesentlichsten Wirkprinzipien für das Tropfenabscheiden
sind Querstromtrennungen im Zentrifugalkraftfeld (Zyklon) oder im elektrischen
Feld, Trägheitseffekte bei plötzlichen Umlenkungen und die Rückhaltewirkung
durchströmter Filterschichten.
Die Zentrifugalkraftabscheidung erfolgt in Zyklonen vornehmlich kleiner Baugröße,
um die Trenntropfengröße gering zu halten. Die Tropfenkoaleszenz begünstigt
die Abscheidewirkung. Allerdings ist zu beachten, dass die abgeschiedenen
Tropfen an der Wand einen Flüssigkeitsfilm bilden, der infolge der
Druckverhältnisse und Sekundärströmungen auch in Richtung Zyklondeckel
fließt und somit in den Oberlauf gelangen kann. Abtropfring am Zyklondeckel
oder gesonderte Abführung des Flüssigkeitsfilmes sind zur Sicherung der
Trennung erforderlich.
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327
Die Abscheidung in Verbindung mit plötzlichen Umlenkungen des Gasstromes
wird hauptsächlich in Lamellenabscheidern realisiert. Diese relativ einfach
aus Kunststoff- oder Blech-Profilplatten herzustellen. In Fangrinnen wird der
Flüssigkeitsfilm abgeführt.
Als Filterschichten kommen übliche Füllkörperschichten (Raschigringe, Sattelkörper
oder Prallringe) und vor allem Dingen Drahtgestrickpakete zum Einsatz.
Letztere stellen etwa 50 bis 100 Lagen relativ grobmaschiger Drahtgestricke
mit Drahtdurchmessern von etwa 250 µm dar. Damit können Tropfen bis
zu Durchmessern von 0,6 µm abgeschieden werden. Auch Glasfaserpackungen
werden zunehmend als Filterschichten für die Tropfenabscheidung eingesetzt.
Die Nutzung elektrischer Felder erfolgt in Elektrofiltern, die den für die Staubabscheidung
üblichen ähnlich sind. Infolge der Tropfenkoaleszenz entfallen
einige bei der Abscheidung von Stäuben bekannte Schwierigkeiten.
Für die Tropfengrößenmessung im Größenbereich 0,5 bis 20 µm in Gasströmen
ist hauptsächlich der Kaskadenimpaktor einsetzbar. Er besteht aus mehreren
hintereinandergeschalteten Düsen-Prallplatten-Einheiten mit abnehmenden
Düsen-Durchmesser. Nach Absaugen eines Teilgasstromes werden die Tropfen
auf den Prallplatten abgeschieden. Jeder Prallplatte kann durch Kalibrieren eine
mittlere Tropfengröße zugeordnet werden. Nach Bestimmung der auf den einzelnen
Platten abgeschiedenen Flüssigkeitsmengen sind die erforderlichen
Aussagen zur Ermittlung der Trennfunktion verfügbar.
4.8 Schwerpunkte und Kompetenzen
Anhand dieser Schwerpunkte können Sie Ihr Wissen und Ihre verfahrenstechnischen
Kompetenzen überprüfen:
• Physikalische Grundlagen und Mikroprozesse:
Partikelbewegung im Fluid, Partikelumströmung, Kräftebilanz und stationäre
Sinkgeschwindigkeit, Mikro- und Makroturbulenz, turbulente
Partikeldiffusion;
• Prozessbewertung:
Prozessbewertung mittels Trennmodelle der turbulenten Querstromund
Gegenstromklassierung, prozessbestimmender Einfluss der Turbulenz;
• Prozessauslegung:
Aufbau, Wirkprinzipien, Prozessauslegung, Apparate- und Maschinenparameter
sowie Einsatzgebiete ausgewählter Klassierer (laminarer
Querstromklassierer, Hydrozyklone, Windsichter, Zentrifugalradsichter);
MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik - Partikeltechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 28.11.2013