Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

( t / t ) + exp( −t
/ t ) ⎡exp( 2t / t )
V
⎤
F
(t
d
) ⎡exp
d 76
d 76 ⎤
d 76
+ 1
= ln⎢
⎥ = ln⎢
⎥
Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎣
2
⎦ ⎣ 2 ⋅ exp(t
d
/ t
76)
⎦
⎛ V ⎞
F
exp( 2t
d
/ t
76
) + 1
exp
⎜
A v t
⎟ =
⎝ d
⋅
st
⋅
76 ⎠ 2 ⋅ exp(t
d
/ t
76)
exp t / umgewandelt:
Das wird in eine quadratische Gleichung bezüglich ( )
d
t 76
⎛ V ⎞
F
exp( 2t
d
/ t
76
) − 2 ⋅ exp⎜
exp(t
d
/ t
76)
+ 1 = 0
Ad
vst
t
⎟ ⋅
(4.336)
⎝ ⋅ ⋅
76 ⎠
mit ihrer Lösung:
exp
= ⎛ V ⎞ 2 V
Ad
vst
t
76
Ad
vst
t ⎟ ⎞
⎜ ⎛ ⋅
⎜ ⎟
⎝ ⋅ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ ⋅
(4.337)
76 ⎠
F
F
( t / t ) exp⎜
⎟ + exp
−1
d
76
Diese Formulierung soll noch umgewandelt und vereinfacht werden:
⎡ ⎛ 2 ⋅ V ⎞ ⎤
F
⎢ exp
⎜
⎟ −1⎥
⎛ V ⎞ ⎢
⎥
( )
⎝ ⋅ ⋅ ⎠
⋅ Ad
vst
t
F
76
exp t
⎜ ⎟
d
/ t
76
= exp
⎢1
+
⎛ ⎞
⎥
⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎢
2 ⋅ VF
exp
⎥
⎢
⎜
⎟
⎥
⎣ ⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎦
⎛ V ⎞ ⎡ ⎛
⎞
( )
⎥ ⎥ ⎤
F
⋅
⋅
2 VF
exp t
⎜ ⎟ ⎢ + −
⎜−
⎟
d
/ t
76
= exp
1 1 exp
⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎢
⎣ ⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠⎦
⎪
⎧ ⎛ V ⎞ ⎡
⎞ ⎪
⎫
⎨
⎬
⎪⎩
⎥ ⎥ ⎤
⎢
⎜ ⎟
⎢
⎛
F
⋅
⋅
2 VF
t
⎜ ⎟
d
= t
76
⋅ ln exp
1+
1−
exp −
⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎣ ⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠⎦⎪ ⎭
V
⎡ ⎛
⎥ ⎥ ⎤
⎢
⎟
⎢
⎞
F
2 ⋅ VF
t
⎜
d
= t
76
⋅
+ t
76
⋅ ln 1+
1−
exp −
Ad
⋅ vst
⋅ t
76
⎣ ⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠⎦
Daraus ergibt sich analog zur Funktion t d = f(h*), Gl.(4.263), wiederum eine
* ⎡
*
h
⎛ 2 ⋅ h ⎞⎤
t ⎢
⎜
⎟
d
= + t
76
⋅ ln 1+
1−
exp − ⎥
(4.263)
vst
⎢
⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠⎥
⎦
vergleichweise übersichtliche Umkehrfunktion der Auslaufzeit t d = f(V F ):
V ⎡ ⎛
⎞⎤
F
2 ⋅ VF
t ⎢
⎜
⎟
d
= + t
76
⋅ ln 1+
1−
exp −
⎥
(4.338)
Ad
⋅ vst
⎢
⎣ ⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠⎥
⎦
mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit
⎞
⎜
⎛ b ⋅ ⋅ − min
b g 1 ⎟
⎝ b
v =
⎠
, ( 4.229)
st
⎡ b dp 1 ⎤
2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1
+
⋅ ⋅
2 ⎥
⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ dhB
ρb
⋅ u ⎦
der charakteristischen Auslaufzeit t 76
b
t =
(4.234)
76
⎛ b ⎞ ⎡
⎤
⋅ + ⋅ θ⋅ ⋅ ⎜ −
min
b dp 1
2 (m 1) tan g 1 ⎟ ⋅ ⎢1
+
⋅ ⋅
2 ⎥
⎝ b ⎠ ⎣ 2 ⋅(m+
1) ⋅ tan θ dh
B
ρb
⋅ u ⎦
169
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013