Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

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97 Diese Gleichung wird nun in eine für die Anwendung der Additionstheoreme der Winkelfunktionen günstige Schreibweise umgeformt: tanϕw sin 2 − tanϕw⋅ cos2β = ⋅ cosϕ sinϕ β w sin 2β ⋅ cosϕ sin ( 2 −ϕ ) w − cos2β⋅ sinϕ sinϕ w β w = bzw. sinϕe 1 ⎡ β = ⋅ ⎢ϕ 2 ⎣ w ⎛ sin ϕ + arcsin ⎜ ⎝ sin ϕ w e w e sinϕ = sinϕ w e ⎤ ⎟ ⎞ ⎥ (4.35) ⎠⎦ Dieser Gleitwinkel β entspricht auch dem Winkel zwischen der Wandnormalspannung σ w und der größten Hauptspannung σ 1 in Wandnähe. Deshalb folgt auch aus den Gln.( 4.29) und ( 4.31): τw σ1−σ2 σ ⎛ 1 1−sin ϕ ⎞ e σ1⋅sin ϕe = = 1 = sin 2 2 2 ⎜ − 1 sin ⎟ β ⎝ + ϕe ⎠ 1+ sin ϕe Kombiniert man Gl.(4.36) mit der Wandreibungsgrenze τ (4.36) w = tan ϕw ⋅σw und Gl.(4.35) folgt das interessierende Verhältnis der unbekannten größten Hauptspannung σ 1 zur messbaren Wandnormalspannung σ w im Trichter τ w σ1⋅sin ϕe τ = ( ) w 1+ sin ϕe σw ( 1+ sin ϕe ) ⋅ tan ϕ σ1 = σ1 = sin 2β 1+ sin ϕ sin ϕ ⋅sin 2β sin ϕ ⋅sin 2β σ σ 1 w e ( 1+ sin ϕ ) = ⎡ sin ϕe⋅sin⎢ϕ ⎣ w e ⋅ tan ϕ w ⎛ sin ϕ + arcsin ⎜ ⎝ sin ϕ w e e ( 4.37) ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ als eine vergleichsweise einfache und überschaubare Beziehung. Diese ist analog zum Fließfaktor ff der Brückenbildung innerhalb des Trichters als Verhältnis der größten Hauptspannung zur wirksamen größten Hauptspannung im Auflager einer Brücke ff = σ 1 / σ1' definiert, z.B. Tabelle 4.1: Gleitwinkel β und Spannungsverhältnis σ 1 /σ w an der Wand Wandreibungswinkel ϕ w 20° 25° effektiver Reibungswinkel ϕ e 40° 45° 50° 40° 45° 50° Gleitwinkel β 26° 25° 23° 33° 31° 29° Spannungsverhältnis σ 1 /σ w 1,18 1,17 1,16 1,30 1,28 1,26 e w Fließfaktor nach WALKER ⇒ Davon ausgehend soll nun eine analytische Abschätzung des Fließfaktors nach WALKER (1968) angegeben werden: • Mit dem Gleitwinkel β zwischen der Schubspannungsebene an der Wand und der Wirkungsebene der größten Hauptspannung σ 1 , gemäß Gl. (4.35) Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
1 ⎡ β = ⋅ ⎢φ 2 ⎣ w ⎛ sin φ + arcsin ⎜ ⎝ sin φ w e 98 ⎞⎤ ⎟⎥ (4.35) ⎠⎦ • und den Hilfsgrößen B und D, wobei letztere sich als Verteilungsfaktor des Vertikaldruckes über den Trichterquerschnitt interpretieren läßt D ≈ 1 ( β+θ) ( β+θ) sinϕe ⋅sin2 B = ( 4.38) 1− sinϕ ⋅ cos2 e ( β+θ) ( ϕ +θ) 1+ sinϕe sin2 w ff = ⋅ ( 4.39) 1− sinϕ ⋅ cos2 2⋅ B⋅ D−tan θ e • nur sinnvoll im Zusammenhang mit den Meßergebnissen von Ringscherzellen für konische Trichter anwendbar, ⇒ gewöhnlich werden zu große ff- Werte berechnet. Fließfaktor nach ARNOLD, MCLEAN, ROBERTS und ENSTAD ⇒ Deshalb sollen hier - statt der Gl.( 4.39) - zusätzlich die allgemeingültig formulierten, analytischen Berechnungen des Fließfaktors der Brückenbildung nach ARNOLD, MCLEAN 1 , ROBERTS 2 und ENSTAD 3 angegeben werden, die an die JENIKE-Werte angepasst wurden, Bild F 4.12: • mittlere Vertikalspannung am Auslauf für das Entleeren σ v m ( tan θ+ tan φ ) ⎛ 4 ⎞ 1 ⎡2σ ⎤ w⋅ w 1 σv = ρb⋅ g⋅ b⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⎢ − θ ⎥ ( 4.40) ⎝ 3 ⎠ 4tan ⎣ ρb⋅ g⋅ b m+ 1⎦ • die Wandnormalspannung σ w ( 1+ sinφe⋅ cos2β) 2( X−1) ⋅sinθ Y⋅ σw = ρb⋅ g⋅ b⋅ ( 4.41) mit der Höhenkoordinate y bzw. b = y⋅ 2tan θ sowie wiederum mit dem Gleitwinkel β und den Hilfsgrößen X > 1 und Y > X 1 ⎡ ⎛ sinφ ⎞⎤ w β = ⋅ ⎢φw+ arcsin ⎜ ⎟⎥ (4.35) 2 ⎣ ⎝ sinφe ⎠⎦ Es sollte β < 180°/ π ≈ 57,3° sein. ( 2β+θ) m 2 ⋅ sinφe ⎡sin ⎤ X = ⋅ ⎢ + 1 1− sinφ ⎣ sinθ ⎥ ⎦ e ( β+θ) 1−m 2 m ( 1−sin φ ) ⋅sin ( β+θ) ( 4.42) m m ⎡π⋅ ⎤ 1+ m 2 ⋅[ 1− cos( β+θ) ] ⋅ ⎢ ⎥ ⋅sin θ + sinβ⋅sin ( β+θ) ⎣ 180° Y ⎦ ( 4.43) = + e 1 Arnold, P.C. and A.G. Mclean, An analytical solution for the stress function at the wall of converging channel, Powder Technol. 13 (1976) 255 2 Arnold, P.C., McLean, A.G., Roberts, A.W., Bulk Solids: Storage, Flow and Handling, TUNRA Bulk Solids Handling Research Associates, p. 4.15 ff, Univ. Newcastle, 1980 3 Enstad, G., On the theory of arching in mass-flow hoppers, Chem. Engng. Sci. 30 (1975) 1273 Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
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Seite 57 und 58: wird die Funktionskette Auslauftric
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1 exp(2x) + 1 y = cosh(x) = ⋅ 2 e
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152 ist der Druckverlust weitestgeh
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2 ( ρs−ρf ) ⋅d ⋅ g vs ,St =
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8(m+ 1)tan θ ⎛ b − ⋅ g 1 b
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⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ( ) ⎜ t 2 2
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2a ⋅ = 2a ⋅ 2 b + b − 4ac 2 (
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Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu
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c / b' ⋅t76,lam c / b' ⋅t = ⎛
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