Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

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In diese einfache Differentialgleichung (4.329) wird die Zeitfunktion des Auslaufvolumenstromes
gemäß Gl.( 4.244) eingesetzt:
dV ⎞
⎜ ⎛
F(t)
t
= V − ⋅ ⋅
⎟
A
(t) Ad
vst
tanh
(4.330)
dt
⎝ t
76 ⎠
Das ergibt die zeitliche (inkrementelle) Änderung des Bunkerfüllstandes bei
ständigem Zu- und Abfluss.
Zur Berechnung der gesamten Auslaufzeit während des Auslaufens eines Bunkers
mit gegebenem Füllstand muss die Gl.(4.330) integriert werden. Dazu
werden die folgenden Anfangs- und Randbedingungen formuliert:
- für t = 0 ist V F = V F,max gleich dem gesamten Füllvolumen des Bunkers,
- nach der Auslaufzeit t = t d hat der Bunker einen Mindestfüllstand V F =
V F,min ,
- der Einlaufstrom wird V A
= 0 gesetzt, d.h., der Bunker wird diskontinuierlich
(satzweise) befüllt.
Damit folgt die Integralgleichung
V
V
F,min
∫ = VF,min
− VF,max
= −∫
F,max
t
d
dV V (t) dt
(4.331)
und mit der Gl.( 4.244) folgt für die rechte Seite:
td t d
∫
0
0
d
⎛ t
∫ ⎟ ⎞
V = ⋅ ⋅
⎜
d
(t) dt Ad
vst
tanh dt
(4.332)
0 ⎝ t
76 ⎠
Das rechte Integral entspricht der Summe aller Höheninkremente des Auslaufstromes
Gl. (4.252)
h(t)
∫
h=
0
t
⎛ t ⎞
dh = h(t) = v ⋅ ∫
⎜
⎟
st
tanh dt
(4.333)
t=
0 ⎝ t
76 ⎠
und ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.3 gelöst worden, siehe dazu den Lösungsweg
der erhaltenen Weg-Zeit-Funktion Gl. (4.254):
⎛ t ⎞
h (t) = vst
⋅ t76
⋅ ln cosh
⎜
⎟
(4.254)
⎝ t76
⎠
Die zeitliche Änderung des Füllvolumens lässt sich ebenfalls mit dieser Funktion
berechnen:
V
F,max
− V = ∆V
= A ⋅ ∆h(t
)
(4.334)
F,min
F
d
d
⎛ t ⎞
d
∆V = ⋅ ⋅ ⋅
⎜
⎟
F(t
d
) Ad
vst
t
76
ln cosh
(4.335)
⎝ t
76 ⎠
Diese Gleichung muss nun für ΔV F (t d ) ≡ V F (t d ) nach der Auslaufzeit t d umgestellt
werden. Die Methode ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.4 angewandt worden.
Dazu wird die cosh-Funktion in exp-Funktionen umgewandelt:
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013