Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

h(t) = gt
2
76,lam
⎛ b
⎜1−
⎝ b
min
∗
⎧
⎪
⎪
dp ⎞
a
/ dH
−
⎟ ⋅ ln⎨
ρbg
⎠ ⎪⎡
⎛
⎪⎢tanh⎜
⎪
⎩⎢⎣
⎝ t
76,lam
165
1
⎫
2 2
⎡ ⎛ ⎞ ⎤1−t
b'
t 1
76,
lam
⎪
⎢tanh⎜
⎟
+ ⎥
⎪
⎢⎣
⎝ t76,lam
⎠ t76,lamb'
⎥⎦
1
1 ⎬
⎞ ⎤
2( 1−t
76,lamb'
) ⎡ ⎛ ⎞ ⎤
2( 1+
t 76,lamb'
)
t
t
⎪
⎟ + ⎥ ⋅ ⎢ ⎜ ⎟ − ⎥ ⎪
1 tanh
1
⎠ ⎥⎦
⎢⎣
⎝ t76,lam
⎠ ⎥⎦
⎪⎭
(4.322)
Mit den Gln.(4.300) und (4.313) lautet der dimensionslose Parameter t b lam
'
( ) ⎟ 2
∗
∗
ρs
− ρf
⋅ dST⋅
ε ⎠ b ⎝ b ρbg
⎠
76 ,
:
9 ⋅ η⋅ B( ε)
2
( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε
t76 ,lamb'
=
(4.323)
2
⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎞ 2g(m+
1)tan θ ⎛ b dp / dH ⎞
min a
⎜
⎟ +
⋅
⎜1
− −
⎝
Trotz ihres komplizierten Aussehens kann man dieser analytischen Lösung eine
gewisse Eleganz nicht absprechen.
Variante 3:
t
c tanh( t / t
76,lam
)
Lösungsversuch für: h (t) = ⋅ ∫
dt
b' tanh( t / t ) +
t= 0
76, lam
e
1
Mit e = , t 76,lam = t* und der Substitution:
t
76,lamb'
dt
u = tanh( t / t*) ) abgeleitet: du =
2
t * cosh (t / t*)
2
tanh( t / t *)
t * cosh (t / t*) ⋅ u ⋅ du
=
tanh( t / t *) + e u + e
1
mit cosh(t / t*) = 2
1−
tanh (t(t*)
siehe BRONSTEIN S. 91
tanh( t / t *)
t * ⋅u
⋅ du
t * ⋅u
⋅ du
=
=
=
2
2
tanh t / t * + e 1−
tanh (t / t*) ⋅ u + e 1−
u ⋅ u + e
tanh( t / t *)
u
∫ dt = *
+
∫
du
tanh t / t * e
t 1−
u ⋅ 1+
u ⋅ u + e
⋅u
⋅ du
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1−
u) ⋅ ( 1+
u) ⋅ ( u + e)
( ) ( ) ( ) ( )
mit der Partialbruchzerlegung, siehe BRONSTEIN S. 1080:
1
A B C
= + +
( a + x) ⋅ ( b + x) ⋅ ( c + x) a + x b + x c + x
tanh( t / t *)
⎪⎧
u
u
∫
dt = t * ⎨−
A du + B +
⎪⎩
− +
∫ du C
tanh t / t * e
a u b + u
x x b
∫ dx = − ln ax
ax + b a a
….ggf. später ausrechnen (lassen)…
u ⎪⎫
( ) ( ) ( ) ( ) ⎬
+
∫ ∫ du
c + u ⎪ ⎭
und mit dem Grundintegral S. 1074: ( b)
2
+
t *
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013