Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

c / b' ⋅t76,lam
c / b' ⋅t
=
⎛ 1 ⎞ ⎛1+
t
2⎜
1⎟
2⎜
+
t76,lam
b'
⎝ ⋅ ⎠ ⎝ t
c ⋅ t
⎛
⎜
⎝ t
76,lam
76,lam
76,lam
76,lam
c ⋅ t
=
⋅ b' ⎞ 2 1
⎟
⋅ b'
⎠
76,lam
b' ⋅t76,lam
⋅ b'
=
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛
+ 1⎟
⋅ ⎜ 1⎟
⎜
b'
−
⋅
t76,lam
b'
⎠ ⎝ ⋅ ⎠ ⎝ t
2
76,lam
2
76,lam
( + t ⋅ b' )
c
2
b'
1
⋅ b'
2
76,lam
c
= b'
⎞ ⎛1−
t
−1⎟
⎜
⎠ ⎝ t
Umordnen der Terme und mit Gl.( 4.294) für c:
2
c ⋅ t76,lam
c ⋅ t
h(t) = −
⋅ ln[ tanh( t / t76,lam
) + 1]
−
2 1 − t ⋅ b'
2 1 + t
c ⋅ t
+
2
1 − t
h(t) = c ⋅ t
( )
2
76,lam
76,lam
2
76,lam
76,lam
⋅ b'
2
⎡ ⎛
ln⎢tanh⎜
⎢⎣
⎝ t
−
2 1
⎡
⋅ ln⎢tanh
⎣
⎧ ⎡ ⎛ t
⎪ln⎢tanh⎜
⎪ ⎢⎣
⎝ t
⎨
⎪ 1−
t
⎪
⎩
t
76,lam
( + t b' )
76,lam
⎞ ⎤ ⎫
⎟
−1⎥
⎪
⎠ ⎥⎦
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
1 ⎤
( t / t ) + ⎥
⎦
76,lam
2
76,lam
76,lam
⎞
⎟
+
⎠ t
2
b'
t
76,lam
2
2
76,lam
2
76,lam
⋅
( ⋅ b' )
⋅ b'
2
76,lam
76,lam
1 ⎤ ⎡ ⎛
⎥ ln⎢tanh⎜
b'
⎥⎦
⎢⎣
⎝ t
−
2 1
76,lam
t
76,lam
c ⋅ t
=
2
⋅ b' ⎞ 1−
t
⎟
2
b'
⎠
⋅ ln
( − t b' )
76,lam
2
76,lam
2
76,lam
⋅
164
b'
[ tanh( t / t ) −1]
⎞ ⎤
⎟
+ 1⎥
⎠ ⎥⎦
Schließlich ergibt die Rechnung folgende, ziemlich komplizierte analytische
Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Pulver aus einem konvergenten
Trichter bei homogener laminarer Durchströmung:
2
⎛ b
h(t) = g ⋅ t ⋅⎜
76,lam
1 −
∗
⎝ b
76,lam
1 ⎡ ⎞ ⎤
⎡ ⎞ ⎤⎪⎫
⎢
−
( ) ( ) ⎟
⎜ ⎛
⎢
⎟
⎜ ⎛ t
1
t
⋅ ln tanh + 1⎥
−
⋅ ln tanh 1 ⎬
− t b' t
2 1 + t b' t ⎪ ⎭
2 1
76,lam
min
⎢⎣
dp
a
−
ρ g
⎝
/ dH
b
76,lam
⎞⎪⎧
1
⎟
⎨ 2
⎠⎪⎩
1 − t
⎠
⎥⎦
76,lam
Das kann man auch wie folgt schreiben:
⎧
⎪ ⎡ ⎛
2 ⎛ b
⎞
min
dpa
/ dH
h(t) = g ⋅ t ⋅
⎜ − −
⎟⎨
⎢ ⎜
76,lam
1
ln tanh
∗
⎝ b ρbg
⎠⎪
⎢⎣
⎝ t
⎩
⎡ ⎛
ln⎢tanh⎜
⎢⎣
⎝ t
t
76,lam
b'
2
76,lam
⎡ ⎛
⋅ ln⎢tanh⎜
⎢⎣
⎝ t
76,lam
⎞
⎟
+
⎠ t
76,lam
⎢⎣
t
76,lam
1
1
( ) ( )
⎫
⎤ 2 1−t
⎞
76,lamb'
⎡
⎤
2 1+
t
⎛ ⎞
76,lamb'
t
⎟
⎪
+ ⎥ − ⎢ ⎜ ⎟
1 ln tanh
−1⎥
⎬
⎠ ⎥⎦
⎢⎣
⎝ t76,lam
⎠ ⎥⎦
⎪
⎭
t
1 ⎤
⎥
b' ⎥⎦
⎝
⎞
⎟
+
⎠ t
76,lam
1
2 2
1−t
76, lam b'
⎠
⎥ ⎥ ⎦
2
+
1 ⎤
⎥ −
b' ⎥⎦
76,lam
(4.321)
−
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013