Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten muss die obige Zeitfunktion der
instationären Auslaufgeschwindigkeit v(t) für laminare Durchströmung, Gl.(
4.302), erneut integriert werden
v(t) =
dh(t)
dt
=
⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞ ⎛
g⋅
⎜1
− − tanh
b
bg
⎟ ⋅ ⎜
∗
⎝ ρ ⎠ ⎝ t
9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎛
⋅ tanh⎜
t ⎞
⎟ +
⎝ ⎠
76,lam
2
( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε ⎜ t ⎟
76,lam
t76,
lam
und zwar mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:
h(t)
∫
h=
0
t ⎞
⎟
⎠
, (4.311)
1
⎛ b
⎞ ⎛ ⎞
min
dpa
/ dH
∗
⋅ t
g⋅
⎜1−
− ⎟ tanh⎜
⎟
t
⎝ b ρbg
⎠ ⎝ t76,lam
dh = h(t) =
⎠
∫
dt (4.312)
⎛ ⎞
t = 0 9 ⋅ η⋅ B( ε)
t 1
⋅ tanh⎜
⎟ +
2
( ρ − ρ ) ⋅ ⋅ ε
s f
dST
⎝ t76,lam
⎠ t76,lam
Das rechte Integral wird mit den Parametern c, siehe Gl.( 4.294), und b’, siehe
auch Gl.( 4.293), umgeschrieben
9 ⋅ η ⋅ B( ε)
⋅ (1−ε
)
' = = −b / 2
(4.313)
ρ ⋅ d ⋅ ε
b
2
b ST
t
tanh( t / t
76,lam
)
( t / t )
c
h (t) = ⋅ ∫
dt
(4.314)
b'
1
t= 0tanh
76,lam
+
t b'
76,lam
Die Lösung dieser schwierigen Integralgleichung auf analytischem Wege erscheint
ziemlich problematisch. Man könnte es numerisch integrieren.
162
Variante 1:
Um jedoch eine überschaubare analytische Lösung der obigen Integralgleichung
(4.314) zu erhalten, kann man zunächst folgende Vereinfachung vornehmen,
und zwar wird zur Abschätzung angenommen 29 , dass
t
1
>> tanh( t / t
76,lam
) sei. (4.315)
b'
76,lam
Damit folgt:
t
c tanh t / t
h (t) ≈ ⋅
b'
∫ 1
t=
0
t b'
( )
76,lam
76,lam
dt = c ⋅ t
76,lam
⋅
t
∫
t=
0
tanh
( t / t )
76,lam
Unter Nutzung der bequemen und übersichtlichen Lösung des Integrals für turbulente
Umströmung Gl.(4.254)
t
∫
⎛ t ⎞
tanh (4.254)
( t / t ) = ⋅
⎜
⎟ 76
dt t
76
ln cosh
⎝ t ⎠
t= 0
76
ergibt sich mit den Gln. ( 4.294) und (4.300):
dt
29 ein Verfahrenstechniker darf das – ein Mathematiker natürlich nicht.
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013